1.2空间向量基本定理（2课时）（练习）-2024-2025学年高二数学同步教学一课到位（人教A版2019选择性必修第一册）

1.2《空间向量基本定理》练习册 班级： 姓名： 分数： . 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共5小题，每小题8分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在四面体中，点为棱的中点设，，，那么向量用基底可表示为(    ) A. B. C. D. 2.在正方体中，若点是侧面的中心，且，则，，的值分别为(    ) A. B. C. D. 3.如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是(    ) A. B. C. D. 4.如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，，，则的长为(    ) A. B. C. D. 5.空间四边形中，，，则，的值为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共1小题，共8分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 6.设，，是空间一个基底，则(    ) A. 若，，则 B. 则，，两两共面，但，，不可能共面 C. 对空间任一向量，总存在有序实数组，使 D. 则，，一定能构成空间的一个基底 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分。 7.在四面体中，，，，为的中点，为的中点，则          用，，表示． 8.已知为空间的一个基底，若，，，，且，则，，分别为          ． 四、解答题：本题共2小题，每题18分，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.如图所示，在平行六面体中，，分别在和上，且，． 证明：、、、四点共面． 若，求． 10.如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且与、的夹角都等于，是的中点， 设． 试用表示出向量； 求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2《空间向量基本定理》练习册解析版 一、单选题：本题共5小题，每小题8分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在四面体中，点为棱的中点设，，，那么向量用基底可表示为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查空间向量的基本定理，考查了计算能力，属于基础题． 运用空间向量的线性运算求解即可． 【解答】 解：为的中点， ，，     故选B． 2.在正方体中，若点是侧面的中心，且，则，，的值分别为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了空间向量的基本定理，空间向量的线性运算，属于基础题． 根据题意，可得，即可得解． 【解答】 解：由于 ， 所以，，， 故选D． 3.如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了空间向量的加法，三角形法则，属基础题题． 利用空间向量的三角形法则，，结合平行六面体的性质分析解答． 【解答】 解：由题意， ． 故选A． 4.如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，，，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查空间向量的数量积，属于基础题． 可得，进而求出结果． 【解答】 解：， ，  ，， ，        故选C  5.空间四边形中，，，则，的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查利用空间向量数量积运算求解空间向量的夹角，属于基础题． 利用空间向量的数量积建立等式解题． 【解答】 解： ，，， ，，，， ，，，． 故选D． 2、 多选题：本题共1小题，共8分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 6.设，，是空间一个基底，则(    ) A. 若，，则 B. 则，，两两共面，但，，不可能共面 C. 对空间任一向量，总存在有序实数组，使 D. 则，，一定能构成空间的一个基底 【答案】BCD  【解析】【分析】 本题考查命题真假的判断，考查空间向量的基本定理及应用，考查运算求解能力，是基础题． 利用，，是空间一个基底的性质直接求解． 【解答】解：由，，是空间一个基底，知： 在中，若，，则与不平行，但夹角不一定为，故A错误； 在中，，，两两共面，因为三个向量是基底，必须是不共面的向量， 所以，，不可能共面，故B正确； 在中，对空间任一向量，总存在有序实数组，使，故C正确； 在中，由，，是空间一个基底， 所以与，共面；与，共面；与，共面； 即，，不共面， 所以，，一定能构成空间的一个基底，故D正确． 故选：． 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分。 7.在四面体中，，，，为的中点，为的中点，则           用，，表示． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查空间向量基本定理，属于基础题． 利用为的中点，为的中点，，，化简可得结果． 【解答】 解：在四面体中，，，，为的中点，为的中点， ， 故答案为． 8.已知为空间的一个基底，若，，，，且，则，，分别为           ． 【答案】，，  【解析】【分析】 本题考查空间向量基本定理，属于基础题． 由题意，， ， 为三个不共面的向量，所以由空间向量基本定理得到有序实数对存在且唯一，比较系数即可求出，，的值． 【解答】 解：由题意，， ， 为三个不共面的向量， 所以由空间向量定理可知必然存在惟一的有序实数对，使． ． 又， ． 故答案为，，． 四、解答题：本题共2小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.如图所示，在平行六面体中，，分别在和上，且，． 证明：、、、四点共面． 若，求． 【答案】证明：平行六面体中，，， ，，，，且平面平面， ， ≌， ， 同理， 故AEC为平行四边形， 、、、四点共面． 解：由题， ， 即，，， ．  【解析】本题考查四点共面的证明，空间向量基本定理及其应用，属于基础题，解题时要认真审题，解题时要注意向量法的合理运用． 由，，，，且平面平面，，知≌，进而，同理，故AEC为平行四边形，由此能够证明、、、四点共面． 结合图形和向量的加法和减法运算进行求解． 10.如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且与、的夹角都等于，是的中点， 设． 试用表示出向量； 求的长． 【答案】解：是的中点， ． 由于，，，， 由于，，，， 由于，   ， ．   【解析】本题在四棱锥中用表示出向量，并根据给出的数据求的长度．着重考查了向量的线性运算法则、向量的数量积及其运算性质等知识，属于中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$