1.1.3集合的交与并（2知识点+7题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（湘教版2019必修第一册）

1.1.3 集合的交与并 课程标准 学习目标 （1）理解两个集合的并集与交集的含义, 能求两个集合的并集与交集; （2）能使用 Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用。 （1）理解两个集合的并集的含义，并能求两个集合的并集; （2）理解两个集合的交集的含义，并能求两个集合的交集; （3）能对两个集合进行混合运算.（难点) 知识点01 两个集合的交 1 交集 概念 由属于集合且属于集合所有元素所组成的集合，称为集合与的交集. 记号 (读作:交) 符号 图形表示 性质 ，； ； ，； ； 注 (1)交集中的“且”，是“同时满足”的意思，比如学校搞，要求满足(其中，)，那身高的贵哥虽然长得帅但也遗憾出局，只有刘德华这样的人物才能参加. (2) 当集合和集合无公共元素时，不能说集合没有交集，而是． 【即学即练1】设集合，，那么等于 . 知识点02 两个集合的并 并集 概念 由所有属于集合或属于集合的元素所组成的集合，称为集合与的并集. 记号 (读作:并) 符号 图形表示 性质 ，即一个集合与其本身的并集是其本身； ，即一个集合与空集的并集是其本身； ，即集合的并集运算满足交换律； ，即一个集合与其子集的并集是其自身． 注 生活中讲的“或”，如你妈奖励你数学考试满分：今晚大餐是吃羊排或海鲜；如电视剧里女生对男朋友说：你选她或我，表达的是“选其一不可兼得”. 并列中的“或”有所不同，它指的是只要满足其中一个条件即可，比如学校搞个，要求满足(其中，)，那身高的贵哥由于长得帅当然能参加了，若刘德华想参加当然也可以(满足身高以上，又帅).并列中的“或”是可以两者兼得的. 【即学即练2】设集合，，那么等于 . 【题型一：交集的概念及运算】 例1． 已知全集，，，则（　　） A． B． C． D． 变式1-1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 变式1-2．已知集合，，则的子集个数为（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 变式1-3．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 理解交集的概念：由属于集合且属于集合所有元素所组成的集合，称为集合与的交集； 2 求集合的交集，集合能化简的先化简；求连续型集合的交集，利用数轴辅助求解； 3 有时求集合的交集，可利用venn图进行理解求解. 【题型二：根据交集的结果求集合或参数】 例2．设集合，若，则实数的值的集合是（    ） A． B． C． D． 变式2-1．已知集合，若，则可能是（    ） A．-3 B．0 C．3 D．6 变式2-2．已知集合，，若，则（    ） A．-3 B．-1 C．1 D．3 变式2-3．设集合，集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式2-4．已知集合，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 集合的交集性质：； 2 对含参的集合注意它是否会是空集； 3 求参数范围时，要想清楚是否能“取等号”. 【题型三：并集的概念及运算】 例3．设全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 变式3-1．设集合，若，则（    ） A． B． C． D． 变式3-2．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 变式3-3．已知集合，集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 理解并集的概念：由所有属于集合或属于集合的元素所组成的集合，称为集合与的并集； 2 求集合的并集，集合能化简的先化简；求连续型集合的并集，利用数轴辅助求解； 3 求抽象型集合的交集，可以利用venn图进行理解求解. 【题型四：根据并集的结果求集合或参数】 例4．集合或，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式4-1．已知集合，，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式4-2．设或，，若，，则有（    ） A．， B．， C．， D．， 变式4-3．已知集合，，且，则实数的所有值构成的集合是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 集合的并集性质：； 2 对含参的集合注意它是否会是空集； 3 求参数范围时，要想清楚是否能“取等号”. 【题型五：根据venn图进行集合运算】 例5．已知集合，，则图中所示的阴影部分的集合可以表示为（    ）    A． B． C． D． 变式5-1．若全集是实数集，集合，，则如图阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 变式5-2．已知全集，集合，，如图所示，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D．或 变式5-3．如图所示，若，，则阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C．或 D．或 【方法技巧与总结】 观察venn图确定所求的是集合的什么运算再进行运算. 【题型六：容质原理的应用】 例6．某班有学生56人，同时参加了数学小组和英语小组的学生有32人，同时参加了英语小组和语文小组的学生有22人，同时参加了数学小组和语文小组的学生有25人．已知该班学生每人至少参加了1个小组，则该班学生中只参加了数学小组、英语小组和语文小组中的一个小组的人数最多是（    ） A．20 B．21 C．23 D．25 变式6-1．2021年某高中举办学生运动会，某班60名学生中有一半的学生没有参加比赛，参加比赛的学生中，参加田赛的有16人，参加径赛的有20人，则田赛和径赛都参加的学生有多少人？（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 变式6-2．某班有21名学生参加数学竞赛，17名学生参加物理竞赛，10名学生参加化学竞赛，他们之中既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有12人，既参加数学竞赛又参加化学竞赛的有6人，既参加物理竞赛又参加化学竞赛的有5人，三科都参加的有2人．现在参加竞赛的学生都要到外地学习参观，则需要预订多少张火车票（    ） A．29 B．27 C．26 D．28 【方法技巧与总结】 借助venn图理解求值. 【题型七：集合的新定义】 例7．已知，，，记，用表示有限集合X的元素个数. (1)若，，分别讨论和时，集合T的情况； (2)若，，求的最大值； (3)若，，则对于任意的A，是否都存在T，使得？说明理由. 变式7-1．设集合，，把的所有元素的乘积称为的容量（若中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为）.若的容量是奇（偶）数，则称为的奇（偶）子集，若，则的所有偶子集的容量之和为 A． B． C． D． 变式7-2．对于数集，，定义， ，，若集合 ，则集合中所有元素之和为（    ） A． B． C． D． 变式7-3．设集合，定义与的一个运算“”为：，其中． (1)试举出两组集合M、N，分别计算； (2)对上述集合M、N，计算，由此你可以得到什么一般性的结论？ (3)举例说明与之间的关系． 变式7-4．对于集合，定义函数．对于两个集合，定义集合．已知集合． (1)求与的值； (2)用列举法写出集合； (3)用表示有限集合所包含元素的个数．已知集合是正整数集的子集，求的最小值，并说明理由. 变式7-5．定义1：通常我们把一个以集合作为元素的集合称为族（collection）. 定义2：集合上的一个拓扑（topology）乃是的子集为元素的一个族，它满足以下条件：（1）和在中；（2）的任意子集的元素的并在中；（3）的任意有限子集的元素的交在中. (1)族，族，判断族与族是否为集合的拓扑； (2)设有限集为全集 （i）证明：； （ii）族为集合上的一个拓扑，证明：由族所有元素的补集构成的族为集合上的一个拓扑. 【方法技巧与总结】 集合的新定义问题，关键是正确理解给出的定义，可利用一些特殊例子先“感性认识”，再“理性”感知其规律或本质.有必要的时候，也可举反例理解定义. 一、单选题 1.设全集，集合，，则=（    ） A． B． C． D． 2.若全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 3.若集合，，则图中阴影部分表示的集合中的元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4.已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 5.已知集合，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6.已知集合，，且，则m的值为（    ） A． B．或 C．或或 D．或或或 7.对于集合A，B，定义A\B=且，则对于集合A={}，B={}， 且，以下说法正确的是（     ） A．若在横线上填入”∩”，则C的真子集有212﹣1 个. B．若在横线上填入”∪”，则C中元素个数大于250. C．若在横线上填入”\”，则C的非空真子集有2153﹣2个. D．若在横线上填入”∪”，则C中元素个数为13. 8.已知表示不超过x的最大整数，集合，，且，则集合B的子集个数为（    ）． A．4 B．8 C．16 D．32 二、多选题 9已知集合，若集合满足且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．集合的个数为6 D．集合的个数为5 10.下列结论正确的是（ ） A．若，则的取值范围是 B．若，则的取值范围是 C．若，则的取值范围是 D．若，则的取值范围是 11.大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积.两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作与的笛卡儿积，又称直积，记为.即且.关于任意非空集合，下列说法错误的是（    ） A． B． C．Ü D． 三、填空题 12．已知集合．若，则实数 ． 13.已知全集，集合，集合，则 ， ． 14.在即将举行的中加秋季运动会中，高一某班同学积极报名参赛，报名田赛的学生有21人，报名径赛的学生有18人，田赛和径赛都报名的有5人，另外还有4个人既不报名田赛也不报名径赛，那么该班级共有学生人数为 ． 四、解答题 15．已知全集，集合，，求： (1)，； (2) 16.设集合，， (1)若，求，； (2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围． 17.已知集合， (1)当时，求； (2)在①②中任选一个作为已知，求实数的取值范围． 18.对于集合A，B，我们把集合叫作集合A与B的差集，记为；可用图中的阴影部分来表示. (1)若，，求集合和； (2)集合，集合，若，求实数m的取值范围. 19．已知集合，，，若，，或，则称集合A具有“包容”性． (1)判断集合和集合是否具有“包容”性； (2)若集合具有“包容”性，求的值； (3)若集合C具有“包容”性，且集合C的子集有64个，，试确定集合C． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1.3 集合的交与并 课程标准 学习目标 （1）理解两个集合的并集与交集的含义, 能求两个集合的并集与交集; （2）能使用 Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用。 （1）理解两个集合的并集的含义，并能求两个集合的并集; （2）理解两个集合的交集的含义，并能求两个集合的交集; （3）能对两个集合进行混合运算.（难点) 知识点01 两个集合的交 1 交集 概念 由属于集合且属于集合所有元素所组成的集合，称为集合与的交集. 记号 (读作:交) 符号 图形表示 性质 ，； ； ，； ； 注 (1)交集中的“且”，是“同时满足”的意思，比如学校搞，要求满足(其中，)，那身高的贵哥虽然长得帅但也遗憾出局，只有刘德华这样的人物才能参加. (2) 当集合和集合无公共元素时，不能说集合没有交集，而是． 【即学即练1】设集合，，那么等于 . 解析 由交集的定义可知，. 知识点02 两个集合的并 并集 概念 由所有属于集合或属于集合的元素所组成的集合，称为集合与的并集. 记号 (读作:并) 符号 图形表示 性质 ，即一个集合与其本身的并集是其本身； ，即一个集合与空集的并集是其本身； ，即集合的并集运算满足交换律； ，即一个集合与其子集的并集是其自身． 注 生活中讲的“或”，如你妈奖励你数学考试满分：今晚大餐是吃羊排或海鲜；如电视剧里女生对男朋友说：你选她或我，表达的是“选其一不可兼得”. 并列中的“或”有所不同，它指的是只要满足其中一个条件即可，比如学校搞个，要求满足(其中，)，那身高的贵哥由于长得帅当然能参加了，若刘德华想参加当然也可以(满足身高以上，又帅).并列中的“或”是可以两者兼得的. 【即学即练2】设集合，，那么等于 . 解析 由并集的定义可知，. 【题型一：交集的概念及运算】 例1． 已知全集，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据补集、交集的定义计算可得. 【详解】因为全集，，， ∴，则． 故选：D． 变式1-1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】逐个验证的三个元素是否在中，即可得到. 【详解】直接计算知，，. 故中的三个元素中，在集合内的是和，所以. 故选：A. 变式1-2．已知集合，，则的子集个数为（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】D 【分析】列举出集合，选择满足的元素，得到元素个数，计算得到子集个数. 【详解】 ， ，所以， 故的子集个数为． 故选：D． 变式1-3．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用最小公倍数排除A，B，利用奇数和偶数排除C，求解即可. 【详解】易知集合，， 则中前面的系数应为的最小公倍数，故排除A，B， 对于C，当时，集合为， 而令，可得不为整数，故不含有7， 可得中不含有7，故C错误， 故选：D 【方法技巧与总结】 1 理解交集的概念：由属于集合且属于集合所有元素所组成的集合，称为集合与的交集； 2 求集合的交集，集合能化简的先化简；求连续型集合的交集，利用数轴辅助求解； 3 有时求集合的交集，可利用venn图进行理解求解. 【题型二：根据交集的结果求集合或参数】 例2．设集合，若，则实数的值的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用，可得，然后讨论和讨论集合，即可求解. 【详解】因为，所以， 当时，满足，符合题意， 当时，，若，则或， 解得：或 ， 所以或或， 故选：D. 变式2-1．已知集合，若，则可能是（    ） A．-3 B．0 C．3 D．6 【答案】B 【分析】依题意，得，即可求解． 【详解】解：因为，所以， 故选：B 变式2-2．已知集合，，若，则（    ） A．-3 B．-1 C．1 D．3 【答案】C 【分析】化简可得，，，由求出，，即可求． 【详解】，， 若， 则，， 故． 故选：C. 变式2-3．设集合，集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合是否为空集进行分类讨论可求的范围． 【详解】当时，，则，即， 当时，若，则或， 解得或， 综上，实数的取值范围为． 故选：D． 变式2-4．已知集合，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可以得到，从而对集合分类讨论即可求解参数的范围. 【详解】∵已知，又因为， ∴，即， ①当时，满足，此时，解得； ②当时，由，得，解得； 综上所述，. 故选：C. 【方法技巧与总结】 1 集合的交集性质：； 2 对含参的集合注意它是否会是空集； 3 求参数范围时，要想清楚是否能“取等号”. 【题型三：并集的概念及运算】 例3．设全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由交集、并集和补集的定义求解即可. 【详解】对于A，由题意得，所以．故A正确； 对于B， ，，所以 ，故B错误； 对于C，， 或，故C错误； 对于D， 或， 或，故D错误. 故选：A. 变式3-1．设集合，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可得方程有一个根是1，且2一定不是它的根，从而代入，解得，再解得，满足，从而可计算出结果. 【详解】因为，， 所以方程有一个根是1，且2一定不是它的根， 则，解得， 当时，方程的根是1和， 所以，满足， 即. 故选：A. 变式3-2．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出两个集合，再使用并集运算的定义即可得到答案. 【详解】由题，，， 则. 故选：D. 变式3-3．已知集合，集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由并集和补集的运算得出即可. 【详解】由，所以， 故选：A． 【方法技巧与总结】 1 理解并集的概念：由所有属于集合或属于集合的元素所组成的集合，称为集合与的并集； 2 求集合的并集，集合能化简的先化简；求连续型集合的并集，利用数轴辅助求解； 3 求抽象型集合的交集，可以利用venn图进行理解求解. 【题型四：根据并集的结果求集合或参数】 例4．集合或，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可得，再分与两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，最后取并集即可； 【详解】∵，故， ∴①当时，即无解，此时，满足题意. ②当时，即有解，当时，可得， 要使，则需要，解得. 当时，可得，要使，则需要，解得， 综上，实数的取值范围是. 故选：A 变式4-1．已知集合，，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据补集运算求出，然后利用数轴分析可得. 【详解】因为，所以或， 又，所以. 故选：A 变式4-2．设或，，若，，则有（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】由题知，再解方程即可. 【详解】解：因为或，， ， 所以，，解得， 故选：D 变式4-3．已知集合，，且，则实数的所有值构成的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出，由得到，分与，求出实数a的值，得到答案, 【详解】， 因为，所以， 当时，，满足要求， 当时，只有一个根， 若，则，解得：， 若，则，解得：， 若，则，解得：， 实数的所有值构成的集合是. 故选：D 【方法技巧与总结】 1 集合的并集性质：； 2 对含参的集合注意它是否会是空集； 3 求参数范围时，要想清楚是否能“取等号”. 【题型五：根据venn图进行集合运算】 例5．已知集合，，则图中所示的阴影部分的集合可以表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】图中所示的阴影部分的集合为，结合集合的运算即可得解. 【详解】由图可知，阴影部分表示的集合为集合中的元素去掉集合的元素构成， 而，，则， 得， 故所求集合为. 故选：C. 变式5-1．若全集是实数集，集合，，则如图阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据韦恩图，先求，再由集合去掉中的元素即可. 【详解】∵全集是实数集，集合， ∴， ∴故图中阴影部分所表示的集合为集合去掉中的元素,即. 故选：A. 变式5-2．已知全集，集合，，如图所示，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】先根据并集运算求得，然后利用补集的概念求解阴影部分表示的集合即可. 【详解】因为，，所以， 所以图中阴影部分表示的集合或. 故选：D 变式5-3．如图所示，若，，则阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据韦恩图以及交集、并集和补集的知识求得正确答案. 【详解】是非空集合，阴影部分表示的集合是， ，，， ，则或 故选：D 【方法技巧与总结】 观察venn图确定所求的是集合的什么运算再进行运算. 【题型六：容质原理的应用】 例6．某班有学生56人，同时参加了数学小组和英语小组的学生有32人，同时参加了英语小组和语文小组的学生有22人，同时参加了数学小组和语文小组的学生有25人．已知该班学生每人至少参加了1个小组，则该班学生中只参加了数学小组、英语小组和语文小组中的一个小组的人数最多是（    ） A．20 B．21 C．23 D．25 【答案】B 【分析】设该班学生中同时参加了数学小组、英语小组和语文小组的人数为，只参加其中一个小组的人数为，根据题意列出方程即可. 【详解】 如图，设该班学生中同时参加了数学小组、英语小组和语文小组的人数为，只参加其中一个小组的人数为， 则，即． 因为，所以． 故选：B. 变式6-1．2021年某高中举办学生运动会，某班60名学生中有一半的学生没有参加比赛，参加比赛的学生中，参加田赛的有16人，参加径赛的有20人，则田赛和径赛都参加的学生有多少人？（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】设田赛和径赛都参加的学生有人，进而得，再解方程即可. 【详解】解：设田赛和径赛都参加的学生有人， 则只参加田赛的有人，只参加径赛的有人， 因为名学生中有一半的学生没有参加比赛， 所以，，解得 所以，田赛和径赛都参加的学生有人. 故选：C 变式6-2．某班有21名学生参加数学竞赛，17名学生参加物理竞赛，10名学生参加化学竞赛，他们之中既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有12人，既参加数学竞赛又参加化学竞赛的有6人，既参加物理竞赛又参加化学竞赛的有5人，三科都参加的有2人．现在参加竞赛的学生都要到外地学习参观，则需要预订多少张火车票（    ） A．29 B．27 C．26 D．28 【答案】B 【分析】由题意得，根据Venn图求出参加数理化的人数，即可求出需要预订多少张火车票. 【详解】该班学生参加竞赛情况如图所示，集合A，B，C，D，E，F，G中的任意两个集合无公共元素， 其中G表示三科都参加的学生集合，G中的学生数为2． 因为既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有12人，所以D中的学生数为， 同理，得E中的学生数为，F中的学生数为． 又因为参加数学、物理、化学竞赛的人数分别为21，17，10， 所以A中的学生数为， B中的学生数为， C中的学生数为， 故置预订火车票的张数为． 故选：B. 【方法技巧与总结】 借助venn图理解求值. 【题型七：集合的新定义】 例7．已知，，，记，用表示有限集合X的元素个数. (1)若，，分别讨论和时，集合T的情况； (2)若，，求的最大值； (3)若，，则对于任意的A，是否都存在T，使得？说明理由. 【答案】(1)当时，；当时，不存在； (2)10 (3)不一定存在，理由见解析 【分析】（1）由已知得，其中，当时，相差3；由此可求得，当时，同理可得； （2）若，，，当时，则相差5，所以，中至多有5个元素，所以也至多有5个元素，求出得出结果. （3）当时，，，，，，，则相差不可能1，2，3，4，5，6，可得结论. 【详解】（1）若，则，其中， 否则， 若，当时，，， 所以，则相差3， 因为，， 所以； 当时，，，， 所以， 因为，， 所以不存在； （2）若，，， 时，，，，，，， 所以，，所以不存在； 所以中至多有5个元素； 当时，，，，， 所以，则相差5， 所以； ， 所以，，. 因为中至多有5个元素，所以也至多有5个元素， 所以的最大值为10. （3）不一定存在， 当时， ，，，，，， 则相差不可能1，2，3，4，5，6，这与矛盾， 故不都存在. 变式7-1．设集合，，把的所有元素的乘积称为的容量（若中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为）.若的容量是奇（偶）数，则称为的奇（偶）子集，若，则的所有偶子集的容量之和为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知：当时，集合 ∴所有的偶子集为：，，，， ∴当时，集合所有的偶子集的容量之和为 故选D 点睛：本题考查的是集合的子集和新定义的综合问题．在解答过程当中充分体现了新定义问题的规律、列举的方法还有问题转化的思想，解答本题的关键是正确理解奇、偶子集与容量的概念． 变式7-2．对于数集，，定义， ，，若集合 ，则集合中所有元素之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，理解新定义，可得，通过的集定义与集合运算即可得出结论. 【详解】试题分析：根据新定义，数集，，定义， ，，集合 ，，，则可知所有元素的和为， 故选：D. 变式7-3．设集合，定义与的一个运算“”为：，其中． (1)试举出两组集合M、N，分别计算； (2)对上述集合M、N，计算，由此你可以得到什么一般性的结论？ (3)举例说明与之间的关系． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)，答案见解析. 【分析】（1）先举出两组满足题意的集合M、N；再根据题目中定义的运算即可得出答案. （2）先根据题目中定义的运算计算；再结合（1）的结果即可得出；最后根据题目中的集合M、N及定义的运算即可得出一般结论. （3）先举出三组满足题意的集合，再根据题目中定义的运算即可得出答案. 【详解】（1）不妨设， 则； 或设， 则等． （2）对， 则； 对， 则． 由（1）知，. 由此猜测，对任意集合，总有． 证明如下： 对任意，有，其中； 又，则．于是． 对任意，有，其中； 又，则．于是． 因此. （3）设， 则，于是； 又，于是． 因此． 变式7-4．对于集合，定义函数．对于两个集合，定义集合．已知集合． (1)求与的值； (2)用列举法写出集合； (3)用表示有限集合所包含元素的个数．已知集合是正整数集的子集，求的最小值，并说明理由. 【答案】(1)，； (2)； (3)4. 【分析】 （1）根据给定的定义计算即得. （2）求出，再结合定义及运算写出集合. （3）根据给定的定义分析得出取最小值的条件，即可求得答案. 【详解】（1）依题意，，所以，. （2）由，得， 因此属于不属于的元素为，属于不属于的元素为， 所以. （3）依题意，对于集合，， ①若且，则， ②若且，则， 因此要使的值最小，3，5，9一定属于集合， 是否属于集合不影响的值，集合不能含有之外的元素， 所以当为集合的子集与集合的并集时，取得最小值. 【点睛】关键点点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义进行集合的分拆并结合集合元素的性质、包含关系以及集合运算等知识综合解决. 变式7-5．定义1：通常我们把一个以集合作为元素的集合称为族（collection）. 定义2：集合上的一个拓扑（topology）乃是的子集为元素的一个族，它满足以下条件：（1）和在中；（2）的任意子集的元素的并在中；（3）的任意有限子集的元素的交在中. (1)族，族，判断族与族是否为集合的拓扑； (2)设有限集为全集 （i）证明：； （ii）族为集合上的一个拓扑，证明：由族所有元素的补集构成的族为集合上的一个拓扑. 【答案】(1)都是集合的拓扑 (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据集合的拓扑定义判断即可； （2）（i）根据集合的拓扑定义证明充要性即可； （ii）结合（i）的结论，根据集合的拓扑定义证明. 【详解】（1）族，都是集合的拓扑. （2）（i）设，则， 故存在整数使，因此，得. 设，则存在整数使，故， 因此，得 （ii）因为，，所以，； 设为的任意子集，则， ， 因为，故； ， 因为，故. 【点睛】方法点睛：解决集合创新型问题的方法：（1）紧扣定义，首项分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题本质弄清楚，并能够运用到具体的解题过程中；（2）用好集合性质，集合性质时破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在关键之处用好集合的性质. 【方法技巧与总结】 集合的新定义问题，关键是正确理解给出的定义，可利用一些特殊例子先“感性认识”，再“理性”感知其规律或本质.有必要的时候，也可举反例理解定义. 一、单选题 1．设全集，集合，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用补集、并集的定义直接求解即得. 【详解】依题意，全集，则，， 得，所以. 故选：B 2.若全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义求解即得. 【详解】由，得或，而， 所以. 故选：B 3.若集合，，则图中阴影部分表示的集合中的元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】利用集合运算求解阴影部分即可. 【详解】 ， 故图中阴影部分表示的集合为 ，共5个元素. 故选：C 4.已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的并集结果求出a值，再利用交集的定义求解作答. 【详解】因为集合，，，因此，即， 所以. 故选：B 5.已知集合，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出集合，再根据，求得的取值范围. 【详解】由题意知，又且， 故，即的取值范围为. 故选：D. 6.已知集合，，且，则m的值为（    ） A． B．或 C．或或 D．或或或 【答案】C 【分析】根据并集的结果可得或，再根据集合的性质求解即可. 【详解】由可得或，解得，，或. 又集合与，故，故，或. 故选：C 7.对于集合A，B，定义A\B=且，则对于集合A={}，B={}， 且，以下说法正确的是（     ） A．若在横线上填入”∩”，则C的真子集有212﹣1 个. B．若在横线上填入”∪”，则C中元素个数大于250. C．若在横线上填入”\”，则C的非空真子集有2153﹣2个. D．若在横线上填入”∪”，则C中元素个数为13. 【答案】B 【分析】根据各个选项确定相应的集合，然后由集合与子集定义得结论． 【详解】，，集合无公共元素， 选项A中，集合为空集，没有真子集，A错； 选项B中，由得，由得，因此中元素个数为，B正确； 选项C中，中元素个数为166，非空真子集个数为，C错； 选项D中，，而，因此其中元素个数为331个，D错． 故选：B． 8.已知表示不超过x的最大整数，集合，，且，则集合B的子集个数为（    ）． A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【分析】由新定义及集合的概念可化简集合，再由可知，分类讨论的归属，从而得到集合的元素个数，由此利用子集个数公式即可求得集合的子集的个数. 【详解】由题设可知，， 又因为，所以， 而， 因为的解为或，的两根满足， 所以分属方程与的根， 若是的根，是的根，则有，解得， 代入与，解得或与或， 故； 若是的根，是的根，则有，解得， 代入与，解得或与或， 故； 所以不管如何归属方程与，集合总是有4个元素， 故由子集个数公式可得集合的子集的个数为. 故选：C 二、多选题 9已知集合，若集合满足且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．集合的个数为6 D．集合的个数为5 【答案】BC 【分析】解集合B中的方程，得集合B，由已知列举出集合C，验证选项即可. 【详解】，当时，方程的解为或； 当时，方程的解为， 得，A选项错误，B选项正确； 由且，则，共6个． C选项正确，D选项错误. 故选：BC 10.下列结论正确的是（ ） A．若，则的取值范围是 B．若，则的取值范围是 C．若，则的取值范围是 D．若，则的取值范围是 【答案】BD 【分析】先将条件等价转化，然后根据对应范围判断命题的真假即可. 【详解】对于选项A和B，，， 若，则的取值范围是，所以A错误，B正确； 对于选项C和D，若，则的取值范围是，所以D正确，C错误. 故选：BD. 11.大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积.两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作与的笛卡儿积，又称直积，记为.即且.关于任意非空集合，下列说法错误的是（    ） A． B． C．Ü D． 【答案】ABC 【分析】对于ABC，举例分析判断，对于D，利用直积的定义分析判断即可. 【详解】对于A，若，则，A错误； 对于B，若，则， 而，B错误； 对于C，若，则， ，，，C错误； 对于D，任取元素，则且，则且， 于是且，即， 反之若任取元素，则且， 因此且，即且， 所以，即，D正确. 故选：ABC 三、填空题 12．已知集合．若，则实数 ． 【答案】 【分析】依据给定的并集结果，分类讨论求解参数即可. 【详解】因为，故4必定在中， 当时，解得或，而此时有或， 解得或，故此时， 当时，解得，此时，不满足，故排除， 综上，即实数的值为. 故答案为： 13.已知全集，集合，集合，则 ， ． 【答案】 【分析】根据题意，分别求得和，结合集合运算法则，即可求解. 【详解】由全集， 集合，集合， 可得，则，. 故答案为：；. 14.在即将举行的中加秋季运动会中，高一某班同学积极报名参赛，报名田赛的学生有21人，报名径赛的学生有18人，田赛和径赛都报名的有5人，另外还有4个人既不报名田赛也不报名径赛，那么该班级共有学生人数为 ． 【答案】 【分析】根据题意，设出集合，结合集合的运算，即可求解. 【详解】设该班级的总人数构成全集，报名田赛的学生构成集合，报名径赛的学生构成集合，既不报名田赛也不报名径赛构成集合， 则， 则人. 故答案为：. 四、解答题 15．已知全集，集合，，求： (1)，； (2) 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据交集和并集的定义，即可求解； （2）首先计算补集，再求交集. 【详解】（1）由交集的定义可知，； 由并集的定义可知，； （2）由补集定义可知，， . 16.设集合，， (1)若，求，； (2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据条件得到，再利用集合的运算即可求出结果； （2）由（1）知或，根据条件，借助数轴，即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以或， 所以，． （2）由（1）知或，又中只有一个整数， 由图知，，且，+ 解得，所以实数m的取值范围是． 17.已知集合， (1)当时，求； (2)在①②中任选一个作为已知，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，写出集合，利用补集和交集的定义可求得集合； （2）选条件①或②，都有，分、两种情况讨论，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：因为，所以，或， 当时，， 因此，. （2）解：选条件①或②，都有，     当时，，解得，满足题意； 当时，则，解得， 综上：，因此，实数的取值范围为. 18.对于集合A，B，我们把集合叫作集合A与B的差集，记为；可用图中的阴影部分来表示. (1)若，，求集合和； (2)集合，集合，若，求实数m的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由函数的新定义求解即可； （2）先求出集合，再由可得，即，解不等式即可得出答案. 【详解】（1）由，可知：，， （2）由可得：， 由题意可知， 由可知； 所以，解得， 所以 19．已知集合，，，若，，或，则称集合A具有“包容”性． (1)判断集合和集合是否具有“包容”性； (2)若集合具有“包容”性，求的值； (3)若集合C具有“包容”性，且集合C的子集有64个，，试确定集合C． 【答案】(1)集合不具有“包容”性，集合具有“包容”性 (2)1 (3)，，，或． 【分析】（1）根据“包容”性的定义，逐一判断即可； （2）根据“包容”性的定义，能得到，分类讨论，得出a和b的值，即可得出结果； （3）由集合C的子集有64个，推出集合C中共有6个元素，且，再由条件，推出集合中有正数也有负数，将这几个元素设出来，再通过对正数负数个数的讨论，即可求出结果. 【详解】（1）（Ⅰ）集合中的，， 所以集合不具有“包容”性． 集合中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，得到的两数中至少有一个属于集合，所以集合具有“包容”性． （2）（Ⅱ）已知集合具有“包容”性，记，则， 易得，从而必有， 不妨令，则，且， 则， 且， ①当时，若，得，此时具有包容性； 若，得，舍去；若，无解； ②当时，则，由且，可知b无解， 故． 综上，． （3）（Ⅲ）因为集合C的子集有64个，所以集合C中共有6个元素，且，又，且C中既有正数也有负数， 不妨设， 其中，，， 根据题意， 且， 从而或． ①当时，， 并且由，得，由，得， 由上可得，并且， 综上可知； ②当时，同理可得． 综上，C中有6个元素，且时，符合条件的集合C有5个， 分别是，，， 或． 【点睛】关键点点睛：本题是新定义题型，对于此类问题，要先弄清楚新定义的性质，按照其要求，严格“照章办事”，逐条分析验证。此题中，确定出后，分类讨论满足定义的几种情况，就能顺利地完成. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$