专题1.7 勾股定理的应用（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.7 勾股定理的应用（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】勾股定理的应用 勾股定理的应用类型一般有两个方面： （1） 综合应用，即数学内部的应用，如求线段长度、证明，解决三角形有关问题，如求图形的面积、判定两直线的位置关系和数量关系等等。 （2）实际应用，如解决测量问题、最值问题、航行方向和距离问题等等，这些问题都要把实际问题转化为数学问题，转化到直角三角形当中解决问题。 【知识点二】应用勾股定理解决实际问题的一般步骤： 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】勾股定理的应用——求梯子滑落高度 【例1】（23-24八年级下·湖南湘西·阶段练习）一架方梯长25米，如图所示，斜靠在一面墙上． (1)若梯子底端离墙7米，这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)在（1）的条件下，如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 【变式】（2023·浙江·模拟预测）如图，一架梯子长为25米，顶端A靠在墙上，这时梯子下端B与墙底端C的距离是7米，梯子下滑后停在的位置上，这时测得为13米，则梯子顶端A下滑了（　　） A．7米 B．9米 C．10米 D．13米 【题型2】勾股定理的应用——求旗杆的高度 【例2】（23-24八年级下·山东潍坊·期中）综合实践小组为测量学校旗杆的高度，进行了两次实验，如图1，第一次绳子沿旗杆下垂到点B，测量多出的绳子长度为2米，如图2，第二次绳子斜拉直后至末端点F位置，测量点F到地面的距离为1米，以及点F到旗杆的距离为9.6米，请你根据测量数据计算旗杆的高度． 【变式】（23-24八年级下·福建南平·期中）如图．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（    ） A． B． C． D． 【题型3】勾股定理的应用——求小鸟飞行的距离 【例3】（23-24八年级下·浙江台州·期中）如图，有两棵树，分别记为，．其中一棵树高12米，另一棵树高6米，两棵树相距8米．若一只小鸟从树梢A飞到树梢C，求小鸟飞行的最短距离． 【变式】（22-23八年级下·山西阳泉·期中）如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵高的大树上，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是(   )    A． B． C． D． 【题型4】勾股定理的应用——求大树折断前的高度 【例4】（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?意思是：有一根竹子，原高一丈（1丈尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，求折断处离地面的高度．    【变式】（23-24八年级下·重庆秀山·阶段练习）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后离地面的高度为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【题型5】勾股定理的应用——解决杯中筷子问题 【例5】（23-24八年级下·天津河西·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题.有一个水池，水面是一个边长为10尺（尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇（点P是的中点），它高出水面1尺（尺）.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面（），求水的深度PN. 【变式】（23-24八年级上·山东青岛·期末）世纪，印度一位著名数学家婆什迦罗在他的名著《丽罗娃提》中记载了一个有趣的问题：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？” 这首诗的大意是：在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．此时，捕鱼的人发现，花在水平方向上离开原来的位置尺远，由此可知湖水的深度是（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【题型6】勾股定理的应用——解决航海问题 【例6】（23-24八年级下·安徽安庆·阶段练习）一艘轮船从港向南偏西方向航行到达岛，再从岛沿方向航行到达岛，港到航线的最短距离是． （1）若轮船速度为小时，要求轮船从岛沿返回港所需的时间． （2）岛在港的什么方向？ 【变式】（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，在海面上有两个疑似漂浮目标、，接到消息后，两艘搜救艇同时从港口出发赶往目的地.一艘搜救艇以6海里／时的速度沿北偏东的方向向目标前进，同时另一艘搜救艇以8海里／时的速度向目标前进，1.5小时后，他们同时分别到达目标、，此时，他们相距15海里，则第二艘搜救艇的航行方向是北偏西的度数为（    ）    A． B． C． D． 【题型7】勾股定理的应用——求河宽 【例7】（23-24八年级上·陕西西安·开学考试）如图，明明在距离河面高度为的岸边C处，用长为的绳子拉点B处的船靠岸，若明明收绳后，船到达D处，则船向岸A移动了多少米？    【变式】（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，小明欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 【题型8】勾股定理的应用——求台阶上地毯的长度或面积 【例8】（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）某会展中心在会展期间准备将高、长、宽的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元？ 【变式】（22-23八年级下·山西吕梁·期中）如图是楼梯的示意图，楼梯的宽为5米，米，米，若在楼梯上铺设防滑材料，则所需防滑材料的面积至少为（  ）    A．65 B．85 C．90 D．150 【题型9】勾股定理的应用——判断汽车是否超速 【例9】（2024八年级下·全国·专题练习）超速行驶是引发交通事故的主要原因，上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100米的P处．这时，一辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得，试判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？ 【变式】（23-24八年级下·广东广州·期中）某段公路限速是．“流动测速小组”的小王在距离此公路的A处观察，发现有一辆可疑汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，可疑汽车从处行驶后到达处，测得，若．求出速度并判断可疑汽车是否超速？ 【题型10】勾股定理的应用——判断是否受台风影响 【例10】（23-24八年级下·重庆秀山·期末）第五号台风“杜苏芮”的中心于2023年7月27日下午位于福建省厦门市境内，最大风力有15级（50米/秒），中心最低气压为940百帕，台风中心沿北偏西（）方向以的速度向移动，地在距离地的正北方，已知地到的距离． （1）台风中心经过多长时间从点移到点？ （2）如果在距台风中心的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在点休闲的游客在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？ 【变式】（23-24八年级下·重庆大足·期末）如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距1000米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为600米，与B地的距离为800米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C 周围半径520米范围内不得进入． （1）山地C距离公路的垂直距离为多少米？ （2）在进行爆破时，A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁?若需要封锁，请求出需要封锁的公路长． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】．（2020·四川巴中·中考真题）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？（　　） A．4尺 B．4.55尺 C．5尺 D．5.55尺 【例2】（2021·江苏宿迁·中考真题）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，则水深为 尺．    2、拓展延伸 【例1】（2015·湖南湘西·中考真题）如图，台风中心位于点O处，并沿东北方向（北偏东45°），以40千米/小时的速度匀速移动，在距离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，在点O的正东方向，距离60千米的地方有一城市A． （1）问：A市是否会受到此台风的影响，为什么？ （2）在点O的北偏东15°方向，距离80千米的地方还有一城市B，问：B市是否会受到此台风的影响？若受到影响，请求出受到影响的时间；若不受到影响，请说明理由． 【例2】（2012·浙江绍兴·中考真题）小明和同桌小聪在课后复习时，对课本“目标与评定”中的一道思考题，进行了认真的探索． 【思考题】如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？ （1）请你将小明对“思考题”的解答补充完整： 解：设点B将向外移动x米，即BB1=x， 则B1C=x+0.7，A1C=AC﹣AA1= 而A1B1=2.5，在Rt△A1B1C中，由得方程             ， 解方程得x1= ，x2= ， ∴点B将向外移动 米． （2）解完“思考题”后，小聪提出了如下两个问题： 【问题一】在“思考题”中，将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？为什么？ 【问题二】在“思考题”中，梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？ 请你解答小聪提出的这两个问题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.7 勾股定理的应用（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】勾股定理的应用 勾股定理的应用类型一般有两个方面： （1） 综合应用，即数学内部的应用，如求线段长度、证明，解决三角形有关问题，如求图形的面积、判定两直线的位置关系和数量关系等等。 （2）实际应用，如解决测量问题、最值问题、航行方向和距离问题等等，这些问题都要把实际问题转化为数学问题，转化到直角三角形当中解决问题。 【知识点二】应用勾股定理解决实际问题的一般步骤： 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】勾股定理的应用——求梯子滑落高度 【例1】（23-24八年级下·湖南湘西·阶段练习）一架方梯长25米，如图所示，斜靠在一面墙上． (1)若梯子底端离墙7米，这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)在（1）的条件下，如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 【答案】(1)24米 (2)8米 【分析】本题主要考查了勾股定理在解直角三角形中的应用， （1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度； （2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑4米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，可以得出梯子的底端在水平方向滑动的距离． 解：（1）在中，（米），（米）， （米）， 答：梯子的顶端距地面24米； （2）在中，（米）， （米）， （米）， 答：梯子的底端在水平方向滑动了8米． 【变式】（2023·浙江·模拟预测）如图，一架梯子长为25米，顶端A靠在墙上，这时梯子下端B与墙底端C的距离是7米，梯子下滑后停在的位置上，这时测得为13米，则梯子顶端A下滑了（　　） A．7米 B．9米 C．10米 D．13米 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．在中，根据勾股定理可得米，由于梯子的长度不变，在中，根据勾股定理可得米，进而可得答案． 解：在中，米，米， 根据勾股定理可得（米）， 在中，米，米， 根据勾股定理可得（米）， 米， 故选：B． 【题型2】勾股定理的应用——求旗杆的高度 【例2】（23-24八年级下·山东潍坊·期中）综合实践小组为测量学校旗杆的高度，进行了两次实验，如图1，第一次绳子沿旗杆下垂到点B，测量多出的绳子长度为2米，如图2，第二次绳子斜拉直后至末端点F位置，测量点F到地面的距离为1米，以及点F到旗杆的距离为9.6米，请你根据测量数据计算旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为米． 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，设旗杆的高度为x米，表示绳子，再根据题意可知，米，米，米，然后根据勾股定理列出方程，求出解即可. 解：设旗杆的高度为x米，则绳子为米， 由题意可知，米，米，米， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：旗杆的高度为米． 【变式】（23-24八年级下·福建南平·期中）如图．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设的长为m，则，故，在直角中利用勾股定理即可求解，找到直角三角形，利用勾股定理是解题的关键． 解：由题意可知， ， 设的长为，则， ∴， 在直角中， 又∵， 解得：， 故选：B． 【题型3】勾股定理的应用——求小鸟飞行的距离 【例3】（23-24八年级下·浙江台州·期中）如图，有两棵树，分别记为，．其中一棵树高12米，另一棵树高6米，两棵树相距8米．若一只小鸟从树梢A飞到树梢C，求小鸟飞行的最短距离． 【答案】小鸟飞行的最短路程为10米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解． 解：如图，过点作于点，则四边形是长方形，连接． ∵米，米，米， ∴米，米，米， 在中，(米)， 故小鸟飞行的最短路程为10米． 【变式】（22-23八年级下·山西阳泉·期中）如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵高的大树上，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是(   )    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过作于，如图所示，由勾股定理求出最短路径长即可得到答案． 解：过作于，如图所示：    由题意可知，， 根据两点之间线段最短，则它要飞回巢中所飞的最短路径为，由勾股定理可得， 它要飞回巢中所需的时间至少是（）， 故选：C． 【点拨】本题考查勾股定理解实际问题，读懂题意，作出图形，数形结合求出最短路径长度是解决问题的关键． 【题型4】勾股定理的应用——求大树折断前的高度 【例4】（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?意思是：有一根竹子，原高一丈（1丈尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，求折断处离地面的高度．    【答案】尺 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺， 根据勾股定理得， 解得： 答：折断处离地面的高度是尺． 【变式】（23-24八年级下·重庆秀山·阶段练习）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后离地面的高度为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、列一元一次方程，熟练掌握勾股定理是解题关键．利用勾股定理列出方程即可得． 解：如图，由题意可知，尺，尺，尺，， 则在中，，即， 故选：D．    【题型5】勾股定理的应用——解决杯中筷子问题 【例5】（23-24八年级下·天津河西·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题.有一个水池，水面是一个边长为10尺（尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇（点P是的中点），它高出水面1尺（尺）.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面（），求水的深度PN. 【答案】12尺 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，将实际问题转化成勾股定理的问题是解题的关键． 根据题意可得，然后中运用勾股定理列方程求解即可． 解：，点是AB的中点， . ，， . 在中，根据勾股定理可得：. ，解得. 答：水的深度PN为12尺． 【变式】（23-24八年级上·山东青岛·期末）世纪，印度一位著名数学家婆什迦罗在他的名著《丽罗娃提》中记载了一个有趣的问题：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？” 这首诗的大意是：在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．此时，捕鱼的人发现，花在水平方向上离开原来的位置尺远，由此可知湖水的深度是（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设湖水的深度尺，根据题意，运用勾股定理，列方程解答即可，运用勾股定理列出方程是解题的关键． 解：设湖水的深度尺，则荷花的长为尺， 在直角三角形中，根据勾股定理得，， 解得， 故选：． 【题型6】勾股定理的应用——解决航海问题 【例6】（23-24八年级下·安徽安庆·阶段练习）一艘轮船从港向南偏西方向航行到达岛，再从岛沿方向航行到达岛，港到航线的最短距离是． （1）若轮船速度为小时，要求轮船从岛沿返回港所需的时间． （2）岛在港的什么方向？ 【答案】(1）从岛返回港所需的时间为3小时 (2)岛在港的北偏西 【分析】本题考查了勾股定理的应用，方向角问题，是基础知识比较简单． （1）中，利用勾股定理求得的长度，则；然后在中，利用勾股定理来求的长度，则时间间路程速度； （2）由勾股定理的逆定理推知．由方向角的定义作答． 解：（1）由题意， 中，，得． ． ． ． （小时）． 答：从岛返回港所需的时间为3小时． （2）， ． ． ． 岛在港的北偏西． 【变式】（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，在海面上有两个疑似漂浮目标、，接到消息后，两艘搜救艇同时从港口出发赶往目的地.一艘搜救艇以6海里／时的速度沿北偏东的方向向目标前进，同时另一艘搜救艇以8海里／时的速度向目标前进，1.5小时后，他们同时分别到达目标、，此时，他们相距15海里，则第二艘搜救艇的航行方向是北偏西的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形的应用方向角问题、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理、方向角是解答本题的关键．根据题意可得海里，海里，海里，即可得，则，进而可得，从而可得出答案． 解：根据题意得，（海里），（海里）， ， 海里， ， ， ． ， ， 即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西． 故选：B 【题型7】勾股定理的应用——求河宽 【例7】（23-24八年级上·陕西西安·开学考试）如图，明明在距离河面高度为的岸边C处，用长为的绳子拉点B处的船靠岸，若明明收绳后，船到达D处，则船向岸A移动了多少米？    【答案】向岸A移动了9米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意得到，分别根据勾股定理求出，，即可求出． 解：由题意得， 在中，， 在中，， ∴． 答：船向岸A移动了9米． 【变式】（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，小明欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度． 解：根据题意可知米， 设，则， 中，由勾股定理得， 即， 解得． ∴该河的宽度为24米． 故选：D． 【题型8】勾股定理的应用——求台阶上地毯的长度或面积 【例8】（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）某会展中心在会展期间准备将高、长、宽的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元？ 【答案】1020 【分析】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即与的和，在直角中，根据勾股定理即可求得的长，地毯的长与宽的积就是面积，再乘地毯每平方米的单价即可求解． 解：由勾股定理得， 则地毯总长为， 则地毯的总面积为（平方米）， 所以铺完这个楼道至少需要（元）． 故答案为：1020． 【点拨】本题考查了勾股定理的应用，正确理解地毯的长度的计算是解题的关键． 【变式】（22-23八年级下·山西吕梁·期中）如图是楼梯的示意图，楼梯的宽为5米，米，米，若在楼梯上铺设防滑材料，则所需防滑材料的面积至少为（  ）    A．65 B．85 C．90 D．150 【答案】B 【分析】勾股定理求出，平移的性质推出防滑毯的长为，利用面积公式进行求解即可． 解： 由图可知：， ∵米，米， ∴米， 由平移的性质可得：水平的防滑毯的长度（米），铅直的防滑毯的长度（米）， ∴至少需防滑毯的长为：（米）， ∵防滑毯宽为5米 ∴至少需防滑毯的面积为：（平方米）． 故选：． 【点拨】本题考查勾股定理．解题的关键是利用平移，将防滑毯的长转化为两条直角边的边长之和． 【题型9】勾股定理的应用——判断汽车是否超速 【例9】（2024八年级下·全国·专题练习）超速行驶是引发交通事故的主要原因，上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100米的P处．这时，一辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得，试判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？ 【答案】此车超过每小时80千米的限制速度． 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定等等，首先，根据在直角三角形中，可得到米，，再根据在直角三角形中，可得到米，根据可求得AB的长；再结合速度的计算方法，求出车的速度，然后将车的速度与80千米/时进行比较，即可得到结论． 解：由题意知：米，， 在中，∵，， ∴米， 在中，∵， ∴， ∴米； 在中，由勾股定理得米， ∴(米)， ∵从A处行驶到B处所用的时间为3秒， ∴速度为， ∴此车超过的限制速度． 【变式】（23-24八年级下·广东广州·期中）某段公路限速是．“流动测速小组”的小王在距离此公路的A处观察，发现有一辆可疑汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，可疑汽车从处行驶后到达处，测得，若．求出速度并判断可疑汽车是否超速？ 【答案】，超速了 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方． 先根据勾股定理求出，再根据速度公式求出速度，即可解答． 解：∵，，， ∴根据勾股定理可得：， ∴该汽车的速度为， ∵， ∴可疑汽车超速了． 【题型10】勾股定理的应用——判断是否受台风影响 【例10】（23-24八年级下·重庆秀山·期末）第五号台风“杜苏芮”的中心于2023年7月27日下午位于福建省厦门市境内，最大风力有15级（50米/秒），中心最低气压为940百帕，台风中心沿北偏西（）方向以的速度向移动，地在距离地的正北方，已知地到的距离． （1）台风中心经过多长时间从点移到点？ （2）如果在距台风中心的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在点休闲的游客在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？ 【答案】(1)8小时 (2)5小时 【分析】本题考查了勾股定理的应用，路程、速度、时间之间的关系等知识，解答本题的关键是利用勾股定理求出的长度． （1）根据勾股定理计算的长，再根据时间路程速度进行计算； （2）根据在范围内都要受到影响，先求出从点B到受影响的距离与结束影响的距离，再根据时间路程速度计算，然后求出时间段即可． 解：（1）在中，根据勾股定理， 得， ∴（小时）， 则台风中心经过8小时从B移动到D点； （2）如图，设 ∵距台风中心的圆形区域内都会受到台风破坏的危险， ∴人们要在台风中心到达E点之前撤离， ∵， ∴（小时）， 答：游人在5小时内撤离才可脱离危险． 【变式】（23-24八年级下·重庆大足·期末）如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距1000米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为600米，与B地的距离为800米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C 周围半径520米范围内不得进入． （1）山地C距离公路的垂直距离为多少米？ （2）在进行爆破时，A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁?若需要封锁，请求出需要封锁的公路长． 【答案】(1)山地C距离公路的垂直距离为米 (2)需要封锁的公路长为400米 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）由勾股定理的逆定理得是直角三角形，且，过点C作于点D，再由三角形面积求出的长即可； （2）过C作于点D，以点C为圆心，520米为半径画弧，交于点E、F，连接，，根据480米米可以判断有危险，再根据勾股定理求出的长，进而得出的长即可． 解：（1）解：由题意可知，米，米，米， ∴， ∴是直角三角形，且， 如图1，过点C作于点D， （米） 答：山地C距离公路的垂直距离为米． （2）公路有危险需要暂时封锁，理由如下： 如图2，过C作于点D，以点C为圆心，520米为半径画弧，交于点E、F，连接，， 则米，， 由（1）可知，米， ∵480米米， ∴有危险需要暂时封锁， 在中，由勾股定理得： （米） ∴（米）， 即需要封锁的公路长为400米． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】．（2020·四川巴中·中考真题）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？（　　） A．4尺 B．4.55尺 C．5尺 D．5.55尺 【答案】B 【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺．利用勾股定理解题即可． 解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺， 根据勾股定理得：， 解得：． 所以，原处还有4.55尺高的竹子． 故选：B． 【点拨】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题． 【例2】（2021·江苏宿迁·中考真题）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，则水深为 尺．    【答案】12 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，我们可以将其转化为数学几何图形，根据题意，可知的长为10尺，则尺，设出尺，表示出水深，在中，根据勾股定理建立方程，是解题的关键． 解：依题意画出图形，设芦苇长尺，则尺，   尺， 尺 在中，， 解得， 即芦苇长13尺， 水深为（尺）， 故答案为：12． 2、拓展延伸 【例1】（2015·湖南湘西·中考真题）如图，台风中心位于点O处，并沿东北方向（北偏东45°），以40千米/小时的速度匀速移动，在距离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，在点O的正东方向，距离60千米的地方有一城市A． （1）问：A市是否会受到此台风的影响，为什么？ （2）在点O的北偏东15°方向，距离80千米的地方还有一城市B，问：B市是否会受到此台风的影响？若受到影响，请求出受到影响的时间；若不受到影响，请说明理由． 【答案】（1）A市不会受到此台风的影响，理由见解析；（2）B市会受到此台风的影响，影响时间约为1.5小时． 【分析】（1）过点A作AH⊥OC于点H，可求得AH的长为60km，由60＞50可知，不会受到台风影响； （2）过点B作BG⊥OC于点G，可求得BG的长，由离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，即可知会受到影响，然后由勾股定理求得受影响的范围长，即可求得影响的时间． 解：（1）作AH⊥OC， ∵由题意得：∠COA=45°，OA=60km， ∴AH=HO=60÷=60km， ∵60＞50， ∴A市不会受到此台风的影响； （2）作BG⊥OC于G， ∵由题意得：∠BOC=30°，OB=80km， ∴BG=OB=40km， ∵40＜50， ∴会受到影响， 如图：BE=BF=50km， ∴EG==30km， ∴EF=2EG=60km， ∵风速为40km/h， ∴60÷40=1.5小时， ∴影响时间约为1.5小时． 【例2】（2012·浙江绍兴·中考真题）小明和同桌小聪在课后复习时，对课本“目标与评定”中的一道思考题，进行了认真的探索． 【思考题】如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？ （1）请你将小明对“思考题”的解答补充完整： 解：设点B将向外移动x米，即BB1=x， 则B1C=x+0.7，A1C=AC﹣AA1= 而A1B1=2.5，在Rt△A1B1C中，由得方程             ， 解方程得x1= ，x2= ， ∴点B将向外移动 米． （2）解完“思考题”后，小聪提出了如下两个问题： 【问题一】在“思考题”中，将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？为什么？ 【问题二】在“思考题”中，梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？ 请你解答小聪提出的这两个问题． 【答案】（1）；0.8，﹣2.2（舍去）；0.8．（2）①不会是0.9米，理由见解析②有可能．理由见解析 解：（1）；0.8，﹣2.2（舍去）；0.8． （2）①不会是0.9米，理由如下： 若AA1=BB1=0.9，则A1C=2.4﹣0.9=1.5，B1C=0.7+0.9=1.6，1.52+1.62=4.81，2.52=6.25， ∵，∴该题的答案不会是0.9米． ②有可能．理由如下： 设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米， 则有，解得：x=1.7或x=0（舍去）． ∴当梯子顶端从A处下滑1.7米时，点B向外也移动1.7米，即梯子顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等． 分析：（1）直接把B1C、A1C、A1B1的值代入进行解答即可． （2）把（1）中的0.4换成0.9可知原方程不成立；设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米代入（1）中方程，求出x的值符合题意 1 学科网（北京）股份有限公司 $$