微专题3 利用股定理解决最短路径问题-【宝典训练】2023-2024学年八年级下册数学高效课堂(人教版)

数学·八年级下册(R) 微专题3利用勾股定理解决最短路径问题 类型1 台阶中的最短路径问题 2.如图，有一个三级台阶，每一单住：cm4迎 1.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°， 级的长、宽、高分别是50cm、 AC=13,AB=12,则图中五个小直角 30cm、10cm,点A和点B是 三角形的周长之和为 ( 这个台阶的两个相对的顶点， A.25 B.18 有一只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬向B C.17 D.30 点去吃可口的食物：请你想一想，这只壁虎至 少需要爬 cm. 类型2立体图形中的最短路径问题 圆柱 展开 正方体 模型 长方体 厚 3.如图，立方体木块ABCD一ABC,D,的棱长 4.如图是一个长为4，宽为3，高 为3：在棱CD上有一点E,EC=1.现有 为12的矩形牛奶盒，从上底 小虫从E点出发，爬到A点，则它所经过的最 角的小圆孔插入一根到达 短路线长为 底部的直吸管，吸管在盒内 A.3+√/13 D 部分α的长度范围是（牛奶盒的厚度、小圆孔的 B.√20 大小及吸管的粗细均忽略不计)》 C.√34 A.5≤a≤12 B.12≤a≤3√17 D.22 C.12≤a≤4√10 D.12≤a≤13 5.如图，圆柱底面半径为2cm,高为 B 6.如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的 9πcm,A,B两点分别在圆柱的两 示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个 个底面圆周，且在同一母线上，用一 “半圆柱”而成，中间可供滑 40 根棉线从点A顺着圆柱侧面绕3圈到点B,棉 行部分的截面是直径为0 20 m 线最短需要 cm(结果保留π). 的半圆，其边缘AB=CD= 20m,点E在CD上，CE=5m,一滑板爱好者 从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为 m.(边缘部分的厚度忽略不计) 38 第十七章勾股定理 7.如图，长方体的长为20cm,宽为 8.如图，在一个棱长为6分米的正方单位：分* 10cm,高为15cm,点B与点C D 体上截去一个长为6分米，宽为4 之间的距离为5cm,一只蚂蚁如 5 cm 分米，深为1.5分米的长方体后，得 果要沿着长方体的表面从点A爬 20 cm 到一个如图所示的几何体.一只蚂 到点B去吃一滴蜜糖，那么需要 蚁要从该几何体的顶点A处，沿着几何体的表 爬行的最短距离是多少？ 面到几何体上和点A相对的顶点B处吃食物， 那么需要爬行的最短路径的长是多少分米？ 类型3其他最短路径问题 10.如图，一束光线从点A(8,9)出发，经过y轴 9.如图，在△ABC中，AB=AC= 上的点C反射后经过点B(4,0),则光线从A 13,D为BC的中点，AD=12, 点到B点经过路线的长是 BD=5,点P为AD边上的动 点，点E为AB边上的动点，则 PE十PB的最小值为 A.9 B.12 C.10 D120 13 39参考答案 8(米)， 5.解：(1)如答图1所示，四边形ABCD即为所求： .BC=DE=8米， 即两树相隔的距离为8米 -1+5 1,解：连接HF,如客图所示： 4-320234567 G=1,HG=2. 答图2 答图3 在R△FGH中，根据勾股定理得 答图1 FH=/FG+HG=√+2=5， (2)如答图3，四边形EFGH是边长为5的正方形，以数轴上表示 :BC=2.2=/.8, 一1的点为圆心，以EF的长为半径画弧交数轴于一点M,则点M 即为所求，如答图2. .FH>BC. ·小红爸爸要买的木板能通过自家门框进人室内 6.解：(1)由图可知：BC=I+4=17. (2)如答图， 【例2】解：(1)由题意得AB=2.5米，BE=0.7米， Saw=Smm一S-Sm一Sx :AE=AB-BE,∴AE=√2.5-0.7=2.4（米） 答：梯子上端到墙的底端E的距离为2.4米： 4X4-号×1X4-×2x4-号×2X8 (2)由题意得EC=2.4一0.4=2（米）， 16-2-4-3=7. :DE=CD-CE,.DE=√2.5-2=1.5（米）， (3)如答图，过点A作AH⊥BC于点H, 答图 BD=1.5-0.7=0.8(米.答：梯脚B将外移（即BD长）0.8米. Sm=号×BCXAH,.7-号×VITXAH, 2.解：如答图，在R1△ACB中，：∠ACB=90,BC=0.7米，AC 2.4米， AH14厘.BC边上的高为4厘 17 17 .AB=0.72+2.4=6.25. 在R△AED中，∠ADB=90AD=2米，BD+AD=AB. 微专题3利用勾股定理解决最短路径问题 ,BD+2=6.25,BD=2.25, 1.D2.1303.C4.D5.15x6.25 BD>0,.BD=1.5(米)， 7.解：①将长方体沿CF,FG,GH剪开，向右翻折，使面下CHG和 .CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2(米). 面ADCH在同一个平面内， 答：小巷的宽度为2.2米. 连接AB,如答图1， 课堂检测 由题意可得BD=BC+CD=5+10=15(cm). 1,A AD=CH=15 cm. 2.解：在Rt△ABC中，AC=√BC-AF=√17-8=15（米）. 在R1△ABD中，根据勾股定理得AB=√BD+AD= .AD=AC+CD=35(米)， √/15+15-152(cm): 在R△ABD中，BD=√AD+AB=√35+8=√/128936米， ②将长方体沿DE,EF,FC剪开，向上翻折，使而DEFC和面 答：钢丝绳BD的长度约为36米. ADCH在同一个平面内， 3.C4.4cm5.(1)20(2)13 连接AB,如答图2， 6,解：(1)△ACD是等腰直角三角形.理由如下：由题意可得CA= 由题意得BH=C+CH=5十15=2X0(cm),AH=10m, 15米，CD=152米，∠CAD=90, 在Rt△ABH中，根据勾股定理得AB=√BH+AH= 由勾服定理得AD=√CD-C=√(152)-15■15（米）， √20+10=10/5(cm), 故△ACD是等腰直角三角形. ③将长方体沿EF,FC.CD剪开，向左醒折，使面DEFC和面 (2)5(3)12.5 ADEI在同一个平面内，连接AB.如答图3， 第11课时勾股定理的应用(2) 核心讲练 【例151.B 【例2】解：如答图，设直角边长分别为2和3的直角三角形OAB,OA √OB+AB=√V②+3=/3. 答图1 答图2 答图3 图中点￡和点F是表示到原点距离为、13的点。 由题意可得AC=AD+CD=15+10=25(m),BC=5cm, 2.A 在R△ABC中，根据勾股定理得AB=√AC+BC=√25+了 【例3】解：如答图，三边长分别为5，，10，√13，此三角形的面积为 5/26(cm), 33-×1×2-×2×3-×1X3=5. 15,2<105<5,26, 单位：分米 8 3.D ∴希要爬行的最短距离是15，反cm. 课堂检测 8.解：如答图， AB=/(1+1.5+4+1.5+1)+6 1.B2.(-/10-1.0)3.D4.A 数学入年蚊下册(R) 3√13（分米）. C处， “它需要爬行的最短路径的长是3√3分米. ,AC=20×2=40(海里)，AB=15×2=30(海里)，∠BAE=80°， 9.D10.15 如答图， 又：BC=50海里，∴AC十AB=BC, 第12课时 勾股定理的逆定理(1)】 ∴∠BAC=90°. 新课学习 .∠CAF=180°-90°-80°=10°. a+=C2直角三角形a+6A'B'=ABBC=BCAC=AC ∴客船航行的方向为北偏东10 AB=A'BSSS90°直角 1,解：(1)由题意得∠CBA=90°一23=67， 核心讲练 AC=120×品=12（海里）.BC=50×品 【例1】D1.A【例2】B2.14,48,503.25 5(海里). 【例3】解：(1)逆命题为“如果两个角相等，那么这两个角是直角”， AB=13(海里).∴AC十BC=AB, 不成立： ∴△ABC是直角三角形，：∠CBA=67, (2)逆命题为“对应边相等的两个三角形全等”，成立. ·∠CAB=23,.甲的航向为北偏东67”： 课堂检测 (2)甲逼逻帮航行3分钟的路程为120×高=6（海里）， 1.2.同旁内角互补，两直线平行真 3.A4.45°5.m 乙温逻铅航行3分特的路程为0×高=25（海里， 6.(1)22 3分钟后.甲乙两巡逻船相距√6+2.5=65（海里）. 解：(2)A(0,2),B(2,0),C(5,3) 【例2】解：(1)如答图，连接BD. .AC=(0-5)2+(3-2)2=26, 在R△ABD中.BD=AB5+ALD=32+4=5, BC=(5-2)°+(3-0)'=18， 在△CBD中，CD=13,BC=12. 0 AB=(22)2=8. 而12+5=13， :.AB +BC-AC, 即BC十BD=CD,'∠DBC=90' .△ABC是直角三角形. 答图 7,解：(1)连接BD,作CF⊥AB 交AB的延长线于点F,如容 则Snas=Saw十Sr=乞·AD·AB+2DB·BC 图所示： -号×4×3+×12X5-36(平方米 则∠BFC=90°， 答图 (2)需费用36×300=10800（元）. :点E为AB的中点，DE⊥AB. ..BD-AD.AE-BE. 课堂检测 ∠DAB=30, 1.C2.北或南3.符合4.25 ·∠DBE=∠DAB=30'.BD=AD=2DE=23.AE=BE= 5,解：(1)△ABC是直角三角形：理由如下： :AC+BC=1602+120=40000,AB=200=40000, 3DE=3. ∴AC+BC=AB, :BC+BD=2+(23)=16=CD, ∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90: ·△BCD是直角三角形，∠CBD=90°， (2)甲方案所修的水渠较短：理由如下： .∠ABC=∠ABD+∠CBD=30°+90°=120°： (2)由(1)可得∠CBF=180°-30°-90°=60°， :△ABC是直角三角形，△ABC的面积-子AB·CH CF1AF,.∠CFB=90, ∠BCF=30, Ac·BC ∴BF=2BC=1,CF=BBF=B, ÷CH=AC.BC-160X120=96(m. AB 200 ..EF=BE+BF=4. :AC+BC=160+120=280(m).CH+AH+BH=96+200= 296(m), 在R△CEF中，由勾股定理得CE=√4+()=√9 ,AC十BC<CH十AH十BH,,甲方案所修的水渠较短. 第13课时勾股定理的逆定理(2) 微专题4利用勾股定理解决翻折问题 核心讲练 1.解：设BN=x,由折叠的性质可得DN=AN=18-x 【例1】解：设客船的速度为4r海里/小时，则货船的速度为3r海 :D是BC的中点，BC=12, 里/小时， .BD=6, 由题意得4x一3x=5,解得r=5, 在Rt△NBD中，x2十6=(18-x), ,客船的速度为20海里小时，货船的速度为15海里小时， 解得x=8. :货船沿南偏东80方向航行，2小时后货船到达B处，客船到达 故线段BN的长为8 8