专题05 圆的重难点题型汇编（二）(四大题型）-2024-2025学年九年级数学上册《重难点题型•高分突破》（浙教版）

专题05 圆的重难点题型汇编（二） 【题型01：线圆最值问题】 【题型02 ：定弦定角】 【题型03：四点共圆】 【题型04：瓜豆原理】 【题型01：线圆最值问题】 1．抛物线与x轴交于A，B两点，D是以为圆心，2为半径的上一动点，E为中点，则线段的长可能为（    ）    A．1 B．2.5 C．4 D．5 2．如图，在中，，点D是半径为4的上一动点，点M是的中点，则的最大值是（    ） A．7 B．6 C． D． 3．如图，在矩形中，是矩形内一动点，且满足，则线段的最小值是（    ） A． B． C．8 D．5 4．如图，正方形中，，E是的中点．以点C为圆心，长为半径画圆，点P是上一动点，点F是边上一动点，连接，若点Q是的中点，连接，，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D． 5．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，若点为抛物线上一点且横坐标为，点为轴上一点，点在以点为圆心，为半径的圆上，则的最小值 ． 6．如图，已知的半径是，点，在上，且，动点在上运动（不与，重合），点为线段的中点，连接，则线段长度的最小值是 ． 7．如图，抛物线与轴交于点A，与轴交于、，点A关于抛物线对称轴的对称点为点，点在轴上，点在以点为圆心，半径为的圆上，当取得最小值时，点坐标是 ． 8．如图，在矩形中，，，P为矩形内一点，，连接，则的最小值为 ． 9．如图，在矩形中，，，O为矩形的对角线的交点，以A为圆心，半径为1的圆，P为上的一个动点，连接，则的面积的最大值为 ． 10．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连结OQ．则线段OQ的最小值是 ． 11．如图，在矩形中，已知，，点是边上一动点点不与点，重合，连接，作点关于直线的对称点，连接，则的最小值为 ． 12．如图，点的坐标为轴于点，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，则的最小值为 ．    【题型02 ：定弦定角】 13.（秋•潜山市期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P在矩形的内部，连接PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，则PC的最小值是（　　） A．6 B．﹣3 C．2﹣4 D．4﹣4 14．如图，在中，，cm，cm．是边上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点变化的过程中，线段的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 15．如图，正方形的边长为，点分别在、上，且，与相交于点，连接，则的最小值为 ． 16.（广西模拟）如图，AC为边长为的菱形ABCD的对角线，∠ABC＝60°，点M，N分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿BC，CA向终点C和A运动，连接AM和BN，求△APB面积的最大值是（　　） A． B． C． D． 17（柳南区校级模拟）如图，在边长为的等边△ABC中，动点D，E分别在BC，AC边上，且保持AE＝CD，连接BE，AD，相交于点P，则CP的最小值为　　． 18．如图，矩形，，，E为中点，F为直线上动点，B、G关于对称，连接，点P为平面上的动点，满足，则的最小值 ． 19．如图，四边形中，，，，，点是四边形内的一个动点，满足，则面积的最小值为 ． 20．如图，是⊙O的弦，点C在⊙O内，，连接，若⊙O的半径是4，则长的最小值为 ． 21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，且CD＝3，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为 ． 22．如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB＝13，AD＝5，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H．连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是 ． 23．【问题提出】 我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半，那么，在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？ 【初步思考】 (1)如图1，是的弦，，点、分别是优弧和劣弧上的点，则______°，______°． (2)如图2，是的弦，圆心角，点P是上不与A、B重合的一点，求弦所对的圆周角的度数（用m的代数式表示）____________． 【问题解决】 (3)如图3，已知线段，点C在所在直线的上方，且，用尺规作图的方法作出满足条件的点C所组成的图形（不写作法，保留作图痕迹）． 【实际应用】 (4)如图4，在边长为的等边三角形中，点E、F分别是边、上的动点，连接、，交于点P，若始终保持，当点E从点A运动到点C时，点P运动的路径长是______． 【题型03：四点共圆】 24.如图，正方形ABCD和正方形DEFG边长分别为a和b，正方形DEFG绕点D旋转，给出下列结论：①AG＝CE；②AG⊥CE；③点G、D、H、E四点共圆；④DH平分∠ADE；⑤AC2+EG2＝CG2+AE2，其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③⑤ 25.如图，AB＝AD＝6，∠A＝60°，点C在∠DAB内部且∠C＝120°，则CB+CD的最大值（　　） A．4 B．8 C．10 D．6 26．如图，在四边形中，，对角线平分，，且．    (1)证明：； (2)若，，求的长． 【题型04：瓜豆原理】 27．如图，正方形的边长为5，以为圆心，2为半径作，点为上的动点，连接，并将绕点逆时针旋转得到，连接，在点运动的过程中，长度的最大值是（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 圆的重难点题型汇编（二） 【题型01：线圆最值问题】 【题型02 ：定弦定角】 【题型03：四点共圆】 【题型04：瓜豆原理】 【题型01：线圆最值问题】 1．抛物线与x轴交于A，B两点，D是以为圆心，2为半径的上一动点，E为中点，则线段的长可能为（    ）    A．1 B．2.5 C．4 D．5 【答案】B 【分析】解一元二次方程可得、，即，再利用勾股定理求得，再根据中位线定理可得，进而即可求解． 【详解】解：连接， 设点、，则、是方程的两个根， 解得，， ∴、， ∴， ∵， ∴， ∵E为中点，O为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， 即， ∴， ∴的长可能为2.5， 故选：B．    【点睛】本题考查解一元二次方程、勾股定理、三角形中位线定理及三角形的三边关系，熟练掌握角形中位线定理及三角形的三边关系是解题的关键． 2．如图，在中，，点D是半径为4的上一动点，点M是的中点，则的最大值是（    ） A．7 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形斜边的中线的性质，三角形的中位线定理，三角形的三边关系等知识，如图，取的中点，连接，．利用直角三角形斜边中线的性质，三角形的中位线定理求出，，再利用三角形的三边关系即可解决问题． 【详解】解：如图，取的中点，连接，． ，，， ， 点是的中点， ， 点是的中点，点是的中点， ， ， ， 即的最大值是7． 故选：A． 3．如图，在矩形中，是矩形内一动点，且满足，则线段的最小值是（    ） A． B． C．8 D．5 【答案】A 【分析】根据矩形的性质，得，结合，得到故，得到在以为直径的圆E上，此时点E为的中点，当点E,P，D三点共线时，线段有最小值，根据勾股定理计算即可，本题考查了矩形的性质，辅助圆的构造方法，圆的性质，勾股定理，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 【详解】∵矩形中， ∴，，， ∵， ∴ 故， ∴在以为直径的圆E在矩形内部的弧上，此时点E为的中点， 连接，设与圆弧的交点为F， 当点E,P，D三点共线时，线段有最小值， 此时点P与点F重合， ∴， ∴， ∴， 故选A． 4．如图，正方形中，，E是的中点．以点C为圆心，长为半径画圆，点P是上一动点，点F是边上一动点，连接，若点Q是的中点，连接，，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】取点B关于直线的对称点M，连接，两线交于点O，连接，，，过O作于点N，根据勾定理求出，结合四点共线时最小即可得到答案； 【详解】解：取点B关于直线的对称点M，连接，两线交于点O，连接，，，过O作于点N， ∵点Q是的中点， ∴， ∴点Q在以O为圆心，半径为1的圆上运动， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴当、 、、四点共线时的值最小， ， ∴的最小值为： ， 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称最小距离和问题，正方形的轴对称性质，圆上动点最小距离问题，勾股定理，解题的关键是找到点Q的轨迹． 5．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，若点为抛物线上一点且横坐标为，点为轴上一点，点在以点为圆心，为半径的圆上，则的最小值 ． 【答案】/ 【分析】先求出点，点，作点关于轴对称的点，则点，连接交与轴于，交于，过点作轴于，连接，当点与点重合，点与点重合时，为最小，最小值为线段的长，然后可在中由勾股定理求出，进而可得，据此可得出答案． 【详解】解：对于，当时，， 解得：，， 点的坐标为， 对于，当时，， 点的坐标为， 作点关于轴对称的点，则点， 连接交与y轴于，交于，过点作轴于，连接， 当点与点重合，点与点重合时，为最小，最小值为线段的长． 理由如下： 当点与点不重合，点与点不重合时， 根据轴对称的性质可知：， ， 根据“两点之间线段最短”可知：， 即：， ， ， 即：， 当点与点重合，点与点重合时，为最小． 点，， ，，， ， 在中，，， 由勾股定理得：， ． 即为最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次函数与轴的交点，利用轴对称求最短路线，圆的性质，勾股定理等，解答此题的关键是准确的求出二次函数与轴的交点坐标，难点是确定当为最小时，点，的位置． 6．如图，已知的半径是，点，在上，且，动点在上运动（不与，重合），点为线段的中点，连接，则线段长度的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】取的中点，连接，，可得为的中位线，推出，进而可得点的轨迹为点为圆心，为半径的圆，当点位于线段与的交点时，取最小值，作辅助线构造直角三角形即可求解． 【详解】解：如图，取的中点，连接，， 点为线段的中点，点为的中点， 为的中位线， ， 点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆， 如下图所示，作交的延长线于点，当点位于线段与的交点时，取最小值，    ，， ， ， ， 在中，，， ， ， 线段长度的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形中位线的性质，圆内动点的轨迹，勾股定理，圆外一点到圆上点的距离，含度角的直角三角形的性质等，确定点的轨迹是解题的关键． 7．如图，抛物线与轴交于点A，与轴交于、，点A关于抛物线对称轴的对称点为点，点在轴上，点在以点为圆心，半径为的圆上，当取得最小值时，点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，考查函数图象上点的坐标特征、点的对称性等，利用轴对称确定最短路线是解题的关键． 依据题意，作点D关于y轴的对称点，连接交y轴于点E，交圆C于点F，则点E、F为所求点，即可求解． 【详解】解：对于， 令，则， 令，解得或， 故点A、B、C的坐标分别为， 抛物线的对称轴为直线，则点， 作点D关于y轴的对称点，连接交y轴于点E，交圆B于点F，则点E、F为所求点， 理由：∵点H、D关于y轴对称，则， 则为最小， 则最小， 设直线解析式为， 将代入，得， 解得，， ， 时， 点E的坐标为． 故答案为：． 8．如图，在矩形中，，，P为矩形内一点，，连接，则的最小值为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，点与圆的位置关系，以为直径作，连接在矩形内部交于点P，则此时有最小值，由矩形的性质及圆的概念可求解的长，利用勾股定理可求解的长，进而可求解． 【详解】解：如图，以为直径作，连接在矩形内部交于点P，则此时有最小值， 矩形中，，， ， ， ， 即的最小值为8． 故答案为：8． 9．如图，在矩形中，，，O为矩形的对角线的交点，以A为圆心，半径为1的圆，P为上的一个动点，连接，则的面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理、矩形的性质，作，延长至点B，由勾股定理可求，则，根据等面积法可求得，进而即可求解． 【详解】解：作，延长至点B，如图所示： ， ∵O为矩形的对角线的交点， ∴， ∴， 当过点A时，的面积最大，如图所示： ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连结OQ．则线段OQ的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，三角形中位线定理，勾股定理，圆的基本性质等知识； 连接，根据函数解析式，求坐标，然后求出，是线段的中点，是线段的中点，故是的中位线，当、、三点共线，且点在之间时，最小，即可求解． 【详解】连接， 因为抛物线与轴交于、两点， 令即， 解得或， ， ， ， ， ， 是线段的中点，是线段的中点， 故是的中位线， ， 最小，即最小， 即、、三点共线，且点在之间时，最小， ， ， 故答案为：． 11．如图，在矩形中，已知，，点是边上一动点点不与点，重合，连接，作点关于直线的对称点，连接，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查圆外一点到圆上一点的最值，轴对称的性质，矩形的性质．连接，得到，进而得到点在以点为圆心，为半径的圆上，当，，三点共线时，线段的长度最小，求出此时的长度即可．解题的关键是确定点的运动轨迹． 【详解】解：连接， 点和关于对称， ， 在以圆心，为半径的圆上， 当，，三点共线时，最短， ，， ， 故答案为：． 12．如图，点的坐标为轴于点，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】作点关于轴的对称点，根据三角形中位线的性质得到，求出的最小值即可． 【详解】解：如图，作点关于轴的对称点，    则点是的中点， 点为线段的中点， , 当最小时，最小， 由题意可得点在以为圆心，5为半径的圆上运动， 当在同一条直线上，且点在中间时，最小， ， ， 最小为， 最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，三角形的中位线，画出图形，确定最小时，的位置是解题的关键． 【题型02 ：定弦定角】 13.（秋•潜山市期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P在矩形的内部，连接PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，则PC的最小值是（　　） A．6 B．﹣3 C．2﹣4 D．4﹣4 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， ∴∠ABP+∠PBC＝90°， ∵∠PBC＝∠PAB， ∴∠PAB+∠PBA＝90°， ∴∠APB＝90°， ∴点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，连接OC交⊙O于P，此时PC最小， ∵OC＝＝＝2， ∴PC的最小值为2﹣4， 故选：C． 14．如图，在中，，cm，cm．是边上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点变化的过程中，线段的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由∠AEC＝90°知，点E在以AC为直径的⊙M的上（不含点C、可含点N），从而得BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点（图中点E′点），BE长度的最小值BE′＝BM−ME′． 【详解】如图， 由题意知，， 在以为直径的的上（不含点、可含点， 最短时，即为连接与的交点（图中点点）， 在中，，，则． ， 长度的最小值， 故选：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，三角形的三边关系等知识点，难度偏大，解题时，注意辅助线的作法． 15．如图，正方形的边长为，点分别在、上，且，与相交于点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，圆周角定理，勾股定理，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握的圆周角所对的弦是直径是解答本题的关键．通过证明，可证，则点在以为直径的一段弧上运动，当点在与弧的交点处时，最短，然后根据勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解∶四边形是正方形， ， 在和中 ， ， ， ， ∴， 点在以为直径的一段弧上运动， 设的中点为，则当点在与弧的交点处时，最短， ， ， ∴， ， 故答案为：． 16.（广西模拟）如图，AC为边长为的菱形ABCD的对角线，∠ABC＝60°，点M，N分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿BC，CA向终点C和A运动，连接AM和BN，求△APB面积的最大值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝CB＝CD＝AD， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝∠ABM＝60°， ∵点M，N分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿BC，CA向终点C和A运动， ∴BM＝CN， 在△ABM和△BCN中， ， ∴△ABM≌△BCN（SAS）， ∴∠BAM＝∠CBN， ∴∠ABP+∠CBN＝60°， ∴∠ABP+∠BAM＝60°， ∴∠APB＝180°﹣60°＝120°， ∴点P在弧AB上运动， ∴当＝时，△PAB的面积最大，最大值＝×2×1＝， 故选：D． 17（柳南区校级模拟）如图，在边长为的等边△ABC中，动点D，E分别在BC，AC边上，且保持AE＝CD，连接BE，AD，相交于点P，则CP的最小值为　　． 【答案】1 【解答】解：∵CD＝AE， ∴BD＝CE， 在△ABD和△BCE中， ， ∴△ABD≌△BCE（SAS）， 故∠BAD＝∠CBE， ∵∠APE＝∠ABE+∠BAD，∠APE＝∠BPD，∠ABE+∠CBE＝60°， ∴∠BPD＝∠APE＝∠ABC＝60°， ∴∠APB＝120°， ∴点P的运动轨迹是，∠AOB＝120°，连接CO， ∵OA＝OB，CA＝CB，OC＝OC， ∴△AOC≌△BOC（SSS）， ∴∠OAC＝∠OBC，∠ACO＝∠BCO＝30°， ∵∠AOB+∠ACB＝180°， ∴∠OAC+∠OBC＝180°， ∴∠OAC＝∠OBC＝90°， ∴OC＝AC÷cos30°＝2，OA＝OC＝1， ∴OP＝1， ∵PC≥OC﹣OP， ∴PC≥1， ∴PC的最小值为1． 18．如图，矩形，，，E为中点，F为直线上动点，B、G关于对称，连接，点P为平面上的动点，满足，则的最小值 ． 【答案】 【分析】由题意可知，，可得，可知点在以为弦，圆周角的圆上，（要使最小，则点要靠近蒂点，即点在的右侧），设圆心为，连接，，，，，过点作，可知为等腰直角三角形，求得，，，，再由三角形三边关系可得：，当点在线段上时去等号，即可求得的最小值． 【详解】解：∵B、G关于对称， ∴，且 ∵E为中点，则为的中位线， ∴， ∴， ∵，即， ∴点在以为弦，圆周角的圆上，（要使最小，则点要靠近蒂点，即点在的右侧） 设圆心为，连接，，，，，过点作， 则， ∵， ∴，则为等腰直角三角形， ∴， 又∵为中点， ∴，， 又∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， 由三角形三边关系可得：，当点在线段上时去等号， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称的性质，矩形的性质，隐形圆，三角形三边关系，正方形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，根据得知点在以为弦，圆周角的圆上是解决问题的关键． 19．如图，四边形中，，，，，点是四边形内的一个动点，满足，则面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】取的中点，连接，过点作交的延长线于点，过点作于，交于，则，通过计算得出当三点共线时，有最小值，求出最小值即可． 【详解】解：如图， 取的中点，连接，过点作交的延长线于点，过点作于，交于，则， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为等腰梯形， ， ，，， ， 点在以点为圆心，2为半径的圆上， ， ， ， ，， ， ， ，，， ， 当三点共线时，有最小值， 面积的最小值为． 【点睛】本题考查了解直角三角形、隐圆、直角三角形的性质等知识点，点位置的确定是解题关键． 20．如图，是⊙O的弦，点C在⊙O内，，连接，若⊙O的半径是4，则长的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】延长交圆O于点D，连接，过O点作交于点E，则是等边三角形，再确定点C在以E为圆心，为半径的圆上，则的最小值为，再求解即可． 【详解】解：如图，延长交圆O于点D，连接，过O点作交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点C在以E为圆心，为半径的圆上， 在中，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆中的最小距离问题，熟练掌握垂径定理，等边三角形的性质，直角三角形的勾股定理，根据定角定弦确定点C的轨迹是解题的关键． 21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，且CD＝3，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】先由折叠判断出F的运动轨迹是为以D为圆心，CD的长度为半径的圆，当B、D、F共线且F在B、D之间时BF最小，根据勾股定理及圆的性质求出此时BD、BF的长度即可． 【详解】解：由折叠知，F点的运动轨迹为：以D为圆心，CD的长度为半径的圆，如图所示， 可知，当点B、D、F共线，且F在B、D之间时，BF取最小值， ∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10， ∴BC=6， 在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD=， ∴BF=BD－DF=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质、圆的性质、勾股定理解直角三角形的知识，该题涉及的最值问题属于中考常考题型，根据折叠确定出F点运动轨迹是解题关键． 22．如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB＝13，AD＝5，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H．连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是 ． 【答案】 【分析】连接BD，取AD的中点E，连接BE，由题意先判断出点H在以点E为圆心，AE为半径的圆上，当B、H、E三点共线时，BH取得最小值，然后在直角三角形中，利用勾股定理求出BE的长，利用直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，求出EH的长，由即可算出BH的长度． 【详解】解：连接BD，取AD的中点E，连接BE，如下图： ∵DH⊥AC ∴点H在以点E为圆心，AE为半径的圆上，当B、H、E三点共线时，BH取得最小值 ∵AB是直径 ∴ 在中，AB=13，AD=5 由勾股定理得： 即： ∵ ∴ ∵E为AD的中点 ∴ 在中，， 由勾股定理得： 即： ∵ ∴ 又∵DH⊥AC，且点E为AD的中点 ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查勾股定理解三角形，直径所对的圆周角为直角，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，隐圆问题的处理等相关知识点，能够判断出从动点的运动轨迹是解题的关键． 23．【问题提出】 我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半，那么，在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？ 【初步思考】 (1)如图1，是的弦，，点、分别是优弧和劣弧上的点，则______°，______°． (2)如图2，是的弦，圆心角，点P是上不与A、B重合的一点，求弦所对的圆周角的度数（用m的代数式表示）____________． 【问题解决】 (3)如图3，已知线段，点C在所在直线的上方，且，用尺规作图的方法作出满足条件的点C所组成的图形（不写作法，保留作图痕迹）． 【实际应用】 (4)如图4，在边长为的等边三角形中，点E、F分别是边、上的动点，连接、，交于点P，若始终保持，当点E从点A运动到点C时，点P运动的路径长是______． 【答案】(1)， (2)或 (3)见详解 (4) 【分析】（1）根据圆周角定理及圆内接四边形对角互补即可得到答案； （2）根据圆周角定理及圆内接四边形对角互补即可得到答案； （3）根据圆内接四边形对角互补可得对角为，根据圆心角等于圆周角两倍即可得到圆心角为画出圆心角即可得到圆心与半径再画圆弧即可得到答案； （4）根据题意易得，即可得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， 故答案为：，； （2）解：当点P在优弧上点为，在劣弧上的点为， ∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， 综上所述：弦所对的圆周角的度数为或； （3）解：∵， ∴AB所在直线的下方点M，存在， 即A、B、P、M四点共圆， 作垂直平分线交于点N， 以点N为圆心为半径画下圆弧交垂直平分线于一点即为圆心O点， 以O为圆心为半径画圆弧； 如图所示，满足条件的点C所组成的图形为以O为圆心、OA为半径的． （4）解：由题意可， ∵三角形是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点P的路径是以为弦的圆弧， ∴弦所对圆周角为，圆心角为，半径为， ∴点P运动的路径长是：． 【点睛】本题考查了动点问题，涉及到了辅助圆的知识、一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半、一条弦所对的圆周角相等或互补、圆内接四边形对角互补、尺规作图——作垂线等内容，解题的关键是根据题意找到定角，确定动点轨迹． 【题型03：四点共圆】 24.如图，正方形ABCD和正方形DEFG边长分别为a和b，正方形DEFG绕点D旋转，给出下列结论：①AG＝CE；②AG⊥CE；③点G、D、H、E四点共圆；④DH平分∠ADE；⑤AC2+EG2＝CG2+AE2，其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③⑤ 【答案】D 【解答】解：在△ADG和△CDE中， ， ∴△ADG≌△CDE（SAS）， ∴AG＝CE； 连接AC， ∵△ADG≌△CDE， ∴∠DAG＝∠DCE， ∵∠DAG+∠CAG+∠ACD＝90°， ∴∠DCE+∠CAG+∠ACD＝90°， 即∠AHC＝180°﹣（∠DCE+∠CAG+∠ACD）＝90°， ∴AG⊥CE； ∵AG⊥CE，∠GDE＝90°， ∴点G、D、H、E四点在以EG为半径的圆上； ∵a和b不一定相等， ∴DH不一定平分∠ADE； 连接AC，AE，EG，CG， ∵AH2+CH2＝AC2，HG2+HE2＝EG2 ∴AC2+EG2＝AH2+CH2+HG2+HE2， ∵AH2+EH2＝AE2，CH2+HG2＝CG2， ∴AE2+CG2＝AH2+CH2+HG2+HE2， 即AC2+EG2＝CG2+AE2， ∴①②③⑤结论正确； 故选：D． 25.如图，AB＝AD＝6，∠A＝60°，点C在∠DAB内部且∠C＝120°，则CB+CD的最大值（　　） A．4 B．8 C．10 D．6 【答案】A 【解答】解：如图，连接AC，BD，在AC上取点M使DM＝DC， ∵∠DAB＝60°，∠DCB＝120°， ∴∠DAB+∠DCB＝180°， ∴A，B，C，D，四点共圆， ∵AD＝AB，∠DAB＝60°， ∴△ADB是等边三角形， ∴∠ABD＝∠ACD＝60°， ∵DM＝DC， ∴△DMC是等边三角形， ∴∠ADB＝∠ACD＝60°， ∴∠ADM＝∠BDC， ∵AD＝BD， ∴△ADM≌△BDC（SAS）， ∴AM＝BC， ∴AC＝AM+MC＝BC+CD， ∵四边形ABCD的周长为AD+AB+CD+BC＝AD+AB+AC， 且AD＝AB＝6， ∴当AC最大时，四边形ABCD的周长最大，则CB+CD最大， 此时C点在的中点处， ∴∠CAB＝30°， ∴AC的最大值＝AB×cos30°＝4， ∴CB+CD最大值为AC＝4， 故选：A． 26．如图，在四边形中，，对角线平分，，且．    (1)证明：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由题意推出，从而得到、、、四点共圆，进而得出结论即可； （2）首先根据已知信息求出，再结合四点共圆的结论，在中求解即可． 【详解】（1）证：∵， ∴， ∵， ∴， ∴、、、四点共圆， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∴在中，， ∵， ∴，， ∵、、、四点共圆， ∴， ∴在中，， ∴． 【点睛】本题考查四点共圆的证明、圆的内接四边形的性质，以及解直角三角形等，掌握圆当中的重要结论，准确求解直角三角形是解题关键． 【题型04：瓜豆原理】 27．如图，正方形的边长为5，以为圆心，2为半径作，点为上的动点，连接，并将绕点逆时针旋转得到，连接，在点运动的过程中，长度的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 通过画图发现，点的运动路线为以A为圆心，2为半径的圆，当在对角线延长线上时，最大，连接，先证明，则，再利用勾股定理求对角线的长，即可得出长度的最大值． 【详解】解：如图，当在对角线延长线上时，最大，连接， 由旋转得：， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴在以点A为圆心，半径为2的圆上， 在中，， ∴， 即长度的最大值为， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理，三角形全等的判定与性质，旋转的性质和最大值问题，寻找点的运动轨迹是本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$