24.2.1 点和圆的位置关系 学案2023-2024学年2023-2024学年人教版 九年级数学上册 【新授预习】

24.2.1 点和圆的位置关系 学案 ( 目标 解读 ) （一）学习目标： 1、理解并掌握点和圆的三种位置关系及数量间的关系，掌握过不在同一直线上的三点画圆的方法。 过程与方法 2、 通过生活中实际例子，探求点和圆的三种位置关系，从而渗透数形结合、分类讨论等数学思想。 3、通过本节知识的学习，体验点和圆的位置关系与生活中的射击、投掷等活动紧密相连，感知数学就在身边，从而更加热爱生活，激发学生学习数学的兴趣。 （二）学习重难点： 学习重点：点和圆的三种位置关系；过三点的圆 学习难点：点和圆的三种位置关系及数量关系 ( 基础梳理 ) 阅读课本，识记知识： （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． ( 典例探究 ) 【例1】已知的半径为4，点A到圆心O的距离为4，则点A与的位置关系是（    ） A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．无法确定 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴， ∴点A在圆上 【例2】 以坐标原点为圆心，5为半径作圆，则下列各点中，一定在内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查点与圆的位置关系，计算圆心（坐标原点）到各个选项中点的距离，然后与半径比较，当距离时，点在圆内，熟记两点之间距离公式是解决问题的关键． 【详解】解：A、坐标原点到的距离为，一定在内，符合题意； B、坐标原点到的距离为，在上，不符合题意； C、坐标原点到的距离为，在外，不符合题意； D、坐标原点到的距离为，在外，不符合题意； 故选：A． ( 达标测试 ) 1、 选择题 1．已知的半径长为2，若，则可以得到的正确图形可能是（    ） A．       B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离和圆的半径的大小关系判断点与圆的位置关系即可，解题的关键是正确理解根据数据判断出点到圆心的距离和圆的半径的大小关系． 【详解】解：∵，的半径长为2， ∴ ∴点A在圆外. 故选：D. 2．已知的半径为4，若，则点与圆的位置关系（    ） A．在圆上 B．在圆内 C．在圆外 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查点与圆的位置关系．根据题意将与半径作比较可知半径大，继而得到本题答案． 【详解】解：∵的半径为4，， ∴， ∴点在圆内， 故选：B． 3．如图，在中，，，，，以点A为圆心，为半径画圆，则点D与的位置关系是（）    A．点D在外 B．点D在上 C．点D在内 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，来判断点和圆的位置关系．当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内． 要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，本题可由勾股定理等性质算出点与圆心的距离． 【详解】解：根据勾股定理求得斜边， 则， ∵， ∴点D在内． 故选：C． 4．在中，若两条直角边的长分别为6和8，则这个三角形的外接圆半径为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、三角形外接圆，根据勾股定理得出，再由直角三角形的外接圆的直径是斜边长即可得出答案，熟练掌握直角三角形的外接圆的直径是斜边长是解此题的关键． 【详解】解：如图， 在中，若两条直角边的长分别为6和8，即，， ， ， 是外接圆直径， 这个三角形的外接圆半径为， 故选：C． 5．平面内， 已知的半径是， 线段， 则点P（     ） A．在外 B．在上 C．在内 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查点与圆的位置关系，当点与圆心的距离大于半径时，点在圆外；当点与圆心的距离等于半径时，点在圆上；当点与圆心的距离小于半径时，点在圆内；由此判断即可． 【详解】解：的半径是， 线段， 点P到圆心O的距离小于半径， 点P在内， 故选C． 6．在同一平面内，已知的半径为5，点A在外，则的长度可以等于（    ） A．6 B．5 C．3 D．0 【答案】A 【分析】本题考查点与圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，求出的取值范围． 根据题意可以求得的范围，从而进行解答． 【详解】的半径为5，点A在外 ∴的长度可以等于6． 故选：A． 7．雷达通过无线电的方法发现目标并测定它们的空间位置，现有一款监测半径为的雷达，监测点的分布情况如图，如果将雷达装置设在P点，每一个小方格的边长为，那么M、N、O、Q四个点中能被雷达监测到的点有（    ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，以P为圆心5为半径作圆，可得结论． 【详解】解：根据题意，以P为圆心5为半径作圆，，则过点，图像如下： 观察图像可知，能被雷达监测到的点由N、O、Q三个． 故选：C． 8．如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点、，使得的外心为，则的长度为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，勾股定理，关键是掌握三角形的外心的性质．三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，由此得到，从而确定B、C的位置，然后利用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵的外心为O， ， ， ， 、是方格纸格线的交点， 、的位置如图所示， ． 故选：D． 9．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小． 【详解】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 故选：A． 10．已知点是外一点，且的半径为，则的长可能为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：若半径为，点到圆心的距离为，则有当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．根据点在圆外，点到圆心的距离大于圆的半径可对各选项进行判断． 【详解】解：点是外一点， ， 的长可能为， 故选：D． 2、 填空题 11．如图，在矩形中，，，是上的一动点（不与点重合）．连接，过点作，垂足为，则线段长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，三角形的三边关系等知识，首先证明点的运动轨迹是以为直径的 ，连接，利用三角形的三边关系即可得出结论，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，利用三角形的三边关系解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∴点的运动轨迹是以为直径的，连接，如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的最小值为， 故答案为：． 12．如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与x轴分别交于A、B两点．若点A、点B关于原点O对称，则当取最大值时，点A的坐标为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，勾股定理，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出取得最小值时点的位置． 由中知要使取得最大值，则需取得最大值，连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值，据此求解可得． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵点、点关于原点对称， ∴， ∴， 若要使取得最大值，则需取得最大值， 连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值， 过点作轴于点，    则、， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∴， 即点A的坐标为， 故答案为：． 1 3．在中，若两直角边长为、，则它的外接圆的面积为 ． 【答案】/平方厘米 【分析】此题考查的是求三角形的外接圆的面积，掌握圆周角为直角所对的弦是直径是解决此题的关键． 根据题意，写出已知条件并画出图形，然后根据勾股定理即可求出，再根据圆周角为直角所对的弦是直径即可得出结论． 【详解】如图，已知：，， 由勾股定理得： ， ∵， ∴是的直径， ∴这个三角形的外接圆直径是，半径为， ∴面积为， 故答案为：． 14．在平面直角坐标系中，点，以原点为圆心，为半径作．若在内，设线段的长度为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，勾股定理，二次函数的最值问题，先求出，再利用勾股定理得到，根据二次函数的性质求出有最小值，再由点P在内得到，据此可得答案． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴当时，有最小值，即有最小值， ∵在内， ∴， ∴ 故答案为：． 15．如图，是半的直径，点C在半上，，．D是上的一个动点，连接，过点C作于E，连接．在点D移动的过程中，的最小值为 ．    【答案】cm 【分析】本题主要考查了勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是确定点E的运动轨迹是在以为直径的圆上运动，属于中考填空题中的压轴题． 如图，取的中点为，连接、，在点D移动的过程中，点E在以为直径的圆上运动，当、E、B三点共线时，的值最小，最小值为，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：如图，取的中点为，连接、，    ， ， ， 在点D移动的过程中，点E在以为直径的圆上运动， 是直径， ， 在中，， ， 在中，， ， 当、E、B三点共线时，的值最小，最小值为：（cm）， 故答案为：cm． 三、解答题 16．如图，在 ，，尺规作图：求作，使得经过三点． （保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】此题主要考查三角形的外接圆以及尺规作线段的垂直平分线，掌握直角三角形外接圆的圆心就是它的斜边中点是解题的关键．作的垂直平分线，找到的中点，则以为直径作圆就是三角形的外接圆． 【详解】解：如图所示，即为所求． 17.如图在的方格中有一个格点（顶点都在格点上）． (1)在图1中画出格点外接圆的圆心，并保留作图痕迹． (2)在图2中找到一个格点，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图﹣应用与设计作图、三角形的外接圆与外心、等腰直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）分别作线段，的垂直平分线，相交于点，则点即为外接圆的圆心； （2）由图可得，取格点，使，且，则，即． 【详解】（1）如图1，点即为所求； （2）如图2，点即为所求． 18．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点、（点在点的左边），点是抛物对称轴上的任意一点，过点作轴的垂线． (1)求的值，并直接写出该抛物线顶点的坐标； (2)连结、、，则周长的最小值为 ． (3)当该抛物线上到轴的距离是到直线的距离的2倍的点恰好有三个时，求与抛物线的交点坐标． (4)连接、，当点是的外心时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)，该抛物线顶点的坐标为 (2) (3)l与抛物线的交点坐标为 (4) 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形外心的性质、点的对称性、顶点的特性等， （1）将点A的坐标代入抛物线表达式，即可求解； （2）点C关于抛物线对称轴得对称点为点B，连接交抛物线的对称轴于点P，则此时，周长最小，即可求解； （3）当该抛物线上到x轴的距离是到直线l的距离的2倍的点恰好有三个时，此时抛物线上有一个点是抛物线的顶点，即可求解； （4）由点A、B的坐标知，为等腰直角三角形，则的中垂线为一、三象限角平分线，即为，而的中垂线为抛物线的对称轴，上述两条直线的交点即为点P． 【详解】（1）解：将点的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：， 该抛物线顶点的坐标为； （2）如图：点C关于抛物线对称轴得对称点为点B，连接交抛物线的对称轴于点P，则此时周长最小， 理由如下： 抛物线的表达式为：， 令，解得：，， ，， 又， 为最小， 则周长的最小值， 故答案为：； （3）当该抛物线上到x轴的距离是到直线l的距离的2倍的点恰好有三个时，此时抛物线上有 一个点是抛物线的顶点，则直线l在顶点和x轴的中间， 即直线l的表达式为：， 当时，， 解得：， 则l与抛物线的交点坐标为：； （4）有点、的坐标可知，为等腰直角三角形， 则的中垂线为一、三象限的角平分线，即，而的中垂线为抛物线的对称轴， 上述两条直线的交点即为点P， 当时，，即外心为点． ( 自学反思 ) （一）课后反思： 本节课我学会了： 本节课存在的问题： （2） 把本节课所学知识画出思维导图 学科网（北京）股份有限公司 $$ 24.2.1 点和圆的位置关系 学案 ( 目标 解读 ) （一）学习目标： 1、理解并掌握点和圆的三种位置关系及数量间的关系，掌握过不在同一直线上的三点画圆的方法。 过程与方法 2、 通过生活中实际例子，探求点和圆的三种位置关系，从而渗透数形结合、分类讨论等数学思想。 3、通过本节知识的学习，体验点和圆的位置关系与生活中的射击、投掷等活动紧密相连，感知数学就在身边，从而更加热爱生活，激发学生学习数学的兴趣。 （二）学习重难点： 学习重点：点和圆的三种位置关系；过三点的圆 学习难点：点和圆的三种位置关系及数量关系 ( 基础梳理 ) 阅读课本，识记知识： （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． ( 典例探究 ) 【例1】已知的半径为4，点A到圆心O的距离为4，则点A与的位置关系是（    ） A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．无法确定 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴， ∴点A在圆上 【例2】 以坐标原点为圆心，5为半径作圆，则下列各点中，一定在内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查点与圆的位置关系，计算圆心（坐标原点）到各个选项中点的距离，然后与半径比较，当距离时，点在圆内，熟记两点之间距离公式是解决问题的关键． 【详解】解：A、坐标原点到的距离为，一定在内，符合题意； B、坐标原点到的距离为，在上，不符合题意； C、坐标原点到的距离为，在外，不符合题意； D、坐标原点到的距离为，在外，不符合题意； 故选：A． ( 达标测试 ) 1、 选择题 1．已知的半径长为2，若，则可以得到的正确图形可能是（    ） A．       B．   C．   D．   2．已知的半径为4，若，则点与圆的位置关系（    ） A．在圆上 B．在圆内 C．在圆外 D．无法确定 3．如图，在中，，，，，以点A为圆心，为半径画圆，则点D与的位置关系是（）    A．点D在外 B．点D在上 C．点D在内 D．不能确定 4．在中，若两条直角边的长分别为6和8，则这个三角形的外接圆半径为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．平面内， 已知的半径是， 线段， 则点P（     ） A．在外 B．在上 C．在内 D．不能确定 6．在同一平面内，已知的半径为5，点A在外，则的长度可以等于（    ） A．6 B．5 C．3 D．0 7．雷达通过无线电的方法发现目标并测定它们的空间位置，现有一款监测半径为的雷达，监测点的分布情况如图，如果将雷达装置设在P点，每一个小方格的边长为，那么M、N、O、Q四个点中能被雷达监测到的点有（    ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点、，使得的外心为，则的长度为（    ） A．4 B．5 C． D． 9．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 10．已知点是外一点，且的半径为，则的长可能为(    ) A． B． C． D． 2、 填空题 11．如图，在矩形中，，，是上的一动点（不与点重合）．连接，过点作，垂足为，则线段长的最小值为 ． 12．如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与x轴分别交于A、B两点．若点A、点B关于原点O对称，则当取最大值时，点A的坐标为 ．    1 3．在中，若两直角边长为、，则它的外接圆的面积为 ． 14．在平面直角坐标系中，点，以原点为圆心，为半径作．若在内，设线段的长度为，则的取值范围是 ． 15．如图，是半的直径，点C在半上，，．D是上的一个动点，连接，过点C作于E，连接．在点D移动的过程中，的最小值为 ．    三、解答题 16．如图，在 ，，尺规作图：求作，使得经过三点． （保留作图痕迹，不写作法） 17.如图在的方格中有一个格点（顶点都在格点上）． 18．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点、（点在点的左边），点是抛物对称轴上的任意一点，过点作轴的垂线． (1)求的值，并直接写出该抛物线顶点的坐标； (2)连结、、，则周长的最小值为 ． (3)当该抛物线上到轴的距离是到直线的距离的2倍的点恰好有三个时，求与抛物线的交点坐标． (4)连接、，当点是的外心时，直接写出点的坐标． ( 自学反思 ) （一）课后反思： 本节课我学会了： 本节课存在的问题： （2） 把本节课所学知识画出思维导图 学科网（北京）股份有限公司 $$