第02讲：空间向量的数量积运算（4大题型）-2024-2025学年新高二数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019选择性必修第一册）

第02讲：空间向量的数量积运算 【考点归纳】 考点一、数量积的计算 考点二、投影向量 考点三、利用数量积证明垂直问题 考点四、用数量积求解夹角和模 【知识梳理】 知识点一　空间向量的夹角 1．定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． 2．范围：0≤〈a，b〉≤π.，特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b. 知识点二　空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 性质 ①a⊥b⇔a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2 运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). 知识点三　 向量a的投影 1．如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))． 2．如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 【例题详解】 题型一、数量积的计算 1．（22-23高二上·湖南怀化·期末）如图，各棱长都为的四面体中 ，，则向量（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·山西吕梁·期末）如图所示，平行六面体中，，.    (1)用向量表示向量，并求； (2)求. 3．（20-21高二上·山东潍坊·期中）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，. (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，，求的值. 题型二、投影向量 4．（23-24高二上·河北唐山·期中）在空间四边形中，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高二下·安徽合肥）已知空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·江苏·课前预习）已知正四面体的棱长为1，如图所示. (1)确定向量在直线上的投影向量，并求·； (2)确定向量在平面上的投影向量，并求. 题型三、利用数量积证明垂直问题 7．（2023高二·全国·）如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)判断与是否垂直． 8．（21-22高一下·山东青岛·期末）如图所示，在三棱柱中，，是的中点. (1)用表示向量； (2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由. 9．（23-24高二上·安徽·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为3的菱形，. (1)利用空间向量证明； (2)求的长. 题型四、用数量积求解夹角和模 10．（22-23高一下·陕西宝鸡·期末）如图所示，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，M为与的交点.若，，.    (1)用，，表示； (2)求. 11．（24-25高一上·全国）如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且.求： (1)的长； (2)直线与所成角的余弦值. 12．（23-24高二下·江苏常州）如图所示，平行六面体中，． (1)用向量表示向量，并求； (2)求． 【专项训练】 一、单选题 13．（23-24高二下·江苏）如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角是（　　）    A．30° B．45° C．60° D．90° 14．（23-24高二上·江西萍乡·期末）已知，，是空间中两两垂直的单位向量，则（    ） A． B．14 C． D．2 15．（23-24高二上·云南昆明·期末）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为，则（    ） A． B．1 C． D．2 16．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）在空间四边形中，，，则的值为（    ） A． B． C． D．0 17．（23-24高二上·广东河源·期末）如图，在正三棱锥中，高，，点分别为的中点，则（   ） A． B． C． D． 18．（23-24高二上·重庆）在正方体中，有下列命题：①；②；③与的夹角为.其中正确命题的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 19．（23-24高二上·河南·阶段练习）如图，在三棱锥中，，，，，为的中点，为的中点，为的重心，与相交于点，则的长为（    ） A． B．1 C． D． 20．（23-24高二上·安徽宣城·阶段练习）如图，已知矩形，沿对角线将折起，当二面角的余弦值为时，B与D之间距离为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 21．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）在正方体中，下列命题是真命题的是（    ） A． B． C． D．正方体的体积为 22．（23-24高二上·广东·期末）如图，在直棱柱中，分别是的中点，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．直线与平面的夹角正切值为 D． 23．（23-24高二上·广东深圳·期末）在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点.则下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高二上·河北沧州·期末）在棱长为2的正四面体A-BCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G是△BCD的重心，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．在上的投影向量为 D． 25．（23-24高二上·海南·期末）如图，在四棱柱中，底面是正方形，，且，则（    ） A． B． C． D．直线与平面所成的角为 三、填空题 26．（23-24高二下·上海·期中）如图，圆柱的底面半径为2，高为分别是上、下底面圆周上的两个点，若，则 . 27．（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）如图，在三棱锥中，平面，则 28．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）在三棱锥中，和都是等边三角形，，，为棱上一点，则的最小值是 ． 29．（23-24高二下·福建漳州·阶段练习）在平行六面体中，，，，，，则= 30．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知正四面体的棱长为4，空间内动点满足，则的最大值为 . 四、解答题 31．（23-24高二上·河南开封·期末）如图，在空间四边形ABCD中，，，，，. (1)求；(2)求CD的长. 32．（23-24高二上·重庆·期末）如图，在平行六面体中，，，，，，，与相交于点．        (1)求； (2)求的长． 33．（23-24高二上·湖北·期末）如图，平行六面体的底面是菱形，且，，． (1)求的长．(2)求异面直线与所成的角的余弦值． 34．（23-24高二上·广东江门·期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长度都为2，且两两夹角为．求： (1)的长；(2)与夹角的余弦值． 35．（23-24高二上·江西赣州·期中）在平行六面体中，，，E为线段上更靠近的三等分点 (1)用向量，，表示向量；(2)求；(3)求. 36．（23-24高二上·湖北十堰·期中）如图，已知正方体的棱长为4，M，N，G分别是棱，BC，的中点，设Q是该正方体表面上的一点，若．    (1)求点Q的轨迹围成图形的面积； (2)求的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲：空间向量的数量积运算 【考点归纳】 考点一、数量积的计算 考点二、投影向量 考点三、利用数量积证明垂直问题 考点四、用数量积求解夹角和模 【知识梳理】 知识点一　空间向量的夹角 1．定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． 2．范围：0≤〈a，b〉≤π.，特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b. 知识点二　空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 性质 ①a⊥b⇔a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2 运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). 知识点三　 向量a的投影 1．如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))． 2．如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 【例题详解】 题型一、数量积的计算 1．（22-23高二上·湖南怀化·期末）如图，各棱长都为的四面体中 ，，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量的运算可得，，由向量数量积的定义即可得到答案. 【详解】由题得夹角，夹角，夹角均为， ， ， ， 故选：A. 2．（23-24高二上·山西吕梁·期末）如图所示，平行六面体中，，.    (1)用向量表示向量，并求； (2)求. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据空间向量的线性运算，得到，结合向量的数量积的运算法则，即可求解； （2）由空间向量的运算法则，得到，结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】（1）解：根据空间向量的线性运算，可得， 可得 ， 所以. （2）解：由空间向量的运算法则，可得， 因为且， 所以 . 3．（20-21高二上·山东潍坊·期中）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，. (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，，求的值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算求出即可； （2）根据向量的运算性质代入计算即可. 【详解】（1）， ， 故 ∵点E为AD的中点， 故. （2）由题意得， 故， 故 . 题型二、投影向量 4．（23-24高二上·河北唐山·期中）在空间四边形中，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在四面体中，用向量加法法则表示，再结合投影向量的计算方法求解. 【详解】在四面体中，因为， 设，且，， 则， 在上的投影向量为. 故选：B 5．（22-23高二下·安徽合肥·开学考试）已知空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意和投影向量的概念计算即可求解. 【详解】，，与夹角的余弦值为， 在上的投影向量为 . 故选：D． 6．（23-24高二下·江苏·课前预习）已知正四面体的棱长为1，如图所示. (1)确定向量在直线上的投影向量，并求·； (2)确定向量在平面上的投影向量，并求. 【答案】(1)投影向量见解析， (2)投影向量见解析， 【分析】（1）（2）利用投影向量的定义及空间垂直关系确定投影向量，再求数量积. 【详解】（1）在正四面体OABC中，取OB的中点P，连接，则有， 因此即为在直线上的投影向量. 所以· （2）在正四面体中，设O在底面内的投影为Q，易知Q为底面中心，则平面, 连接并延长交于M，则M为中点，， 且即为平面内的投影向量. ∴ 题型三、利用数量积证明垂直问题 7．（2023高二·全国·）如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)判断与是否垂直． 【答案】(1) (2)垂直 【分析】（1）根据数量积的定义直接计算即可； （2）计算与的数量积，根据结果可得答案. 【详解】（1）正方体中，， 故. （2）由题意， ， ， 故与垂直. 8．（21-22高一下·山东青岛·期末）如图所示，在三棱柱中，，是的中点. (1)用表示向量； (2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，时，. 【分析】（1）结合图形由空间向量的线性运算计算可得； （2）设，用向量表示，由向量垂直根据空间向量的数量积的坐标运算求出即可. 【详解】（1） （2）假设存在点，使，设， 显然. 因为，所以， 即 . 设，又， 即， 解得， 所以当时，. 9．（23-24高二上·安徽·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为3的菱形，. (1)利用空间向量证明； (2)求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）以为基底，表达出，计算出，证明出结论； （2）在（1）基础上，表达出，平方后得到，开方后得到答案. 【详解】（1）证明：设，则构成空间的一个基底， ， ， 所以 ， 所以. （2）由（1）知， 所以 . 所以. 题型四、用数量积求解夹角和模 10．（22-23高一下·陕西宝鸡·期末）如图所示，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，M为与的交点.若，，.    (1)用，，表示； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量基本定理运算求得； （2）求出，然后利用模平方可得答案. 【详解】（1）由已知，而显见为中点， 所以，又， 故. （2）由已知且它们彼此的夹角都是， 所以， 故， 所以. 11．（24-25高一上·全国·假期作业）如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且.求： (1)的长； (2)直线与所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的运算，表示出，根据向量模的计算，即可求得答案； （2）选定基底表示，求出向量的数量积以及它们的模，根据向量夹角公式求出的夹角的余弦值，即可求得直线与所成角的余弦值. 【详解】（1）由题意得， 所以 ； （2）， 所以 ， ，, ， 故， 由于异面直线所成角的范围为大于小于等于， 所以直线与AC所成角的余弦值为. 12．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）如图所示，平行六面体中，． (1)用向量表示向量，并求； (2)求． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）借助空间向量的线性运算与模长与数量积的关系计算即可得； （2）结合题意，借助空间向量的线性运算与夹角公式计算即可得. 【详解】（1）， 则 ， 所以. （2）由空间向量的运算法则，可得， 因为且， 所以 ， ， 则. 【专项训练】 一、单选题 13．（23-24高二下·江苏）如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角是（　　）    A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】C 【分析】由线面垂直推导出线线垂直，再利用向量运算及夹角公式运算求解. 【详解】∵平面，平面，平面， ∴. ∵，，∴， 又，∴E为的中点， ∴. ∵，∴. ∵ ∴＝, 又，∴. 故选：C. 14．（23-24高二上·江西萍乡·期末）已知，，是空间中两两垂直的单位向量，则（    ） A． B．14 C． D．2 【答案】A 【分析】利用空间向量数量积的性质即可求解. 【详解】依题意得，，； 所以， 故选：A. 15．（23-24高二上·云南昆明·期末）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】利用基底法表示得与，再利用空间向量的数量积运算即可得解 . 【详解】依题意，记，，， 则，，则， 因为， ， 所以. 故选：D. 16．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）在空间四边形中，，，则的值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】先利用题给条件求得的值，进而求得的值. 【详解】如图所示， ∵ ， 又，， 则 ∴，∴，. 故选：D 17．（23-24高二上·广东河源·期末）如图，在正三棱锥中，高，，点分别为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，求得，得到，结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】在等边中，因为，可得的高为， 所以， 在直角中，可得， 又因为分别为的中点，可得， 在中，可得， 所以. 故选：B. 18．（23-24高二上·重庆·阶段练习）在正方体中，有下列命题：①；②；③与的夹角为.其中正确命题的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据正方体的性质，结合空间向量线性运算性质、数量积的运算性质、线面垂直的判定定理、共线向量的性质逐一判断即可. 【详解】①由及正方体棱长与体对角线关系，故，①正确； ②， 而面，面，则，又， ，面，故面， 又面，故，则，②正确； ③设该正方体的棱长为， ， 所以， 因为两个向量的夹角的范围为， 所以与的夹角为，③不正确， 故选：C. 19．（23-24高二上·河南·阶段练习）如图，在三棱锥中，，，，，为的中点，为的中点，为的重心，与相交于点，则的长为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算，结合三点共线可得，即可根据模长公式求解. 【详解】设，由题意得， 则. 设， 则,故. 由得， 得， 所以 ， 故选：D 20．（23-24高二上·安徽宣城·阶段练习）如图，已知矩形，沿对角线将折起，当二面角的余弦值为时，B与D之间距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的线性运算及数量积公式计算模长即可. 【详解】过和分别作，， 在矩形，， ， ，则，即， 平面与平面所成角的余弦值为， ， ， ， 则， 即与之间距离为， 故选：B． 二、多选题 21．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）在正方体中，下列命题是真命题的是（    ） A． B． C． D．正方体的体积为 【答案】ABC 【分析】根据空间向量运算、夹角、体积等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设正方体的棱长为， A选项， ，A选项正确； B选项， ，B选项正确； C选项，由于三角形是等边三角形，所以，C选项正确； D选项，，所以D选项错误. 故选：ABC 22．（23-24高二上·广东·期末）如图，在直棱柱中，分别是的中点，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．直线与平面的夹角正切值为 D． 【答案】BC 【分析】 对于A：直接求解判断；对于B：通过证明面来判断；对于C：为直线与平面的夹角，计算其正切值即可；对于D：分别求出，，然后利用公式计算即可. 【详解】对于A：因为， 所以， 则，A错误； 对于B：因为，为线段中点， 所以， 又面面，面面，面， 所以面，又面， 所以，B正确； 对于C：因为面， 所以面， 所以为直线与平面的夹角， 又，C正确； 对于D： ， 又， 所以，D错误. 故选：BC. 23．（23-24高二上·广东深圳·期末）在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点.则下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据空间向量的线性运算判断AD，利用基底法结合空间向量的数量积运算判断BC. 【详解】棱长为2的正四面体ABCD中，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点， 则两两夹角为，， 所以， 对于A，，正确； 对于B，因为，所以，错误； 对于C，因为，所以， 所以，正确； 对于D，因为， 所以，错误. 故选：AC 24．（23-24高二上·河北沧州·期末）在棱长为2的正四面体A-BCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G是△BCD的重心，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．在上的投影向量为 D． 【答案】AB 【分析】取DC的中点M，根据CD⊥平面ABM判断A；取BD的中点H，判断B；根据投影向量定义判断C；根据空间向量线性运算判断D. 【详解】 如图，取DC的中点M，连接AM，BM， ∵AM⊥CD，BM⊥CD，平面， ∴CD⊥平面，平面，∴CD⊥AB，故A正确； 取BD的中点H，连接HE，HF，则，， ∴HE⊥FH，即，又，∴，， ∴，故B正确； 由B知，在上的投影向量为，故C不正确； ，故D不正确， 故选：AB． 25．（23-24高二上·海南·期末）如图，在四棱柱中，底面是正方形，，且，则（    ） A． B． C． D．直线与平面所成的角为 【答案】BD 【分析】利用空间向量的线性运算，数量积以及模长公式可判断A,B,C;先证明面，进而说明为直线与平面所成的角，计算即可. 【详解】对于选项A: 在四棱柱中， 易得,， 所以，故选项A错误； 对于选项B:因为,所以 所以，即,故选项B正确； 对于选项C: 由, 所以 所以,故选项C错误； 对于选项D:取的交点,连接, 因为底面是正方形，且， 所以,所以， 所以, 因为, 所以, 所以，即. 因为面， 所以面. 所以为在面的投影，即为直线与平面所成的角. 在中，易得，所以,故选项D正确. 故选：BD. 三、填空题 26．（23-24高二下·上海·期中）如图，圆柱的底面半径为2，高为分别是上、下底面圆周上的两个点，若，则 . 【答案】 【分析】由平方求解. 【详解】解：因为分别是圆柱的上下底面的中心， 所以, 又因为圆柱的底面半径为2，高为5，， 且， 所以， ， ， 所以， 故答案为：. 27．（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）如图，在三棱锥中，平面，则 【答案】 【分析】由空间向量的线性运算以及数量积的定义计算的值即可求解. 【详解】因为平面，面， 所以，所以， 又，所以， . 故答案为：. 28．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）在三棱锥中，和都是等边三角形，，，为棱上一点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】设，，根据向量的线性运算将用已知向量表示，再利用数量积运算得到的表达式，利用二次函数求出最小值. 【详解】如图，设，， 在中，， ，当且仅当时，等号成立. 故答案为：. 29．（23-24高二下·福建漳州·阶段练习）在平行六面体中，，，，，，则= 【答案】 【分析】根据题意，由条件可得，再由空间向量的模长公式计算即可得. 【详解】因为， 所以 ， 故. 故答案为：. 30．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知正四面体的棱长为4，空间内动点满足，则的最大值为 . 【答案】 【分析】利用空间向量的线性运算得到轨迹，再把目标式表示为函数，利用三角函数有界性求解即可. 【详解】   设的中点为，因为动点满足，所以， 即点在以为球心，以为半径的球面上. 因为，所以. 因为正四面体的棱长为4，所以， 在三角形中，，. 取的中点为，， 所以在上的投影向量的模为，所以. 设，夹角为， 所以. 因为， 所以，即的最大值为. 故答案为： 四、解答题 31．（23-24高二上·河南开封·期末）如图，在空间四边形ABCD中，，，，，. (1)求； (2)求CD的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数量积的定义直接求解即可； （2）先利用加法法则表示，然后利用数量积的运算律求解即可. 【详解】（1）因为，，， 所以； （2）因为， 所以 ， 所以. 32．（23-24高二上·重庆·期末）如图，在平行六面体中，，，，，，，与相交于点．        (1)求； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，代入数值直接求得结果； （2）化简可得，然后采用先平方再开方的方法求解出，则的长可知. 【详解】（1）. （2）因为， 所以 ， 所以的长为. 33．（23-24高二上·湖北·期末）如图，平行六面体的底面是菱形，且，，． (1)求的长． (2)求异面直线与所成的角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用及向量的运算律和数量积求解即可. （2）利用及向量的数量积求夹角即可. 【详解】（1） ， 所以， 即的长为. （2） ， 又由余弦定理得， 所以设所求异面直线所成角为，. 34．（23-24高二上·广东江门·期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长度都为2，且两两夹角为．求： (1)的长； (2)与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）表达出，平方后，结合数量积运算法则计算出，求出的长为； （2）计算出，，从而利用向量的夹角余弦公式求出答案. 【详解】（1）设，，，由题意知：，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即的长为， （2）∵， ∴， ∴， ， ∴， 即与夹角的余弦值为． 35．（23-24高二上·江西赣州·期中）在平行六面体中，，，E为线段上更靠近的三等分点 (1)用向量，，表示向量； (2)求； (3)求. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量的线性运算即可求解； （2）根据向量数量积的运算性质及数量积的定义运算即可； （3）根据向量的线性运算及向量的数量积的定义及运算性质求解. 【详解】（1）如图，    . （2） , . （3） . 36．（23-24高二上·湖北十堰·期中）如图，已知正方体的棱长为4，M，N，G分别是棱，BC，的中点，设Q是该正方体表面上的一点，若．    (1)求点Q的轨迹围成图形的面积； (2)求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据线线平行得四点共面，进而可得Q的轨迹是正六边形OFNEMG，根据三角形的面积公式即可求解， （2）根据数量积的几何意义即可结合图形求解最值. 【详解】（1）因为，∴点在平面上， 如图，分别取，，的中点，    连接 因为分别为，的中点，故， 又由正方体可得，，，， 故，，故四边形为平行四边形，故， 故，故四点共面，同理可证四点共面， 故五点共面，同理可证四点共面， 故六点共面，由正方体的对称性可得六边形 为正六边形． 故点的轨迹是正六边形， 因为正方体的棱长为4，所以正六边形的边长为， 所以点的轨迹围成图形的面积是． （2）如图，根据向量数量积的几何意义可得 当位于时，此时在上的投影最大， 故 ， ∴的最大值为12．    1 学科网（北京）股份有限公司 $$