第01讲 空间向量及其线性运算（6大题型）-2024-2025学年新高二数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019选择性必修第一册）

第01讲　空间向量及其线性运算 【考点归纳】 考点一、向量概念的应用 考点二、空间向量的加减运算 考点三：空间共线向量定理 考点四、空间共面的向量定理 考点五：空间向量的数乘运算 考点六：空间向量线性运算综合问题 【知识梳理】 知识点一　空间向量的概念 1． 定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． 2． 注：空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量． 2．长度或模：向量的大小． 3．表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或||. 4．几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 知识点二　空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝＋ ＝ 减法 a－b＝－＝ 数乘 当λ>0时，λa＝λ＝； 当λ<0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 知识点三　共线向量 1．空间两个向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 2．直线的方向向量：在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 知识点四　共面向量 1．共面向量：如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 2．向量共面的充要条件：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 【例题详解】 题型一、向量概念的应用 1．（23-24高二上·贵州）关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．任意两个空间向量总是共面的 C．零向量没有方向 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 2．（22-23高二上·山东济南·期中）下列关于空间向量的说法中正确的是（    ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量满足，则 D．相等向量其方向必相同 3．（22-23高二上·湖南·期中）下列关于空间向量的说法中错误的是（    ） A．零向量与任意向量平行 B．任意两个空间向量一定共面 C．零向量是任意向量的方向向量 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 题型二、空间向量的加减运算 4．（23-24高二下·河南）在四面体中，为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高二·全国·课堂例题）如图，已知平行六面体，化简下列各式：      (1)；(2)． 6．（23-24高二上·新疆）如图E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点，化简下列表达式： (1)；(2)；(3)；(4). 题型三：空间共线向量定理 7．（22-23高二上·新疆伊犁·期末）已知、、为空间三个不共面的向量，向量，，若与共线，则（    ） A． B． C． D． 8．（2023·贵州六盘水·模拟预测）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．（23-24高二上·辽宁·期中）设向量不共面，已知，，若三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型四、空间共面的向量定理 10．（23-24高二下·江苏泰州）为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（    ） A．1 B． C． D． 11．（23-24高二上·江西九江·期末）对于空间任一点和不共线的三点，，，有，则是，，，四点共面的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 12．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，若正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 题型五：空间向量的数乘运算 13．（23-24高二下·湖北孝感·期中）在三棱柱中，是的中点，，则（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高二上·安徽·期末）如图，三棱柱中，，，，点为四边形的中心点，则（    ）    A． B． C． D． 15．（23-24高二上·湖北武汉·期中）如图，空间四边形中，，，，点在上，且，，则（    ） A． B． C． D． 题型六：空间向量线性运算综合问题 16．（23-24高二上·全国·课后作业）在空间四边形ABCD中，G为的重心，E，F，H分别为边CD，AD和BC的中点，化简下列各表达式. (1)；(2). 17．（23-24高三上·四川成都·开学考试）在四棱柱中，，．    (1)当时，试用表示；(2)证明：四点共面； 18．（22-23高二上·河北沧州·阶段练习）如图所示，四面体中，G，H分别是的重心，设，点D，M，N分别为BC，AB，OB的中点． (1)试用向量表示向量； (2)试用空间向量的方法证明MNGH四点共面． 【专项训练】 一、单选题 19．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）下列命题正确的是（    ） A．若是空间任意四点，则有 B．若表示向量的有向线段所在的直线为异面直线，则向量一定不共面 C．若共线，则表示向量与的有向线段所在直线平行 D．对空间任意一点与不共线的三点、、，若（其中、、），则、、、四点共面 20．（23-24高二下·甘肃·期中）在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则（    ） A． B． C． D． 21．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知四面体中，为中点，若，则（    ） A．3 B．2 C． D． 22．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知分别是空间四边形的对角线的中点，点是线段的中点，为空间中任意一点，则（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高二上·四川凉山·期末）空间四边形中，点在上，且，为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高二上·福建福州·期末）如图所示，空间四边形中，，点分别为上的点，且为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 25．（23-24高二上·广东广州·期末）在下列条件中，一定能使空间中的四点共面的是（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高二上·天津·期末）在四棱柱中，设，，，，，则（    ） A． B． C． D． 27．（22-23高二上·浙江杭州·期末）对于空间一点和不共线三点，且有，则（    ） A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．五点共面 28．（22-23高二上·福建莆田·期末）如图，平行六面体中，点在上，点在上，且，，若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 29．（23-24高二下·江苏·课前预习）下列命题为真命题的是（    ） A．若空间向量满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量满足，，则 D．任一向量与它的相反向量不相等 30．（23-24高二上·山西长治·期末）在三棱锥中，，，，点在直线上，且，是的中点，则下列结论可能成立的是（    ） A． B． C． D． 31．（23-24高二上·湖北武汉·期中）如图，空间四边形中，，分别是边，上的点，且，，点是线段的中点，则以下向量表示正确的是（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高二上·青海海南·期中）已知三棱柱，为空间内一点，若，其中，，则（    ） A．若，则点在棱上 B．若，则点在线段上 C．若，为棱的中点 D．若，则点在线段上 三、填空题 33．（23-24高二上·湖北荆州·期末）如图，三棱锥O－ABC中，M是BC的中点，，设用表示向量则 34．（23-24高二上·贵州遵义·期末）已知长方体中，点Q为线段的中点，，则 . 35．（22-23高二下·江苏·课后作业）若空间非零向量不共线，则使与共线的k的值为 . 36．（23-24高二上·上海·期中）在平面上有如下命题：“若为直线外一点，则点在直线上的充要条件是：存在实数，满足且”类比此命题，给出点在平面上的充要条件是： . 四、解答题 37．（23-24高二上·全国·阶段练习）化简下列算式： (1)； (2). 38．（23-24高二上·新疆喀什·阶段练习）如图所示，在正方体中，化简向量表达式：    (1)； (2)； 39．（20-21高二·江苏·课后作业）如图，在三棱柱中，M是的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： (1)；(2)；(3)． 40．（2022高二上·全国·专题练习）已知为空间9个点(如图)，并且，，．，求证： (1)四点共面； (2)； (3)． 41．（21-22高二上·福建厦门·期中）已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点． (1)用向量法证明E，F，G，H四点共面； (2)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲　空间向量及其线性运算 【考点归纳】 考点一、向量概念的应用 考点二、空间向量的加减运算 考点三：空间共线向量定理 考点四、空间共面的向量定理 考点五：空间向量的数乘运算 考点六：空间向量线性运算综合问题 【知识梳理】 知识点一　空间向量的概念 1． 定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． 2． 注：空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量． 2．长度或模：向量的大小． 3．表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或||. 4．几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 知识点二　空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝＋ ＝ 减法 a－b＝－＝ 数乘 当λ>0时，λa＝λ＝； 当λ<0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 知识点三　共线向量 1．空间两个向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 2．直线的方向向量：在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 知识点四　共面向量 1．共面向量：如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 2．向量共面的充要条件：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 【例题详解】 题型一、向量概念的应用 1．（23-24高二上·贵州）关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．任意两个空间向量总是共面的 C．零向量没有方向 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 【答案】B 【分析】根据空间向量的相关定义即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，方向相反长度相等的向量是相反向量，故A错误， 对于B，空间中，任意两个向量是共面的，故B正确， 对于C，零向量的方向是任意的，故C错误， 对于D，两个不相等的向量模长可以相等，此时方向不相同，即为不相等的向量.故D错误， 故选：B 2．（22-23高二上·山东济南·期中）下列关于空间向量的说法中正确的是（    ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量满足，则 D．相等向量其方向必相同 【答案】D 【分析】 根据向量的相关概念逐一判断即可. 【详解】相反向量指的是长度相等，方向相反的向量，故A错误； 单位向量指的是模为1的向量，方向未定，故B错误； 向量不能比较大小，故C错误； 相等向量其方向必相同，故D正确； 故选：D. 3．（22-23高二上·湖南·期中）下列关于空间向量的说法中错误的是（    ） A．零向量与任意向量平行 B．任意两个空间向量一定共面 C．零向量是任意向量的方向向量 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 【答案】C 【分析】根据个选项，可判断选项A、B、D正确，选项C，零向量方向是无限的，但是任意向量方向是确定的，故可作出判断. 【详解】由已知， 选项A，零向量方向是任意的，所以零向量任意向量平行，该选项正确； 选项B，平面由两个不平行的向量确定，任意两个向量可通过平移形成相交，故一定可以确定一个平面，该选项正确； 选项C，在直线上取非零向量，把与向量平行的非零向量称为直线的方向向量，该选项错误； 选项D，方向相同且模相等的两个向量是相等向量，该选项正确. 故选：C. 题型二、空间向量的加减运算 4．（23-24高二下·河南）在四面体中，为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】, 故选:A    5．（22-23高二·全国·课堂例题）如图，已知平行六面体，化简下列各式：      (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据空间向量线性运算求得正确答案. 【详解】（1）因为，， 所以． （2）因为，所以 ．    6．（23-24高二上·新疆）如图E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点，化简下列表达式： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【分析】（1）（2）（3）（4）根据空间向量的线性运算，结合长方体性质可得. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）因为E，F分别是棱AB，CD的中点， 所以. 题型三：空间共线向量定理 7．（22-23高二上·新疆伊犁·期末）已知、、为空间三个不共面的向量，向量，，若与共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据空间向量共线的基本定理可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得解. 【详解】因为、、为空间三个不共面的向量，向量，， 若与共线，设，即， 可得，解得，故. 故选：D. 8．（2023·贵州六盘水·模拟预测）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据向量共线设，从而得到方程组，求出，得到答案. 【详解】因为三点共线，所以， 即，故，解得， 所以. 故选：C 9．（23-24高二上·辽宁·期中）设向量不共面，已知，，若三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】把A、C、D三点共线转化为满足，列方程组，求出即可. 【详解】因为，， 所以， 因为三点共线，所以存在唯一的，使得, 即， 即，解得：. 故选：A. 题型四、空间共面的向量定理 10．（23-24高二下·江苏泰州）为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】将化简为：，利用四点共面定理可得，即可求解. 【详解】因为，所以，可化简为：，即， 由于，，，四点共面，则，解得：； 故选：C 11．（23-24高二上·江西九江·期末）对于空间任一点和不共线的三点，，，有，则是，，，四点共面的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据共面向量定理判断点满足，且，向量，，共面，得到，，，四点共面，可以是充分条件；再通过举出反例得出反面不成立，即可得出答案． 【详解】解：若，则，即， 由共面定理可知向量，，共面，所以，，，四点共面； 反之，若，，，四点共面，当与四个点中的一个比如点重合时， ，可取任意值，不一定有， 所以是，，，四点共面的充分不必要条件． 故选：B． 12．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，若正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】由四点共面可得，再由“1”的技巧及均值不等式求解. 【详解】由四点共面，可知，即， 由， ，当且仅当，即时等号成立， 故选：B 题型五：空间向量的数乘运算 13．（23-24高二下·湖北孝感·期中）在三棱柱中，是的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得，再根据空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】因为，所以， 所以 . 故选：C 14．（23-24高二上·安徽·期末）如图，三棱柱中，，，，点为四边形的中心点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用空间向量的线性运算，即可求出结果. 【详解】根据题意，， 又，所以，    故选：A. 15．（23-24高二上·湖北武汉·期中）如图，空间四边形中，，，，点在上，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算结合图象计算即可. 【详解】由，， 得 故选：C. 题型六：空间向量线性运算综合问题 16．（23-24高二上·全国·课后作业）在空间四边形ABCD中，G为的重心，E，F，H分别为边CD，AD和BC的中点，化简下列各表达式. (1)；(2). 【答案】(1)(2) 【详解】（1）根据空间向量的运算法则，可得 . （2）分别取AB，AC的中点P，Q，连接PH，QH，则四边形APHQ为平行四边形，且有 根据空间向量的运算法则，可得.    17．（23-24高三上·四川成都·开学考试）在四棱柱中，，．    (1)当时，试用表示； (2)证明：四点共面； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据空间向量线性运算进行求解； （2）设（不为0），推导出，进而证明出四点共面. 【详解】（1）四棱柱中，， 因为， 所以 ； （2）设（不为0）， ， 则共面且有公共点，则四点共面； 18．（22-23高二上·河北沧州·阶段练习）如图所示，四面体中，G，H分别是的重心，设，点D，M，N分别为BC，AB，OB的中点． (1)试用向量表示向量； (2)试用空间向量的方法证明MNGH四点共面． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）结合空间向量的线性运算即可求出结果； （2）证得，即可得出结论. 【详解】（1） 因为， 而， 又D为的中点，所以， 所以 ． （2）因为， ， 所以， ，所以． 所以四点共面． 【专项训练】 一、单选题 19．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）下列命题正确的是（    ） A．若是空间任意四点，则有 B．若表示向量的有向线段所在的直线为异面直线，则向量一定不共面 C．若共线，则表示向量与的有向线段所在直线平行 D．对空间任意一点与不共线的三点、、，若（其中、、），则、、、四点共面 【答案】A 【分析】根据题意，由已知条件结合空间向量共面定理，以及向量共线的性质，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】由空间向量的加法运算可知，故A正确； 空间中任意两个向量都共面，故B错误； 若共线，则表示向量与的有向线段所在直线平行或重合，故C错误； 若，且，则、、、四点共面，故D错误； 故选：A 20．（23-24高二下·甘肃·期中）在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用空间向量运算计算即得. 【详解】在空间四边形ABCD中，E为BC的中点，则， 所以. 故选：C 21．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知四面体中，为中点，若，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的运算法则，化简得到，结合题意，列出方程，即可求解. 【详解】根据题意，利用空间向量的运算法则，可得：， 因为，所以，解得. 故选：D. 22．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知分别是空间四边形的对角线的中点，点是线段的中点，为空间中任意一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量加法运算可解. 【详解】由题知：. 故选：D 23．（23-24高二上·四川凉山·期末）空间四边形中，点在上，且，为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出空间四边形，即可得出的表达式. 【详解】由题意，在空间四边形中，，为中点， ∴, ∴ , 故选：C.    24．（23-24高二上·福建福州·期末）如图所示，空间四边形中，，点分别为上的点，且为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用空间向量的线性运算即可求出结果. 【详解】因为，又为中点，所以， 即， 故选：A. 25．（23-24高二上·广东广州·期末）在下列条件中，一定能使空间中的四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用共面向量定理及推论逐项判断即得. 【详解】对于A，中，，A不是； 对于B，中，，B不是； 对于C，化为，，C不是； 对于D，中，，D是. 故选：D 26．（23-24高二上·天津·期末）在四棱柱中，设，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】 ， 故选：C 27．（22-23高二上·浙江杭州·期末）对于空间一点和不共线三点，且有，则（    ） A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．五点共面 【答案】B 【分析】根据题意，化简得到，得到共面，进而得到四点共面，即可求解. 【详解】由，可得， 即，根据平面向量的基本定理，可得共面， 又因为三个向量有公共点，所以四点共面. 故选：B. 28．（22-23高二上·福建莆田·期末）如图，平行六面体中，点在上，点在上，且，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的运算法则确定，得到答案. 【详解】， 故，，，. 故选：A 二、多选题 29．（23-24高二下·江苏·课前预习）下列命题为真命题的是（    ） A．若空间向量满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量满足，，则 D．任一向量与它的相反向量不相等 【答案】BC 【分析】根据向量相等的定义可判断A，B；根据向量的相等具有传递性，判断C；根据相反向量的含义结合零向量判断D. 【详解】A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同， 而A中向量的方向不一定相同； B为真命题，与的方向相同，模也相等，故； C为真命题，由于空间向量满足，，且向量的相等满足传递性， 故； D为假命题，零向量的相反向量仍是零向量. 故选：BC 30．（23-24高二上·山西长治·期末）在三棱锥中，，，，点在直线上，且，是的中点，则下列结论可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意，结合点的位置，利用空间向量的线性运算，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A，因为是的中点，可得，所以A不正确； 对于B，当点在线段上时，因为，此时， 则，所以B正确； 对于C，当点在线段的延长线上时，因为，此时为的中点， 可得，所以C正确； 对于D，当点在线段上时，可得； 当点在线段的延长线上时，， 当点在线段的延长线上时，不可能成立，所以D不正确. 综上可得，可能正确的结论为BC. 故选：BC. 31．（23-24高二上·湖北武汉·期中）如图，空间四边形中，，分别是边，上的点，且，，点是线段的中点，则以下向量表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用空间向量的基底表示向量，再结合空间向量线性运算，逐一对各项计算判断即可得出结果. 【详解】空间四边形中，，，点是线段的中点， ， ，所以选项D正确； 对于选项A，，所以选项A错误； 对于选项B，，所以选项B错误； 对于选项C，，所以选项C正确， 故选：CD. 32．（23-24高二上·青海海南·期中）已知三棱柱，为空间内一点，若，其中，，则（    ） A．若，则点在棱上 B．若，则点在线段上 C．若，为棱的中点 D．若，则点在线段上 【答案】ABD 【分析】利用空间向量的数乘运算与共线定理逐项判断即可. 【详解】作出三棱柱，如图， 对于A，当时，，则， 所以点在棱上，故A正确； 对于B，当时，， 所以点在线段上，故B正确； 对于C，当时，由B知， 所以为棱的中点，故C错误； 对于D，当时，， 所以，则，即， 所以点在线段上，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 33．（23-24高二上·湖北荆州·期末）如图，三棱锥O－ABC中，M是BC的中点，，设用表示向量则 【答案】 【分析】根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】， 故答案为：. 34．（23-24高二上·贵州遵义·期末）已知长方体中，点Q为线段的中点，，则 . 【答案】/2.5 【分析】根据向量的加法运算及向量的相等求值即可. 【详解】如图， 因为, 所以. 故答案为： 35．（22-23高二下·江苏·课后作业）若空间非零向量不共线，则使与共线的k的值为 . 【答案】－/ 【分析】根据空间共线向量可得，建立方程组，解之即可求解. 【详解】由题意知，存在实数λ使得， 即，解得. 故答案为： 36．（23-24高二上·上海·期中）在平面上有如下命题：“若为直线外一点，则点在直线上的充要条件是：存在实数，满足且”类比此命题，给出点在平面上的充要条件是： . 【答案】存在实数满足且. 【分析】命题表示的点在直线上的充要条件，类比直线，推广到点在平面内的充要条件. 【详解】类比到空间向量，所得结论为，在空间中，点在平面内的充要条件是：存在实数满足且. 充分性：因为点在平面内，所以满足平面向量基本定理， 得到，即， 整理得：，所以存在实数. 满足，且，得证. 必要性：因为且. 所以 即有 ，由共面定理可得、、、四点共面，即点在平面内. 故答案为：存在实数满足 四、解答题 37．（23-24高二上·全国·阶段练习）化简下列算式： (1)； (2). 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据向量数乘运算即可求得答案； （2）根据向量的线性运算，即可求得答案. 【详解】（1）. （2）. 38．（23-24高二上·新疆喀什·阶段练习）如图所示，在正方体中，化简向量表达式：    (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】结合图形，根据空间向量的线性运算直接化简可得. 【详解】（1）. （2）. 39．（20-21高二·江苏·课后作业）如图，在三棱柱中，M是的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用空间向量的运算法则进行化简计算，并在图中标出化简后的向量 【详解】（1） （2）因为M是的中点，所以．又，所以，所以． （3）． 40．（2022高二上·全国·专题练习）已知为空间9个点(如图)，并且，，．，求证： (1)四点共面； (2)； (3)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据向量的共面定理，即可求解； （2）根据空间向量的运算法则，准确运算，即可求解； （3）根据空间向量的运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】（1）解：因为， 由共面向量的基本定理，可得是共面向量 又因为有公共点，所以四点共面. （2）解：因为， 则 ， 所以. （3）解：由（1）及， 可得， 所以，即. 41．（21-22高二上·福建厦门·期中）已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点． (1)用向量法证明E，F，G，H四点共面； (2)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）通过证明来证得四点共面. （2）利用空间向量运算证得结论成立. 【详解】（1）. , 所以，所以四点共面. （2）. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$