专题02 矩形的性质与判定综合重难点题型汇编（十二大题型）-2024-2025学年九年级数学上册《重难点题型•高分突破》（北师大版）

专题02 矩形的性质与判定综合重难点题型汇编 【题型1 利用矩形的性质求角度】 【题型2 利用矩形的性质求线段长度】 【题型3 利用矩形的性质求面积】 【题型4 求矩形在平面直角坐标系中的坐标】 【题型5 矩形与折叠综合应用】 【题型6 直角三角形斜边上的中线问题】 【题型7 添加条件对矩形的判定】 【题型8 矩形的判定-证明题】 【题型9 矩形的性质与判定综合】 【题型10 求矩形中最大值问题-梯子模型】 【题型11 求矩形中最小值问题】 【题型12 矩形中动点问题-分类讨论】 【题型1 利用矩形的性质求角度】 1．（2023秋•临邑县期末）如图，将长方形和直角三角形的直角顶点重合，若∠AOE＝128°，则∠COD的度数为（　　） A．28° B．38° C．52° D．62° 2．（2023秋•南关区校级期末）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，如果BO＝BE，那么∠BOE的度数为（　　） A．55° B．65° C．75° D．67.5° 3．（2023秋•沙坪坝区校级月考）如图，延长矩形ABCD的边CB至点E，使EB＝AC，连接DE，若∠BAC＝α，则∠E的度数是（　　） A． B． C．α﹣45° D． 4．（2023秋•新郑市校级月考）如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC＝3：2，则∠BDE的度数为（　　） A．36° B．27° C．18° D．9° 5．（2023秋•罗湖区校级月考）如图，矩形ABCD中，点E是AB的中点，EF⊥ED交BC于点F，连接DF、CE交于点G，若CD＝CF，则∠ECF的度数为（　　） A．22.5° B．30° C．25.5° D．25° 6．（2023春•乐山期末）如图，以正六边形ABCDEF的AB边向内作一个长方形ABHG，连接BE交GH于点I，则∠BIG＝（　　） A．108° B．120° C．126° D．135° 7．（2023秋•龙华区期末）如图，BD为长方形ABCD的对角线，BE平分∠ABD，若∠BDC＝50°，则∠AEB＝　　°． 【题型2 利用矩形的性质求线段长度】 8.（2024•深圳模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则BC的长为（　　） A． B． C．4 D．2 9．（2023秋•龙口市期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F．已知AB＝4，△AOE的面积为5，则DE的长为（　　） A．2 B． C． D．3 10．（2023秋•淮阳区期末）在长方形ABCD中，AB＝5，CB＝12，连接AC，∠BAC的角平分线交BC于点E，则线段BE的长为（　　） A． B． C．3 D．4 11．（2023秋•东河区期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝3，BC＝4，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　） A． B． C． D． 12．（2023秋•陈仓区期中）如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，AE⊥BD于点E，若OE：OD＝1：2，OD＝2cm，则AE的长为（　　） A．1cm B．cm C．cm D．2cm 【题型3 利用矩形的性质求面积】 13．（2023春•裕华区校级期中）如果长方形的三个顶点的坐标分别为（﹣3，2），（3，2），（3，﹣2），则这个长方形的面积为（　　） A．32 B．24 C．6 D．8 14．（2023•灞桥区校级四模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，O，E分别为AC，OD的中点，连接AE，则△AED的面积为（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 【题型4 求矩形在平面直角坐标系中的坐标】 15．（2023春•东阿县期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在x轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧，交x轴的正半轴于点M，则点M的坐标为（　　） A． B． C． D． 16．（2023•金东区二模）如图，将5个大小相同的长方形置于平面直角坐标系中，若顶点A（2，9），B（6，3），则顶点C的坐标是（　　） A．（4，5） B．（3，5） C．（4，7） D．（5，6） 17．长方形ABCD（AB＝CD，AD＝BC，四个内角均为90°）中，三个顶点的坐标分别是A（﹣1，0），B（5，0），C（5，3），则第四个顶点D的坐标是（　　） A．（0，3） B．（3，0） C．（﹣1，3） D．（5，0） 18．（2022秋•渠县期末）在平面直角坐标系中，长方形ABCD如图所示，A（﹣6，2），B（2，2），C（2，﹣3），则点D的坐标为（　　） A．（﹣6，3） B．（3，﹣6） C．（﹣6，﹣3） D．（﹣3，﹣6） 【题型5 矩形与折叠综合应用】 19．如图，在矩形中，，将其折叠，使点与点重合，折痕为，则图中阴影部分的面积是 ． 20．如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕；把纸片展平后再次折叠，使点A落在上的点A′处，得到折痕与相交于点N，若直线交直线于点O，，则的长为 ． 21．如图，矩形中，，，折叠长方形的一边，使点D落在边的点F处，则的长为 ． 22．如图1，在矩形纸片中，，折叠纸片使点B落在上的点E处，折痕为，过点E作交于点． (1)求证：四边形为菱形； (2)如图2，若时，则的长是多少？ 23．如图，在矩形中，点E是边上一点，连接，将沿着折叠得到，延长恰好经过点D． (1)求证： ． (2)若，求的周长． 24．如图，将一张长方形纸片沿折叠，使 C，A两点重合，点D落在点G处．已知． (1)求证：是等腰三角形； (2)求线段的长． 25．综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．            (1)操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，． 根据以上操作，当点在上时，写出图1中一个的角：_________． (2)迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接． ①如图2，当点在上时，_________°，_________°； ②改变点在上的位置(点不与点，重合)，如图3，判断与的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长． 26．阅读理解：德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”． (1)如图，点把线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点．在图中，若，则__________（保留根号）． (2)宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调．匀称的美感，世界各国许多著名的建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：） 第一步  在矩形纸片一端，利用图的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步  如图，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步  如图，折出内侧矩形的对角线，并把折到图中所示的处． 第四步  展平纸片，按所得的点折出，使，则图④中就出现黄金矩形． 问题解决： ①图中 （保留根号）； ②请写出图中所有的黄金矩形：，并证明； ③请结合图，在矩形中添加一条线段，设计一个新的黄金矩形，用字母表示出来，并证明． 【题型6 直角三角形斜边上的中线问题】 27．（2023春•通道县期中）如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为4.8 km，则M、C两点间的距离为（　　） A．2.4 km B．3.6 km C．4.2 km D．4.8 km 28．（2023•邓州市一模）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，OC＝4，P，Q分别为AO，AD的中点，则PQ的长度为（　　） A．1.5 B．3 C．2 D．5 29．如图，在中，点分别是边的中点，点是线段上的一点．连接，，且，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【题型7 添加条件对矩形的判定】 30．（2023•辽宁一模）四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形；那么需要添加的条件是（　　） A．AB＝BC B．AC垂直BD C．∠A＝∠C D．AC＝BD 31．（2023春•南宁期中）如图，要使▱ABCD成为矩形，需要添加的条件是（　　） A．∠ABC＝90° B．∠ABD＝∠CBD C．AC⊥BD D．AB＝BC 32．如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线，的长就可以判断，其数学依据是（    ） A．三个角都是直角的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直平分的四边形是矩形 33．我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以现在初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”那么要把变成“矩形”，需要增加的条件是（   ） A． B． C． D． 34．如图，四边形为平行四边形，延长到E，使，连接，添加一个条件，不能使四边形成为矩形的是（）    A． B． C． D． 35．在四边形中，对角线相交于点O，下列选项中，能判定四边形是矩形的是（    ） A． B．， C．， D． 【题型8 矩形的判定-证明题】 36．（2023春•天宁区校级期中）如图，△ABC中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE延长线于点F． （1）求证：△ADE≌△CFE； （2）连接AF，CD．如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形，证明你的结论． 37．（2023•钦州一模）如图，在▱ABCD中，点E，F分别是BC，AD边上的点，且BE＝DF． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若∠AEC＝90°，求证：四边形AECF为矩形． 38．（2023春•南昌县期中）如图，将平行四边形ABCD的边AB延长至点E，使BE＝AB，连接DE，EC，DE，交BC于点O． （1）求证：BD＝EC； （2）连接BD，若∠BOD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形． 39．（2023春•青秀区校级期中）如图，已知▱ABCD，延长AB到E，使BE＝AB，连接BD，ED，EC，若ED＝AD． （1）求证：BE＝CD； （2）求证：四边形BECD是矩形． 40．（2023春•渝北区月考）如图，在△ABC中，O是AC上的任意一点（不与点A、C重合），过点O平行于BC的直线l分别与∠BCA、△ABC的外角∠DCA的平分线交于点E、F． （1）OE与OF相等吗？证明你的结论． （2）试确定点O的位置，使四边形AECF是矩形，并加以证明． 【题型9 矩形的性质与判定综合】 41．（2023春•宁波期中）矩形一定具有的性质是（　　） A．邻边相等 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线平分每一组对角 42．（2023春•徐汇区期中）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的（　　） A．当AB＝BC时，它是菱形 B．当AD⊥CD时，它是菱形 C．当∠ABC＝90°时，它是矩形 D．当AC＝BD时，它是矩形 43．（2023•东昌府区二模）如图，点O是平行四边形ABCD对角线的交点，AB＝BC，分别过点C、D作CE∥BD，DE∥AC，连接OE．​ （1）求证：四边形OCED是矩形； （2）设AC＝12，BD＝16，求OE的长． 44．（2023春•新市区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，过点A作AE∥BC，且AE＝DC，连接CE． （1）求证：四边形ADCE是矩形： （2）若AB＝5，BC＝8，求CE的长． 45．（2023•开封模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，BE∥AC，AE∥BD，EO与AB交于点F． （1）求证：四边形AEBO是矩形； （2）若CD＝3，求EO的长． 46．（2023•大兴区一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD的交于点O，延长CB到E，使得BE＝BC．连接AE．过点B作BF∥AC，交AE于点F，连接OF． （1）求证：四边形AFBO是矩形； （2）若∠ABC＝60°，BF＝1，求OF的长． 47．（2023•延庆区一模）如图，在平行四边形ABCD中，连接AC，∠BAC＝90°．点M为边AD的中点，连接CM并延长，交BA的延长线于点E，连接DE． （1）求证：四边形ACDE是矩形； （2）若BE＝10，DE＝12，求四边形BCDE的面积． 48．（2023春•长沙期中）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，其中AD∥BC，AB∥CD，AC＝2OB，E为CD上一点，连接AE，OE． ​（1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若AE平分∠BAD，且BD＝2AD，求∠DOE的度数． 49．（2023•丰台区一模）如图，在▱ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，连接AE交CD于点F． （1）求证：四边形ACED是矩形； （2）连接BF，若∠ABC＝60°，CE＝2，求BF的长． 50．（2023春•鄂城区期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，EF⊥AB于F点，OG∥EF交AB于点G． （1）求证：四边形OEFG是矩形； （2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长． 【题型10 求矩形中最大值问题-梯子模型】 51．（2023春•裕华区校级期中）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝3，顶点A，B分别在y轴和x轴上，当点A在y轴上移动时，点B也随之在x轴上移动，在移动过程中，OD的最大值为（　　） A．8 B．9 C． D． 【题型11 求矩形中最小值问题】 52．（2023•台湾）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，且有一点P从B点沿着BD往D点移动，若过P点作AB的垂线交AB于E点，过P点作AD的垂线交AD于F点，则EF的长度最小为多少（　　） A． B． C．5 D．7 53．（2023春•河东区期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（　　） A．5 B．3.6 C．2.4 D．4.8 54．（2023•烟台一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，点E在AD上，点F在BC上，且AE＝CF，连结CE，DF，则CE+DF的最小值为（　　） A．26 B．25 C．24 D．22 【题型12 矩形中动点问题-分类讨论】 55.（2023•赵县二模）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝8cm，BC＝6cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是​（　　） A．当t＝3s时，四边形ABMP为矩形 B．当t＝4s时，四边形CDPM为平行四边形 C．当CD＝PM时，t＝3s D．当CD＝PM时，t＝3s或5s 56．（2023春•江津区期中）已知直角坐标系中，四边形OABC是长方形，点A，C的坐标分别为A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P是BC边上的一个动点，当△POD是腰长为5的等腰三角形时，则点P坐标为（　　） A．（2，4）（3，4） B．（2，4）（8，4） C．（2，4）（3，4）（8，4） D．（2，4）（2.5，4）（3，4）（8，4） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 矩形的性质与判定综合重难点题型汇编 【题型1 利用矩形的性质求角度】 【题型2 利用矩形的性质求线段长度】 【题型3 利用矩形的性质求面积】 【题型4 求矩形在平面直角坐标系中的坐标】 【题型5 矩形与折叠综合应用】 【题型6 直角三角形斜边上的中线问题】 【题型7 添加条件对矩形的判定】 【题型8 矩形的判定-证明题】 【题型9 矩形的性质与判定综合】 【题型10 求矩形中最大值问题-梯子模型】 【题型11 求矩形中最小值问题】 【题型12 矩形中动点问题-分类讨论】 【题型1 利用矩形的性质求角度】 1．（2023秋•临邑县期末）如图，将长方形和直角三角形的直角顶点重合，若∠AOE＝128°，则∠COD的度数为（　　） A．28° B．38° C．52° D．62° 【答案】C 【解答】解：∵将长方形和直角三角形的直角顶点O重合， ∴∠AOC＝∠DOE＝90°， ∵∠AOE＝128° ∴∠COE＝∠AOE﹣∠AOC＝128°﹣90°＝38°， ∴∠COD＝∠DOE﹣∠COE＝90°﹣38°＝52°， 故选：C． 2．（2023秋•南关区校级期末）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，如果BO＝BE，那么∠BOE的度数为（　　） A．55° B．65° C．75° D．67.5° 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AC＝BD，AB＝CD， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE＝45°， ∴∠BAE＝∠BEA＝45°， ∴AB＝BE， ∴AC＝2CD， ∴BD＝2AB， ∴BO＝BE， ∴∠BOE＝∠BEO， ∵OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠COB， ∴△AOB≌△COB（SAS）， ∴∠OAD＝∠OBC＝30°， ∴∠OBE＝30°， ∴∠BOE＝∠BEO＝＝75°， 故选：C． 3．（2023秋•沙坪坝区校级月考）如图，延长矩形ABCD的边CB至点E，使EB＝AC，连接DE，若∠BAC＝α，则∠E的度数是（　　） A． B． C．α﹣45° D． 【答案】B 【解答】解：连接BD交AC于点O， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD， ∴OA＝OB， ∴∠OBA＝∠BAC＝α， ∴∠CBD＝90°﹣α， ∵BE＝AC＝BD， ∴∠BDE＝∠E， ∴∠CBD＝∠BDE+∠E＝2∠E， ∴2∠E＝90°﹣α， ∴∠E＝45°﹣， 故选：B． 4．（2023秋•新郑市校级月考）如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC＝3：2，则∠BDE的度数为（　　） A．36° B．27° C．18° D．9° 【答案】C 【解答】解：∵矩形ABCD中， ∴∠ADC＝90°，OA＝OB＝OC＝OD， ∵∠ADE：∠EDC＝3：2， ∴∠ADE＝90°×＝54°， ∵DE⊥AC于E， ∴∠DAE＝90°﹣54°＝36°， ∵OA＝OD， ∴∠BDA＝∠OAD＝36°， ∴∠BDE＝∠ADE﹣∠ADO＝54°﹣36°＝18°． 故选：C． 5．（2023秋•罗湖区校级月考）如图，矩形ABCD中，点E是AB的中点，EF⊥ED交BC于点F，连接DF、CE交于点G，若CD＝CF，则∠ECF的度数为（　　） A．22.5° B．30° C．25.5° D．25° 【答案】A 【解答】解：延长FE交DA的延长线于点H， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAE＝∠B＝∠DCF＝90°，AD＝BC， 又∵E为AB的中点， ∴AE＝BE， ∴△DAE≌△CBE（SAS）， ∴∠ADE＝∠ECB， 又∵∠AEH＝∠BEF，AE＝BE，∠HAE＝∠B＝90°， ∴△AEH≌△BEF（ASA）， ∴HE＝EF， 又∵EF⊥ED， ∴HD＝DF， ∴∠ADE＝∠EDF， 又∵CD＝CF，∠DCF＝90°， ∴∠FDC＝45°， ∴∠ADF＝45°， ∴∠ADE＝∠ADF＝22.5°， ∴∠ECF＝22.5°． 故选：A． 6．（2023春•乐山期末）如图，以正六边形ABCDEF的AB边向内作一个长方形ABHG，连接BE交GH于点I，则∠BIG＝（　　） A．108° B．120° C．126° D．135° 【答案】B 【解答】解：∵六边形ABCDEF正六边形， ∴∠ABC＝120°，BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝60°， ∵四边形ABHG是长方形， ∴AB∥GH， ∴∠BIG＝180°﹣60°＝120°， 故选：B． 7．（2023秋•龙华区期末）如图，BD为长方形ABCD的对角线，BE平分∠ABD，若∠BDC＝50°，则∠AEB＝　65　°． 【答案】65． 【解答】解：在矩形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，∠BDC＝50°， 则：∠ABD＝∠BDC＝50°． ∵BE平分∠ABD， ∴∠ABE＝∠ABD＝25°． ∴∠AEB＝90°﹣25°＝65°． 故答案为：65． 【题型2 利用矩形的性质求线段长度】 8.（2024•深圳模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则BC的长为（　　） A． B． C．4 D．2 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AO＝BO＝CO＝DO， ∵AE垂直平分OB， ∴AB＝AO， ∴AB＝AO＝BO， ∴△AOB是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∴BC＝AB＝2， 故选：B． 9．（2023秋•龙口市期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F．已知AB＝4，△AOE的面积为5，则DE的长为（　　） A．2 B． C． D．3 【答案】D 【解答】解：如图，连接CE， 由题意可得，OE为对角线AC的垂直平分线， ∴BF＝DE，S△AOE＝S△DOE＝5， ∴S△ACE＝2S△COE＝10． ∴AE•CD＝10， ∵CD＝4， ∴EE＝5， 在Rt△ABE中，由勾股定理得：DE＝＝3． 故选：D． 10．（2023秋•淮阳区期末）在长方形ABCD中，AB＝5，CB＝12，连接AC，∠BAC的角平分线交BC于点E，则线段BE的长为（　　） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【解答】解：作EF⊥AC于点F，则∠AFE＝∠CFE＝90°， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝5，CB＝12， ∴∠B＝90°， ∴EB⊥AB，AC＝＝＝13， ∵AE平分∠BAC， ∴FE＝BE， 在Rt△AFE和Rt△ABE中， ， ∴Rt△AFE≌Rt△ABE（HL）， ∴AF＝AB＝5， ∵FE2+CF2＝CE2，且CF＝13﹣5＝8，CE＝12﹣BE， ∴BE2+82＝（12﹣BE）2， ∴BE＝， 故选：A． 11．（2023秋•东河区期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝3，BC＝4，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵AB＝3，BC＝4， ∴矩形ABCD的面积为12，AC＝， ∴AO＝DO＝AC＝， ∵对角线AC，BD交于点O， ∴△AOD的面积为3， ∵EO⊥AO，EF⊥DO， ∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即3＝AO×EO+DO×EF， ∴3＝××EO+×EF， ∴5（EO+EF）＝12， ∴EO+EF＝， 故选：C． 12．（2023秋•陈仓区期中）如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，AE⊥BD于点E，若OE：OD＝1：2，OD＝2cm，则AE的长为（　　） A．1cm B．cm C．cm D．2cm 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AO＝OC＝OB＝OD＝2cm， ∵OE：OD＝1：2， ∴OE＝1cm， ∴AE＝＝＝cm， 故选：C 【题型3 利用矩形的性质求面积】 13．（2023春•裕华区校级期中）如果长方形的三个顶点的坐标分别为（﹣3，2），（3，2），（3，﹣2），则这个长方形的面积为（　　） A．32 B．24 C．6 D．8 【答案】B 【解答】解：因为长方形的三个顶点的坐标分别为（﹣3，2），（3，2），（3，﹣2）， 所以AB＝6，BC＝4， 所以长方形的面积为6×4＝24． 故选：B． 14．（2023•灞桥区校级四模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，O，E分别为AC，OD的中点，连接AE，则△AED的面积为（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【解答】解：∵O，E分别为AC，OD的中点， ∴S△AED＝S△AOD＝S△ADC＝S矩形ABCD， ∵AB＝4，AD＝6， ∴S矩形ABCD＝AB•AD＝24， ∴S△AED＝×24＝3， 故选：A 【题型4 求矩形在平面直角坐标系中的坐标】 15．（2023春•东阿县期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在x轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧，交x轴的正半轴于点M，则点M的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由题意得： ， 故， ， ∵点B表示的数为2， ∴点M表示的数为， ∴点M的坐标为． 故选：D． 16．（2023•金东区二模）如图，将5个大小相同的长方形置于平面直角坐标系中，若顶点A（2，9），B（6，3），则顶点C的坐标是（　　） A．（4，5） B．（3，5） C．（4，7） D．（5，6） 【答案】A 【解答】解：如图，∵A（2，9），B（6，3）， ∴D（6，9）， ∴AD＝6﹣2＝4，BD＝9﹣3＝6， ∴每个长方形的长为6÷3＝2，宽为4÷4＝1， ∴点C的坐标为：（2+1×2，9﹣2×2），即（4，5）， 故选：A． 17．长方形ABCD（AB＝CD，AD＝BC，四个内角均为90°）中，三个顶点的坐标分别是A（﹣1，0），B（5，0），C（5，3），则第四个顶点D的坐标是（　　） A．（0，3） B．（3，0） C．（﹣1，3） D．（5，0） 【答案】C 【解答】解：∵AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，AD∥BC， 三个顶点的坐标分别是A（﹣1，0），B（5，0），C（5，3）， ∴D（﹣1，3）， 故选：C． 18．（2022秋•渠县期末）在平面直角坐标系中，长方形ABCD如图所示，A（﹣6，2），B（2，2），C（2，﹣3），则点D的坐标为（　　） A．（﹣6，3） B．（3，﹣6） C．（﹣6，﹣3） D．（﹣3，﹣6） 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD是长方形， ∴AB∥DC，AD∥BC， ∵A（﹣6，2），B（2，2），C（2，﹣3）， ∴点D的横坐标与点A的横坐标相同，为﹣6， 点D的纵坐标与点C的纵坐标相同，为﹣3， ∴点D的坐标为（﹣6，﹣3）． 故选：C． 【题型5 矩形与折叠综合应用】 19．如图，在矩形中，，将其折叠，使点与点重合，折痕为，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】7.5 【分析】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、等角对等边以及勾股定理的应用．由将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合，折痕为，易得是等腰三角形，即，然后设，由勾股定理得方程，继而求得答案． 【详解】解：∵长方形纸片中，， ∴， ∵将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合，折痕为， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：7.5． 20．如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕；把纸片展平后再次折叠，使点A落在上的点A′处，得到折痕与相交于点N，若直线交直线于点O，，则的长为 ． 【答案】 【分析】连接，由折叠的性质易得，则，由及折叠性质得；在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由折叠的性质得：，，， ，， ， 在矩形中，， ， ； ， ； 在中，， 由勾股定理得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理等知识；由折叠的性质求得是解题的关键． 21．如图，矩形中，，，折叠长方形的一边，使点D落在边的点F处，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了折叠的性质和矩形的性质，由矩形的性质和折叠的性质得出，，求出，在中，根据勾股定理列出方程，解方程即可．其中根据已知设出未知数，用代数法解决几何问题是解答本题的关键． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， 由翻折的性质可知． 设，则． 在中，由勾股定理可得， ∴，在中，， ∴，解得， ∴． 故答案为：3． 22．如图1，在矩形纸片中，，折叠纸片使点B落在上的点E处，折痕为，过点E作交于点． (1)求证：四边形为菱形； (2)如图2，若时，则的长是多少？ 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质，折叠变换的性质，菱形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． （1）根据折叠的性质得出，有判定定理即可证明结论； （2）设，根据勾股定理进行计算即可． 【详解】（1）解：由折叠可得， ， ， ， ， 四边形是菱形； （2）解：如图 ， ∴ 在中，由勾股定理可得， ， 作 ， 设， ， 由折叠可得， ， 在中，由勾股定理可得， ， 解得： ， ， ， ． 23．如图，在矩形中，点E是边上一点，连接，将沿着折叠得到，延长恰好经过点D． (1)求证： ． (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，勾股定理，矩形的性质． （1）由已知得，，，得，即可得． （2）由，，先求得，即可得的周长的周长． 【详解】（1）证明：矩形，折叠得到，延长恰好经过点D， ，，， ， ， ， ． （2）解： ，， ， ， 的周长的周长． 24．如图，将一张长方形纸片沿折叠，使 C，A两点重合，点D落在点G处．已知． (1)求证：是等腰三角形； (2)求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查矩形的性质、折叠的性质和勾股定理， （1）结合矩形和折叠的性质证明即可； （2）设，折叠可得，从而得到，再根据勾股定理建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：由折叠性质可知，， 由题意可得， ∴． ∴． ∴． ∴是等腰三角形． （2）解：由折叠可得，设， 则． ∵， ∴在中，有， 即，解得. ∴． 25．综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．            (1)操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，． 根据以上操作，当点在上时，写出图1中一个的角：_________． (2)迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接． ①如图2，当点在上时，_________°，_________°； ②改变点在上的位置(点不与点，重合)，如图3，判断与的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长． 【答案】(1)或或或(任写一个即可) (2)①15，15；②；理由见解析 (3)或 【分析】（1）由折叠的性质可得，，，，证明是等边三角形，可求，即可求解； （2）①由“”可证，可得；②由“”可证，可得； （3）分两种情况讨论：当点Q在点F下方与点Q在点F的上方时，根据，由折叠的性质和勾股定理可求解． 【详解】（1）解：连接， 对折矩形纸片， ，， ∴， 沿折叠，使点落在矩形内部点处， ，， ，即等边三角形， ， ， 故答案为：或或或(任写一个即可)； （2）①由（1）可知， 四边形是正方形， ，， 由折叠可得：，， ，， 又， ， ， 故答案为：15，15； ②，理由如下： 四边形是正方形， ，， 由折叠可得：，， ，， 又， ， ； （3）由折叠的性质可得，， ， ， 当点在线段上时，， ，， ， ， ， 当点在线段上时，， ，， ， ， ， 综上所述：的长为或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 26．阅读理解：德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”． (1)如图，点把线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点．在图中，若，则__________（保留根号）． (2)宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调．匀称的美感，世界各国许多著名的建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：） 第一步  在矩形纸片一端，利用图的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步  如图，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步  如图，折出内侧矩形的对角线，并把折到图中所示的处． 第四步  展平纸片，按所得的点折出，使，则图④中就出现黄金矩形． 问题解决： ①图中 （保留根号）； ②请写出图中所有的黄金矩形：，并证明； ③请结合图，在矩形中添加一条线段，设计一个新的黄金矩形，用字母表示出来，并证明． 【答案】(1)； (2)①； ②图4中的黄金矩形有：矩形、矩形； ③四边形为黄金矩形． 【分析】本题考查四边形综合应用，涉及新定义黄金矩形、菱形的判定、勾股定理、翻折变换等知识，解题的关键是掌握勾股定理二次根式的计算． （1）根据黄金分割点的定义可求出的长度； （2）①用勾股定理可算得答案； ②根据菱形的判定可得答案； ③根据黄金矩形的定义，观察图形，数形结合可得答案； ④观察图形，在矩形中添加一条线段，使四边形是正方形，可得四边形为黄金矩形． 【详解】（1）解：根据定义可知，为线段的黄金分割点，则， ， ， 解得， 故答案为：； （2）①如图3： 根据题意可得， ∴， 故答案为：， ②图4中的黄金矩形有：矩形、矩形， ，， ， ， ， 矩形是黄金矩形， ，， ， ， 矩形是黄金矩形． ③如图，在矩形上添加线段，使四边形为正方形，此时四边形为所要作的黄金矩形． ，， ， ， 四边形为黄金矩形． 【题型6 直角三角形斜边上的中线问题】 27．（2023春•通道县期中）如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为4.8 km，则M、C两点间的距离为（　　） A．2.4 km B．3.6 km C．4.2 km D．4.8 km 【答案】A 【解答】解：∵公路AC、BC互相垂直， ∴∠ACB＝90°， ∵M为AB的中点， ∴， ∵AB＝4.8 km， ∴CM＝2.4（ km），即M，C两点间的距离为2.4 km， 故选：A． 28．（2023•邓州市一模）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，OC＝4，P，Q分别为AO，AD的中点，则PQ的长度为（　　） A．1.5 B．3 C．2 D．5 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OB＝OC＝OD＝4， ∵点P、Q是AO，AD的中点， ∴PQ是△AOD的中位线， ∴． 故选：C 29．如图，在中，点分别是边的中点，点是线段上的一点．连接，，且，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，直角三角形的性质，由三角形中位线性质可得，由直角三角形的性质可得，进而由线段的和差关系即可求解，掌握三角形中位线的性质和直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点分别是边的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵，点为的中点， ∴， ∴， 故选：． 【题型7 添加条件对矩形的判定】 30．（2023•辽宁一模）四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形；那么需要添加的条件是（　　） A．AB＝BC B．AC垂直BD C．∠A＝∠C D．AC＝BD 【答案】D 【解答】解：∵四边形ABCD的对角线互相平分， ∴四边形ABCD是平行四边形， A、∵AB＝BC， ∴平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意； B、∵AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形，故选项B不符合题意； C、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C， ∴不能判定平行四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意； D、∵AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D符合题意； 故选：D． 31．（2023春•南宁期中）如图，要使▱ABCD成为矩形，需要添加的条件是（　　） A．∠ABC＝90° B．∠ABD＝∠CBD C．AC⊥BD D．AB＝BC 【答案】A 【解答】解：A、∠ABC＝90°，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，得到▱ABCD是矩形，故A符合题意； B、∠ABD＝∠CBD，由AD∥BC得到∠ADB＝∠CBD，因此∠ABD＝∠ADB，所以AB＝AD，▱ABCD是菱形，故B不符合题意； C、AC⊥BD，由平行线四边形的性质，得到AC垂直平分BD，因此AB＝AD，▱ABCD是菱形，故C不符合题意； D、AB＝BC，此时▱ABCD是菱形，故D不符合题意． 故选：A 32．如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线，的长就可以判断，其数学依据是（    ） A．三个角都是直角的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直平分的四边形是矩形 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质．根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形即可判定． 【详解】解：推理依据是对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项符合题意． 故选：C． 33．我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以现在初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”那么要把变成“矩形”，需要增加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形是矩形进行判断即可． 【详解】解：∵对角线相等的平行四边形是矩形， ∴当时，变成“矩形”， 故选：A． 34．如图，四边形为平行四边形，延长到E，使，连接，添加一个条件，不能使四边形成为矩形的是（）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、菱形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 先证四边形为平行四边形，再由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， A、∵时，， ∴， ∴平行四边形是矩形，故选项A不符合题意； B、∵， ∴时， ∴平行四边形是矩形，故选项B不符合题意； C、∵， ∴， ∴平行四边形是矩形，故选项C不符合题意； D、∵， ∴平行四边形是菱形，故选项D符合题意． 故选：D． 35．在四边形中，对角线相交于点O，下列选项中，能判定四边形是矩形的是（    ） A． B．， C．， D． 【答案】A 【分析】此题考查了矩形的判定方法．根据矩形的判定定理求解即可． 【详解】解：A、，根据对角线相等且平分的四边形是矩形，能判定四边形是矩形，本选项符合题意； B、，，能判定四边形是平行四边形，不能判定四边形是矩形，本选项不符合题意； C、，，不能判定四边形是矩形，本选项不符合题意； D、，不能判定四边形是矩形，本选项不符合题意； 故选：A． 【题型8 矩形的判定-证明题】 36．（2023春•天宁区校级期中）如图，△ABC中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE延长线于点F． （1）求证：△ADE≌△CFE； （2）连接AF，CD．如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形，证明你的结论． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）当AC＝BC时，四边形ADCF是矩形，证明见解答过程． 【解答】（1）证明：∵CF∥AB， ∴∠ADF＝∠CFD，∠DAC＝∠FCA， ∵点E是AC的中点， ∴AE＝CE， 在△ADE与△CFE中， ， ∴△ADE≌△CFE（AAS）； （2）解：当AC＝BC时，四边形ADCF是两性矩形，证明如下： 由（1）知，AD＝CF， ∵AD∥CF， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∴AD∥CF，AD＝CF， ∵点D是AB的中点， ∴AD＝BD， ∴BD∥CF，BD＝CF， ∴四边形BDFC是平行四边形， ∴BC＝DF， ∵AC＝BC， ∴AC＝DF， ∴四边形ADCF是矩形． 37．（2023•钦州一模）如图，在▱ABCD中，点E，F分别是BC，AD边上的点，且BE＝DF． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若∠AEC＝90°，求证：四边形AECF为矩形． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，∠B＝∠D， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AF∥EC，AD＝BC， ∵DF＝BE， ∴AD﹣DF＝BC﹣BE， 即AF＝EC， ∴四边形AECF是平行四边形； ∵∠AEC＝90°， ∴四边形AECF是矩形． 38．（2023春•南昌县期中）如图，将平行四边形ABCD的边AB延长至点E，使BE＝AB，连接DE，EC，DE，交BC于点O． （1）求证：BD＝EC； （2）连接BD，若∠BOD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形． 【答案】（1）见解答； （2）见解答． 【解答】证明：（1）在平行四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD，则BE∥CD． 又∵AB＝BE， ∴BE＝DC， ∴四边形BECD为平行四边形， ∴BD＝EC． 在△ABD与△BEC中， ， ∴△ABD≌△BEC（SSS）， ∴BD＝CE； （2）由（1）知，四边形BECD为平行四边形，则OD＝OE，OC＝OB． ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠A＝∠BCD，即∠A＝∠OCD． 又∵∠BOD＝2∠A，∠BOD＝∠OCD+∠ODC， ∴∠OCD＝∠ODC， ∴OC＝OD， ∴OC+OB＝OD+OE，即BC＝ED， ∴平行四边形BECD为矩形． 39．（2023春•青秀区校级期中）如图，已知▱ABCD，延长AB到E，使BE＝AB，连接BD，ED，EC，若ED＝AD． （1）求证：BE＝CD； （2）求证：四边形BECD是矩形． 【答案】（1）（2）证明见解析． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC＝AB， ∵BE＝AB， ∴BE＝CD； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AE， ∵BE＝CD， ∴四边形BECD是平行四边形， ∵BE＝AB，ED＝AD， ∴DB⊥AE， ∴∠DBE＝90°， ∴四边形BECD是矩形． 40．（2023春•渝北区月考）如图，在△ABC中，O是AC上的任意一点（不与点A、C重合），过点O平行于BC的直线l分别与∠BCA、△ABC的外角∠DCA的平分线交于点E、F． （1）OE与OF相等吗？证明你的结论． （2）试确定点O的位置，使四边形AECF是矩形，并加以证明． 【答案】（1）证明见解析； （2）O在AC的中点上时，四边形AECF是矩形，见解析． 【解答】解：（1）OE＝EF； 理由是：∵直线l∥BC， ∴∠OEC＝∠ECB， ∵CE平分∠ACB， ∴∠OCE＝∠BCE， ∴∠OEC＝∠OCE， ∴OE＝OC， 同理OF＝OC， ∴OE＝OF． （2）O在AC的中点上时，四边形AECF是矩形， 理由是：∵OA＝OC，OE＝OF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵OE＝OF＝OC＝OA， ∴AC＝EF， ∴平行四边形AECF是矩形． 【题型9 矩形的性质与判定综合】 41．（2023春•宁波期中）矩形一定具有的性质是（　　） A．邻边相等 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线平分每一组对角 【答案】B 【解答】解：矩形对角线相等且互相平分， 故选：B． 42．（2023春•徐汇区期中）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的（　　） A．当AB＝BC时，它是菱形 B．当AD⊥CD时，它是菱形 C．当∠ABC＝90°时，它是矩形 D．当AC＝BD时，它是矩形 【答案】B 【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形， 又∵AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意； B、∵四边形ABCD是平行四边形， 又∵AC⊥CD， ∴四边形ABCD是矩形，故本选项符合题意； C、∵四边形ABCD是平行四边形， 又∵∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意； D、∵四边形ABCD是平行四边形， 又∵AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意； 故选：B． 43．（2023•东昌府区二模）如图，点O是平行四边形ABCD对角线的交点，AB＝BC，分别过点C、D作CE∥BD，DE∥AC，连接OE．​ （1）求证：四边形OCED是矩形； （2）设AC＝12，BD＝16，求OE的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）10． 【解答】（1）证明：∵CE∥BD，DE∥AC， ∴四边形OCED是平行四边形， ∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC， ∴平行四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠COD＝90°， ∴平行四边形OCED是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝12，BD＝16， ∴，， 在Rt△COD中，由勾股定理得：CD＝＝＝10， 由（1）知，四边形OCED是矩形， ∴OE＝CD＝10． 44．（2023春•新市区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，过点A作AE∥BC，且AE＝DC，连接CE． （1）求证：四边形ADCE是矩形： （2）若AB＝5，BC＝8，求CE的长． 【答案】（1）见解析；（2）3． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC，D为BC的中点， ∴AD⊥BC， ∵AE∥BC ∴AE∥DC， ∵AE＝DC， ∴四边形ADCE是平行四边形， ∵∠ADC＝90°， ∴四边形ADCE是矩形． （2）解：∵AB＝AC，D是BC的中点， ∴∠ADB＝90°， ∵BC＝8， ∴BD＝4， ∴AD＝＝＝3， ∵四边形ADCE是矩形， ∴CE＝AD＝3， ∴CE的长是3． 45．（2023•开封模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，BE∥AC，AE∥BD，EO与AB交于点F． （1）求证：四边形AEBO是矩形； （2）若CD＝3，求EO的长． 【答案】（1）见解析； （2）3． 【解答】（1）证明：∵BE∥AC，AE∥BD ∴四边形AEBO是平行四边形． 又∵菱形ABCD对角线交于点O ∴AC⊥BD，即∠AOB＝90°． ∴四边形AEBO是矩形； （2）解：∵四边形AEBO是矩形， ∴EO＝AB， 在菱形ABCD中，AB＝CD， ∴EO＝CD＝3． 46．（2023•大兴区一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD的交于点O，延长CB到E，使得BE＝BC．连接AE．过点B作BF∥AC，交AE于点F，连接OF． （1）求证：四边形AFBO是矩形； （2）若∠ABC＝60°，BF＝1，求OF的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）2． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，AC⊥BD，AD＝BC， ∵BE＝BC， ∴AD＝BE， ∴四边形ADBE是平行四边形， ∴AE∥BD， ∵BF∥AC， ∴四边形AFBO是平行四边形， ∵AC⊥BD，AE∥BD， ∴AE⊥AC， ∴∠OAF＝90°， ∴平行四边形AFBO是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC，OA＝OC， 由（1）可知，四边形AFBO是矩形， ∴OF＝AB，OA＝BF＝1， ∴AC＝2OA＝2， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝2， ∴OF＝AB＝2， 即OF的长为2． 47．（2023•延庆区一模）如图，在平行四边形ABCD中，连接AC，∠BAC＝90°．点M为边AD的中点，连接CM并延长，交BA的延长线于点E，连接DE． （1）求证：四边形ACDE是矩形； （2）若BE＝10，DE＝12，求四边形BCDE的面积． 【答案】（1）证明见解答； （2）四边形BCDE的面积是90． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠MAE＝∠MDC， ∵点M为边AD的中点， ∴MA＝MD， 在△MAE和△MDC中， ， ∴△MAE≌△MDC（ASA）， ∴ME＝MC， ∴四边形ACDE是平行四边形， ∵∠ACD＝∠BAC＝90°， ∴四边形ACDE是矩形． （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，四边形ACDE是矩形， ∴AE＝CD，AB＝CD，∠AED＝90°， ∴DE⊥BE， ∵BE＝10，DE＝12， ∴AE＝AB＝CD＝BE＝×10＝5， ∵BE∥CD， ∴S四边形BCDE＝×（5+10）×12＝90， ∴四边形BCDE的面积是90． 48．（2023春•长沙期中）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，其中AD∥BC，AB∥CD，AC＝2OB，E为CD上一点，连接AE，OE． ​（1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若AE平分∠BAD，且BD＝2AD，求∠DOE的度数． 【答案】（1）证明见解析； （2）75°． 【解答】（1）证明：∵AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴BD＝2OB， ∵AC＝2OB， ∴AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB＝∠ADC＝90°，OA＝OD，BD＝2OD， ∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE＝45°， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴AD＝DE， ∵BD＝2AD， ∴OA＝OD＝AD， ∴△AOD是等边三角形， ∴∠ADO＝60°， ∴∠ODE＝∠ADC﹣∠ADO＝90°﹣60°＝30°， ∵AD＝DE，AD＝OD， ∴DE＝OD， ∴∠DOE＝∠DEO＝（180°﹣∠ODE）＝×（180°﹣30°）＝75°． 49．（2023•丰台区一模）如图，在▱ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，连接AE交CD于点F． （1）求证：四边形ACED是矩形； （2）连接BF，若∠ABC＝60°，CE＝2，求BF的长． 【答案】（1）证明见解答； （2）BF的长是2． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°， ∴AC⊥BC， ∵DE⊥BC， ∴AC∥DE， ∵四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上， ∴AD∥CE， ∴四边形ACED是平行四边形， ∵∠ACE＝90°， ∴四边形ACED是矩形． （2）解：∵四边形ACED是矩形，四边形ABCD是平行四边形， ∴AE＝CD＝AB，AF＝EF，AD＝CE＝CB＝2， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴BF⊥AE，AB＝AE＝BE＝2CE＝2×2＝4， ∴∠AFB＝90°，AF＝AE＝×4＝2， ∴BF＝＝＝2， ∴BF的长是2． 50．（2023春•鄂城区期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，EF⊥AB于F点，OG∥EF交AB于点G． （1）求证：四边形OEFG是矩形； （2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）5，2． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD， ∵E是AD的中点， ∴OE是△ABD的中位线， ∴OE∥FG， ∵OG∥EF， ∴四边形OEFG是平行四边形， ∵EF⊥AB， ∴∠EFG＝90°， ∴平行四边形OEFG是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝10，AC⊥BD， ∴∠AOD＝90°， ∵E是AD的中点， ∴OE＝AD＝AE＝5， 由（1）可知，四边形EFCO是矩形， ∴FG＝OE＝5， ∵EF⊥AB， ∴∠EFA＝90°， ∴AF＝＝＝3， ∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2， 故答案为：2． 【题型10 求矩形中最大值问题-梯子模型】 51．（2023春•裕华区校级期中）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝3，顶点A，B分别在y轴和x轴上，当点A在y轴上移动时，点B也随之在x轴上移动，在移动过程中，OD的最大值为（　　） A．8 B．9 C． D． 【答案】B 【解答】解：如图，取AB的中点E，连接OE、DE， ∵OD≤OE+DE， ∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大， 此时，∵AB＝8，BC＝3， ∴OE＝AE＝AB＝4， ∴DE＝＝5， ∴OD的最大值为：5+4＝9； 故选：B． 【题型11 求矩形中最小值问题】 52．（2023•台湾）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，且有一点P从B点沿着BD往D点移动，若过P点作AB的垂线交AB于E点，过P点作AD的垂线交AD于F点，则EF的长度最小为多少（　　） A． B． C．5 D．7 【答案】B 【解答】解：如图，连接AP、EF， ∵PE⊥AB，PF⊥AD， ∴∠AEP＝∠AFP＝90°． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°． ∴四边形AEPF为矩形． ∴AP＝EF． ∴要求EF的最小值就是要求AP的最小值． ∵点P从B点沿着BD往D点移动， ∴当AP⊥BD时，AP取最小值． 下面求此时AP的值， 在Rt△BAD中， ∵∠BAD＝90°，AB＝6，AD＝8， ∴BD＝＝＝＝10． ∵S△ABD＝＝， ∴AP＝＝＝． ∴EF的长度最小为：． 故本题选B． 53．（2023春•河东区期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（　　） A．5 B．3.6 C．2.4 D．4.8 【答案】D 【解答】解：如图，连接AD． ∵∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8， ∴． ∵DM⊥AB，DN⊥AC， ∴四边形AMDN为矩形， ∴AD＝MN， ∴当AD最小时，MN最小． 当AD⊥BC时，AD最小，此时S△ABC＝AB•AC＝AD•BC， ∴6×8＝10AD， ∴AD＝4.8， ∴线段MN的最小值为4.8． 故选：D． 54．（2023•烟台一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，点E在AD上，点F在BC上，且AE＝CF，连结CE，DF，则CE+DF的最小值为（　　） A．26 B．25 C．24 D．22 【答案】A 【解答】解：如图，连接BE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，∠BAE＝∠DCF＝90°， ∵AE＝CF， ∴△ABE≌△CDF， ∴BE＝DF， ∴CE+DF＝CE+BE， 如图，作点B关于A点的对称点B'，连接CB'， CB'即为CE+BE的最小值， ∵AB＝12，AD＝10， ∴BB'＝24，BC＝10， ∴， ∴CE+DF的最小值为26，故A正确． 故选：A． 【题型12 矩形中动点问题-分类讨论】 55.（2023•赵县二模）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝8cm，BC＝6cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是​（　　） A．当t＝3s时，四边形ABMP为矩形 B．当t＝4s时，四边形CDPM为平行四边形 C．当CD＝PM时，t＝3s D．当CD＝PM时，t＝3s或5s 【答案】D 【解答】解：根据题意，可得DP＝tcm，BM＝tcm， ∵AD＝8cm，BC＝6cm， ∴AP＝（8﹣t）cm，CM＝（6﹣t）cm， 当四边形ABMP为矩形时，AP＝BM， 即8﹣t＝t， 解得t＝4， 故A选项不符合题意； 当四边形CDPM为平行四边形，DP＝CM， 即t＝6﹣t， 解得t＝3， 故B选项不符合题意； 当CD＝PM时，分两种情况： ①四边形CDPM是平行四边形， 此时CM＝PD， 即6﹣t＝t， 解得t＝3， ②四边形CDPM是等腰梯形， 过点M作MG⊥AD于点G，过点C作CH⊥AD于点H，如图所示： 则∠MGP＝∠CHD＝90°， ∵PM＝CD，GM＝HC， ∴△MGP≌△CHD（HL）， ∴GP＝HD， ∵AG＝AP+GP＝8﹣t+， 又∵BM＝t， ∴8﹣t+＝t， 解得t＝5， 综上，当CD＝PM时，t＝3s或5s， 故C选项不符合题意，D选项符合题意， 故选：D． 56．（2023春•江津区期中）已知直角坐标系中，四边形OABC是长方形，点A，C的坐标分别为A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P是BC边上的一个动点，当△POD是腰长为5的等腰三角形时，则点P坐标为（　　） A．（2，4）（3，4） B．（2，4）（8，4） C．（2，4）（3，4）（8，4） D．（2，4）（2.5，4）（3，4）（8，4） 【答案】C 【解答】解：（1）OD是等腰三角形的底边时，P就是OD的垂直平分线与CB的交点，此时OP＝PD≠5； （2）OD是等腰三角形的一条腰时：若点O是顶角顶点时，P点就是以点O为圆心，以5为半径的弧与CB的交点， 在直角△OPC中，CP＝＝＝3， 则P的坐标是（3，4）； 若D是顶角顶点时，P点就是以点D为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，过D作DM⊥BC于点M， 在直角△PDM中，PM＝＝＝3， 当P在M的左边时，CP＝CM﹣PM＝5﹣3＝2，则P的坐标是（2，4）； 当P在M的右侧时，CP＝CM+PM＝5+3＝8，则P的坐标是（8，4）． 所以满足条件的点P的坐标为：（3，4）或（2，4）或（8，4）． 故选：C． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$