导数提升题课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

导数提升题 1 (2021新高考Ⅰ,22)已知函数f(x)=x(1-ln x).设为两个不相等的正数,且证明:2<+<e 函数f(x)的定义域为(0,+), f '(x)=x,令f '(x)>0,解得0<x<1,令f '(x)<0,解得x>1 ∴函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减. 由),即=, 令x1=, x2=, 则x1,x2为f(x)=k的两个实根 ,当x→0+时,f(x)→0+,当x→时, f(x)→,且f(1)=1, 故k∈(0,1),不妨令x1∈(0,1),x2∈(1,e),则, 先证明x1+x2>2,即证 令 ∵x∈(0,1) ∴∴h‘(x)>0恒成立,即h(x)为增函数 ∴h(x)<h(1)=0. ∴ ∴，即 再证,即证,即证). 令φ(x)= ∵ ∴在(0,1)上必存在唯一x0,使φ'(x0)=0, 且当x∈(0,x0)时,φ‘(x)>0,φ(x)单调递增；当x∈(x0,1)时,φ'(x)<0,φ(x)单调递减, 又x→0+时, f(x)→0+,且f(e)=0 ∴x→0+时,φ(x)→0+,又φ(1)= ∴ . 综上,2<+<e成立 ∵f(x)= ∴f '(x)=. 根据题意,得x1,x2是f '(x)=0的两个不相等的实根. 由f '(x)=0得,. 由题意得函数与y=ex的图象有两个不同的交点. 当a>1时,画出函数的图象,如图①所示, 当x∈, 当x∈(x1,x2)时,,f(x)在(x1,x2)上单调递减; 当x∈(x2,+∞)时,, f(x)在(x2)上单调递增. ∴x=x1和x=x2分别是f(x)的极大值点和极小值点,这与已知矛盾 .∴当a>1时,不满足题意,舍去 (2022全国乙理,16)已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2axex2(a>0且a≠1)的极小值点和极大值点.若x1<x2,则a的取值范围是_____. 图① 当0<a<1时,画出函数y=axln a与y=ex的图象,如图②所示, 设过原点的切线l与y=axln a的图象相切于点(x0,ln a),而y'=ax(ln a)2, 此时切线l的斜率k=· (ln a)2 ∴(ln a)2=,可得=e. ∴k=e(ln a)2,要使函数y=与y=ex的图象有两个不同的交点 则k<e,即e(ln a)2<e. ∴(ln a)2<1, 即 ∴<a<e.又0<a<1 ∴<a<1. 综上所述,a的取值范围是 图② (2022山西太原期末)已知函数f(x)=x2+2ax, g(x)=,若存在点A(x1, f(x1)),B(x2,g(x2))使得直线AB与两曲线y=f(x)和y=g(x)都相切,则当实数a取最小值时,x1+x2=_____. ∵f(x)=x2+2ax ∴f ‘(x)=2x+2a ，f '(x1)=2x1+2a, 又f(x1)=+2ax1 ∴曲线y=f(x)在A点处的切线方程为y=(2x1+2a)x①. ∵g(x)= ∴g‘(x)= ，g’(x2)=, 同理可得曲线y=g(x)在B点处的切线方程为y=x②. 由题意知①②都为直线AB的方程,∴ 消去x2,得a=x1 令h(x)=,则h'(x)== 令h'(x)=0,得x= 当x∈,)时,h(x)单调递减；当x∈(,+∞)时,h(x)单调递增 ∴当x=时,h(x)有最小值 ∴x1=,则x2== ∴x1+x2=2 已知f(x)是定义在)上的偶函数, f '(x)是f(x)的导函数,当x<0时,有0恒成立,且,则不等式 >x的解集是_____. 令F(x)=(x≠0), ∵ f(x)是定义在上的偶函数 ∴F===F(x) ∴F(x)在上也是偶函数. 又x<0时,有, ∴F'(x)==<0在上恒成立 则F(x)在上单调递减,由偶函数的性质得,F(x)在上单调递增. 易知 当x<0时,由 >x,得 <1,即F(x)=<1==解得 当x>0时,由 >x,得 >1, 即F(x)=>1==F(1),解得x>1. 综上所述,不等式 >x的解集是 设g(x)=则函数f(x)零点的个数即为函数g(x)的图象与直线y=a的交点个数. 当x>0时,g‘(x)= 令g’(x)<0,得0<x<1 ; 令g'(x)>0,得x>1, 则函数g(x)在(0,1)上单调递减,在上单调递增,且; 当x≤0时,g'(x)=3x2+6x, 令g'(x)<0,得 ; 令g'(x)>0,得, 则函数g(x)在上单调递减,在上单调递增,且 作出函数y=g(x)的图象,如图所示 由图象知,当时, f(x)有2个零点;当0≤a<1时, f(x)有4个零点. ∵函数f(x)恰有偶数个零点 ∴ a的取值范围为 (2021湖北黄冈期中)若函数f(x)=恰有偶数个零点,则实数a的取值范围为_____.　　　　　　 (2022浙江杭州月考)已知函数f(x)=,若函数f(x)在区间()上存在最大值,则实数m的取值范围是_____.　　　　 令f '(x)<0,可得 ; 令f '(x)>0,可得 ∴函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为 ∴ 令f(x)=13,得 即2 作出f(x)的大致图象如图所示: 由题意可得解得. 因此实数m的取值范围是 (详解略) _____. 已知函数f(x)=,g(x)=,若f成立,则的最小值为_____. 令t=f(m)=g(n),则, +ln ∴,n=2 ∴2, 令h(t)= 2,则h'(t)=2(t>0),令h'(t)=0,得t= 当0<t<时,h'(t)<0,h(t)单调递减 ; 当t>时,h'(t)>0,h(t)单调递增, ∴h(t)min=h=,即的最小值为 , ① ② ① ② 的值 ∴ ∴ ∴ ∴∴ . 点 已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈时,不等式 成立,若a=f(),b=f,c=lo9f(lo) 则的大小关系是_____. 当x∈(0,+∞)时,不等式成立, 令g(x)=,则g'(x)='=<0, ∴g(x)在(0,+∞)上单调递减. a=f()==g(),b=f==g, c=9f(lo)=2f==g ∵f(x)是定义在R上的奇函数, ∴g(x)是定义在上的偶函数, 则g=g ∵==>=>>0,且g(x)在(0,+∞)上是减函数 ∴g()<g<g,则a<b<c $$