第08讲 图形的轴对称 （4个知识点+6种经典题型+试题练习）-2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第08讲 图形的轴对称 （4个知识点+6种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．轴对称的性质 （1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 由轴对称的性质得到一下结论： ①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称； ②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． （2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 【例1】（2023秋•宁波期末）如图，在中，，，，点为上一点，点、分别是点关于、的对称点，则的最小值是　　 A．2 B． C． D．4 【变式1】（2023秋•义乌市校级期中）如图，在中，，，，垂足为，与关于直线对称，点的对称点是点，则的度数为　　 A． B． C． D． 【变式2】．（2023秋•上城区期末）如图，以所在直线为对称轴作，，则　　． 【变式3】（2022秋•上城区校级期中）如图，点在的内部，点和点关于对称，点关于对称点是，连接交于，交于． （1）①若，则　　； ②若，求的度数． （2）若，则的周长为　　． 知识点2．轴对称图形 （1）轴对称图形的概念： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． （2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． （3）常见的轴对称图形： 等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等． 【例2】（2021秋•义乌市期末）已知如图，有 　　条对称轴． 【变式1】（2023秋•拱墅区期中）在如图所示的正方形网格中，已有两个正方形涂黑，请再将其中的一个空白正方形涂黑，使涂黑部分图形是一个轴对称图形（最少三种不同方法）． 【变式2】（2022秋•乐清市月考）为迎接即将到来的国庆节，市区广场上设置了一个呈轴对称图形的平面造型（如图所示），其正中间为一个半径为的半圆，摆放花草，其余部分为展板区．已知米．米．则展板的面积为 　　，摆放花草造价为450元平方米，展板造价为80元平方米，那么制作整个造型的造价是取　　元． 【变式3】围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑、白棋子摆成的图案中，是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 知识点3．作图-轴对称变换 几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是： ①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足； ②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点； ③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形． 【例3】（2021秋•阳新县期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）在平面直角坐标系中画出，以及与关于轴对称的； （2）的面积是 　　； （3）已知为轴上一点，若的面积为4，求点的坐标． 【变式1】（2023秋•台州期末）如图，在正方形网格中，点，，均为网格线交点，请按要求作图，作图过程仅使用无刻度的直尺，保留作图痕迹，无需说明理由． （1）如图1，作出关于直线对称的图形； （2）如图2，在直线上求作点，使得． 【变式2】（2023秋•衢州期末）如图，在单位长度1的正方形网格中有一个． （1）请画出关于直线成轴对称的图形△． （2）若此时的坐标为，则点的坐标为，请在图中画出平面直角坐标系，并写出点的坐标． 知识点4．轴对称-最短路线问题 1、最短路线问题 在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点． 2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 【例4】（2020秋•萧山区期中）如图，在锐角中，，的平分线交于点，、分别是，上的动点，则的最小值是　　 A．3 B．2 C． D． 【变式1】（2022秋•临海市校级期中）如图所示，，点是内一定点，并且，点、分别是射线，上异于点的动点，当的周长取最小值时，点到线段的距离为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（2022秋•北仑区期中）如图，中，，，，点为边上的动点，过点作于点，则的最小值为 　　． 【变式3】（2022秋•椒江区校级月考）如图，直线是中边的垂直平分线，点是直线上的一动点，若，，， （1）求的最小值，并说明理由； （2）求周长的最小值． 经典题型汇编 题型一.轴对称图形的识别 1．（八年级上·浙江·课后作业）下列图形：①长方形；②三角形；③圆．其中是轴对称图形的是 ．(填序号) 2．（23-24八年级上·浙江丽水·阶段练习）下面垃圾分类的图标中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（19-20八年级上·浙江宁波·期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，△ABC的三个顶点都在格点（即这些小正方形的顶点）上，且它们的坐标分别是A（2，﹣3），B（5，﹣1），C（1，3），结合所给的平面直角坐标系，解答下列问题： （1）请在如图坐标系中画出△ABC； （2）画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'，并写出△A'B'C'各顶点坐标。 题型二.成轴对称的两个图形的识别 4．（20-21八年级上·浙江杭州·阶段练习）环保理念深入人心，垃圾分类的标识中，是轴对称图形的是（   ） A．B． C． D． 5．（八年级上·浙江·课后作业）下列各组图形中成轴对称是(     ) A． B． C． D． 6．（2020·浙江杭州·模拟预测）给出如下三个图案，它们具有的公共特点是： ．（写出1个即可） 题型三.根据成轴对称图形的特征进行判断 7．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）下列命题中，是真命题的是（　　） A．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等 B．等腰三角形的对称轴是底边上的高线 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 D．同位角相等 8．（2022八年级上·浙江·专题练习）如图，在△ABC中，点P为AB和BC垂直平分线的交点，点Q与点P关于AC对称，连接PC，PQ，CQ．若△PCQ中有一个角是50°，则∠B= 度． 9．（21-22八年级上·全国·课后作业）如图，△ABC与△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．若ED＝4cm，FC＝1cm，∠BAC＝76°，∠EAC＝58°． (1)求出BF的长度； (2)求∠CAD的度数； (3)连接EC，线段EC与直线MN有什么关系？ 题型四.根据成轴对称图形的特征进行求解 10．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如图，与关于直线对称，，则度数为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，以所在直线为对称轴作，，则 ． 12．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，已知的位置如图所示． (1)请作出向右平移5个单位后得到的（其中点，，分别是点A，B，C的对应点，不写画法）； (2)写出点B关于x轴的对称点的坐标． 题型五.台球桌面上的轴对称问题 13．（2021·中考真题）如图，直线，相交于点．为这两直线外一点，且．若点关于直线，的对称点分别是点，，则，之间的距离可能是（    ） A．0 B．5 C．6 D．7 14．（20-21八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在锐角△ABC中，AB＝ ，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是 ． 15．（八年级上·浙江舟山·阶段练习）台球桌的形状是一个长方形，当母球被击打后可能在不同的边上反弹，为了母球最终击中目标球，击球者需作出不同的设计，确定击球的方向，因此，台球既复杂又有趣，台球运动被称为智慧和技能的较量． 问题1：如图（1），如果母球P击中桌边点A，经桌边反弹击中相邻另一条桌边，再次反弹，那么母球P经过的路线BC与PA平行吗？证明你的判断． 问题2：在一张简易球桌ABCD上，如图（2）所示，目标球F、母球E之间有一个G球阻挡，击球者想通过击打母球E先撞球台的CD边，过一次反弹后再撞击F球，他应将E球打到CD边上的哪一点？ 请用尺规作图在图（2）中作出这一点． 问题3：如图（3），在简易球台ABCD上，已知AB=4，BC=3．母球P从角落A以45°角击出，在桌子边缘回弹若干次后，最终必将落入 （填A、B、C、D）角落的球袋，在它落入球袋之前，与桌子边缘共回弹了 次；若AB=100，BC=99，母球P还终将会落入某个角落的球袋，则它在落入球袋之前，在桌子边缘总共回弹了 次． 考点：作图—应用与设计作图． 题型六.折叠问题 16．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，在纸片中，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，则的周长是（    ）    A． B． C． D． 17．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，的周长为，把的边对折，使顶点C和点A重合，折痕交边于点D，交边于点E，连接，若，则的周长是 ． 18．（23-24八年级上·浙江台州·期中）如图，已知，点D在边上，点E在边上，以为对称轴翻折三角形，使顶点C和A重合，连接．若的周长为30，，求的周长． 试题练习 一、单选题 1．如图，与关于直线对称，且，，则（    ）    A． B． C． D． 2．如图，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是（    ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 3．下列防控“新冠肺炎”的图片中，是轴对称图形的是（    ） 4．下列命题中是真命题的是（　　） A．如果，那么 B．三角形的一个外角等于两个内角之和 C．两个全等三角形的面积一定相等 D．两个全等三角形一定能成轴对称 5．如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角（（如：，））．当小球第次碰到长方形的边时的点为，第次碰到长方形的边时的点为，……第次碰到长方形的边时的点为图中的（    ）    A．点 B．点 C．点 D．点 6．如图，△ABC中，D点在BC上，∠B=62°，∠C=53°，将D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，并连接AE、AF． 则∠EAF的度数为（　   　） A．124° B．115° C．130° D．106° 7．如图所示，△ABC与△DEF 关于直线l对称，下列说法错误的是（   ） A．AB=DE B．∠BAC=∠EDF C．点B和点E到直线l的距离相等 D．ACDE 8．如图，，点B关于的对称点E恰好落在上，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 9．下列各组图中，左右两个图形成轴对称的是(     ) A． B． C． D． 10．如图，和关于直线对称，下列结论中： ①； ②； ③l垂直平分； ④直线和的交点不一定在l上， 正确的有（　　）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 11．如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其中叫做入射角，叫做反射角，如果每次的入射角总是等于反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的 ．    12．看镜子里有一个数“”，这个数实际是 ． 13．如图，在中，点D，E分别在边，上，点A与点E关于直线对称．若，，，则的周长为 ．    14．观察下列图形: 其中是轴对称图形的有 个. 15．如图，直线AC是四边形ABCD的对称轴，则 垂直平分 . 16．如图，在中，，，，点E是边上一动点，沿把翻折到的位置，使与边交于点F，连结．当是直角三角形时，的长为 ． 三、解答题 17．小明家中客厅的南北长度是，在客厅西墙上装了一面很大很大的镜子，客厅的门在东墙.某日小敏去小明家，刚进门就说：“呀，你家客厅好大呀，估计有50多平方米吧？”小明说：“没有，不足30平方米.”请你解释，两人的估算怎么会差别如此之大？究竟谁说错了呢？ 18．已知：如图，是一个长方形的台球面，有、两球分别位于图中所在位置，试问怎样撞击球，才能使先碰到台边反弹后再击中球？在图中画出球的运动线路． 19．如图是由个小正方形组成的正方形网格图，现已将其中的两个涂黑．请你用四种不同的方法分别在下图中再涂黑三个空白的小正方形，使整个图形成为轴对称图形． 20．如图，在平面直角坐标系中，，，．    (1)已知与关于y轴对称，作出． (2)在y轴上找一点P，使得的周长最小，请在图中标出点P位置 21．如图是两个全等的直角三角形纸片，且，按如图的两种方法分别将其折叠，使折痕（图中虚线）过其中的一个顶点，且使该顶点所在角的两边重合，记折叠后不重叠部分面积分别为．        (1)若，求的值． (2)若，求的值． 22．如图，在正方形网格上有一个． (1)画出关于直线l对称的图形； (2)在直线l上找一点P，使的长最短．（不写作法，保留作图痕迹） 23．如图，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图． (1)画，使它与关于直线成轴对称；并求出面积； (2)在直线上找一点P，使点P到点A、B的距离之和最短； (3)在直线上找一点Q，使点Q到边的距离相等． 24．定义：如果有三个角，满足，则称是和的“减余角”． (1)已知，，若是和的“减余角”，则 ． (2)现有一张正方形纸片，如图所示，点为线段上一点（不与重合）．连结，将纸片沿着对折，使点落在正方形纸片的内部且对应点为． ①若是和的“减余角”，求的度数． ②再将此正方形纸片沿着所在直线对折，使点落在正方形纸片的内部且对应点为，如图所示．是否存在，，中的一个角是其它两个角的“减余角”？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 图形的轴对称 （4个知识点+6种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．轴对称的性质 （1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 由轴对称的性质得到一下结论： ①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称； ②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． （2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 【例1】（2023秋•宁波期末）如图，在中，，，，点为上一点，点、分别是点关于、的对称点，则的最小值是　　 A．2 B． C． D．4 【分析】连接、、，由对称性可得，所以点、、在以点为圆心、以为半径的圆上，进而得，所以时，取得最小值，利用 ，可求． 【解答】解：连接、、， 点、关于轴对称， ， 同理，， ， 点、、在以点为圆心、以为半径的圆上， 由对称轴可知：， 为等腰直角三角形， ， 点在上， 当取得最小值，即时，取得最小值， 当时， ， 的最小值是． 故选：． 【点评】本题主要考查了轴对称的性质、等腰直角三角形性质以及垂线段最短的性质，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 【变式1】（2023秋•义乌市校级期中）如图，在中，，，，垂足为，与关于直线对称，点的对称点是点，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】求出，，利用三角形的外角的性质求解即可． 【解答】解：，， ， ，与关于直线对称， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查轴对称，三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【变式2】．（2023秋•上城区期末）如图，以所在直线为对称轴作，，则　　． 【分析】根据轴对称性质，对应的角相等，． 【解答】解：与关于所在直线为对称， ，， 又， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了轴对称性质，轴对称图形的对应角相等，对应边相等． 【变式3】（2022秋•上城区校级期中）如图，点在的内部，点和点关于对称，点关于对称点是，连接交于，交于． （1）①若，则　120　； ②若，求的度数． （2）若，则的周长为　　． 【分析】（1）根据轴对称的性质，可知，，可以求出的度数； （2）根据轴对称的性质，可知，，根据周长定义可以求出的周长； 【解答】解：（1）①点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， 故答案为：． ②点和点关于对称． ， 点关于对称点是， ， ． （2）根据轴对称的性质，可知，， 所以的周长为：， 故答案为：4 【点评】本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 知识点2．轴对称图形 （1）轴对称图形的概念： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． （2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． （3）常见的轴对称图形： 等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等． 【例2】（2021秋•义乌市期末）已知如图，有 　一　条对称轴． 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：图中值一条纵向的对称轴． 故答案为：一． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 【变式1】（2023秋•拱墅区期中）在如图所示的正方形网格中，已有两个正方形涂黑，请再将其中的一个空白正方形涂黑，使涂黑部分图形是一个轴对称图形（最少三种不同方法）． 【分析】根据轴对称图形的定义即可解决问题． 【解答】解：如图有5种方法： 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 【变式2】（2022秋•乐清市月考）为迎接即将到来的国庆节，市区广场上设置了一个呈轴对称图形的平面造型（如图所示），其正中间为一个半径为的半圆，摆放花草，其余部分为展板区．已知米．米．则展板的面积为 　12平方米　，摆放花草造价为450元平方米，展板造价为80元平方米，那么制作整个造型的造价是取　　元． 【分析】两头的扇形正好把中间的半圆补上，整个图形是一个长方形，据此列出代数式，把，的值代入求值即可；分别求出摆放花草部分造价，展板部分造价即可解决问题． 【解答】解：由题意：展板的面积（平方米）， 当米，米时，展板的面积（平方米）． 制作整个造型的造价（元． 故答案为：12平方米；3660． 【点评】本题考查矩形的性质，轴对称图形，圆的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【变式3】（2024•湖北一模）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑、白棋子摆成的图案中，是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意利用轴对称图形定义即可得到本题答案． 【解答】解：沿着一条直线折叠，直线两边的部分能完全重合的图形为轴对称图形， 为轴对称图形， 故选：． 【点评】本题考查轴对称图形的定义，掌握轴对称图形的定义和识别是解题的关键． 知识点3．作图-轴对称变换 几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是： ①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足； ②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点； ③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形． 【例3】（2021秋•阳新县期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）在平面直角坐标系中画出，以及与关于轴对称的； （2）的面积是 　4　； （3）已知为轴上一点，若的面积为4，求点的坐标． 【分析】（1）先利用关于轴对称的点的坐标特征得到、、的坐标，然后描点即可； （2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积； （3）设点坐标为，利用三角形面积公式得到，然后求出得到点坐标． 【解答】解：（1）如图，和为所作； （2）的面积； 故答案为4； （3）设点坐标为， 的面积为4， ， 解得或10， 点坐标为或． 【点评】本题考查了作图轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了三角形面积公式． 【变式1】（2023秋•台州期末）如图，在正方形网格中，点，，均为网格线交点，请按要求作图，作图过程仅使用无刻度的直尺，保留作图痕迹，无需说明理由． （1）如图1，作出关于直线对称的图形； （2）如图2，在直线上求作点，使得． 【分析】（1）分别作出点、关于直线的对称点，再与点首尾顺次连接即可； （2）作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点即为所求点． 【解答】解：（1）如图所示，△即为所求； （2）如图所示，点即为所求． 【点评】本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点． 【变式2】（2023秋•衢州期末）如图，在单位长度1的正方形网格中有一个． （1）请画出关于直线成轴对称的图形△． （2）若此时的坐标为，则点的坐标为，请在图中画出平面直角坐标系，并写出点的坐标． 【分析】（1）根据轴对称的性质，画出△即可； （2）根据点的坐标，确定原点的位置，画出直角坐标系，进而写出点的坐标即可． 【解答】解：（1）如图所示，△即为所求； （2）如图， 由图可知：． 【点评】本题考查画轴对称图形，坐标与图形，掌握轴对称的性质，是解题的关键． 知识点4．轴对称-最短路线问题 1、最短路线问题 在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点． 2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 【例4】（2020秋•萧山区期中）如图，在锐角中，，的平分线交于点，、分别是，上的动点，则的最小值是　　 A．3 B．2 C． D． 【分析】作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值，再根据是的平分线可知，再由锐角三角函数的定义即可得出结论． 【解答】解：如图，作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则的值最小， 是的平分线， ， 是点到直线的最短距离（垂线段最短）， ，， ． 的最小值是． 故选：． 【点评】本题考查的是轴对称最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值． 【变式1】（2022秋•临海市校级期中）如图所示，，点是内一定点，并且，点、分别是射线，上异于点的动点，当的周长取最小值时，点到线段的距离为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】分别作点关于和的对称点和，连接、、，则与的交点为点，与的交点为点，连接、，则此时的值即为的周长的最小值，过点作于点，求得的值，由含角的直角三角形的性质可得答案． 【解答】解：分别作点关于和的对称点和，连接、、，则与的交点为点，与的交点为点， 连接、，则此时的值即为的周长的最小值，过点作于点，如图所示： 由对称性可知， ， ， ， ，， ． 故选：． 【点评】本题考查了轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质、等腰三角形的性质及含角的直角三角形的性质是解题的关键． 【变式2】（2022秋•北仑区期中）如图，中，，，，点为边上的动点，过点作于点，则的最小值为 　　． 【分析】作点关于的对称点，过点作于点，交于点，点即为所求作的点，此时有最小值，连接，根据对称性的性质，，证明△，根据，即可求出的最小值． 【解答】解：如图，作点关于的对称点， 过点作于点，交于点， 点即为所求作的点，此时有最小值， 连接，根据对称性的性质， ， 在中，，，， ， ，，， △， ， 即， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了轴对称最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． 【变式3】（2022秋•椒江区校级月考）如图，直线是中边的垂直平分线，点是直线上的一动点，若，，， （1）求的最小值，并说明理由； （2）求周长的最小值． 【分析】（1）根据线段的性质即可得到结论； （2）根据题意知点关于直线的对称点为点，故当点与点重合时，值的最小，求出长度即可得到结论． 【解答】解：（1）； 原因：两点之间，线段最短； （2）是的垂直平分线，点在上， 点关于直线的对称点是点， 则， ， ， 要使周长最小， 即最小， 当点是与的交点时，最小， 即，此时． 【点评】本题考查了轴对称最短路线问题的应用，解此题的关键是找出的位置． 经典题型汇编 题型一.轴对称图形的识别 1．（八年级上·浙江·课后作业）下列图形：①长方形；②三角形；③圆．其中是轴对称图形的是 ．(填序号) 【答案】①③ 【分析】根据轴对称图形的概念求解． 【详解】①是轴对称图形；②不一定是轴对称图形；③是轴对称图形； 故选答案为：①③． 【点睛】考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合． 2．（23-24八年级上·浙江丽水·阶段练习）下面垃圾分类的图标中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选B． 3．（19-20八年级上·浙江宁波·期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，△ABC的三个顶点都在格点（即这些小正方形的顶点）上，且它们的坐标分别是A（2，﹣3），B（5，﹣1），C（1，3），结合所给的平面直角坐标系，解答下列问题： （1）请在如图坐标系中画出△ABC； （2）画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'，并写出△A'B'C'各顶点坐标。 【答案】（1）图见解析；（2）图见解析；A′(-2，-3)，B′(-5，-1)，C′(-1，3) 【分析】（1）在坐标系内描出各点，顺次连接各点即可； （2）分别作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接，并写出各点坐标即可； 【详解】（1）如图，△ABC为所求； （2）如图，△A'B'C'为所求；A′(-2，-3)，B′(-5，-1)，C′(-1，3) 【点睛】本题考查的是作图−轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键． 题型二.成轴对称的两个图形的识别 4．（20-21八年级上·浙江杭州·阶段练习）环保理念深入人心，垃圾分类的标识中，是轴对称图形的是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形的概念即可解决本题． 【详解】由轴对称图形概念，平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，叫做轴对称图形，能够判断出A为轴对称图形． 故答案为A． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，难度系数不高，解题的关键在于正确理解轴对称图形的概念． 5．（八年级上·浙江·课后作业）下列各组图形中成轴对称是(     ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据成轴对称的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做成轴对称，这条直线叫做对称轴；据此判断即可． 【详解】根据两个图形成轴对称的性质得出：只有选项D成轴对称图形． 故选D． 【点睛】此题主要考查了成轴对称图形的定义，掌握成轴对称的意义，判断是不是成轴对称的关键是找出对称轴，看图形沿对称轴对折后两部分能否完全重合． 6．（2020·浙江杭州·模拟预测）给出如下三个图案，它们具有的公共特点是： ．（写出1个即可） 【答案】都是轴对称图形 【分析】利用已知图形的特征分别得出其公共特征． 【详解】解：答案不唯一，例如：都是轴对称图形， 故答案为：都是轴对称图形． 【点睛】本题考查了轴对称图形，解题的关键是正确把握轴对称图形的特征． 题型三.根据成轴对称图形的特征进行判断 7．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）下列命题中，是真命题的是（　　） A．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等 B．等腰三角形的对称轴是底边上的高线 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 D．同位角相等 【答案】C 【分析】本题考查了真假命题的判断，根据全等三角形的判定的定理（SAS），对称轴的定义，垂线的性质，平行线的性质逐项判断即可．需要注意的是对称轴是直线而非线段，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线的前提是在同一平面内，掌握相关定义和性质是解题关键． 【详解】解：A、有两条边及其夹角对应相等的两个三角形全等，故选项A不符合题意； B、等腰三角形的对称轴是底边上的高线所在的直线，故选项B不符合题意； C、在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，是真命题，故选项C符合题意； D、只有两直线平行，同位角才相等，故选项D不符合题意； 故选：C． 8．（2022八年级上·浙江·专题练习）如图，在△ABC中，点P为AB和BC垂直平分线的交点，点Q与点P关于AC对称，连接PC，PQ，CQ．若△PCQ中有一个角是50°，则∠B= 度． 【答案】50或65 【分析】连接AP、BP，由点P为AB和BC垂直平分线的交点，得PA＝PB＝PC，知∠PAB＝∠PBA，∠PBC＝∠PCB，∠PAC＝∠PCA，又点Q与点P关于AC对称，可得PC＝QC，∠PCA＝∠QCA，∠CPQ＝∠CQP，分两种情况：①当∠CPQ＝∠CQP＝50°时，∠PCQ＝80°，可得∠PCA＝40°，∠PAC＝40°，即得2∠ABP+2∠PBC＝100°，∠ABC＝50°，②当∠PCQ＝50°时，同理可得∠ABC＝65°． 【详解】解：连接AP、BP，如图： ∵点P为AB和BC垂直平分线的交点， ∴PA＝PB＝PC， ∴∠PAB＝∠PBA，∠PBC＝∠PCB，∠PAC＝∠PCA， ∵点Q与点P关于AC对称， ∴PC＝QC，∠PCA＝∠QCA， ∴∠CPQ＝∠CQP， ①当∠CPQ＝∠CQP＝50°时，∠PCQ＝80°， ∴∠PCA＝40°， ∴∠PAC＝40°， ∴∠PAB+∠PBA+∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠PAC﹣∠PCA＝100°， ∴2∠ABP+2∠PBC＝100°， ∴∠ABP+∠PBC＝50°，即∠ABC＝50°， ②当∠PCQ＝50°时，∠PCA＝25°， ∴∠PAC＝25°， ∴∠PAB+∠PBA+∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠PAC﹣∠PCA＝130°， ∴2∠ABP+2∠PBC＝130°， ∴∠ABP+∠PBC＝65°，即∠ABC＝65°， 综上所述，∠ABC为50°或65°， 故答案为：50或65． 【点睛】本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握三角形内角和定理的应用及轴对称的性质． 9．（21-22八年级上·全国·课后作业）如图，△ABC与△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．若ED＝4cm，FC＝1cm，∠BAC＝76°，∠EAC＝58°． (1)求出BF的长度； (2)求∠CAD的度数； (3)连接EC，线段EC与直线MN有什么关系？ 【答案】(1)BF＝3cm (2)∠CAD＝18° (3)直线MN垂直平分线段EC 【分析】（1）先根据轴对称的性质得出BC＝ED＝4cm，再根据FC＝1cm，求出BF的长度即可； （2）根据轴对称的性质得出∠EAD＝∠BAC＝76°，再根据∠EAC＝58°求出结果即可； （3）直接根据轴对称的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，ED＝4cm，FC＝1cm， ∴BC＝ED＝4cm， ∴BF＝BC﹣FC＝3cm． （2）解：∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，∠BAC＝76°，∠EAC＝58°， ∴∠EAD＝∠BAC＝76°， ∴∠CAD＝∠EAD﹣∠EAC＝76°﹣58°＝18°． （3）解：直线MN垂直平分线段EC．理由如下：如图， ∵E，C关于直线MN对称， ∴直线MN垂直平分线段EC． 【点睛】本题主要考查轴对称的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 题型四.根据成轴对称图形的特征进行求解 10．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如图，与关于直线对称，，则度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质、三角形内角和定理，由轴对称的性质可得，再由三角形内角和定理进行计算即可．熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：和关于直线对称，， ， 又∵， ， 故选：C． 11．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，以所在直线为对称轴作，，则 ． 【答案】/90度 【分析】本题考查了轴对称性质．根据轴对称性质，对应的角相等，． 【详解】解：与关于所在直线为对称， ，， 又， ， ． 故答案为：． 12．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，已知的位置如图所示． (1)请作出向右平移5个单位后得到的（其中点，，分别是点A，B，C的对应点，不写画法）； (2)写出点B关于x轴的对称点的坐标． 【答案】(1)图见详解； (2)； 【分析】（1）本题考查画平移图形，根据平移的方向及单位长度直接画即可得到答案； （2）本题考查求关于坐标轴对称点的坐标，根据关于轴对称横坐标不变，纵坐标互为相反数直接求解即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， 如图所示， （2）解：由图像可得，， ∵点是点B关于x轴的对称的点， ∴． 题型五.台球桌面上的轴对称问题 13．（2021·中考真题）如图，直线，相交于点．为这两直线外一点，且．若点关于直线，的对称点分别是点，，则，之间的距离可能是（    ） A．0 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】连接根据轴对称的性质和三角形三边关系可得结论． 【详解】解：连接，如图， ∵是P关于直线l的对称点， ∴直线l是的垂直平分线， ∴ ∵是P关于直线m的对称点， ∴直线m是的垂直平分线， ∴ 当不在同一条直线上时， 即 当在同一条直线上时， 故选：B 【点睛】此题主要考查了轴对称变换，熟练掌握轴对称变换的性质是解答此题的关键 14．（20-21八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在锐角△ABC中，AB＝ ，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是 ． 【答案】6 【分析】作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值，再根据AD是∠BAC的平分线可知M′H=M′N′，再由锐角三角函数的定义即可得出结论． 【详解】解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值． ∵AD是∠BAC的平分线， ∴M′H=M′N′， ∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短）， ∵AB=，∠BAC=45°， ∴BH=AH ∴ ∴BH=6． ∵BM+MN的最小值是BM′+M′N′=BM′+M′H=BH=6． 故答案为6． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值． 15．（八年级上·浙江舟山·阶段练习）台球桌的形状是一个长方形，当母球被击打后可能在不同的边上反弹，为了母球最终击中目标球，击球者需作出不同的设计，确定击球的方向，因此，台球既复杂又有趣，台球运动被称为智慧和技能的较量． 问题1：如图（1），如果母球P击中桌边点A，经桌边反弹击中相邻另一条桌边，再次反弹，那么母球P经过的路线BC与PA平行吗？证明你的判断． 问题2：在一张简易球桌ABCD上，如图（2）所示，目标球F、母球E之间有一个G球阻挡，击球者想通过击打母球E先撞球台的CD边，过一次反弹后再撞击F球，他应将E球打到CD边上的哪一点？ 请用尺规作图在图（2）中作出这一点． 问题3：如图（3），在简易球台ABCD上，已知AB=4，BC=3．母球P从角落A以45°角击出，在桌子边缘回弹若干次后，最终必将落入 （填A、B、C、D）角落的球袋，在它落入球袋之前，与桌子边缘共回弹了 次；若AB=100，BC=99，母球P还终将会落入某个角落的球袋，则它在落入球袋之前，在桌子边缘总共回弹了 次． 考点：作图—应用与设计作图． 【答案】问题1 BC∥PA；问题2见解析；问题3比前一次的位置下移2格，所以要撞击边的次数为100+99﹣2=197次． 【详解】试题分析：（1）类似于光线的反射问题，可通过计算同旁内角互补，得出平行的结论； （2）入射角等于反射角，找出E点关于AB的对称点E1，连接E1F交AB于H根据对称图形的特点及对顶角相等得出∠BHF=∠E1HA=∠EHA，求出E1N及NF的长运用勾股定理求出E1F的长，因对应边EH=E1H，E1H即为所求； （3）根据当AB=4，AD=3时的例图及弹子的运行规律：每一条运行轨迹都是一个正方形的对角线，画出图形，即可得出结论． 解：（1）如图， ∵∠PAD=∠BAE，∠PAB=180°﹣∠PAD﹣∠BAE， ∴∠PAB=180°﹣2∠BAE． 同理，∠ABC=180°﹣2∠ABE． ∵∠BAE+∠ABE=90°， ∴∠PAB+∠ABC=360°﹣2（∠BAE+∠ABE）=180°． ∴BC∥PA． （2）可作点E关于直线AB的对称点E1，连接E1F，E1F与AB交于点H，球E的运动路线就是EH→HF， 过点F作AB的平行线交E1E的延长线于点N， ； （3）如图， 母球P从角落A以45°角击出，在桌子边缘回弹若干次后，最终必将落入B（填A、B、C、D）角落的球袋，在它落入球袋之前，与桌子边缘共回弹了5次； 设由DC边反弹，弹子撞击BC边的位置距离C点为K格，从BC边反弹后，弹子撞击AB边的位置距离B点为（99﹣k）格，距离A点为（k+1）格经过AB边反弹后，弹子撞击AD边的位置距离A点为（k+1）格，距离D点为[99﹣（K+1）]格，经AD反弹，弹子撞击DC边的位置距离D点为[99﹣（k+1）]格，距离C点为100﹣[99﹣（K+1）]=K+2格再撞击BC边的位置距离C点为k+2格，即比前一次的位置下移2格，所以要撞击边的次数为100+99﹣2=197次． 题型六.折叠问题 16．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，在纸片中，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，则的周长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了翻折变换以及三角形的周长，根据折叠的性质结合三角形三边的长度求出、的长度是解题的关键．根据折叠的性质可得出、，结合、、的长度可求出、的长度，再根据三角形周长公式即可求出结论． 【详解】解：根据折叠可知：、 ， :, ， . 故选：A． 17．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，的周长为，把的边对折，使顶点C和点A重合，折痕交边于点D，交边于点E，连接，若，则的周长是 ． 【答案】40 【分析】根据翻折变换的性质可得，然后求出的周长，再代入数据计算即可得解．本题考查了翻折变换的性质，熟记翻折变换前后的图形能够互相重合得到相等的边是解题的关键． 【详解】解：∵的边对折，使顶点C和点A重合 ∴， ∴的周长， ∵的周长为， ∴ ∴， ∴的周长是． 故答案为：40． 18．（23-24八年级上·浙江台州·期中）如图，已知，点D在边上，点E在边上，以为对称轴翻折三角形，使顶点C和A重合，连接．若的周长为30，，求的周长． 【答案】22 【分析】此题主要考查了翻折变换的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是利用翻折变换的性质得出，进而得出，再求出，继而利用可得的周长． 【详解】解：由折叠可知：垂直平分，， ∴， ∵的周长为30， 则， 故的周长． 试题练习 一、单选题 1．如图，与关于直线对称，且，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据关于直线对称的两个图形全等求得的度数，然后在中利用三角形内角和定理求解． 【详解】解：依题意，得， ， 则中，． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质及三角形的内角和定理，理解轴对称的两个图形全等是本题的关键． 2．如图，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是（    ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】B 【分析】利用轴对称变换的性质判断即可． 【详解】解：如图，过点P，点B的射线交于一点O， 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称变换的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 3．下列防控“新冠肺炎”的图片中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称图形的识别，根据将一个图形沿一条直线折叠，两边完全重合的图形叫轴对称图形逐个判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， A选项图形不是轴对称图形，不符合题意， B选项图形不是轴对称图形，不符合题意， C选项图形不是轴对称图形，不符合题意， D选项图形是轴对称图形，符合题意， 故选：D． 4．下列命题中是真命题的是（　　） A．如果，那么 B．三角形的一个外角等于两个内角之和 C．两个全等三角形的面积一定相等 D．两个全等三角形一定能成轴对称 【答案】C 【分析】本题主要考查了判断命题真假，轴对称图形的定义，全等三角形的性质，三角形外角的性质，乘方的定义等等，根据乘方的定义可判断A；根据三角形外角的性质可判断B；根据全等三角形的性质可判断C；根据轴对称图形的定义可判断D． 【详解】解：A．如果，那么，原命题是假命题，不符合题意； B．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，原命题是假命题，不符合题意； C．两个全等三角形的面积一定相等，原命题是真命题，符合题意； D．两个全等三角形不一定能成轴对称，原命题是假命题，不符合题意； 故选：C． 5．如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角（（如：，））．当小球第次碰到长方形的边时的点为，第次碰到长方形的边时的点为，……第次碰到长方形的边时的点为图中的（    ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2019除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可． 【详解】解：如图所示，经过6次反弹后动点回到出发点P，    ∵2019÷6=336…3， ∴当点P第2019次碰到矩形的边时为第337个循环组的第3次反弹， ∴第2019次碰到矩形的边时的点为图中的点N， 故选A． 【点睛】此题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键． 6．如图，△ABC中，D点在BC上，∠B=62°，∠C=53°，将D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，并连接AE、AF． 则∠EAF的度数为（　   　） A．124° B．115° C．130° D．106° 【答案】C 【分析】根据轴对称的性质，可知：∠EAF=2∠BAC，从而可得到答案. 【详解】连接AD， ∵△ABC中，∠B=62°，∠C=53°， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-62°-53°=65°， ∵D点分别以AB、AC为对称轴的对称点为E、F， ∴∠EAB=∠DAB，∠FAC=∠DAC， ∴∠EAF=2∠BAC=2×65°=130°， 故选C. 【点睛】本题主要考查轴对称图形的性质，根据题意，得到∠EAF=2∠BAC是解题的关键. 7．如图所示，△ABC与△DEF 关于直线l对称，下列说法错误的是（   ） A．AB=DE B．∠BAC=∠EDF C．点B和点E到直线l的距离相等 D．ACDE 【答案】D 【分析】利用轴对称的性质解决问题即可． 【详解】解∶∵△ABC与△DEF 关于直线l对称， ∴△ABC≌△DEF， ∴∠BAC=∠EDF， AB=DE，直线l垂直平分线段BE， ∴点B和点E到直线l的距离相等， 由已知条件无法判断ACDE， 故选项A， B， C正确，D错误， 故选∶D． 【点睛】本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称的性质． 8．如图，，点B关于的对称点E恰好落在上，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，四边形内角和以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造四边形． 连接，过A作于F，依据，，即可得出，再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到． 【详解】解：如图，连接，过点A作于点， ∵点B关于的对称点E恰好落在上， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴中，， ∴， 故选：A． 9．下列各组图中，左右两个图形成轴对称的是(     ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形的概念求解． 【详解】根据轴对称图形的概念可得：是轴对称图形的是：A． 故选A． 【点睛】此题考查了轴对称图形，掌握好轴对称的概念．轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合． 10．如图，和关于直线对称，下列结论中： ①； ②； ③l垂直平分； ④直线和的交点不一定在l上， 正确的有（　　）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】对于①，由轴对称的性质可知，关于某条直线对称的两个图形全等，即可判断正误;对于②，由轴对称的性质可知，对应角，据此不难判断正误；根据对应点、对应线段与对称轴的关系，对③④的正误进行判断，即可得到答案． 【详解】解：∵和关于直线对称， ∴，故①正确； 又∵， ∴， 即，故②正确； ∵和关于直线对称， ∴l垂直平分，故③正确； ④应为：直线和的交点不一定在l上，故本小题错误， 综上所述，结论正确的是①②③共3个， 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称的性质与运用，掌握轴对称的性质是解题的关键． 二、填空题 11．如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其中叫做入射角，叫做反射角，如果每次的入射角总是等于反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的 ．    【答案】号袋 【分析】根据每次的入射角总是等于反射角画出球运动的路线，即可得出答案． 【详解】解：如图，球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中号袋．    故答案为：号袋． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是根据题意画出球运动的路线． 12．看镜子里有一个数“”，这个数实际是 ． 【答案】8105 【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，属于左右对称；据此分析并作答. 【详解】根据镜面对称的性质，镜面对称在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，则这个号码是8105．故答案为8105. 【点睛】本题主要考查了对称性质，熟悉掌握是关键. 13．如图，在中，点D，E分别在边，上，点A与点E关于直线对称．若，，，则的周长为 ．    【答案】11 【分析】本题主要考查了轴对称的性质．根据轴对称的性质可得，，进而得出，再根据三角形的周长公式，即可求解． 【详解】解：∵点A与点E关于直线对称， ∴，， ∵， ∴， ∴的周长． 故答案为：11． 14．观察下列图形: 其中是轴对称图形的有 个. 【答案】3 【详解】（1）有三条对称轴，是轴对称图形，符合题意； （2）有五条对称轴，是轴对称图形，符合题意； （3）没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； （4）有对称轴，是轴对称图形，符合题意. ∴是轴对称图形的有3个. 故答案为3. 15．如图，直线AC是四边形ABCD的对称轴，则 垂直平分 . 【答案】 AC; BD. 【分析】根据直线AC是四边形ABCD的对称轴，结合对称轴将图形分为完全相同的两份，得到OB=OD，再通过已知条件确定∠DOC的大小，即可证明AC垂直平分BD. 【详解】如图： 直线AC是四边形ABCD的对称轴， ∴DO=BO，CD=CB，CO=CO， ∴△COD≌△COB， ∴∠DOC=∠BOC， 又∠BOD=180°， ∴∠DOC=90°， ∴AC⊥BD， 即AC垂直平分BD. 故答案为AC、BD 【点睛】此题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解答此题的关键. 16．如图，在中，，，，点E是边上一动点，沿把翻折到的位置，使与边交于点F，连结．当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】6或5.6 【分析】本题考查翻折变换、勾股定理、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．分当时及当时两种情形分别求解即可． 【详解】解：①如图，当时，过点A作交的延长线于点H，过点E作交的延长线于点N， ， ， ， 。 设则， 由折叠的性质可得：，， ， ， ， 中，， ， 解得：， ； ②如图，当时， ， ,, 由折叠的性质可得：, , , 时， , 设则， 中，， ， 解得：， ， ． 故答案为：6或5.6 三、解答题 17．小明家中客厅的南北长度是，在客厅西墙上装了一面很大很大的镜子，客厅的门在东墙.某日小敏去小明家，刚进门就说：“呀，你家客厅好大呀，估计有50多平方米吧？”小明说：“没有，不足30平方米.”请你解释，两人的估算怎么会差别如此之大？究竟谁说错了呢？ 【答案】小敏说错了 【分析】根据平面镜成像原理：镜子中的客厅的面积是实物面积的虚像，虚像的面积与实像的面积相等，故小敏看到的是实像与虚像的面积之和，从而可判定小敏说错了，小明说的是实际面积. 【详解】小敏把镜子里看到的都算在一起了，镜子里的虚像使的室内空间在视觉上加倍了，所以小敏误认为有50多平方米，小敏说错了.小明说的是实际面积. 【点睛】此题考查的是平面镜成像问题，掌握平面镜成像原理：镜子中的客厅的面积是实物面积的虚像，虚像的面积与实像的面积相等，是解决此题的关键. 18．已知：如图，是一个长方形的台球面，有、两球分别位于图中所在位置，试问怎样撞击球，才能使先碰到台边反弹后再击中球？在图中画出球的运动线路． 【答案】见解析 【分析】首先作出点A关于FC的对称点，再连接交FC于点P，连接AP，PB，可得A球的运动路线． 【详解】如图所示：运动路线：． 【点睛】本题主要考查生活中的轴对称现象，关键是掌握轴对称的性质． 19．如图是由个小正方形组成的正方形网格图，现已将其中的两个涂黑．请你用四种不同的方法分别在下图中再涂黑三个空白的小正方形，使整个图形成为轴对称图形． 【答案】见解析 【分析】根据轴对称的性质可知，正方形是轴对称图形，是四边的垂直平分线，所以可以先找到正方形的对称轴，在对称图形中找到相同的部分是轴对称图形． 【详解】解：如图所示 【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，请注意，要画轴对称图形要先找对称轴． 20．如图，在平面直角坐标系中，，，．    (1)已知与关于y轴对称，作出． (2)在y轴上找一点P，使得的周长最小，请在图中标出点P位置 【答案】(1)见解答 (2)点P的位置见解析 【分析】本题主要考查了轴对称作图，轴对称的性质，解题的关键是作出点A、B、C关于y轴的对称点、、． （1）先作出点A、B、C关于y轴的对称点、、，然后顺次连接即可； （2）连接，交y轴于点P，连接，则点P即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求．    （2）解：如图，连接，交y轴于点P，连接， 根据轴对称可知，， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， ∵为定值， ∴此时的值最小，即的周长最小， 则点P即为所求． 21．如图是两个全等的直角三角形纸片，且，按如图的两种方法分别将其折叠，使折痕（图中虚线）过其中的一个顶点，且使该顶点所在角的两边重合，记折叠后不重叠部分面积分别为．        (1)若，求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，，设，则，依据，即可得到的值，进而用三角形面积公式可得的值； （2）设，，，由折叠可得，，，可得，可知，，，由，解得，再根据即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 由折叠可得，，，， 设，则， ∵， ∴，即， 解得， ∴， ∴， ∴； （2）由，可设，，， 由折叠可得，，， ∴， 则，，， ∵， ∴，即， 解得， ∴． 【点睛】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解决问题的关键是利用面积法求得某些线段的长度． 22．如图，在正方形网格上有一个． (1)画出关于直线l对称的图形； (2)在直线l上找一点P，使的长最短．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)如图所示，即为所求作的三角形；见解析； (2)如图所示，点P即为所求，见解析． 【分析】（1）根据网格结构找出点B、C关于直线l的对称点的位置，然后顺次连接即可； （2）根据轴对称确定最短路线，连接，与对称轴l的交点即为所求点P． 【详解】（1）如图所示，即为所求作的三角形； （2）如图所示，点P即为所求． 【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，解题的关键是：要作点关于某直线的对称点． 23．如图，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图． (1)画，使它与关于直线成轴对称；并求出面积； (2)在直线上找一点P，使点P到点A、B的距离之和最短； (3)在直线上找一点Q，使点Q到边的距离相等． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了轴对称、两点之间线段最短、角平分线的知识． （1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，顺次连接即可，再利用割补法求得； （2）连接交直线l于点P，点P即为所求； （3）连接，则是的角平分线，与直线l的交点Q即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求作． ； （2）解：如图，点P即为所求作．      理由：根据（1）的结论，点A、点关于直线l成轴对称， ∴， ∴， ∴当点P在直线l和的交点处时，，为最小值， ∴当点P在直线l和的交点处时，取最小值， 即点P到点A、点B的距离之和最短； （3）解：如图，点Q即为所求作． 连接， 根据题意得：， ∴点Q是直线l和的交点时，点Q到边的距离相等． 24．定义：如果有三个角，满足，则称是和的“减余角”． (1)已知，，若是和的“减余角”，则 ． (2)现有一张正方形纸片，如图所示，点为线段上一点（不与重合）．连结，将纸片沿着对折，使点落在正方形纸片的内部且对应点为． ①若是和的“减余角”，求的度数． ②再将此正方形纸片沿着所在直线对折，使点落在正方形纸片的内部且对应点为，如图所示．是否存在，，中的一个角是其它两个角的“减余角”？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)；存在．当时，为和的“减余角”； 当时，为和的“减余角”． 【分析】（）根据“减余角”的定义即可求解； （）根据“减余角”的定义即可求解； 存在．分三种情况根据“减余角”的定义解答即可求解； 本题考查了新定义角度的运算，折叠的性质，理解“减余角”的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：由折叠可得，， 设，则， ∵是和的“减余角”， ∴， 解得， ∴的度数为； 存在． 由折叠可得，，， 设，，则， 当为和的“减余角”时， 由题意可得，， 解得， ∴， ∴当时，为和的“减余角”； 当为和的“减余角”时， 由题意可得，， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴当时，为和的“减余角”； 当为和的“减余角”时， 由题意可得，， 故此种情况不存在； 综上，当时，为和的“减余角”； 当时，为和的“减余角”． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$