2.4.3函数的应用讲义-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

授课主题 函数的应用 年 级 高一 知 识 梳 理 一．常见的几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 分段函数模型 幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠1) 二．解答实际应用问题的基本思想 例题讲解 知识点一、幂函数模型 例1、党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A、B两种产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②(注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元).    (1)分别求出A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 【解析】(1)设投资为万元，A产品的利润为万元，B产品的利润为万元 由题设，，由图知，故，又，所以． 从而，． (2)设A产品投入万元，则B产品投入万元，设企业利润为万元 则， 令，则，当时，，此时. 故A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元. 练习： 1．甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话： 甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元． 乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元．说明：①汽车数量为整数；②月利润=月租车费—月维护费； ③两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润． 在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题： (1)当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是_______元；当每个公司租出的汽车为_______辆时，两公司的月利润相等； (2)甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a元给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，当且仅当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a的取值范围． 【解析】(1)由题意可得=48000元， 当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是48000元； 设每个公司租出的汽车为x辆，设两公司的月利润分别为，月利润差为y， 则， ， 由题意可得：，解得：， ∴当每个公司租出的汽车为37辆时，两公司的月利润相等； (2)∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润， 则此时利润差为=，函数图象对称轴为直线，          ∵x只能取整数，且仅当两公司租出的汽车均为17辆时，月利润之差最大， ∴，解得：，经检验此时满足捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润， 故a的取值范围为. 2．如图，某日的钱塘江观测信息如下：2017年月日，天气：阴；能见度：1.8千米；时，甲地“交叉潮”形成，潮水匀速奔向乙地；时，潮头到达乙地，形成“一线潮”，开始均匀加速，继续向西；时，潮头到达丙地，遇到堤坝阻挡后回头，形成“回头潮”. 按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地质检的距离(千米)与时间(分钟)的函数关系用图3表示.其中：“时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点，点坐标为，曲线可用二次函数：，是常数)刻画. (1)求值，并求出潮头从甲地到乙地的速度； (2)时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以0.48千米分的速度往甲地方向去看潮，问她几分钟与潮头相遇？ (3)相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车最高速度为0.48千米分，小红逐渐落后.问小红与潮头相遇到落后潮头1.8千米共需多长时间？(潮水加速阶段速度，是加速前的速度) 【解析】(1)到的时间是30分钟，则，即， 潮头从甲地到乙地的速度(千米分钟). (2)因潮头的速度为0.4千米分钟，则到时，潮头已前进(千米)， 此时潮头离乙地(千米)，设小红出发分钟与潮头相遇， 于是得，解得，所以小红5分钟后与潮头相遇. (3)把，代入，得，解得，， 因此，又，则， 当潮头的速度达到单车最高速度0.48千米分，即时，，解得， 则当时，，即从分钟时)开始，潮头快于小红速度奔向丙地，小红逐渐落后，但小红仍以0.48千米分的速度匀速追赶潮头， 设小红离乙地的距离为，则与时间的函数关系式为， 当时，，解得：，因此有， 最后潮头与小红相距1.8千米，即时，有，解得，(舍去)，于是有，小红与潮头相遇后，按潮头速度与潮头并行到达乙地用时(分钟)， 因此共需要时间为(分钟)， 所以小红与潮头相遇到潮头离她1.8千米外共需26分钟. 知识点二、分式函数模型 例1、某学校为了支持生物课程基地研究植物的生长规律，计划利用学校空地建造一间室内面积为的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x(单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(单位：)． (1)求S关于x的函数关系式； (2)求S的最大值，并求出此时x的值． 【解析】(1)由题设，得，． (2)因为，所以，当且仅当时等号成立，从而． 故当矩形温室的室内长为60m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为． 练习： 1．某厂家拟对A产品做促销活动，对A产品的销售数据分析发现，A产品的月销售量t(单位：万件)与月促销费用x(单位：万元)满足关系式(k为常数，)，如果不搞促销活动，则该产品的月销量是1万件．已知生产该产品每月固定投入为7万元，每生产一万件该产品需要再投入4万元，厂家将每件产品的销售价定为元，设该产品的月利润为y万元，(注：利润=销售收入-生产投入-促销费用) (1)将y表示为x的函数； (2)月促销费用为多少万元时，该产品的月利润最大？最大利润为多少？ 【解析】(1)由题知，当时，，代入得．． 将代入得．所以，所求函数为． (2)由(1)知，．因为，所以， 因为，当且仅当，即时取等号． 所以． 故月促销费用为2万元时，A产品的月利润最大，最大利润为7万元． 2．围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x(单位：元)．设修建此矩形场地围墙的总费用为y. (Ⅰ)将y表示为x的函数； (Ⅱ)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． 【解析】(1)如图，设矩形的另一边长为a m则45x+180(x-2)+180·2a=225x+360a-360由已知xa=360,得a=, 所以y=225x+ (2) ．当且仅当225x=时，等号成立． 即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元． 3． “春节”期间，某商场进行如下的优惠促销活动： 优惠方案1：一次购买商品的价格，每满60元立减5元； 优惠方案2：在优惠1之后，再每满400元立减40元． 例如，一次购买商品的价格为130元，则实际支付额元，其中表示不大于x的最大整数．又如，一次购买商品的价格为860元，则实际支付额元． (1)小明计划在该商场购买两件价格分别是250元和650元的商品，他是分两次支付好，还是一次支付好？请说明理由； (2)已知某商品是小明常用必需品，其价格为30元/件，小明趁商场促销，想多购买几件该商品，其预算不超过500元，试求他应购买多少件该商品，才能使其平均价格最低？最低平均价格是多少？ 【解析】(1)分两次支付：支付额为元; 一次支付：支付额为元,因为，所以一次支付好； (2)设购买件，平均价格为y元/件．由于预算不超过500元，但算上优惠，最多购买19件， 当时，不能享受每满400元再减40元的优惠 当时，，， 当时，，； 当时，，． 所以当时，购买偶数件时，平均价格最低，为27.5元/件． 当时，能享受每满400元再减40元的优惠 当时，，当，时，; 当时，， y随着n的增大而增大，所以当，时，． 综上，购买15件或16件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为25元/件 知识点三、分段函数模型 例1、某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍惜水果树的单株产量(单位：千克)与施用肥料(单位：千克)满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入(如培育管理、施肥等人工费)元．已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为(单位：元) (1)写单株利润(元)关于施用肥料(千克)的关系式； (2)当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？ 【解析】(1)依题意，又，∴． (2)当时，，开口向上，对称轴为， 在上单调递减，在上单调递增，在上的最大值为． 当时，， 当且仅当时，即时等号成立． ∵，∴当时，． ∴当投入的肥料费用为40元时，种植该果树获得的最大利润是480元． 练习： 1．某企业为进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场调研发现，生产该产品全年需要投入研发成本250万元，每生产(千部)手机，需另外投入成本万元，其中，已知每部手机的售价为5000元，且生产的手机当年全部销售完. (1)求2023年该款手机的利润关于年产量的函数关系式； (2)当年产量为多少时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？ 【解析】(1)当时，，当时,， 所以. (2)当时，,∴当时，， 当时,, 当且仅当，即时，， 因此当年产量为52(千部)时，企业所获利润最大，最大利润是5792万元. 2．党的二十大报告提出“积极稳妥推进碳达峰碳中和”，降低能源消耗，建设资源节约型社会．日常生活中我们使用的灯具就具有节能环保的作用，它环保不含汞，可回收再利用，功率小，高光效，长寿命，有效降低资源消耗．经过市场调查，可知生产某种灯需投入的年固定成本为3万元，每生产万件该产品，需另投入变动成本万元，在年产量不足6万件时，，在年产量不小于6万件时，．每件产品售价为6元．假设该产品每年的销量等于当年的产量． (1)写出年利润(万元)关于年产量(万件)的函数解析式．(注：年利润年销售收入固定成本变动成本) (2)年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？ 【解析】(1)由题可知，， 所以； (2)当时，， 由二次函数的性质知，对称轴为，开口向下，所以当时，取得最大值为； 当时，，当且仅当，即时，等号成立， 因为， 所以年产量为9万件时，年利润最大，最大年利润是16万元． 3．某品牌手机公司的年固定成本为50万元，每生产1万部手机需增加投入20万元，该公司一年内生产万部手机并全部销售完当年销售量x低于40万部时，每销售1万部手机的收入万元；当年销售量x不低于40万部时，每销售1万部手机的收入万元 (1)写出年利润y万元关于年销售量x万部的函数解析式； (2)年销售量为多少万部时，利润最大，并求出最大利润． 【解析】(1)依题意，生产万部手机，成本是(万元)， 故利润，而， 故，整理得，； (2)时，，开口向下的抛物线，在时，利润最大值为；时，， 其中，在上单调递减，在上单调递增，因为 ，故 时，取得最小值 故在 时，y取得最大值 而， 故年销售量为38万部时，利润最大，最大利润为7170万元. 举一反三 1．武汉城市圈城际铁路，实现了武汉城市圈内半小时经济圈体系.据悉一辆城际列车满载时约为550人，人均票价为4元，十分适合城市间的运营.城际铁路运营公司通过一段时间的营业发现，每辆列车的单程营业额(元)与发车时间间隔(分钟)相关；当间隔时间到达或超过12分钟后，列车均为满载状态；当时，单程营业额与成正比；当时，单程营业额会在时的基础上减少，减少的数量为. (1)求当时，单程营业额关于发车间隔时间的函数表达式； (2)由于工作日和节假日的日运营时长不同，据统计每辆车日均次单程运营.为体现节能减排，发车间隔时间，则当发车时间间隔为多少分钟时，每辆列车的日均营业总额最大？求出该最大值. 【解析】(1)当时，设，a为比例系数，由时满载可知， 即，则，当时，， 故当时，,故. (2)由题意可得，，化简得，， 令，则， 当，即时，符合题意，此时. 2．某电子公司生产某种智能手环，其固定成本为2万元，每生产一个智能手环需增加投入100元，已知总收入R(单位：元)关于日产量x(单位：个)满足函数：. (1)将利润(单位：元)表示成日产量x的函数； (2)当日产量x为何值时，该电子公司每天所获利润最大，最大利润是多少？(利润＋总成本＝总收入) 【解析】(1)根据题意，当时，， 当时，，所以. (2)当时，，所以当时，； 当时，易知是减函数，所以； 综上：当时，，所以当月产量为300台时，公司获得的月利润最大，其值为25000元. 3． 2022年冬天新冠疫情卷土重来，我国大量城市和地区遭受了奥密克戎新冠病毒的袭击，为了控制疫情，某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的浓度单位：毫克/立方米随着时间单位：小时变化的关系如下：当时，；当时，若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于毫克/立方米时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用. (1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？ (2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求a的最小值.精确到，参考数据：取 【解析】(1)解：因为一次喷洒4个单位的净化剂，所以其浓度为， 当时，，解得，此时，当时，，解得，此时， 综上，所以若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达8小时； (2)设从第一次喷洒起，经小时后，其浓度为， ， 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立；所以其最小值为， 由，解得，所以a的最小值为. 4．对口帮扶是我国一项重要的扶贫开发政策，在对口扶贫工作中，某生态基地种植某中药材的年固定成本为250万元，每产出吨需另外投入可变成本万元，已知，通过市场分析，该中药材可以每顿50万元的价格全面售完，设基地种植该中药材年利润(利润销售额成本)为万元，当基底产出该中药材40吨时，年利润为190万元. (1)年利润(单位：万元)关于年产量(单位：吨)的函数关系式； (2)当年产量为多少时(精确到0.1吨)，所获年利润最大？最大年利润是多少(精确到0.1吨)？ 【解析】(1)当基底产出该中药材40吨时，年成本为万元， 利润为，解得，则. (2)当，，，对称轴为， 则函数在，上单调递增，故当时，， 当，， 当且仅当，即时取等号， 因为，所以当年产量为84.1吨时，所获年利润最大，最大年利润是451.3万元. 6．世界范围内新能源汽车的发展日新月异，电动汽车主要分三类：纯电动汽车、混合动力电动汽车和燃料电池电动汽车.这3类电动汽车目前处在不同的发展阶段，并各自具有不同的发展策略.中国的电动汽车革命也早已展开，以新能源汽车替代汽(柴)油车，中国正在大力实施一项将重新塑造全球汽车行业的计划.2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2000万元，每生产(百辆)，需另投入成本(万元)，且；已知每辆车售价5万元，由市场调研知，全年内生产的车辆当年能全部销售完. (1)求出2022年的利润(万元)关于年产量(百辆)的函数关系式； (2)2022年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 【解析】(1)由题意知利润收入-总成本， 所以利润 , 故2022年的利润(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式为 . (2)当时，，故当时，； 当时，, 当且仅当， 即时取得等号； 综上所述，当产量为100(百辆)时，取得最大利润，最大利润为2300万元． 7．我国是用水相对贫乏的国家，据统计，我国的人均水资源仅为世界平均水平的．因此我国在制定用水政策时明确提出“优先满足城乡居民生活用水”，同时为了更好地提倡节约用水，对水资源使用进行合理配置，对居民自来水用水收费采用阶梯收费．某市经物价部门批准，对居民生活用水收费如下：第一档，每户每月用水不超过立方米，则水价为每立方米元；第二档，若每户每月用水超过立方米，但不超过立方米，则超过部分水价为每立方米元；第三档，若每户每月用水超过立方米，则超过部分水价为每立方米元，同时征收其全月水费的用水调节税．设某户某月用水立方米，水费为元． (1)试求关于的函数； (2)若该用户当月水费为元，试求该年度的用水量； (3)设某月甲用户用水立方米，乙用户用水立方米，若之间符合函数关系：．则当两户用水合计达到最大时，一共需要支付水费多少元？ 【解析】(1)因为某户该月用水立方米，按收费标准可知，当时，； 当时，； 当时，．所以 (2)由题可得，当该用户水费为元时，处于第二档，所以， 解得． 所以该月的用水量为立方米． (3)因为，所以． 当时，，此时． 所以此时两户一共需要支付的水费是元． 8．长江存储是我国唯一一家能够独立生产3D NAND闪存的公司，其先进的晶栈Xtacking技术使得3D NAND闪存具有极佳的性能和极长的寿命．为了应对第四季度3D NAND闪存颗粒库存积压的情况，某下游闪存封装公司拟对产能进行调整，已知封装闪存的固定成本为300万元，每封装万片，还需要万元的变动成本，通过调研得知，当不超过120万片时，；当超过120万片时，，封装好后的闪存颗粒售价为150元/片，且能全部售完． (1)求公司获得的利润的函数解析式； (2)封装多少万片时，公司可获得最大利润？ 【解析】(1)解：当时，， 当时，， 综上可知； (2)解：当时，， ∴当时，利润取最大值700万元； 当0时，， ∴当且仅当“”，即“”时，利润取最大值730万元， 综上所述，封装160万片时，公司可获得最大利润730万元． 9．大罗山位于温州市区东南部，由四景一水构成，它们分别是：仙岩景区､瑶溪景区､天桂寺景区､茶山景区和三烊湿地.某开发商计划2023年在三烊湿地景区开发新的游玩项目，全年需投入固定成本400万元，若该项目在2023年有x万名游客，则需另投入成本万元，且该游玩项目的每张门票售价为80元. (1)求2023年该项目的利润(万元)关于游客数量x(万人)的函数关系式(利润=销售额-成本). (2)当2023年游客数量为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？ 【解析】(1)解：由题意可得，即 (2)解：当时，；当时，； 当时，由基本不等式知，当且仅当即时等号成立， 故，综上，游客为40万人时利润最大，最大为370万． 10．某超市引进，两类有机蔬菜．在当天进货都售完的前提下，A类有机蔬菜的纯利润为3元/千克，类有机蔬菜的纯利润为5元/千克．若当天出现未售完的有机蔬菜，次日将以5折售出，此时售出的A类蔬菜的亏损为1元/千克，类蔬菜的亏损为3元/千克．已知当天未售完的有机蔬菜，次日5折促销都能售完．假设该超市A，两类有机蔬菜当天共进货100千克，其中A类有机蔬菜进货千克．假设A，类有机蔬菜进货当天可售完的质量均为50千克． (1)试求进货当天及次日该超市这两类有机蔬菜的总盈利(单位：元)的表达式； (2)若，求的取值范围． 【解析】(1)当，时，； 当，时，． 故 (2)当，时，由，解得； 当，时，由，解得．故的取值范围是． 11．吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元．每生产万盒，需投入成本万元，当产量小于或等于50万盒时；当产量大于50万盒时，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完(利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投入成本) (1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润(万元)关于产量(万盒)的函数关系式； (2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？ 【解析】(1)当产量小于或等于50万盒时，， 当产量大于50万盒时，， 故销售利润(万元)关于产量(万盒)的函数关系式为 (2)当时，；当时，， 当时，取到最大值，为1200．                     因为，所以当产量为70万盒时，该企业所获利润最大． 12．随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵问题的有效措施.某市城市规划部门为提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度(单位：千米/小时)和车流密度(单位：辆/千米)所满足的关系式：.研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时. (1)若车流速度不小于40千米/小时，求车流密度的取值范围； (2)隧道内的车流量(单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时)满足，求隧道内车流量的最大值(精确到1辆/小时)，并指出当车流量最大时的车流密度(精确到1辆/千米).(参考数据：) 【解析】(1)解：由题意知当(辆/千米)时，(千米/小时)，代入，解得， 所以.当时，，符合题意； 当时，令，解得，所以. 所以，若车流速度不小于40千米/小时，则车流密度的取值范围是. (2)解：由题意得， 当时，为增函数，所以，当时等号成立； 当时， .当且仅当，即时等号成立. 所以，隧道内车流量的最大值约为3667辆/小时，此时车流密度约为83辆/千米. 14．某企业开发了一种大型电子产品，生产这种产品的年固定成本为2500万元，每生产x百件，需另投入成本(单位：万元)，当年产量不足30百件时，；当年产量不小于30百件时，．若每百件电子产品的售价为500万元，通过市场分析，该企业生产的电子产品能全部销售完． (1)求年利润y(万元)关于年产量x(百件)的函数关系式； (2)年产量为多少百件时，该企业在这一电子产品的生产中获利最大？ 【解析】(1)解：当时，， 当时，，． (2)解：当时，，当时，， 当时，， 当且仅当，即时，， 年产量为100百件时，该企业获得利润最大，最大利润为1800万元． 15．某厂生产某零件，每个零件的成本为元，出厂单价定为元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低元，但实际出厂单价不能低于元. (1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰好降为41元？ (2)设一次订购量为个，零件的实际出厂单价为元，写出函数的表达式； (3)当销售商一次订购个零件时，该厂获得的利润是多少元？(工厂售出一个零件利润=实际出厂单价-成本) 【解析】(1)解：设每个零件的实际出厂价恰好降为元时，一次订购量为个，则. (2)当时，；当时，； 当时，. (3)设工厂获得的利润为元，则， 即销售商一次订购个零件时，该厂获得的利润是元. 16．如图，已知底角为45°的等腰梯形，底边长为，腰长为，当一条垂直于底边(垂足为)的直线从左到右移动(与梯形有公共点)时，直线把梯形分成两部分，令，试写出直线左边部分的面积与的函数解析式． 【解析】点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H． ∵ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB＝cm，∴BG＝AG＝DH＝HC＝2cm， 又∵BC＝7cm，∴AD＝GH＝3cm， ①当点F在BG上时，,即时，； ②当点F在GH上时，即时，． ③当点F在HC上时，即时，y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD−S三角形CEF， ∴函数解析式为. 课 后 作 业 1． A地某校准备组织学生及学生家长到B地进行社会实践，为便于管理，所有人员必须乘坐在同一列火车上.根据报名人数，若都买一等座单程火车票需17010元，若都买二等座单程火车票且花钱最少，则需11220元.已知学生家长与教师的人数之比为，从A到B的火车票价格(部分)如下表所示： 运行区间 公布票价 学生票 上车站 下车站 一等座 二等座 二等座 A B 81(元) 68(元) 51(元) (1)参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人？ (2)由于各种原因，二等座火车票只能买x张(x小于参加社会实践的人数)，其余的需买一等座火车票，在保证每位参与人员都有座位的前提下，请你设计最经济的购票方案，并写出购买火车票的总费用(单程)y与x之间的函数关系式. (3)请你做一个预算，按第(2)小题中的购票方案，购买单程火车票至少要花多少钱？最多要花多少钱？ 【解析】(1)设参加社会实践的老师有m人，学生有n人，则学生家长有2m人， 若都买二等座单程火车票且花钱最少，则全体学生都需买二等座火车票，依题意得：， 解得，则. 答：参加社会实践的老师、家长与学生各有10人、20人与180人. (2)由(1)知所有参与人员总共有210人，其中学生有180人， ①当时，最经济的购票方案为： 学生都买学生票共180张，名成年人买二等座火车票，名成年人买一等座火车票. 所以火车票的总费用(单程)y与x之间的函数关系式为：，即. ②当时，最经济的购票方案为：一部分学生买学生票共x张，其余的学生与家长、老师一起购买一等座火车票共张. 所以火车票的总费用(单程)y与x之间的函数关系式为：，即. 综上： (3)由(2)知，当时，， 由此可见，当时，y的值最小，最小值为11233元，当时，y的值最大，最大值为11610元.当时，， 由此可见，当时，y的值最小，最小值为11640元，当时，y的值最大，最大值为16980元.所以按(2)小题中的购票方案，购买单程火车票至少要花11233元，最多要花16980元. 2．新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府(万元)补贴后，防护服产量将增加到(万件)，其中为工厂工人的复工率().A公司生产万件防护服还需投入成本(万元). (1)将A公司生产防护服的利润(万元)表示为补贴(万元)的函数；(政府补贴x万元计入公司收入) (2)在复工率为k时，政府补贴多少万元才能使A公司的防护服利润达到最大？ (3)对任意的(万元)，当复工率达到多少时，A公司才能不产生亏损？ (精确到0.01). 【解析】(1)由题意， 即； (2) 因为，所以，所以当且仅当，即时，等号成立， 所以 故政府补贴为万元才能使公司的防护服利润达到最大，最大为万元. (3)对任意的(万元)，公司都不产生亏损，则在上恒成立 不等式整理得， 令，则，则 令任取，且则 ，即函数在上单调递增 可得所以，即 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 授课主题 函数的应用 年 级 高一 知 识 梳 理 一．常见的几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 分段函数模型 幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠1) 二．解答实际应用问题的基本思想 例题讲解 知识点一、幂函数模型 例1、党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A、B两种产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②(注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元).    (1)分别求出A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 练习： 1．甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话： 甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元． 乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元．说明：①汽车数量为整数；②月利润=月租车费—月维护费； ③两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润． 在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题： (1)当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是_______元；当每个公司租出的汽车为_______辆时，两公司的月利润相等； (2)甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a元给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，当且仅当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a的取值范围． 2．如图，某日的钱塘江观测信息如下：2017年月日，天气：阴；能见度：1.8千米；时，甲地“交叉潮”形成，潮水匀速奔向乙地；时，潮头到达乙地，形成“一线潮”，开始均匀加速，继续向西；时，潮头到达丙地，遇到堤坝阻挡后回头，形成“回头潮”. 按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地质检的距离(千米)与时间(分钟)的函数关系用图3表示.其中：“时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点，点坐标为，曲线可用二次函数：，是常数)刻画. (1)求值，并求出潮头从甲地到乙地的速度； (2)时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以0.48千米分的速度往甲地方向去看潮，问她几分钟与潮头相遇？ (3)相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车最高速度为0.48千米分，小红逐渐落后.问小红与潮头相遇到落后潮头1.8千米共需多长时间？(潮水加速阶段速度，是加速前的速度) 知识点二、分式函数模型 例1、某学校为了支持生物课程基地研究植物的生长规律，计划利用学校空地建造一间室内面积为的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x(单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(单位：)． (1)求S关于x的函数关系式； (2)求S的最大值，并求出此时x的值． 练习： 1．某厂家拟对A产品做促销活动，对A产品的销售数据分析发现，A产品的月销售量t(单位：万件)与月促销费用x(单位：万元)满足关系式(k为常数，)，如果不搞促销活动，则该产品的月销量是1万件．已知生产该产品每月固定投入为7万元，每生产一万件该产品需要再投入4万元，厂家将每件产品的销售价定为元，设该产品的月利润为y万元，(注：利润=销售收入-生产投入-促销费用) (1)将y表示为x的函数； (2)月促销费用为多少万元时，该产品的月利润最大？最大利润为多少？ 2．围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x(单位：元)．设修建此矩形场地围墙的总费用为y. (Ⅰ)将y表示为x的函数； (Ⅱ)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． 3． “春节”期间，某商场进行如下的优惠促销活动： 优惠方案1：一次购买商品的价格，每满60元立减5元； 优惠方案2：在优惠1之后，再每满400元立减40元． 例如，一次购买商品的价格为130元，则实际支付额元，其中表示不大于x的最大整数．又如，一次购买商品的价格为860元，则实际支付额元． (1)小明计划在该商场购买两件价格分别是250元和650元的商品，他是分两次支付好，还是一次支付好？请说明理由； (2)已知某商品是小明常用必需品，其价格为30元/件，小明趁商场促销，想多购买几件该商品，其预算不超过500元，试求他应购买多少件该商品，才能使其平均价格最低？最低平均价格是多少？ 知识点三、分段函数模型 例1、某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍惜水果树的单株产量(单位：千克)与施用肥料(单位：千克)满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入(如培育管理、施肥等人工费)元．已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为(单位：元) (1)写单株利润(元)关于施用肥料(千克)的关系式； (2)当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？ 练习： 1．某企业为进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场调研发现，生产该产品全年需要投入研发成本250万元，每生产(千部)手机，需另外投入成本万元，其中，已知每部手机的售价为5000元，且生产的手机当年全部销售完. (1)求2023年该款手机的利润关于年产量的函数关系式； (2)当年产量为多少时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？ 2．党的二十大报告提出“积极稳妥推进碳达峰碳中和”，降低能源消耗，建设资源节约型社会．日常生活中我们使用的灯具就具有节能环保的作用，它环保不含汞，可回收再利用，功率小，高光效，长寿命，有效降低资源消耗．经过市场调查，可知生产某种灯需投入的年固定成本为3万元，每生产万件该产品，需另投入变动成本万元，在年产量不足6万件时，，在年产量不小于6万件时，．每件产品售价为6元．假设该产品每年的销量等于当年的产量． (1)写出年利润(万元)关于年产量(万件)的函数解析式．(注：年利润年销售收入固定成本变动成本) (2)年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？ 3．某品牌手机公司的年固定成本为50万元，每生产1万部手机需增加投入20万元，该公司一年内生产万部手机并全部销售完当年销售量x低于40万部时，每销售1万部手机的收入万元；当年销售量x不低于40万部时，每销售1万部手机的收入万元 (1)写出年利润y万元关于年销售量x万部的函数解析式； (2)年销售量为多少万部时，利润最大，并求出最大利润． 举一反三 1．武汉城市圈城际铁路，实现了武汉城市圈内半小时经济圈体系.据悉一辆城际列车满载时约为550人，人均票价为4元，十分适合城市间的运营.城际铁路运营公司通过一段时间的营业发现，每辆列车的单程营业额(元)与发车时间间隔(分钟)相关；当间隔时间到达或超过12分钟后，列车均为满载状态；当时，单程营业额与成正比；当时，单程营业额会在时的基础上减少，减少的数量为. (1)求当时，单程营业额关于发车间隔时间的函数表达式； (2)由于工作日和节假日的日运营时长不同，据统计每辆车日均次单程运营.为体现节能减排，发车间隔时间，则当发车时间间隔为多少分钟时，每辆列车的日均营业总额最大？求出该最大值. 2．某电子公司生产某种智能手环，其固定成本为2万元，每生产一个智能手环需增加投入100元，已知总收入R(单位：元)关于日产量x(单位：个)满足函数：. (1)将利润(单位：元)表示成日产量x的函数； (2)当日产量x为何值时，该电子公司每天所获利润最大，最大利润是多少？(利润＋总成本＝总收入) 3． 2022年冬天新冠疫情卷土重来，我国大量城市和地区遭受了奥密克戎新冠病毒的袭击，为了控制疫情，某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的浓度单位：毫克/立方米随着时间单位：小时变化的关系如下：当时，；当时，若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于毫克/立方米时，它才能起到杀灭空气中病毒的作用. (1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？ (2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求a的最小值.精确到，参考数据：取 4．对口帮扶是我国一项重要的扶贫开发政策，在对口扶贫工作中，某生态基地种植某中药材的年固定成本为250万元，每产出吨需另外投入可变成本万元，已知，通过市场分析，该中药材可以每顿50万元的价格全面售完，设基地种植该中药材年利润(利润销售额成本)为万元，当基底产出该中药材40吨时，年利润为190万元. (1)年利润(单位：万元)关于年产量(单位：吨)的函数关系式； (2)当年产量为多少时(精确到0.1吨)，所获年利润最大？最大年利润是多少(精确到0.1吨)？ 6．世界范围内新能源汽车的发展日新月异，电动汽车主要分三类：纯电动汽车、混合动力电动汽车和燃料电池电动汽车.这3类电动汽车目前处在不同的发展阶段，并各自具有不同的发展策略.中国的电动汽车革命也早已展开，以新能源汽车替代汽(柴)油车，中国正在大力实施一项将重新塑造全球汽车行业的计划.2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2000万元，每生产(百辆)，需另投入成本(万元)，且；已知每辆车售价5万元，由市场调研知，全年内生产的车辆当年能全部销售完. (1)求出2022年的利润(万元)关于年产量(百辆)的函数关系式； (2)2022年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 7．我国是用水相对贫乏的国家，据统计，我国的人均水资源仅为世界平均水平的．因此我国在制定用水政策时明确提出“优先满足城乡居民生活用水”，同时为了更好地提倡节约用水，对水资源使用进行合理配置，对居民自来水用水收费采用阶梯收费．某市经物价部门批准，对居民生活用水收费如下：第一档，每户每月用水不超过立方米，则水价为每立方米元；第二档，若每户每月用水超过立方米，但不超过立方米，则超过部分水价为每立方米元；第三档，若每户每月用水超过立方米，则超过部分水价为每立方米元，同时征收其全月水费的用水调节税．设某户某月用水立方米，水费为元． (1)试求关于的函数； (2)若该用户当月水费为元，试求该年度的用水量； (3)设某月甲用户用水立方米，乙用户用水立方米，若之间符合函数关系：．则当两户用水合计达到最大时，一共需要支付水费多少元？ 8．长江存储是我国唯一一家能够独立生产3D NAND闪存的公司，其先进的晶栈Xtacking技术使得3D NAND闪存具有极佳的性能和极长的寿命．为了应对第四季度3D NAND闪存颗粒库存积压的情况，某下游闪存封装公司拟对产能进行调整，已知封装闪存的固定成本为300万元，每封装万片，还需要万元的变动成本，通过调研得知，当不超过120万片时，；当超过120万片时，，封装好后的闪存颗粒售价为150元/片，且能全部售完． (1)求公司获得的利润的函数解析式； (2)封装多少万片时，公司可获得最大利润？ 9．大罗山位于温州市区东南部，由四景一水构成，它们分别是：仙岩景区､瑶溪景区､天桂寺景区､茶山景区和三烊湿地.某开发商计划2023年在三烊湿地景区开发新的游玩项目，全年需投入固定成本400万元，若该项目在2023年有x万名游客，则需另投入成本万元，且该游玩项目的每张门票售价为80元. (1)求2023年该项目的利润(万元)关于游客数量x(万人)的函数关系式(利润=销售额-成本). (2)当2023年游客数量为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？ 10．某超市引进，两类有机蔬菜．在当天进货都售完的前提下，A类有机蔬菜的纯利润为3元/千克，类有机蔬菜的纯利润为5元/千克．若当天出现未售完的有机蔬菜，次日将以5折售出，此时售出的A类蔬菜的亏损为1元/千克，类蔬菜的亏损为3元/千克．已知当天未售完的有机蔬菜，次日5折促销都能售完．假设该超市A，两类有机蔬菜当天共进货100千克，其中A类有机蔬菜进货千克．假设A，类有机蔬菜进货当天可售完的质量均为50千克． (1)试求进货当天及次日该超市这两类有机蔬菜的总盈利(单位：元)的表达式； (2)若，求的取值范围． 11．吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元．每生产万盒，需投入成本万元，当产量小于或等于50万盒时；当产量大于50万盒时，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完(利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投入成本) (1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润(万元)关于产量(万盒)的函数关系式； (2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？ 12．随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵问题的有效措施.某市城市规划部门为提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度(单位：千米/小时)和车流密度(单位：辆/千米)所满足的关系式：.研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时. (1)若车流速度不小于40千米/小时，求车流密度的取值范围； (2)隧道内的车流量(单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时)满足，求隧道内车流量的最大值(精确到1辆/小时)，并指出当车流量最大时的车流密度(精确到1辆/千米).(参考数据：) 14．某企业开发了一种大型电子产品，生产这种产品的年固定成本为2500万元，每生产x百件，需另投入成本(单位：万元)，当年产量不足30百件时，；当年产量不小于30百件时，．若每百件电子产品的售价为500万元，通过市场分析，该企业生产的电子产品能全部销售完． (1)求年利润y(万元)关于年产量x(百件)的函数关系式； (2)年产量为多少百件时，该企业在这一电子产品的生产中获利最大？ 15．某厂生产某零件，每个零件的成本为元，出厂单价定为元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低元，但实际出厂单价不能低于元. (1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰好降为41元？ (2)设一次订购量为个，零件的实际出厂单价为元，写出函数的表达式； (3)当销售商一次订购个零件时，该厂获得的利润是多少元？(工厂售出一个零件利润=实际出厂单价-成本) 16．如图，已知底角为45°的等腰梯形，底边长为，腰长为，当一条垂直于底边(垂足为)的直线从左到右移动(与梯形有公共点)时，直线把梯形分成两部分，令，试写出直线左边部分的面积与的函数解析式． 课 后 作 业 1． A地某校准备组织学生及学生家长到B地进行社会实践，为便于管理，所有人员必须乘坐在同一列火车上.根据报名人数，若都买一等座单程火车票需17010元，若都买二等座单程火车票且花钱最少，则需11220元.已知学生家长与教师的人数之比为，从A到B的火车票价格(部分)如下表所示： 运行区间 公布票价 学生票 上车站 下车站 一等座 二等座 二等座 A B 81(元) 68(元) 51(元) (1)参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人？ (2)由于各种原因，二等座火车票只能买x张(x小于参加社会实践的人数)，其余的需买一等座火车票，在保证每位参与人员都有座位的前提下，请你设计最经济的购票方案，并写出购买火车票的总费用(单程)y与x之间的函数关系式. (3)请你做一个预算，按第(2)小题中的购票方案，购买单程火车票至少要花多少钱？最多要花多少钱？ 2．新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府(万元)补贴后，防护服产量将增加到(万件)，其中为工厂工人的复工率().A公司生产万件防护服还需投入成本(万元). (1)将A公司生产防护服的利润(万元)表示为补贴(万元)的函数；(政府补贴x万元计入公司收入) (2)在复工率为k时，政府补贴多少万元才能使A公司的防护服利润达到最大？ (3)对任意的(万元)，当复工率达到多少时，A公司才能不产生亏损？ (精确到0.01). 17 学科网（北京）股份有限公司 $$