10.3.1频率的稳定性 课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第十章 概 率 10.3 频率与概率 10.3.1 频率的稳定性 一 二 三 学习目标 理解频率稳定性的意义 掌握频率与概率的区别与联系 了解随机数的定义，与产生随机数的方法以及它的读数 学习目标 对于样本点等可能的实验，我们可以用古典概型公式计算有关事件的概率.但在现实中，很多试验的样本点往往是等可能的或者是否等可能不容易判断.例如，抛掷一枚质地不均匀的骰子，或者投掷一枚图钉，此时无法通过古典概型公式计算有关事件的概率，我们需要寻求新的求概率的方法. 我们知道，事件的概率越大，意味着事件发生的可能性越大，在重复试验中，相应的频率一般也越大；事件的概率越小，则事件发生的可能性越小，在重复试验中，相应的频率一般也越小.在初中，我们利用频率与概率的这种关系，通过大量重复试验，用频率去估计概率. 那么，在重复试验中，频率的大小是否就决定了概率的大小呢？频率与概率之间到底是一种怎样的关系呢？ 复习引入 探究 重复做同时抛掷两枚质地均匀的硬币的试验，设事件A=“一个正面朝上，一个反面朝上”，你能计算事件A发生的概率吗？ 把硬币正面朝上记为l，反面朝上记为0, 则这个试验的样本空间Ω= {(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)} A = {(1,0),(0,1)} 所以P(A)= 新知探究 动手 下面我们分步实施试验，考察随着试验次数的增加，事件A的频率的变化情况，以及频率与概率的关系. 第一步：每人重复做25次试验，记录事件A发生的次数，计算频率； 第二步：每4名同学为一组，相互比较试验结果； 第三步：各组统计事件A发生的次数，计算事件A发生的频率，并利用右表进行统计。 小组序号 试验总次数 事件A发生的次数 事件A发生的频率 1 100 2 100 3 100 4 5 6 7 合计 新知探究 问题1 比较在自己试验25次、小组试验100次和全班试验总次数的情况下，事件A发生的频率。 （1）各小组的试验结果一样吗？为什么会出现这样的情况？ （2）随着试验次数的增加，事件A发生的频率有什么变化规律？ 利用计算机模拟抛掷两枚硬币的试验，在重复试验次数为20，100，500时各做5组试验，得到事件A发生的频数nA和频率fn(A)如右表所示： 序号 n=20 n=100 n=500 频数 频率 频数 频率 频数 频率 1 12 0.6 56 0.56 261 0.522 2 9 0.45 50 0.50 241 0.482 3 13 0.65 48 0.48 250 0.5 4 7 0.35 55 0.55 258 0.516 5 12 0.6 52 0.52 253 0.506 新知探究 用折线图表示频率的波动情况 序号 n=20 n=100 n=500 频数 频率 频数 频率 频数 频率 1 12 0.6 56 0.56 261 0.522 2 9 0.45 50 0.50 241 0.482 3 13 0.65 48 0.48 250 0.5 4 7 0.35 55 0.55 258 0.516 5 12 0.6 52 0.52 253 0.506 我们发现： (1)试验次数n相同，但频率fn(A)可能不同，这说明随机事件发生的频率具有随机性。 (2)从整体来看，频率在概率0.5附近波动。 当试验次数较少时，波动幅度较大；当试验次数较大时，波动幅度较小。 但试验次数多的波动幅度并不全部比次数少的小，只是波动幅度小的可能性大。 新知探究 大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性。 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)。 我们称频率的这个性质为频率的稳定性。 因此，我们可以用频率fn(A)来估计概率P(A)。 雅各布第一•伯努利(1654-1705)瑞士数学家，被公认为概率理论的先驱，他給出了著名的大数定律. 大数定律阐述了随着试验次数的增加，频率稳定在概率附近. 新知讲解 抛掷次数（n) 2048 4040 12000 24000 30000 正面朝上次数(m) 1061 2048 6019 12012 14984 频率(m/n) 0.518 0.506 0.501 0.5005 0.4996 历史上曾有人作过抛掷硬币的大量重复实验，结果如下表所示 抛掷次数n 频率m/n 0.5 1 2048 4040 12000 24000 30000 72088 德 . 摩根 蒲 丰 皮尔逊 皮尔逊 维 尼 知识链接 9 一般地，在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为，当n很大时，总在某个常数附近摆动，随着n的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记为P (A). 由定义可得概率P (A)满足：P (A) 事件的概率 概念生成 问题2 事件A发生的频率fn(A)是不是不变的？事件A发生的概率P(A)是不是不变的？它们之间有什么区别和联系？ (1)频率是一个变量，随着试验次数的变化而变化； (2)概率是一个确定的数，客观存在的，与试验次数无关. 频率是概率的近似值（实验值），会随试验次数的增加逐渐稳定； 联系: 区别： 概率是频率理论上的稳定值，在实际中可用频率估计概率. 新知探究 对概率的正确理解： (1)概率是事件的本质属性，不随试验次数的变化而变化，概率反映了事件发生的可能性的大小，但概率只提供了一种“可能性”，而不是试验总次数中某一事件一定发生的比例． (2)任何事件的概率都是区间[0,1]上的一个确定数，它度量该事件发生的可能性，概率越接近于1，表明事件发生的可能性就越大；反过来，概率越接近于0，表明事件发生的可能性就越小． (3)小概率(概率接近于0)事件很少发生，但不代表一定不发生；大概率(概率接近于1)事件经常发生，但不代表一定发生． (4)必然事件Ω的概率为1, 即P(Ω)＝1；不可能事件的概率为0, 即P()＝0. 新知讲解 例1 新生婴儿性别比是每100名女婴对应的男婴数. 通过抽样调查得知，我国2014年、2015年新出生的婴儿性别比分别为115.88和113.51． (1) 分别估计我国2014年和2015年男婴的出生率(新生儿中男婴的比率, 精确到0.001); (2) 根据估计结果，你认为“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断可靠吗？ (2)由于调查新生儿人数的样本非常大，根据频率的稳定性，上述对男婴出生率的估计具有较高的可信度． 因此，我们有理由怀疑“生男孩和生女孩是等可能的”的结论． 要得到生男孩和生女孩是否等可能的科学判断，还需要用统计学中假设检验的方法进行检验． 由此估计，2014年男婴出生率约为0.537，2015年男婴出生率约为0.532. 解：(1)2014年男婴出生频率为 0.537 2015年男婴出生频率为 0.532 典例解析 13 由统计定义求概率的一般步骤 ①确定随机事的频(为试验的总次数)； ②由计算频率； ③由频率估计概率. 归纳小结 典例解析 例2 一个游戏包含两个随机事件A和B，规定事件A发生则甲获胜，事件B发生则乙获胜. 判断游戏是否公平的标准是事件A和B发生的概率是否相等. 在游戏过程中甲发现：玩了10次时，双方各胜5次；但玩到1000次时，自己才胜300次，而乙却胜了700次. 据此，甲认为游戏不公平，但乙认为游戏是公平的.你更支持谁的结论?为什么? 解：当游戏玩了10次时，甲、乙获胜的频率都为0.5； 当游戏玩了1000次时，甲获胜的频率为0.3，乙获胜的频率为0.7. 根据频率的稳定性，随着试验次数的增加,频率偏离概率很大的可能性会越来越小. 相对10次游戏,1000次游戏时的频率接近概率的可能性更大， 因此我们更愿意相信1000次时的频率离概率更近. 而游戏玩到1000次时，甲、乙获胜的频率分别是0.3和0.7，存在很大差距, 所以有理由认为游戏是不公平的. 因此，应该支持甲对游戏公平性的判断. 游戏公平性的标准及判断方法 (1)标准：游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或概率是否相同.若相同，则规则公平，否则就是不公平. (2)判断方法：具体判断时，可以求出按所给规则双方的获胜概率，再进行比较. 归纳小结 降水的概率是气象专家根据气象条件和经验，经分析推断得到的．对“降水的概率为90%”比较合理的解释是：大量观察发现，在类似的气象条件下，大约有90%的天数要下雨． 只有根据气象预报的长期记录，才能评价预报的准确性．如果在类似气象条件下预报要下雨的那些天(天数较多)里，大约有90%确实下雨了，那么应该认为预报是准确的；如果真实下雨的天数所占的比例与90%差别较大，那么就可以认为预报不太准确． 问题3 气象工作者有时用概率预报天气，如某气象台预报“明天的降水概率是90%，如果您明天要出门，最好携带雨具”，如果第二天没有下雨，我们或许会抱怨气象台预报得不准确．那么如何理解“降水率是90%”？又该如何评价预报得结果是否准确呢？ 新知探究 17 巩固练习 课本P257 1.判断下列说法是否正确，并说明理由: (1) 抛掷一枚硬币正面朝上的概率为0.5，则抛掷两枚硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上; (2) 抛掷一枚质地均匀的硬币10次，结果是4次正面朝上，所以事件“正面朝上”的概率为0.4; (3) 当试验次数很大时，随机事件发生的频率接近其概率; (4) 在一次试验中，随机事件可能发生也可能不发生，所以事件发生和不发生的概率各是0.5. 解: (1)不正确. 抛掷两枚硬币, 样本空间Ω={(正,正), (正,反), (反,正), (反,反)}, 所以抛掷两枚硬币, 不一定是一次正面朝上, 一次反面朝上. (2)不正确. 不能说概率为0.4, 只能说正面朝上的频率为0.4. (3)正确. (4)不正确. 一次试验, 只能说事件发生和不发生的频率各是0.5. 巩固练习 课本P257 2. 用掷两枚硬币做胜负游戏, 规定: 两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜, 一个正面、一个反面算乙胜. 这个游戏公平吗? 解：这个游戏是公平的. 理由如下: 掷两枚质地均匀的硬币的样本空间Ω={(正,正), (正,反), (反,正), (反,反)}, 则 两枚硬币同时出现正面或同时出现反面的概率为2/4=0.5，即甲胜的概率为0.5， 一个正面、一个反面的概率也为0.5，即乙胜的概率为0.5，所以这个游戏是公平的. 巩固练习 课本P257 3. 据统计ABO血型具有民族和地区差异. 在我国H省调查了30488人，四种血型的人数如下: (1)计算H省各种血型的频率并填表(精确到0.001); (2)如果从H省任意调查一个人的血型，那么他是O型血的概率大约是多少? 血型 A B O AB 人数/人 7704 10765 8970 3049 频率 0.253 0.353 0.294 0.100 解：(1) 各种血型的频率如上表所示. (2) 由(1)可得，此人是O血型的概率大约是0.294. 课堂小结 本节课你学会了哪些主要内容？ (1)频率的性质： (2)频率与概率的联系与区别： 随机性和稳定性．   频率 概率 区别 本身是随机的，是一个变量，在试验前不能确定． 是一个确定的数，是客观 存在的，与每次的试验无关． 联系 随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在概率附近，所以当试验次数比较大时，我们常常用频率估计概率． $$