第11讲 整式的乘除章末十四大题型总结【暑假自学课】-2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版）

第11讲 整式的乘除章末十四大题型总结 【热考题型】 【题型一】幂的基本运算 1．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（2023八年级上·全国·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) 3．（23-24八年级上·江西南昌·期末）已知，，. (1)求证：； (2)求的值. 4．（22-23七年级下·福建宁德·期中）阅读理解：规定两数，之间的一种运算，记作；如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ①______； ②若，则______； ③若，则______． (2)若，，．请探索，，之间的数量关系并说明理由． 【题型二】利用幂的运算法则比较大小 5．（23-24六年级下·山东济南·阶段练习）阅读下面的材料： 材料一：比较和的大小． 材料二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即． 解：因为，且，所以，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较，，的大小； (2)比较，，的大小． 6．（23-24七年级下·湖南永州·阶段练习）我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，；（，为正整数）． 请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题： (1)已知，，，请用一定步骤比较，，的大小（用“”连接）； (2)若，，求的值； 7．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）“数与式大小的比较”一直是数学体系中的一个重要的研究课题．七年级的时候对于数的大小比较，我们借助数轴获取了“数轴上表示的两个数，右边的总比左边的大”进而得出“正数大于零大于一切负数”．本学期我们研究了代数式大小比较，通常可以考虑将两个代数式作差和0比较或者作商和1比较．更是通过灵活运用整式的乘除对于一些特殊的数与式进行了大小比较，例如：比较和的大小． 我们是这么做的“∵，∵∴∴”问题得以解决，请同学们完成下面3个小题： (1)试比较和的大小； (2)若，，试比较a，b的大小； (3)若，且，试比较与的大小． 【题型三】利用幂的运算进行简便计算 8．（22-23八年级上·河北保定·期末）用简便方法计算： (1)； (2)． 9．（23-24七年级下·江苏南京·期中）用简便方法计算： (1)； (2)． 10．（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）简便运算： (1)； (2)． 【题型四】幂的运算中的新定义问题 11．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）定义一种幕的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)_________； (2)，，，求的值； 12．（23-24七年级下·江西抚州·期中）我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．请逆向运用幂的运算法则解决下列问题： (1) ； (2)若，则 ， ； 求的值． 13．（22-23七年级下·江苏无锡·期中）对于整数、定义运算：其中、为常数，如． (1)填空：当，时， ______ ； (2)若，，求的值． 14．（23-24七年级下·贵州毕节·阶段练习）对于整数a，b定义新运算；（其中m，n为常数），如． (1)当，时，的值为________； (2)若，，求的值． 15．（21-22七年级下·福建三明·期中）阅读以下材料： 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（，年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（，年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若，则x叫做以a为底N的对数，记作．如指数式可以转化为，对数式可以转化为．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： ， 理由如下：设，，则，． ． 由对数的定义，得． 又， ． 解答下列问题： (1)将指数式转化为对数式：______． (2)求证：； (3)拓展运用：计算：． 【题型五】整式乘除的计算与化简 16．（23-24七年级下·陕西西安·期末）先化简，再求值： ，其中，． 17．（23-24七年级下·重庆北碚·期中）先化简，再求值：，其中． 18．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）先化简再求值： ，其中 ． 19．（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段练习）观察以下等式： (1)按以上等式的规律，填空： ①______． ②______． (2)利用多项式的乘法法则，说明（1）中②的等式成立． (3)利用（1）中的公式化简； 【题型六】整式乘法的不含某项/错解/遮挡/无关问题 20．（23-24七年级下·四川成都·期中）若多项式与的乘积中不含的项． (1)求的值； (2)若，求的值． 21．（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）定义，如．已知（m为常数），． (1)若A的代数式中不含x的一次项，求m的值； (2)若A中的m满足，计算的结果． 22．（23-24六年级下·山东济南·阶段练习）某同学计算一个多项式乘时，因抄错符号，算成了加上，得到的答案是． (1)求这个多项式 (2)正确的计算结果应该是多少？ 23．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）小雅同学计算一道整式除法：，由于她把除号错写成了乘号，得到的结果为 (1)直接写出a、b的值： ， ． (2)这道除法计算的正确结果是 ； (3)若，，计算（2）中代数式的值． 24．（21-22七年级上·上海奉贤·期中）小红准备完成题目：计算（x2  x+2）（x2﹣x）．她发现第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了． （1）她把被遮住的一次项系数猜成3，请你完成计算：（x2+3x+2）（x2﹣x）； （2）老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含三次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 25．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）【典例展示】 若关于x，y的代数式的值与x无关，求a的值； 解：原式 ∵代数式的值与x无关， ∴，∴． 【理解应用】 已知，，且的值与x无关，求m的值； 【拓展延伸】 用6张长为a，宽为b的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分，设左上角部分的面积为，右下角部分的面积为，当的长度发生变化时，的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系． 26．（23-24七年级下·河北唐山·期中）已知， ，且的值与x的取值无关，求m的值 【题型七】巧用乘法公式求值 27．（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）用四块完全相同的小长方形拼成的一个“回形”正方形． (1)用不同代数式表示图中的阴影部分的面积，你能得到怎样的等式？ (2)利用（1）中的结论计算：，，求； (3)根据（1）中的结论，直接写出和之间的关系；若，分别求出和的值． 28．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）已知a，b为实数． (1)若，，求； (2)若，，分别求a，b的值． 29．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）已知，，求下列代数式的值： (1)； (2)． 30．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，求的值． 解：因为，所以，所以，所以． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： (1)若，，则______． (2)若，求的值． (3)已知，求的值． 【题型八】乘法公式的几何背景 31．（23-24七年级下·江西吉安·期末）如图所示的两个长方形用不同形式拼成图1和图2两个图形． (1)若图1中的阴影部分面积为；则图2中的阴影部分面积为 ．（用含字母的代数式表示） (2)由（1）你可以得到等式 ； (3)根据你所得到的等式解决下面的问题： ①计算：； ②解方程：． 32．（23-24七年级下·广东河源·期中）综合探究：某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： (1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有__________（填序号）； (2)【应用】利用“平方差公式”计算：； (3)【拓展】计算：． 33．（23-24七年级下·福建福州·期末）在一节数学课上，学生在利用平方根定义解方程时，错解成，数学老师带领学生们探究的括号展开形式． (1)老师带领数学兴趣小组1用整体思想进行运算，过程如下： 解：（乘方的定义） （步骤②） 步骤②用到的依据是__________（使用的运算律）； 请你类比数学兴趣小组1的运算过程，推导出的括号展开形式； (2)老师带领数学兴趣小组2用“数形结合”的方法进行推导，具体操作如下： 如图1，将，分别看成边长为a，b的两个正方形，如图2，将边长为b的正方形叠放在边长为a的正方形的左上角，则图2中长方形ABCD与长方形AEFG的面积用a，b都可表示为__________，因此阴影部分的面积用a，b可表示为_________，还可以表示为__________，从而得到的展开形式． (3)拓展延伸： ①由平方的非负性，探究与的大小关系． ②应用：“开心”农场准备用一定长度的护栏围成一块面积为25的长方形花园，设长方形的长为，求护栏长度的最小值． 34．（23-24七年级下·陕西西安·期末）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． 例如：如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题： (1)观察图②，请你写出之间的等量关系是 ； (2)根据（1）中的等量关系解决如下问题： 若，，求的值； 类似的，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式． (3)根据图③，写出一个代数恒等式： ； (4)已知，，利用上面的规律求的值． 【题型九】整式混合运算的应用 35．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）知识链接： ①对于任意两个实数，如果，那么；如果，那么；如果，那么． ②任意实数的平方都是非负数，即． 知识运用： (1)直接写出与的大小关系； (2)已知a为实数，且，，你能比较A与B的大小关系吗？请写出比较过程． (3)已知m、n都是正实数，请直接写出与之间的大小关系． 36．（23-24七年级下·浙江绍兴·期中）如图，将两张边长分别为和的正方形纸片按图1，图2两种方式放置长方形内（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若长方形中边的长度分别为m，n．设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为． (1)若，，，，求的值； (2)从下列4个条件中：①，②，③，④，选择其中2个，求的值． 37．（2024·河北张家口·三模）如图1，2，约定：上方相邻两代数式之和等于这两代数式下方箭头共同指向的代数式． (1)求代数式； (2)嘉嘉说，无论取什么值，的值一定大于的值，嘉嘉的说法是否正确？请通过计算说明． 38．（23-24七年级下·安徽合肥·阶段练习）某植物园中有、两个园区，已知园区为长方形，其长为米，宽为米；园区为正方形，边长为米． (1)请用代数式表示、两个园区的面积之和并化简； (2)现在根据实际情况需要对园区进行改造，将其改造成长方形，宽保持原长度不变，长比原边长增加米，用代数式表示改造后园区的面积并化简． 【题型十】因式分解（提公因式与公式法综合） 39．（山西省太原市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）分解因式： (1) (2) 40．（2024七年级下·全国·专题练习）（1）因式分解：； （2）因式分解：； （3）求证：多项式的值一定是非负数． 41．（23-24八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）（1）利用因式分解进行简便运算：﹒ （2）因式分解 【题型十一】因式分解（十字相乘法） 42．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）阅读与思考 整式乘法与因式分解是方向相反的变形， 即由，得． 利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式进行因式分解， 例如：将分解因式． 解：因为，所以． 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式：． (2)分解因式：． (3)若可分解为两个一次因式的积，写出整数p所有可能的值． 43．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）【材料阅读】利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以为未知数，为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二次项系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解因式的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二次项系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： 【应用新知】 （1）用十字相乘法分解因式：； （2）用十字相乘法分解因式：； 【拓展提升】 （3）结合本题知识，分解因式：． 44．（23-24七年级下·广西贵港·期中）探究：如何把多项式因式分解？ (1)观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？答：______．（填“能”或“不能”）； 【阅读与理解】由多项式乘法，我们知道，将该式从右到左地使用，即可对形如的多项式进行因式分解，即： ； 此类多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和． (2)猜想并填空：＋（___＋_____）＋___×_____＝（＋_____）（＋_____）； (3)请运用上述方法将下列多项式进行因式分解： ①    ② 【题型十二】因式分解（分组分解法） 45．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）在“因式分解探究性学习” 中，甲同学进行了以下因式分解： （分成两组） （直接提公因式） 我们发现，要将多项式分解因式，可以先把它的四项分成两组，分别进行因式分解得：．这种分解因式的方法称为分组分解法．根据以上方法回答下列问题： (1)尝试填空： ； (2)解决问题：已知，求的值； (3)拓展应用：已知三角形的三边长分别为，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 46．（23-24七年级下·浙江宁波·阶段练习）【学习材料】拆项法 在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，再分组进行因式分解． 例1因式分解： 解：原式 例2因式分解： 解：原式 【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题： (1)因式分解： ； (2)运用拆项法因式分解：； (3)化简，并求该式的最小值． 47．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）在学习完“因式分解”这章内容后，为了开拓学生的思维，张老师在黑板上写了下面两道题目让学生解答： 因式分解：（1）；（2）． 下面是晶晶和小舒的解法： 晶晶： （分成两组） （直接提公因式） 小舒： （分成两组） （直接运用公式） 请在她们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：； (2)若，，求的值； (3)已知的三边a，b，c满足，是什么三角形？ 【题型十三】因式分解（添/拆项法） 48．（2022八年级上·全国·专题练习）阅读材料，解答问题： 我们已经学过多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实多项式的因式分解还有别的方法． 下面再介绍一种方法：“添（拆）项分组分解法”． 例题：（添上，再减去使多项式的值不变） （分成两组） （两组分别因式分解） ＝________（两组有公因式，再提公因式） (1)请将上面的例题补充完整； (2)仿照上述方法，因式分解：； (3)若是三边长，满足，且c为整数，试判断的形状，并说明理由． 49．（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： 对于二次三项式可以直接用公式法分解为的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使其成为完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变．于是有． 像上面这样把二次三项式因式分解的方法叫做添项法． 请用上述方法因式分解： (1)； (2)． 50．（23-24八年级下·山西晋中·期末）下面是小宇同学的学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． “拆项法”因式分解 在多项式乘法运算中，经过整理，化简，将几个同类项合并为一项或相互抵消为零．反过来，同样可以对某些多项式恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项(拆项)，我们称此方法为“拆项法”．利用这种方法可以对多项式进行因式分解． 【例题分析】因式分解： 解：原式 …………………………第一步 ………………………………第二步 ………………………………第三步 ……………………………………第四步 任务： (1)上述材料中，多项式的变形过程中第三步到第四步运用了______进行因式分解： A．提公因式法        B．平方差公式         C．完全平方公式           D．整式乘法 (2)请类比材料中的例题分析，将多项式 因式分解． 【题型十四】因式分解的应用 51．（23-24七年级下·湖南怀化·期末）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式 再将“A”还原，得：原式． 上述解题过程用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解：________ (2)因式分解： (3)证明：若n为正整数，则的值一定是某一个整数的平方． 52．（23-24八年级下·山东枣庄·阶段练习）利用公式法，可以将一些形如（）的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式（）的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如： ． 根据以上材料，解答下列问题． (1)仿照例题分解因式：； (2)求多项式的最小值； (3)已知，，是的三边长，且满足，求的周长． 53．（21-22八年级下·山东烟台·期末）【阅读材料】把整式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如： ①用配方法因式分解： 解： ②求的最小值． 解： 即的最小值为． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______________； (2)利用上述方法进行因式分解：； (3)求的最小值． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 整式的乘除章末十四大题型总结 【热考题型】 【题型一】幂的基本运算 1．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了幂的混合运算，解题的关键是掌握幂的混合运算法则． （1）根据单项式与单项式相乘的法则进行计算； （2）先计算积的乘方，然后根据单项式与单项式相乘的法则进行计算； （3）根据单项式与单项式相乘的法则进行计算； （4）先算积的乘方和幂的乘方，再算单项式相乘，最后算加减． 【详解】（1） ． （2） ． （3） ． （4） 2．（2023八年级上·全国·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． （1）先计算幂的乘方以及同底数幂的乘法，再算减法即可； （2）先计算幂的乘方再算减法即可； （3）先计算幂的乘方再算加、减法即可； （4）观察底数的特征，利用幂的运算法则将底数转化进行运算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 3．（23-24八年级上·江西南昌·期末）已知，，. (1)求证：； (2)求的值. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查幂的运算，掌握同底数幂的乘法和除法、幂的乘方法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法、幂的乘方法则可以得到即可得到结论； （2）根据幂的运算得到，代入计算即可解题． 【详解】（1）证明：， . 即. （2）解：． 4．（22-23七年级下·福建宁德·期中）阅读理解：规定两数，之间的一种运算，记作；如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ①______； ②若，则______； ③若，则______． (2)若，，．请探索，，之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1)①2；②2；③81 (2) 【分析】（1）根据规定的运算法则结合有理数的乘方和负整数指数幂解答即可； （2）由题意可得出，，，结合，即得出，再根据幂的乘方及其逆用法则和同底数幂乘法的逆用法则计算即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴． 故答案为：2； ②∵， ∴． 故答案为：2； ③∵， ∴．　　 故答案为：81． （2）解：∵，，， ∴，，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查有理数的乘方，负整数指数幂，幂的乘方及其逆用，同底数幂乘法的逆用．理解题意，掌握新规定的运算法则是解题关键． 【题型二】利用幂的运算法则比较大小 5．（23-24六年级下·山东济南·阶段练习）阅读下面的材料： 材料一：比较和的大小． 材料二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即． 解：因为，且，所以，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较，，的大小； (2)比较，，的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查幂的乘方，有理数大小比较，解题的关键是明确有理数大小的比较方法及幂的乘方运算法则． （1）根据材料一的结论解答本题； （2）根据材料二的结论解答本题． 【详解】（1）∵，，， ∵， ∴； （2）∵，，， ∵， ∴． 6．（23-24七年级下·湖南永州·阶段练习）我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，；（，为正整数）． 请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题： (1)已知，，，请用一定步骤比较，，的大小（用“”连接）； (2)若，，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方法则； （1）根据逆用幂的乘方，化成指数相同的幂，再比较大小； （2）根据逆用同底数幂的乘法和逆用幂的乘方即可求解． 【详解】（1）解：∵，    ，              ．                      ∴． （2）解： ，           ，      ∵，， ∴原式，      ， ． 7．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）“数与式大小的比较”一直是数学体系中的一个重要的研究课题．七年级的时候对于数的大小比较，我们借助数轴获取了“数轴上表示的两个数，右边的总比左边的大”进而得出“正数大于零大于一切负数”．本学期我们研究了代数式大小比较，通常可以考虑将两个代数式作差和0比较或者作商和1比较．更是通过灵活运用整式的乘除对于一些特殊的数与式进行了大小比较，例如：比较和的大小． 我们是这么做的“∵，∵∴∴”问题得以解决，请同学们完成下面3个小题： (1)试比较和的大小； (2)若，，试比较a，b的大小； (3)若，且，试比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了幂的运算性质，正确理解题意、灵活应用幂的乘方逆运算法则是解题的关键． （1）可以将指数都化为2再进行比较； （2）可以将指数都化为15再进行比较． （3）根据整式的混合运算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴． （2）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ （3）解： ∵，， ∴ ∴ 【题型三】利用幂的运算进行简便计算 8．（22-23八年级上·河北保定·期末）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）先将小数化为分数，再根据同底数幂的运算法则进行计算即可； （3）根据乘法结合律和积的乘方逆运算，先计算后两项乘积，再求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了有理数混合运算的简便运算，解题的关键是掌握有理数范围内依旧适用各个运算律，以及熟练运用同底数幂的运算法则． 9．（23-24七年级下·江苏南京·期中）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了整式的运算中平方差公式、逆用积的乘方、同度数幂的乘法进行简便计算，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）先将原式的乘法部分写成平方差公式的形式，然后再计算即可； （2）先运用积的乘方进行化简，然后再进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 10．（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）利用积的乘方的逆运算和有理数的乘方运算求解即可； （2）利用平方差公式运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查有理数的简便运算，熟练掌握积的乘方和平方差公式的灵活运用是解答的关键． 【题型四】幂的运算中的新定义问题 11．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）定义一种幕的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)_________； (2)，，，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】 本题考查了幂的乘方、新定义的运算；熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据新定义的运算，把相应的值代入运算即可； （2）根据新定义的运算、幂的乘方的法则进行运算即可； 【详解】（1）解： ． 故答案为：． （2）解：当，，时， ． 12．（23-24七年级下·江西抚州·期中）我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．请逆向运用幂的运算法则解决下列问题： (1) ； (2)若，则 ， ； 求的值． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题主要考查积的乘方、幂的乘方，同底数幂的乘法与除法，掌握相关运算性质是解题的关键． （1）根据积的乘方进行求解即可； （2）根据积的乘方、幂的乘方以及同底数幂的乘法以及除法进行求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ，， ． 13．（22-23七年级下·江苏无锡·期中）对于整数、定义运算：其中、为常数，如． (1)填空：当，时， ______ ； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把相应的值代入进行运算即可； （2）把相应的值代入运算求得，，再利用幂的乘方的法则，同度数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则进行求解即可． 【详解】（1）解：当，时， ， 故答案为：． （2）解：，， ，， 整理得：，，解得：，， ． 【点睛】本题主要考查幂乘方与积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 14．（23-24七年级下·贵州毕节·阶段练习）对于整数a，b定义新运算；（其中m，n为常数），如． (1)当，时，的值为________； (2)若，，求的值． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，幂的运算的含义，理解新定义运算的含义是解本题的关键； （1）根据新定义运算法则可得，再计算即可； （2）由可得，结合，可得，再计算即可． 【详解】（1）解：根据运算法则，． （2）∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴ ． 15．（21-22七年级下·福建三明·期中）阅读以下材料： 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（，年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（，年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若，则x叫做以a为底N的对数，记作．如指数式可以转化为，对数式可以转化为．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： ， 理由如下：设，，则，． ． 由对数的定义，得． 又， ． 解答下列问题： (1)将指数式转化为对数式：______． (2)求证：； (3)拓展运用：计算：． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)2 【分析】（1）根据题意中对数式的定义转化即可； （2）设，，类比材料中的证明过程，即可证明结论； （3）逆用题干中以及（2）求出的对数的性质进行计算，即可得到答案． 【详解】（1）解：指数式转化为对数式为：， 故答案为：； （2）解：设，，则，， ． 由对数的定义，得． 又， ； （3）解：． 【点睛】本题是新定义试题，主要考查幂的混合运算，有理数的混合运算，新定义对数与指数之间的关系，解题的关键是明确新定义，理解对数的运算法则，明白指数与对数之间的相互转化关系． 【题型五】整式乘除的计算与化简 16．（23-24七年级下·陕西西安·期末）先化简，再求值： ，其中，． 【答案】，4 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握整式的运算法则和完全平方公式是解题关键．先计算完全平方公式、平方差公式，再计算括号内的整式加减，然后计算整式的除法，最后将a，b的值代入计算即可得． 【详解】解： ∵， ∴原式． 17．（23-24七年级下·重庆北碚·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】本题考查了了整式的混合运算化简求解，非负数的性质，先利用整式的运算法则对整式进行化简，再根据非负数的性质求出的值，把的值代入化简后的结果中进行计算即可求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ， ， ， ∵， ∴，， ∴，， ∴原式． 18．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）先化简再求值： ，其中 ． 【答案】， 【分析】本题是化简求值问题，考查了乘法公式，单项式乘以多项式法则，整式的混合运算和求解，能正确运用以上运算法则是解题的关键． 根据乘法公式、单项式乘以多项式法则进行展开，再合并同类项，求出和的值，代入式子计算即可． 【详解】解：， ． 当时， ∵，， ∴，， 解答，， 故原式． 故答案为． 19．（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段练习）观察以下等式： (1)按以上等式的规律，填空： ①______． ②______． (2)利用多项式的乘法法则，说明（1）中②的等式成立． (3)利用（1）中的公式化简； 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握整式的运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示的方法即可求解； （2）运用多项式乘以多项式，再根据整式的运算法则即可求解； （3）根据材料提示，分别计算与的值，再运用整式加减运算即可求解． 【详解】（1）解：根据材料提示， ①． ②． 故答案为：；； （2）解： ； （3）解： ． 【题型六】整式乘法的不含某项/错解/遮挡/无关问题 20．（23-24七年级下·四川成都·期中）若多项式与的乘积中不含的项． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)100 (2) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据多项式与多项式相乘的法则去括号，然后合并同类项，再根据多项式的乘积中不含的项，得出．再把化为的形式，然后整体代入计算； （2）根据多项式与多项式相乘的法则去括号，根据等式的性质得出，，然后整体代入计算． 【详解】（1）解：∵ ∵多项式的乘积中不含的项， ∴， ∴． ∴； （2）解：∵， ∴， ∴，， ∴． 21．（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）定义，如．已知（m为常数），． (1)若A的代数式中不含x的一次项，求m的值； (2)若A中的m满足，计算的结果． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题中给出的定义计算出，根据代数式中不含x的一次项，计算结果即可； （2）先根据同底数幂的乘法求出m的值，再根据题中给出的定义算出A、B的式子进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意， 的代数式中不含x的一次项， ， ； （2）， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了新定义，整式的混合运算，平方差公式的运用，整式运算中无关型问题，同底数幂乘法的计算，准确计算是解答本题的关键． 22．（23-24六年级下·山东济南·阶段练习）某同学计算一个多项式乘时，因抄错符号，算成了加上，得到的答案是． (1)求这个多项式 (2)正确的计算结果应该是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了单项式与多项式相乘，熟练掌握单项式与多项式相乘运算法则是解答本题的关键． （1）用错误结果减去，可得出原式； （2）用计算出的原式乘得出正确结果． 【详解】（1）解：这个多项式是： ， （2）正确的计算结果为：． 23．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）小雅同学计算一道整式除法：，由于她把除号错写成了乘号，得到的结果为 (1)直接写出a、b的值： ， ． (2)这道除法计算的正确结果是 ； (3)若，，计算（2）中代数式的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了整式的乘法和除法以、因式分级以及代数式求值，熟练掌握相关运算法则是关键． （1）按题意将除法运算改成乘法，计算，将乘积与对应系数相等，即可求出答案； （2）根据多项式除以单项式法则计算即可； （3）先将提公因式，再将，代入即可． 【详解】（1）解：由题意，， ∴， 解得，， 故答案为：； （2）由题意，得 ， 故答案为：； （3） ∴原式． 24．（21-22七年级上·上海奉贤·期中）小红准备完成题目：计算（x2  x+2）（x2﹣x）．她发现第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了． （1）她把被遮住的一次项系数猜成3，请你完成计算：（x2+3x+2）（x2﹣x）； （2）老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含三次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 【答案】（1）；（2）1 【分析】（1）根据多项式的乘法进行计算即可； （2）设一次项系数为，计算，根据其结果不含三次项，则结果的三次项系数为0，据此即可求得的值，即原题中被遮住的一次项系数． 【详解】解：（1）（x2+3x+2）（x2﹣x） （2）设一次项系数为， 答案是不含三次项的 【点睛】本题考查了多项式的乘法运算，正确的计算是解题的关键． 25．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）【典例展示】 若关于x，y的代数式的值与x无关，求a的值； 解：原式 ∵代数式的值与x无关， ∴，∴． 【理解应用】 已知，，且的值与x无关，求m的值； 【拓展延伸】 用6张长为a，宽为b的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分，设左上角部分的面积为，右下角部分的面积为，当的长度发生变化时，的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系． 【答案】【理解应用】； 【拓展延伸】 【分析】本题考查了整式的混合运算的应用： 【理解应用】先去括号得，再根据去关型问题得，进而可求解； 【拓展延伸】设，由图得，，则可得，根据题意得，进而可求解； 熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解：【理解应用】 ， 的值与x无关， ， 解得：； 【拓展延伸】设， 由图得：，， ， 的长度发生变化时，的值始终保持不变， ， ． 26．（23-24七年级下·河北唐山·期中）已知， ，且的值与x的取值无关，求m的值 【答案】 【分析】本题考查整式的运算，多项式的取值与某个字母无关，解一元一次方程． 先运用整式的运算计算，再由含x的项的系数为0列关于m的方程，求解即可． 【详解】解：∵， ， ∴ ∵的值与x的取值无关， ∴， ∴． 【题型七】巧用乘法公式求值 27．（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）用四块完全相同的小长方形拼成的一个“回形”正方形． (1)用不同代数式表示图中的阴影部分的面积，你能得到怎样的等式？ (2)利用（1）中的结论计算：，，求； (3)根据（1）中的结论，直接写出和之间的关系；若，分别求出和的值． 【答案】(1) (2) (3)，， 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，完全平方公式在几何图形中的应用： （1）根据阴影部分的面积等于4个长为a，宽为b的长方形面积且阴影部分面积等于边长为的正方形面积减去边长为的正方形面积进行列式求解即可； （2）根据（1）所求可得，据此可得答案； （3）根据（1）所求可得，再根据已知条件得到，据此可得． 【详解】（1）解：阴影部分的面积等于4个长为a，宽为b的长方形面积，即阴影部分面积为， 阴影部分面积等于边长为的正方形面积减去边长为的正方形面积，即阴影部分面积为， ∵两种方法表示的阴影部分面积相等， ∴； （2）解：由（1）可得， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（1）可得； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 28．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）已知a，b为实数． (1)若，，求； (2)若，，分别求a，b的值． 【答案】(1) (2)，或， 【分析】本题考查整式的化简求值、利用完全平方公式的变形求值，运用整体代入的思想是解题的关键． （1）利用完全平方公式进行变形，再整体代入求值即可； （2）把已知的两式相加可求得，再代入求值即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：，， 两式相加可得，，即， ∴， ∵，，即，， 当时，，， ∴，， 当时，，， ∴，， 综上所述，，或，； 29．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）已知，，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查完全平方公式． （1）利用完全平方公式进行求解即可； （2）结合（1）进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解： ． 30．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，求的值． 解：因为，所以，所以，所以． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： (1)若，，则______． (2)若，求的值． (3)已知，求的值． 【答案】(1)31 (2)15 (3)11 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，正确完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式变形即可求解； （2）由题意得到，根据完全平方公式得出，化简即可求解． （3）两边同时除以x得，，两边平方得，化简即可求解． 【详解】（1），， ，， ，即， ， 故答案为：31． （2），， ， ， ， ； （3） ， 即， ， 【题型八】乘法公式的几何背景 31．（23-24七年级下·江西吉安·期末）如图所示的两个长方形用不同形式拼成图1和图2两个图形． (1)若图1中的阴影部分面积为；则图2中的阴影部分面积为 ．（用含字母的代数式表示） (2)由（1）你可以得到等式 ； (3)根据你所得到的等式解决下面的问题： ①计算：； ②解方程：． 【答案】(1) (2) (3)①5550；② 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，用不同的方法表示出阴影部分的面积是解题的关键． （1）根据长方形的面积公式列式计算即可得解； （2）根据两阴影部分的面积相等解答； （3）①利用平方差公式进行计算即可得解；②利用平方差公式进行计算即可得解． 【详解】（1）图2中的阴影部分面积为； 故答案为：； （2）由（1）你可以得到的等式是：； 故答案为：； （3）① ； ②， ， ， ． 32．（23-24七年级下·广东河源·期中）综合探究：某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： (1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有__________（填序号）； (2)【应用】利用“平方差公式”计算：； (3)【拓展】计算：． 【答案】(1)①②③ (2)4 (3) 【分析】本题考查的是平方差公式的几何背景，平方差公式的灵活运用，熟练掌握平方差公式是解本题的关键； （1）分别表示各图形面积，再利用等面积法可得答案； （2）把原式化为，再利用平方差公式计算即可； （3）把原式化为，再依次利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：图①：由等面积可得：， 图②：由等面积可得：， 图③：由等面积可得：， 图④：由等面积可得：， 故答案为：①②③ （2）原式 ． （3）原式 ． 33．（23-24七年级下·福建福州·期末）在一节数学课上，学生在利用平方根定义解方程时，错解成，数学老师带领学生们探究的括号展开形式． (1)老师带领数学兴趣小组1用整体思想进行运算，过程如下： 解：（乘方的定义） （步骤②） 步骤②用到的依据是__________（使用的运算律）； 请你类比数学兴趣小组1的运算过程，推导出的括号展开形式； (2)老师带领数学兴趣小组2用“数形结合”的方法进行推导，具体操作如下： 如图1，将，分别看成边长为a，b的两个正方形，如图2，将边长为b的正方形叠放在边长为a的正方形的左上角，则图2中长方形ABCD与长方形AEFG的面积用a，b都可表示为__________，因此阴影部分的面积用a，b可表示为_________，还可以表示为__________，从而得到的展开形式． (3)拓展延伸： ①由平方的非负性，探究与的大小关系． ②应用：“开心”农场准备用一定长度的护栏围成一块面积为25的长方形花园，设长方形的长为，求护栏长度的最小值． 【答案】(1)乘法分配律，推导见解析 (2)，，或，， (3)①；②20 【分析】（1）根据乘法的分配律，展开计算即可，仿照示例解答即可． （2）根据题意，长方形的面积表示为，长方形的面积表示为，因此阴影部分的面积用a，b可表示为，还可以表示为，或长方形的面积表示为，长方形的面积表示为，因此阴影部分的面积用a，b可表示为还可以表示，解答即可． （3）①根据，得到，继而得到． ②根据长方形的面积为25，长为，得到宽为，表示周长为．解答即可． 本题考查了运算的分配律，实数的非负性，几何解释，应用，熟练掌握实数的非负性，公式的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：步骤②用到的依据是分配律． 故答案为：乘法分配律． 解：的展开形式推导如下： ． （2）根据题意，长方形的面积表示为，长方形的面积表示为，因此阴影部分的面积用a，b可表示为，还可以表示为，或长方形的面积表示为，长方形的面积表示为，因此阴影部分的面积用a，b可表示为还可以表示， 故答案为：，，或，，． （3）解：①由平方的非负性知， ∵， ∴， ∴． ②∵长方形的面积为25，长为， ∴宽为， ∴周长为：， ∴护栏长度的最小值为20． 34．（23-24七年级下·陕西西安·期末）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． 例如：如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题： (1)观察图②，请你写出之间的等量关系是 ； (2)根据（1）中的等量关系解决如下问题： 若，，求的值； 类似的，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式． (3)根据图③，写出一个代数恒等式： ； (4)已知，，利用上面的规律求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）观察图大正方形面积减中间小正方形面积等于个长方形面积；（2）灵活利用上题得出的结论，根据完全平方公式变形即可求解． （3）利用两种方式求解长方体的体积，得出关系式． （4）利用上题得出的关系式，进行变换，最终求出答案． 【详解】（1）解：用两种方法表示出个长方形的面积：即大正方形面积减中间小正方形面积等于个长方形面积，可得：， （2）由题（1）知： ∵，， （3）根据题意得：． （4）由（3）可知， 把，，代入得： ． ． 【题型九】整式混合运算的应用 35．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）知识链接： ①对于任意两个实数，如果，那么；如果，那么；如果，那么． ②任意实数的平方都是非负数，即． 知识运用： (1)直接写出与的大小关系； (2)已知a为实数，且，，你能比较A与B的大小关系吗？请写出比较过程． (3)已知m、n都是正实数，请直接写出与之间的大小关系． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了无理数的估算，不等式的性质，整式的混合运算，乘法公式，熟练掌握作差法比较大小是解题关键． （1）将与作差，根据无理数的估算以及不等式的性质，即可求解； （2）将与作差，根据完全平方公式和多项式乘多项式法则展开合并，再根据平方的非负性即可求解； （3）将与作差，通分化简，根据已知条件可得，，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）解：，证明如下： ，， ， ， ， ，即 （3）解： ， m、n都是正实数， ，， ， ，即． 36．（23-24七年级下·浙江绍兴·期中）如图，将两张边长分别为和的正方形纸片按图1，图2两种方式放置长方形内（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若长方形中边的长度分别为m，n．设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为． (1)若，，，，求的值； (2)从下列4个条件中：①，②，③，④，选择其中2个，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，面积的定义，关键是得到图1中阴影部分的面积与图2中阴影部分的面积． （1）根据图形得到：进而把，，，， 代入计算即可求解； （2）根据平移的性质得到：进而得到； 【详解】（1）解：如图1， ∵，，，， ∴； （2）解：选择②，④， 如图2， ∴． 37．（2024·河北张家口·三模）如图1，2，约定：上方相邻两代数式之和等于这两代数式下方箭头共同指向的代数式． (1)求代数式； (2)嘉嘉说，无论取什么值，的值一定大于的值，嘉嘉的说法是否正确？请通过计算说明． 【答案】(1) (2)嘉嘉的说法正确，理由见解析； 【分析】本题考查的是整式的混合运算，平方差公式的应用，理解题意是关键； （1）根据加法的意义列式计算即可； （2）先求解，再计算与0比较大小，从而可得答案． 【详解】（1）解：由题意可得： ； （2）嘉嘉的说法正确；理由如下： 由题意可得： ， ∵ ， ∴． 38．（23-24七年级下·安徽合肥·阶段练习）某植物园中有、两个园区，已知园区为长方形，其长为米，宽为米；园区为正方形，边长为米． (1)请用代数式表示、两个园区的面积之和并化简； (2)现在根据实际情况需要对园区进行改造，将其改造成长方形，宽保持原长度不变，长比原边长增加米，用代数式表示改造后园区的面积并化简． 【答案】(1)=平方米 (2)=平方米 【分析】（1）根据题中的图形，由矩形面积公式、正方形面积公式表示出园区面积，再由整式混合运算法则求解即可得到答案； （2）根据题意，由矩形面积公式、正方形面积公式表示出园区面积，再由整式混合运算法则求解即可得到答案． 【详解】（1）解：、两个园区的面积之和为 平方米； （2）解：改造后园区的面积为 平方米． 【点睛】本题考查列代数式及整式混合运算，涉及平方差公式、完全平方和公式、去括号法则、整式乘法运算及整式加减运算等知识，数学结合用代数式表示出图形面积，熟练掌握整式混合运算法则化简是解决问题的关键． 【题型十】因式分解（提公因式与公式法综合） 39．（山西省太原市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是解题关键． （1）首先提取公因式，进而利用完全平方公式分解因式即可； （2）首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 40．（2024七年级下·全国·专题练习）（1）因式分解：； （2）因式分解：； （3）求证：多项式的值一定是非负数． 【答案】（1）（1） （2） （3）见解析 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握各类分解方法以及换元法是解题的关键． （1）设，将原式化为即可求解； （2）设，将原式化为即可求解； （3）将原式化为，设，利用平分的非负性即可求解． 【详解】解：（1）解法一：设， 则原式 ； 方法二：设， 则原式 ； （2）设， 则原式 ； （3）解： ， 设， 则原式 ， ∵， ∴， ∴多项式的值一定是非负数． 41．（23-24八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）（1）利用因式分解进行简便运算：﹒ （2）因式分解 【答案】（1）40000；（2） 【分析】本题主要考查完全平方公式，分解因式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）利用完全平方公式进行运算即可； （2）利用提公因式法进行分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型十一】因式分解（十字相乘法） 42．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）阅读与思考 整式乘法与因式分解是方向相反的变形， 即由，得． 利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式进行因式分解， 例如：将分解因式． 解：因为，所以． 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式：． (2)分解因式：． (3)若可分解为两个一次因式的积，写出整数p所有可能的值． 【答案】(1) (2) (3)5或或1或 【分析】本题考查了因式分解与整式乘法，解题的关键是： （1）模仿例题即可求解； （2）先提公因式法，然后模仿例题即可求解； （3）将常数进行分解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴； （2）解：原式， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴或或或 因此整数p的值可能为5或或1或． 43．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）【材料阅读】利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以为未知数，为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二次项系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解因式的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二次项系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： 【应用新知】 （1）用十字相乘法分解因式：； （2）用十字相乘法分解因式：； 【拓展提升】 （3）结合本题知识，分解因式：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，因式分解，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用． （1）利用十字相乘法进行求解即可； （2）利用十字相乘法进行求解即可； （3）将看成一个整体，再利用十字相乘法进行求解即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3） 44．（23-24七年级下·广西贵港·期中）探究：如何把多项式因式分解？ (1)观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？答：______．（填“能”或“不能”）； 【阅读与理解】由多项式乘法，我们知道，将该式从右到左地使用，即可对形如的多项式进行因式分解，即： ； 此类多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和． (2)猜想并填空：＋（___＋_____）＋___×_____＝（＋_____）（＋_____）； (3)请运用上述方法将下列多项式进行因式分解： ①    ② 【答案】(1)不能 (2)3，5，3，5，3，5 (3)①；② 【分析】本题考查因式分解，掌握十字相乘法，是解题的关键． （1）根据完全平方式的特点判断即可； （2）将15拆解乘，又，即可得出结果； （3）利用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：∵不是完全平方式， ∴不能利用完全平方公式进行因式分解； 故答案为：不能； （2）∵， ∴； （3）①； ②． 【题型十二】因式分解（分组分解法） 45．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）在“因式分解探究性学习” 中，甲同学进行了以下因式分解： （分成两组） （直接提公因式） 我们发现，要将多项式分解因式，可以先把它的四项分成两组，分别进行因式分解得：．这种分解因式的方法称为分组分解法．根据以上方法回答下列问题： (1)尝试填空： ； (2)解决问题：已知，求的值； (3)拓展应用：已知三角形的三边长分别为，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)三角形是等腰三角形，理由见解析 【分析】此题考查了用分组分解法分解因式，熟练掌握分组分解法是解题的关键． （1）利用分组分解法解答即可； （2）利用分组分解法得到，再整体代入即可； （3）利用分组分解法得到，则或，即可得到结论． 【详解】（1）解： ， 故答案为： （2）， ∵， ∴原式； （3）三角形是等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， ， ， ∴或， ∴三角形是等腰三角形． 46．（23-24七年级下·浙江宁波·阶段练习）【学习材料】拆项法 在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，再分组进行因式分解． 例1因式分解： 解：原式 例2因式分解： 解：原式 【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题： (1)因式分解： ； (2)运用拆项法因式分解：； (3)化简，并求该式的最小值． 【答案】(1) (2) (3)，最小值为 【分析】本题考查了因式分解，分式的化简，解题的关键是理解题意，掌握相关的运算法则． （1）根据例1的思路计算即可； （2）根据例2的思路计算即可； （3）根据题意对分子进行因式分解，然后再约分化简，最后利用材料中的方法进行配方即可求解． 【详解】（1）解： （2） （3） 当时，最小值为． 47．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）在学习完“因式分解”这章内容后，为了开拓学生的思维，张老师在黑板上写了下面两道题目让学生解答： 因式分解：（1）；（2）． 下面是晶晶和小舒的解法： 晶晶： （分成两组） （直接提公因式） 小舒： （分成两组） （直接运用公式） 请在她们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：； (2)若，，求的值； (3)已知的三边a，b，c满足，是什么三角形？ 【答案】(1) (2) (3)是等腰三角形 【分析】本题主要考查了因式分解，等边三角形的判定，解题的关键是根据题意进行拆项，将原等式重新分组后进行因式分解． （1）分组，先利用完全平方公式分解，再利用平方差公式分解即可； （2）分组，利用提公因式法分解，整体代入求解即可； （3）整理后，利用完全平方公式分解，再利用三边关系即可求解． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． ∵，， ∴原式； （3）∵， ∴， ∴． ∵， ∴，即， ∴是等腰三角形． 【题型十三】因式分解（添/拆项法） 48．（2022八年级上·全国·专题练习）阅读材料，解答问题： 我们已经学过多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实多项式的因式分解还有别的方法． 下面再介绍一种方法：“添（拆）项分组分解法”． 例题：（添上，再减去使多项式的值不变） （分成两组） （两组分别因式分解） ＝________（两组有公因式，再提公因式） (1)请将上面的例题补充完整； (2)仿照上述方法，因式分解：； (3)若是三边长，满足，且c为整数，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)是等腰三角形，理由见解析． 【分析】（1）运用提公因式法分解即可； （2）需要添项，，，所以添，凑成完全平方式，然后再运用平方差公式继续分解； （3）仿照例题运用拆项分组分解法，把19拆成3和16，然后凑成两个完全平方式，再利用平方式的非负性进行计算． 【详解】（1）解： ． 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，． ∵是三边长， ∴， ∴． 又∵c为整数， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，需要学生必须掌握完全平方公式和平方差公式的特征，才能灵活运用到解题中去． 49．（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： 对于二次三项式可以直接用公式法分解为的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使其成为完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变．于是有． 像上面这样把二次三项式因式分解的方法叫做添项法． 请用上述方法因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）先添加凑成完全平方式， 然后减利用平方差公式进一步分解因式即可得到答案； （）先把分成两项和，然后利用平方差公式进一步分解因式即可得到答案． 【详解】（1） ， ， ； （2）， ， ， ． 【点睛】此题考查了因式分解，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键． 50．（23-24八年级下·山西晋中·期末）下面是小宇同学的学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． “拆项法”因式分解 在多项式乘法运算中，经过整理，化简，将几个同类项合并为一项或相互抵消为零．反过来，同样可以对某些多项式恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项(拆项)，我们称此方法为“拆项法”．利用这种方法可以对多项式进行因式分解． 【例题分析】因式分解： 解：原式 …………………………第一步 ………………………………第二步 ………………………………第三步 ……………………………………第四步 任务： (1)上述材料中，多项式的变形过程中第三步到第四步运用了______进行因式分解： A．提公因式法        B．平方差公式         C．完全平方公式           D．整式乘法 (2)请类比材料中的例题分析，将多项式 因式分解． 【答案】(1)A (2) 【分析】本题考查了因式分解； （1）根据提公因式法即可求解； （2）根据题意中的分解因式的方法求解即可． 【详解】（1）解：，多项式的变形过程中第三步到第四步运用了提公因式法进行因式分解： 故选：A． （2）解： 【题型十四】因式分解的应用 51．（23-24七年级下·湖南怀化·期末）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式 再将“A”还原，得：原式． 上述解题过程用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解：________ (2)因式分解： (3)证明：若n为正整数，则的值一定是某一个整数的平方． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法． （1）把看作一个整体，直接利用完全平方公式因式分解即可； （2）把看作一个整体，直接利用完全平方公式因式分解即可； （3）将原式转化为，进一步整理为，根据为正整数得到也为正整数，从而说明原式是整数的平方． 【详解】（1） ， 故答案为：； （2）原式 （3）原式 将“”看成整体，令，则原式再将“A”还原， 得：原式 为正整数，也为正整数 ∴代数式的值一定是某一个整数的平方． 52．（23-24八年级下·山东枣庄·阶段练习）利用公式法，可以将一些形如（）的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式（）的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如： ． 根据以上材料，解答下列问题． (1)仿照例题分解因式：； (2)求多项式的最小值； (3)已知，，是的三边长，且满足，求的周长． 【答案】(1) (2) (3)12 【分析】本题考查配方法，因式分解的应用，熟练掌握配方法，是解题的关键： （1）配方法，进行因式分解即可； （2）先配方，根据完全平方的非负性，进行求解即可； （3）配方后，利用非负性进行求解即可． 【详解】（1）解：； （2）， ∵， ∴， ∴的最小值为：； （3）∵ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 53．（21-22八年级下·山东烟台·期末）【阅读材料】把整式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如： ①用配方法因式分解： 解： ②求的最小值． 解： 即的最小值为． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______________； (2)利用上述方法进行因式分解：； (3)求的最小值． 【答案】(1)4 (2) (3)4 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． （1）根据完全平方公式解答即可； （2）先根据完全平方公式配方，再用平方差公式分解； （3）先根据完全平方公式配方，再利用偶次方的性质求解． 【详解】（1）∵ ∴所添常数项为4． 故答案为：4； （2） （3） ∵ ∴ ∴的最小值为4． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$