暑假结业测试卷 (考试范围：第1-4章)（提高卷)-（暑期衔接课堂）2024年暑假七升八数学衔接讲义（北师大版）

暑假结业测试卷（提高卷） 考试范围：北师大版第 1-4 章 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（    ） A．1 B． C． D． 2．（23-24八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·广西崇左·期中）有下列实数：3.14，，，0，，，，0.01001001（相邻两个1之间0的个数逐次增加1），其中无理数的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（2-23八年级上·吉林长春·期末）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形的面积依次为，则正方形的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 5．（23-24七年级下·北京·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为．线段以每秒旋转的速度，绕点O沿顺时针方向连续旋转，同时，点P从点O出发，以每秒移动1个单位长度的速度，在线段上，按照的路线循环运动，则第1314秒时点P的坐标为（   ）    A． B． C． D． 6．（2023·山西长治·模拟预测）数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系．我们把这种思想叫“算两次”．“算两次”也称作富比尼原理，是一种重要的数学思想．由它可以推导出很多重要的公式．如图，两个直角边分别为，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成一个梯形，用“算两次”的方法，探究，，之间的数量关系可以验证的是（    ）    A．勾股定理 B．平方差公式 C．完全平方公式 D．比例的性质 7．（23-24七年级下·江西新余·期末）如图，在平面直角坐标系中，一巡查机器人接到指令，从原点出发，沿着路线移动，每次移动个单位长度，依次得到根据这个规律，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·广东广州·期末）已知A、B两地相距600米，甲、乙两人同时从A地出发前往B地，所走路程y(米)与行驶时间x(分)之间的函数关系如图所示，则下列说法中错误的是（   ） A．甲每分钟走100米 B．两分钟后乙每分钟走50米 C．当或6时，甲乙两人相距100米 D．甲比乙提前1.5分钟到达B地 9．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，甲、乙两艘轮船同时从港口 出发，甲轮船以20海里/时的速度向南偏东 方向航行，乙轮船向南偏西 方向航行． 已知它们离开港口 2时后，两艘轮船相距60海里，则乙轮船的平均速度为 （    ） A．海里/时 B．20海里/时 C．海里/时 D．海里/时 10．（23-24八年级下·河南新乡·期末）下面的三个问题中都有两个变量： ①一个正方形的边长为，周长为； ②某蓄水池蓄水，用速度为的水泵向外抽水，设蓄水池的剩余水量为，抽水时间为； ③某电信公司手机的类收费标准为：每部手机每月必须缴月租费元，另外通话费按元计费．若一个月的通话时间为，应缴费用为元． 其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（    ） A．① B．② C．③ D．②③ 二、填空题（6小题，每小题2分，共12分） 11．（2-23八年级下·广东东莞·期中）在平面直角坐标系中，点（1，2）到原点的距离是 ． 12．（2024·陕西西安·模拟预测）比较大小： （“”或“”或“”）． 13．（23-24七年级下·山东德州·期中）如图，一艘船在处遇险后向相距80海里位于处的救生船报警．用方向和距离描述救生船相对于遇险船的位置 ． 14．（2-23八年级上·四川成都·期末）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是 寸．    15．（23-24八年级下·北京·期末）“漏壶”是一种古代计时器．在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出． 壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度．下面图象中适合表示y与x的对应关系 (不考虑水量变化对压力的影响)的是 (填序号即可)． 16．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，长方形的边在轴的正半轴上，点和点的坐标分别为、，过点的正比例函数图象上有一点，使得点为的中点，将的图象沿轴向下平移得到的图象，若点落在长方形的内部，则的取值范围是 ．    三、解答题（9小题，共68分） 17．（2023八年级上·全国·专题练习）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 18．（23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）计算： (1)； (2)． 19．（22-23七年级下·福建莆田·期中）阅读下列解题过程： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… (1)按照你所发现的规律，请你写出第4个等式：__________________． (2)利用这一规律计算：． 20．（23-24七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，已知三点A，B，C． (1)请写出三点坐标A______，B______，C______； (2)请作关于x轴对称的； (3)已知点P为y轴上一点，若时，求点P的坐标． 21．（23-24八年级下·广西南宁·期中）为探究函数的图象和性质，下面是小明同学的探究过程，请补充完整． (1)下表为与的几组对应值. … 0 1 2 3 4 … … 3 2 1 0 2 3 … 求m的值； (2)如图，在平面直角坐标系中，先描出上表中所有对应值的点，然后画出该函数的图象． (3)观察图象，写出函数的一条性质． 22．（23-24八年级下·广西玉林·期中）勾股定理在数学和许多其他领域中都有广泛的应用，勾股定理是一个非常重要的数学定理，它在几何学、三角学、物理学、工程学等多个领域都有重要的应用．关于勾股定理的证明方法到现在为止有500多种，勾股定理常见的一些证明方法是：几何证明、代数证明、向量证明、复数证明、面积证明等．当两个全等的直角三角形按图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，以下是利用图1证明勾股定理的完整过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中，求证：    证明：连接，过点D作交延长线于点F，则 又∵ ∴ 请参照上述证明方法，利用图2完成下面的证明． 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中，求证：． 23．（23-24八年级下·重庆铜梁·期中）小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为5米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为13米； ③牵线放风筝的小明的身高为米．    (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降7米，则他应该往回收线多少米？（精确到个位，） 24．（23-24八年级下·天津滨海新·期末）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境． 已知小旭家，图书馆，超市依次在同一条直线上，图书馆离小旭家，超市离小旭家．周末小旭先从家出发匀速骑行到超市，停留了购买文具；然后匀速骑行到图书馆；在图书馆借书停留了后，匀速骑行了返回家中．下面图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中小旭离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)填表： 小旭离开家的时间/ 5 10 15 22 53 小旭离家的距离/ 2.9 0 (2)填空： ①超市到图书馆的距离为______； ②当小旭离家的距离为1km时，他离开家的时间为______． (3)当时，请直接写出小旭离家的距离y关于时间x的函数解析式． 25．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)①勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）； ②如图1，大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，如果将如图1中的四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，求图2中最大的正方形的面积． (2)如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个； (3)如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为、，直角三角形面积为，请判断、、的关系______． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假结业测试卷（提高卷） 考试范围：北师大版第 1-4 章 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了点到原点的距离求法，利用勾股定理结合坐标计算即可． 【详解】解：点到原点的距离是． 故选：B． 2．（23-24八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的加减乘除运算进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项正确，符合题意；     C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 3．（23-24七年级下·广西崇左·期中）有下列实数：3.14，，，0，，，，0.01001001（相邻两个1之间0的个数逐次增加1），其中无理数的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．无理数即无限不循环小数，据此即可求得答案． 【详解】解：，3.14，，0，都是有理数， ，，，0.01001001是无理数，共3个， 故选：A． 4．（2-23八年级上·吉林长春·期末）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形的面积依次为，则正方形的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．根据勾股定理的几何意义：，解得即可． 【详解】解：由题意：，， ∴ ∵正方形的面积依次为， ∴， ∴． 故选：C． 5．（23-24七年级下·北京·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为．线段以每秒旋转的速度，绕点O沿顺时针方向连续旋转，同时，点P从点O出发，以每秒移动1个单位长度的速度，在线段上，按照的路线循环运动，则第1314秒时点P的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查点的坐标规律探究，解题的关键是学会探究规律的方法．探究规律，利用规律解决问题即可． 【详解】解：第1秒时，，此时在轴的负半轴上，， 第2秒时，，此时在轴的负半轴上，， 第3秒时，，此时在轴的正半轴上，， 第4秒时，，此时在轴的正半轴上，， 第5秒时，，此时在轴的负半轴上，， 第6秒时，，此时在轴的负半轴上，， 第7秒时，，此时在轴的正半轴上，， 第8秒时，，此时在轴的正半轴上，， 即点的坐标每8秒一个循环， ∴第1314秒时； 故选：D． 6．（2023·山西长治·模拟预测）数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系．我们把这种思想叫“算两次”．“算两次”也称作富比尼原理，是一种重要的数学思想．由它可以推导出很多重要的公式．如图，两个直角边分别为，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成一个梯形，用“算两次”的方法，探究，，之间的数量关系可以验证的是（    ）    A．勾股定理 B．平方差公式 C．完全平方公式 D．比例的性质 【答案】A 【分析】第一次利用梯形的面积公式计算，第二次利用图形的面积和计算，从而得到公式，进而选出答案． 【详解】解：第一次利用梯形的面积公式，图形面积为：， 第二次利用图形的面积和计算为：， ∴， 整理得：， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用及勾股定理，解题的关键是利用图形面积计算． 7．（23-24七年级下·江西新余·期末）如图，在平面直角坐标系中，一巡查机器人接到指令，从原点出发，沿着路线移动，每次移动个单位长度，依次得到根据这个规律，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标规律，找到规律是解题的关键． 先根据图中点的排列，找出规律，再计算求解． 【详解】解：根据图形发现，点的运动呈规律排列，个点为一个周期，一周期横坐标增加， ∴， ∴所以点的横坐标为， 则点的纵坐标与的纵坐标是相同的， 由图易知，点的纵坐标为，即点的纵坐标为， 点的坐标为， 故选：． 8．（23-24八年级下·广东广州·期末）已知A、B两地相距600米，甲、乙两人同时从A地出发前往B地，所走路程y(米)与行驶时间x(分)之间的函数关系如图所示，则下列说法中错误的是（   ） A．甲每分钟走100米 B．两分钟后乙每分钟走50米 C．当或6时，甲乙两人相距100米 D．甲比乙提前1.5分钟到达B地 【答案】D 【分析】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题的条件，利用数形结合的思想解答．根据函数图象中的数据，可知甲6分钟走了600米，从而可以计算出甲每分钟走的路程，从而可以判断A选项；根据图象中的数据可知，乙2分钟到6分钟走的路程是米，从而可以计算出两分钟后乙每分钟走的路程，从而可以判断B选项；根据图象，可以分别计算出和时，甲乙两人的距离，从而可以判断C选项．根据乙2分钟后的速度，可以计算出乙从A地到B地用的总的时间，然后与6作差，即可判断D选项； 【详解】解：由图象可得， 甲每分钟走：（米），故A选项正确，不符合题意； 两分钟后乙每分钟走：（米），故B选项正确，不符合题意； 当时，甲乙相距（米）， 当时，甲乙相距米，故C选项正确，不符合题意； 乙到达B地用的时间为：（分钟）， 则甲比乙提前分钟达到B地，故D选项错误，符合题意； 故选：D． 9．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，甲、乙两艘轮船同时从港口 出发，甲轮船以20海里/时的速度向南偏东 方向航行，乙轮船向南偏西 方向航行． 已知它们离开港口 2时后，两艘轮船相距60海里，则乙轮船的平均速度为 （    ） A．海里/时 B．20海里/时 C．海里/时 D．海里/时 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的应用，设它们离开港口2时后，甲轮船行驶到点B，乙轮船行驶到点A，由题意可得，的长，再利用勾股定理求出的长，根据速度路程时间可得答案．熟练掌握方向角的定义、勾股定理是解答本题的关键． 【详解】解：设它们离开港口2时后，甲轮船行驶到点B，乙轮船行驶到点A， 由题意得，，(海里)，(海里)， 由勾股定理得，OA(海里)， ∴乙轮船的平均速度为2(海里/时)． 故选：D． 10．（23-24八年级下·河南新乡·期末）下面的三个问题中都有两个变量： ①一个正方形的边长为，周长为； ②某蓄水池蓄水，用速度为的水泵向外抽水，设蓄水池的剩余水量为，抽水时间为； ③某电信公司手机的类收费标准为：每部手机每月必须缴月租费元，另外通话费按元计费．若一个月的通话时间为，应缴费用为元． 其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（    ） A．① B．② C．③ D．②③ 【答案】C 【分析】本题考查利用函数的图像解决实际问题，函数图像的识别． ①根据正方形的周长公式判断即可； ②根据“蓄水池中的剩余水量蓄水池蓄水的水量”判断即可； ③根据应缴费用等于月租费加上通话费判断即可； 解题的关键是正确理解函数图像表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决． 【详解】解：①由题意得：， ∴变量与变量之间的函数关系不可以用如图所示的图像表示，故①不符合题意； ②由题意得：， ∴变量与变量之间的函数关系不可以用如图所示的图像表示，故②不符合题意； ③由题意得：， ∴变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图像表示，故③符合题意； ∴变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图像表示的是③． 故选：C． 二、填空题（6小题，每小题2分，共12分） 11．（2-23八年级下·广东东莞·期中）在平面直角坐标系中，点（1，2）到原点的距离是 ． 【答案】 【分析】根据点的坐标，直接利用勾股定理可求解点到原点的距离． 【详解】解：∵点的坐标是（1，2）， ∴点到原点的距离是：=． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了勾股定理，点的坐标，正确理解点的坐标性质是解题关键． 12．（2024·陕西西安·模拟预测）比较大小： （“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是分别判断出、与3的关系，推得、的大小关系即可． 【详解】解：，， ． 故答案为：． 13．（23-24七年级下·山东德州·期中）如图，一艘船在处遇险后向相距80海里位于处的救生船报警．用方向和距离描述救生船相对于遇险船的位置 ． 【答案】北偏东，海里处 【分析】本题考查方位的描述，注意，描述方位需要描述方向和距离两个部分．根据图形，读出线段与正北方向的夹角，再加上距离为80海里即可进行描述 【详解】解：由题意得，救生船相对于遇险船的位置为北偏东方向上且两船相距80海里， 故答案为：北偏东，海里处． 14．（2-23八年级上·四川成都·期末）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是 寸．    【答案】101 【分析】取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理解答即可得到结论． 【详解】解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示： 由题意得：OA＝OB＝AD＝BC， 设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸， 则AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝CD＝1寸， ∴AE＝（r﹣1）寸， 在Rt△ADE中， AE2＋DE2＝AD2，即（r﹣1）2＋102＝r2， 解得：r＝50.5， ∴2r＝101（寸）， ∴AB＝101寸， 故答案为：101    【点睛】本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键． 15．（23-24八年级下·北京·期末）“漏壶”是一种古代计时器．在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出． 壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度．下面图象中适合表示y与x的对应关系 (不考虑水量变化对压力的影响)的是 (填序号即可)． 【答案】② 【分析】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据题意，可知y随x的增大而减小，符合一次函数图象，从而可以解答本题． 【详解】解：∵不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度， ∴y随x的增大而匀速的减小，符合一次函数图象， ∴图象②适合表示y与x的对应关系． 故答案为：②． 16．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，长方形的边在轴的正半轴上，点和点的坐标分别为、，过点的正比例函数图象上有一点，使得点为的中点，将的图象沿轴向下平移得到的图象，若点落在长方形的内部，则的取值范围是 ．    【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，平移中在线段上是解答本题的关键．根据点坐标得到直线解析式，过点作轴，交于点，则，，将点坐标代入可得的取值范围． 【详解】解：点在直线上， ， 直线的解析式为， 是的中点，且， ， 过点作轴，交于点，     ，， 设直线平移后的解析式为， 将点坐标代入得，， 解得， 将点坐标代入得，， 解得， ， 故答案为：． 三、解答题（9小题，共68分） 17．（2023八年级上·全国·专题练习）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）系数化为1，根据平方根的定义即可求解； （2）将看作整体，根据平方根的定义即可求解. 【详解】（1）， ， 解得：； （2）， ， ， 解得：或. 【点睛】本题考查了利用平方根的概念解方程，需注意一个正数的平方根有两个. 18．（23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数计算，完全平方公式，平方差公式． （1）根据题意先将二次根数整理，再从左到右依次计算即可； （2）先利用完全平方公式及平方差公式将式子展开，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 19．（22-23七年级下·福建莆田·期中）阅读下列解题过程： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… (1)按照你所发现的规律，请你写出第4个等式：__________________． (2)利用这一规律计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照已知等式确定出所求即可； （2）原式变形后，仿照上式得出结果即可． 【详解】（1）解：根据题意得： ∴第4个等式为：； 故答案为：； （2） ． 【点睛】本题考查了实数的运算，规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键． 20．（23-24七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，已知三点A，B，C． (1)请写出三点坐标A______，B______，C______； (2)请作关于x轴对称的； (3)已知点P为y轴上一点，若时，求点P的坐标． 【答案】(1)，，； (2)见解析 (3)或 【分析】此题考查了平面直角坐标系和利用轴对称变换作图，解题的关键是熟练掌握作图的方法及正确理解平面直角坐标系． （）根据点的特点，直接求出其坐标即可； （）先找出点关于轴对称的点，，连接，，即可； （）设，则，依据，即可得到点坐标； 【详解】（1）根据平面直角坐标系可知：点，， 故答案为：，，； （2）如图，先找出点关于轴对称的点，， 连接，，即可，    ∴即为所求； （3）设， ∴， ∴，即， 解得：或， ∴点或， 故答案为：或． 21．（23-24八年级下·广西南宁·期中）为探究函数的图象和性质，下面是小明同学的探究过程，请补充完整． (1)下表为与的几组对应值. … 0 1 2 3 4 … … 3 2 1 0 2 3 … 求m的值； (2)如图，在平面直角坐标系中，先描出上表中所有对应值的点，然后画出该函数的图象． (3)观察图象，写出函数的一条性质． 【答案】(1)1 (2)见解析 (3)根据函数图象可知：函数关于直线对称 【分析】本题考查了一次函数图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解此题的关键． （1）将代入解析式即可得出的值； （2）画出函数图象即可； （3）根据函数图象写出一条性质即可． 【详解】（1）解：当时，； （2）解：如图，该函数图象即为所求： ； （3）解：根据函数图象可知：函数关于直线对称． 22．（23-24八年级下·广西玉林·期中）勾股定理在数学和许多其他领域中都有广泛的应用，勾股定理是一个非常重要的数学定理，它在几何学、三角学、物理学、工程学等多个领域都有重要的应用．关于勾股定理的证明方法到现在为止有500多种，勾股定理常见的一些证明方法是：几何证明、代数证明、向量证明、复数证明、面积证明等．当两个全等的直角三角形按图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，以下是利用图1证明勾股定理的完整过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中，求证：    证明：连接，过点D作交延长线于点F，则 又∵ ∴ 请参照上述证明方法，利用图2完成下面的证明． 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明． 连接，过点B作边上的高，则，仿照已知材料中的方法，利用五边形面积的不同表示方法解答即可． 【详解】证明：连接，过点B作边上的高，则．    ∵ 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．（23-24八年级下·重庆铜梁·期中）小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为5米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为13米； ③牵线放风筝的小明的身高为米．    (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降7米，则他应该往回收线多少米？（精确到个位，） 【答案】(1)米 (2)他应该往回收线6米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意可知：米，米， 在中，由勾股定理得，， ∴（负值已舍去)， 米， 答：风筝的垂直高度为米； （2）∵风筝沿方向下降7米，保持不变，如图，    ∴此时的(米)， 即此时在中，米，有(米)， 相比下降之前，缩短长度为(米)， ∴他应该往回收线6米． 24．（23-24八年级下·天津滨海新·期末）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境． 已知小旭家，图书馆，超市依次在同一条直线上，图书馆离小旭家，超市离小旭家．周末小旭先从家出发匀速骑行到超市，停留了购买文具；然后匀速骑行到图书馆；在图书馆借书停留了后，匀速骑行了返回家中．下面图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中小旭离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)填表： 小旭离开家的时间/ 5 10 15 22 53 小旭离家的距离/ 2.9 0 (2)填空： ①超市到图书馆的距离为______； ②当小旭离家的距离为1km时，他离开家的时间为______． (3)当时，请直接写出小旭离家的距离y关于时间x的函数解析式． 【答案】(1)1.45；2.9；1.5 (2)①1.4；②或 (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题关键是读懂题意，掌握从函数图象中获取信息的能力． （1）先算出小旭匀速骑行的速度，再根据“路程速度时间”即可求得离开家的时间为时离家的距离，根据图象即可得到离开家的时间为时离家的距离； （2）①根据图象即可得到答案；②分两种情况：从家出发离家的距离为和返回时离家的距离为，分别列式计算即可； （3）根据路程速度时间，分段列出函数关系式即可． 【详解】（1）根据图象可得，小旭匀速骑行的速度为， 则离开家的时间为时，离家的距离为， 到离开家的时间为时，离家的距离为， 到离开家的时间为时，离家的距离为； 故答案为：1.45；2.9；1.5； （2）①书店到超市的距离为； 故答案为：1.4； ②当小旭从家出发离家的距离为时，他离开家的时间为， 当小旭从家返回离家的距离为时， 小明从书店返回家的速度为 ∴他离开家的时间为； 故答案为：或； （3）当时，， 当时，， 当，， 综上，． 25．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)①勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）； ②如图1，大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，如果将如图1中的四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，求图2中最大的正方形的面积． (2)如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个； (3)如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为、，直角三角形面积为，请判断、、的关系______． 【答案】(1)①见解析；② (2) (3) 【分析】（1）①将图中各个几何图形的面积用两种方法表示出来，再利用面积相等列等式证明即可；②图1中：，，即可得，图2中大正方形的面积为：，据此即可作答； （2）根据题意得：，再分别计算正方形、半圆形和等边三角形的面积，即可完成求解； （3）结合题意，首先分别以a为直径的半圆面积、以b为直径的半圆面积、以c为直径的半圆面积、三角形的面积，根据图形特点表示出（+），结合勾股定理，即可得到答案． 【详解】（1）①证明： 在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即，化简得． 在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即，化简得． 在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和． 即，化简得． ②在图1中：，， 图2中大正方形的面积为：， ∵，， ∴，， ∴， ∴图2中大正方形的面积为29． （2）根据题意得：， 如图4： 即有：，，， ∴； 如图5： ，，， ∵， ∴； 如图6： 下面推导正三角形的面积公式： 正的边长为u，过顶点x作，V为垂足，如图， 在正中，有，， ∵， ∴，， ∴在中，有， ∴正的面积为：， ∴，， ∵ ∴； ∴三个图形中面积关系满足的有3个 故答案为：3； （3）关系：，理由如下： 以a为直径的半圆面积为：， 以b为直径的半圆面积为：， 以c为直径的半圆面积为：， 三角形的面积为：， ∴， 即：， 结合（1）的结论： ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理、正方形、等边三角形、圆面积计算的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理的性质，从而完成求解． 学科网（北京）股份有限公司 $$