暑假结业测试卷 (考试范围：第1-4章)（基础卷)-（暑期衔接课堂）2024年暑假七升八数学衔接讲义（北师大版）

暑假结业测试卷（基础卷） 考试范围：北师大版第 1-4 章 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．1，2， B．0.6，0.8，1 C．，， D．9，40，41 2．（22-23七年级下·广西河池·期末）若，则等于（    ） A．1.01 B．10.1 C．101 D．10.201 3．（23-24九年级上·广东茂名·阶段练习）关于x的方程，则 (  ) A． B． C．6 D．12 4．（23-24八年级下·湖北宜昌·期中）如图，网格中每个小正方形的面积为单位1，则图形C的面积是（    ） A．6 B． C． D．13 5．（2023·江苏镇江·二模）已知点在经过原点的一条直线l上，且，则的值为（    ） A． B． C．0 D． 6．（23-24七年级下·安徽芜湖·期末）在平面直角坐标系中，一只电子狗从原点出发，按向上→向右→向下→向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其行走路线如图所示，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24七年级下·广东云浮·期中）如图，用方向和距离描述少年宫相对于小明家的位置，正确的是(　　) A．北偏东，处 B．东北方向，处 C．北偏西，处 D．北偏东，处 8．（23-24八年级下·河南南阳·期中）如图，一次函数与的图象交于点P．下列结论中，正确的有（   ） ①； ② ； ③； ④当时， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（22-23九年级下·浙江温州·开学考试）图1是我国著名的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形所围成．将四个直角三角形的较短边(如)向外延长1倍得到点，，，，并连结得到图2.已知正方形与正方形的面积分别为和，则图2中阴影部分的面积是(　　) A． B． C． D． 10．（23-24八年级下·重庆·期中）在一条笔直的公路上有A，B，C三地，C地位于A，B两地之间，甲车先从A地沿这条公路匀速驶向C地，1小时后乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地，在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车与C地的距离（单位：），（单位：）与甲车行驶时间t（单位：h）之间的函数关系如图．其中正确的选项是（    ） ①甲车的行驶速度为； ②乙车的行驶速度为； ③求乙车出发小时，两车相遇； ④两车相遇时，甲车距离C地．    A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④ 二、填空题（6小题，每小题2分，共12分） 11．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）计算： ． 12．（23-24八年级上·江苏淮安·期中）如图，中，，分别以、为边向外作正方形，面积分别为，．若，，则 ． 13．（22-23八年级上·四川成都·期末）河滨公园有一块长方形的草坪如图所示，有少数的人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了 米，却踩伤了花草！青青绿草地，悠悠关我心，请大家文明出行，足下留“青”！ 14．（2024·山西太原·模拟预测）为适应电商行业的快速发展，快递行业的自动分拣系统在飞速进步．如图是某快递公司太原转运中心快递分拣机器人的工作区域，机器人将快递根据地址分拣至不同站点的指定位置，再由快递车统一发往相应站点．若记杏花岭区富力城站点的位置为，迎泽区铜锣湾站点的位置为，则娄烦县站点的位置可记作 ． 15．（2024八年级下·湖南·专题练习）若直线与x轴、y轴分别交于点B和点A，直线与x轴、y轴分别交于点和点，线段与的中点分别是M，N，点P为x轴上一动点． （1）点M的坐标为 ； （2）当的值最小时，点P的坐标为 ． 16．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）已知动点P从点A出发沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按的路径移动，相应的的面积关于移动路程的关系图象如图2，若，根据图象信息回答，下列说法正确的有： （填写正确的序号）    ①图1中长为； ②图2中m的值为9，n的值为25； ③当P点运动到F点时，y对应的值为4； ④当的面积为2时，对应的x的值是2或24． 三、解答题（9小题，共68分） 17．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）计算 (1)； (2)． 18．（22-23七年级下·新疆阿勒泰·期中）求下列各式中的的值： (1) (2) 19．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点． (1)若点M在x轴上，求m的值； (2)若轴，且，求n的值． 20．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）（1）如图，在中，，求证：； （）在中，，，边上的高，求边的值． 21．（23-24七年级下·山西忻州·期中）中国象棋棋盘在方形的平面上，由九条平行的竖线和十条平行的横线相交组成，共有九十个交叉点，棋子就摆在交叉点上．如图是中国象棋棋盘的一半，棋子“马”走的规则是沿“日”形的对角线走．例如：图中“马”所在的位置可以直接走到点A，B处．图中蕴含着平面直角坐标系． (1)如果“帅”位于点，“车”位于点，则“马”所在的点的坐标为______，点C的坐标为______，点D的坐标为______． (2)若“马”的位置在C点，为了到达D点，请按“马”走的规则，写出一种你认为合理的行走路线，并用坐标表示． 22．（23-24七年级下·重庆大渡口·期末）已知、两地在一条笔直的公路上，甲开小轿车从地到地，乙骑摩托车从地到地，两人同时出发，匀速行驶，甲先到达目的地，两人之间的距离与行驶时间的关系大致如图所示，请根据图象解答下列问题： (1)、两地的距离是________，甲的行驶速度是________，乙的行驶速度是________； (2)甲到达目的地时，乙离地还有多远？ (3)甲、乙相距时，行驶时间是多少？ 23．（22-23八年级上·贵州六盘水·期末）利用几何图形研究代数问题是建立几何直观的有效途径． （1）如图①，点A的坐标为（4，6），点B为直线y＝x在第一象限的图象上一点，坐标为（b，b）． ①AB2可表示为 　 　；（用含b的代数式表示） ②当AB长度最小时，求点B的坐标． （2）借助图形，解决问题：对于给定的两个数x，y，求使（x﹣b）2＋（y﹣b）2达到最小的b． 24．（22-23八年级下·湖南长沙·期中）某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补全完整． (1)自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 4 m 2 1 0 1 2 3 4 … 其中，________； (2)根据上表的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． (3)进一步探究函数图象发现： ①方程的解是________； ②方程的解是________； ③关于x的方程有两个实数根，则的取值范围是________． 25．（22-23九年级下·河南洛阳·阶段练习）[提出问题] 如图1，A，B是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点C，使得这个点到点A，B的距离的和最短？ [分析问题] 如图2，若A，D两点在直线l的异侧，则连接AD，与直线l交于一点，根据“两点之间线段最短”，可知该点即为点C，因此，要解决上面提出的问题，只需要将点B（或点A）移到直线l的另一侧的点D处，且保证（或）即可． [解决问题]： (1)在图1中确定点C的位置（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)如图3，在菱形中，，E是BC边的中点，P是对角线AC上的一个动点，则的最小值为_____． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假结业测试卷（基础卷） 考试范围：北师大版第 1-4 章 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．1，2， B．0.6，0.8，1 C．，， D．9，40，41 【答案】D 【分析】本题考查勾股数定义，能构成直角三角形三条边（最大的数的平方等于较小的两个数的平方和）的三个正整数叫勾股数，由勾股数定义逐项验证即可得到答案，熟记勾股数定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、三个数不都是整数，不是勾股数，不符合题意； B、三个数不都是整数，不是勾股数，不符合题意； C、三个数都不是整数，不是勾股数，不符合题意； D、，是勾股数，符合题意； 故选：D． 2．（22-23七年级下·广西河池·期末）若，则等于（    ） A．1.01 B．10.1 C．101 D．10.201 【答案】B 【分析】根据被开方数向左或向右移动2n位，则对应的算术平方根向左或向右移动n位解答即可． 【详解】解：∵ ∴＝10.1． 故选B． 【点睛】本题主要考查了算术平方根的规律探索，掌握“被开方数向左或向右移动2n位，则对应的算术平方根向左或向右移动n位”是解答本题的关键． 3．（23-24九年级上·广东茂名·阶段练习）关于x的方程，则 (  ) A． B． C．6 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了平方根的应用，解题的关键是掌握平方根的求法，注意一个正数的平方根有两个． 【详解】解：∵， ∴， 故选B． 4．（23-24八年级下·湖北宜昌·期中）如图，网格中每个小正方形的面积为单位1，则图形C的面积是（    ） A．6 B． C． D．13 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理，以及正方形的面积公式．勾股定理最大的贡献就是沟通“数”与“形”的关系，它的验证和利用都体现了数形结合的思想，即把图形的性质问题转化为数量关系的问题来解决．能否由实际的问题，联想到用勾股定理的知识来求解是本题的关键． 【详解】解：根据勾股定理以及正方形的面积公式知： 以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积， 所以图形C的面积． 故选：D． 5．（2023·江苏镇江·二模）已知点在经过原点的一条直线l上，且，则的值为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】将原方程组进行因式分解得到，再根据在经过原点的一条直线l上得到，代入即可． 【详解】解：对方程组通分化简得到 ①-②得，    ③ 对③式进行移项，因式分解得， ∴或 又∵在经过原点的一条直线l ∴与是正比例函数关系，即 ∴，即 代入得 故答案为A． 【点睛】此题考查了因式分解和正比例函数的有关知识，解题的关键是对方程组进行化简然后再因式分解，求得与的关系． 6．（23-24七年级下·安徽芜湖·期末）在平面直角坐标系中，一只电子狗从原点出发，按向上→向右→向下→向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其行走路线如图所示，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点坐标的规律，理解题目中格点坐标之间横，纵坐标之间的数量关系，找出各自的规律即可求解，掌握点坐标的规律是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，，，，，，，，，， ∴横坐标每两次增加1，纵坐标每4次一轮，即1，1，0，0， ∴，即横坐标为， ，即纵坐标循环了次后的第4个数，即0， ∴， 故选：A ． 7．（23-24七年级下·广东云浮·期中）如图，用方向和距离描述少年宫相对于小明家的位置，正确的是(　　) A．北偏东，处 B．东北方向，处 C．北偏西，处 D．北偏东，处 【答案】D 【分析】本题主要考查根据方向和距离描述位置，根据图中信息即可求解． 【详解】解：由题意可知少年宫相对于小明家的位置为北偏东，离小明家； 故选D． 8．（23-24八年级下·河南南阳·期中）如图，一次函数与的图象交于点P．下列结论中，正确的有（   ） ①； ② ； ③； ④当时， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数图象与系数的关系是解题的关键． 根据一次函数的图象和性质进行判断即可． 【详解】解：由图象可知一次函数的图象经过一、二、四象限， ∴，故①选项不符合题意； 由图象可知一次函数的图象经过一、二、三象限， ∴， ∴，故②选项不符合题意； ∵一次函数与的图象交于点P，且P的横坐标为1， ∴，故③选项符合题意； 由图象可知，当时，，故④选项不符合题意； 综上，正确的选项只有③， 故选：A． 9．（22-23九年级下·浙江温州·开学考试）图1是我国著名的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形所围成．将四个直角三角形的较短边(如)向外延长1倍得到点，，，，并连结得到图2.已知正方形与正方形的面积分别为和，则图2中阴影部分的面积是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正方形与正方形的面积分别为和,可得大小正方形的边长，设四个直角三角形的较短边为，则在中，由勾股定理可求出，从而可求出相关三角形的边长，即可求出阴影部分的面积． 【详解】∵正方形与正方形的面积分别为和， ∴，， 设四个直角三角形的较短边为， 则在中，，， 由题意根据勾股定理得，，即， ∴，（舍去），即， ∴， ， ， ∴图2中阴影部分的面积是： ， 故选：． 【点睛】本题考查有关勾股定理的应用．解决此题的关键是根据勾股定理求出四个直角三角形的较短边． 10．（23-24八年级下·重庆·期中）在一条笔直的公路上有A，B，C三地，C地位于A，B两地之间，甲车先从A地沿这条公路匀速驶向C地，1小时后乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地，在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车与C地的距离（单位：），（单位：）与甲车行驶时间t（单位：h）之间的函数关系如图．其中正确的选项是（    ） ①甲车的行驶速度为； ②乙车的行驶速度为； ③求乙车出发小时，两车相遇； ④两车相遇时，甲车距离C地．    A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程及一次函数的应用，能从图像中获取有效信息是解题的关键． 根据“速度=路程÷时间”并结合图像分别求出甲、乙两车的速度即可判定①②；先根据行程问题中的相遇问题列出方程求得相遇时间，进而确定甲车与C地的距离，即可判定③④． 【详解】解：甲车行驶速度是，乙车行驶速度是，即①②正确； 设乙车出发m小时，两车相遇，由题意得： ，解得：． ∴乙车出发小时，两车相遇．故③错误； ∴此时甲车行驶时间为小时， ∴甲车距离C地的距离为：，即④正确； 综上，正确的有①②④． 故选：D． 二、填空题（6小题，每小题2分，共12分） 11．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先运算乘法，再运算减法，即可作答． 【详解】解： 故答案为： 12．（23-24八年级上·江苏淮安·期中）如图，中，，分别以、为边向外作正方形，面积分别为，．若，，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是勾股定理，熟练掌握“如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么”是解题的关键． 【详解】解：以、为边向外作正方形，，， ，， 在中，． ． 故答案为：． 13．（22-23八年级上·四川成都·期末）河滨公园有一块长方形的草坪如图所示，有少数的人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了 米，却踩伤了花草！青青绿草地，悠悠关我心，请大家文明出行，足下留“青”！ 【答案】6 【分析】利用勾股定理求得即可求解． 【详解】解：由题意，， 则（米）， ∴（米）， 故答案为：6． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，理解题意，掌握勾股定理是解答的关键． 14．（2024·山西太原·模拟预测）为适应电商行业的快速发展，快递行业的自动分拣系统在飞速进步．如图是某快递公司太原转运中心快递分拣机器人的工作区域，机器人将快递根据地址分拣至不同站点的指定位置，再由快递车统一发往相应站点．若记杏花岭区富力城站点的位置为，迎泽区铜锣湾站点的位置为，则娄烦县站点的位置可记作 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标的应用，根据题意正确建立直角坐标系成为解题的关键． 先根据记杏花岭区富力城站点的位置为，迎泽区铜锣湾站点的位置为的位置建立直角坐标系，然后确定则娄烦县站点的位置即可． 【详解】解：根据迎泽区铜锣湾站点和杏花岭区富力城站点的位置建立如图直角坐标系： 所以娄烦县站点的位置可记作． 故答案为：． 15．（2024八年级下·湖南·专题练习）若直线与x轴、y轴分别交于点B和点A，直线与x轴、y轴分别交于点和点，线段与的中点分别是M，N，点P为x轴上一动点． （1）点M的坐标为 ； （2）当的值最小时，点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数、中点公式、利用轴对称求线段的最值问题： （1）根据直线的解析式先求出点B和点A的坐标，再利用中点公式求点M的坐标； （2）作M关于轴对称点，连接与轴交于点，此时有最小值． 【详解】解：（1）在直线中，当时，，当时，， ， ， ， 故答案为：； （2）在直线中，当时，，当时，， ， ， ， 如图，作M关于轴对称点，它的坐标，连接与轴交于点，此时有最小值， 设直线的解析式为， 将和N的坐标分别代入得， 解得， ， 当时，， ， ． 故答案为：． 16．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）已知动点P从点A出发沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按的路径移动，相应的的面积关于移动路程的关系图象如图2，若，根据图象信息回答，下列说法正确的有： （填写正确的序号）    ①图1中长为； ②图2中m的值为9，n的值为25； ③当P点运动到F点时，y对应的值为4； ④当的面积为2时，对应的x的值是2或24． 【答案】①③ 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，根据函数图象可知当时，点P在上运动，当，点P在上运动，据此可判断①；则，，根据当点P运动到直线与交点处时，y的值为0，得到，据此可判断②；则当P点运动到F点时，y对应的值为，据此可判断③；分当时，当时， 当时，三种情况求出x的值即可判断④． 【详解】解：由函数图象可知，当时，y随x增大而增大，当时，y保持不变， ∴当时，点P在上运动，当，点P在上运动， ∴，故①正确； 同理可得上，点P在上运动，则， ∴； 当点P运动到直线与交点处时，y的值为0， ∴，故②错误； ∴当P点运动到F点时，y对应的值为，故③正确； 当时，，解得， 当时，，解得； 当时，，解得， ∴当的面积为2时，对应的x的值是2或24或28，故④错误； 故答案为：①③． 三、解答题（9小题，共68分） 17．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简，二次根式的乘法等，解题的关键是掌握相应的运算法则． （1）利用二次根式的性质化简后，再相加； （2）利用平方差公式进行分母有理化即可． 【详解】（1）解： （2） ． 18．（22-23七年级下·新疆阿勒泰·期中）求下列各式中的的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用平方根和立方根的定义解方程， （1）整理后利用平方根的定义解方程即可； （2）移项后利用立方根的定义解方程即可. 【详解】（1）解： ， 所以 （2）解： ， 所以， 所以. 19．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点． (1)若点M在x轴上，求m的值； (2)若轴，且，求n的值． 【答案】(1)； (2)n的值为4或0． 【分析】本题考查的是坐标与图形性质、绝对值方程等知识点，掌握平面直角坐标系内点的坐标特点是解题的关键． （1）根据轴上点的纵坐标等于即可解答； （2）根据轴可知可知，然后解绝对值方程求得n的值． 【详解】（1）解：∵点在x轴上， ∴， 解得：； 故答案为：； （2）解：∵轴，， ∴， 解得：或， ∴n的值4或0． 20．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）（1）如图，在中，，求证：； （）在中，，，边上的高，求边的值． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理证明即可； （2）利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（）在，中，根据勾股定理得： ，， ∴， ∴； （）在，中，根据勾股定理得： ， ， ∴． 21．（23-24七年级下·山西忻州·期中）中国象棋棋盘在方形的平面上，由九条平行的竖线和十条平行的横线相交组成，共有九十个交叉点，棋子就摆在交叉点上．如图是中国象棋棋盘的一半，棋子“马”走的规则是沿“日”形的对角线走．例如：图中“马”所在的位置可以直接走到点A，B处．图中蕴含着平面直角坐标系． (1)如果“帅”位于点，“车”位于点，则“马”所在的点的坐标为______，点C的坐标为______，点D的坐标为______． (2)若“马”的位置在C点，为了到达D点，请按“马”走的规则，写出一种你认为合理的行走路线，并用坐标表示． 【答案】(1)，， (2)路线见解析，走路线为 【分析】本题考查了用有序数对解决实际问题的能力和阅读理解能力．解决此类问题需要先确定原点的位置，再求未知点的位置． （1）结合图示，确定原点，再根据题意求出点的位置； （2）结合图示，确定原点，再根据题意求出马走的路线． 【详解】（1）解：∵“帅”位于点，“相”位于点， ∴“马”所在的点的坐标为， 点C的坐标为， 点D的坐标为． 故答案为，，． （2）解：以 “帅”为， 则“马”走的路线为， 如图： 22．（23-24七年级下·重庆大渡口·期末）已知、两地在一条笔直的公路上，甲开小轿车从地到地，乙骑摩托车从地到地，两人同时出发，匀速行驶，甲先到达目的地，两人之间的距离与行驶时间的关系大致如图所示，请根据图象解答下列问题： (1)、两地的距离是________，甲的行驶速度是________，乙的行驶速度是________； (2)甲到达目的地时，乙离地还有多远？ (3)甲、乙相距时，行驶时间是多少？ 【答案】(1)300，100，50； (2)千米 (3)或小时 【分析】此题主要考查了一次函数的应用，根据函数的图象得到正确的信息是解题的关键． （1）根据图象知A、B两地的距离；乙行驶全程300千米时间为6小时可得乙的速度，根据时甲、乙相遇可得甲、乙的合速度，从而得出甲行驶的速度； （2）根据甲的速度可得走完全程的时间，再根据乙的速度可得乙3小时所走的路程； （3）根据题意分相遇前两人相距和相遇后两人相距两种情况求解即可． 【详解】（1）由图象可得：A、B两地的距离是， 乙的行驶速度是（千米/小时）， 甲的行驶速度为（千米/小时） 故答案为：300，100，50； （2）由题意知，甲到达B地所用时间为（小时）， ∴乙离A地距离为：（千米）； （3）设行驶t小时时，甲、乙相距， 根据题意得：或， 解得：或 ∴甲、乙相距90km时，行驶时间是或小时． 23．（22-23八年级上·贵州六盘水·期末）利用几何图形研究代数问题是建立几何直观的有效途径． （1）如图①，点A的坐标为（4，6），点B为直线y＝x在第一象限的图象上一点，坐标为（b，b）． ①AB2可表示为 　 　；（用含b的代数式表示） ②当AB长度最小时，求点B的坐标． （2）借助图形，解决问题：对于给定的两个数x，y，求使（x﹣b）2＋（y﹣b）2达到最小的b． 【答案】（1）①2b2﹣20b+52；②B（5，5）；（2）（x+y） 【分析】（1）①由平面直角坐标系中两点间距离公式可直接得到； ②利用配方法及平方的非负性可求得最小值； （2）由“垂线段最短”可求得最小值． 【详解】解：（1）①∵点A的坐标为（4，6），点B坐标为（b，b）， ∴AB2＝（4﹣b）2+（6﹣b）2＝2b2﹣20b+52； 故答案为：2b2﹣20b+52． ②AB2＝2b2﹣20b+52＝2（b﹣5）2+2， ∵（b﹣5）2≥0， ∴当（b﹣5）2＝0时，即b＝5时，AB最小， 此时B（5，5）； （2）如图，设A（x，y），B（b，b），则点B在直线y＝x上，欲求（x﹣b）2+（y﹣b）2的最小值，只要在直线y＝x上找到一点B′（b0，b0），使得AB的值最小即可． 根据垂线段最短可知，当AB′⊥直线y＝x时，（x﹣b）2+（y﹣b）2的有最小值． ∵（x﹣b）2+（y﹣b）2 ＝（x﹣b0+b0﹣b）2+（y﹣b0+b0﹣b）2 ＝[（x﹣b0）2+（y﹣b0）2]+2[（x﹣b0）+（y﹣b0）]（b0﹣b）+2（b0﹣b）2， 由图，我们可以把（x﹣b）2+（y﹣b）2看作AB2，（x﹣b0）2+（y﹣b0）2看作AB′2，2（b0﹣b）2可以看作BB′2， 由勾股定理可知：2[（x﹣b0）+（y﹣b0）]（b0﹣b）＝0， ∴x﹣b0+y﹣b0＝0， ∴b0＝（x+y）． 即使（x﹣b）2+（y﹣b）2达到最小的b为（x+y）． 【点睛】本题考查勾股定理，规律型问题，两点之间距离公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 24．（22-23八年级下·湖南长沙·期中）某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补全完整． (1)自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 4 m 2 1 0 1 2 3 4 … 其中，________； (2)根据上表的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． (3)进一步探究函数图象发现： ①方程的解是________； ②方程的解是________； ③关于x的方程有两个实数根，则的取值范围是________． 【答案】(1)3 (2)见解析 (3)①；②或；③ 【分析】（1）求出x＝﹣2时的函数值即可； （2）利用描点法画出函数图象即可； （3）分别求出方程的解即可解决问题． 【详解】（1）解： x＝﹣2时，y＝|x﹣1|＝3，故m＝3， 故答案为：3； （2）解：函数图象如图所示： （3）解：①方程|x﹣1|＝0， ∴x﹣1＝0， 解得：x＝1． 故答案为：x＝1； ②方程|x﹣1|＝1.5， 此时x﹣1＝1.5或x﹣1＝﹣1.5， 解得：x＝2.5或﹣0.5． 故答案为：x＝2.5或﹣0.5； ③设函数y＝k， 由|x﹣1|＝k有两个实数根得，直线y＝k与函数y＝|x﹣1|的图象有两个交点， 由图象可知，k＞0， 故答案为：k＞0． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质、一次函数与一元一次方程的关系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 25．（22-23九年级下·河南洛阳·阶段练习）[提出问题] 如图1，A，B是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点C，使得这个点到点A，B的距离的和最短？ [分析问题] 如图2，若A，D两点在直线l的异侧，则连接AD，与直线l交于一点，根据“两点之间线段最短”，可知该点即为点C，因此，要解决上面提出的问题，只需要将点B（或点A）移到直线l的另一侧的点D处，且保证（或）即可． [解决问题]： (1)在图1中确定点C的位置（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)如图3，在菱形中，，E是BC边的中点，P是对角线AC上的一个动点，则的最小值为_____． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）根据最短路径直接画图即可； （2）同（1）一样，对称后连线，求出最短途径，作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求出最短路径的值． 【详解】（1）如图，点C即为所求； （2）连接DE，作，交BC延长线于H， ∵四边形是菱形， ∴点B、D关于AC对称， ∴的最小值即为DE的长， ∵， ∴， ∵点E为BC的中点， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ， ∴的最小值为． 故答案为： 【点睛】此题考查最短路径以及勾股定理，解题关键是先对称然后连线，找出最短路径，然后通过直角三角形三边关系求出最短路径． 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