二元一次方程组的应用暑假复习题2023-2024学年人教版数学七年级下册 (湖南省 长沙市版)

二元一次方程组的应用 【题型1 行程问题】 【例1】（2022·黑龙江齐齐哈尔·七年级期末）甲乙二人分别从相距千米的A，两地出发，相向而行．如果甲比乙早出发半小时，那么在乙出发后小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么小时后两人还相距千米，求甲乙二人每小时各走多少千米？ 【变式1-2】（2022·安徽·肥西县严店初级中学七年级阶段练习）小北同学早晨骑车去上学，半小时可到达学校，妈妈发现他的数学书丢在家中，在小北出发小时后乘上出租车去学校送书，出租车每小时的速度比小北骑车的速度快20千米，由于市政建设，出租车到校行驶的路程比小北骑车行驶的路程多1千米，恰好与小北同时到达学校．求小北需要骑行多少千米到学校？ 【题型2 工程问题】 【例2】（2022·陕西·西安高新一中实验中学八年级期末）某厂的甲、乙两个小组共同生产某种产品，若甲组先生产1天，然后两组又各自生产7天，则两组产品一样多；若甲组先生产了300个产品，然后两组又各自生产了5天，则乙组比甲组多生产200个产品；求两组每天各生产多少个产品？ 【变式2-1】（2022·江苏淮安·七年级期中）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元． (1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元； (2)已知甲单独完成需12天，乙单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用少？ (3)若装修完后，商店每天可盈利200元，现有如下三种方式装修：①甲单独做；②乙单独做；③甲乙合做，你认为如何安排施工更有利于商店？（可用（1）、（2）问的条件及结论） 【题型3 销售、利润问题】 【例3】（2023春•望城区中考模拟卷T22·9分）某冬奥会纪念品专卖店计划同时购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具．据了解，8只“冰墩墩”和10只“雪容融”的进价共计2000元；10只“冰墩墩”和20只“雪容融”的进价共计3100元． （1）求“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只进价分别是多少元． （2）该专卖店计划恰好用4500元购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具（两种均购买），求专卖店共有几种采购方案． （3）若“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只的售价分别是200元，100元，则在（2）的条件下，请选出利润最大的采购方案，并求出最大利润． 【变式3-1】（（2022春•雅礼教育集团九下期中T23·8分）某药店出售、两种的口罩，已知该店进货4个种口罩和2个种口罩共需22元，进货8个种口罩所需费用比进货4个种口罩所需费用多4元． （1）请分别求出、两种口罩的进价是多少元？ （2）已知药店将种口罩每个提价1元出售，种口罩每个提价出售，小雅在该药店购买、两种口罩（两种口罩均要购买），共花费40元，小雅有哪几种购买方案？ 【变式3-2】（2022春•华益七下期中）某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进 价多 20 元，购进甲种商品 5 件与购进乙种商品 6 件的进价相同． （1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？ （2）该商场从厂家购进了甲、乙两种商品共 80 件，所用资金为 9000 元．甲种商品在进价 的基础上提高50%后标价，又以 8 折优惠售出；乙商品售出后，每件可获利 30 元，则甲、 乙两种商品全部售出后共可获利多少元？ 【变式3-2】（2022春•师大附中七下期中）某中学七年级（1）班去体育用品商店买一些篮球和排球，供班上同学进行体育 锻炼时使用，共买了 2 个篮球和 6 个排球，花 570 元，并且每个排球比篮球便宜 25 元． （1）求篮球和排球的单价各是多少； （2）商店里搞活动，有两种套餐，①套餐打折：五个篮球和五个排球为一套餐，套餐打八 折；②满减活动：满 999 减 100，满 1999 减 200；两种活动不重复参与，学校打算购买 14 个篮球，12 个排球，请问如何安排更划算？ 【题型4 方案问题】 【例4】（2022·黑龙江·桦南县第三中学七年级期中）某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨． (1)请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？ (2)目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完（A、B两种货车均满载），其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花费400元，请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少，最少费用为多少元． 【变式4-1】（2021春•青竹湖湘一七下期中·9分）抗击新冠肺炎疫情期间，全国上下万众一心为武汉捐赠物资．某物流公司运送捐 赠物资，已知用 2 辆 A型车和 1 辆B 型车装满货物一次可运货 10 吨；用 1 辆A 型车和 2 辆B型车装满货物一次可运货 11 吨． （1）求 1 辆A 型车和 1 辆B 型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ （2）该物流公司现有 80 吨货物需要运送，计划同时租用 A型车 辆， 型车B辆（每种车辆至少 1 辆且A 型车数量少于B 型车），一次运完，且恰好每辆车都装满货物．若A 型车每辆需租金 100 元 次， 型车每辆需租金 120 元 次，请你设计出所有租车方案并选出最省钱的租车方案，求出此时最少租车费． 【题型5 年龄问题】 【例5】（2022·江苏·七年级）今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ 【变式5-1】（2022·全国·八年级课时练习）聪聪在给妈妈过生日时发现自己的年龄与妈妈的年龄的十位数字与个位数字正好相反.同时，他还发现，过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7，求聪聪和他妈妈现在的年龄. 【题型6 分配问题】 【例6】（2022·河北承德·七年级期末）某企业有，两条加工相同原材料的生产线，在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为小时；在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为小时． (1)当时，两条生产线的加工时间分别时多少小时？ (2)第一天，该企业把5吨原材料分配到．两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到两条生产线的的吨数是多少？ (3)第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给生产线分配了吨原材料，给生产线分配了吨原材料，若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则和有怎样的数量关系？若此时与的和为6吨，则和的值分别为多少吨？ 【题型7 和、差、倍、分问题】 【例7】（（2023春•长沙一中教育集团七下期中T21·9分）某物流公司在运货时有、两种车型，如果用3辆型车和2辆型车载满货物一次可运17吨货物；用2辆型车和3辆型车载满货物一次可运18吨货物．现需要运输货物32吨，计划同时租用型车和型车若干辆，一次运完，且每辆车都载满货物． （1）1辆型车和1辆型车都载满货物，一次可分别运输货物多少吨？ （2）若型车每辆需租金200元次，型车每辆需租金240元次．请帮物流公司设计租车方案，并选出最省钱的方案及最少租金． 【变式7-1】（2022·重庆巴南·七年级期末）某街道为了绿化一块闲置空地，购买了甲、乙两种树木共72棵种植在这个空地上，购买时，已知甲种树木的单价是乙种树木的单价的，乙种树木的单价是每棵80元，购买甲、乙两种树木的总费用是6160元． (1)甲、乙两种树木各购买了多少棵？ (2)经过一段时间后，种植的这批树木成活率高，绿化效果好，该街道决定再次购买这两种树木来绿化另一块闲置空地，购买时，发现甲种树木的单价比第一次购买时的单价下降了，乙种树木的单价比第一次购买时的单价下降了，于是，该街道购买甲种树木的数量比第一次多了，购买乙种树的数量比第一次多了，且购买甲、乙两种树木的总费用比第一次多了，请求出a的值． 【题型8 新定义题型】 【例8】（2022春·雅礼教育集团七下期中T24·10分）规定：若是以，为未知数的二元一次方程的整数解，则称此时点为二元一次方程的“理想点”．请回答以下关于，的二元一次方程的相关问题． （1）已知，，，请问哪个点是方程的“理想点”，哪个点不是方程的“理想点”并说明理由； （2）已知，为非负整数，且，若，是方程的“理想点”，求的平方根． （3）已知是正整数，且是方程和的“理想点”，求点的坐标． 【变式8-1】（2020春·周南教育集团七下第三次月考T24·10分）阅读材料：我们把多元方程（组的正整数解叫做这个方程（组的“好解”例如：就是方程的一组“好解”； 是方程组的一组“好解”． （1）请直接写出方程的所有“好解”； （2）关于，，的方程组有“好解“吗？若有，请求出对应的“好解”；若没有，请说明理由； （3）已知，为方程的“好解”，且，求所有的值． 【变式8-2】．（2020春·中雅培粹七下第一次月考）在平面直角坐标系中，如果点坐标中，的值是关于二元一次方程组的解，那么称点为该方程组的解坐标，如是二元一次方程组的解坐标．求： （1）二元一次方程组的解坐标为　　； （2）已知方程组与方程组的解坐标相同，求，的值． （3）当，满足什么条件时，关于，的二元一次方程组， ①不存在解坐标； ②存在无数多个解坐标． 【变式8-3】．（2023春·雅礼洋湖七下第一次月考）已知一个关于x的一元一次方程（，b为常数），若这个方程的解恰好为，则称这个方程为“阳光方程”．例如：的解为，而，则方程是“阳光方程”． （1）下列方程是“阳光方程”的为 　　；（填序号） ① ② ③ （2）求关于x的方程是“阳光方程”，求m的值； （3）已知关于x的方程是“阳光方程”，求关于y的方程的解． 【变式8-4】．（2023春·长沙湘郡未来第一次月考） 已知一个三位自然数，若满足十位数字等于百位数字与个位数字之和，则称这个数为“平衡数”，并把其百位数字与个位数字的乘积记为． 例如，，是“平衡数”． ． 规定：，(S,均为非零实数，，均为平衡数）． 已知：，． （1）求，及的值； （2）已知“平衡数”个位数为7，同时与“平衡数”满足，求的所有可能值； （3）已知，是两个十位数字相同的“平衡数”， 加上其各个数位上数字之和是7的倍数，若，求的所有可能值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$