1.1.1集合（2知识点+6题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（湘教版2019必修第一册）

1.1.1 集合 课程标准 学习目标 （1）通过实例, 了解集合的含义, 理解元素与集合的属于关系; （2）针对具体问题, 能在自然语言和图形语言的基础上, 用符号语言刻画集合。 （1）了解集合的概念，理解元素与集合的关系; （2）理解集合的三要素：互异性、确定性和无序性； （3）掌握常见数集的表示； （4）掌握集合的表示方法：列举法、描述法.（难点) 知识点01 集合的概念 元素与集合的概念 一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)，构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员). 集合的元素特征 ① 确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.  Eg：街上叫声帅哥，是男的都回个头，帅哥没有明确的标准，故帅哥不能组成集合. ② 互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.  Eg：两个学生名字都是“熊涛”，老师也要给他们起小名熊大熊二，以视区别. 若集合，就意味且. ③ 无序性：集合中的元素无顺序，可以任意排列、调换. Eg：高一(1)班每月都换座位也改变不了它是(1)班的事实，. 元素与集合的关系 若是集合的元素，则称属于集合，记作；  若不是集合的元素，则称不属于集合，记作.  Eg：菱形，. 常用数集  自然数集(或非负整数集)，记作；正整数集，记作或；整数集，记作； 有理数集，记作；实数集，记作. 【例】；；；；． 集合的分类 有限集，无限集，空集. Eg：奇数集属于无限集，. 【即学即练1】 下列各组对象不能构成集合的是（　　） A．参加卡塔尔世界杯比赛的全体球员 B．小于的正整数 C．数学必修第一册课本上的难题 D．所有有理数 【答案】C 【分析】根据集合的概念，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，参加的全体球员，是确定的，没有重复的，所以能构成集合； 对于B中，小于的正整数，是确定的，没有重复的，所以能构成集合； 对于C中，多难的题才算是难题，有一定的不确定性，不符合集合中元素的确定性，故不能构成集合； 对于D中，所有有理数，所研究的有理数，是确定的，没有重复的，所以能构成集合，故选C. 故选：C. 知识点02 集合的表示方法 1 列举法  把集合中的元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法叫列举法. 2 描述法  用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法.  方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 一般格式：.  用符号描述法表示集合时应注意：  弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是数还是点、还是集合、还是其他形式？  元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑.  【即学即练2】用列举法或描述法表示下列集合： (1) 以内偶数的集合； (2) 不等式的解集； (3) (阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标的集合) 解析 (1) 用列举法表示为； (2) 用描述法表示为； (3)用描述法表示为. 3 区间 区间的几何表示如下表所示： 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 半开半闭区间 开区间 半开半闭区间 开区间 开区间 【题型一：判断所给对象是否构成集合】 例1． 下列所给的对象能构成集合的是__________． (1)所有直角三角形；(2)全国高耸的山脉；(3)比较接近的正整数全体； (4)某校高一年级的16岁以下的学生；(5) ，，，． 【答案】(1)(4) 【详解】 (1)能，集合元素是直角三角形； (2)不能，“高耸”的标准是模糊的、不确定的，所以元素不确定，故不能构成集合； (3)不能，“比较接近”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合； (4)能，集合元素是“16岁以下的学生”； (5)不能，，有两个数字重复，不符合元素的互异性. 故答案是(1)(4) 变式1-1．下列各组对象能构成集合的是（    ） A．充分接近的所有实数 B．所有的正方形 C．著名的数学家 D．，，，，，，， 【答案】B 【分析】根据构成集合元素的特征满足确定性、互异性判断各选项即可. 【详解】对于A，充分接近的所有实数不能满足集合元素的确定性，故A错误； 对于B，所有的正方形可以构成一个集合，故B正确； 对于C，著名的数学家不能满足集合元素的确定性，故C错误； 对于D，元素有重复，不满足集合元素的互异性，故D错误. 故选：B. 变式1-2．给出四个结论： ①是由4个元素组成的集合； ②集合表示仅由一个“1”组成的集合； ③与是两个不同的集合； ④集合大于3的无理数是一个有限集． 其中正确的是（    ） A．①④ B．②④ C．②③ D．② 【答案】D 【分析】根据集合元素的特征逐一判断各选项. 【详解】对于①，集合不满足集合元素的互异性，故①错误； 对于②，集合仅有1个元素，故②正确； 对于③，集合与元素相同，是两个相同的集合，故③错误； 对于④，集合大于3的无理数是无限集，故④错误. 故选：D. 变式1-3．给出下列说法：①在一个集合中可以找到两个相同的元素；②好听的歌能组成一个集合；③高一（1）班所有姓氏能构成集合；④把1，2，3三个数排列，共有6种情况，因此由这三个数组成的集合有6个.其中正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据集合元素的互异性、无序性和定义逐一判断即可. 【详解】①集合中的元素不能相同，所以在一个集合中不可以找到两个相同的元素，因此本序号说法不正确； ②因为好听的歌标准不确定， 所以好听的歌不能组成一个集合，因此本序号的说法不正确； ③因为高一（1）班所有姓氏是确定的， 所以可以构成一个集合，因此本序号的说法是正确的； ④根据集合元素的无序性，由这三个数组成的集合只有一个，因此本序号说法不正确， 因此正确的个数为1， 故选：B 【方法技巧与总结】 判断判断所给对象是否构成集合，要注意集合元素特征：① 确定性，② 互异性，③ 无序性. 【题型二：元素与集合的关系】 例2．非空集合A具有下列性质：（1）若x、y∈A，则∈A；（2）若x、y∈A，则x+y∈A，下列判断一定成立的是（    ） ①﹣1∉A；②∈A；③若x、y∈A，则xy∈A；④若x、y∈A，则x﹣y∉A． A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】对于①：假设，令，由已知推出矛盾，可判断①； 对于②：由题意知，，再得 ，，从而判断②； 对于③：由，得，，结合性质可判断③； 对于④：，由，，可判断④. 【详解】解：对于①：假设，则令，则 ，， 令，则，令，不存在，即，矛盾，所以，故①对； 对于②：由题意知，，则 ，，故②正确； 对于③：，，故③正确； 对于④：，若，则，故④错误， 所以一定成立的是①②③， 故选：C. 变式2-1．已知集合中的元素满足，则下列选项正确的是（  ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】A 【分析】由元素和集合的关系判断. 【详解】由解得， 因为，， 故，且， 故选：A 变式2-2．已知，，为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别对，，的符号进行讨论，计算出集合的所有元素，再进行判断. 【详解】根据题意，分4种情况讨论； ①、全部为负数时，则也为负数，则； ②、中有一个为负数时，则为负数，则； ③、中有两个为负数时，则为正数，则； ④、全部为正数时，则也正数，则； 则；分析选项可得符合． 故选：A. 变式2-3．若对任意，，则称A为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于ABC：举反例说明即可；对于D：分局题意分析即可. 【详解】对于选项A：因为，但，不符合题意，故A错误； 对于选项B：因为，但无意义，不符合题意，故B错误； 对于选项C：例如，但，不符合题意，故C错误， 对于选项D：对任意，均有，符合题意，故D正确； 故选：D. 变式2-4．以某些整数为元素的集合P具有以下性质： （1）P中元素有正数，也有负数；（2）P中元素有奇数，也有偶数； （3）；（4）若，则． 则下列选项哪个是正确的（    ） A．集合P中一定有0但没有2 B．集合P中一定有0可能有2 C．集合P中可能有0可能有2 D．集合P中既没有0又没有2 【答案】A 【分析】由（4）得，则（k是正整数），由（1）可设，且，，可得.利用反证法可得若，则P中没有负奇数，若P中负数为偶数，得出矛盾即可求解. 【详解】解：由（4）得，则（k是正整数）． 由（1）可设，且，，则、，而． 假设，则．由上面及（4）得0，2，4，6，8，…均在P中， 故（k是正整数）， 不妨令P中负数为奇数（k为正整数）， 由（4）得，矛盾． 故若，则P中没有负奇数． 若P中负数为偶数，设为（k为正整数），则由（4）及， 得均在P中，即（m为非负整数）， 则P中正奇数为，由（4）得，矛盾． 综上，，. 故选:A． 【方法技巧与总结】 1 元素与集合之间的关系是属于或不属于，并且只能是其中一种可能； 2 要判断元素是否属于集合，要确定集合中元素的要求；对于新定义的题目，其中的定义很重要，要能理解其中的含义方能判断，考核你对数学抽象概念的理解. 【题型三：利用元素与集合互异性求参数】 例3．已知集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．0或3 D． 【答案】B 【分析】由题意可得或，分类讨论，结合集合元素的互异性，即可求得答案. 【详解】因为且， 所以或， ①若，此时，不满足元素的互异性； ②若，解得或3， 当时不满足元素的互异性，当时，符合题意. 综上所述，. 故选：B 变式3-1．已知集合，若，则实数a的值为（    ） A．或4 B．2 C．-2 D．4 【答案】C 【解析】由集合元素的特性和2属于集合A，直接计算判断求解即可得出答案. 【详解】由集合，可得，则得，，又因为可得，解得，即C选项正确. 故选：C. 【点睛】本题考查了集合元素特性的利用，考查了由元素属于集合求参数的问题，属于一般难度的题. 变式3-2．已知集合，，则（    ） A． B．或1 C．3 D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系求出值，然后代入检验即得. 【详解】因，，故有：或， 由解得：或，由解得：， 又因时，，与集合元素互异性矛盾，故舍去，而时，符合题意. 故选：D. 变式3-3．若，则的值是（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据得到或，然后解方程根据元素的互异性进行取舍即可. 【详解】因为，所以①或②，由①得或，其中与元素互异性矛盾，舍去，符合题意，由②得，符合题意，两种情况代入得. 故选：C. 【方法技巧与总结】 1 集合的元素是不能相同的，若有集合，它的潜台词就是； 2 在求涉及到集合中元素的参数时，要注意把所求值代回集合进行检验。 【题型四：集合的表示方法—列举法】 例4．用列举法表示下列给定的集合： (1)大于1且小于6的整数组成的集合A； (2)方程的实数根组成的集合B； (3)一次函数与的图象的交点组成的集合C. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用集合的描述法与列举法求解即可. 【详解】（1）因为大于1且小于6的整数包括2，3，4，5，所以. （2）因为方程的实数根为，所以. （3）联立，解得， 所以一次函数与的交点为，所以. 变式4-1．方程组的解构成的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先解出方程组，再由列举法表示出解集. 【详解】由，解得， 所以方程组的解构成的集合是. 故选：D 变式4-2．用列举法表示小于4的自然数构成的集合，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据列举法即可得结果. 【详解】小于4的自然数构成的集合为， 故选：A. 变式4-3．用列举法表示下列集合： (1)大于1且小于6的整数； (2)； (3)． (4)． (5)由＋ （a， b∈R）所确定的实数组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）写出大于1且小于6的整数即可；（2）求出方程的根即可；（3）解不等式即可求解；（4）写出符合条件的坐标即可；（5）分类讨论即可. 【详解】（1）大于1且小于6的整数组成的集合为； （2） （3） （4） （5）由题意， 当时，＋； 当时，＋； 当时，＋； 当时，＋， 故由＋ （a， b∈R）所确定的实数组成的集合为. 【方法技巧与总结】 1 当集合的元素是有限个的时候，我们可以用列举法表示集合，此时要注意集合元素的类型； 2 当集合元素是无限个时，有时候也可以用列举法，比如集合是的整数幂，。 【题型五：集合的表示方法—描述法】 例5．已知集合且，则下列判断不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知集合表示奇数集，集合表示偶数集，是奇数，是偶数，然后依次对，，，进行判断即可得出结果. 【详解】根据集合可知， 集合表示奇数集，集合表示偶数集，又，所以是奇数，是偶数； 对于A，因为两个奇数的乘积为奇数，所以，即A正确； 对于B，因为一个奇数和一个偶数的乘积为偶数，所以，即B正确； 对于C，因为两个奇数的和为偶数，所以，即C正确； 对于D，因为两个奇数与一个偶数的和为偶数，所以，所以D错误； 故选：D 变式5-1．集合化简为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式性质进行计算的结果 【详解】由得，则 ． 故选：D 变式5-2．若集合，，则中所有元素的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系，求出集合即可得解. 【详解】当时，分别取，，，分别为，，； 当时，分别取，，，分别为，，； 当时，分别取，，，分别为，，， 故，所有元素之和为. 故选：B. 变式5-3．已知集合，，，且，，，若，则． A． B． C． D．且 【答案】B 【分析】设，得到，结合集合的表示，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，设，，，，，， 则， 令，则，且，， 则，故选B． 【点睛】本题主要考查了集合的表示方法及其应用，其中解答中根据集合的元素形式，合理运算，结合集合表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题． 变式5-4．若，则下列结论中正确结论的个数为（    ） ①； ②； ③若，则； ④若且，则； ⑤存在且，满足. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用集合的特征性质对选项进行判断. 【详解】若， 对于①，，①正确； 对于②，当中时，，所以，②正确； 对于③，若，不妨设， 则，，所以，③正确； 对于④，若且，不正确，例如，，④不正确； 对于⑤，存在且，满足， 例如，，， 若，则， 故，⑤正确. ①②③⑤正确. 故选：C. 【方法技巧与总结】 1 集合的表示方法—描述法，一般格式：.  2 理解描述法表示集合  弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是数还是点、还是集合、还是其他形式？  元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑.  【题型六：综合运用】 例6．若集合具有以下性质： ①； ②若，则，且时，. 则称集合是“好集”. (1)分别判断集合，有理数集是否是“好集”，直接写出结论； (2)设集合是“好集”，求证：若，则； (3)设集合是“好集”，求证：若，则； 【答案】(1)B不是“好集”；是“好集” (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用定义，判断集合B和有理数集是否是“好集”； （2）由，若，则，从而得出； （3）任取，若或时，显然；且时，有，则，得，有，即. 【详解】（1）B不是“好集”, 理由是： ，，而，∴B不是“好集”； 是“好集”， 理由是：，；对任意，，有， 且时，，∴有理数集Q是“好集”. （2）因为集合是“好集”，所以. 若，则，即. 所以，即. （3）对任意一个“好集”，任取， 若或时，显然. 且时，由定义可知：. 所以，即. 所以. 由（2）可得：，即. 变式6-1．若集合A=只有一个元素，则= （ ） A．-4 B．0 C．4 D．0或-4 【答案】A 【分析】根据方程只有一个根，结合函数图象确定的值 【详解】只有一个实根，所以，选A. 【点睛】本题考查方程的根与集合元素关系，考查基本分析求解能力. 变式6-2．已知非空数集满足：对任意给定的（可以相同），有且.若集合中最小的正数为6，则集合 . 【答案】 【分析】应用定义，推导出集合中的数是6的倍数. 【详解】由对任意给定的（可以相同），有且， 又6是集合中的最小正整数，则也在集合里， 假设里有形如，那么， 与6是集合中的最小正整数矛盾， 故答案为： 变式6-3．设集合S中的元素全是实数，且满足下面两个条件： ①；②若，则. (1)求证：若，则； (2)若，则在S中必含有其他的两个元素，试求出这两个元素． 【答案】(1)证明见解析 (2)集合S中必含有两个元素. 【分析】（1）根据集合S中元素的性质，循环迭代即可得出证明； （2）由可得，由可得，由可得，由此可知会循环出现三个数，所以集合S中必含有两个元素. 【详解】（1）证明：因为，所以，由，则， 可得，即， 故若，则. （2）由，得； 由，得； 而当时，，…， 因此当时，集合S中必含有两个元素. 变式6-4．已知数集含有（）个元素，定义集合． (1)若，写出； (2)写出一个集合，使得； (3)当时，是否存在集合，使得？若存在，写出一个符合条件的集合；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析. 【分析】（1）根据集合的新定义，写出中元素即可得解； （2）根据条件分析集合中元素即可得解； （3）根据题意可得不存在，利用反证法证明即可. 【详解】（1）因为，， 所以为中元素， 故. （2）取，此时， 满足. （3）当时，不存在集合，使得. （反证法） 假设时，存在集合，使得， 不妨设，且， 则， 所以为中7个不同的元素， 所以， 由解得. 此时，与矛盾， 所以假设不成立， 故不存在这样的集合. 【方法技巧与总结】 1 对于集合中新定义的题型，特别是注意理解集合元素的要求，在解题的过程中一切从定义出发；注意前一问对下一问的“提示”，注意特殊情况到一般情况的延伸推理. 2 证明否定问题，我们可采取反证法. 一、单选题 1．下面有四个结论:①集合中最小数为1；②若，则；③若，，则的最小值为2；④所有的正数组成一个集合.其中正确结论的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】直接由元素与集合的关系逐一判断即可. 【详解】①集合中最小数为，故①错误； ②取，则，故②错误； ③若，，则的最小值为2，错误，当时，，故③错误； ④所有的正数组成一个集合，故④正确； 故选：B. 2.下列对象不能组成集合的是（    ） A．不超过 20的质数 B．的近似值 C．方程的实数根 D．函数的最小值 【答案】B 【分析】根据集合中元素的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，不超过 20的质数是明确可知的，满足确定性，可以组成集合； 对于B，的近似值是不明确的，不满足确定性，不可以组成集合； 对于C，方程的实数根是明确的，满足确定性，可以组成集合； 对于D，函数不存在最小值，可以组成空集； 故选：B 3.已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据元素与集合的关系即可求解. 【详解】因为，所以，而是集合，与的关系不应该是属于关系，而应该是包含关系. 故选:A 3.设，，，是4个正整数，从中任取个数求和所得的集合为，则这个数中最小的数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】依题意从个正整数中任取个数求和后可得个和，则个和值之和必为的倍数，从而得到这个和为、、、，即可得到，即可求出这四个数. 【详解】从个正整数中任取个数求和后可得个和，则个和值之和为，必为的倍数， 又，，， 所以这个和为、、、， 则， 所以，，， 即这个数分别为、、、， 故这个数中最小的数为. 故选：C 4. 若集合，其中且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助元素与集合的关系计算即可得. 【详解】由题意可得，解得. 故选：A. 5.已知集合，则集合等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的取值分情况讨论，代入计算即可. 【详解】，时，， 时，，或或或时，，或或或时，， 故. 故选：D. 6.若集合，，，且，则下列结论中可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知可得出是3的倍数，是3的倍数减1，是3的倍数减2，且奇偶性相反.进而逐项分析，即可得出答案. 【详解】根据已知易得，是3的倍数，是3的倍数减1，是3的倍数减2，且奇偶性相反. 对于A项，由已知可推得，一定是3的倍数，而，故A项错误； 对于B项，由已知可推得，一定是6的倍数，而，故B项错误； 对于C项，由已知可推得，一定是3的倍数，而，故C项错误； 对于D项，设，，， 则. 令，可得（舍去负值），故D项正确. 故选：D. 7.若集合中只有一个元素，则实数（    ） A．1 B．0 C．2 D．0或1 【答案】D 【分析】分类讨论，确定方程有一解时满足的条件求解. 【详解】当时，由可得，满足题意； 当时，由只有一个根需满足， 解得. 综上，实数的取值为0或1. 故选：D 8.记为非空集合A中的元素个数，定义.若，，且，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据给定条件可得或，再根据集合中的方程的根的个数，对参数进行分类讨论即可求得实数的所有可能取值，即可得出结果. 【详解】由定义得，又，则或， 由方程，得或， 当时，方程只有一个实数根， 而方程有一根为0，则另一根必为0，，此时无实根，因此； 当时，必有，方程有两个不相等的实数根， 并且都不是方程的根， 显然方程有两个相等的实数根，且异于， 于是，解得或， 当时，方程的根为，满足题意， 当时，方程的根为，满足题意， 因此或，所以，. 故选：C 二、多选题 9．给出下列说法，其中不正确的是（ ） A．集合用列举法表示为 B．实数集可以表示为为所有实数}或 C．方程组的解组成的集合为 D．集合与是同一个集合 【答案】BCD 【分析】根据集合的表示法可以依次判断. 【详解】对于A，集合中只含有两个元素0和1，所以用列举法表示为，故A正确； 对于B，R就表示实数集，实数集用为错误表示，另外花括号具有所有的意义，描述内容中不能再出现所有字眼，故B错误； 对于C，解集应为，原表示错误，故C错误； 对于D，集合为y的取值集合，集合表示上点的集合，所以两个集合不是同一个集合，故D错误； 故选：BCD. 10.已知集合，则下列说法中错误的是（    ） A．若A中只有一个元素，则 B．若A中至少有一个元素，则 C．若A中至多有一个元素，则 D．若A中恰有两个元素，则 【答案】ACD 【分析】根据集合中元素的个数以及方程的解即可判断选项. 【详解】对于选项A：若A中只有一个元素， 即方程有一个根，或两个相等实根， 当时，原方程变为，此时符合题意， 当时，方程有两个相等实根， 所以，即， 所以当A中只有一个元素时，则或，故A错误； 对于选项B：若A中至少有一个元素，即A中有一个元素或两个元素， 当A中有一个元素时，由前面可知，或； 当A中有两个元素时，方程有两个不等实根， 所以即且， 所以若A中至少有一个元素，则，故B正确； 对于选项C：若A中至多有一个元素，即A中有一个元素或没有元素， 当A中有一个元素时，由前面可知，或； 当A中没有元素时，即方程无实根， 所以即， 所以若A中至多有一个元素，则或；故C错误； 对于选项D：若A中恰有两个元素，由前面可知，且，故D错误； 故选：ACD 11.设S为实数集的非空子集．若对任意，都有，则称S为封闭集．下列命题正确的是（    ） A．自然数集N为封闭集 B．整数集Z为封闭集 C．集合为封闭集 D．若S为封闭集，且，则S一定为无限集 【答案】BCD 【分析】根据封闭集的定义，举反例判断A；根据封闭集定义可判断B，C；由封闭集定义可推出所有整数都属于S，判断D. 【详解】对于A，取，则，故自然数集N不是封闭集； 对于B，任意两个整数的和、差、积仍是整数，故整数集Z为封闭集； 对于C，设都是整数， 则，故， 同理， , 故集合为封闭集，C正确； 对于D，若S为封闭集，且，则, 则，依此类推可得所有整数都属于S， 则S一定为无限集，D正确， 故选：BCD 三、填空题 12．已知集合，若，则 ． 【答案】 【分析】根据题意结合元素与集合之间的关系结合集合的互异性分析求解. 【详解】因为，且， 则或，解得. 故答案为：. 13.含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为 . 【答案】0 【分析】结合已知条件，利用集合元素的互异性，即可求得本题答案. 【详解】因为，且，所以， 则有， 所以，且，得， 所以， 故答案为：0 14.集合中恰好有两个元素，则实数满足的条件是 . 【答案】或 【分析】根据一元二次方程求解，结合集合元素的特征，可得答案. 【详解】由方程，则或， 当存在两个相等的实数根时，，解得， 此时方程的解为，符合题意； 当存在两个不相等的实数根且其中一个根为时，，解得， 此时，则方程另一个解为，符合题意. 综上所述，当或时，集合中恰有两个元素. 故答案为：或. 四、解答题 15．用适当的方法表示下列集合： (1)大于0且不超过10的全体偶数组成的集合； (2)被3除余2的自然数全体组成的集合； (3)直角坐标平面上由第二象限与第四象限中的所有点组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】结合集合的表示方法分别求解（1）（2）（3）即可． 【详解】（1）用列举法：. （2）用描述法：. （3）因为第二象限中所有点具有的特征是且， 而第四象限中所有点具有的特征是且， 所以第二象限与第四象限中所有点具有的特征可统一地写为， 故用描述法：. 16.设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若，则.求证： (1)若，则A中必还有另外两个元素； (2)集合A不可能是单元素集. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 （1）根据题意，由，得，进而，得证； （2）反证法证明. 【详解】（1） 若，则, 又因为，所以. 因为，所以. 因为，所以. 所以A中另外两个元素为. （2） 若A为单元素集，则， 即，方程无实数解． 所以，所以集合A不可能是单元素集． 17.对于集合A，B，我们把集合{(a，b)|a∈A，b∈B}记作A×B.例如，A＝{1，2}，B＝{3，4}，则有 A×B＝{(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)}， B×A＝{(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)}， A×A＝{(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}， B×B＝{(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)}，据此，试回答下列问题． (1)已知C＝{a}，D＝{1，2，3}，求C×D； (2)已知A×B＝{(1，2)，(2，2)}，求集合A，B； (3)A有3个元素，B有4个元素，试确定A×B有几个元素． 【答案】(1) (2)，. (3)12 【分析】（1）根据A×B的定义求解即可. （2）根据A×B的定义求解即可. （3）根据A×B的定义求解即可. 【详解】（1）因为C＝{a}，D＝{1，2，3}，根据已知有： . （2）因为A×B＝{(1，2)，(2，2)}， 所以，. （3）根据已知可知，集合A中的任何一个元素与B中任何一个元素对应后， 得到A×B中的一个新元素. A有3个元素，B有4个元素， 则A×B有个元素． 18.已知由实数组成的集合，，又满足：若，则. (1)能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由； (2)中含元素个数一定是个吗？若是，给出证明，若不是，说明理由. 【答案】(1)A不可能是单元素集合，理由见解析； (2)A中所含元素个数一定是，证明见解析． 【分析】（1）由x与都在集合A中，结合集合A只含有一个元素，得，再判断方程有无实数根，若有解则存在，若无解则不存在； （2）A中所含元素个数一定是个．由，则，得到，然后推导出互不相等即可证明A中所含元素个数一定是个． 【详解】（1）假设A中仅含一个元素，不妨设为a，则，有， 又A中只有一个元素，，即， 但此方程，即方程无实数根， ∴不存在这样的实数a，故A不可能是单元素集合． （2）中所含元素个数一定是个． 证明：，则，，而， 且，当时，， ，方程无解，； 当时，，，方程无解，； 当时，，，方程无解， ， 中所含元素个数一定是个． 19.已知集合中的元素都是正整数，且．若对任意，且，都有成立，则称集合A具有性质． (1)判断集合是否具有性质； (2)已知集合A具有性质，求证：； (3)证明：是无理数． 【答案】(1)具有 (2)证明见详解 (3)证明见详解 【分析】（1）根据所给性质及集合，全部元素验证所给即可得解； （2）由所给性质变形可得，利用累加相消法即可得解； （3）根据无理数和有理数的定义利用反证法分析说明. 【详解】（1）由题意可得：， 所以集合具有性质. （2）因为，则有： 当时，，符合题意； 当时，因为，且， 所以，可得：， 所以， 即 ； 综上所述：. （3）反证：假设是有理数，则（为互质的正整数）， 可得，即， 可知为3的倍数，设， 即，可得，可知为3的倍数， 这与为互质相矛盾，故是无理数. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1.1 集合 课程标准 学习目标 （1）通过实例, 了解集合的含义, 理解元素与集合的属于关系; （2）针对具体问题, 能在自然语言和图形语言的基础上, 用符号语言刻画集合。 （1）了解集合的概念，理解元素与集合的关系; （2）理解集合的三要素：互异性、确定性和无序性； （3）掌握常见数集的表示； （4）掌握集合的表示方法：列举法、描述法.（难点) 知识点01 集合的概念 元素与集合的概念 一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)，构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员). 集合的元素特征 ① 确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.  Eg：街上叫声帅哥，是男的都回个头，帅哥没有明确的标准，故帅哥不能组成集合. ② 互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.  Eg：两个学生名字都是“熊涛”，老师也要给他们起小名熊大熊二，以视区别. 若集合，就意味且. ③ 无序性：集合中的元素无顺序，可以任意排列、调换. Eg：高一(1)班每月都换座位也改变不了它是(1)班的事实，. 元素与集合的关系 若是集合的元素，则称属于集合，记作；  若不是集合的元素，则称不属于集合，记作.  Eg：菱形，. 常用数集  自然数集(或非负整数集)，记作；正整数集，记作或；整数集，记作； 有理数集，记作；实数集，记作. 【例】；；；；． 集合的分类 有限集，无限集，空集. Eg：奇数集属于无限集，. 【即学即练1】 下列各组对象不能构成集合的是（　　） A．参加卡塔尔世界杯比赛的全体球员 B．小于的正整数 C．数学必修第一册课本上的难题 D．所有有理数 知识点02 集合的表示方法 1 列举法  把集合中的元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法叫列举法. 2 描述法  用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法.  方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 一般格式：.  用符号描述法表示集合时应注意：  弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是数还是点、还是集合、还是其他形式？  元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑.  【即学即练2】用列举法或描述法表示下列集合： (1) 以内偶数的集合； (2) 不等式的解集； (3) (阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标的集合) 3 区间 区间的几何表示如下表所示： 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 半开半闭区间 开区间 半开半闭区间 开区间 开区间 【题型一：判断所给对象是否构成集合】 例1． 下列所给的对象能构成集合的是__________． (1)所有直角三角形；(2)全国高耸的山脉；(3)比较接近的正整数全体； (4)某校高一年级的16岁以下的学生；(5) ，，，． 变式1-1．下列各组对象能构成集合的是（    ） A．充分接近的所有实数 B．所有的正方形 C．著名的数学家 D．，，，，，，， 变式1-2．给出四个结论： ①是由4个元素组成的集合； ②集合表示仅由一个“1”组成的集合； ③与是两个不同的集合； ④集合大于3的无理数是一个有限集． 其中正确的是（    ） A．①④ B．②④ C．②③ D．② 变式1-3．给出下列说法：①在一个集合中可以找到两个相同的元素；②好听的歌能组成一个集合；③高一（1）班所有姓氏能构成集合；④把1，2，3三个数排列，共有6种情况，因此由这三个数组成的集合有6个.其中正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【方法技巧与总结】 判断判断所给对象是否构成集合，要注意集合元素特征：① 确定性，② 互异性，③ 无序性. 【题型二：元素与集合的关系】 例2．非空集合A具有下列性质：（1）若x、y∈A，则∈A；（2）若x、y∈A，则x+y∈A，下列判断一定成立的是（    ） ①﹣1∉A；②∈A；③若x、y∈A，则xy∈A；④若x、y∈A，则x﹣y∉A． A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④ 变式2-1．已知集合中的元素满足，则下列选项正确的是（  ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 变式2-2．已知，，为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 变式2-3．若对任意，，则称A为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（    ） A． B． C． D． 变式2-4．以某些整数为元素的集合P具有以下性质： （1）P中元素有正数，也有负数；（2）P中元素有奇数，也有偶数； （3）；（4）若，则． 则下列选项哪个是正确的（    ） A．集合P中一定有0但没有2 B．集合P中一定有0可能有2 C．集合P中可能有0可能有2 D．集合P中既没有0又没有2 【方法技巧与总结】 1 元素与集合之间的关系是属于或不属于，并且只能是其中一种可能； 2 要判断元素是否属于集合，要确定集合中元素的要求；对于新定义的题目，其中的定义很重要，要能理解其中的含义方能判断，考核你对数学抽象概念的理解. 【题型三：利用元素与集合互异性求参数】 例3．已知集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．0或3 D． 变式3-1．已知集合，若，则实数a的值为（    ） A．或4 B．2 C．-2 D．4 变式3-2．已知集合，，则（    ） A． B．或1 C．3 D． 变式3-3．若，则的值是（    ） A．0 B．1 C． D． 【方法技巧与总结】 1 集合的元素是不能相同的，若有集合，它的潜台词就是； 2 在求涉及到集合中元素的参数时，要注意把所求值代回集合进行检验。 【题型四：集合的表示方法—列举法】 例4．用列举法表示下列给定的集合： (1)大于1且小于6的整数组成的集合A； (2)方程的实数根组成的集合B； (3)一次函数与的图象的交点组成的集合C. 变式4-1．方程组的解构成的集合是（    ） A． B． C． D． 变式4-2．用列举法表示小于4的自然数构成的集合，正确的是（    ） A． B． C． D． 变式4-3．用列举法表示下列集合： (1)大于1且小于6的整数； (2)； (3)． (4)． (5)由＋ （a， b∈R）所确定的实数组成的集合. 【方法技巧与总结】 1 当集合的元素是有限个的时候，我们可以用列举法表示集合，此时要注意集合元素的类型； 2 当集合元素是无限个时，有时候也可以用列举法，比如集合是的整数幂，。 【题型五：集合的表示方法—描述法】 例5．已知集合且，则下列判断不正确的是（    ） A． B． C． D． 变式5-1．集合化简为（    ） A． B． C． D． 变式5-2．若集合，，则中所有元素的和为（    ） A． B． C． D． 变式5-3．已知集合，，，且，，，若，则． A． B． C． D．且 变式5-4．若，则下列结论中正确结论的个数为（    ） ①； ②； ③若，则； ④若且，则； ⑤存在且，满足. A．2 B．3 C．4 D．5 【方法技巧与总结】 1 集合的表示方法—描述法，一般格式：.  2 理解描述法表示集合  弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是数还是点、还是集合、还是其他形式？  元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑.  【题型六：综合运用】 例6．若集合具有以下性质： ①； ②若，则，且时，. 则称集合是“好集”. (1)分别判断集合，有理数集是否是“好集”，直接写出结论； (2)设集合是“好集”，求证：若，则； (3)设集合是“好集”，求证：若，则； 变式6-1．若集合A=只有一个元素，则= （ ） A．-4 B．0 C．4 D．0或-4 变式6-2．已知非空数集满足：对任意给定的（可以相同），有且.若集合中最小的正数为6，则集合 . 变式6-3．设集合S中的元素全是实数，且满足下面两个条件： ①；②若，则. (1)求证：若，则； (2)若，则在S中必含有其他的两个元素，试求出这两个元素． 变式6-4．已知数集含有（）个元素，定义集合． (1)若，写出； (2)写出一个集合，使得； (3)当时，是否存在集合，使得？若存在，写出一个符合条件的集合；若不存在，说明理由． 【方法技巧与总结】 1 对于集合中新定义的题型，特别是注意理解集合元素的要求，在解题的过程中一切从定义出发；注意前一问对下一问的“提示”，注意特殊情况到一般情况的延伸推理. 2 证明否定问题，我们可采取反证法. 一、单选题 1．下面有四个结论:①集合中最小数为1；②若，则；③若，，则的最小值为2；④所有的正数组成一个集合.其中正确结论的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2.下列对象不能组成集合的是（    ） A．不超过 20的质数 B．的近似值 C．方程的实数根 D．函数的最小值 3.已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3.设，，，是4个正整数，从中任取个数求和所得的集合为，则这个数中最小的数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 4. 若集合，其中且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5.已知集合，则集合等于（    ） A． B． C． D． 6.若集合，，，且，则下列结论中可能成立的是（    ） A． B． C． D． 7.若集合中只有一个元素，则实数（    ） A．1 B．0 C．2 D．0或1 8.记为非空集合A中的元素个数，定义.若，，且，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 9．给出下列说法，其中不正确的是（ ） A．集合用列举法表示为 B．实数集可以表示为为所有实数}或 C．方程组的解组成的集合为 D．集合与是同一个集合 10.已知集合，则下列说法中错误的是（    ） A．若A中只有一个元素，则 B．若A中至少有一个元素，则 C．若A中至多有一个元素，则 D．若A中恰有两个元素，则 11.设S为实数集的非空子集．若对任意，都有，则称S为封闭集．下列命题正确的是（    ） A．自然数集N为封闭集 B．整数集Z为封闭集 C．集合为封闭集 D．若S为封闭集，且，则S一定为无限集 三、填空题 12．已知集合，若，则 ． 13.含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为 . 14.集合中恰好有两个元素，则实数满足的条件是 . 四、解答题 15．用适当的方法表示下列集合： (1)大于0且不超过10的全体偶数组成的集合； (2)被3除余2的自然数全体组成的集合； (3)直角坐标平面上由第二象限与第四象限中的所有点组成的集合. 16.设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若，则.求证： (1)若，则A中必还有另外两个元素； (2)集合A不可能是单元素集. 17.对于集合A，B，我们把集合{(a，b)|a∈A，b∈B}记作A×B.例如，A＝{1，2}，B＝{3，4}，则有 A×B＝{(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)}， B×A＝{(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)}， A×A＝{(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}， B×B＝{(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)}，据此，试回答下列问题． (1)已知C＝{a}，D＝{1，2，3}，求C×D； (2)已知A×B＝{(1，2)，(2，2)}，求集合A，B； (3)A有3个元素，B有4个元素，试确定A×B有几个元素． 18.已知由实数组成的集合，，又满足：若，则. (1)能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由； (2)中含元素个数一定是个吗？若是，给出证明，若不是，说明理由. 19.已知集合中的元素都是正整数，且．若对任意，且，都有成立，则称集合A具有性质． (1)判断集合是否具有性质； (2)已知集合A具有性质，求证：； (3)证明：是无理数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$