第14讲 双曲线（十大题型）-2024年暑假高一升高二数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

第14讲 双曲线 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：双曲线的定义 在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线．这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距． 知识点诠释： 1、 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2、若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 3、 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； 4、若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5、若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线． 知识点二：双曲线的标准方程 1、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中； 2、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中 椭圆、双曲线的区别和联系： 椭圆 双曲线 根据|MF1|+|MF2|=2a 根据|MF1|－|MF2|=±2a a＞c＞0， a2－c2=b2（b＞0） 0＜a＜c， c2－a2=b2（b＞0） ， （a＞b＞0） ， （a＞0，b＞0，a不一定大于b） （a最大） （c最大） 标准方程统一为： 方程Ax2+By2=C（A、B、C均不为零）表示双曲线的条件 方程Ax2+By2=C可化为，即， 所以只有A、B异号，方程表示双曲线． 当时，双曲线的焦点在x轴上； 当时，双曲线的焦点在y轴上． 知识点诠释： 3、当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方程形式．此时，双曲线的焦点在坐标轴上． 4、双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c＞a，c＞b，且c2=b2+a2． 5、双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的系数，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上． 6、对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上． 知识点三：求双曲线的标准方程 ①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数、、的值．其主要步骤是“先定型，再定量”； ②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程． 知识点四：双曲线的简单几何性质 双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质 范围 双曲线上所有的点都在两条平行直线x=-a和x=a的两侧，是无限延伸的．因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a． 对称性 对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成-x，或把y换成-y，或把x、y同时换成-x、-y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心． 顶点 ①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点． ②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为 A1（-a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点． ③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1（0，-b），B2（0，b）为y轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴．实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a，|B1B2|=2b．a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长． ①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆． ②双曲线的焦点总在实轴上． ③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 离心率 ①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作． ②因为c＞a＞0，所以双曲线的离心率． 由c2=a2+b2，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔．所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度． ③等轴双曲线，所以离心率． 渐近线 经过点A2、A1作y轴的平行线x=±a，经过点B1、B2作x轴的平行线y=±b，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是． 我们把直线叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交． 知识点四：双曲线两个标准方程几何性质的比较 标准方程 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 轴 实轴长=，虚轴长= 离心率 渐近线方程 知识点诠释：双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的系数，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上． 对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上． 知识点五：双曲线的渐近线 （1）已知双曲线方程求渐近线方程： 若双曲线方程为，则其渐近线方程为 已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程． （2）已知渐近线方程求双曲线方程： 若双曲线渐近线方程为，则可设双曲线方程为，根据已知条件，求出即可． （3）与双曲线有公共渐近线的双曲线 与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上） （4）等轴双曲线的渐近线 等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为，因此等轴双曲线可设为． 知识点六：双曲线中a，b，c的几何意义及有关线段的几何特征： 双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c＞b＞0，c＞a＞0，且c2=b2+a2． 双曲线，如图： （1）实轴长，虚轴长，焦距， （2）离心率：； （3）顶点到焦点的距离：，； 【典例例题】 题型一：双曲线的定义、条件 【典例1-1】（2024·高二·湖北武汉·期中）平面内到两定点、的距离之差等于10的点的轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．以上选项都不对 【典例1-2】（2024·高三·全国·专题练习）已知动点满足，则动点的轨迹是（    ） A．射线 B．直线 C．椭圆 D．双曲线的一支 【变式1-1】（2024·高二·全国·课后作业）相距的两地，听到炮弹爆炸的时间相差．若声速为每秒，则炮弹爆炸点的轨迹可能是（    ） A．圆 B．双曲线 C．椭圆 D．直线 【变式1-2】（2024·高二·江苏常州·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线上，，则（    ） A．13 B．10 C．1 D．13或1 【变式1-3】（2024·高二·广东河源·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点是的左支上一点，则（   ） A． B． C． D． 题型二：求双曲线的标准方程 【典例2-1】（2024·高二·辽宁朝阳·阶段练习）若双曲线C与双曲线有相同的渐近线，且经过点，则双曲线C的标准方程是 ． 【典例2-2】（2024·高二·全国·课后作业）（1）若双曲线过点，离心率，则其标准方程为 ． （2）若双曲线过点，渐近线方程是，则其标准方程为 ． （3）若双曲线与双曲线有共同的渐近线，且经过点，则其标准方程为 ． 【变式2-1】（2024·高二·浙江·期末）在下列条件下求双曲线标准方程. （1）经过两点，； （2）焦点在轴上，双曲线上点到两焦点距离之差的绝对值为，且经过点. 【变式2-2】（2024·高二·陕西延安·期末）在下列条件下求双曲线标准方程 （1）经过两点； （2），经过点，焦点在轴上. 【变式2-3】（2024·高二·福建泉州·期中）已知等轴双曲线的一个焦点为.求等轴双曲线的标准方程； 题型三：双曲线的综合问题 【典例3-1】（多选题）（2024·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过原点的直线与双曲线交于A，B两点，若四边形为矩形且，则下列正确的是（    ） A． B．E的渐近线方程为 C．矩形的面积为 D．E的离心率为 【典例3-2】（多选题）（2024·江西·高二校联考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线上，下列结论正确的是（    ） A． B．双曲线的渐近线方程为 C．存在点，满足 D．点到两渐近线的距离的乘积为 【变式3-1】（多选题）（2024·江西吉安·高二永丰县永丰中学校考期中）双曲线C：的左右焦点分别是，，左右顶点分别是A，B，两渐近线分别是，，M在双曲线C上，其中O是坐标原点，则下列说法正确的是（    ） A．焦点到渐近线的距离是3 B．若，则的面积是9 C．直线的斜率为，直线的斜率为，则 D．过右顶点B作的平行线交于P点，若的面积为3，则双曲线的离心率为 【变式3-2】（多选题）（2024·全国·高二期中）已知为坐标原点，双曲线的左焦点关于的一条渐近线的对称点恰好在上，若直线交的左半支于点，则（    ） A．的渐近线方程为 B．的面积为 C． D．是等腰三角形 【变式3-3】（多选题）（2024·广东深圳·高二统考期末）已知、分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的动点，，，点到双曲线一条渐近线的距离为，则下列选项正确的有（    ） A．双曲线的实轴长为 B．双曲线的离心率为 C．的最小值为 D． 题型四：轨迹方程 【典例4-1】（2024·高二·全国·随堂练习）如图，在矩形中，把边AB分成n等份．在边的延长线上，的n分之一为单位长度连续取点．过边AB上各分点和作直线，过延长线上的对应分点和点A作直线，这两条直线的交点为P，P在什么曲线上运动？    【典例4-2】（2024·高二·全国·课堂例题）动点与定点的距离和它到定直线距离的比是常数，求动点M的轨迹. 【变式4-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知动点M与两定点，构成，且直线，的斜率之积为4，求动点M的轨迹方程. 【变式4-2】（2024·高二·全国·课后作业）求下列动圆的圆心的轨迹方程： (1)与圆和圆都内切； (2)与圆内切，且与圆外切； (3)在中，，，直线，的斜率之积为，求顶点的轨迹方程. 【变式4-3】（2024·高三·全国·专题练习）已知圆，圆，动圆与圆、圆都外切．圆心的轨迹为曲线.求的方程； 【变式4-4】（2024·高三·全国·专题练习）已知圆M：上动点Q，若，线段QN的中垂线与直线QM交点为P．求交点P的轨迹C的方程； 【变式4-5】（2024·高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，设动点的轨迹为曲线.求曲线的方程； 【变式4-6】（2024·高二·四川内江·阶段练习）如图所示，已知定圆：，定圆：，动圆与定圆，都外切，求动圆圆心的轨迹方程． 题型五：双曲线的简单几何性质 【典例5-1】（多选题）（2024·高二·山东烟台·阶段练习）已知曲线（    ）. A．若，则是椭圆，其焦点在轴上 B．若，则是圆，其半径为 C．若，则是双曲线，其渐近线方程为 D．若，则是两条直线 【典例5-2】（多选题）（2024·高二·福建泉州·阶段练习）若双曲线的一个焦点关于其一条渐近线的对称点在双曲线上，且直线与圆相切，则下列结论中正确的是（    ） A．的实轴长为 B．的虚轴长为 C．的渐近线方程为 D．的离心率为2 【变式5-1】（多选题）（2024·高二·四川宜宾·阶段练习）两数1，9的等差中项是，等比中项是，则曲线的离心率可能是 （  ） A． B． C． D． 【变式5-2】（多选题）（2024·高二·江苏南京·阶段练习）已知，则关于双曲线与双曲线，下列说法中正确的是（     ）. A．有相同的焦距 B．有相同的焦点 C．有相同的离心率 D．有相同的渐近线 【变式5-3】（多选题）（2024·高二·江西·阶段练习）双曲线与的离心率分别为和，则下列结论正确的是（    ） A．的焦点在x轴上，的焦点在y轴上 B．的焦点到其渐近线的距离与的焦点到其渐近线的距离相等 C．的最小值为 D． 题型六：求双曲线的离心率 【典例6-1】（2024·广东广州·一模）已知双曲线的一条渐近线过点，则的离心率为（　　） A． B． C． D．3 【典例6-2】（2024·高二·辽宁大连·期末）已知双曲线的左焦点为F，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，并与双曲线C交于点B，且有，则双曲线C的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【变式6-1】（2024·高二·北京大兴·期末）已知是双曲线与椭圆的左､右公共焦点，是在第一象限内的公共点，若，则的离心率是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2024·高二·陕西咸阳·阶段练习）双曲线：的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D．4 【变式6-3】（2024·高三·浙江宁波·期末）已知为双曲线：的一个焦点，C上的A，B两点关于原点对称，且，，则C的离心率是（    ） A． B． C． D． 【变式6-4】（2024·高二·全国·期末）已知双曲线的左、右焦点为，，若双曲线右支上存在点，使得线段被直线垂直平分，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式6-5】（2024·高二·江苏镇江·期末）双曲线C：（）的左，右焦点分别为，，过的直线l与双曲线的右支相交于A，B两点，的内切圆圆心的横坐标为1，则双曲线C的离心率为  （      ） A． B． C．2 D．3 题型七：求双曲线离心率的取值范围 【典例7-1】（2024·高二·浙江·期末）已知双曲线左，右焦点分别为，若双曲线左支上存在点使得，则离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例7-2】（2024·高二·广东江门·期末）设双曲线的离心率为，双曲线渐近线的斜率的绝对值小于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2024·高二·安徽马鞍山·阶段练习）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，M为双曲线右支上的一点，若M在以为直径的圆上，且，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2024·高二·河北邢台·期中）若双曲线的离心率大于，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2024·高二·江苏南京·期末）已知圆的一条切线与双曲线C：（，）有两个交点，则双曲线C离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-4】（2024·高二·广东·阶段练习）设椭圆与双曲线的离心率分别为，若椭圆的焦距大于双曲线的虚轴长，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-5】（2024·高二·山东·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且，则双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型八：由双曲线离心率求参数的取值范围 【典例8-1】（2024·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知，是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，，若C的离心率为，则的值为______． 【典例8-2】（2024·江苏·高二统考期末）设为实数，已知双曲线的离心率，则的取值范围为_____________ 【变式8-1】（2024·全国·高二专题练习）焦点在轴上的双曲线的离心率为，则的值为___________. 【变式8-2】（2024·全国·高二专题练习）若双曲线的离心率不大于，则C的虚轴长的取值范围为___________. 【变式8-3】（2024·高二课时练习）中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为________. 【变式8-4】（2024·四川宜宾·高二校考阶段练习）已知双曲线的离心率为2，则点到的渐近线的距离为______. 题型九：双曲线中的范围与最值问题 【典例9-1】（2024·高二·云南楚雄·期末）已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（    ） A．7 B．6 C．5 D． 【典例9-2】（2024·青海玉树·模拟预测）已知，为双曲线的左、右焦点，点P是C的右支上的一点，则的最小值为（    ） A．16 B．18 C． D． 【变式9-1】（2024·高二·山西晋中·期末）已知双曲线的左焦点为，点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为（    ） A．5 B． C．7 D．8 【变式9-2】（2024·高二·浙江金华·阶段练习）已知圆上有一动点，双曲线的左焦点为，且双曲线的右支上有一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（2024·高二·宁夏石嘴山·阶段练习）已知，双曲线C：的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式9-4】（2024·江西赣州·一模）已知点，双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上运动.当的周长最小时，（    ） A． B． C． D． 【变式9-5】（2024·广东肇庆·二模）已知为双曲线的左焦点，为其右支上一点，点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式9-6】（2024·江西鹰潭·二模）已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为F，点P在双曲线右支上运动，点Q在圆上运动，则的最小值为（    ） A． B．8 C． D．9 题型十：焦点三角形 【典例10-1】（2024·高二·贵州安顺·期末）已知双曲线的左焦点为F，点P在双曲线C的右支上，M为线段FP的中点，若M到坐标原点的距离为7，则（    ） A．8或20 B．20 C．6或22 D．22 【典例10-2】（2024·高二·四川成都·阶段练习）设，分别是双曲线的下、上焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（　　） A．12 B．24 C． D． 【变式10-1】（2024·高三·重庆沙坪坝·期中）设双曲线的左､右焦点分别为，点在的右支上，且，则的面积为（    ） A．2 B． C． D． 【变式10-2】（2024·高二·四川资阳·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线经过且与的右支相交于A，B两点，若，则的周长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式10-3】（2024·高二·河南洛阳·期末）如图，，分别是双曲线的左、右焦点，，点在双曲线的右支上，的延长线与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则此双曲线的渐近线方程为（    ）    A． B． C． D． 【变式10-4】（2024·河南安阳·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，，P为C上一点，的中点为Q，为等边三角形，则双曲线C的方程为（    ）． A． B． C． D． 【过关测试】 1．（2024·高二·广西玉林·期末）已知点，则满足下列关系式的动点的轨迹是双曲线的下支的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·高二·北京通州·期末）已知P为双曲线右支上一点，为双曲线的左右焦点，等于（    ） A．8 B．6 C．4 D．3 3．（2024·高二·山东烟台·期末）已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，过点作直线l与C交于两点A，B（点B在第一象限），线段的垂直平分线过点，点到直线l的距离为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·全国·二模）如图，平面四边形中，，.若是椭圆和双曲线的两个公共焦点，是与的两个交点，则与的离心率之积为（    ） A． B． C．2 D．3 5．（2024·高二·广东·阶段练习）已知双曲线的左，右焦点分别为、，焦距为．若以线段为直径的圆与直线有交点，则双曲线C的离心率取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·高三·河南许昌·开学考试）已知双曲线的左焦点为，M为双曲线C右支上任意一点，D点的坐标为，则的最大值为（    ） A．3 B．1 C． D． 7．（2024·全国·一模）已知分别是双曲线的左、右焦点，动点P在双曲线的左支上，点Q为圆上一动点，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C． D．5 8．（2024·高二·河北保定·期末）已知为双曲线的左，右焦点，为坐标原点，为双曲线上一点，且，则到轴的距离为（   ） A．2 B． C． D． 9．（2024·高二·福建莆田·阶段练习）设，分别是双曲线的左右焦点，过作轴的垂线与交于，两点，若为正三角形，则的面积为（    ） A． B．4 C． D．3 10．（多选题）（2024·高二·安徽六安·开学考试）已知双曲线：的左，右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率可能的值为（    ） A． B． C． D． 11．（多选题）（2024·江苏南通·二模）已知双曲线的右焦点为F，直线是C的一条渐近线，P是l上一点，则（　　） A．C的虚轴长为 B．C的离心率为 C．的最小值为2 D．直线PF的斜率不等于 12．（多选题）（2024·高二·湖南·开学考试）关于曲线，下列叙述正确的是（    ） A．当时，曲线表示的图形是一个焦点在轴上的椭圆 B．当时，曲线表示的图形是一个焦点在轴上的双曲线，且焦距为4 C．当时，曲线表示的图形是一个椭圆 D．当或时，曲线表示的图形是双曲线 13．（2024·高二·上海·期末）以点为焦点，且渐近线为的双曲线标准方程是 ． 14．（2024·高二·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知圆，圆，若动圆M与圆均外切，则动圆圆心的轨迹方程为 . 15．（2024·高二·河北张家口·阶段练习）已知圆与圆和圆均外切，则点的轨迹方程为 . 16．（2024·高二·广东广州·阶段练习）已知点为圆上的动点，点，延长至，使得，线段的垂直平分线交直线于点，记的轨迹为.则的方程为 . 17．（2024·高二·辽宁本溪·阶段练习）已知椭圆的方程为，其左､右顶点分别为，一条垂直于轴的直线交椭圆于两点，直线与直线相交于点，则点的轨迹方程为 . 18．（2024·高二·广东深圳·期中）已知双曲线的离心率是双曲线的两个焦点，且 (1)求双曲线的标准方程； (2)求双曲线渐近线方程. 19．（2024·高二·全国·课后作业）求以椭圆的焦点为顶点，且过点的双曲线标准方程． 20．（2024·高二·四川攀枝花·期末）已知双曲线与椭圆有公共焦点，且它的一条渐近线方程为. (1)求椭圆的焦点坐标； (2)求双曲线的标准方程． 21．（2024·高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点．若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 双曲线 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：双曲线的定义 在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线．这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距． 知识点诠释： 1、 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2、若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 3、 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； 4、若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5、若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线． 知识点二：双曲线的标准方程 1、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中； 2、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中 椭圆、双曲线的区别和联系： 椭圆 双曲线 根据|MF1|+|MF2|=2a 根据|MF1|－|MF2|=±2a a＞c＞0， a2－c2=b2（b＞0） 0＜a＜c， c2－a2=b2（b＞0） ， （a＞b＞0） ， （a＞0，b＞0，a不一定大于b） （a最大） （c最大） 标准方程统一为： 方程Ax2+By2=C（A、B、C均不为零）表示双曲线的条件 方程Ax2+By2=C可化为，即， 所以只有A、B异号，方程表示双曲线． 当时，双曲线的焦点在x轴上； 当时，双曲线的焦点在y轴上． 知识点诠释： 3、当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方程形式．此时，双曲线的焦点在坐标轴上． 4、双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c＞a，c＞b，且c2=b2+a2． 5、双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的系数，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上． 6、对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上． 知识点三：求双曲线的标准方程 ①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数、、的值．其主要步骤是“先定型，再定量”； ②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程． 知识点四：双曲线的简单几何性质 双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质 范围 双曲线上所有的点都在两条平行直线x=-a和x=a的两侧，是无限延伸的．因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a． 对称性 对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成-x，或把y换成-y，或把x、y同时换成-x、-y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心． 顶点 ①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点． ②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为 A1（-a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点． ③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1（0，-b），B2（0，b）为y轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴．实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a，|B1B2|=2b．a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长． ①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆． ②双曲线的焦点总在实轴上． ③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 离心率 ①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作． ②因为c＞a＞0，所以双曲线的离心率． 由c2=a2+b2，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔．所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度． ③等轴双曲线，所以离心率． 渐近线 经过点A2、A1作y轴的平行线x=±a，经过点B1、B2作x轴的平行线y=±b，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是． 我们把直线叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交． 知识点四：双曲线两个标准方程几何性质的比较 标准方程 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 轴 实轴长=，虚轴长= 离心率 渐近线方程 知识点诠释：双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的系数，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上． 对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上． 知识点五：双曲线的渐近线 （1）已知双曲线方程求渐近线方程： 若双曲线方程为，则其渐近线方程为 已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程． （2）已知渐近线方程求双曲线方程： 若双曲线渐近线方程为，则可设双曲线方程为，根据已知条件，求出即可． （3）与双曲线有公共渐近线的双曲线 与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上） （4）等轴双曲线的渐近线 等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为，因此等轴双曲线可设为． 知识点六：双曲线中a，b，c的几何意义及有关线段的几何特征： 双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c＞b＞0，c＞a＞0，且c2=b2+a2． 双曲线，如图： （1）实轴长，虚轴长，焦距， （2）离心率：； （3）顶点到焦点的距离：，； 【典例例题】 题型一：双曲线的定义、条件 【典例1-1】（2024·高二·湖北武汉·期中）平面内到两定点、的距离之差等于10的点的轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．以上选项都不对 【答案】D 【解析】因为、，所以， 而平面内到两定点、的距离之差等于的点的轨迹为一条射线. 故选：D 【典例1-2】（2024·高三·全国·专题练习）已知动点满足，则动点的轨迹是（    ） A．射线 B．直线 C．椭圆 D．双曲线的一支 【答案】A 【解析】设，由题意知动点M满足|，故动点M的轨迹是射线. 故选：A. 【变式1-1】（2024·高二·全国·课后作业）相距的两地，听到炮弹爆炸的时间相差．若声速为每秒，则炮弹爆炸点的轨迹可能是（    ） A．圆 B．双曲线 C．椭圆 D．直线 【答案】B 【解析】由已知条件可得． 根据双曲线的定义可知，点在以为焦点，实轴长为的双曲线上. 故选：B． 【变式1-2】（2024·高二·江苏常州·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线上，，则（    ） A．13 B．10 C．1 D．13或1 【答案】A 【解析】由题意得焦距为，由双曲线定义可得， 所以或，又因为在双曲线中，所以，故A正确. 故选：A. 【变式1-3】（2024·高二·广东河源·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点是的左支上一点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据双曲线标准方程可知， 由双曲线定义可得， 又为左焦点，点是的左支上一点，所以， 可得. 故选：B 题型二：求双曲线的标准方程 【典例2-1】（2024·高二·辽宁朝阳·阶段练习）若双曲线C与双曲线有相同的渐近线，且经过点，则双曲线C的标准方程是 ． 【答案】 【解析】由双曲线C与双曲线有相同的渐近线， 可设双曲线C的方程为，又C过点， 所以，， 整理得双曲线C的标准方程是． 故答案为： 【典例2-2】（2024·高二·全国·课后作业）（1）若双曲线过点，离心率，则其标准方程为 ． （2）若双曲线过点，渐近线方程是，则其标准方程为 ． （3）若双曲线与双曲线有共同的渐近线，且经过点，则其标准方程为 ． 【答案】 【解析】（1）由，设，则，． 设所求双曲线的方程为①或②， 把代入①，得，与矛盾，舍去； 把代入②，得． ∴所求双曲线的标准方程为． （2）由渐近线方程，可设所求双曲线的方程为①， 将点的坐标代入①式，得， ∴所求双曲线的标准方程为． （3）设所求双曲线的方程为， 点在双曲线上， ∴，即， ∴双曲线的标准方程为． 故答案为：；；. 【变式2-1】（2024·高二·浙江·期末）在下列条件下求双曲线标准方程. （1）经过两点，； （2）焦点在轴上，双曲线上点到两焦点距离之差的绝对值为，且经过点. 【解析】（1）由于双曲线过点，则该双曲线的焦点在轴上， 设双曲线标准方程为， 由题意可得，解得， 因此，所求双曲线的标准方程为； （2）由双曲线的焦点在轴上，可设双曲线的标准方程为， 由双曲线的定义可得，则，所以，双曲线的标准为， 将点的坐标代入双曲线的标准方程得，解得， 因此，所求双曲线的标准方程为. 【变式2-2】（2024·高二·陕西延安·期末）在下列条件下求双曲线标准方程 （1）经过两点； （2），经过点，焦点在轴上. 【解析】（1）由于双曲线过点，故且焦点在轴上，设方程为，代入得，解得，故双曲线的方程为.（2）由于双曲线焦点在轴上，故设双曲线方程为.将点代入双曲线方程得，解得，故双曲线的方程为. 【变式2-3】（2024·高二·福建泉州·期中）已知等轴双曲线的一个焦点为.求等轴双曲线的标准方程； 【解析】由题意设双曲线的标准方程为，则，所以， 则双曲线的标准方程为． 题型三：双曲线的综合问题 【典例3-1】（多选题）（2024·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过原点的直线与双曲线交于A，B两点，若四边形为矩形且，则下列正确的是（    ） A． B．E的渐近线方程为 C．矩形的面积为 D．E的离心率为 【答案】AD 【解析】不妨设点A在第一象限，如图，由题意可得：四边形为矩形，    由双曲线的定义可得：，则， 对A：∵四边形为矩形，则，A正确； 对B：由选项A可得：，则，， 注意到双曲线E的焦点在x轴上，则E的渐近线方程为，B错误； 对C：矩形的面积为，C错误； 对D：由A选项知，，所以，D正确. 故选：AD. 【典例3-2】（多选题）（2024·江西·高二校联考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线上，下列结论正确的是（    ） A． B．双曲线的渐近线方程为 C．存在点，满足 D．点到两渐近线的距离的乘积为 【答案】BD 【解析】对于A选项，因为，，则， 所以，双曲线的方程为，则，A错； 对于B选项，双曲线的渐近线方程为，B对； 对于C选项，若存在点，使得，则点必在双曲线的右支上， 由双曲线的定义可得，可得， 设点，则，则 ，矛盾， 故不存在点，使得，C错； 对于D选项，设点，则， 则点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 所以，，D对. 故选：BD. 【变式3-1】（多选题）（2024·江西吉安·高二永丰县永丰中学校考期中）双曲线C：的左右焦点分别是，，左右顶点分别是A，B，两渐近线分别是，，M在双曲线C上，其中O是坐标原点，则下列说法正确的是（    ） A．焦点到渐近线的距离是3 B．若，则的面积是9 C．直线的斜率为，直线的斜率为，则 D．过右顶点B作的平行线交于P点，若的面积为3，则双曲线的离心率为 【答案】ABD 【解析】因为焦点到渐近线的距离是，故A正确； 时，则，故， 由勾股定理得 得， 则，所以， 由三角形的面积公式可得，故B正确； 当时，，当M在右顶点时，，故不是定值，故C错误； 过右顶点B作的平行线交：于P点，则，故， 则的面积为，解得，则双曲线的离心率为，故D正确， 故选：ABD. 【变式3-2】（多选题）（2024·全国·高二期中）已知为坐标原点，双曲线的左焦点关于的一条渐近线的对称点恰好在上，若直线交的左半支于点，则（    ） A．的渐近线方程为 B．的面积为 C． D．是等腰三角形 【答案】AC 【解析】如图，设与渐近线交于点，为双曲线的右焦点，则为线段的中点， 又因为为的中点，所以，， 双曲线的左焦点为，则点到直线的距离为， 即，则，由双曲线的定义可得，则， 在中，由勾股定理可得， 即，整理可得， 所以，双曲线的渐近线方程为，A对； ，， 所以，，B错； 设，则，， 在直角中有，，即， 解得，则，，所以，C对； 设双曲线的半焦距为，则， 因为，为的中点，所以，，， 因为，为线段上一点（不与线段端点重合），则为锐角， 故为钝角，则在中，，所以，， 所以，不是等腰三角形，D错. 故选：AC. 【变式3-3】（多选题）（2024·广东深圳·高二统考期末）已知、分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的动点，，，点到双曲线一条渐近线的距离为，则下列选项正确的有（    ） A．双曲线的实轴长为 B．双曲线的离心率为 C．的最小值为 D． 【答案】BCD 【解析】对于A选项，由双曲线的定义可得，可得， 所以，双曲线的实轴长为，A错； 对于B选项，因为，则，所以，双曲线的离心率为，B对； 对于C选项，因为，故点在双曲线的右支上， 易知，则双曲线的方程为， 设点，则，易知点，且，可得， 所以， ，当且仅当时，等号成立，C对； 对于D选项，双曲线的渐近线方程为，即， 所以，双曲线的焦点到渐近线的距离为，D对. 故选：BCD. 题型四：轨迹方程 【典例4-1】（2024·高二·全国·随堂练习）如图，在矩形中，把边AB分成n等份．在边的延长线上，的n分之一为单位长度连续取点．过边AB上各分点和作直线，过延长线上的对应分点和点A作直线，这两条直线的交点为P，P在什么曲线上运动？    【解析】设，取所在的直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系， 设第组对应直线与的交点为，且点在第一象限， 则，，，， 直线的方程为，① 直线的方程为，② 点坐标满足方程①②， ①②相乘得，即（点在第一象限）， 所以点在双曲线的右支上半部分上运动.     . 【典例4-2】（2024·高二·全国·课堂例题）动点与定点的距离和它到定直线距离的比是常数，求动点M的轨迹. 【解析】设d是点M到直线l的距离， 根据题意，动点M的轨迹就是点的集合，则. 将上式两边平方，并化简，得，即. 所以，点M的轨迹是焦点在x轴上，实轴长为6、虚轴长为的双曲线. 【变式4-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知动点M与两定点，构成，且直线，的斜率之积为4，求动点M的轨迹方程. 【解析】设点，而点，，在中，，又直线，的斜率存在，即， 于是，即，整理得， 所以动点M的轨迹方程. 【变式4-2】（2024·高二·全国·课后作业）求下列动圆的圆心的轨迹方程： (1)与圆和圆都内切； (2)与圆内切，且与圆外切； (3)在中，，，直线，的斜率之积为，求顶点的轨迹方程. 【解析】（1）圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 因为，则圆与圆外离， 设圆的半径为，由题意可得，所以， 所以圆心的轨迹是以点、分别为上、下焦点的双曲线的下支， 设圆心的轨迹方程为， 由题意可得，则，， 因此圆心的轨迹方程为. （2）圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 因为，则圆与圆外离， 设圆的半径为，由题意可得，所以， 所以圆心的轨迹是以点、分别为左、右焦点的双曲线的左支， 设圆心的轨迹方程为， 由题意可得，则，， 因此圆心的轨迹方程为. （3）设，则，， 根据题意有， 化简得 ∴顶点的轨迹方程为. 【变式4-3】（2024·高三·全国·专题练习）已知圆，圆，动圆与圆、圆都外切．圆心的轨迹为曲线.求的方程； 【解析】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 设动圆的半径为，因为动圆与圆，圆都外切， 所以 所以， 所以点在以，为焦点，以为实轴长的双曲线的右支上， 设双曲线的方程为， 所以，所以， 注意圆与圆外切于点，所以不可能为， 所以的方程为 【变式4-4】（2024·高三·全国·专题练习）已知圆M：上动点Q，若，线段QN的中垂线与直线QM交点为P．求交点P的轨迹C的方程； 【解析】由题知，所以 由双曲线定义可知点P的轨迹为双曲线，其中，得曲线C的方程 【变式4-5】（2024·高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，设动点的轨迹为曲线.求曲线的方程； 【解析】由题设得， 即， 整理得. 所以曲线的方程为. 【变式4-6】（2024·高二·四川内江·阶段练习）如图所示，已知定圆：，定圆：，动圆与定圆，都外切，求动圆圆心的轨迹方程． 【解析】圆：，圆心，半径； 圆：，圆心，半径． 设动圆的半径为， 则有，， ∴． ∴点的轨迹是以，为焦点的双曲线的左支， 且，，于是． ∴动圆圆心的轨迹方程为． 题型五：双曲线的简单几何性质 【典例5-1】（多选题）（2024·高二·山东烟台·阶段练习）已知曲线（    ）. A．若，则是椭圆，其焦点在轴上 B．若，则是圆，其半径为 C．若，则是双曲线，其渐近线方程为 D．若，则是两条直线 【答案】CD 【解析】对于A，若，则， 所以表示焦点在轴上的椭圆，故A错误； 对于B，若，则是圆，其半径为，故B错误； 对于C，若，则是双曲线， 令，得， 所以双曲线的渐近线方程为，故C正确； 对于D，若，则，即， 所以是两条直线，故D正确. 故选：CD. 【典例5-2】（多选题）（2024·高二·福建泉州·阶段练习）若双曲线的一个焦点关于其一条渐近线的对称点在双曲线上，且直线与圆相切，则下列结论中正确的是（    ） A．的实轴长为 B．的虚轴长为 C．的渐近线方程为 D．的离心率为2 【答案】AC 【解析】不妨设，设该渐近线方程为，即， 设与该渐近线的交点为，则到该渐近线的距离， 又，，又直线与圆相切，， 设另外一个焦点为，则，， 又，，，又，， 双曲线的实轴长为，虚轴长为，A选项正确，B选项错误； 渐近线方程为，离心率为，C选项正确，D选项错误． 故选：AC． 【变式5-1】（多选题）（2024·高二·四川宜宾·阶段练习）两数1，9的等差中项是，等比中项是，则曲线的离心率可能是 （  ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】由已知得，则， 当时，曲线为椭圆，离心率为， 当时，曲线为双曲线，离心率为， 故选：AB. 【变式5-2】（多选题）（2024·高二·江苏南京·阶段练习）已知，则关于双曲线与双曲线，下列说法中正确的是（     ）. A．有相同的焦距 B．有相同的焦点 C．有相同的离心率 D．有相同的渐近线 【答案】AC 【解析】由双曲线，可得，则焦距为， 焦点坐标为，渐近线方程为，离心率为； 又由双曲线，可得，则焦距为， 焦点坐标为，渐近线方程为，离心率为， 所以双曲线和有相同的焦距，离心率相同，焦点坐标和渐近线方程不同. 故选：AC. 【变式5-3】（多选题）（2024·高二·江西·阶段练习）双曲线与的离心率分别为和，则下列结论正确的是（    ） A．的焦点在x轴上，的焦点在y轴上 B．的焦点到其渐近线的距离与的焦点到其渐近线的距离相等 C．的最小值为 D． 【答案】AC 【解析】对于A中，根据双曲线的标准方程的形式，可判定A正确； 对于B中，由双曲线的几何性质，可得的焦点到其渐近线的距离为，的焦点到其渐近线的距离为，所以B错误； 对于C中，由， 当且仅当时，等号成立，所以C正确； 对于D中，由（不是定值），当且仅当时，等号成立，所以D错误． 故选：AC 题型六：求双曲线的离心率 【典例6-1】（2024·广东广州·一模）已知双曲线的一条渐近线过点，则的离心率为（　　） A． B． C． D．3 【答案】C 【解析】双曲线的渐近线方程为，依题意，，解得， 所以双曲线的离心率. 故选：C 【典例6-2】（2024·高二·辽宁大连·期末）已知双曲线的左焦点为F，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，并与双曲线C交于点B，且有，则双曲线C的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解析】不妨设双曲线的一条渐近线为, 因为左焦点,所以直线的方程为,与 两式联立可得, 设，因为, 即，所以, 将点坐标代入双曲线方程得：, 上式整理得,即离心率. 故选：A. 【变式6-1】（2024·高二·北京大兴·期末）已知是双曲线与椭圆的左､右公共焦点，是在第一象限内的公共点，若，则的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 由知， 所以， ∵，∴，∴， ∵，∴的离心率是. 故选：A. 【变式6-2】（2024·高二·陕西咸阳·阶段练习）双曲线：的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【解析】双曲线的渐近线为， 圆的圆心为，半径为， 由于渐近线和圆相切，所以， 解得. 故选：B 【变式6-3】（2024·高三·浙江宁波·期末）已知为双曲线：的一个焦点，C上的A，B两点关于原点对称，且，，则C的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】不妨设分别为双曲线的左右焦点，连接， 因为A，B两点关于原点对称，所以为平行四边形，所以， 因为，， 所以. 因为，所以； 在中，由余弦定理可得， 因为，所以，即. 故选：D 【变式6-4】（2024·高二·全国·期末）已知双曲线的左、右焦点为，，若双曲线右支上存在点，使得线段被直线垂直平分，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 如图所示， 设直线交于， 连接，， 由已知线段被直线垂直平分， 可知，， 所以， 所以是以为斜边的直角三角形， 又直线的斜率为， 可得，所以， 所以， 由双曲线定义可知，即， 所以， 整理可得， 故选：A. 【变式6-5】（2024·高二·江苏镇江·期末）双曲线C：（）的左，右焦点分别为，，过的直线l与双曲线的右支相交于A，B两点，的内切圆圆心的横坐标为1，则双曲线C的离心率为  （      ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【解析】如图所示，设的外接圆与及轴分别切于点， 则 因为的内切圆圆心的横坐标为1，即， 由双曲线的定义，可得，可得， 所以，又由， 所以，解得，则， 所以双曲线的离心率为. 故选：C. 题型七：求双曲线离心率的取值范围 【典例7-1】（2024·高二·浙江·期末）已知双曲线左，右焦点分别为，若双曲线左支上存在点使得，则离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意：. 故选：A 【典例7-2】（2024·高二·广东江门·期末）设双曲线的离心率为，双曲线渐近线的斜率的绝对值小于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，有，即，由， 得，所以，即的取值范围是. 故选：B 【变式7-1】（2024·高二·安徽马鞍山·阶段练习）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，M为双曲线右支上的一点，若M在以为直径的圆上，且，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于M在以为直径的圆上，故， 设，则，， 根据双曲线的定义， 所以， 所以，， 所以， 故在单调递增， 当时，， 当时，， 所以，所以， 故选：D． 【变式7-2】（2024·高二·河北邢台·期中）若双曲线的离心率大于，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，得． 故选：C. 【变式7-3】（2024·高二·江苏南京·期末）已知圆的一条切线与双曲线C：（，）有两个交点，则双曲线C离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由可得圆心，半径， 则圆心到切线的距离， 解得：，所以切线方程为， 因为与双曲线有两个交点， 所以，所以， 即双曲线的离心率的取值范围为. 故选：A. 【变式7-4】（2024·高二·广东·阶段练习）设椭圆与双曲线的离心率分别为，若椭圆的焦距大于双曲线的虚轴长，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由椭圆知：， 所以， 又双曲线知：， 所以， 所以， 因为椭圆的焦距大于双曲线的虚轴长， 所以， 所以， 所以，即， 所以 故选：B. 【变式7-5】（2024·高二·山东·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且，则双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为点在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得， 又，所以，即，则， 因为双曲线中，， 即，则，即， 又双曲线的离心率大于，所以. 故选：A. 题型八：由双曲线离心率求参数的取值范围 【典例8-1】（2024·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知，是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，，若C的离心率为，则的值为______． 【答案】3 【解析】由及双曲线的定义可得， 所以，，因为，在中， 由余弦定理可得， 即，所以， 即，解得或（舍去）. 故答案为：3 【典例8-2】（2024·江苏·高二统考期末）设为实数，已知双曲线的离心率，则的取值范围为_____________ 【答案】 【解析】因为表示双曲线的方程， 所以有，因此， 因为， 所以由 ， 即k的取值范围为， 故答案为：. 【变式8-1】（2024·全国·高二专题练习）焦点在轴上的双曲线的离心率为，则的值为___________. 【答案】 【解析】双曲线的标准方程为，由题意可得，则，，， 所以，，解得. 故答案为：. 【变式8-2】（2024·全国·高二专题练习）若双曲线的离心率不大于，则C的虚轴长的取值范围为___________. 【答案】 【解析】因为，所以， 所以，所以，解得， 则，故虚轴长. 故答案为：. 【变式8-3】（2024·高二课时练习）中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为________. 【答案】 【解析】由题意，社区向的中心在坐标原点，离心率为，且焦点在y轴上， 可得＝，则＝＝，整理得＝，解得＝， 所以，所以双曲线的渐近线方程为. 故答案为：. 【变式8-4】（2024·四川宜宾·高二校考阶段练习）已知双曲线的离心率为2，则点到的渐近线的距离为______. 【答案】3 【解析】由题意，双曲线的离心率为2， 即，解得， 所以双曲线的一条渐近线的方程为，即， 所以点到的渐近线的距离为. 题型九：双曲线中的范围与最值问题 【典例9-1】（2024·高二·云南楚雄·期末）已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（    ） A．7 B．6 C．5 D． 【答案】B 【解析】由圆可化为，则，半径为1， 因为是的下焦点，则， 由双曲线定义可得， 所以， 当且仅当四点共线时，取得最小值，即的最小值是. 故选：B. 【典例9-2】（2024·青海玉树·模拟预测）已知，为双曲线的左、右焦点，点P是C的右支上的一点，则的最小值为（    ） A．16 B．18 C． D． 【答案】A 【解析】因为，为双曲线的左、右焦点，P是C的右支上的一点， 所以， 所以 ，当且仅当，即时，等号成立； 因为，所以，所以成立，的最小值为16. 故选：A. 【变式9-1】（2024·高二·山西晋中·期末）已知双曲线的左焦点为，点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为（    ） A．5 B． C．7 D．8 【答案】C 【解析】记双曲线的右焦点为，所以， 当且仅当点为线段与双曲线的交点时，取到最小值． 故选：C． 【变式9-2】（2024·高二·浙江金华·阶段练习）已知圆上有一动点，双曲线的左焦点为，且双曲线的右支上有一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 在双曲线中，，， ，， 设双曲线的右焦点为，则， 在双曲线的右支上， ，即， 由题知，圆心，半径，在圆上， ， 则， 当，，三点共线且Q位于另两点之间时，取得最小值为， 此时， 的最小值为. 故选：D. 【变式9-3】（2024·高二·宁夏石嘴山·阶段练习）已知，双曲线C：的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若C为双曲线右焦点C(3,0)，则，|AC|=5, 而，仅当共线且在之间时等号成立， 所以，当共线且在之间时等号成立. 故选：D 【变式9-4】（2024·江西赣州·一模）已知点，双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上运动.当的周长最小时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由双曲线得到,,，左焦点， 设右焦点.当的周长最小时，取到最小值，所以只需求出的最小值即可. ===. 故选：C. 【变式9-5】（2024·广东肇庆·二模）已知为双曲线的左焦点，为其右支上一点，点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设双曲线的右焦点为，由双曲线的方程可得：，则， 所以，且，所以， 的周长为， 当且仅当M，P，A三点共线时取等号， 则周长的最小值为． 故选：B． 【变式9-6】（2024·江西鹰潭·二模）已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为F，点P在双曲线右支上运动，点Q在圆上运动，则的最小值为（    ） A． B．8 C． D．9 【答案】B 【解析】由，所以有， 设圆的圆心为，半径为， 设该双曲线另一个焦点为，所以， 求的最小值转化为求的最小值， 因此当点依次共线时，有最小值， 即， 故选：B 题型十：焦点三角形 【典例10-1】（2024·高二·贵州安顺·期末）已知双曲线的左焦点为F，点P在双曲线C的右支上，M为线段FP的中点，若M到坐标原点的距离为7，则（    ） A．8或20 B．20 C．6或22 D．22 【答案】B 【解析】由双曲线方程可知，，，设双曲线的右焦点为， 中，点分别是的中点，所以， 则，又因为. 故选：B 【典例10-2】（2024·高二·四川成都·阶段练习）设，分别是双曲线的下、上焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（　　） A．12 B．24 C． D． 【答案】B 【解析】由双曲线得， 又，且， 得到， 所以， 即为直角三角形， 所以. 故选：B. 【变式10-1】（2024·高三·重庆沙坪坝·期中）设双曲线的左､右焦点分别为，点在的右支上，且，则的面积为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得， 由双曲线定义可得，，， 由余弦定理得， 即，解得， 又，解得， 故. 故选：C 【变式10-2】（2024·高二·四川资阳·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线经过且与的右支相交于A，B两点，若，则的周长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【解析】双曲线的实半轴长， 由双曲线的定义，可得 所以， 则三角形的周长为. 故选：B 【变式10-3】（2024·高二·河南洛阳·期末）如图，，分别是双曲线的左、右焦点，，点在双曲线的右支上，的延长线与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则此双曲线的渐近线方程为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设内切圆与切于点， 与切于点， 则，，， 又由， ， ， ， 又， 则，， 又，， 所以， 所以此双曲线的渐近线方程为. 故选：A 【变式10-4】（2024·河南安阳·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，，P为C上一点，的中点为Q，为等边三角形，则双曲线C的方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设双曲线C的半焦距为．由题可知，即． 因为的中点为Q，为等边三角形， 所以，所以，， 故，所以，， 所以，所以，所以，． 所以双曲线C的方程为． 故选：A 【过关测试】 1．（2024·高二·广西玉林·期末）已知点，则满足下列关系式的动点的轨迹是双曲线的下支的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A中，由，根据双曲线的定义，可得点的轨迹是完整的双曲线，所以A不正确； 对于B中，由，根据双曲线的定义，可得的点的轨迹是双曲线的下支，所以B正确； 对于C中，由，根据双曲线的定义，可得的点的轨迹是双曲线的上支，所以C不正确； 对于D中，由，不存在满足的点，所以D不正确. 故选：B. 2．（2024·高二·北京通州·期末）已知P为双曲线右支上一点，为双曲线的左右焦点，等于（    ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】B 【解析】因为P为双曲线右支上一点，所以. 故选：B. 3．（2024·高二·山东烟台·期末）已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，过点作直线l与C交于两点A，B（点B在第一象限），线段的垂直平分线过点，点到直线l的距离为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设双曲线的半焦距为c，， ，根据题意得到， 又， 故，设的中点为C， 在中，，， 故， 则，， 根据， 可知， 故，可得. 故选：C. 4．（2024·全国·二模）如图，平面四边形中，，.若是椭圆和双曲线的两个公共焦点，是与的两个交点，则与的离心率之积为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【解析】依题意，由对称性知，四边形是等腰梯形，过作于，连接， 则，， 在中，, 所以与的离心率之积为. 故选：C 5．（2024·高二·广东·阶段练习）已知双曲线的左，右焦点分别为、，焦距为．若以线段为直径的圆与直线有交点，则双曲线C的离心率取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】以线段为直径的圆的方程是，与直线有交点，则圆心到直线的距离，则双曲线的离心率. 故选：D 6．（2024·高三·河南许昌·开学考试）已知双曲线的左焦点为，M为双曲线C右支上任意一点，D点的坐标为，则的最大值为（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】C 【解析】设双曲线C的实半轴长为，右焦点为， 所以， 当且仅当M为的延长线与双曲线交点时取等号. 故选：C． 7．（2024·全国·一模）已知分别是双曲线的左、右焦点，动点P在双曲线的左支上，点Q为圆上一动点，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C． D．5 【答案】A 【解析】如图，圆的圆心为，半径为1，，，当，，三点共线时，最小，最小值为，而，所以． 故选：A 8．（2024·高二·河北保定·期末）已知为双曲线的左，右焦点，为坐标原点，为双曲线上一点，且，则到轴的距离为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】由双曲线，可得，则， 设，由双曲线的定义，可得， 根据余弦定理，可得，解得， 再设点的坐标为， 则， 因为，可得，解得， 由，可得，即点到轴的距离为. 故选：C. 9．（2024·高二·福建莆田·阶段练习）设，分别是双曲线的左右焦点，过作轴的垂线与交于，两点，若为正三角形，则的面积为（    ） A． B．4 C． D．3 【答案】A 【解析】∵为正三角形， 设，则，，又双曲线， 则根据双曲线定义得， ∴，即等边三角形的边长为4， 故的面积为. 故选：A. 10．（多选题）（2024·高二·安徽六安·开学考试）已知双曲线：的左，右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率可能的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】 如图，点在双曲线的右支上，且， 由双曲线的定义可得， 解得，， 由，解得， 即，故A、B两项正确，C、D错误． 故选：AB． 11．（多选题）（2024·江苏南通·二模）已知双曲线的右焦点为F，直线是C的一条渐近线，P是l上一点，则（　　） A．C的虚轴长为 B．C的离心率为 C．的最小值为2 D．直线PF的斜率不等于 【答案】AD 【解析】双曲线的渐近线方程为，依题意，，解得， 对于A，的虚轴长，A正确； 对于B，的离心率，B错误； 对于C，点到直线的距离，即的最小值为，C错误； 对于D，直线的斜率为，而点不在上，点在上，则直线PF的斜率不等于，D正确. 故选：AD 12．（多选题）（2024·高二·湖南·开学考试）关于曲线，下列叙述正确的是（    ） A．当时，曲线表示的图形是一个焦点在轴上的椭圆 B．当时，曲线表示的图形是一个焦点在轴上的双曲线，且焦距为4 C．当时，曲线表示的图形是一个椭圆 D．当或时，曲线表示的图形是双曲线 【答案】AD 【解析】对于A，当时，曲线方程为， 所以曲线表示的图形是一个焦点在轴上的椭圆，故A正确； 对于B，当时，曲线方程为， 所以曲线表示的图形是一个焦点在轴上的双曲线，且焦距为，故B错误； 对于C，当时，曲线表示的图形是一个方程为的圆，故C错误； 对于D，当或时，， 所以曲线表示的图形为双曲线，故D正确. 故选：AD 13．（2024·高二·上海·期末）以点为焦点，且渐近线为的双曲线标准方程是 ． 【答案】 【解析】因为双曲线的渐近线方程为，为其焦点， 所以双曲线的焦点在上，可设双曲线的方程为， 则，因为为其焦点， 所以， 所以，故双曲线的标准方程为. 故答案为： 14．（2024·高二·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知圆，圆，若动圆M与圆均外切，则动圆圆心的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径， 设动圆的半径为，由动圆与圆，都外切，得， 则，因此点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支， 设方程为，则， 所以M的轨迹方程为. 故答案为：. 15．（2024·高二·河北张家口·阶段练习）已知圆与圆和圆均外切，则点的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】当圆与圆均外切时，， 所以， 则点的轨迹为双曲线的上支，设轨迹方程为， 则， 则， 所以轨迹方程为. 故答案为：. 16．（2024·高二·广东广州·阶段练习）已知点为圆上的动点，点，延长至，使得，线段的垂直平分线交直线于点，记的轨迹为.则的方程为 . 【答案】 【解析】连接，如下图所示： 因为为的中点，所以， 由垂直平分线的性质可知：， 所以， 所以的轨迹是以为焦点且实轴长为的双曲线， 所以，所以， 所以轨迹方程为， 故答案为：. 17．（2024·高二·辽宁本溪·阶段练习）已知椭圆的方程为，其左､右顶点分别为，一条垂直于轴的直线交椭圆于两点，直线与直线相交于点，则点的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】由题意知， 设直线为，， 由三点共线及三点共线， 得， 两式相乘化简，得， 又， 所以，即， 又，即， 所以点的轨迹方程为. 故答案为： 18．（2024·高二·广东深圳·期中）已知双曲线的离心率是双曲线的两个焦点，且 (1)求双曲线的标准方程； (2)求双曲线渐近线方程. 【解析】（1）由题意，且，解得， 所以双曲线的标准方程为 （2），焦点在轴上， 故渐近线方程为 19．（2024·高二·全国·课后作业）求以椭圆的焦点为顶点，且过点的双曲线标准方程． 【解析】在椭圆中，，，所以，， 所以椭圆的焦点为、， 所以双曲线的顶点为、， 设双曲线方程为， 由题意可得，解得， 所以所求双曲线的标准方程为：. 20．（2024·高二·四川攀枝花·期末）已知双曲线与椭圆有公共焦点，且它的一条渐近线方程为. (1)求椭圆的焦点坐标； (2)求双曲线的标准方程． 【解析】（1）由题设，，又， 所以椭圆的焦点坐标为. （2）由题设，令双曲线为， 由（1）知：，可得， 所以双曲线的标准方程为. 21．（2024·高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点．若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程； 【解析】，即，故，，设，，． 则，，，， 由得即， 于是的中点坐标为． 当不与轴垂直时，，即． 又因为两点在双曲线上，所以，， 两式相减得，即． 将代入上式，化简得． 当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程． 综上所述：点的轨迹方程是． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$