1.2 矩形的性质与判定（10考点·基础巩固）-2024-2025学年九年级数学上册分层考点讲与练（北师大版）

1.2 矩形的性质与判定（基础巩固） 知识点一：矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 【重点说明】 矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 知识点二：矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： 1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 【重点说明】 （1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分. （2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）. （3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. 知识点三：矩形的判定 矩形的判定有三种方法： 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 【重点说明】 在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 知识点四：直角三角形斜边上的中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 【重点说明】 （1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用. （2）学过的直角三角形主要性质有： ①直角三角形两锐角互余； ②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； ③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半. （3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题. 考点一 矩形的有关概念 【例1】矩形具有而菱形不一定具有的性质是（       ） A．两组对边分别平行 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线平分一组对角 【变式1】下列命题正确的是（     ） A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．四条边相等的四边形是矩形 C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形 【变式2】如图，平行四边形的对角线与相交于点，添加一个条件使平行四边形为矩形的是（       ） A． B． C． D． 考点二 用矩形的性质求线段 【例1】如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM//AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为（       ） A．5 B．4 C． D． 【变式1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若，，则AB的长为________． 【变式2】如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为点，且平分，则的长为_____. 考点三 用矩形的性质求角 【例1】如图，在矩形中，对角线与相交于点，若，那么的度数是(       ) A． B． C． D． 【变式1】如果矩形的一边与对角线的夹角为，则两条对角线相交所成的锐角的度数为（        ） A．60° B．70° C．80° D．90° 【变式2】如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=__________度． 考点四 用矩形的性质求面积 【例1】如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，BF∥AC，CF∥BD，若四边形BECF面积为1，则矩形ABCD的面积为（        ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式1】如图,矩形ABCD中,E、F分别为AD、AB上一点,且EF=EC,EF⊥EC,若DE=2,矩形周长为16,则矩形ABCD的面积为_________ 【变式2】已知，如图，四边形ABCD是矩形，AD＞AB． (1)请用无刻度的直尺和圆规在AD上找一点E，使得EC平分∠BED；（不要求写作法，但要保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若AB＝3，DE＝1，求△BEC的面积． 考点五 直角三角形斜边上中线问题 【例1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹判断以下结论正确的是______． ①∠DBC＝∠BDC       ②AE＝BE       ③       ④∠BAE＝∠ACD 【变式1】如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点O是斜边AC的中点，AC＝10，则OB＝（       ） A．5 B．6 C．8 D．10 【变式2】如图，在中，，是AC边上的中线，DE是的中位线，若，则BF的长为（       ） A．6 B．4 C．3 D．5 考点六 利用矩形的性质和判定证明 【例1】如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长． 【变式1】如图，矩形的对角线、相交于点O，过点B作，且，连接，求证：四边形是菱形． 【变式2】如图，已知平行四边形ABCD中，M，N是BD上的两点，且，． (1)求证：四边形AMCN是矩形； (2)若，，AB⊥AC，求四边形ABCD的面积． 考点七 用矩形的性质与判定求线段 【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=2，点P是AB边上的一点（异于A，B两点），过点P分别作AC，BC边的垂线，垂足分别为M，N，连接MN，则MN的最小值是________． 【变式1】数学兴趣小组根据赵爽弦图启发设计了如图图形：其中四边形ABCD为菱形，△ADH、△CBF、△AEB、△CGD均为直角三角形．若AH＝，DH＝1，CG＝2，则EF的长为____． 【变式2】如图，矩形ABCD的对角线AC、BD于点O，，AB=4． (1)求AC、BD的长； (2)求矩形ABCD的面积． 考点八 用矩形的性质与判定求角度 【例1】如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度数． 【变式1】如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD．若DE：BE=3：1，则∠EAO= __________． 【变式2】如图，将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转到矩形 AB′C′D′的位置，旋转角为α(0°＜α＜90°)．若∠1＝112°，则∠α的大小是(       ) A．68° B．20° C．28° D．22° 考点九 用矩形的性质与判定求面积 【例1】在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，过点A作∠DAC的角平分线交BC的延长线于点H，取AH的中点P，连接BP，则S△ABP＝___． 【变式1】在矩形中，、相交于点，若的面积为2，则矩形的面积为（       ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式2】如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，CE∥DB． （1）求证：四边形OBEC是菱形； （2）若AD＝4，AB＝2，求菱形OBEC的面积． 考点十 有关矩形的综合题型 【例1】如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，且与AD边相交于点E，∠AEB＝45°． (1)求证：平行四边形ABCD是矩形； (2)连接CE，若CE，DE＝1，求AD的长． 【变式1】如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，，，且∠ABC=90°． （1）求证：四边形ABCD是矩形． （2）若∠ACB=30°，AB=1，求： ①∠AOB的度数； ②四边形ABCD的面积． 【变式2】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE=DF （1）求证：AE=CF； （2）若AB=6，∠COD=60°，求矩形ABCD的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2 矩形的性质与判定（基础巩固） 知识点一：矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 【重点说明】 矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 知识点二：矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： 1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 【重点说明】 （1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分. （2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）. （3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. 知识点三：矩形的判定 矩形的判定有三种方法： 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 【重点说明】 在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 知识点四：直角三角形斜边上的中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 【重点说明】 （1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用. （2）学过的直角三角形主要性质有： ①直角三角形两锐角互余； ②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； ③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半. （3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题. 考点一 矩形的有关概念 【例1】矩形具有而菱形不一定具有的性质是（       ） A．两组对边分别平行 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线平分一组对角 【答案】B 【分析】根据矩形和菱形的性质得出即可． 【解析】A．因为矩形与菱形都是特殊的平行四边形，所以矩形与菱形的两组对边分别平行，故A不符合题意； B．矩形的对角线相等，而菱形不是，故B符合题意； C．菱形的对角线对角线互相垂直，而矩形不是，故C不符合题意； D．菱形的对角线平分对角，而矩形不是，故D不符合题意； 故选：B． 【点拨】本题考查了矩形与菱形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形与菱形的性质． 【变式1】下列命题正确的是（     ） A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．四条边相等的四边形是矩形 C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形 【答案】A 【分析】运用矩形的判定定理，即可快速确定答案. 【解析】A.有一个角为直角的平行四边形是矩形满足判定条件； B.四条边都相等的四边形是菱形，故B错误； C.有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故C错误; D.对角线相等且相互平分的四边形是矩形，则D错误； 因此答案为：A. 【点拨】本题考查了矩形的判定，矩形的判定方法有：1.有三个角是直角的四边形是矩形；2.对角线互相平分且相等的四边形是矩形；3.有一个角为直角的平行四边形是矩形；4.对角线相等的平行四边形是矩形. 【变式2】如图，平行四边形的对角线与相交于点，添加一个条件使平行四边形为矩形的是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的判定和平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可． 【解析】 A、时，平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意； B、时，∠BAD＝90°，则平行四边形ABCD是矩形，故选项B符合题意； C、时，平行四边形ABCD不一定是矩形，故选项C不符合题意； D、时，平行四边形ABCD是菱形，故选项D不符合题意； 故选：B． 【点拨】此题考查的是平行四边形的性质、矩形的判定以及等腰三角形的判定等知识；熟练掌握矩形的判定和平行四边形的性质是解答此题的关键． 考点二 用矩形的性质求线段 【例1】如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM//AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为（       ） A．5 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】如图所示，连接OD，先求出，然后利用勾股定理求解即可． 【解析】如图所示，连接OD， ∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OD，∠BAD=90°， ∵OM∥AB，∴∠OMD=90°，∴， ∴ . 故选：D． 【点拨】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若，，则AB的长为________． 【答案】 【分析】由条件可求得为等边三角形，则可求得的长，在中，由勾股定理可求得的长． 【解析】四边形为矩形，，， ，为等边三角形，，， 在中，由勾股定理可求得，． 故答案为：． 【点拨】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键． 【变式2】如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为点，且平分，则的长为_____. 【答案】． 【分析】由矩形的性质可得AO=CO=BO=DO，可证△ABE≌△AOE，可得AO=AB=BO=DO，由勾股定理可求AB的长． 【解析】∵四边形是矩形，∴， ∵平分，∴，且，， ∴≌（），∴，且，∴，∴， ∵，∴，∴ 故答案为． 【点拨】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练运用矩形的性质是本题的关键． 考点三 用矩形的性质求角 【例1】如图，在矩形中，对角线与相交于点，若，那么的度数是(       ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意只要证明OA=OD，根据三角形的外角的性质即可解决问题. 【解析】∵矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， ∴DB＝AC，OD＝OB，OA＝OC，∴OA＝OD，∴∠CAD＝∠ADO， ∵∠COD＝50°＝∠CAD+∠ADO，∴∠CAD＝25°， 故选D． 【点拨】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【变式1】如果矩形的一边与对角线的夹角为，则两条对角线相交所成的锐角的度数为（        ） A．60° B．70° C．80° D．90° 【答案】C 【分析】先画出简单的图形，因为矩形两对角线相等且互相平分，又有一角的度数，可由三角形内角和求解角的度数． 【解析】如图， ∵矩形两对角线相等且互相平分，一边与对角线的夹角为50°，即∠OAB = 50°，OB=OA， ∴另一角∠OBA =∠OAB =   50°， 由三角形内角和可得两条对角线相交所成的锐角的度数即∠AOB= 180°- 50° - 50°= 80°． 故选：C． 【点拨】本题考查了矩形、等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理． 【变式2】如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=__________度． 【答案】22.5° 【解析】四边形ABCD是矩形，AC=BD，OA=OC，OB=OD， OA=OB═OC，∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，∠AOE=∠OAD+∠ODA=2∠OAD， ∠EAC=2∠CAD，∠EAO=∠AOE， AE⊥BD，∠AEO=90°，∠AOE=45°，∠OAB=∠OBA=67.5°， 即∠BAE=∠OAB﹣∠OAE=22.5°． 考点四 用矩形的性质求面积 【例1】如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，BF∥AC，CF∥BD，若四边形BECF面积为1，则矩形ABCD的面积为（        ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】先证得四边形BECF是菱形，得到△BEC的面积为，再利用矩形的性质即可求解． 【解析】∵BF∥AC，CF∥BD，∴四边形BECF是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形，∴AE=CE，BE=DE，AC=BD， ∴AE=BE=EC，∴四边形BECF是菱形；∴S△BEC=S△BFC=S四边形BECF=， ∵四边形ABCD是矩形，∴矩形ABCD的面积为4×=2， 故选：B． 【点拨】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质，熟练掌握矩形的性质和菱形的判定与性质是解决问题的关键． 【变式1】如图,矩形ABCD中,E、F分别为AD、AB上一点,且EF=EC,EF⊥EC,若DE=2,矩形周长为16,则矩形ABCD的面积为_________ 【答案】15 【解析】：因为EF⊥EC，所以∠FEC=90°，所以∠AEF+∠DEC=90°， 因为∠AEF+∠AFE=90°，所以∠AFE=∠DEC， 因为∠A=∠D，EF=CE，所以△AEF≌△DCE，所以AE=CD，AF=DE， 设AB=CD=x，则AD=AE+DE=CD+DE=x+2， 所以2（x+x+2）=16,解得x=3， 所以AB×BC=3×（3+2）=15， 故答案为：15. 【变式2】已知，如图，四边形ABCD是矩形，AD＞AB． (1)请用无刻度的直尺和圆规在AD上找一点E，使得EC平分∠BED；（不要求写作法，但要保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若AB＝3，DE＝1，求△BEC的面积． 【答案】(1)见分析； (2)△BEC的面积为7.5． 【分析】 （1）以B为圆心，BC长为半径画弧交AD于点E即可； （2）由（1）可得BC=BE，设BC=x，则AE=x-1，根据勾股定理即可求出x，进而求出△BEC的面积． 【解析】解：(1)如图，以B为圆心，BC长为半径画弧交AD于点E； (2)由（1）可知BC=BE，设BC=x，则AE=x-1， 在△ABE中，∠A=90°，∴AB2+AE2=BE2， 故32+（x-1）2=x2，解得x=5， ∴△BEC的面积为×5×3=7.5． 【点拨】本题考查了作图-复杂作图、矩形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质． 考点五 直角三角形斜边上中线问题 【例1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹判断以下结论正确的是______． ①∠DBC＝∠BDC       ②AE＝BE       ③       ④∠BAE＝∠ACD 【答案】②③④ 【分析】根据尺规作图的痕迹可得，DE垂直平分AB，再根据线段垂直平分线的性质以及直角三角形斜边上中线的性质，即可得出结论． 【解析】根据尺规作图的痕迹可得，DE垂直平分AB， ∴D为AB的中点，AE=BE， ∴CD=AB=AD=BD， ∴∠DBC=∠DCB，∠A=∠ACD， 综上所述，①选项错误，②③④选项都正确， 故答案为：②③④． 【点拨】本题主要考查了基本作图以及直角三角形斜边上中线的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 【变式1】如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点O是斜边AC的中点，AC＝10，则OB＝（       ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质解答即可． 【解析】Rt△ABC中，∠ABC=90°，点O是斜边AC的中点，AC=10，则OB=AC=5， 故选：A． 【点拨】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．掌握直角三角形斜边上的中线的性质是解题的关键． 【变式2】如图，在中，，是AC边上的中线，DE是的中位线，若，则BF的长为（       ） A．6 B．4 C．3 D．5 【答案】A 【分析】根据三角形中位线定理求出AC，再根据直角三角形斜边上的中线的性质解答即可． 【解析】∵DE是△ABC的中位线，DE=6， ∴AC=2DE=12， 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BF是AC边上的中线， 则BF= AC=6， 故选：A． 【点拨】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 考点六 利用矩形的性质和判定证明 【例1】如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长． 【答案】（1）证明见分析；（2）． 【分析】 （1）根据矩形ABCD的性质，判定△BOE≌△DOF（ASA），进而得出结论； （2）在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的长. 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点， ∴∠A=90°，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD，∴∠OBE=∠ODF， 在△BOE和△DOF中， ，∴△BOE≌△DOF（ASA）， ∴EO=FO，∴四边形BEDF是平行四边形； （2）解：当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF，设BE=x，则 DE=x，AE=6-x， 在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2，∴x2=42+（6-x）2，解得：x= ， ∵BD= =2，∴OB=BD=， ∵BD⊥EF，∴EO==， ∴EF=2EO=． 【点拨】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键 【变式1】如图，矩形的对角线、相交于点O，过点B作，且，连接，求证：四边形是菱形． 【答案】见分析 【分析】由已知条件，且，得出四边形AOBP是平行四边形，再根据矩形的性质得出，即可得出结论. 【解析】证明：∵，且， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是菱形． 【点拨】此题考查平行四边形的判定，矩形的性质、菱形的判定，关键是熟记矩形的性质和菱形的判定． 【变式2】如图，已知平行四边形ABCD中，M，N是BD上的两点，且，． (1)求证：四边形AMCN是矩形； (2)若，，AB⊥AC，求四边形ABCD的面积． 【答案】(1)见分析 (2)四边形ABCD的面积为 【分析】 （1）先证明，，再证明，证明四边形AMCN是平行四边形， 再证明，从而可得结论； （2）证明，，再利用四边形ABCD的面积公式进行计算即可． 【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴，， ∵对角线BD上的两点M、N满足， ∴，即， ∴四边形AMCN是平行四边形，∴， ∵，∴，∴四边形AMCN是矩形 (2)解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，，∴， ∵，∴， ∵AB⊥AC，∴， ∴是等腰直角三角形，∴， ∴四边形ABCD的面积为． 【点拨】本题考查的是平行四边形的性质，矩形的判定与性质，熟练的运用矩形的判定定理解决问题是关键． 考点七 用矩形的性质与判定求线段 【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=2，点P是AB边上的一点（异于A，B两点），过点P分别作AC，BC边的垂线，垂足分别为M，N，连接MN，则MN的最小值是________． 【答案】## 【分析】首先证明四边形PMCN是矩形，推出MN=PC，根据垂线段最短即可解决问题； 【解析】如图，连接PC． 在△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=6，BC=2，∴AB==2， ∵PM⊥AC，PN⊥BC，∴∠PMC=∠PNC=∠C=90°，∴四边形PMCN是矩形， ∴MN=PC，∴当PC⊥AB时，PC的值最小， 此时MN的最小值=PC=， 故答案为：． 【点拨】本题考查矩形的判定和性质、垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 【变式1】数学兴趣小组根据赵爽弦图启发设计了如图图形：其中四边形ABCD为菱形，△ADH、△CBF、△AEB、△CGD均为直角三角形．若AH＝，DH＝1，CG＝2，则EF的长为____． 【答案】1 【分析】先证四边形是矩形，可得，利用勾股定理可求，的长，即可求解． 【解析】、、、均为直角三角形， ，，，，四边形是矩形，， ，，， 四边形是菱形，，， 故答案为1． 【点拨】本题考查了菱形的性质，勾股定理、矩形的判定，解题的关键是证明四边形是矩形． 【变式2】如图，矩形ABCD的对角线AC、BD于点O，，AB=4． (1)求AC、BD的长； (2)求矩形ABCD的面积． 【答案】(1)AC = BD = 8 (2) 【分析】 （1）根据矩形的性质可得，再根据等边三角形的判定与性质可得，从而可得； （2）根据矩形的性质得是直角，利用勾股定理可得AD的长，最后利用矩形的面积公式即可． 【解析】解：(1)四边形ABCD是矩形，， 又，是等边三角形，， ，．∴AC = BD = 8． (2)四边形ABCD是矩形， 在中，，则矩形的面积为． 【点拨】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题关键． 考点八 用矩形的性质与判定求角度 【例1】如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度数． 【答案】（1）见分析；（2）∠BDF＝18°． 【分析】 （1）先证明四边形ABCD是平行四边形，求出∠ABC=90°，然后根据矩形的判定定理，即可得到结论； （2）求出∠FDC的度数，根据三角形的内角和，求出∠DCO，然后得到OD=OC，得到∠CDO，即可求出∠BDF的度数． 【解析】（1）证明：∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC， ∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∴四边形ABCD是矩形； （2）解：∵∠ADC＝90°，∠ADF：∠FDC＝3：2，∴∠FDC＝36°， ∵DF⊥AC，∴∠DCO＝90°﹣36°＝54°， ∵四边形ABCD是矩形，∴CO＝OD，∴∠ODC＝∠DCO＝54°，∴∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝18°． 【点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，能灵活运用定理进行推理是解题的关键．注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形 【变式1】如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD．若DE：BE=3：1，则∠EAO= __________． 【答案】45° 【解析】根据∠DAE：∠BAE=3：1以及∠DAE+∠BAE=90°，可得：∠DAE=67.5°， 根据AE⊥BD可得：∠ADE=22.5°， 根据OA=OD可得：∠OAD=∠ADO=22.5° ，则∠EAO=∠DAE-∠DAO=67.5°-22.5°=45°. 故答案为：45° 【变式2】如图，将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转到矩形 AB′C′D′的位置，旋转角为α(0°＜α＜90°)．若∠1＝112°，则∠α的大小是(       ) A．68° B．20° C．28° D．22° 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°， ∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α， ∴∠BAB′=α，∠B′AD′=∠BAD=90°，∠D′=∠D=90°， ∵∠2=∠1=112°，而∠ABC=∠D′=90°，∴∠3=180°-∠2=68°，∴∠BAB′=90°-68°=22°，即∠α=22°． 故选：D． 考点九 用矩形的性质与判定求面积 【例1】在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，过点A作∠DAC的角平分线交BC的延长线于点H，取AH的中点P，连接BP，则S△ABP＝___． 【答案】8 【分析】由勾股定理可得AC＝5，根据角平分线的性质可证∠H＝∠CAH＝∠DAH，即AC＝CH＝5，则可求S△ABH的值，由P是中点，可得S△ABP的值． 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴ADBC，∠ABC＝90°， ∵AB＝4，BC＝3，∴AC＝＝5， ∵AH平分∠DAC，∴∠DAH＝∠CAH， ∵ADBC，∴∠DAH＝∠H，∴∠H＝∠CAH，∴AC＝CH＝5， ∵BH＝BC+CH，∴BH＝8， ∵S△ABH＝AB×BH＝×4×8＝16，P是AH的中点 ∴S△ABP＝S△ABH＝8； 故答案为：8． 【点拨】此题主要考查矩形的性质与判定综合，解题的关键是矩形的性质及勾股定理的应用． 【变式1】在矩形中，、相交于点，若的面积为2，则矩形的面积为（       ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据矩形的性质得到OA=OB=OC=OD，推出，即可求出矩形ABCD的面积. 【解析】∵四边形ABCD是矩形，对角线、相交于点 ∴AC=BD，且OA=OB=OC=OD ∴ ∴矩形的面积为 故选：C. 【点拨】此题考查矩形的性质：矩形的对角线相等，且互相平分，由此可以将矩形的面积四等分，由此可以解决问题，熟记矩形的性质定理是解题的关键. 【变式2】如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，CE∥DB． （1）求证：四边形OBEC是菱形； （2）若AD＝4，AB＝2，求菱形OBEC的面积． 【答案】（1）见分析；（2）4 【分析】 （1）先由已知条件证明四边形OBEC是平行四边形，再由矩形的性质得出OB=OC，由菱形的判定方法即可得出结论； （2）先求出S△OBC=S矩形ABCD=2，即可求解． 【解析】解：（1）∵BE∥AC，CE∥DB，∴四边形OBEC是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形，∴OC=AC，OB=BD，AC=BD， ∴OB=OC，∴四边形OBEC是菱形； （2）∵AD=4，AB=2，∴S矩形ABCD=4×2=8，∴S△OBC=S矩形ABCD=2， ∴菱形OBEC的面积=2S△OBC=4． 【点拨】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键． 考点十 有关矩形的综合题型 【例1】如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，且与AD边相交于点E，∠AEB＝45°． (1)求证：平行四边形ABCD是矩形； (2)连接CE，若CE，DE＝1，求AD的长． 【答案】(1)证明见分析；(2)3 【分析】 （1）根据角平分线及平行四边形的性质得出∠ABC=90°，利用矩形的判定定理即可证明； （2）连接CE，由勾股定理及等角对等边得出AB=AE=2，结合图形即可得出结果． 【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC， ∵BE平分∠ABC，∠AEB=45°，∴∠ABE=∠EBC=45°，∴∠ABC=90°， ∴四边形ABCD为矩形； (2)解：连接CE， ∵，DE=1，∴，∴AB=2， 由（1）可知∠AEB=∠ABE，∴AB=AE=2，∴AD=2+1=3． 【点拨】本题主要考查平行四边形的性质及矩形的判定，角平分线的定义，勾股定理解三角形及等角对等边等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 【变式1】如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，，，且∠ABC=90°． （1）求证：四边形ABCD是矩形． （2）若∠ACB=30°，AB=1，求： ①∠AOB的度数； ②四边形ABCD的面积． 【答案】（1）见分析；（2）①60°，②. 【分析】 （1）根据AO=CO，BO=DO可知四边形ABCD是平行四边形，又∠ABC=90°，可证四边形ABCD是矩形 （2）利用直角△ABC中∠ABC=90°，∠ACB=300，可得∠BAC=60°，AC=2，BC=，即可求得四边形ABCD的面积，同时利用矩形的性质，对角线相等且互相平分，可得∠AOB=180°-2∠BAC 【解析】（1）证明：∵AO=CO，BO=DO ∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC， ∵∠ABC=90°，∴四边形ABCD是矩形； （2）解：∵∠ABC=90°，∠ACB=300，AB=1，∴∠BAC=60°，AC=2，BC= 又∵矩形ABCD中，OA=OB，∴∠AOB=180°-2∠BAC=60° S□ABCD=1×= 【点拨】本题考查了矩形的判定及性质定理的应用，会灵活运用是解题的关键. 【变式2】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE=DF （1）求证：AE=CF； （2）若AB=6，∠COD=60°，求矩形ABCD的面积． 【答案】（1）证明见分析；（2）矩形ABCD的面积为 【分析】 （1）由矩形的性质得出OA=OC，OB=OD，AC=BD，∠ABC=90°，证出OE=OF，由SAS证明△AOE≌△COF，即可得出AE=CF； （2）证出△AOB是等边三角形，得出OA=AB=6，AC=2OA=12，在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC的长，即可得出矩形ABCD的面积． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，∠ABC=90°， ∵BE=DF，∴OE=OF，在△AOE和△COF中， ∵OA=OC，∠AOE=∠COF，OE=OF，∴△AOE≌△COF（SAS），∴AE=CF； （2）解：∵OA=OC，OB=OD，AC=BD，∴OA=OB， ∵∠AOB=∠COD=60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA=AB=6，∴AC=2OA=12， 在Rt△ABC中，BC==6， ∴矩形ABCD的面积=AB•BC=6×6=36． 【点拨】此题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理的运用． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$