1.2 矩形的性质与判定（10考点·能力提升）-2024-2025学年九年级数学上册分层考点讲与练（北师大版）

1.2 矩形的性质与判定（能力提升） 知识点一：矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 【重点说明】 矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 知识点二：矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： 1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 【重点说明】 （1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分. （2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）. （3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. 知识点三：矩形的判定 矩形的判定有三种方法： 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 【重点说明】 在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 知识点四：直角三角形斜边上的中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 【重点说明】 （1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用. （2）学过的直角三角形主要性质有： ①直角三角形两锐角互余； ②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； ③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半. （3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题. 考点一 矩形的判定 【例1】如图，在△ABC中，点D在BC上，，下列四个判断中不正确的是(   ) A．四边形AEDF是平行四边形 B．若∠BAC＝90°，则四边形AEDF是矩形 C．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是矩形 D．若AD⊥BC且AB＝AC，则四边形AEDF是菱形 【变式1】在中，对角线，相交于点，只需添加一个条件，即可证明是矩形，这个条件可以是（       ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，则下列四个判断中，不正确的是（       ） A．四边形ADEF是平行四边形 B．若，则四边形ADEF是矩形 C．若，则四边形ADEF是菱形 D．若四边形ADEF是正方形，则是等边三角形 考点二 用矩形的性质求线段 【例1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，于点E，，，则（       ） A． B． C．2 D． 【变式1】如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，矩形内部有一动点P满足S△PAB=S矩形ABCD，则点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为______． 【变式2】如图，在矩形ABCD中，EF是对角线AC的垂直平分线，分别交AB，CD于点E，F，若，则EF的长为（       ） A．4 B．8 C． D． 考点三 用矩形的性质求角 【例1】如图，O是矩形ABCD的对角线交点，AE平分∠BAD，∠AOD=120°，∠AEO的度数为（       ） A．15° B．25° C．30° D．35° 【变式1】如图，四边形ABCD是个活动框架，对角线AC、BD是两根皮筋．如果扭动这个框架（BC位置不变），当扭动到∠A'BC=90°时四边形A'BCD'是个矩形，A'C和BD'相交于点O．如果四边形OD'DC为菱形，则∠A'CB=_______° 【变式2】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．若∠BDE＝15°，则∠DOE＝_____． 考点四 用矩形的性质求面积 【例1】如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（　　） A．10 B．12 C．16 D．18 【变式1】如图，在五边形ABCDE中，，，，连接CE，BD．若且，则的面积为______． 【变式2】两张全等的矩形纸片，按如图的方式叠放在一起，．若，，则图中重叠（阴影）部分的面积为（     ） A．15 B．14 C．13 D．12 考点五 直角三角形斜边上中线问题 【例1】如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝20°，则∠DHO的度数是（　　） A．20° B．25° C．30° D．40° 【变式1】如图，在中，，，，点、分别在轴、轴上，当点在轴上运动时，点随之在轴上运动，在运动过程中，点到原点的最大距离是______． 【变式2】如图，平行四边形中，于，点为边中点，，，则_________ 考点六 利用矩形的性质和判定证明 【例1】如图，在中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作交BE的延长线于点F，连接CF． (1)求证：； (2)若，，求四边形ADCF的周长． 【变式1】如图，将平行四边形ABCD折叠，使顶点D恰好落在AB边上的点M处，折痕为AN，有以下四个结论①MN∥BC；②MN=AM；③四边形MNCB是矩形；④四边形MADN是菱形，以上结论中，你认为正确的有_____________（填序号）． 【变式2】如图，四边形ABCD对角线AC、BD相交于点O，且∠ABC=90°，      ，BE∥AC，CE∥DB，求证：四边形OBEC是菱形．从以下三个选项中选两个作为已知条件：①AD∥BC，   ②AB=CD，   ③AD=BC，并完成证明． 你选择的条件是 考点七 用矩形的性质与判定求线段 【例1】如图，在平行四边形ABCD中，AB＜BC，∠B＝30°，AB＝2，将△ABC沿AC翻折至△AB'C，连接B'D．当BC长为____时，△AB'D是直角三角形． 【变式1】如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE=CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC，FC=2，则AB的长为（　　） A．8 B．8 C．4 D．6 【变式2】如图，在中，于点E点，延长BC至F点使，连接AF，DE，DF. （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）若，，，求AE的长. 考点八 用矩形的性质与判定求角度 【例1】如图，在中，，直线垂直平分，把线段绕点顺时针旋转，使点落在直线上的点处，联结、，线段、交于点，如果，那么______度． 【变式1】将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形．当时，下列针对值的说法正确的是（       ） A．或 B．或 C． D． 【变式2】如图1，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，垂足为E． (1)求∠BAC的度数； (2)如图2，若AF⊥BC，垂足为F，连接EF，求∠EFC的度数． 考点九 用矩形的性质与判定求面积 【例1】如图，矩形以点为圆心，以任意长为半径作弧分别交、于两点，再分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧交于点，作射线交于点，若，则矩形的面积等于__________． 【变式1】如图，等腰直角三角形，，点D、E分别是AB、BC上的点，且，，则图中阴影部分的面积为____________． 【变式2】如图，在矩形ABCD中，点M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足为N． (1)求证：△ABN≌△MAD； (2)若AD＝2，AN＝4，求四边形BCMN的面积． 考点十 有关矩形的综合题型 【例1】如图，在矩形中，点在上，，且，垂足为． （1）求证：； （2）若，求四边形的面积． 【变式1】阅读下列材料，并解答其后的问题： 我们知道，三角形的中位线平行于第一边，且等于第三边的一半，我们还知道，三角形的三条中位线可以将三角形分成四个全等的一角形，如图1，若D、E、F分别是三边的中点，则有，且 （1）在图1中，若的面积为15，则的面积为___________； （2）在图2中，已知E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形； （3）如图3中，已知E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，，则四边形EFGH的面积为___________. 【变式2】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若∠BDE=15°，求∠DOE； （3）在（2）的条件下，若AB=2，求△BOE的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2 矩形的性质与判定（能力提升） 知识点一：矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 【重点说明】 矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 知识点二：矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： 1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 【重点说明】 （1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分. （2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）. （3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. 知识点三：矩形的判定 矩形的判定有三种方法： 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 【重点说明】 在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 知识点四：直角三角形斜边上的中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 【重点说明】 （1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用. （2）学过的直角三角形主要性质有： ①直角三角形两锐角互余； ②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； ③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半. （3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题. 考点一 矩形的判定 【例1】如图，在△ABC中，点D在BC上，，下列四个判断中不正确的是(   ) A．四边形AEDF是平行四边形 B．若∠BAC＝90°，则四边形AEDF是矩形 C．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是矩形 D．若AD⊥BC且AB＝AC，则四边形AEDF是菱形 【答案】C 【分析】根据题意，分别利用平行四边形及矩形，菱形的判定定理依次判断即可得． 【解析】A选项，∵在△ABC中，点D在BC上，，∴，∴四边形AEDF是平行四边形；即A正确； B选项，∵四边形AEDF是平行四边形，∠BAC=90°，∴四边形AEDF是矩形；即B正确； C选项，∵添加条件“AD平分∠BAC”结合四边形AEDF是平行四边形只能证明四边形AEDF是菱形，而不能证明四边形AEDF是矩形；所以C错误； D选项，∵由添加的条件“AB=AC，AD⊥BC”，∴AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠CAD=∠EDA，∴AE=DE， ∴四边形AEDF是菱形，所以D正确． 故选C． 【点拨】题目主要考查平行四边形及矩形，菱形的判定定理，熟练掌握各个判定定理是解题关键． 【变式1】在中，对角线，相交于点，只需添加一个条件，即可证明是矩形，这个条件可以是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可； 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，，∴平行四边形ABCD是菱形，故A不符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形，，∴平行四边形ABCD是矩形，故B符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形，，∴平行四边形ABCD是菱形，故C不符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形，，∴不能判定平行四边形ABCD是矩形，故D不符合题意； 故选B． 【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质、矩形的判定和菱形的判定，准确分析判断是解题的关键． 【变式2】如图，在中，点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，则下列四个判断中，不正确的是（       ） A．四边形ADEF是平行四边形 B．若，则四边形ADEF是矩形 C．若，则四边形ADEF是菱形 D．若四边形ADEF是正方形，则是等边三角形 【答案】D 【分析】根据三角形中位线定理可知，，所以四边形ADEF是平行四边形；当，四边形ADEF是矩形；若，则，所以四边形ADEF是菱形；若四边形ADEF是正方形，则，不是等边三角形． 【解析】A.由三角形中位线定理可知：，，∴四边形ADEF是平行四边形，选项正确，不符合题意； B.∵四边形ADEF是平行四边形，∴当，四边形ADEF是矩形，选项正确，不符合题意； C.∵四边形ADEF是平行四边形， ∴，，∵，点D、F分别是AB、AC的中点 ∴，∴，∴若，则四边形ADEF是菱形，选项正确，不符合题意； D.∵若四边形ADEF是正方形，则，∴若四边形ADEF是正方形，则是等边三角形，选项错误，符合题意； 故选：D． 【点拨】本题考查三角形中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的性质和等边三角形的判定，解题的关键是熟记定理及性质． 考点二 用矩形的性质求线段 【例1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，于点E，，，则（       ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】设，则，利用求出，进一步得，设，则，利用勾股定理求出，再求出，，利用求解即可． 【解析】设，则，∴，得：，即， ∵，∴，， ∵，设，则， ∴，解之得：， ∴，，∴， ∵，∴， 故选：A． 【点拨】本题考查矩形的性质，勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半．解题的关键是求出，，再利用勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半，求出BE，BO． 【变式1】如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，矩形内部有一动点P满足S△PAB=S矩形ABCD，则点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为______． 【答案】 【分析】首先由S△PAB=S矩形ABCD，得出动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，即PA+PB的最小值． 【解析】设△ABP中AB边上的高是h． ∵S△PAB=S矩形ABCD，∴AB•h=AB•AD，∴h=AD=2， ∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离． 在Rt△ABE中，∵AB=4，AE=2+2=4，∴BE=， 即PA+PB的最小值为． 故答案为：． 【点拨】本题考查了轴对称——最短路线问题、三角形的面积、矩形的性质、勾股定理和两点之间线段最短的性质，其中得出动点P所在的位置是解题的关键． 【变式2】如图，在矩形ABCD中，EF是对角线AC的垂直平分线，分别交AB，CD于点E，F，若，则EF的长为（       ） A．4 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】连接CE，设EF交AC于点O，根据矩形的性质和EF是AC的垂直平分线，可得，EC=AE，OA=OC，再由勾股定理可得AE=CE=5，从而得到，再由△AOE≌△COF，可得OF=OE，即可求解． 【解析】如图，连接CE，设EF交AC于点O， 在矩形ABCD中，BC=AD=4，AB=CD=8，∠B=∠ADC=90°，AB∥CD， ∴，∴， ∵EF是AC的垂直平分线，∴EC=AE，OA=OC， 设EC=AE =x，则BE=AB-AE=8-x，在Rt△EBC中，BE2+BC2=CE2， ∴x2=42+（8-x）2，解得：x=5，∴AE=CE=5， ∵EF⊥AC，∴， ∵AB∥CD，∴∠OCF=∠OAE，∠AEO=∠CFO， ∵OA=OC，∴△AOE≌△COF， ∴OF=OE，∴， 故选：D. 【点拨】本题主要考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上相关知识是解题的关键． 考点三 用矩形的性质求角 【例1】如图，O是矩形ABCD的对角线交点，AE平分∠BAD，∠AOD=120°，∠AEO的度数为（       ） A．15° B．25° C．30° D．35° 【答案】C 【分析】根据矩形的性质可得OB=OC，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=90°，又由AE平分∠BAD，∠AOD=120°，即可求得∠OBC和∠AEB的度数，以及AB=BE，AB=OA=OB，即可得OB=BE，∠BOE=∠BEO，即可求得∠OEB的度数 【解析】∵四边形ABCD是矩形， ∴AD//BC，∠ABC=∠BAD=90°，AC=BD，OB=BD，OC=AC，∴OB=OC，∴∠OBC=∠OCB， ∵∠BOC=∠AOD=120°，∴∠OBC=30°， ∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠EAD=45°，∴∠AEB=∠EAD=∠BAE=45°，∴AB=BE， ∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°，∴AB=OA=OB，∴OB=BE，∴∠BOE=∠BEO，∴∠OEB=75°， ∴∠AEO=∠OEB-∠AEB=75°-45°=30°，故C正确． 故选：C． 【点拨】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 【变式1】如图，四边形ABCD是个活动框架，对角线AC、BD是两根皮筋．如果扭动这个框架（BC位置不变），当扭动到∠A'BC=90°时四边形A'BCD'是个矩形，A'C和BD'相交于点O．如果四边形OD'DC为菱形，则∠A'CB=_______° 【答案】30 【分析】先证明是等边三角形，得到，再由四边形是矩形，得到，则． 【解析】∵四边形OD'DC为菱形，∴， ∵在扭动过程中，CD的长度是不会发生变化的，∴， ∴，∴是等边三角形，∴， ∵四边形是矩形，∴， ∴， 故答案为：30． 【点拨】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，等边三角形的性质与判定，熟知菱形的性质和矩形的性质是解题的关键． 【变式2】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．若∠BDE＝15°，则∠DOE＝_____． 【答案】135°##135度 【分析】首先得出△CDE为等腰直角三角形，即可推出△OCD为等边三角形，得CO=CE，进而求出∠COE，即可得出答案． 【解析】∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE， ∵AD∥CB，∴∠ADE＝∠CED，∴∠CDE＝∠CED＝45°，CD＝CE， ∵∠BDE＝15°，∴∠ODC＝60°， 在矩形ABCD中，OD＝OC，∴△ODC为等边三角形， ∴OC＝CD＝CE，∠OCD＝∠COD＝60°，∴∠OCE＝30°， ∴∠COE＝（180°﹣∠OCE）＝75°，∴∠DOE＝135°， 故答案为：135°． 【点拨】本题考查矩形的性质，熟练掌握矩形对角线互相平分且相等的性质是解题关键． 考点四 用矩形的性质求面积 【例1】如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（　　） A．10 B．12 C．16 D．18 【答案】C 【分析】首先根据矩形的特点，作PM⊥AD于M，交BC于N，可以得到S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PFC=S△PCN，最终得到S矩形EBNP= S矩形MPFD ,即可得S△PEB=S△PFD，从而得到阴影的面积． 【解析】作PM⊥AD于M，交BC于N． 则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形， ∴S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PFC=S△PCN ∴S矩形EBNP= S矩形MPFD , 又∵S△PBE= S矩形EBNP，S△PFD=S矩形MPFD， ∴S△DFP=S△PBE=×2×8=8， ∴S阴=8+8=16， 故选：C． 【点拨】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S△PEB=S△PFD． 【变式1】如图，在五边形ABCDE中，，，，连接CE，BD．若且，则的面积为______． 【答案】 【分析】作出BC边上的垂线DF和EG，DF无法直接计算，DF是△CDF的一条边，而△EGC和△CDF已有边CE=CD，∠EGC=∠CFD=90°，若两三角形全等便可求出DF的长． 【解析】如下图过E作EG⊥BC于G，过D作DF⊥BC延长线于F， ∵∠A=∠ABC=90°，EG⊥BC，∴ABGE是矩形，BG=AE=，∴CG=BC－BG=6－=， ∵CE⊥CD，∴∠ECG＋∠DCF=90°， ∵∠ECG＋∠CEG=90°，∴∠CEG=∠DCF， ∵CE=DC，∠EGC=∠CFD，∴△EGC≌△CFD（AAS），∴DF=CG=， S△BCD=×6×=， 故答案为：． 【点拨】本题考查全等三角形的判定，矩形的性质和判定，三角形的面积计算，正确作出辅助线找出高与已知条件的关系是解题的关键． 【变式2】两张全等的矩形纸片，按如图的方式叠放在一起，．若，，则图中重叠（阴影）部分的面积为（     ） A．15 B．14 C．13 D．12 【答案】A 【分析】先根据矩形的性质、平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，再根据三角形全等的判定证出，根据全等三角形的性质可得，设，则，然后在中，利用勾股定理求出的值，最后根据平行四边形的面积公式即可得． 【解析】如图，在两张全等的矩形纸片，中，， ， 四边形是平行四边形，在和中，， ，， 设，则， 在中，，即， 解得，， 则图中重叠（阴影）部分的面积为， 故选：A． 【点拨】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定、三角形全等的判定定理与性质等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键． 考点五 直角三角形斜边上中线问题 【例1】如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝20°，则∠DHO的度数是（　　） A．20° B．25° C．30° D．40° 【答案】A 【分析】先根据菱形的性质得OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，则利用DH⊥AB得到DH⊥CD，∠DHB＝90°，所以OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，得到OH＝OD＝OB，利用等腰三角形的性质得∠1＝∠DHO，然后利用等角的余角相等即可求出∠DHO的度数. 【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC， ∵DH⊥AB，∴DH⊥CD，∠DHB＝90°，∴OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线， ∴OH＝OD＝OB，∴∠1＝∠DHO， ∵DH⊥CD，∴∠1+∠2＝90°， ∵BD⊥AC，∴∠2+∠DCO＝90°，∴∠1＝∠DCO，∴∠DHO＝∠DCA， ∵四边形ABCD是菱形，∴DA＝DC，∴∠CAD＝∠DCA＝20°，∴∠DHO＝20°， 故选A． 【点拨】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【变式1】如图，在中，，，，点、分别在轴、轴上，当点在轴上运动时，点随之在轴上运动，在运动过程中，点到原点的最大距离是______． 【答案】 【分析】根据题意，可得：当、、三点共线时，点到原点的距离最大，即可得解． 【解析】如图，取的中点，连接、， 则， 由勾股定理得，， ∵， ∴当、、三点共线时，点到原点的距离最大， 所以，点到原点的最大距离是． 故答案是：． 【点拨】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键． 【变式2】如图，平行四边形中，于，点为边中点，，，则_________ 【答案】 【分析】延长、交于点，连接FC，先依据全等的判定和性质得到，依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，依据平行四边形的对边相等及等量代换得到，依据三角形等边对等角得到、，依据三角形内角和得到，通过作差即得所求. 【解析】延长、交于点，连接FC， ∵平行四边形中，∴，,, ∴，，, 又∵点为边中点，得, ∴≌(ASA)，， ∴，∴，∴, ∴, ∵,,,, ∴,∴,∴, ∴, 故答案为：. 【点拨】本题考查了平行四边形的性质、全等的判定和性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形等边对等角、三角形内角和，解题的关键是构造直角三角形. 考点六 利用矩形的性质和判定证明 【例1】如图，在中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作交BE的延长线于点F，连接CF． (1)求证：； (2)若，，求四边形ADCF的周长． 【答案】(1)见分析； (2) 【分析】 （1）证△AEF≌△DEB得AF=DB，再证出DB=DC即可； （2）先证明四边形ADCF是菱形，进而求出周长即可． 【解析】(1)证明：∵，∴（两直线平行，内错角相等）， ∵点E是AD的中点，∴， ∵，∴，∴， ∵AD是BC边上的中线，∴，∴； (2)解：∵，， ∴四边形ADCF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ∵，∴， ∵AD是BC边上的中线，∴（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， ∴四边形ADCF为菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）， ∴， ∴四边形ADCF的周长． 【点拨】本题利用了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质等，求周长的关键就在于得到四边形ADCF为菱形． 【变式1】如图，将平行四边形ABCD折叠，使顶点D恰好落在AB边上的点M处，折痕为AN，有以下四个结论①MN∥BC；②MN=AM；③四边形MNCB是矩形；④四边形MADN是菱形，以上结论中，你认为正确的有_____________（填序号）． 【答案】①②④ 【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，可得∠B=∠D，再根据折叠可得∠D=∠NMA，再利用等量代换可得∠B=∠NMA，然后根据平行线的判定方法可得MN∥BC；证明四边形AMND是平行四边形，再根据折叠可得AM=DA，进而可证出四边形AMND为菱形，再根据菱形的性质可得MN=AM，不能得出∠B=90°；即可得出结论． 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D， ∵根据折叠可得∠D=∠NMA，∴∠B=∠NMA，∴MN∥BC；①正确； ∵四边形ABCD是平行四边形，∴DN∥AM，AD∥BC， ∵MN∥BC，∴AD∥MN，∴四边形AMND是平行四边形， 根据折叠可得AM=DA，∴四边形AMND为菱形，∴MN=AM；②④正确； 没有条件证出∠B=90°，④错误； 故答案为①②④． 【点拨】本题主要考查了翻折变换的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、矩形的判定等知识，熟练掌握翻折变换的性质、平行四边形和菱形以及矩形的判定是解题的关键． 【变式2】如图，四边形ABCD对角线AC、BD相交于点O，且∠ABC=90°，      ，BE∥AC，CE∥DB，求证：四边形OBEC是菱形．从以下三个选项中选两个作为已知条件：①AD∥BC，   ②AB=CD，   ③AD=BC，并完成证明． 你选择的条件是 【答案】①③或②③ 【分析】选择的条件只要能证得四边形ABCD是矩形即可证明四边形OBEC是菱形. 【解析】解：选择①③时， 证明：∵AD∥BC，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵∠ABC=90°，∴四边形ABCD是矩形， ∴，，，∴， ∵BE∥AC，CE∥DB，∴四边形OBEC是菱形． 选择②③时， 证明：∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵∠ABC=90°，∴四边形ABCD是矩形， ∴，，，∴， ∵BE∥AC，CE∥DB，∴四边形OBEC是菱形． 综上可得，选择的条件是①③或②③ 【点拨】本题考查了菱形、矩形的判定和性质，熟练掌握矩形和菱形的判定方法是解题的关键． 考点七 用矩形的性质与判定求线段 【例1】如图，在平行四边形ABCD中，AB＜BC，∠B＝30°，AB＝2，将△ABC沿AC翻折至△AB'C，连接B'D．当BC长为____时，△AB'D是直角三角形． 【答案】6或4 【分析】分∠B′AD=90°和∠AB′D=90°两种情况，画出图形，利用含30°的直角三角形的性质和矩形的判定与性质解答即可． 【解析】∵AB＜BC，∴∠ADB′≠90°． ①当∠B′AD=90°时，如图1，延长B′A交BC于E， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB=CD，AD=BC，∠B=∠ADC，∴∠B′EC=90°， 由折叠性质得，BC=B′C，AB=AB′，∠AB′C=∠B=30°， 在Rt△B′EC中，CE=B′C，即CE=BC，∴BE=CE=BC， 在Rt△ABE中，∠B=30°，AB＝2，∴AE=AB=，BE==3，∴BC=2BE=6； ②当∠AB′D=90°时，如图2，设AD与B′C相交于O，∵AD∥BC，∴∠OAC=∠ACB， 由折叠性质得：∠BAC=∠B′AC，∠ACO=∠ACB，∠B=∠AB′C， ∴∠OAC=∠ACO，∴OA=OC，又AD=BC=B′C，∴OD=OB′∴∠ODB′=∠OB′D，即∠ADB′≠90°． ∵∠ADC=∠B=∠AB′C，∴∠CDB′=∠AB′D=90°，∴CD∥AB′，又CD =AB′， ∴四边形AB′DC是矩形，∴∠B′AC=90°，即∠BAC=90°， 在Rt△BAC中，∠B=30°，AB=，∴BC=2AC，BC2=AB2+AC2，解得：BC=4， 综上，当BC长为6或4时，△AB′D是直角三角形． 故答案为：6或4． 【点拨】本题考查平行四边形的性质、折叠性质、平行线的判定与性质、矩形的判定与性质、含30°的直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识间的联系与运用是解答的关键． 【变式1】如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE=CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC，FC=2，则AB的长为（　　） A．8 B．8 C．4 D．6 【答案】D 【分析】连接OB，根据等腰三角形三线合一的性质可得BO⊥EF，再根据矩形的性质可得OA=OB，根据等边对等角的性质可得∠BAC=∠ABO，再根据三角形的内角和定理列式求出∠ABO=30°，即∠BAC=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再利用勾股定理列式计算即可求出AB． 【解析】如图，连接OB， ∵BE=BF，OE=OF，∴BO⊥EF，∴在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO=90°， 由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：OA=OB=OC，∴∠BAC=∠ABO， 又∵∠BEF=2∠BAC，即2∠BAC+∠BAC=90°，解得∠BAC=30°，∴∠FCA=30°，∴∠FBC=30°， ∵FC=2，∴BC=2，∴AC=2BC=4，∴AB=＝＝6， 故选D． 【点拨】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，综合题，但难度不大，（2）作辅助线并求出∠BAC=30°是解题的关键． 【变式2】如图，在中，于点E点，延长BC至F点使，连接AF，DE，DF. （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）若，，，求AE的长. 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】 （1）先证明四边形AEFD是平行四边形，再证明∠AEF=90°即可． （2）证明△ABF是直角三角形，由三角形的面积即可得出AE的长． 【解析】（1）证明：∵CF=BE，∴CF+EC=BE+EC．即 EF=BC． ∵在▱ABCD中，AD∥BC且AD=BC，∴AD∥EF且AD=EF．∴四边形AEFD是平行四边形． ∵AE⊥BC，∴∠AEF=90°．∴四边形AEFD是矩形； （2）解：∵四边形AEFD是矩形，DE=8，∴AF=DE=8． ∵AB=6，BF=10，∴AB2+AF2=62+82=100=BF2．∴∠BAF=90°． ∵AE⊥BF，∴△ABF的面积=AB•AF=BF•AE． ∴AE=． 考点八 用矩形的性质与判定求角度 【例1】如图，在中，，直线垂直平分，把线段绕点顺时针旋转，使点落在直线上的点处，联结、，线段、交于点，如果，那么______度． 【答案】105 【分析】过点C作CH⊥AB于H，由旋转和线段垂直平分线的性质可得EF＝BE＝AE，则△BEF是等腰直角三角形，可得∠EBF＝45°，证明四边形EFCH是矩形，可得CH＝EF＝AB＝AC，可得出∠CAH＝30°，根据三角形内角和定理即可求解． 【解析】过点C作CH⊥AB于H， ∵线段AE绕点E顺时针旋转90°，使点A落在直线DE上的点F处，∴AE＝EF， ∵直线DE垂直平分AB，AB＝AC，∴AE＝BE＝AB＝AC，∠BEF＝90°， ∴EF＝BE＝AE，∴△BEF是等腰直角三角形，∴∠EBF＝45°， ∵DE⊥AB，CF AB，∴CF⊥DE， ∵DE⊥AB，CH⊥AB，∴四边形EFCH是矩形， ∴CH＝EF＝AB＝AC，∴∠CAH＝30°， ∴∠AGB＝180°−∠EBF−∠CAH＝180°−45°−30°＝105°． 故答案为：105． 【点拨】本题考查旋转的性质，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，三角形的内角和定理等知识，求出∠EBF＝45°，∠CAH＝30°是解题的关键． 【变式1】将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形．当时，下列针对值的说法正确的是（       ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论，依据∠DAG=60°，即可得到旋转角α的度数． 【解析】如图，当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论： ①当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M， ∵GC=GB，∴GH⊥BC，∴四边形ABHM是矩形，∴AM=BH=，∴GM垂直平分AD， ∴GD=GA=DA，∴△ADG是等边三角形，∴∠DAG=60°，∴旋转角α=60°； ②当点G在AD左侧时，同理可得△ADG是等边三角形， ∴∠DAG=60°，∴旋转角α=360°-60°=300°， 故选：A． 【点拨】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． 【变式2】如图1，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，垂足为E． (1)求∠BAC的度数； (2)如图2，若AF⊥BC，垂足为F，连接EF，求∠EFC的度数． 【答案】(1)45°；(2)45° 【分析】 （1）根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE，进而可证明△ABE为等腰直角三角形，即可求解； （2）由等腰三角形的性质，三角形的内角和定理可求解∠ABC=∠C=67.5°，再利用三角形的内角和定理可求解． 【解析】解：(1)∵DE垂直平分AB，∴AE=BE， ∵BE⊥AC，∴△ABE为等腰直角三角形，∴∠BAC=45°； (2)∵AB=AC，∴∠ABC=∠C， ∵∠ABC+∠C+∠BAC=180°，∴∠ABC=∠C=67.5°， ∵AF⊥BC，AB=AC，∴F为BC为BC的中点， ∴EF=BF=CF，∴∠CEF=∠C=67.5°， ∵∠C+∠CEF+∠CFE=180°，∴∠CFE=45°． 【点拨】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，直角三角形的性质，线段的垂直平分线等知识的综合运用． 考点九 用矩形的性质与判定求面积 【例1】如图，矩形以点为圆心，以任意长为半径作弧分别交、于两点，再分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧交于点，作射线交于点，若，则矩形的面积等于__________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质得到∠B=∠BAD=90°，求得∠ACB=30°，由作图知，AP是∠BAC的平分线，得到∠BAE=∠CAE=30°，AB＝，根据等腰三角形的性质求得AE＝EC＝2，解直角三角形得到BC=3，于是得到结论． 【解析】由题可知AP是∠BAC的角平分线 ∵∠BAC＝600，∴∠BAE＝∠EAC＝300，∴AE＝2 BE＝2，∴AB＝，∴∠AEB＝600 又∵∠AEB＝∠EAC+∠ECA，∴∠EAC＝∠ECA＝300，∴AE＝EC＝2 ∴BC＝3，∴S矩形ABCD＝3． 【点拨】此题考查尺规作图，矩形的性质，解题关键在于求得AB＝. 【变式1】如图，等腰直角三角形，，点D、E分别是AB、BC上的点，且，，则图中阴影部分的面积为____________． 【答案】## 【分析】如图，过作于 过作于 证明四边形是矩形， 证明 求解 可得 再利用三角形的面积公式进行计算即可． 【解析】如图，过作于 过作于 四边形是矩形， 故答案为： 【点拨】本题考查的是等腰直角三角形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，作出合适的辅助线构建矩形与等腰直角三角形是解本题的关键． 【变式2】如图，在矩形ABCD中，点M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足为N． (1)求证：△ABN≌△MAD； (2)若AD＝2，AN＝4，求四边形BCMN的面积． 【答案】(1)见分析 (2)S四边形BCMN＝4－8 【分析】 （1）利用矩形的对边平行和四个角都是直角的性质得到两对相等的角，利用AAS证得两三角形全等即可； （2）利用全等三角形的性质求得AD=BN=2，AN=4，从而利用勾股定理求得AB的长，利用S四边形BCMN=S矩形ABCD-S△ABN-S△MAD求得答案即可． 【解析】(1)证明：在矩形ABCD中，∠D＝90°，DC∥AB，∴∠BAN＝∠AMD. ∵BN⊥AM，∴∠BNA＝90°， 在△ABN与△MAD中，， ∴△ABN≌△MAD(AAS)． (2)解：∵△ABN≌△MAD，∴BN＝AD. ∵AD＝2，∴BN＝2. 又∵AN＝4，∴在Rt△ABN中， 由勾股定理，得AB＝2，∴S矩形ABCD＝2×2＝4. 又∵S△ABN＝S△MAD＝×2×4＝4. ∴S四边形BCMN＝S矩形ABCD－S△ABN－S△MAD＝4－8. 【点拨】本题考查了矩形的性质及全等三角形的判定，了解矩形的对边平行且相等，四个角都是直角，对角线相等且互相平分是解答本题的关键，难度不大． 考点十 有关矩形的综合题型 【例1】如图，在矩形中，点在上，，且，垂足为． （1）求证：； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1）见详解；（2）4-8 【分析】 （1）由矩形的性质可得∠D=90°，AB∥CD，从而得∠D=∠ANB，∠BAN=∠AMD，进而即可得到结论； （2）由以及勾股定理得AN=DM=4，AB=，进而即可求解． 【解析】（1）证明：∵在矩形中，∴∠D=90°，AB∥CD，∴∠BAN=∠AMD， ∵，∴∠ANB=90°，即：∠D=∠ANB， 又∵，∴（AAS）， （2）解：∵，∴AN=DM=4， ∵，∴，∴AB=，∴矩形的面积=×2=4， 又∵，∴四边形的面积=4-4-4=4-8． 【点拨】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握AAS证明三角形全等，是解题的关键． 【变式1】阅读下列材料，并解答其后的问题： 我们知道，三角形的中位线平行于第一边，且等于第三边的一半，我们还知道，三角形的三条中位线可以将三角形分成四个全等的一角形，如图1，若D、E、F分别是三边的中点，则有，且 （1）在图1中，若的面积为15，则的面积为___________； （2）在图2中，已知E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形； （3）如图3中，已知E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，，则四边形EFGH的面积为___________. 【答案】（1）；（2）见分析；（3）5． 【分析】 （1）由三角形中位线定理得出DF∥BC，且DF=BC，△ADF≌△DBE≌△FEC≌△EFD，得出△DEF的面积=△ABC的面积=即可； （2）连接BD，证出EH是△ABD的中位线，FG是△BCD的中位线，由三角形中位线定理得出EH∥BD，EH=BD，FG∥BD，FG=BD，得出EH∥FG，EH=FG，即可得出结论； （3）证出EH是△ABD的中位线，FG是△BCD的中位线，由三角形中位线定理得出EH∥BD，EH=BD= ，FG∥BD，FG=BD，得出EH∥FG，EH=FG，证出四边形EFGH是平行四边形，同理：EF∥AC，EF=AC=2，证出EH⊥EF，得出四边形EFGH是矩形，即可得出结果． 【解析】解：（1）∵D、E、F分别是△ABC三边的中点， 则有DF∥BC，且DF=BC，△ADF≌△DBE≌△FEC≌△EFD， ∴△DEF的面积=△ABC的面积=； 故答案为； （2）证明：连接BD，如图2所示： ∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，∴EH是△ABD的中位线，FG是△BCD的中位线， ∴EH∥BD，EH=BD，FG∥BD，FG=BD，∴EH∥FG，EH=FG，∴四边形EFGH是平行四边形； （3）解：∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，∴EH是△ABD的中位线，FG是△BCD的中位线， ∴EH∥BD，EH=BD=，FG∥BD，FG=BD，∴EH∥FG，EH=FG，∴四边形EFGH是平行四边形， 同理：EF∥AC，EF=AC=2， ∵AC⊥BD，∴EH⊥EF，∴四边形EFGH是矩形，∴四边形EFGH的面积=EH×EF=×2=5． 故答案为（1）；（2）见分析；（3）5． 【点拨】本题是四边形综合题目，考查三角形中位线定理、平行四边形的判定、矩形的判定与性质等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明四边形EFGH是平行四边形是解题的关键 【变式2】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若∠BDE=15°，求∠DOE； （3）在（2）的条件下，若AB=2，求△BOE的面积． 【答案】（1）见分析；（2）135°；（3） 【分析】 （1）根据有三个角是直角是四边形是矩形判定即可； （2）首先根据矩形的性质得出OD=OC，然后利用角平分线的定义得出△DCE是等腰直角三角形，进而得出△OCD是等边三角形，然后可得∠OCE=30°，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出∠COE=∠CEO=75°，最后利用∠DOE=∠COD+∠COE即可求解； （3）作OF⊥BC于F，首先根据三角形中位线的性质得出OF=1，然后利用勾股定理求出BC的长度，进而得出BE的长度，最后利用面积公式求解即可． 【解析】（1）证明：∵ADBC，∴∠ABC+∠BAD=180°， ∵∠ABC=90°，∴∠BAD=90°，∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，∴四边形ABCD是矩形． （2）解：由（1）可得：AO=CO，BO=DO，AC=BD，∴OD=OC， ∵DE平分∠ADC，∴∠CDE=45°，∴△DCE是等腰直角三角形，∴∠DEC=45°，CD=CE， ∵∠BDE=15°，∴∠DBC=∠ADB=45°-15°=30°，∴∠BDC=60°，又OD=OC，∴△OCD是等边三角形， ∴OC=CD=CE，∠DCO=∠COD=60°，∴∠OCE=30°，∴∠COE=∠CEO=（180°-30°）÷2=75°， ∴∠DOE=∠COD+∠COE=60°+75°=135°； （3）解：作OF⊥BC于F．∵四边形ABCD是矩形， ∴CD=AB=2，∠BCD=90°，AO=CO，BO=DO，AC=BD， ∴AO=BO=CO=DO，∴BF=FC，∴OF=CD=1， ∵EC=CD=AB=2，∴AC=BD=4，∴BC==， ∴BE=BC-CE=-2， ∴△BOE的面积= ． 【点拨】本题主要考查四边形综合，掌握矩形的判定及性质，等腰三角形的性质和勾股定理是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$