精品解析：2020年云南省高等职业技术教育招生考试数学试题

2020年云南省高等职业技术教育招生考试试题 数 学 本试题纸共3页，满分100分.考试时间120分钟 一.单项选择题（本大题共20小题，每小题2分，满分40分.在每小题给出的四个选项中选出一项符合题目要求的） 1. 若实数，在数轴上的位置如图所示，则化简（ ） A. B. C. D. 2. 已知两数的和为6，这两个数的差的绝对值为8，那么以这两个数为根的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 使不等式成立的充分条件为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. 5 B. 3 C. 1 D. 7. 设集合，，则下面选项中，正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 一钟（表）时针经过40分钟所转过的角度是（ ） A. B. C. D. 9. 已知中,,则（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则（ ） A B. C. D. 11. 已知，为锐角，且，则有（ ） A. B. C. D. 12. 在中，，，，则最短边的长等于（ ） A. B. C. D. 13. 直线绕它与轴的交点，沿逆时针方向旋转，所得的直线方程是（ ） A. B. C. D. 14. 圆被直线所截，截得的弦长等于（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 15. 函数图象可将函数的图象作（ ）变换得到. A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 16. 如果双曲线上的一点P到两个焦点的距离之差是2，则此双曲线的方程是（ ） A. B. C. D. 17. 已知数列中，，且，则（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 18. 已知向量，，，，则（ ） A. B. C. D. 19. 根据欧拉公式：，可将复数表示成的指数形式，那么将表示成指数形式为（ ） A. B. C. D. 20. 将边长为的正方形沿对角线折起，使得，则三棱锥的体积是（ ） A. B. C. D. 二.填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分.） 21. 不等式的解集是______. 22. 已知函数，则的值为______. 23. 已知圆柱的轴截面积为，则此圆柱的侧面积是______. 24. 若椭圆过点，则其焦距______. 25. 若，则______. 三.解答题（本大题共5小题，每小题9分，满分45分.解答时应写出推理.演算步骤.） 26. 已知二次函数的图像交轴于M，N两点，，函数的图像经过线段的中点，求的值及二次函数的解析式. 27. 一圆锥的母线与底面所成的角为，它的侧面积是，求该圆锥的体积. 28. 已知，求的值. 29. 设等差数列的前项和为，已知，求公差的取值范围. 30. 已知是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点 ，且，求的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2020年云南省高等职业技术教育招生考试试题 数 学 本试题纸共3页，满分100分.考试时间120分钟 一.单项选择题（本大题共20小题，每小题2分，满分40分.在每小题给出的四个选项中选出一项符合题目要求的） 1. 若实数，在数轴上的位置如图所示，则化简（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据数轴得出，，即可化简得到结果. 【详解】如图：， 所以， 则， 所以. 故选：C. 2. 已知两数的和为6，这两个数的差的绝对值为8，那么以这两个数为根的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出两个数及大小关系，再根据题意列等式求出两根，构造出一元二次方程并化简即可得到答案. 【详解】不妨设这两个数为， 则由题意可得，，解得， 则以这两个数为根的一元二次方程是， 即. 故选：B. 3. “”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先解绝对值不等式,再根据推出关系易得答案. 【详解】因为,解得或,不能推出, 因为能推出或, 所以“”是“”成立的必要不充分条件. 故选:B. 4. 使不等式成立的充分条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由指数函数的单调性和充分条件判断即可. 【详解】由可得，， ，且，时，不等式不成立， 故且， 可设为指数函数， 当时， 所以函数单调递增，则， 所以或， 故是不等式成立的充分条件. 故选：C. 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对数函数的定义域和二次根式、分式的取值范围判断即可. 【详解】要使函数有意义， 则有，解得， 故函数的定义域为. 故选：C. 6. 已知，则（ ） A. 5 B. 3 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出对应值再代入解析式中求函数值即可. 【详解】由可得：， 则. 故选：B 7. 设集合，，则下面选项中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由绝对值不等式求出集合，再由交集、并集的定义判断即可. 【详解】由，可解得， 则，又， 故，故A项正确，B项错误； ，故C项错误，D项错误. 故选：A. 8. 一钟（表）的时针经过40分钟所转过的角度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据时针转动特征及方向，用弧度表示角求解即可. 【详解】易知时针走一圈是顺时针转动，则转过的角度是， 经过的时间是小时，即分钟， 则时针经过40分钟所转过的角度是. 故选：D. 9. 已知中,,则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由象限角的三角函数值的符号,同角三角函数基本关系式即可得解. 【详解】因为为内角,. 所以为第二象限角. 所以. 解得. 因为. 所以. 故选:. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由诱导公式及余弦的二倍角公式化简计算即可. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 11. 已知，为锐角，且，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同角三角函数的平方关系及条件判断出与的大小关系，再由不等式性质得到和角的余弦公式展开式式子，由和角余弦值正负情况得到和角范围即可. 【详解】因为，为锐角，所以，， 且，则， 由不等式的性质可得， 则有， 且，所以. 故选：A. 12. 在中，，，，则最短边的长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由三角形的各角，判断出最短边，再由正弦定理求解即可. 【详解】在中，，， 所以，因为， 所以在中，最短边为，又， 由正弦定理，， 所以. 故选：D. 13. 直线绕它与轴的交点，沿逆时针方向旋转，所得的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出的斜率，该直线沿逆时针方向旋转，利用正切的两角和公式求出所得直线的斜率，再由点斜式求解直线方程即可. 【详解】直线与轴的交点坐标为， 设直线的倾斜角为， 因为直线的斜率为，则， 直线绕它与轴的交点，沿逆时针方向旋转， 所以所得直线的斜率为， 所以所得直线的方程为，即. 故选：D. 14. 圆被直线所截，截得的弦长等于（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】先将圆的方程化为标准方程，得出圆心坐标和半径，再求出圆心到直线的距离，最后利用圆的弦长公式求解即可. 【详解】圆可化 故圆心坐标为，半径， 圆心坐标到直线的距离， 故截得的弦长为. 故选：C. 15. 函数的图象可将函数的图象作（ ）变换得到. A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数左右平移变换对应解析式变换求解即可. 【详解】. 则函数向左平移得到，故A正确； 经检验，BCD都不满足要求，故错误. 故选：A. 16. 如果双曲线上的一点P到两个焦点的距离之差是2，则此双曲线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据焦点坐标得到及焦点位置，再根据定义得到，由关系得到，代入双曲线方程即可求解. 【详解】由焦点坐标可知，此双曲线焦点在轴上，且， 又由双曲线定义可得，即， 则，双曲线方程即. 故选：D. 17. 已知数列中，，且，则（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】由数列的递推式，判断数列为等差数列，写出其通项，再求即可. 【详解】因为，且， 所以数列是首项，公差为的等差数列， 则， 故. 故选：B. 18. 已知向量，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由两向量垂直的坐标表示即可求出的值. 详解】向量，，且， 则，又因为， 所以 故选：D 19. 根据欧拉公式：，可将复数表示成的指数形式，那么将表示成指数形式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将表示成三角形式，再由题干中的欧拉公式表示成指数形式即可. 【详解】复数，则， 故在第四象限，可取， 故，由欧拉公式可得， 将表示成指数形式为. 故选：A. 20. 将边长为的正方形沿对角线折起，使得，则三棱锥的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出正方形中对角线的一半即可知与的大小，由勾股定理得到，再由对角线互相垂直得到，即可证平面，再代棱锥体积公式计算即可. 【详解】如图所示，取中点，连接，， 在正方形中，有，， 且正方形边长为，则， 则由可知，， 因为平面，， 所以平面， 则. 故选：B. 二.填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分.） 21. 不等式的解集是______. 【答案】 【解析】 【分析】先将不等式的右边化成0，然后转化为分式不等式，由此解得不等式得解集，注意分母不为零. 【详解】不等式可转化为， 即， 则， 解得， 故不等式的解集为：. 故答案为：. 22. 已知函数，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出对应反函数的解析式，再将代入即可求解. 【详解】因为， 所以当时，有反函数存在， 因为， 所以， 所以， 所以. 故答案为： 23. 已知圆柱的轴截面积为，则此圆柱的侧面积是______. 【答案】 【解析】 【分析】由圆柱的轴截面积得出底面圆的半径与高的关系，再计算圆柱的侧面积即可. 【详解】设圆柱的底面圆的半径为，圆柱的高为， 圆柱的轴截面积为，即， 所以圆柱的侧面积为. 故答案为：. 24. 若椭圆过点，则其焦距是______. 【答案】 【解析】 【分析】代点入椭圆方程求参数，再根据关系求出，即可求得焦距. 【详解】代点可得：，解得， 则椭圆中，椭圆焦距. 故答案为：. 25. 若，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】将对数式化为指数式，再解简单的指数方程即可. 【详解】由可得， 即，解得. 故答案为：. 三.解答题（本大题共5小题，每小题9分，满分45分.解答时应写出推理.演算步骤.） 26. 已知二次函数的图像交轴于M，N两点，，函数的图像经过线段的中点，求的值及二次函数的解析式. 【答案】若，，则二次函数； 若，，则二次函数. 【解析】 【分析】设二次函数与轴的两交点，根据韦达定理表示出并求得关于的一个等式，再根据函数过中点得到另一个等式即可求得两未知数及对应解析式. 【详解】设，， 则由及韦达定理可得：，， 则， 即，又因为线段的中点为， 且过该点，所以有，解得（）， 则由可得：. 若，，则二次函数； 若，，则二次函数. 27. 一圆锥的母线与底面所成的角为，它的侧面积是，求该圆锥的体积. 【答案】 【解析】 【分析】根据母线与底面所成的角表示出圆锥的高及底面圆半径，再代侧面积公式算出母线长，即可得到高和半径，代入圆锥体积公式计算即可. 【详解】设圆锥的高为，母线长为，底面圆半径为， 则由圆锥的母线与地面所成的角为， 可得， ， 则由圆锥侧面积可得：， 则圆锥高，圆锥底面半径， 则圆锥体积为. 28. 已知，求的值. 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式将化为，再利用正弦二倍角公式得出，再求出，进而求出即可. 【详解】因为， 所以由可得，， 由二倍角公式可得，即， 又，，， 所以， 所以. 29. 设等差数列的前项和为，已知，求公差的取值范围. 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列的性质将用和表示出来，再由题干条件列出两条不等式，即可求解公差的取值范围. 【详解】等差数列的前项和为， 则， ， 又因为， 所以，解得， 所以公差的取值范围为. 30. 已知是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点 ，且，求的面积. 【答案】 【解析】 【分析】设，由椭圆定义得，再由余弦定理求出，进而 三角形面积公式求解即可. 【详解】由椭圆方程，可得，， 已知是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点 ， 设，则， 又，由余弦定理得 ，即， 所以， 所以的面积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$