专题17 对数运算-2024年高一数学初升高暑假预习（人教A版2019必修一）

2024年高一数学初升高暑假预习（人教A版2019必修一） 专题17 对数运算 考点一 对数的概念和指对数互化 考点二 对数的性质 考点三 对数恒等式 考点四 对数的运算性质 考点五 换底公式 考点六 指、对数综合计算 一、对数的概念 1、定义：一般地，如果（，且），那么数x叫做以a为底N的对数， 记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 2、对数的基本性质 ①当，且时，． ②负数和0没有对数，即. ③特殊值：1的对数是0，即0（，且）； 底数的对数是1，即（，且）． 二、常用对数与自然对数 1、常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，简记为； 2、自然对数：以无理数为底的对数称为自然对数，简记为 三、对数的运算性质 1、运算性质：,且， （1）； （2）； （3） 2、换底公式 (a＞0，且a1；c＞0，且c1；b＞0)． 3、可用换底公式证明以下结论： ①； ②； ③； ④； ⑤. 【题型一 对数的概念和指对数互化】 策略方法 指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式:将指数式的幂作为真数,指数作为对数,底数不变,写出对数式. (2)对数式化为指数式:将对数式的真数作为幂,对数作为指数,底数不变,写出指数式. 指数式与对数式相互转化过程中,底数是相同的. 一、单选题 1．（23-24高一上·贵州贵阳·阶段练习）使式子有意义的的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．， 2．（23-24高一上·福建厦门·期末）已知，则（    ） A．2 B． C．3 D．4 3．（23-24高一上·江苏连云港·期中）已知，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 4．（23-24高一上·江苏连云港·期中）素数也叫质数，部分素数可写成“（为素数”的形式，法国数学家马林梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“为素数”形式的素数称为梅森素数．已知第20个梅森素数为，第19个梅森素数为，则下列各数中与最接近的数为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高一上·全国·课后作业）下列指数式与对数式的互化，正确的一组是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 三、填空题 6．（23-24高一上·北京东城·期中）指数式与对数式互化. （1） （2） . 7．（23-24高一上·上海·假期作业）若，则 ；若，则 . 四、解答题 8．（2023高一上·全国·专题练习）将下列指数式、对数式互化. (1)； (2)； (3)； (4). 【题型二 对数的性质】 策略方法 根据对数性质loga1=0,logaa=1(a>0,且a≠1)可知,若logax=0,则必有x=1,若logax=1,则必有x=a. 一、多选题 1．（22-23高一上·广东东莞·期中）下列四个命题：①；②若，则；③；④.其中真命题是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 二、填空题 2．（23-24高一上·黑龙江牡丹江·期末）计算： . 三、解答题 3．（23-24高一·江苏·假期作业）求下列各式中x的值． (1)； (2)； (3). 【题型三 对数恒等式】 策略方法 形如的式子可直接利用对数恒等式=N求解(此处a>0,且a≠1,N>0). 一、单选题 1．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 二、填空题 2．（23-24高一上·安徽·期末） . 3．（22-23高一上·天津·期末）计算 . 【题型四 对数的运算性质】 策略方法 (1)利用对数的运算性质进行对数式的化简与计算.一般有两种思路:一是将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商,然后化简求值;二是将式中对数的和、差、积、商逆用对数的运算性质化为真数的积、商、幂、方根,然后化简求值. (2)对数计算问题中,涉及lg 2,lg 5时,常利用lg 2+lg 5=1及lg 2=1-lg 5,lg 5=1-lg 2等解题. 一、解答题 1．（2024高三·全国·专题练习）计算下列各式： (1)log5； (2)log2（32×42）； (3)log535－2log5＋log57－log5 2．（22-23高一下·山西大同·阶段练习）化简下列各式： (1)； (2). 3．（24-25高一上·上海·假期作业）已知，（且），用含有的代数式表示. 4．（23-24高一上·青海海东·阶段练习）（1）求值：； （2）设，，试用，表示. 5．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3). 【题型五 换底公式】 策略方法 (1)换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式,将一般对数转化成自然对数或常用对数来运算.要注意换底公式的正用、逆用及变形应用. (2)巧用公式lobm=logab可使步骤更加简明. 一、填空题 1．（23-24高一上·浙江杭州·期末）计算： . 2．（23-24高一下·上海宝山·期末）若，则的值为 ． 3．（23-24高一下·云南昆明·期中）若，则 . 4．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）已知，则 .（用含的式子表示） 5．（23-24高一上·湖北荆州·阶段练习）已知，，则 .（结果用，表示） 二、解答题 6．（24-25高一上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)（，，且，）． 7．（23-24高一上·天津南开·期末）计算：. 8．（23-24高一上·广西·期中）（1）计算：. （2）设，，试用，表示. 9．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）设，且，利用对数的换底公式证明： (1)； (2)； (3)计算：若，求的值． 【题型六 指、对数综合计算】 策略方法 利用对数式与指数式互化求值的方法 (1)在对数式、指数式的互化运算中,要注意灵活运用定义、性质和运算法则,尤其要注意条件和结论之间的关系,进行正确的转化. (2)对于连等式可令其等于k(k>0),然后将指数式用对数式表示,再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数,从而使问题得解. 一、填空题 1．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知，则 . 2．（22-23高二下·浙江宁波·期末）已知实数a，b满足且，则m＝ . 二、单选题 3．（23-24高一上·广东广州·期末）里氏震级是一种由科学家里克特（Richter）和古登堡（Gutenberg）在1935年提出的地震震级标度，其计算公式为，其中是距震源100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅，是指这次地震在距震源100公里处接收到的地震波的最大振幅，震源放出的能量越大，震级就越大，地震释放的能量焦耳.若地震释放的能量增大为原来的1000倍，则地震波的最大振幅增大为原来的（    ） A．10倍 B．15倍 C．48倍 D．100倍 4．（23-24高一上·四川德阳·期末）当生物死亡后，它体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来是一半，这个时间称为“半衰期”．在最近的一次发掘中，三星堆3、4号祭祀坑出土了170多颗象牙．某志愿者检测到某颗象牙的碳14含量只剩下原来的，根据该志愿者的检测结果，可推断，这头大象大约生活在距今（    ）．（精确到百年，参考数据：） A．3800年 B．4200年 C．4600年 D．5000年 5．（23-24高三上·四川遂宁·阶段练习）若，则下列各式的值等于1的是（ ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知互不相同的实数，满足，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 三、多选题 7．（23-24高一上·安徽亳州·阶段练习）已知正实数，满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）已知正实数x，y，z满足，则（    ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年高一数学初升高暑假预习（人教A版2019必修一） 专题17 对数运算 考点一 对数的概念和指对数互化 考点二 对数的性质 考点三 对数恒等式 考点四 对数的运算性质 考点五 换底公式 考点六 指、对数综合计算 一、对数的概念 1、定义：一般地，如果（，且），那么数x叫做以a为底N的对数， 记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 2、对数的基本性质 ①当，且时，． ②负数和0没有对数，即. ③特殊值：1的对数是0，即0（，且）； 底数的对数是1，即（，且）． 二、常用对数与自然对数 1、常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，简记为； 2、自然对数：以无理数为底的对数称为自然对数，简记为 三、对数的运算性质 1、运算性质：,且， （1）； （2）； （3） 2、换底公式 (a＞0，且a1；c＞0，且c1；b＞0)． 3、可用换底公式证明以下结论： ①； ②； ③； ④； ⑤. 【题型一 对数的概念和指对数互化】 策略方法 指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式:将指数式的幂作为真数,指数作为对数,底数不变,写出对数式. (2)对数式化为指数式:将对数式的真数作为幂,对数作为指数,底数不变,写出指数式. 指数式与对数式相互转化过程中,底数是相同的. 一、单选题 1．（23-24高一上·贵州贵阳·阶段练习）使式子有意义的的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．， 【答案】C 【分析】根据题意，结合对数式的定义，列出不等式组，即可求解. 【详解】由式子有意义，则满足，解得且. 故选：C. 2．（23-24高一上·福建厦门·期末）已知，则（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据对数运算分析求解. 【详解】因为，可得， 且，解得. 故选：B. 3．（23-24高一上·江苏连云港·期中）已知，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】C 【分析】对数式化为指数式，再由指数的运算法则求解． 【详解】由得，即，又且，所以， 故选：C． 4．（23-24高一上·江苏连云港·期中）素数也叫质数，部分素数可写成“（为素数”的形式，法国数学家马林梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“为素数”形式的素数称为梅森素数．已知第20个梅森素数为，第19个梅森素数为，则下列各数中与最接近的数为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，再结合以及指数、对数互换运算即可得解, 【详解】由题意， 又，所以， 从而对比各个选项可知，各数中与最接近的数为. 故选：B. 二、多选题 5．（23-24高一上·全国·课后作业）下列指数式与对数式的互化，正确的一组是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】ABD 【分析】根据指数式与对数式的互化公式且可得答案. 【详解】根据指数式与对数式的互化公式且可知，ABD正确； 对于C，，故C错误. 故选：ABD 三、填空题 6．（23-24高一上·北京东城·期中）指数式与对数式互化. （1） （2） . 【答案】 【分析】根据指数式和对数式互化的规定：底数不变，指数变对数，幂值变真数进行变换即得. 【详解】（1）由可得：；由可得. 故答案为：； 7．（23-24高一上·上海·假期作业）若，则 ；若，则 . 【答案】 / 【分析】根据指数和对数的概念直接求解即可. 【详解】由指数和对数的概念可得若，则， 若，则， 故答案为：； 四、解答题 8．（2023高一上·全国·专题练习）将下列指数式、对数式互化. (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】根据指数与对数互化的公式即可得到答案. 【详解】（1）由，得； （2）由，得； （3）由，得； （4）由，得. 【题型二 对数的性质】 策略方法 根据对数性质loga1=0,logaa=1(a>0,且a≠1)可知,若logax=0,则必有x=1,若logax=1,则必有x=a. 一、多选题 1．（22-23高一上·广东东莞·期中）下列四个命题：①；②若，则；③；④.其中真命题是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】AB 【分析】根据对数的概念和常见底数的对数逐一判断每个选项 【详解】①，正确； ②根据指数式和对数式的互化可知其正确； ③，错误； ④，对数的真数部分是正数，因此无意义，错误. 故选：AB 二、填空题 2．（23-24高一上·黑龙江牡丹江·期末）计算： . 【答案】2 【分析】直接利用零指数幂的意义和底的对数等于1得到结果. 【详解】因为：，，所以原式. 故答案为：2 三、解答题 3．（23-24高一·江苏·假期作业）求下列各式中x的值． (1)； (2)； (3). 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用对数式与指数式的关系化简即可； （2）利用对数式与指数式的关系结合指数运算性质化简即可； （3）利用对数式与指数式的关系结合指数运算性质化简即可. 【详解】（1）∵， ∴，∴； （2）∵， ∴， ∴； （3）由可得，， 故，所以. 【题型三 对数恒等式】 策略方法 形如的式子可直接利用对数恒等式=N求解(此处a>0,且a≠1,N>0). 一、单选题 1．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据指对数的运算即可求出结果. 【详解】因为， 故选：C. 二、填空题 2．（23-24高一上·安徽·期末） . 【答案】 【分析】根据指数与对数的互化、对数的运算性质计算直接得出结果. 【详解】原式. 故答案为： 3．（22-23高一上·天津·期末）计算 . 【答案】/ 【分析】根据对数与指数运算计算即可. 【详解】. 故答案为： 【题型四 对数的运算性质】 策略方法 (1)利用对数的运算性质进行对数式的化简与计算.一般有两种思路:一是将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商,然后化简求值;二是将式中对数的和、差、积、商逆用对数的运算性质化为真数的积、商、幂、方根,然后化简求值. (2)对数计算问题中,涉及lg 2,lg 5时,常利用lg 2+lg 5=1及lg 2=1-lg 5,lg 5=1-lg 2等解题. 一、解答题 1．（2024高三·全国·专题练习）计算下列各式： (1)log5； (2)log2（32×42）； (3)log535－2log5＋log57－log5 【答案】(1) (2)9 (3)2 【详解】 解：（1） 原式＝log5625＝log554＝. （2） 原式＝log232＋log242＝5＋4＝9. （3） 原式＝log5（5×7）－2（log57－log53）＋log57－log5＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2log55＝2. 【考查意图】对数的化简与运算． 2．（22-23高一下·山西大同·阶段练习）化简下列各式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）、（2）利用对数的运算法则求解即可. 【详解】（1）原式. （2）原式 . 3．（24-25高一上·上海·假期作业）已知，（且），用含有的代数式表示. 【答案】 【分析】由证明，即可得到答案. 【详解】. 故. 4．（23-24高一上·青海海东·阶段练习）（1）求值：； （2）设，，试用，表示. 【答案】（1）101；（2）． 【分析】（1）利用对数运算性质和指数幂的运算化简计算即可； （2）利用换底公式和对数运算性质求解即可. 【详解】（1） . （2）. 5．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据指数运算求得正确答案； （2）（3）根据对数运算求得正确答案. 【详解】（1） . （2） . （3） . 【题型五 换底公式】 策略方法 (1)换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式,将一般对数转化成自然对数或常用对数来运算.要注意换底公式的正用、逆用及变形应用. (2)巧用公式lobm=logab可使步骤更加简明. 一、填空题 1．（23-24高一上·浙江杭州·期末）计算： . 【答案】4 【分析】根据题意，由换底公式代入计算，即可得到结果. 【详解】××＝4. 故答案为： 2．（23-24高一下·上海宝山·期末）若，则的值为 ． 【答案】125 【分析】由题意，结合对数的换底公式计算即可求解. 【详解】由题意知，，则， 所以， 解得. 故答案为：125 3．（23-24高一下·云南昆明·期中）若，则 . 【答案】1 【分析】根据指数与对数的互化可得，结合对数的换底公式和运算性质即可求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为：1. 4．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）已知，则 .（用含的式子表示） 【答案】 【分析】根据指数与对数的关系得到，再由换底公式及对数的运算性质计算可得. 【详解】因为，所以，又， 所以 . 故答案为： 5．（23-24高一上·湖北荆州·阶段练习）已知，，则 .（结果用，表示） 【答案】 【分析】应用指对互化及对数的运算律及换底公式即可. 【详解】，则，，则， 则， 故答案为： 二、解答题 6．（24-25高一上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)（，，且，）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 利用对数的换底公式以及对数的运算性质计算. 【详解】（1）； （2）； （3）． 7．（23-24高一上·天津南开·期末）计算：. 【答案】 【分析】利用对数的概念和运算法则进行计算可得. 【详解】原式. 故答案为： 8．（23-24高一上·广西·期中）（1）计算：. （2）设，，试用，表示. 【答案】（1）2；（2） 【分析】（1）根据对数运算性质化简求值即可； （2）根据换底公式及对数运算性质化简求解即可. 【详解】（1） . （2）. 9．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）设，且，利用对数的换底公式证明： (1)； (2)； (3)计算：若，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）直接利用换底公式即可证明结果； （2）直接利用换底公式即可证明结果； （3）根据条件，利用换底公式得到，即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以命题得证. （2）因为，所以命题得证. （3）因为，所以， 故，即的值为. 【题型六 指、对数综合计算】 策略方法 利用对数式与指数式互化求值的方法 (1)在对数式、指数式的互化运算中,要注意灵活运用定义、性质和运算法则,尤其要注意条件和结论之间的关系,进行正确的转化. (2)对于连等式可令其等于k(k>0),然后将指数式用对数式表示,再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数,从而使问题得解. 一、填空题 1．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知，则 . 【答案】2 【分析】利用对数式和指数式之间的转化和换底公式求解即可, 【详解】， ， ， 则. 故答案为：2 2．（22-23高二下·浙江宁波·期末）已知实数a，b满足且，则m＝ . 【答案】100 【分析】根据指数与对数的互化公式，表示出，再结合换底公式表示出，最后结合对数运算即可求解 【详解】由可得， 又，即， 所以，即 故答案为： 二、单选题 3．（23-24高一上·广东广州·期末）里氏震级是一种由科学家里克特（Richter）和古登堡（Gutenberg）在1935年提出的地震震级标度，其计算公式为，其中是距震源100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅，是指这次地震在距震源100公里处接收到的地震波的最大振幅，震源放出的能量越大，震级就越大，地震释放的能量焦耳.若地震释放的能量增大为原来的1000倍，则地震波的最大振幅增大为原来的（    ） A．10倍 B．15倍 C．48倍 D．100倍 【答案】D 【分析】由对数、指数运算即可求解. 【详解】由题意，所以， 又，所以， 所以若地震释放的能量增大为原来的1000倍，则地震波的最大振幅增大为原来的100倍. 故选：D. 4．（23-24高一上·四川德阳·期末）当生物死亡后，它体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来是一半，这个时间称为“半衰期”．在最近的一次发掘中，三星堆3、4号祭祀坑出土了170多颗象牙．某志愿者检测到某颗象牙的碳14含量只剩下原来的，根据该志愿者的检测结果，可推断，这头大象大约生活在距今（    ）．（精确到百年，参考数据：） A．3800年 B．4200年 C．4600年 D．5000年 【答案】C 【分析】设该生物的死亡时间为t，根据题意列出关于t的方程，利用指数方程的求解，转化成对数求解即可得到答案． 【详解】设这头大象大约生活在距今t年，则 ， 这头大象大约生活在距今约4600年， 故选：C. 5．（23-24高三上·四川遂宁·阶段练习）若，则下列各式的值等于1的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将指数化为对数，然后利用对数运算性质及换底公式求解即可. 【详解】因为，所以，所以，， 所以. 故选：B. 6．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知互不相同的实数，满足，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】令，用对数来表示，代入所求式子进行化简即可. 【详解】， 所以，，，代入 化简得：. 故选：B 三、多选题 7．（23-24高一上·安徽亳州·阶段练习）已知正实数，满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】设，得到，，，利用对数的运算法则计算ACD正确，，B错误，得到答案. 【详解】设，，则，，， 对选项A：，，，，故，正确； 对选项B：，错误； 对选项C：，即，正确； 对选项D：，即，正确； 故选：ACD 8．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）已知正实数x，y，z满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】首先先把用对数式表示出来，对于ACD直接运用对数的运算公式计算即可，对于B借助选项A的结论以及基本不等式即可， 【详解】设，则，，，且， 由，A正确； 由A可知，，所以，由不等式得，即，所以，即， 当且仅当，即，时取得等号，又时，由可得， 与，矛盾，所以，B正确； ， 所以，， 所以，所以，C正确，D错误． 故选：ABC 1 学科网（北京）股份有限公司 $$