第11讲 圆的方程（七大题型）-2024年暑假高一升高二数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

第11讲 圆的方程 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：圆的标准方程 ，其中为圆心，为半径． 知识点诠释： （1）如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是．有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点： （2）圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点． （3）标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径．由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法． 知识点二：点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有 （1）若点在圆上 （2）若点在圆外 （3）若点在圆内 知识点三：圆的一般方程 当时，方程叫做圆的一般方程．为圆心，为半径． 知识点诠释： 由方程得 （1）当时，方程只有实数解．它表示一个点． （2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆． 知识点四：用待定系数法求圆的方程的步骤 求圆的方程常用“待定系数法”．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： （1）根据题意，选择标准方程或一般方程． （2）根据已知条件，建立关于或的方程组． （3）解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程． 知识点五：轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程． 1、当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）． 2、求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． 3、求轨迹方程的步骤： （1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标； （2）列出关于的方程； （3）把方程化为最简形式； （4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； （5）作答． 【典例例题】 题型一：圆的标准方程 【典例1-1】（2024·高二·全国·期末）以为圆心，为半径的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2024·高二·山东烟台·阶段练习）圆心在轴上，半径为，且过点的圆的方程为（     ）． A． B． C． D． 【变式1-1】（2024·高二·安徽·阶段练习）已知，，圆M经过A，B两点，且圆的周长被x轴平分，则圆M的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024·高二·浙江杭州·期中）过和两点的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2024·高二·甘肃白银·期末）圆的圆心在直线上，且和轴相切于点，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】（2024·高二·辽宁·阶段练习）若圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 题型二：圆的一般方程 【典例2-1】（2024·高二·浙江宁波·期中）过三点的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024·高二·四川·阶段练习）在平面直角坐标系中，四点坐标分别为，，，，若它们都在同一个圆周上，则a的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【变式2-2】（2024·高二·全国·课后作业）若不同的四点，，，共圆，则a的值为（    ） A．1 B．3 C． D．7 【变式2-3】（2024·高二·广东佛山·阶段练习）已知，则的外接圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 题型三：点与圆的位置关系 【典例3-1】（2024·高二·湖北荆门·期末）已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2024·高二·江苏扬州·阶段练习）已知点为圆外一点，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】（2024·河南省直辖县级单位·二模）已知点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024·高二·云南·期中）若点在圆x2＋y2＋2ax－2y＋2＝0外，则a的取值范围是（    ） A．a＞－1 B．a＜－1 C．a＞1 D．a＜1 题型四：二元二次曲线与圆的关系 【典例4-1】（多选题）（2024·高二·安徽马鞍山·阶段练习）已知方程表示一个圆，则实数m可能的取值为（    ） A．－1 B．0 C． D．1 【典例4-2】（多选题）（2024·高二·四川泸州·阶段练习）已知圆的方程为，则下列结论中正确的是（    ） A．实数k的取值范围是 B．实数k的取值范围是 C．当圆的周长最大时，圆心坐标是 D．圆的最大面积是π 【变式4-1】（多选题）（2024·高二·陕西西安·阶段练习）若曲线是一个圆，则的取值可以是（    ） A． B． C．2 D．6 【变式4-2】（多选题）（2024·高二·江苏·假期作业）已知曲线（    ） A．若，则C是圆 B．若，，则C是圆 C．若，，则C是直线 D．若，，则C是直线 题型五：圆过定点问题 【典例5-1】（2024·高二·江西南昌·阶段练习）已知圆，点，平面内一定点（异于点），对于圆上的任意动点，都有为定值，定点的坐标为 ． 【典例5-2】（2024·高二·上海徐汇·期中）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ． 【变式5-1】（2024·高三·上海闵行·期中）若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点、、，则的外接圆恒过的定点坐标为 【变式5-2】（2024·高三·上海徐汇·期末）已知二次函数的图像与坐标轴有三个不同的交点，经过这三个交点的圆记为，则圆经过定点的坐标为 （其坐标与无关） 【变式5-3】（2024·高二·上海·开学考试）对任意实数，圆恒过定点，则其坐标为 . 题型六：轨迹问题 【典例6-1】（2024·高二·江西吉安·期末）已知圆:过原点作圆的弦,则的中点的轨迹方程为 ． 【典例6-2】（2024·高二·山西太原·期中）已知点是直线上的动点，点在线段上（是坐标原点），且满足，则动点的轨迹方程为 ． 【变式6-1】（2024·高二·广东珠海·期末）已知点，，若点P满足，则P的轨迹方程为 ． 【变式6-2】（2024·高二·河南南阳·期末）已知圆的圆心为直线与直线的交点，且圆的半径为. (1)求圆的标准方程； (2)若为圆上任意一点，，点满足，求点的轨迹方程. 【变式6-3】（2024·高二·广东佛山·期末）已知点，圆上两动点满足，且四边形是矩形． (1)当点在第一象限且横坐标为3时，求边所在直线的方程； (2)求点的轨迹方程． 【变式6-4】（2024·高二·山西太原·期中）已知圆心为C的圆经过点和点两点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的标准方程； (2)已知线段MN的端点M的坐标，另一端点N在圆C上运动，求线段MN的中点G的轨迹方程． 【变式6-5】（2024·高二·全国·课后作业）由动点P向圆引两条切线，，切点分别为A，B，，求动点P的轨迹方程. 【变式6-6】（2024·高二·全国·专题练习）如图，已知点的坐标为，是以点为圆心的单位圆上的动点(不与点重合)，的角平分线交直线于点，求点的轨迹方程． 【变式6-7】（2024·高二·江苏南通·阶段练习）已知点和圆为圆上的动点. (1)求的中点的轨迹方程； (2)若，求线段中点的轨迹方程. 【变式6-8】（2024·高二·全国·课后作业）从定点向圆任意引一割线交圆于P，Q两点，求弦PQ的中点M的轨迹方程. 【变式6-9】（2024·高二·全国·课后作业）如图，已知点A(-1，0)与点B(1，0)，C是圆x2+y2=1上异于A，B两点的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|=|BC|，求线段AC与OD的交点P的轨迹方程.    题型七：阿波罗尼斯圆综合应用问题 【典例7-1】（2024·福建莆田·三模）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：若动点M与两个定点A，B的距离之比为常数（，），则点M的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知，M是平面内一动点，且，则点M的轨迹方程为 .若点Р在圆上，则的最小值是 . 【典例7-2】（2024·高二·江苏徐州·阶段练习）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．已知圆上的动点和定点，则的最小值为 ． 【变式7-1】（2024·上海·模拟预测）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知动点在圆上，若点，点，则的最小值为 ． 【变式7-2】（2024·高二·山东·阶段练习）若A，B是平面内不同的两定点，动点满足（且），则点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知是圆上的动点，点，，则的最大值为 ． 【变式7-3】（2024·高二·贵州·阶段练习）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）．在平面直角坐标系中，已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-4】（2024·高二·四川遂宁·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点满足．当三点不共线时，面积的最大值为（    ） A．24 B．12 C． D． 【过关测试】 1．（2024·高二·安徽黄山·期末）圆与圆N关于直线对称，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·高二·河南开封·期末）已知圆经过点，且圆心在直线上，则圆的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·高二·河北邯郸·期末）已知圆过点，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·高二·四川成都·期末）圆关于直线对称后的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·高二·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知圆C经过点和点，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·高二·江苏·假期作业）过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·高二·上海·期中）方程表示圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 8．（2024·高二·福建厦门·期中）若，则方程表示的圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2024·高二·全国·课后作业）若方程表示圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．（2024·高二·全国·课后作业）下列方程能表示圆的是（    ） A． B． C． D． 11．（2024·高二·广东·期末）已知方程表示一个圆，则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（2024·高二·贵州六盘水·期末）已知曲线，则“”是“曲线是圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．（2024·高二·北京顺义·期中）若表示圆的方程，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（2024·高二·广东东莞·阶段练习）已知线段的端点的坐标，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹所围成图形的面积（    ） A． B． C． D． 15．（2024·高二·四川内江·阶段练习）阿波罗尼斯（公元前262年—公元前190年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点A，B，则所有满足（且）的点P的轨迹是一个圆．已知平面内的两个相异定点，，动点M满足，记M的轨迹为C，则轨迹C围成图形的面积是（    ） A． B． C． D． 16．（2024·高二·山东枣庄·期末）两定点A，B的距离为3，动点M满足，则M点的轨迹长为（    ） A． B． C． D． 17．（2024·高二·四川绵阳·期中）阿波罗尼斯（公元前262年~公元前190年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点A，B，则所有满足（，且）的点P的轨迹是一个圆．已知平面内的两个相异定点，，动点M满足，记M的轨迹为C，则轨迹C围成图形的面积是（    ） A． B． C． D． 18．（多选题）（2024·广西·模拟预测）若点在圆的外部，则的取值可能为（    ） A． B．1 C．4 D．7 19．（2024·高一·全国·课后作业）已知方程表示圆，其中，且a≠1，则不论a取不为1的任何实数，上述圆恒过的定点的坐标是 . 20．（2024·高二·四川成都·期中）已知平面内两个定点A，B及动点P，若（且），则点P的轨迹是圆．后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆．已知，，直线：，直线：，若P为，的交点，则的最小值为 ． 21．（2024·高二·全国·单元测试）当点P在圆上运动时，连接点P与定点，则线段的中点M的轨迹方程为 . 22．（2024·高二·北京·期末）已知点和点，直角以BC为斜边，求直角顶点A的轨迹方程 . 23．（2024·高二·河南焦作·阶段练习）已知两点，，点P满足，则点P的轨迹方程为 . 24．（2024·高二·山西运城·阶段练习）已知圆C经过（-1，3），（5，3），（2，0）三点. (1)求圆C的方程； (2)设点A在圆C上运动，点，且点M满足，求点M的轨迹方程. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 圆的方程 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：圆的标准方程 ，其中为圆心，为半径． 知识点诠释： （1）如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是．有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点： （2）圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点． （3）标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径．由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法． 知识点二：点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有 （1）若点在圆上 （2）若点在圆外 （3）若点在圆内 知识点三：圆的一般方程 当时，方程叫做圆的一般方程．为圆心，为半径． 知识点诠释： 由方程得 （1）当时，方程只有实数解．它表示一个点． （2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆． 知识点四：用待定系数法求圆的方程的步骤 求圆的方程常用“待定系数法”．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： （1）根据题意，选择标准方程或一般方程． （2）根据已知条件，建立关于或的方程组． （3）解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程． 知识点五：轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程． 1、当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）． 2、求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． 3、求轨迹方程的步骤： （1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标； （2）列出关于的方程； （3）把方程化为最简形式； （4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； （5）作答． 【典例例题】 题型一：圆的标准方程 【典例1-1】（2024·高二·全国·期末）以为圆心，为半径的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据圆的标准方程可写出， 故选：A. 【典例1-2】（2024·高二·山东烟台·阶段练习）圆心在轴上，半径为，且过点的圆的方程为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意设圆心为，则圆的方程为， 又，解得，所以圆的方程为. 故选：D 【变式1-1】（2024·高二·安徽·阶段练习）已知，，圆M经过A，B两点，且圆的周长被x轴平分，则圆M的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，，中点为， 所以线段的中垂线为，令得， 所以，半径，所以圆M的标准方程为． 故选：B. 【变式1-2】（2024·高二·浙江杭州·期中）过和两点的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 设过和两点的圆的圆心为，半径为， 则， 故，当且仅当为中点时等号成立， 故过和两点的圆的面积最小时直径为， 此时圆的圆心为，故其标准方程为， 故选：C. 【变式1-3】（2024·高二·甘肃白银·期末）圆的圆心在直线上，且和轴相切于点，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为圆心在直线上，故设圆心， 又因为圆和轴相切于点，所以，即，则半径， 故圆的标准方程为. 故选：B. 【变式1-4】（2024·高二·辽宁·阶段练习）若圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设该圆方程为， 则圆心为，有， 将点，代入， 有，化简得， 两式相减得，即有，则， ， 故该圆方程为. 故选：B. 题型二：圆的一般方程 【典例2-1】（2024·高二·浙江宁波·期中）过三点的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设圆的方程为，将A，B，C三点的坐标代入方程， 整理可得，解得， 故所求的圆的一般方程为， 故选：D． 【典例2-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆的一般方程为，圆心坐标为， 因为圆经过两点，，且圆心在直线上， 所以，解得， 所以圆的方程为. 故选：C. 【变式2-1】（2024·高二·四川·阶段练习）在平面直角坐标系中，四点坐标分别为，，，，若它们都在同一个圆周上，则a的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】C 【解析】设的外接圆为 由题意可得：，解得 ∴的外接圆为 若在该圆上，则，解得 故选：C. 【变式2-2】（2024·高二·全国·课后作业）若不同的四点，，，共圆，则a的值为（    ） A．1 B．3 C． D．7 【答案】D 【解析】设圆的方程为，分别代入A，B，C三点坐标，得， 解得， 所以A，B，C三点确定的圆的方程为． 因为也在此圆上，所以， 所以， 解得a＝7或（舍去）． 故选：D． 【变式2-3】（2024·高二·广东佛山·阶段练习）已知，则的外接圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设外接圆的方程为：， 由题意可得：，解得：， 即的外接圆的方程为：． 故选：C. 题型三：点与圆的位置关系 【典例3-1】（2024·高二·湖北荆门·期末）已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，圆的标准方程为， 故，， 又点在圆外，所以， ，或， 所以m的取值范围为． 故选：D. 【典例3-2】（2024·高二·江苏扬州·阶段练习）已知点为圆外一点，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因在圆外，则，得. 又表示圆，则，得. 综上：. 故选：D 【变式3-1】（2024·河南省直辖县级单位·二模）已知点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，表示圆 故，即或 点A（1，2）在圆C：外 故，即 故实数m的取值范围为或 即 故选：A 【变式3-2】（2024·高二·云南·期中）若点在圆x2＋y2＋2ax－2y＋2＝0外，则a的取值范围是（    ） A．a＞－1 B．a＜－1 C．a＞1 D．a＜1 【答案】C 【解析】因为点在圆外，所以，即， 所以， 又因为为圆，所以， 即，解得或， 综上知，a的取值范围是． 故选：C. 题型四：二元二次曲线与圆的关系 【典例4-1】（多选题）（2024·高二·安徽马鞍山·阶段练习）已知方程表示一个圆，则实数m可能的取值为（    ） A．－1 B．0 C． D．1 【答案】BC 【解析】因为方程表示一个圆， 令， 所以由， 化简得，解得. 故选：BC. 【典例4-2】（多选题）（2024·高二·四川泸州·阶段练习）已知圆的方程为，则下列结论中正确的是（    ） A．实数k的取值范围是 B．实数k的取值范围是 C．当圆的周长最大时，圆心坐标是 D．圆的最大面积是π 【答案】ACD 【解析】将圆的方程为化为标准式为， 由，解得，故A正确，B错误； 当时，圆的半径最大，则圆的周长以及面积最大， 此时半径为，圆心坐标为，则圆的面积为，故CD正确； 故选：ACD 【变式4-1】（多选题）（2024·高二·陕西西安·阶段练习）若曲线是一个圆，则的取值可以是（    ） A． B． C．2 D．6 【答案】AD 【解析】因为曲线表示圆，所以，解得或. 故选：AD 【变式4-2】（多选题）（2024·高二·江苏·假期作业）已知曲线（    ） A．若，则C是圆 B．若，，则C是圆 C．若，，则C是直线 D．若，，则C是直线 【答案】BC 【解析】对于A，当时，， 若，则C是圆； 若，则C是点； 若，则C不存在.故A错误. 对于B，当时，，且， 则C是圆，故B正确. 对于C，当时，，且，则C是直线，故C正确. 对于D，当，时，， 若，则表示一元二次方程， 若，则表示抛物线，故D错误. 故选：BC 题型五：圆过定点问题 【典例5-1】（2024·高二·江西南昌·阶段练习）已知圆，点，平面内一定点（异于点），对于圆上的任意动点，都有为定值，定点的坐标为 ． 【答案】 【解析】设，且， ， 因为为定值，设， 化简得：，与点位置无关， 所以， 解得：或， 因为异于点，所以定点N为. 故答案为：. 【典例5-2】（2024·高二·上海徐汇·期中）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ． 【答案】或 【解析】，即， 令，解得，，或，， 所以定点的坐标是或． 故答案为：或. 【变式5-1】（2024·高三·上海闵行·期中）若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点、、，则的外接圆恒过的定点坐标为 【答案】 【解析】设抛物线交轴于点，交轴于点、， 由题意可知，由韦达定理可得，， 所以，线段的中点为，设圆心为， 由可得，解得， ，则，则， 所以，圆的方程为， 整理可得， 方程组的解为. 因此，的外接圆恒过的定点坐标为. 故答案为：. 【变式5-2】（2024·高三·上海徐汇·期末）已知二次函数的图像与坐标轴有三个不同的交点，经过这三个交点的圆记为，则圆经过定点的坐标为 （其坐标与无关） 【答案】和 【解析】二次函数的图像与坐标轴有三个不同的交点，记为，易知，满足，，，，设圆方程为，则 ， ①－②得，，∴，从而， 代入③得， ∴圆方程为， 整理得， 由得或． ∴圆过定点和． 【变式5-3】（2024·高二·上海·开学考试）对任意实数，圆恒过定点，则其坐标为 . 【答案】、 【解析】由由得，故，解得或. 故填：、. 题型六：轨迹问题 【典例6-1】（2024·高二·江西吉安·期末）已知圆:过原点作圆的弦,则的中点的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】设则代入圆: 可得即 点的轨迹方程为 故答案为： 【典例6-2】（2024·高二·山西太原·期中）已知点是直线上的动点，点在线段上（是坐标原点），且满足，则动点的轨迹方程为 ． 【答案】（） 【解析】设，设，依题意可知， 由于三点共线，所以，则， 由于，所以， 整理得（）. 故答案为：（） 【变式6-1】（2024·高二·广东珠海·期末）已知点，，若点P满足，则P的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】设，由，故， 化简得：，故P的轨迹方程为. 故答案为：. 【变式6-2】（2024·高二·河南南阳·期末）已知圆的圆心为直线与直线的交点，且圆的半径为. (1)求圆的标准方程； (2)若为圆上任意一点，，点满足，求点的轨迹方程. 【解析】（1）由解得，则圆心为，半径为， ∴圆的标准方程为. （2）设，. 由，可得， 则，又点在圆上，所以， 即，化简得， ∴点的轨迹方程为. 【变式6-3】（2024·高二·广东佛山·期末）已知点，圆上两动点满足，且四边形是矩形． (1)当点在第一象限且横坐标为3时，求边所在直线的方程； (2)求点的轨迹方程． 【解析】（1）设点，由，得，直线的斜率，而， 所以直线的方程为，即. （2）由于线段是圆的弦，则线段的中垂线必过圆心， 又线段的中垂线是矩形的对称轴，因此该对称轴垂直平分线段，即， 显然不重合，当重合时，点重合，则点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆（除点外）， 所以点的轨迹方程是. 【变式6-4】（2024·高二·山西太原·期中）已知圆心为C的圆经过点和点两点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的标准方程； (2)已知线段MN的端点M的坐标，另一端点N在圆C上运动，求线段MN的中点G的轨迹方程． 【解析】（1）因为圆C经过点和点两点， 所以圆心C在线段的垂直平分线上，即上， 联立可解得，即， 所以圆C的半径为 则圆C的标准方程； （2）设线段MN的中点， 又M的坐标，且G为线段MN的中点， 所以， 又N在圆C上运动， 可得， 化简可得， 所以，线段MN的中点G的轨迹方程. 【变式6-5】（2024·高二·全国·课后作业）由动点P向圆引两条切线，，切点分别为A，B，，求动点P的轨迹方程. 【解析】设点的坐标为，则， ， ，即. 所以动点P的轨迹方程为. 【变式6-6】（2024·高二·全国·专题练习）如图，已知点的坐标为，是以点为圆心的单位圆上的动点(不与点重合)，的角平分线交直线于点，求点的轨迹方程． 【解析】由三角形的角平分线的性质，可得，所以， 设点，则， 所以，所以， 因为，所以， 又因为点在圆上，所以，即， 即点的轨迹方程为. 【变式6-7】（2024·高二·江苏南通·阶段练习）已知点和圆为圆上的动点. (1)求的中点的轨迹方程； (2)若，求线段中点的轨迹方程. 【解析】（1）设点， ，整理得， 点在圆上， ， 整理得点的轨迹方程为. （2）设的中点为，在中，， 设为坐标原点，连接，则， ， . 故线段中点的轨迹方程为. 【变式6-8】（2024·高二·全国·课后作业）从定点向圆任意引一割线交圆于P，Q两点，求弦PQ的中点M的轨迹方程. 【解析】设所求轨迹上任一点， 圆C的方程可化为 则圆心坐标为，， 因为，所以点M的轨迹是以AC为直径的圆（在圆C内部的部分）， 因为AC的中点坐标为， 所以点M的轨迹方程为（在圆C内部的部分）． 【变式6-9】（2024·高二·全国·课后作业）如图，已知点A(-1，0)与点B(1，0)，C是圆x2+y2=1上异于A，B两点的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|=|BC|，求线段AC与OD的交点P的轨迹方程.    【解析】设动点P(x，y)，由题意可知P是△ABD的重心，由A(-1，0)，B(1，0)， 令动点C(x0，y0)，则D(2x0-1，2y0)， 由重心坐标公式得， 则代入， 整理得 故所求轨迹方程为. 题型七：阿波罗尼斯圆综合应用问题 【典例7-1】（2024·福建莆田·三模）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：若动点M与两个定点A，B的距离之比为常数（，），则点M的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知，M是平面内一动点，且，则点M的轨迹方程为 .若点Р在圆上，则的最小值是 . 【答案】 【解析】设，则， 整理得（或）. 设，则， 故 . 令，则=. 故答案为：； 【典例7-2】（2024·高二·江苏徐州·阶段练习）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．已知圆上的动点和定点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】如图所示：圆心为，取，则，， 故，， ， 当且仅当三点共线，且在线段上时等号成立， 故答案为：. 【变式7-1】（2024·上海·模拟预测）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知动点在圆上，若点，点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】设，不妨取，使得，所以， 整理得：. 此方程与为同一方程，所以，解得：，即. 所以（当且仅当P、B、C三点共线时等号成立） 此时. 所以的最小值为. 故答案为：. 【变式7-2】（2024·高二·山东·阶段练习）若A，B是平面内不同的两定点，动点满足（且），则点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知是圆上的动点，点，，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】由题意得设，， 所以，则， 由于是圆上的点， 所以， 所以，解得，即， 所以，如图， 所以的最大值为， 故答案为：. 【变式7-3】（2024·高二·贵州·阶段练习）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）．在平面直角坐标系中，已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，此时，交点为. 当时，由，斜率为， 由，斜率为，， 综上，. 又， 直线恒过， ，直线恒过， 若为的交点，则，设点， 所以点的轨迹是以为直径的圆，除去点， 则圆心为的中点，圆的半径为， 故的轨迹方程为， 即，则有. 又，易知O、Q在该圆内， 又由题意可知圆上一点满足，取， 则，满足. 下面证明任意一点都满足，即， ， 又， . 所以， 又， 所以， 如图，当且仅当三点共线，且位于之间时，等号成立 即最小值为. 故选：A. 【变式7-4】（2024·高二·四川遂宁·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点满足．当三点不共线时，面积的最大值为（    ） A．24 B．12 C． D． 【答案】B 【解析】设，可表示出、，根据题意，列出等式，化简整理，即可得点P的轨迹方程，如图所示，可的P到AB的距离最大值，代入公式，即可求得答案.设，则， 因为，所以，即， 整理可得，即， 如图所示：当P在圆心Q（-4,0）的正上方时，P到AB的距离最大，且为半径4, 所以面积的最大值为. 故选：B 【过关测试】 1．（2024·高二·安徽黄山·期末）圆与圆N关于直线对称，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆的圆心为，半径为， 关于直线的对称点是， 所以圆的圆心是，半径是， 所以圆的方程为. 故选：D 2．（2024·高二·河南开封·期末）已知圆经过点，且圆心在直线上，则圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由圆经过点和，可知圆心在直线上， 又圆心在直线上， 所以的坐标为，半径， 所以圆的面积为． 故选：D． 3．（2024·高二·河北邯郸·期末）已知圆过点，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由在圆上，故圆心在直线上， 由在圆上，故圆心在直线上， 即圆心，半径， 故方程为. 故选：A. 4．（2024·高二·四川成都·期末）圆关于直线对称后的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为圆，所以圆的圆心为，半径为， 设点关于直线对称的点为， 所以，解得：， 所以所求圆的圆心为，半径为, 故所求圆的方程为：. 故选：A. 5．（2024·高二·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知圆C经过点和点，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆C的方程为，则圆心， 则有，解之得, 则有圆C的方程为，即 故选：C 6．（2024·高二·江苏·假期作业）过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆的方程为， 由题意知,圆过点，和， 所以，解得， 所以所求圆的方程为. 故选：A 7．（2024·高二·上海·期中）方程表示圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】由题意可得：，解得或， 所以方程表示圆的充要条件是或. 故选：D. 8．（2024·高二·福建厦门·期中）若，则方程表示的圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】若方程表示圆， 则， 解得， 又，所以或， 即程表示的圆的个数为. 故选：B 9．（2024·高二·全国·课后作业）若方程表示圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：B 10．（2024·高二·全国·课后作业）下列方程能表示圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，，方程表示的图形是一个点； 对于B，，，方程不表示圆； 对于C，，，当时，方程不表示圆； 对于D，，，方程表示圆； 综上，以上方程能表示圆的是D选项中的方程． 故选：D． 11．（2024·高二·广东·期末）已知方程表示一个圆，则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为方程表示一个圆， 所以， 即，所以或， 故选：C. 12．（2024·高二·贵州六盘水·期末）已知曲线，则“”是“曲线是圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为，所以， 若曲线是圆，所以，所以或， 所以“”是“曲线是圆”的充分不必要条件. 故选：A. 13．（2024·高二·北京顺义·期中）若表示圆的方程，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为方程表示一个圆，所以， 解得， 所以的取值范围是. 故选：D 14．（2024·高二·广东东莞·阶段练习）已知线段的端点的坐标，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹所围成图形的面积（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设线段的中点，， 则，即， 又因为端点在圆上运动，所以， 即， 整理得：， 所以点的轨迹方程是以圆心为，半径为的圆. 所以该圆的面积为. 故选：C. 15．（2024·高二·四川内江·阶段练习）阿波罗尼斯（公元前262年—公元前190年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点A，B，则所有满足（且）的点P的轨迹是一个圆．已知平面内的两个相异定点，，动点M满足，记M的轨迹为C，则轨迹C围成图形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则，， 由可得， ， 整理可得. 所以，点M的轨迹为以为圆心，为半径的圆. 所以，轨迹C围成图形的面积是. 故选：D. 16．（2024·高二·山东枣庄·期末）两定点A，B的距离为3，动点M满足，则M点的轨迹长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】以点A为坐标原点，直线AB为x轴，建立直角坐标系，如图， 则，设点， 由，得，化简并整理得：， 于是得点M的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，其周长为， 所以M点的轨迹长为. 故选：A. 17．（2024·高二·四川绵阳·期中）阿波罗尼斯（公元前262年~公元前190年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点A，B，则所有满足（，且）的点P的轨迹是一个圆．已知平面内的两个相异定点，，动点M满足，记M的轨迹为C，则轨迹C围成图形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 设，由点，，动点M满足， 得， 则， 所以轨迹C围成的图形为圆，其半径平方， 所以圆的面积为. 故选：C 18．（多选题）（2024·广西·模拟预测）若点在圆的外部，则的取值可能为（    ） A． B．1 C．4 D．7 【答案】BC 【解析】由题设，在圆外， 则，解得. 故选：BC 19．（2024·高一·全国·课后作业）已知方程表示圆，其中，且a≠1，则不论a取不为1的任何实数，上述圆恒过的定点的坐标是 . 【答案】 【解析】由已知得，它表示过圆与直线交点的圆. 由，解得 即定点坐标为. 故答案为 20．（2024·高二·四川成都·期中）已知平面内两个定点A，B及动点P，若（且），则点P的轨迹是圆．后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆．已知，，直线：，直线：，若P为，的交点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【解析】直线：即，过定点 直线：即，过定点 又，故， 则点在以线段为直径的圆上， 即点的轨迹为，即， 假设存在点，使恒成立，设 则，整理得， 与的轨迹对照得，解得， 即存在点，使，即， 所以， 即的最小值为. 故答案为：. 21．（2024·高二·全国·单元测试）当点P在圆上运动时，连接点P与定点，则线段的中点M的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】设点，因M是线段的中点，则点， 可得，即， 所以点M的轨迹方程为. 故答案为：. 22．（2024·高二·北京·期末）已知点和点，直角以BC为斜边，求直角顶点A的轨迹方程 . 【答案】 【解析】方法一：设点， ，，，， 由题意可知：， ，， 整理得：， 三点不共线， ，，应去除. 直角顶点的轨迹方程为：. 方法二：设BC中点为，则，即A在以D为圆心， 为半径的圆上(不能和B、C重合)， 故A的轨迹方程为. 23．（2024·高二·河南焦作·阶段练习）已知两点，，点P满足，则点P的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】设，所以， 因此由， 所以点P的轨迹方程为， 故答案为： 24．（2024·高二·山西运城·阶段练习）已知圆C经过（-1，3），（5，3），（2，0）三点. (1)求圆C的方程； (2)设点A在圆C上运动，点，且点M满足，求点M的轨迹方程. 【解析】（1）设圆C的方程为 则有，解之得 则圆C的方程为 （2）设，， 则有，， 由，可得，解之得 由点A在圆C上，得 即 故点M的轨迹方程为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$