第10讲 直线的交点坐标与距离公式（九大题型）-2024年暑假高一升高二数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

第10讲 直线的交点坐标与距离公式 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：直线的交点 求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可．若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标． 知识点诠释： 求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数． 知识点二：过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线． 知识点三：两点间的距离公式 两点间的距离公式为． 知识点诠释： 此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决．另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握． 知识点四：点到直线的距离公式 点到直线的距离为． 知识点诠释： （1）点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离； （2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程； （3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等． 知识点五：两平行线间的距离 本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为． 知识点诠释： （1）两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离； （2）利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中，的系数分别是相同的以后，才能使用此公式． 【典例例题】 题型一：判断两直线的位置关系 【典例1-1】（2024·高二·湖南·期中）已知，是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况，下列说法正确的是（    ） A．无论，，如何，总是无解 B．无论，，如何，总有唯一解 C．存在，，，使是方程组的一组解 D．存在，，，使之有无穷多解 【典例1-2】（2024·高二·全国·单元测试）已知直线，是直线l外一点，那么直线（    ） A．过点P且与直线l斜交 B．过点P且与直线l重合 C．过点P且与直线l平行 D．过点P且与直线l垂直 【变式1-1】（2024·高二·浙江台州·期中）是直线(为常数)上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（    ） A．无论如何，总是无解 B．无论如何，总有唯一解 C．存在，使是方程组的一组解 D．存在，使之有无穷多解 【变式1-2】（2024·高二·上海宝山·开学考试）已知直线及与函数图像的交点分别为A，B，与函数图像的交点分别为C，D，则直线与（    ） A．相交，且交点在坐标原点 B．相交，且交点在第一象限 C．相交，且交点在第二象限 D．相交，且交点在第四象限 题型二：过两条直线交点的直线系方程 【典例2-1】（2024·高二·湖北武汉·阶段练习）过两直线和的交点且过原点的直线方程为 ． 【典例2-2】（2024·高二·全国·课堂例题）若直线l经过两直线和的交点，且斜率为，则直线l的方程为 ． 【变式2-1】（2024·高二·全国·课后作业）经过点和两直线；交点的直线方程为 . 【变式2-2】（2024·高二·安徽六安·期中）已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为 . 【变式2-3】（2024·高二·全国·课后作业）设直线经过和的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线的方程为 . 题型三：交点问题 【典例3-1】（2024·高二·安徽宿州·阶段练习）若的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2024·高二·全国·课后作业）若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 【变式3-1】（2024·高二·安徽芜湖·期中）已知直线与射线恒有公共点，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024·高二·全国·课后作业）若与的图形有两个交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【变式3-3】（2024·高二·江苏·假期作业）若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型四：对称问题 【典例4-1】（2024·高二·全国·课后作业）直线关于点对称的直线的方程为 ． 【典例4-2】（2024·福建厦门·模拟预测）已知直线：关于直线的对称直线为轴，则的方程为 . 【变式4-1】（2024·高二·安徽六安·阶段练习）已知直线的方程为. （1）若直线和直线关于点对称，求直线的方程 ； （2）若直线和直线关于直线对称，求直线的方程 . 【变式4-2】（2024·高二·浙江嘉兴·期中）已知直线和点 (1)请写出过点且与直线平行的直线； (2)求点关于直线的对称点的坐标. 【变式4-3】（2024·高二·全国·课后作业）已知直线，，． （1）求直线关于直线的对称直线的方程； （2）求直线关于直线的对称直线的方程． 【变式4-4】（2024·高三·全国·专题练习）已知直线，点．求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线的对称直线的方程； (3)直线关于点对称的直线的方程． 【变式4-5】（2024·高二·上海·阶段练习）已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 【变式4-6】（2024·高二·全国·课后作业）已知点，直线，直线. (1)求点A关于直线的对称点B的坐标； (2)求直线关于直线的对称直线方程. 题型五：两点间的距离 【典例5-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知，，则两点间的距离为 . 【典例5-2】（2024·高二·四川宜宾·期末）过定点的直线与过定点的直线交于，则 【变式5-1】（2024·高二·广西南宁·期末）已知函数且过定点，直线过定点，则 【变式5-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知的三个顶点坐标是，，．则的形状为 ；的面积为 . 【变式5-3】（2024·高二·上海嘉定·阶段练习）已知，以及点，则的面积为 ． 【变式5-4】（2024·高二·新疆喀什·期末）已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为 ． 【变式5-5】（2024·高二·江苏·假期作业）已知点与点间的距离为，则 ． 题型六：点到直线的距离 【典例6-1】（2024·高二·上海·期中）点到直线的距离为 . 【典例6-2】（2024·高二·安徽马鞍山·阶段练习）原点到直线间的距离是（    ） A． B． C．1 D． 【变式6-1】（2024·高二·四川绵阳·期末）已知，两点到直线：的距离相等，则（    ） A． B．6 C．或4 D．4或6 【变式6-2】（2024·高二·浙江绍兴·期末）原点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2024·高二·安徽芜湖·阶段练习）点为y轴上一点，且点到直线的距离等于1，则点P的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或. 【变式6-4】（2024·高二·云南临沧·阶段练习）若点到直线的距离为4，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．7 题型七：两平行直线间的距离 【典例7-1】（2024·高二·河北石家庄·阶段练习）两平行直线和之间的距离为（    ） A． B．2 C． D．3 【典例7-2】（2024·高二·贵州铜仁·阶段练习）已知两条平行直线，，直线，直线，直线，之间的距离为1，则的值可以是（    ） A． B． C．12 D．14 【变式7-1】（2024·高二·浙江杭州·期中）已知,则它们的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2024·高二·湖北孝感·期末）两条平行直线与间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【变式7-3】（2024·高二·福建福州·期末）已知直线与直线间的距离为2，则（    ） A．或4 B．4 C．或6 D．或16 【变式7-4】（2024·高二·湖北十堰·阶段练习）到直线的距离为1的直线方程为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【变式7-5】（2024·高二·黑龙江哈尔滨·阶段练习）与距离为的直线方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 题型八：距离问题的综合灵活运用 【典例8-1】（2024·高二·江苏宿迁·期末）我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（    ） A． B．3 C． D．4 【典例8-2】（2024·高二·全国·专题练习）已知，，则S的最小值是 . 【变式8-1】（2024·高二·广东揭阳·期中）函数的最小值是 . 【变式8-2】（2024·高二·浙江温州·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事修．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为 ． 【变式8-3】（2024·高二·辽宁·期中）已知，则的最小值是 . 题型九：线段和与差的最值问题 【典例9-1】（2024·高二·四川南充·期末）设，其中.则的最小值为（    ） A．8 B．9 C． D． 【典例9-2】（2024·高二·贵州贵阳·期末）点，点在轴上，则的最小值为（    ） A． B．5 C．4 D． 【变式9-1】（2024·高二·重庆黔江·阶段练习）已知点，点是直线上的动点，则的最大值为 . 【变式9-2】（2024·高二·四川遂宁·阶段练习）已知直线：，：，直线垂直于，，且垂足分别为A，B，若，，则的最小值为 ． 【过关测试】 1．（2024·高二·北京·期中）已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是（   ） A．24 B．0 C．20 D． 2．（2024·高二·上海·阶段练习）若点既是的中点，又是直线与的交点，则线段的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·高一·全国·单元测试）若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围 （    ） A． B． C． D． 4．（2024·高二·全国·课后作业）两条直线与的交点坐标就是方程组的实数解，给出以下三种说法： ①若方程组无解，则两直线平行； ②若方程组只有一解，则两直线相交； ③若方程组有无数多解，则两直线重合． 其中说法正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 5．（2024·高二·全国·课后作业）过两直线和的交点和原点的直线方程为（　　） A．3x-19y=0 B．19x-3y=0 C．19x+3y=0 D．3x+19y=0 6．（2024·高二·安徽六安·期中）已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·高二·重庆·阶段练习）经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 8．（2024·高二·四川雅安·开学考试）点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·高二·山东泰安·期末）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 10．（2024·高二·浙江·阶段练习）一条光线从点射出，经直线反射后经过点，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 11．（2024·高二·福建三明·期中）已知，从点射出的光线经y轴反射到直线上，又经过直线反射到点，则光线所经过的路程为（    ） A． B．6 C． D． 12．（2024·高二·北京海淀·期中）点到直线的距离最大时，直线的方程为（　　） A． B． C． D． 13．（2024·高二·安徽马鞍山·阶段练习）已知，两点到直线的距离相等，求a的值（    ） A． B． C．或 D．或 14．（2024·高二·全国·单元测试）已知过点的直线，且点与点到直线l的距离相等，则直线的方程为（　　） A． B． C．或 D．或 15．（2024·高二·四川雅安·阶段练习）若点，到直线的距离相等，则（    ） A．1 B． C．1或 D．或2 16．（2024·高二·河南·阶段练习）已知直线，，一条光线从点射出，经反射后，射到上，再经反射后，回到，则该光线经过的路程长度为 . 17．（2024·高三·全国·专题练习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为 ． 18．（2024·高二·山东·阶段练习）直线关于点对称的直线方程为 ． 19．（2024·高二·河北石家庄·阶段练习）设，过定点A的直线和过定点B的直线交于点P，则的最大值为 ． 20．（2024·高三·全国·专题练习）函数的最大值为 ． 21．（2024·高二·上海浦东新·期中）已知x，y为实数，代数式的最小值是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 直线的交点坐标与距离公式 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：直线的交点 求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可．若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标． 知识点诠释： 求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数． 知识点二：过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线． 知识点三：两点间的距离公式 两点间的距离公式为． 知识点诠释： 此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决．另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握． 知识点四：点到直线的距离公式 点到直线的距离为． 知识点诠释： （1）点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离； （2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程； （3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等． 知识点五：两平行线间的距离 本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为． 知识点诠释： （1）两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离； （2）利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中，的系数分别是相同的以后，才能使用此公式． 【典例例题】 题型一：判断两直线的位置关系 【典例1-1】（2024·高二·湖南·期中）已知，是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况，下列说法正确的是（    ） A．无论，，如何，总是无解 B．无论，，如何，总有唯一解 C．存在，，，使是方程组的一组解 D．存在，，，使之有无穷多解 【答案】B 【解析】直线的斜率存在， ∴， 由题意， 则， 故：与：相交， ∴方程组总有唯一解，A，D错误，B正确； 若是方程组的一组解，则， 则点，在直线，即上， 但已知这两个点在直线上，而这两条直线不是同一条直线， ∴不可能是方程组的一组解，C错误. 故选：B. 【典例1-2】（2024·高二·全国·单元测试）已知直线，是直线l外一点，那么直线（    ） A．过点P且与直线l斜交 B．过点P且与直线l重合 C．过点P且与直线l平行 D．过点P且与直线l垂直 【答案】C 【解析】在直线外，所以， 方程与两变量的系数完全相同，而，即常数项不同， 它们的方程组成的方程组无解，所以两直线的位置关系是平行， 又，所以直线必过点，所以直线过点且与直线平行. 故选：C 【变式1-1】（2024·高二·浙江台州·期中）是直线(为常数)上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（    ） A．无论如何，总是无解 B．无论如何，总有唯一解 C．存在，使是方程组的一组解 D．存在，使之有无穷多解 【答案】B 【解析】由题意，则， ∵直线的斜率存在，∴，，∴方程组总有唯一解．A，D错误，B正确； 若是方程组的一组解，则，则点在直线，即上，但已知这两个在直线上，这两条直线不是同一条直线，∴不可能是方程组的一组解，C错误． 故选：B． 【变式1-2】（2024·高二·上海宝山·开学考试）已知直线及与函数图像的交点分别为A，B，与函数图像的交点分别为C，D，则直线与（    ） A．相交，且交点在坐标原点 B．相交，且交点在第一象限 C．相交，且交点在第二象限 D．相交，且交点在第四象限 【答案】A 【解析】由得，得， 所以直线AB的方程为，即 由得，得 所以直线CD的方程为，即， 直线与相交，且交点在坐标原点， 故选：A. 题型二：过两条直线交点的直线系方程 【典例2-1】（2024·高二·湖北武汉·阶段练习）过两直线和的交点且过原点的直线方程为 ． 【答案】 【解析】令所求直线为， 又直线过原点，则， 所以所求直线为. 故答案为： 【典例2-2】（2024·高二·全国·课堂例题）若直线l经过两直线和的交点，且斜率为，则直线l的方程为 ． 【答案】 【解析】设直线l的方程为（其中为常数），即 ①． 又直线l的斜率为，则，解得． 将代入①式并整理，得，此即所求直线l的方程． 故答案为：. 【变式2-1】（2024·高二·全国·课后作业）经过点和两直线；交点的直线方程为 . 【答案】 【解析】设所求直线方程为， 点在直线上， ， 解得， 所求直线方程为，即． 故答案为：. 【变式2-2】（2024·高二·安徽六安·期中）已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为 . 【答案】 【解析】依题意两直线和的交点为， 所以在直线上， 所以过两点所在直线方程为. 故答案为： 【变式2-3】（2024·高二·全国·课后作业）设直线经过和的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线的方程为 . 【答案】或 【解析】方法一：由，得， 所以两条直线的交点坐标为（14，10）, 由题意可得直线的斜率为1或-1， 所以直线的方程为或， 即或. 方法二：设直线的方程为，整理得， 由题意，得，解得或， 所以直线的方程为或. 故答案为：或. 题型三：交点问题 【典例3-1】（2024·高二·安徽宿州·阶段练习）若的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，由可得，，当时，解得； 当时，由可得，，由可知，方程的解是， 又的图象与直线有两个不同的交点， 所以，其中，解得； 综上所述，. 故选：B 【典例3-2】（2024·高二·全国·课后作业）若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 【答案】C 【解析】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行， ∵直线和直线不平行， ∴直线和直线平行或直线和直线平行， ∵直线的斜率为1，直线的斜率为，直线的斜率为， ∴或. 故选：C. 【变式3-1】（2024·高二·安徽芜湖·期中）已知直线与射线恒有公共点，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】联立，得， ∵直线与射线恒有公共点， ∴， 解得. ∴m的取值范围是. 故选：C. 【变式3-2】（2024·高二·全国·课后作业）若与的图形有两个交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【解析】表示关于轴对称的两条射线， 表示斜率为1，在轴上的截距为的直线， 根据题意，画出大致图形，如下图， 若与的图形有两个交点，且，则根据图形可知． 故选：A． 【变式3-3】（2024·高二·江苏·假期作业）若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，即交点为， 因为交点在第一象限，所以. 故选：A 题型四：对称问题 【典例4-1】（2024·高二·全国·课后作业）直线关于点对称的直线的方程为 ． 【答案】 【解析】设为上任意一点，则关于点的对称点为， 因为在直线l上，所以，即直线的方程为． 故答案为： 【典例4-2】（2024·福建厦门·模拟预测）已知直线：关于直线的对称直线为轴，则的方程为 . 【答案】或 【解析】 直线交轴于点，交轴于点， 设直线的方程为，则关于直线的对称点在轴上， 所以，则的中点在直线上，所以①， 又②，联立①②可得或， 所以直线的方程为或. 故答案为：或. 【变式4-1】（2024·高二·安徽六安·阶段练习）已知直线的方程为. （1）若直线和直线关于点对称，求直线的方程 ； （2）若直线和直线关于直线对称，求直线的方程 . 【答案】 . 【解析】因为直线和直线关于点对称， 在直线上任取一点，则关于点对称的点在直线上， 将点代入直线可得， 所以直线的方程为； 设直线与直线的交点为， 所以，解得，则， 在直线上取点，设关于直线对称的点为， 则① 因为与的中点坐标为， 所以② 由①②可得，所以 因为直线和直线关于直线对称， 所以直线经过点和点， 所以直线的两点式方程为， 整理得直线的一般式方程为. 故答案为: ;. 【变式4-2】（2024·高二·浙江嘉兴·期中）已知直线和点 (1)请写出过点且与直线平行的直线； (2)求点关于直线的对称点的坐标. 【解析】（1）设过点且与直线平行的直线为， 将代入，可得，所以直线方程为. （2）设，由题意可得，解得， 所以点的坐标为. 【变式4-3】（2024·高二·全国·课后作业）已知直线，，． （1）求直线关于直线的对称直线的方程； （2）求直线关于直线的对称直线的方程． 【解析】（1）因为，所以． 设直线的方程为（，且）． 在直线上取点，设点关于直线的对称点为， 则，解得， 即点的坐标为． 把点的坐标代入直线的方程，得，解得， 所以直线的方程为． （2）由，得， 所以与的交点坐标为． 另取上不同于A的一点， 设关于的对称点为， 则，得， 即点的坐标为． 所以过与的直线的方程为， 即． 【变式4-4】（2024·高三·全国·专题练习）已知直线，点．求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线的对称直线的方程； (3)直线关于点对称的直线的方程． 【解析】（1）设，由得， 则，解得，故. （2）在直线上取一点，如，则关于直线的对称点必在上， 设对称点为，则，解得，即， 设与的交点为，则由，解得，即， 又经过点，故， 所以直线的方程为，即. （3）设为上任意一点， 则关于点的对称点为， 因为在直线上，所以， 即直线的方程为. 【变式4-5】（2024·高二·上海·阶段练习）已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 【解析】（1）设点关于直线 的对称点的坐标为， 则有题意可得，解得， 故点关于直线的对称点的坐标为． （2）由可得， 直线与直线的交点为， 再在直线上取一点， 设点关于直线的对称点为， 则由解得， 即． 由题意可得、两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 则直线方程为， 化简为． （3）在直线上任意取出两个点， 求出这两个点关于点对称点分别为 由题意可得，是所求直线上的两个点， 则直线斜率为3， 则所求直线方程为， 即． 【变式4-6】（2024·高二·全国·课后作业）已知点，直线，直线. (1)求点A关于直线的对称点B的坐标； (2)求直线关于直线的对称直线方程. 【解析】（1）设点，则由题意可得， 解得， 所以点B的坐标为， （2）由，得，所以两直线交于点， 在直线上取一点，设其关于直线的对称点为，则 ，解得，即， 所以， 所以直线为，即， 所以直线关于直线的对称直线方程为 题型五：两点间的距离 【典例5-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知，，则两点间的距离为 . 【答案】10 【解析】，， 则两点间的距离为：. 故答案为：10. 【典例5-2】（2024·高二·四川宜宾·期末）过定点的直线与过定点的直线交于，则 【答案】10 【解析】由题意可得：，则， 由，则， 当时，两直线垂直， 当时，两直线斜率之积等于， ∴直线和直线垂直， 则. 故答案为：10 【变式5-1】（2024·高二·广西南宁·期末）已知函数且过定点，直线过定点，则 【答案】5 【解析】，； 由得：，直线恒过定点；. 故答案为：. 【变式5-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知的三个顶点坐标是，，．则的形状为 ；的面积为 . 【答案】 直角三角形 5 【解析】因为， ，， 所以，即是以A为直角顶点的直角三角形． 由于是以A为直角顶点的直角三角形，所以. 故答案为：直角三角形； 【变式5-3】（2024·高二·上海嘉定·阶段练习）已知，以及点，则的面积为 ． 【答案】3 【解析】,, , , ， 故答案为：3 【变式5-4】（2024·高二·新疆喀什·期末）已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为 ． 【答案】或 【解析】， 化简为，解得：或. 故答案为：或 【变式5-5】（2024·高二·江苏·假期作业）已知点与点间的距离为，则 ． 【答案】9或 【解析】由， 得， 即，解得或． 故答案为：9或. 题型六：点到直线的距离 【典例6-1】（2024·高二·上海·期中）点到直线的距离为 . 【答案】 【解析】点到直线的距离. 故答案为： 【典例6-2】（2024·高二·安徽马鞍山·阶段练习）原点到直线间的距离是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】原点到直线间的距离是：. 故选：A 【变式6-1】（2024·高二·四川绵阳·期末）已知，两点到直线：的距离相等，则（    ） A． B．6 C．或4 D．4或6 【答案】D 【解析】点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 因为点到直线的距离和点到直线的距离相等， 所以，所以或. 故选：D. 【变式6-2】（2024·高二·浙江绍兴·期末）原点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设原点到直线l的距离为d，由点到直线的距离公式得： ， 显然当时，有最大值，此时， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，所以. 故选：D. 【变式6-3】（2024·高二·安徽芜湖·阶段练习）点为y轴上一点，且点到直线的距离等于1，则点P的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或. 【答案】C 【解析】因为点为轴上一点，可设点， 又因为点到直线的距离等于1，可得， 整理得，即，解得或， 所以点的坐标为或. 故选：C. 【变式6-4】（2024·高二·云南临沧·阶段练习）若点到直线的距离为4，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【解析】点到直线的距离为4， 可得，解得. 故选：D. 题型七：两平行直线间的距离 【典例7-1】（2024·高二·河北石家庄·阶段练习）两平行直线和之间的距离为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【解析】平行直线和之间的距离. 故选：A 【典例7-2】（2024·高二·贵州铜仁·阶段练习）已知两条平行直线，，直线，直线，直线，之间的距离为1，则的值可以是（    ） A． B． C．12 D．14 【答案】BD 【解析】将直线化为， 则，之间的距离， 即，解得或． 故选：BD． 【变式7-1】（2024·高二·浙江杭州·期中）已知,则它们的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，故，故. 故之间的距离为， 故选：D. 【变式7-2】（2024·高二·湖北孝感·期末）两条平行直线与间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解析】直线化为：， 所以平行直线与间的距离为. 故选：D 【变式7-3】（2024·高二·福建福州·期末）已知直线与直线间的距离为2，则（    ） A．或4 B．4 C．或6 D．或16 【答案】D 【解析】由题意可知，直线与直线平行，所以， 因为直线与直线间的距离为2， 所以，解得或. 故选：D. 【变式7-4】（2024·高二·湖北十堰·阶段练习）到直线的距离为1的直线方程为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【解析】设所求的直线方程为， 由题意得，解得或， 所以所求直线方程为或. 故选：B 【变式7-5】（2024·高二·黑龙江哈尔滨·阶段练习）与距离为的直线方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【解析】依题意设所求直线方程为， 则两平行直线间的距离，解得或， 所以所求直线方程为或. 故选：B 题型八：距离问题的综合灵活运用 【典例8-1】（2024·高二·江苏宿迁·期末）我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【解析】， 表示平面上点与点，的距离和， 连接，与轴交于，此时直线方程为， 令，则 的最小值为，此时 故选：C． 【典例8-2】（2024·高二·全国·专题练习）已知，，则S的最小值是 . 【答案】2 【解析】表示点到点与点的距离之和， 即，如图所示： 由图象知：， 当点在线段上时，等号成立. 所以取得最小值为2. 故答案为：2. 【变式8-1】（2024·高二·广东揭阳·期中）函数的最小值是 . 【答案】 【解析】函数， 即为点至和的距离之和， 点关于轴对称的点为， 所以, 由图形易得最小值为. 故答案为: . 【变式8-2】（2024·高二·浙江温州·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事修．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为 ． 【答案】 【解析】， 可转化成x轴上一点到点的距离与到点的距离之差. ， 所以的最大值为. 故答案为： 【变式8-3】（2024·高二·辽宁·期中）已知，则的最小值是 . 【答案】 【解析】设， 因为，则点在矩形内部，如图所示， 可得 ， 当且仅当为的交点时，等号成立， 故答案为：. 题型九：线段和与差的最值问题 【典例9-1】（2024·高二·四川南充·期末）设，其中.则的最小值为（    ） A．8 B．9 C． D． 【答案】B 【解析】设，则表示：， ，则直线的方程为，令，则， 所以直线与轴相交于点， 所以， 所以，当点P为时，等号成立，故的最小值为9. 故选：B. 【典例9-2】（2024·高二·贵州贵阳·期末）点，点在轴上，则的最小值为（    ） A． B．5 C．4 D． 【答案】B 【解析】如图所示， 关于轴的对称点为, 则, 当三点共线时等号成立， 又, 故的最小值为5, 故选：B. 【变式9-1】（2024·高二·重庆黔江·阶段练习）已知点，点是直线上的动点，则的最大值为 . 【答案】 【解析】设点关于的对称点为， 则，解得，故， 由对称性可知，， 当可组成三角形时，根据三角形三边关系得到， 连接并延长，交于点，则此时， 即当三点共线时，取得最大值， 最大值为. 故答案为： 【变式9-2】（2024·高二·四川遂宁·阶段练习）已知直线：，：，直线垂直于，，且垂足分别为A，B，若，，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】由直线垂直于，，则设的方程为， 由，得，由，得， 由，，得， 表示动点到定点与的距离的和， 动点在直线上，点与在直线两侧， 则有， 当且仅当是直线与线段的交点，即原点时取“”，此时， 所以取最小值， 则的最小值为． 故答案为：． 【过关测试】 1．（2024·高二·北京·期中）已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是（   ） A．24 B．0 C．20 D． 【答案】C 【解析】因为直线与互相垂直， 所以，解得； 垂足在直线上，所以， 垂足在直线上，所以， 所以. 故选：C 2．（2024·高二·上海·阶段练习）若点既是的中点，又是直线与的交点，则线段的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线与直线的方程相减可得，， 把点代入可得， 所以， 所以线段的垂直平分线的方程是，即， 故选：C 3．（2024·高一·全国·单元测试）若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】联立，解得，故两直线的交点为. 因为交点在第一象限，所以，解得. 故选：A 4．（2024·高二·全国·课后作业）两条直线与的交点坐标就是方程组的实数解，给出以下三种说法： ①若方程组无解，则两直线平行； ②若方程组只有一解，则两直线相交； ③若方程组有无数多解，则两直线重合． 其中说法正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】C 【解析】①若方程组无解，则两条直线无交点，两直线平行；正确；②若方程组只有一解，说明两条直线只有一个交点，则两直线相交；正确；③若方程组有无数多解，说明两条直线有无数多个交点，则两直线重合．正确. 故答案为C. 5．（2024·高二·全国·课后作业）过两直线和的交点和原点的直线方程为（　　） A．3x-19y=0 B．19x-3y=0 C．19x+3y=0 D．3x+19y=0 【答案】D 【解析】设过两直线交点的直线系方程为， 代入原点坐标，得，解得， 故所求直线方程为，即. 故选：D. 6．（2024·高二·安徽六安·期中）已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意两直线和的交点为， 所以在直线上， 所以过两点所在直线方程为， 故选：B 7．（2024·高二·重庆·阶段练习）经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】设直线方程为， 即 令，得， 令，得. 由， 得或. 所以直线方程为或. 故选：C. 8．（2024·高二·四川雅安·开学考试）点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设所求对称点的坐标为， 则，解得， 故点关于直线对称的点的坐标为. 故选：D. 9．（2024·高二·山东泰安·期末）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意， 在直线中，斜率为， 垂直于直线且过点的直线方程为，即， 设两直线交点为， 由，解得：， ∴, ∴点关于直线的对称点的坐标为， 即， 故选：C. 10．（2024·高二·浙江·阶段练习）一条光线从点射出，经直线反射后经过点，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点关于直线的对称点为， 则，化简得，解得， 故反射光线过点， 则反射光线所在直线的方程为. 故选：B. 11．（2024·高二·福建三明·期中）已知，从点射出的光线经y轴反射到直线上，又经过直线反射到点，则光线所经过的路程为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】C 【解析】直线的方程为，点关于y轴的对称点为， 设点E关于直线的对称点为， 则，解之得，则 设点射出的光线交y轴于点C，交直线于点D， 则光线所经过的路程为 故选：C 12．（2024·高二·北京海淀·期中）点到直线的距离最大时，直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由直线的方程整理可得：， 可得直线恒过定点，所以， 当 时，到直线的距离最大， 可得直线的斜率为，即， 所以直线的方程为， 即． 故选：． 13．（2024·高二·安徽马鞍山·阶段练习）已知，两点到直线的距离相等，求a的值（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】因为点到直线的距离相等， 所以，即， 化简得，解得或. 故选：C. 14．（2024·高二·全国·单元测试）已知过点的直线，且点与点到直线l的距离相等，则直线的方程为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】当直线的斜率不存在时，直线的方程为，与点到的距离为1，符合题意， 当直线的斜率存在时，设为， 则可设直线方程为：，即， 由于点与点到直线的距离相等， 则，解得， 故直线的方程为，即， 综上所述，直线的方程为或． 故选：C． 15．（2024·高二·四川雅安·阶段练习）若点，到直线的距离相等，则（    ） A．1 B． C．1或 D．或2 【答案】C 【解析】若，在直线的同侧，则，解得． 若，分别在直线的两侧，则直线经过的中点，则，解得． 故选：C 16．（2024·高二·河南·阶段练习）已知直线，，一条光线从点射出，经反射后，射到上，再经反射后，回到，则该光线经过的路程长度为 . 【答案】 【解析】如图，设关于对称的点为， 由得即. 设关于对称的点为，由 得即. 易得该光线经过的路程长度为. 故答案为：. 17．（2024·高三·全国·专题练习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为 ． 【答案】. 【解析】由题意知，设直线，在直线上取点， 设点关于直线的对称点为， 则， 解得，即， 将代入的方程得， 所以直线的方程为. 故答案为： 18．（2024·高二·山东·阶段练习）直线关于点对称的直线方程为 ． 【答案】 【解析】在直线上取点、， 点关于点的对称点为，点关于点的对称点为， 直线的斜率为， 所以，所求直线方程为，即. 故答案为：. 19．（2024·高二·河北石家庄·阶段练习）设，过定点A的直线和过定点B的直线交于点P，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】因为直线可化为，所以该直线过定点， 因为直线可化为，所以该直线过定点， 又因为对任意，， 所以直线与直线垂直， 又因为直线与直线相交于点, 所以. 记,则， 所以其中， 当且仅当时，有最大值为. 故答案为：. 20．（2024·高三·全国·专题练习）函数的最大值为 ． 【答案】 【解析】表示点，分别到，的距离差， 即在函数的图象上求点，使得取得最大值， 如图所示， 易知，当且仅当点位于的延长线与的交点， 所以. 故函数的最大值为. 故答案为：. 21．（2024·高二·上海浦东新·期中）已知x，y为实数，代数式的最小值是 ． 【答案】5 【解析】即，几何意义为点与点的距离； 即，几何意义为点与点的距离； 即，几何意义为点与点的距离， 分别作关于轴的对称点，关于轴的对称点， 连接，则， ∴ ， 当且仅当分别为与轴，轴的交点时，等号成立， 故答案为：5. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$