8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系-2023-2024学年高一下学期数学暑假作业（知识回顾+基础训练+提升训练+培优训练）（人教A版2019专用）

8.4空间点、直线、平面之间的位置关系（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础训练】 4 【提升训练】 9 【培优训练】 14 知识回顾 1. 平面的概念、画法与表示 (1)平面的概念 ①直观理解：课桌面、黑板面、教室地面、平静的水面等都给我们以平面的直观感觉，但它们都不是平面，而是平面的一部分. ②抽象理解：平面是平的，平面是无限延展的，平面没有厚薄、没有大小. (2)平面的画法与表示 ①画法：在立体几何中，平面通常画成一个平行四边形.当平面水平放置时，通常将平行四边形的锐角画成45°，且使横边长等于其邻边长的2倍(如图①)，当平面竖直放置时，通常将平行四边形的一组对边画成铅垂线(如图②). ②如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来或者不画.如图③. ③如图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或者平面BD. 2. 基本事实及应用 (1)点、线、面之间的关系 ①直线在平面内的概念：如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内. ②直线、平面都可以看成点的集合.点P在直线l上，记作P∈l；点P在直线l外，记作P∉l；点P在平面α内，记作P∈α；点P在平面α外，记作P∉α；直线l在平面α内，记作l⊂α；直线l不在平面α内，记作l⊄α. (2)平面的基本事实及推论 基本 事实 内容 图形 符号 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α ⇒l⊂α 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l 推论1　经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面(图①). 推论2　经过两条相交直线，有且只有一个平面(图②). 推论3　经过两条平行直线，有且只有一个平面(图③). 3. 空间中两条直线的位置关系 (1)异面直线 ①定义：不同在任何一个平面内的两条直线. ②异面直线的画法 ③异面直线的判定方法 方法 内容 定义法 不同在任何一个平面内的两条直线 反证法 既不平行，也不相交的两条直线 (2)空间两条直线的位置关系 位置关系 特点 相交 同一平面内，有且只有一个公共点 平行 同一平面内，没有公共点 异面直线 不同在任何一个平面内，没有公共点 4. 空间中直线与平面的位置关系 位置关系 定义 图形语言 符号语言 直线在平面内 有无数个公共点 a⊂α 直线与平面相交 有且只有一个公共点 a∩α＝A 直线与平面平行 没有公共点 a∥α 5. 空间中平面与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 两个平面平行 α∥β 没有公共点 两个平面相交 α∩β＝l 有一条公共直线 基础训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（22-23高一下·全国·单元测试）如图，在四面体ABCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法中不正确的是（    ）    A．M，N，P，Q四点共面 B． C． D．四边形MNPQ为梯形 2．（22-23高三上·江西景德镇·阶段练习）半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，它是由正方体的各条棱的中点连接形成的几何体、它由八个正三角形和六个正方形围成（如图所示），若它所有棱的长都为2，则下列说法错误的是（    ） A．该二十四等边体的表面积为 B．平面 C．直线与的夹角为 D．该半正多面体的顶点数V、面数F、棱数E，满足关系式 3．（22-23高二上·上海长宁·阶段练习）平面与平面相交于直线l，点A、B在平面上，点C在平面上但不在直线l上，直线AB与直线l相交于点D．设A、B、C三点确定的平面为，则与的交线是（    ） A．直线AC B．直线AB C．直线CD D．直线BC 4．（2022·陕西渭南·模拟预测）已知点直线，又平面，则直线与平面的位置关系是（    ） A． B． C． D．或 5．（21-22高一下·安徽芜湖·期末）若且，OA与的方向相同，则下列结论中正确的是（    ） A．且方向相同 B． C．OB与一定不平行 D．OB与不一定平行 6．（23-24高一下·北京·期中）如图，在正方体中，点是线段上的动点，下列与始终异面的是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·河北秦皇岛·三模）已知，表示两条不同的直线，表示平面，则（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 8．（2019·四川泸州·二模）在正方体中，点M，N分别是线段和上不重合的两个动点，则下列结论正确的是　　 A． B． C．平面平面 D．平面平面 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（2024·吉林长春·模拟预测）下列基本事实叙述正确的是（   ） A．经过两条相交直线，有且只有一个平面 B．经过两条平行直线，有且只有一个平面 C．经过三点，有且只有一个平面 D．经过一条直线和一个点，有且只有一个平面 10．（23-24高一下·重庆·期中）以下四个命题正确的是（    ） A．三个平面最多可以把空间分成八部分 B．若直线平面，直线平面，则“与相交”与“与相交”等价 C．若，直线平面，直线平面，且，则 D．若空间中三个平面两两相交，则他们的交线互相平行 11．（2024·山西晋城·一模）如图，在正四棱柱中，，，，平面将该正四棱柱分为上、下两部分，记上部分对应的几何体为，下部分对应的几何体为，则（    ） A．的体积为2 B．的体积为12 C．的外接球的表面积为 D．平面截该正四棱柱所得截面的面积为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2024·上海杨浦·二模）正方体中，异面直线与所成角的大小为 . 13．（23-24高一下·广东东莞·期中）在棱长为的正方体中，若为的中点，则过三点的平面截正方体所得的截面面积为 ． 14．（2024·甘肃·一模）已知正四棱台的上､下底面边长分别为2和4，侧棱与底面所成的角为，则该四棱台的体积为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （22-23高一·全国·随堂练习）用符号语言改写下列语句． (1)点A在平面内，点B不在直线l上； (2)直线l在平面内，直线m与平面有且只有一个公共点M； (3)直线a和b相交于一点M； (4)平面与平面相交于过点A的直线l． 16. (15分) （2024高一下·全国·专题练习）如图所示，是所在平面外的一点，，分别是，的中点． (1)判断直线与平面的位置关系． (2)判断直线与直线的位置关系． 17. (15分) （23-24高一下·广东深圳·期中）如图，已知圆柱的底面半径和母线长均为1，、分别为上、下底面圆周上的点，若异面直线所成的角为，求的长.    18. (17分) （22-23高一下·全国·课后作业）如图所示，，，，与，分别在平面的两侧，，．求证：，，三点共线. 19. (17分) （21-22高一下·安徽合肥·期中）如图，正四棱柱. (1)请在正四棱柱中，画出经过P、Q、R三点的截面（无需证明）； (2)若Q、R分别为中点，证明：AQ、CR、三线共点. 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）已知，是两个不同的平面，则下列命题错误的是（    ） A．若，且，则 B．若A，B，C是平面内不共线三点，，，则 C．若直线，直线，则a与b为异面直线 D．若A，B是两个不同的点，且，则直线 2．（23-24高一下·江苏镇江·期末）正方体中，，分别为棱，中点，则与所成角为（    ） A． B． C． D． 3．（2024高二下·天津南开·学业考试）若，是两条不同的直线，是一个平面，，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（23-24高一下·江苏南通·期中）已知，，为三个不同的平面，，为两条不同的直线，则下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 5．（23-24高一下·江苏南京·期末）在如图所示的几何体中， 底面ABCD 是边长为2的正方形，，，，均与底面ABCD 垂直， 且. 点 E、F分别为线段BC、的中点，记该几何体的体积为V，平面AFE将该几何体分为两部分，则体积较小的一部分的体积为（    ） A． B． C． D． 6．（2024高一下·全国·专题练习）已知正四棱锥的所有棱长均为为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．（2023·四川绵阳·三模）正四棱台上、下底边长为、，外接球表面积为，则正四棱台侧棱与底面所成角的正切值为（    ） A． B． C．或 D．或 8．（2019·福建厦门·二模）在长方体中，，，，是的中点，是棱上一点，，动点在底面内，且三棱锥与三棱锥的体积相等，则直线与所成角的正切值的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高一下·广西·期末）如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法正确的是（    ）    A．四点共面 B． C．三线不共点 D． 10．（23-24高一下·广东韶关·阶段练习）如图，正方体的棱长为为的中点，为线段上的动点，过点的平面截该正方体所得截面记为，则下列命题正确的是（    ） A．直线与直线所成角的正切值为 B．当时，为等腰梯形 C．当时，与交于点，则 D．当时，为四边形 11．（2024·全国·模拟预测）已知正四面体的棱长为1，点为棱的中点，点为内部（含边界）一动点，则（    ） A．当时，点的轨迹为圆弧 B．当时，点的轨迹长度为 C．若与平面所成角的正切值为，则点的轨迹长度为 D．直线与平面所成角的正弦值最大为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高二上·上海·期中）已知是空间的两条不同直线，是两个不同的平面，下列四个命题中真命题的编号是 . ①．，则    ②．，则 ③．，则    ④．，则 13．（22-23高一下·全国·课后作业）已知直线，和平面，且，，则与的位置关系是 ． 14．（23-24高三上·河南鹤壁·期中）如图，在正三棱柱中，，，则直线与直线所成角的正切值为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （2024高一下·全国·专题练习）如图所示，在正方体中，分别是的中点，则下列直线与平面、平面与平面的位置关系是什么？ (1)所在的直线与平面的位置关系； (2)所在的直线与平面的位置关系； (3)所在的直线与平面的位置关系； (4)平面与平面的位置关系； (5)平面与平面的位置关系. 16. (15分) （2024高三·全国·专题练习）如图，在正方体中，分别是、的中点． (1)求与所成的角； (2)设，在正方形内（或上），是否存在点使得三棱锥的体积为1？若存在，求出动点的轨迹；若不存在，说明理由． 17. (15分) （23-24高一下·广西南宁·期中）已知正方体中，，点M，N分别是线段，的中点． (1)求点M到平面的距离； (2)判断，M，B，N四点是否共面，若是，请证明；若不是，请说明理由． 18. (17分) （21-22高一下·山东青岛·期中）如图所示，正方体的棱长为a． (1)过正方体的顶点A，B，截下一个三棱锥，求正方体剩余部分的体积； (2)若M，N分别是棱AB，BC的中点，请画出过，M，N三点的平面与正方体表面的交线（保留作图痕迹，画出交线，无需说明理由），并求出交线围成的多边形的周长； (3)设正方体外接球的球心为O，求三棱锥的体积． 19. (17分) （22-23高二上·上海徐汇·期中）在四面体ABCD中，H、G分别是AD、CD的中点，E、F分别是AB、BC边上的点，且. (1)求证：E、F、G、H四点共面； (2)若平面EFGH截四面体ABCD所得的五面体的体积占四面体ABCD的，求k的值. 培优训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高一下·福建·期末）如图，在棱长为4的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，设直线与平面交于点，则（    ）    A．2 B． C．1 D． 2．（23-24高二下·浙江杭州·期末）在正方体中，，分别是棱和上的点，，，那么正方体中过点，，的截面形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 3．（2024·陕西铜川·三模）在正方体中，分别为的中点，若，则平面截正方体所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·湖北武汉·期末）如图，在正方体中，分别是的中点，有四个结论： ①与是异面直线； ②相交于一点； ③过A，M，P的平面截正方体所得的图形为平行四边形； ④过A，M，N的平面截正方体所得的图形为五边形； 其中错误的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（23-24高一下·江苏镇江·阶段练习）如图所示，在空间四边形中，点，分别是边，的中点，点，分别是边，上的点，且，则下列说法正确的个数为（    ） ①，，，四点共面； ②平面； ③与的交点一定在直线上. A．0 B．1 C．2 D．3 6．（2024·四川·模拟预测）设表示两条互不重合的直线，表示两个互不重合的平面，则下列命题错误的是（    ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 7．（2024·山西·一模）如图，在体积为1的三棱锥的侧棱上分别取点，使，记为平面､平面､平面的交点，则三棱锥的体积等于（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高三上·河北沧州·阶段练习）已知正方体的棱长为，为的中点，为棱上异于端点的动点，若平面截该正方体所得的截面为五边形，则线段的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高一下·四川攀枝花·阶段练习）如图，在三棱柱中，，，，分别为，，，的中点，则下列说法正确的是（    ） A．，，，四点共面 B． C．，，三线共点 D． 10．（2024高二下·浙江·学业考试）如图，在棱长为2的正方体中，为边的中点，为中点，为上的动点，则（    ） A．与所成角的余弦值为 B．过三点的截面为五边形 C．该正方体外接球的表面积与内切球的表面积之比为 D．与平面所成角的正切值最大值为 11．（23-24高一下·安徽芜湖·期中）在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，点在对角线上，则（    ） A．的最小值为 B．三棱锥体积为 C．点到平面的距离为 D．四面体外接球的表面积为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高三上·江苏常州·期末）已知二面角为，内一条直线与所成角为，内一条直线与所成角为，则直线与直线所成角的余弦值是 ． 13．（21-22高一下·北京·阶段练习）如图，正方体的棱长为为的中点，为棱上的动点，过点的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是 .（请写出所有正确命题的编号） ①当时，S为等腰梯形； ②当时，S与的交点满足； ③当时，S为六边形； ④当时，S的面积为. 14．（23-24高三上·安徽合肥·期末）如图，已知正方体的棱长为2，点分别为棱，，，的中点，且点都在球的表面上，点是球表面上的动点，当点到平面的距离最大时，异面直线与所成角的余弦值的平方为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （2024·全国·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，，是的中点，分别在上，且． (1)证明：四点共面； (2)若平面，求四棱锥的体积． 16. (15分) （23-24高一下·浙江宁波·期中）如图，在长方体中，，，点，分别是棱的中点． (1)证明：三条直线相交于同一点 (2)求三棱锥的体积． 17. (15分) （23-24高一下·云南昆明·期中）如图是一个棱长为2的正方体的展开图，其中分别是棱的中点．请以三点所在面为底面将展开图还原为正方体． (1)求证：点在平面内； (2)用平面截正方体，将正方体分成两个几何体，两个几何体的体积分别为，试判断体积较小的几何体的形状（不需要证明），并求的值． 18. (17分) （23-24高一下·福建厦门·期中）如图（1），正三棱柱，将其上底面ABC绕的中心逆时针旋转，，分别连接得到如图（2）的八面体    (1)若，依次连接该八面体侧棱的中点分别为M，N，P，Q，R，S， （ⅰ）求证：共面； （ⅱ）求多边形的面积； (2)求该八面体体积的最大值． 19. (17分) （22-23高一上·江西上饶·阶段练习）如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是AA1，D1C1的中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面A1B1C1D1相交于直线l. （1）画出直线l的位置，并简单指出作图依据； （2）设l∩A1B1＝P，求线段PB1的长． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.4空间点、直线、平面之间的位置关系（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础训练】 4 【提升训练】 19 【培优训练】 40 知识回顾 1. 平面的概念、画法与表示 (1)平面的概念 ①直观理解：课桌面、黑板面、教室地面、平静的水面等都给我们以平面的直观感觉，但它们都不是平面，而是平面的一部分. ②抽象理解：平面是平的，平面是无限延展的，平面没有厚薄、没有大小. (2)平面的画法与表示 ①画法：在立体几何中，平面通常画成一个平行四边形.当平面水平放置时，通常将平行四边形的锐角画成45°，且使横边长等于其邻边长的2倍(如图①)，当平面竖直放置时，通常将平行四边形的一组对边画成铅垂线(如图②). ②如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来或者不画.如图③. ③如图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或者平面BD. 2. 基本事实及应用 (1)点、线、面之间的关系 ①直线在平面内的概念：如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内. ②直线、平面都可以看成点的集合.点P在直线l上，记作P∈l；点P在直线l外，记作P∉l；点P在平面α内，记作P∈α；点P在平面α外，记作P∉α；直线l在平面α内，记作l⊂α；直线l不在平面α内，记作l⊄α. (2)平面的基本事实及推论 基本 事实 内容 图形 符号 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α ⇒l⊂α 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l 推论1　经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面(图①). 推论2　经过两条相交直线，有且只有一个平面(图②). 推论3　经过两条平行直线，有且只有一个平面(图③). 3. 空间中两条直线的位置关系 (1)异面直线 ①定义：不同在任何一个平面内的两条直线. ②异面直线的画法 ③异面直线的判定方法 方法 内容 定义法 不同在任何一个平面内的两条直线 反证法 既不平行，也不相交的两条直线 (2)空间两条直线的位置关系 位置关系 特点 相交 同一平面内，有且只有一个公共点 平行 同一平面内，没有公共点 异面直线 不同在任何一个平面内，没有公共点 4. 空间中直线与平面的位置关系 位置关系 定义 图形语言 符号语言 直线在平面内 有无数个公共点 a⊂α 直线与平面相交 有且只有一个公共点 a∩α＝A 直线与平面平行 没有公共点 a∥α 5. 空间中平面与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 两个平面平行 α∥β 没有公共点 两个平面相交 α∩β＝l 有一条公共直线 基础训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（22-23高一下·全国·单元测试）如图，在四面体ABCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法中不正确的是（    ）    A．M，N，P，Q四点共面 B． C． D．四边形MNPQ为梯形 2．（22-23高三上·江西景德镇·阶段练习）半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，它是由正方体的各条棱的中点连接形成的几何体、它由八个正三角形和六个正方形围成（如图所示），若它所有棱的长都为2，则下列说法错误的是（    ） A．该二十四等边体的表面积为 B．平面 C．直线与的夹角为 D．该半正多面体的顶点数V、面数F、棱数E，满足关系式 3．（22-23高二上·上海长宁·阶段练习）平面与平面相交于直线l，点A、B在平面上，点C在平面上但不在直线l上，直线AB与直线l相交于点D．设A、B、C三点确定的平面为，则与的交线是（    ） A．直线AC B．直线AB C．直线CD D．直线BC 4．（2022·陕西渭南·模拟预测）已知点直线，又平面，则直线与平面的位置关系是（    ） A． B． C． D．或 5．（21-22高一下·安徽芜湖·期末）若且，OA与的方向相同，则下列结论中正确的是（    ） A．且方向相同 B． C．OB与一定不平行 D．OB与不一定平行 6．（23-24高一下·北京·期中）如图，在正方体中，点是线段上的动点，下列与始终异面的是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·河北秦皇岛·三模）已知，表示两条不同的直线，表示平面，则（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 8．（2019·四川泸州·二模）在正方体中，点M，N分别是线段和上不重合的两个动点，则下列结论正确的是　　 A． B． C．平面平面 D．平面平面 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（2024·吉林长春·模拟预测）下列基本事实叙述正确的是（   ） A．经过两条相交直线，有且只有一个平面 B．经过两条平行直线，有且只有一个平面 C．经过三点，有且只有一个平面 D．经过一条直线和一个点，有且只有一个平面 10．（23-24高一下·重庆·期中）以下四个命题正确的是（    ） A．三个平面最多可以把空间分成八部分 B．若直线平面，直线平面，则“与相交”与“与相交”等价 C．若，直线平面，直线平面，且，则 D．若空间中三个平面两两相交，则他们的交线互相平行 11．（2024·山西晋城·一模）如图，在正四棱柱中，，，，平面将该正四棱柱分为上、下两部分，记上部分对应的几何体为，下部分对应的几何体为，则（    ） A．的体积为2 B．的体积为12 C．的外接球的表面积为 D．平面截该正四棱柱所得截面的面积为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2024·上海杨浦·二模）正方体中，异面直线与所成角的大小为 . 13．（23-24高一下·广东东莞·期中）在棱长为的正方体中，若为的中点，则过三点的平面截正方体所得的截面面积为 ． 14．（2024·甘肃·一模）已知正四棱台的上､下底面边长分别为2和4，侧棱与底面所成的角为，则该四棱台的体积为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （22-23高一·全国·随堂练习）用符号语言改写下列语句． (1)点A在平面内，点B不在直线l上； (2)直线l在平面内，直线m与平面有且只有一个公共点M； (3)直线a和b相交于一点M； (4)平面与平面相交于过点A的直线l． 16. (15分) （2024高一下·全国·专题练习）如图所示，是所在平面外的一点，，分别是，的中点． (1)判断直线与平面的位置关系． (2)判断直线与直线的位置关系． 17. (15分) （23-24高一下·广东深圳·期中）如图，已知圆柱的底面半径和母线长均为1，、分别为上、下底面圆周上的点，若异面直线所成的角为，求的长.    18. (17分) （22-23高一下·全国·课后作业）如图所示，，，，与，分别在平面的两侧，，．求证：，，三点共线. 19. (17分) （21-22高一下·安徽合肥·期中）如图，正四棱柱. (1)请在正四棱柱中，画出经过P、Q、R三点的截面（无需证明）； (2)若Q、R分别为中点，证明：AQ、CR、三线共点. 参考答案： 1．D 【分析】由基本事实4即可判断A，由等角定理即可判断BC，由三角形的中位线即可判断D. 【详解】对于A选项，由条件可得，，所以，所以M，N，P，Q四点共面，故A正确； 对于B选项，根据等角定理，得，故B正确； 对于C选项，由等角定理，知，，所以，故C正确； 对于D选项，由三角形中位线的性质知，，，，所以，所以四边形MNPQ为平行四边形，故D不正确． 故选：D． 2．B 【分析】由三角形和正方形面积公式即可求出二十四等边体的表面积，线面垂直判定定理，利用平移求异面直线夹角，推理分析即可判断结果. 【详解】对于A，，，，故A正确； 对于B，由图可知,,但BF与AB和AE都不垂直，所以QH不可能与平面ABE垂直，故B错误； 对于C，由图可知，而直线AH与AD的夹角为，所以直线与的夹角为，故C正确； 对于D，该半正多面体的顶点数为12、面数为14、棱数为24，满足，故D正确； 故选：B. 3．C 【分析】根据已知得既在平面上又在平面可得答案. 【详解】因为直线AB与直线l相交于点D，，所以平面， 又点C在平面上，所以平面， 因为平面，点在直线AB上，所以平面， 又平面，所以平面， 所以与的交线是直线. 故选：C. 4．D 【分析】 确定直线和平面至少有一个交点，得到答案. 【详解】直线，又平面，故直线和平面至少有一个交点，故或. 故选：D 5．D 【分析】画出图形，当满足题目中的条件时，根据出现的情况可得出结论． 【详解】如图，         当∠AOB=∠A1O1B1时，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同， OB与O1B1是不一定平行． 故选：D． 6．B 【分析】根据异面直线的定义一一判定即可. 【详解】对于A，连接，当为中点时，，因为， 所以四点共面，则、在平面上，故A不符合题意； 对于B，因为，所以四点共面，平面， 平面，，所以与始终是异面直线，故B符合题意； 对于C，当与重合时，因为，所以，故C不符合题意； 对于D，当与重合时，设，则， 故D不符合题意. 故选：B. 7．D 【分析】根据题意，由空间中直线与平面的位置关系，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】若，，则可能平行，异面或者相交，故A错误； 若，，则与可能平行，可能相交，也可能，故B错误； 若，，则与可能平行，也可能，故C错误； 若，，由线面垂直的性质定理可知，故D正确； 故选：D 8．A 【分析】利用排除法，由与重合排除选项；由与重合且与重合排除选项； 与重合时，排除选项，从而可得结果. 【详解】与重合时，不成立，排除选项； 与重合且与重合时，平面平面不成立，排除选项； 与重合时，平面平面不成立，排除选项. 故选A. 【点睛】本题主要考查空间线面关系的判断、排除法解选择题，属于中档题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性. 9．AB 【分析】根据基本事实以及推论即可逐项判断. 【详解】根据基本事实以及推论，易知A，B正确； 对于C项，若三点共线，经过三点的平面有无数多个，故C错误； 对于D，若这个点在直线外，则确定一个平面，若这个点在直线上，可有无数平面，故D不正确； 故选：AB 10．AC 【分析】根据平面的性质判断A，根据空间中线线、面面的位置关系判断B，根据点、线、面的位置关系判断C，利用反例说明D. 【详解】对于A：三个平面两两平行时，可以把空间分成4部分，如图1； 三个平面中恰有两个平面平行时，可把空间分成6部分，如图2； 三个平面两两相交于一条直线时，可以把空间分成6部分，如图3； 三个平面两两相交于三条直线，且三条直线互相平行时，可以把空间分成7部分，如图4； 三个平面两两相交于三条直线，且三条直线交于一点时，可以把空间分成8部分，如图5， 所以空间中的三个平面最多能把空间分成部分，故A正确； 对于B：因为直线平面，直线平面，由与相交一定可以得到与相交， 但是由与相交，则与可以相交、平行或异面，故B错误； 对于C：因为，直线平面，则且， 又直线平面，所以， 又，所以，故C正确； 对于D：若空间中三个平面两两相交，则他们的交线可以互相垂直， 如图正方体中：平面平面， 平面平面，平面平面， 由正方体的性质可知、、两两互相垂直，故D错误. 故选：AC . 11．ACD 【分析】根据题意求截面，可知为直三棱柱，进而可求相应的体积，即可判断AB；利用补形法结合长方体的性质求外接球的半径和表面积，即可得判断C；可知平面截该正四棱柱所得截面为矩形，即可得面积判断D. 【详解】设， 连接，，， 由长方体的性质可知：，可知A，，，四点共面， 所以为直三棱柱，其体积为，故A正确； 的体积为，B错误． 的外接球即为长方体的外接球， 所以的外接球的半径， 则的外接球的表面积为，C正确． 平面截该正四棱柱所得截面为矩形，其面积为，D正确． 故选：ACD. 12．/ 【分析】根据给定条件，利用异面直线所成角的定义求解即得. 【详解】正方体中，，因此异面直线与所成的角或其补角， 而，因此. 所以异面直线与所成角的大小为. 故答案为： 13．18 【分析】取的中点，连接，则梯形为过三点的截面，然后求解其面积即可. 【详解】取的中点，连接， 因为为的中点，所以‖，， 因为‖，，所以‖，， 所以四点共面，即过三点的截面为梯形， 因为正方体的棱长为4， 所以， 所以等腰梯形的高为， 所以梯形的面积为， 故答案为：18 14．/ 【分析】作出图形，结合正四棱台的性质求其高，从而利于棱台的体积公式计算即可. 【详解】记正四棱台的上、下底面中心为， 连接，在平面中，过作,交于, 如图所示：    则由正四棱台的性质可知， 底面,从而底面， 所以为侧棱与底面所成的角， 故， 又该正四棱台的上､下底面边长分别为2和4，， 所以, 则， 故， 即该正四棱台的高为， 所以该正四棱台的体积为 . 故答案为：. 15．(1) (2) (3) (4) 【分析】根据立体几何的相关符号语言一一表述即可. 【详解】（1）由题意转化为符号语言为：； （2）由题意转化为符号语言为：； （3）由题意转化为符号语言为：； （4）由题意转化为符号语言为：； 16．(1)相交； (2)异面； 【分析】（1）由线面关系的定义可得答案； （2）根据异面直线的判定定理可得结论. 【详解】（1）因为面，所以面，又面， 所以直线与平面的位置关系是相交； （2）由（1）得直线与平面的位置关系是相交，面， 又面，，面， 所以直线与直线的位置关系是异面； 17．或 【分析】过点作垂直于上底面于点，则是母线，连接，根据圆柱的性质得到且，从而得到，与所成的角就是或其补角，再分和两种情况讨论，分别计算可得． 【详解】如图，过点作垂直于上底面于点，则是母线，连接， 垂直于上下底面，，，    则四边形是平行四边形，， 与所成的角就是或其补角． 当时，是等边三角形，， 在中，； 当时，在中，， 在中，． 综上，或. 18．证明见解析 【分析】推导出、、是平面与平面的公共点，由此能证明，，三点共线． 【详解】证明：，，，与，分别在平面的两侧， ，、、、构成一个平面， ，．，， 、、是平面与平面的公共点， 、、都在平面与平面的交线上， ，，三点共线． 19．(1)图象见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用平面的基本性质作图. （2）证明四边形为梯形，设，再证明，即可得到三线共点． 【详解】（1）作直线分别交的延长线于，连接交于， 连接交于点，连接，则五边形即为所求，如图： （2）如图，连接，，，四边形是正四棱柱的对角面，则，， 由Q、R分别为中点，得，则，且， 即四边形为梯形，令，则，而平面， 则平面，同理平面，又平面平面，因此， 所以三线共点. 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）已知，是两个不同的平面，则下列命题错误的是（    ） A．若，且，则 B．若A，B，C是平面内不共线三点，，，则 C．若直线，直线，则a与b为异面直线 D．若A，B是两个不同的点，且，则直线 2．（23-24高一下·江苏镇江·期末）正方体中，，分别为棱，中点，则与所成角为（    ） A． B． C． D． 3．（2024高二下·天津南开·学业考试）若，是两条不同的直线，是一个平面，，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（23-24高一下·江苏南通·期中）已知，，为三个不同的平面，，为两条不同的直线，则下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 5．（23-24高一下·江苏南京·期末）在如图所示的几何体中， 底面ABCD 是边长为2的正方形，，，，均与底面ABCD 垂直， 且. 点 E、F分别为线段BC、的中点，记该几何体的体积为V，平面AFE将该几何体分为两部分，则体积较小的一部分的体积为（    ） A． B． C． D． 6．（2024高一下·全国·专题练习）已知正四棱锥的所有棱长均为为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．（2023·四川绵阳·三模）正四棱台上、下底边长为、，外接球表面积为，则正四棱台侧棱与底面所成角的正切值为（    ） A． B． C．或 D．或 8．（2019·福建厦门·二模）在长方体中，，，，是的中点，是棱上一点，，动点在底面内，且三棱锥与三棱锥的体积相等，则直线与所成角的正切值的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高一下·广西·期末）如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法正确的是（    ）    A．四点共面 B． C．三线不共点 D． 10．（23-24高一下·广东韶关·阶段练习）如图，正方体的棱长为为的中点，为线段上的动点，过点的平面截该正方体所得截面记为，则下列命题正确的是（    ） A．直线与直线所成角的正切值为 B．当时，为等腰梯形 C．当时，与交于点，则 D．当时，为四边形 11．（2024·全国·模拟预测）已知正四面体的棱长为1，点为棱的中点，点为内部（含边界）一动点，则（    ） A．当时，点的轨迹为圆弧 B．当时，点的轨迹长度为 C．若与平面所成角的正切值为，则点的轨迹长度为 D．直线与平面所成角的正弦值最大为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高二上·上海·期中）已知是空间的两条不同直线，是两个不同的平面，下列四个命题中真命题的编号是 . ①．，则    ②．，则 ③．，则    ④．，则 13．（22-23高一下·全国·课后作业）已知直线，和平面，且，，则与的位置关系是 ． 14．（23-24高三上·河南鹤壁·期中）如图，在正三棱柱中，，，则直线与直线所成角的正切值为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （2024高一下·全国·专题练习）如图所示，在正方体中，分别是的中点，则下列直线与平面、平面与平面的位置关系是什么？ (1)所在的直线与平面的位置关系； (2)所在的直线与平面的位置关系； (3)所在的直线与平面的位置关系； (4)平面与平面的位置关系； (5)平面与平面的位置关系. 16. (15分) （2024高三·全国·专题练习）如图，在正方体中，分别是、的中点． (1)求与所成的角； (2)设，在正方形内（或上），是否存在点使得三棱锥的体积为1？若存在，求出动点的轨迹；若不存在，说明理由． 17. (15分) （23-24高一下·广西南宁·期中）已知正方体中，，点M，N分别是线段，的中点． (1)求点M到平面的距离； (2)判断，M，B，N四点是否共面，若是，请证明；若不是，请说明理由． 18. (17分) （21-22高一下·山东青岛·期中）如图所示，正方体的棱长为a． (1)过正方体的顶点A，B，截下一个三棱锥，求正方体剩余部分的体积； (2)若M，N分别是棱AB，BC的中点，请画出过，M，N三点的平面与正方体表面的交线（保留作图痕迹，画出交线，无需说明理由），并求出交线围成的多边形的周长； (3)设正方体外接球的球心为O，求三棱锥的体积． 19. (17分) （22-23高二上·上海徐汇·期中）在四面体ABCD中，H、G分别是AD、CD的中点，E、F分别是AB、BC边上的点，且. (1)求证：E、F、G、H四点共面； (2)若平面EFGH截四面体ABCD所得的五面体的体积占四面体ABCD的，求k的值. 参考答案： 1．C 【分析】根据题意结合平面的性质以及相关基本事实逐项分析判断. 【详解】对于A，因为且，则A是平面和平面的公共点， 又因为，由基本事实3可得，故A正确； 对于B，由基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面， 又因为，且A，，，则，故B正确； 对于C，由于平面和平面位置不确定， 则直线与直线位置亦不确定，可能异面、相交、平行、重合，故C错误； 对于D，由基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内， 那么这条直线在这个平面内，故D正确． 故选：C． 2．C 【分析】由题意画出图形，数形结合可得答案. 【详解】如图，连接，，， 因为，分别为棱，中点，所以，所以为与所成角，因为在正方体中，， 所以为等边三角形，所以， 故选：C 3．B 【分析】根据空间中线线、线面的位置关系及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为，是两条不同的直线，是一个平面，， 若，则或，故充分性不成立； 若，则在平面存在直线，使得，又，，所以，所以，故必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4．D 【分析】由空间中的线面位置关系，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】若，，则可能平行，可能相交，可能异面，故A错误； 若，，则，故B错误； 若，，则可能平行，可能相交，故C错误； 若，，由线面垂直的性质定理可得，故D正确； 故选：D 5．B 【分析】先求几何体的体积，再根据截面位置求被截较小部分的体积即可. 【详解】由题意可知该几何体是长方体截去一个三棱锥，如图所示， 有，，四边形为平行四边形，有， 点 E、F分别为线段、的中点，则， 所以平面即为平面AFE截几何体的截面. 因为，， 所以几何体的体积， 被截棱台的体积， 较大部分体积为，且， 所以较小部分的体积为. 故选：B. 6．C 【分析】根据题中条件连接，取的中点，连接，作出异面直线所成角或补角，利用余弦定理求解即可. 【详解】连接，取的中点，连接， 由题意可得，则异面直线与所成角为或其补角， 在中，， 则， 则异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C 7．C 【分析】在正四棱台中，取截面，设正方形、的中心分别为、，分析可知球心在直线上，对球心的位置进行分类讨论，求出的长，利用线面角的定义可求得结果. 【详解】在正四棱台中，设其上底面为正方形，下底面为正方形， 设正方形、的中心分别为、， 由正四棱台的几何性质可知，平面，取截面， 则正四棱台的外接球球心在直线上，分以下两种情况讨论： ①在、的同侧，如下图所示： 设球的半径为，则，可得， 由圆的几何性质可知，， 且，， 所以，，， 所以，， 过点在平面内作， 因为，，，， 则四边形为矩形，且，，， 因为，则平面，则与平面所成角为， 且； ②若球心在线段上，如下图所示： 设球的半径为，则，可得， 由圆的几何性质可知，， 且，， 所以，，， 所以，， 过点在平面内作， 因为，，，， 则四边形为矩形，且，，， 因为，则平面，则与平面所成角为， 且. 综上所述，正四棱台侧棱与底面所成角的正切值为或. 故选：C. 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. 8．C 【分析】过构造与平面平行的平面，得出的轨迹，从而可得出当所求角最小时对应的的位置． 【详解】解析：因为，设，的中点为， 则，，因为平面，平面， 所以平面，平面，平面， 所以平面，又因为， 所以平面平面， 所以平面，因为底面， 因为平面平面， 所以在底面的轨迹为线段， 在平面内，过点作垂直于，垂足为，连接， 则为直线与所成的最小角，所以. 故选：C 【点睛】本题考查了异面直线所成角的计算，考查面面平行的判定，考查棱锥的体积公式，属于中档题． 9．AB 【分析】连接，证得且，可得判定A正确、B正确；延长相交于点，结合平面的性质，可判定C不正确；由和时，得到，可判定D错误． 【详解】对于A、B中，如图所示，连接， 因为是的中位线，所以，且， 又因为，且，所以四边形是平行四边形， 所以，所以，且，所以为梯形， 所以四点共面，所以A、B正确； 对于C中，如图所示，延长相交于点， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面， 因为平面平面，所以， 所以三线共点，所以C不正确； 对于D中，因为，当时，， 又，则，所以D错误． 故选：AB    10．ABC 【分析】利用定义求出异面直线夹角正切判断A；作出截面计算判断B；作出点，计算判断C；作图说明判断D. 【详解】正方体的棱长为为的中点， 对于A，，直线与直线所成角为，则，A正确； 对于B，，即为中点，此时，， ，则截面为等腰梯形，B正确； 对于C，，连接并延长交延长线于，直线交于， 由，得，由是的中点，，得， 因此，C正确； 对于D，，连接并延长交延长线于，直线交于， 交延长线于点，连接交于点，连接得截面， 过点的平面与正方体的5个表面相交，因此截面是五边形，D错误. 故选：ABC 11．BCD 【分析】利用正四面体性质，通过计算分别判断相应选项. 【详解】对于A．当时，点的轨迹为线段的垂直平分面（过线段的中点，且与垂直的平面）与内部（含边界）的交线段，即点的轨迹为线段，所以A错误． 对于B．如图1，连接，因为和均为等边三角形，为的中点，所以，，又，所以平面，所以．连接，则平面，若，则有平面，所以，故点的轨迹为中边上的高．因为等边三角形的边长为1，所以点的轨迹长度为，B正确． 对于C．在正四面体中，设点为等边三角形的中心，连接， 如图2，易知平面，则即为直线与底面所成的角， 即，易知． 在Rt中，， 所以，即．因为到各边的距离，且，（提醒：注意判断与的大小，只有时，点的轨迹才是圆）所以点的轨迹是内以为圆心，为半径的圆，所以点的轨迹长度是，故C正确． 对于D．解法一  由选项知，平面，故为平面的一个法向量． 设直线与平面所成的角为，则当最大时，最大， 因为，所以要想最大，只要与的夹角最小即可． 设为的中点，连接，由对称性可知，当点在线段上运动时，与的夹角最小，此时．连接，在Rt中，，，，故直线与平面所成角的正弦值最大为，D正确． 解法二  如图3，设直线交线段于点（若在线段上，则与重合），连接，由选项知，平面，即平面，所以即为直线与平面所成的角，且，又，若想最大，则最小即可，显然当，即为中点时，最小，最小值为，此时，D正确． 故选：BCD 12．①④ 【分析】根据空间中直线与平面的位置关系一一判断. 【详解】对①，因为，所以， 又因为，所以，①正确； 对②，由，可得或，②错误； 对③，由，可得直线与平面的位置关系可以是平行或相交，③错误； 对④，因为，所以，④正确； 故答案为：①④. 13．或 【分析】根据线面的位置关系进行分类讨论，分别利用线面垂直的性质进行说明即可． 【详解】当时，，则，当时，，则； 故当，时，有或. 故答案为：或 14．/ 【分析】根据给定条件，作出直线与直线所成的角，再借助余弦定理求出余弦值即可求解. 【详解】在正三棱柱中，连接交于O点，取的中点F，连接OF， 显然是的中点，则，是与所成的角或其补角， 在中，，，， ，， 所以直线与直线所成角的正切值为. 故答案为： 15．(1)相交 (2)相交 (3)平行 (4)平行 (5)相交 【分析】根据直线与平面的位置关系的判定、平面与平面位置关系的判定直接判断答案即可. 【详解】（1）由于A点在平面内，M不在平面内，所以所在的直线与平面相交. （2）由于C点在平面内，N不在平面内，所在的直线与平面相交. （3）由正方体的结构特征得平面平面，， 所以所在的直线与平面平行. （4）由正方体的结构特征得平面平面， 所以平面与平面平行. （5）由正方体的结构特征得平面平面， 而平面平面， 所以平面与平面相交. 16．(1) (2)为的中点，与重合，因而使的的轨迹为线段 【分析】（1）取的中点．连结，证明，再证明即可得解； （2）设为所求的点，过在平面内作，交于，交于，证明平面，再由等体积法求出，即可得出的轨迹为线段． 【详解】（1）取的中点．连结，如图，    因为，所以四边形为平行四边形． 所以．因为， 所以． 所以，又，所以， 即异面直线与所成的角为． （2）设为所求的点，过在平面内作，交于，交于， 连接，如图，    因为，平面，平面， 所以平面，所以上任一点到平面的距离相等， 所以有． 设，则 ， ． 解得，即为的中点，所以与，与重合， 因而使的点的轨迹为线段． 17．(1)； (2)是，证明见详解. 【分析】（1）由即可求解； （2）利用三角形中位线性质证明，然后证明为平行四边形，即可得，再由直线平行的传递性可证. 【详解】（1）记点M到平面的距离为h， 易知为正三角形，且，所以， 又， 所以， 因为，所以，即， 解得，即点M到平面的距离为. （2），M，B，N四点共面，证明如下： 连接， 因为M，N分别是线段，的中点， 所以， 由正方体性质可知，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以， 所以，M，B，N四点共面. 18．(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用等体积法求出三棱锥的体积，再用正方体体积减去即可； （2）根据点、线、面的位置关系作出图形，再利用三角形相似等知识点则可求出相关线段长； （3）根据（1）中三棱锥的体积以及正方体和正三棱锥的性质即可求出三棱锥的高，再利用棱锥的体积公式即可. 【详解】（1）因为正方体，所以平面， 则为三棱锥的高，，， 则， 则正方体剩余部分的体积为. （2）画直线交，延长线分别为点， 再分别连接，分别交于点， 顺次连接，五边形即为交线围成的多边形， 易得，，则为等腰直角三角形， 则，根据∽，， 则，则，， 同理可得，，而， 则五边形的周长为. （3） 连接，易知的中点即为正方体外接球的球心点， 且， 易得三棱锥为正三棱锥， 而三棱锥的顶点在底面上的投影即为等边三角形的中心点， 且点均在直线上， 由（1）得， 即，解得， 而，所以 所以， 则. 19．(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用平行的传递性证明即可； （2）延长，则必交于点，利用相似比求解即可 【详解】（1）连接， 因为H、G分别是AD、CD的中点， 所以， 又， 所以， 所以， 所以E、F、G、H四点共面； （2）延长，则必交于点， 证明如下：设， 因为平面， 所以平面， 同理平面， 又平面平面， 所以， 所以，则必交于点， 取的中点，连接， 因为， 所以， 又， 所以， 所以， 又， 所以， 所以， 所以，即， 所以，， 所以， ， 所以，即， 所以，即， 所以， 解得或， 又因为， 所以 【点睛】四点共面问题是立体几何中常考的问题之一，解决的方法是结合图象证明这四点成的两条线平行，通过两直线平行，从而说明四点共面 培优训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高一下·福建·期末）如图，在棱长为4的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，设直线与平面交于点，则（    ）    A．2 B． C．1 D． 2．（23-24高二下·浙江杭州·期末）在正方体中，，分别是棱和上的点，，，那么正方体中过点，，的截面形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 3．（2024·陕西铜川·三模）在正方体中，分别为的中点，若，则平面截正方体所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·湖北武汉·期末）如图，在正方体中，分别是的中点，有四个结论： ①与是异面直线； ②相交于一点； ③过A，M，P的平面截正方体所得的图形为平行四边形； ④过A，M，N的平面截正方体所得的图形为五边形； 其中错误的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（23-24高一下·江苏镇江·阶段练习）如图所示，在空间四边形中，点，分别是边，的中点，点，分别是边，上的点，且，则下列说法正确的个数为（    ） ①，，，四点共面； ②平面； ③与的交点一定在直线上. A．0 B．1 C．2 D．3 6．（2024·四川·模拟预测）设表示两条互不重合的直线，表示两个互不重合的平面，则下列命题错误的是（    ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 7．（2024·山西·一模）如图，在体积为1的三棱锥的侧棱上分别取点，使，记为平面､平面､平面的交点，则三棱锥的体积等于（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高三上·河北沧州·阶段练习）已知正方体的棱长为，为的中点，为棱上异于端点的动点，若平面截该正方体所得的截面为五边形，则线段的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高一下·四川攀枝花·阶段练习）如图，在三棱柱中，，，，分别为，，，的中点，则下列说法正确的是（    ） A．，，，四点共面 B． C．，，三线共点 D． 10．（2024高二下·浙江·学业考试）如图，在棱长为2的正方体中，为边的中点，为中点，为上的动点，则（    ） A．与所成角的余弦值为 B．过三点的截面为五边形 C．该正方体外接球的表面积与内切球的表面积之比为 D．与平面所成角的正切值最大值为 11．（23-24高一下·安徽芜湖·期中）在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，点在对角线上，则（    ） A．的最小值为 B．三棱锥体积为 C．点到平面的距离为 D．四面体外接球的表面积为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高三上·江苏常州·期末）已知二面角为，内一条直线与所成角为，内一条直线与所成角为，则直线与直线所成角的余弦值是 ． 13．（21-22高一下·北京·阶段练习）如图，正方体的棱长为为的中点，为棱上的动点，过点的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是 .（请写出所有正确命题的编号） ①当时，S为等腰梯形； ②当时，S与的交点满足； ③当时，S为六边形； ④当时，S的面积为. 14．（23-24高三上·安徽合肥·期末）如图，已知正方体的棱长为2，点分别为棱，，，的中点，且点都在球的表面上，点是球表面上的动点，当点到平面的距离最大时，异面直线与所成角的余弦值的平方为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （2024·全国·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，，是的中点，分别在上，且． (1)证明：四点共面； (2)若平面，求四棱锥的体积． 16. (15分) （23-24高一下·浙江宁波·期中）如图，在长方体中，，，点，分别是棱的中点． (1)证明：三条直线相交于同一点 (2)求三棱锥的体积． 17. (15分) （23-24高一下·云南昆明·期中）如图是一个棱长为2的正方体的展开图，其中分别是棱的中点．请以三点所在面为底面将展开图还原为正方体． (1)求证：点在平面内； (2)用平面截正方体，将正方体分成两个几何体，两个几何体的体积分别为，试判断体积较小的几何体的形状（不需要证明），并求的值． 18. (17分) （23-24高一下·福建厦门·期中）如图（1），正三棱柱，将其上底面ABC绕的中心逆时针旋转，，分别连接得到如图（2）的八面体    (1)若，依次连接该八面体侧棱的中点分别为M，N，P，Q，R，S， （ⅰ）求证：共面； （ⅱ）求多边形的面积； (2)求该八面体体积的最大值． 19. (17分) （22-23高一上·江西上饶·阶段练习）如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是AA1，D1C1的中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面A1B1C1D1相交于直线l. （1）画出直线l的位置，并简单指出作图依据； （2）设l∩A1B1＝P，求线段PB1的长． 参考答案： 1．C 【分析】先作出直线与平面的交点，进而求得的长度. 【详解】在平面中，延长交于P，连接，交于Q， 在中，则 又在中， 则.    故选：C 2．B 【分析】画出图形，然后判断即可. 【详解】在正方体中，取，， 连接，，，，，，如下图所示： 因为在正方体中，，分别是棱和上的点，，， 所以，且，则四边形为平行四边形，则，， 又因为，且，所以四边形为平行四边形， 则，， 所以，，所以为平行四边形， 则正方体中过点，，的截面形状为四边形. 故选：B 3．D 【分析】借助正方体截面的性质可得该截面是边长为的正六边形，计算其面积即可得. 【详解】如图，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点， 过点作的平行线交于点，易知点都在截面内， 且都是其所在棱的中点，从而所得截面是边长为的正六边形， 所求面积. 故选：D. 4．C 【分析】由空间中直线与直线，直线与平面的位置关系依次判断即可. 【详解】对于①，连接，如图所示： 由分别是的中点，可得， 可得与共面，故①错误； 对于②，因为平面平面平面， 所以由异面直线的定义可得， 与是异面直线，则不相交于一点，故②错误； 对于③，由①知，过A，M，P的平面截正方体所得的图形为四边形， 而，故四边形不是平行四边行，故③错误； 对于④，取， 则过A，M，N的平面截正方体所得的图形为五边形，故④正确. 故选：C 5．C 【分析】利用平面几何的性质及平行公理可得，且四边形为梯形，结合公理可得答案. 【详解】依题意，可得，，故，所以，，，四点共面，故①正确； 因为，，所以四边形为梯形，与必相交，设交点，所以不平行平面，故②错误； 因为点在上，故点在平面，同理，点在平面上， 所以点是平面与平面的交点， 又是平面与平面的交线，所以与的交点一定在直线上，故③正确； 故选：C 6．D 【分析】根据直线与平面的位置关系，逐一分析判断即可. 【详解】选项A：因为，则，又，所以，A说法正确； 选项B：因为，则，又，所以，B说法正确； 选项C：因为，则，又，所以，C说法正确； 选项D：若，则与的位置关系不确定，又，所以与的位置关系也不确定，D说法错误； 故选：D 7．B 【分析】先画出图形确定O的位置，将三棱锥的体积，转化为线段的长度比，充分利用直线的平行进行推导，求出比例即可． 【详解】如图所示，假设，连接，易知， 在中，设， 所以， ， 则，即， 同理，则， 设到底面的距离分别为，则， 所以. 故选：B 【点睛】思路点睛：先根据平面性质确定交点位置，再由平面向量的线性运算计算线段比例关系得出棱锥高的比例关系即可. 8．B 【分析】根据题意，结合正方体的几何结构特征，得出当为棱上异于端点的动点，截面为四边形，点只能在线段上，求得，线段的取值范围，得到答案. 【详解】在正方体中，平面平面， 因为平面，平面，平面平面， 则平面与平面的交线过点，且与直线平行，与直线相交， 设交点为，如图所示，    又因为平面，平面， 即分别为，与平面所成的角， 因为，则，且有，当与重合时，平面截该正方体所得的截面为四边形，此时，即为棱中点； 当点由点向点移动过程中，逐渐减小，点由点向点方向移动； 当点为线段上任意一点时，平面只与该正方体的4个表而有交线，即可用成四边形； 当点在线段延长线上时，直线必与棱交于除点外的点， 又点与不重合，此时，平面与该正方体的5个表面有交线，截面为五边形， 如图所示．    因此．当为棱上异于端点的动点，截面为四边形，点只能在线段（除点外）上，即，可得，则， 所以线段的取值范围是， 所以若平面截该正方体的截面为五边形，线段的取值范围是. 故选：B． 【点睛】知识方法：对于空间共面、共线问题，以及几何体的截面问题的策略： 1、正面共面的方法：一是先确定一个平面，然后再证明其余的线（或点）在这个平面内；二是证明两个平面重合； 2、证明共线的方法：一是先由两个点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；二是直接证明这些点都在同一条特定直线上； 3、空间几何体中截面问题：一是熟记特殊几何体（正方体，正四面体等）中的特殊截面的形状与计算；二是结合平面的基本性质，以及空间中的平行关系，以及平面的基本性质，找全空间几何体的截面问题，并作出计算； 4、空间几何体中的动点轨迹等问题：一般时根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程； 9．ABC 【分析】利用线线平行的传递性与平面公理的推论即可判断AB；利用平面公理判断得，的交点在，从而可判断C；举反例即可判断D. 【详解】对于AB，如图，连接，， 因为是的中位线，所以， 因为，且，所以四边形是平行四边形， 所以，所以，所以四点共面，AB正确； 对于C，如图，延长，相交于点， 因为，平面，所以平面， 因为，平面，所以平面， 因为平面平面， 所以，所以三线共点，C正确； 对于D，因为，当时，， 又，则，D错误. 故选：ABC 10．ABD 【分析】根据线线成角的定义，及余弦定理，求出与所成的角，可判断A，依据平面的性质画出平面截正方体所得的截面判断B,根据正方体与外接球、内切球的关系求出对应的半径，可判断C，线面角的最大角等于面面角，所以求的就是二面角的平面角，计算可判断D. 【详解】对于选项A：将平移到，连接，则就是所要求的线线角， 由已知得，， 由余弦定理得：，则A正确； 对于选项B： 连接并延长与的延长线交于点， 连接并延长与交于点，与的延长线交于， 连接交于点，连接， 此时截面为五边形，则B正确； 对于选项C：外接球半径为，内切球的半径为， 设正方体外接球的表面积为，内切球的表面积为，所以，则C错误； 对于选项D：线面角的最大角等于面面角，所以求的就是二面角的平面角， 过作交于点，过作交于点，则就是该二面角的平面角. 由已知得，所以，则D正确. 故选：ABD 11．ABD 【分析】对于A，根据正方体的性质，将点旋转使得共面，利用三角形的余弦定理，可得答案；对于B，根据正方体的性质，明确三棱锥的底面以及底面上的高，可得答案；对于C，利用求得的三棱锥的体积，利用勾股定理求得的三边长，结合余弦定理以及面积公式，可得答案；对于D，根据三棱锥的性质，设出外接球的球心，利用勾股定理，建立方程，结合球的面积公式，可得答案. 【详解】根据题意，可作图如下： 对于A，在正方体中，易知平面， 因为平面，所以， 将点绕旋转得到，使共面，如下图： 易知，在中，易知， 由余弦定理，， 则，故A正确； 对于B，在正方体中，平面， 在三棱锥中，以为底面，则为其高， 因为，易知为等腰直角三角形，且分别为的中点， 所以，且到的距离为， 所以，故B正确； 对于C，在中，易知，则， 在中，易知，则， 在中，易知，则， 在中，由余弦定理，， 则，所以， 点到平面的距离为，故C不正确； 对于D，取的中点，易知为的外接圆圆心，连接， 作，取，连接，如下图： 因为，所以平面，由为的外接圆圆心， 则可设为三棱锥的外接球球心，即， 因为，所以易知四边形为矩形，则， 在中，，易知，则， 在中，由余弦定理得：， 在中，， 在中，， 则，解得，则球的表面积为，故D正确. 故选：ABD. 12． 【分析】分类讨论作出二面角的平面角，然后根据余弦定理求角. 【详解】如图，过上一点作交于点，交于点    设，，， 如图，设，，，，，，    ， 故答案为：. 13．①②④ 【分析】①作出辅助线，找到S为四边形，证明出其为等腰梯形；②作出辅助线，找到S，利用各边长度与相似，求出；③在②的分析基础上，得到S为五边形；④作出辅助线，得到S为菱形，求出对角线，进而求出面积. 【详解】当时，S为等腰梯形，理由如下： 如图1，连接，，因为为的中点，为上的中点， 所以∥， 所以四边形为S，其中， 所以S为等腰梯形，①正确； 当时，S与的交点满足，理由如下： 如图2，延长至点E，使得，连接EA，EQ交于点R， 取AD中点N，DE中点M，连接MQ，MN，PN， 则，DN=CP，所以四边形CQMD与四边形PCDN均为平行四边形， 所以MQ∥NP∥CD，且MQ=NP=CD，所以四边形MNPQ为平行四边形， 所以PQ∥MN，由中位线的性质可知：MN∥AE，所以PQ∥AE， 所以四边形AEQP即为S，其中， 所以，所以，②正确； 当时，S为五边形，理由如下： 如图3，根据②的分析，随着Q点在图2的基础上沿着向上移动， 则点E点沿着射线向上移动，此时AE与相交于点G， EQ与相交于点R，连接GR，故所截得的S为五边形，故③错误； 当时，S的面积为，理由如下： 如图4，点Q与重合，此时G为的中点，可证得：∥，AP∥GQ， 其中，所以S为菱形APQG， 且，S的面积为，④正确. 故答案为：①②④ 14． 【分析】根据条件，得出球是正方体的棱切球，进而得出圆心和半径，再利用球的性质得出点的位置，利用几何关系得出就是异面直线与所成角，再计算出，即可求出结果. 【详解】因为点分别为棱，，，的中点，且点都在球的表面上， 则球是正方体的棱切球，球心为对角线的中点，半径为， 取的中点，则点为延长线与球O表面的交点时点到平面的距离最大， 此时，，． 连接OE，则，就是异面直线与所成角， 因为，所以， 所以异面直线与所成角的余弦值的平方为， 故答案为：. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于，利用点都在球的表面上，得到球为正方体的棱切球，利用球的性质，将球面上的点到平面的最大距离转化成球心到平面的距离不处理，再利用几何关系来解决问题. 15．(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）取的中点，连接，由三角形中位线定理得，再根据线段间的关系得到，，从而得到四边形为平行四边形，即得，最后利用平行线的传递性得到，即可证得结论； （2）利用割补法将四棱锥的体积等价为2个三棱锥的体积之和，同时多次利用三棱锥体积之间的关系进行转化求解． 【详解】（1）证明：如图所示，取的中点，连接， 因为分别是的中点，所以， 又因为，所以且， 又由，，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为，所以，则四点共面． （2）解：如图所示，过点作交于点，则， 可得，， 连接，则 ． 16．(1)证明见解析； (2)1. 【分析】（1）先通过证明且得到四点共面，且相交，再利用基本事实三可证明结论； （2）通过以及棱锥的体积公式求解. 【详解】（1）连接，如图： 分别是的中点，，， 且， ∴四边形为平行四边形，， 在中，分别是的中点，，， 且四点共面， 设，平面，平面，平面，平面， 平面平面， 三条直线相交于同一点； （2），三棱锥的高为， 点是棱的中点，， 点分别是棱的中点，，， ． ． 17．(1)证明见解析； (2)三棱台， 【分析】（1）根据两条平行线确定一个平面，得出四点共面； （2）由于平面截正方体的截面是四边形，得出是三棱台的体积，进一步求体积得出比值. 【详解】（1）证明：将展开图还原为如图所示的正方体， 连接，在正方体中，且， 四边形是平行四边形，， 由分别是棱的中点，有，则， 所以四点共面，即点在平面内． （2）连接，所以平面截正方体的截面是四边形， 平面中，延长与的延长线交于点，是棱中点，则为中点， 为中点，则延长与的延长线交于点， 所以体积较小的几何体，即体积为的几何体是三棱台， 正方体的体积，其中是三棱台的体积， ， 18．(1)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） (2) 【分析】（ⅰ）三点确定平面，证明其余务点都在内；（ⅱ）由多边形的形状，利用分割法求面积。 （2）八面体补成六棱柱，转化为规则图形求体积. 【详解】（1）（ⅰ）证明：由基本事实1，三点共面，设这三点确定的平面为，    因为，且平面，平面， 所以平面，同理，平面， 又因为平面由棱柱上底面绕中心旋转得到， 所以平面平面，因为平面，所以平面， 若平面与平面相交，设平面平面，则至少与中一条直线相交， 不失一般性，设，则平面，且，由基本事实3知，与矛盾，故平面平面， 若平面，则与平面相交，由平面平面，则与平面相交， 因为平面，所以与相交，与矛盾，所以平面， 即四点共面；同理， 综上，六点共面. （ⅱ）旋转后俯视图形如下，由条件知， 且，    旋转前与夹角为，旋转后夹角为， 由平行关系，得，同理， 联结，所以全等且均为等腰直角三角形， 所以，又因为为正三角形且边长为， 所以，所以截面的面积为 （2）(3)利用割补法，分别由向平面作垂线，垂足为， 由向平面作垂线，垂足为； 将八面体补成六棱柱，则八面体的体积为六棱柱的体积扣去六个全等的四面体，即，    易知这些棱柱与棱锥的高均为三棱柱的高，设， 则， 其中，的外接圆也是的外接圆，    设其圆心为O，由正弦定理，其半径为 则，当时，距离最远，此时， 所以八面体体积的最大值为 【点睛】方法点睛： 若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进，即将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解． 19．(1)证明见解析；(2) . 【分析】（1）根据点线面位置关系，三个平面两两相交，三条交线的可能情况分析，此题中的情况三条交线必交于一点，即可作图； （2）利用平行关系结合三角形相似可求出PA1，再求出线段PB1的长． 【详解】(1)延长DM交D1A1的延长线于E，连接NE，则NE即为直线l的位置． (2)∵M为AA1的中点，AD∥ED1， ∴AD＝A1E＝A1D1＝. ∵A1P∥D1N，且D1N＝， ∴A1P＝D1N＝， 于是PB1=A1B1-A1P=. 【点睛】此题考查点线面位置关系，三个平面交线的可能情况分析，同时考查两平面平行的性质，涉及到易忽略的冷门考点. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$