选择性必修一课本优质习题总结训练-2025届高三数学一轮复习

参考答案： 1．证明见解析 【分析】由向量共线定理可证明. 【详解】如果向量，共线，则存在唯一实数，使得， 则， 所以向量与共线. 2．(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）根据题意，由空间向量的数量积的定义，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由空间向量的数量积的定义，代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，由空间向量的数量积的定义，代入计算，即可得到结果； （4）根据题意，由空间向量的数量积的定义，代入计算，即可得到结果； （5）根据题意，由空间向量的数量积的定义，代入计算，即可得到结果； （6）根据题意，由，再结合空间向量的数量积的定义，代入计算，即可得到结果； 【详解】（1）   由题意可知，每两条棱的夹角为，又点E，F，G分别是棱的中点， 则； （2）； （3）； （4）； （5）； （6） . 3．证明见解析； 【分析】取的中点D，联结OD，CD，证得平面，，从而有；又E，F，G，H分别是OA，OB，BC，CA的中点．从而有，结合，证得四边形EFGH是矩形． 【详解】取的中点D，联结OD，CD， 由，知，，，又， 故平面，又平面，因此 又E，F，G，H分别是OA，OB，BC，CA的中点． 则EF∥AD，GH∥AD，故EF∥GH，四边形EFGH是平行四边形 同理EH∥GF，且EH∥OC，又AB⊥OC，所以，四边形EFGH是矩形 4．证明见解析. 【分析】利用向量的运算，计算出，从而证明 【详解】 因为， 所以, 因为，，所以， 所以，即. 5．证明见解析 【分析】利用空间向量的数量积计算得出，可得出，同理可得出，结合线面垂直的判定定理可证得结论成立. 【详解】设，，，由于四边形为菱形，则，即，所以，，同理可得，由题意可得，，所以，，所以，，同理可证，因为，因此，平面. 6．（1）；（2）；（3）；（4）. 【分析】（1）建立坐标系，求出向量在单位向量上的投影，结合勾股定理可得点到直线的距离； （2）先证明再转化为点到直线的距离求解； （3）求解平面的法向量，利用点到平面的距离公式进行求解； （4）把直线到平面的距离转化为到平面的距离，利用法向量进行求解. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则 （1）因为，所以. 所以点到直线的距离为. （2）因为所以，即 所以点到直线的距离即为直线到直线的距离 ， 所以直线FC1到直线的距离为 （3）设平面的一个法向量为，. 由，令，则，即. 设点到平面的距离为，则，即点到平面的距离为. （4）因为所以平面，所以直线到平面的距离等于到平面的距离.。，由（3）得平面的一个法向量为， 所以到平面的距离为，所以直线到平面的距离为. 7．B 【分析】作图，找到直线在平面上的投影在构建多个直角三角形，找出边与角之间的关系，继而得到线面角；也可将三条射线截取出来放在正方体中进行分析. 【详解】解法一：如图，设直线在平面的射影为， 作于点G，于点H，连接， 易得，又平面，则平面，又平面，则， 有故． 已知，故为所求． 解法二：如图所示，把放在正方体中，的夹角均为． 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1， 则，所以， 设平面的法向量，则 令，则，所以， 所以． 设直线与平面所成角为，所以， 所以． 故选B． 8．（1）90°（2）（3） 【分析】（1）作AO⊥BC于点O，连DO，以点O为原点，OD，OC，OA的方向分别为x轴、y轴、z轴方向，建立坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成的角； （2）显然平面BCD的一个法向量为，利用空间向量法求出线面角； （3）求出平面CBD的一个法向量为 以及平面ABD的一个法向量为 ，求出两法向量的余弦值的绝对值即为平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值． 【详解】解：设，作AO⊥BC于点O，连DO，以点O为原点，OD，OC，OA的方向分别为x轴、y轴、z轴方向，建立坐标系，得下列坐标： ，， ， ， （1）， ，所以AD与BC所成角等于90°． （2），显然为平面BCD的一个法向量 ∴，直线AD与平面BCD所成角的大小 （3）设平面ABD的法向量为则 所以，即，令，则， 则 设平面ABD和平面BDC的夹角为，则 因此平面ABD和平面BDC的夹角的余弦为． 9． 【分析】利用向量求解，，两边平方可求平面与平面的夹角． 【详解】设平面与平面的夹角为， 由可得 所以，即平面与平面的夹角为. 10． 【分析】连结，取的中点，连结，推导出异面直线，所成角就是，利用余弦定理解三角形，能求出结果． 【详解】连结，取的中点，连结，则，是异面直线，所成的角，，，， 又，， ， 异面直线，所成的角的余弦值为． 11．（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）根据空间向量平行的坐标表示即可证出； （2）根据空间向量垂直的坐标表示即可证出． 【详解】（1）因为，，所以， 即，因为，所以． （2）因为，，， 所以． 12．（1）；（2）时，最小，最小值为；（3） 【分析】以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，求得、、、、、的坐标． （1）直接由两点间的距离公式可得； （2）把（1）中求得利用配方法求最值； （3）由（2）可知，当，为中点时，最短，求出、的坐标，取的中点，连接，，可得的坐标，连接，，得到是平面与平面的夹角或其补角，再由与的夹角求解． 【详解】解：如图建立空间直角坐标系， ，， ， ， ，， ． （1）； （2）， 当时，最小，最小值为； （3）由（2）可知，当，为中点时，最短， 则，0，，，，，取的中点，连接，， 则，，， ，，，， 是平面与平面的夹角或其补角． ，， ． 平面与平面夹角的余弦值是． 13．（1）；（2）. 【分析】（1）利用基底表示向量，再利用数量积求模；（2）转化为利用向量数量积求直线夹角的余弦值. 【详解】， 所以 ， 所以 ， ， ， 所以直线与AC所成角的余弦值为. 14． 【分析】可连接，，根据正方形的对角线互相垂直有，，而折成的为直二面角，从而平面平面，从而可得到平面，可得出OD，OC，OB三直线两两垂直，从而可分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．然后求出空间一些点的坐标，从而可以得出向量的坐标，这样可根据向量夹角的余弦公式求出向量的夹角，从而得出的大小． 【详解】折起后的图形如下所示，连接，，则，； 又平面平面，平面平面；平面； ，，三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系 设正方形的对角线长为2，则可确定以下点坐标： O(0,0,0)，A(0,-1,0)，D(1,0,0)，E(,,0)，B(0,0,1)，C(0,1,0)，F(0,,)； ；；；． 15．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）构建空间直角坐标系，令且，应用向量法求证垂直即可； （2）由三棱锥体积最大，只需△面积最大求出参数，再标出相关点的坐标，求平面与平面的法向量，进而求它们夹角的余弦值，即可得正切值. 【详解】（1）如下图，构建空间直角坐标系，令且， 所以，，，， 则，，故， 所以，即. （2）由（1）可得三棱锥体积取最大，即面积最大， 所以当时，故、为、上的中点， 所以，，，故，， 若为平面的法向量，则，令，故， 又面的法向量为， 所以， 设平面与平面的夹角为，由图可知为锐角，则，所以， 所以， 所以平面与平面的夹角正切值为. 16．. 【分析】依题意，，两边平方，结合条件，即可求得公垂线段的长. 【详解】依题意，，平方得 ， 因为，，或， 所以， 故. 17．或 【分析】讨论截距为不为0,分别求出直线即可. 【详解】（1）当截距为0时：直线为。 （2）当截距不为0时，设截距为,则直线为，将代入解得， 所以直线为. 综上所述：直线为或. 18．证明见解析. 【分析】将点代入直线中，可得与已知直线方程联立即可求证. 【详解】因为点在直线上，所以， 所以，即， 整理可得：. 19． 【分析】设直线l的方程为，平移后的方程为，根据截距相同，求得k. 【详解】由题知直线斜率存在，故设直线l的方程为， 则根据平移过程知，平移后的方程为， 该直线与原直线相同，则. 则. 20．入射光线的直线方程为,反射光线的直线的方程为. 【分析】设入射光线的直线方程为，则点在直线方程上，利用待定系数法可得k、b的值，可得入射光线与反射光线关于直线x=2对称，可得反射光线的直线的方程. 【详解】解：设入射光线的直线方程为 则点在直线方程上， 入射光线的直线方程为， 入射光线与反射光线关于直线x=2对称， 反射光线的斜率为，且经过点 反射光线的直线的方程为. 【点睛】本题主要考查直线方程的求法-待定系数法，及关于直线对称的直线方程的求法，相对简单，注意运算的准确性. 21．直线，过定点 【分析】此方程为过与的直线系方程. 【详解】因为方程化简得： 为任意实数，方程表示直线. 因为， 所以当，直线恒成立， 故直线过定点. 22． 【分析】由题意，设圆心坐标和半径表示圆的标准方程，结合待定系数法即可. 【详解】设圆的圆心坐标为，半径为r， 则圆的标准方程为：， 有，解得， 所以圆的标准方程为： 23．（点和除外）； 点C的轨迹是以点为圆心，以为半径的圆除去和两点． 【分析】设点C的坐标为，根据列出方程并化简可得答案. 【详解】设另一端点C的坐标为，依题意，得， 由两点间距离公式，得, 化简，得， 因为A、B、C三点不共线，而的方程为， 联立或， 故点C的轨迹方程为（点和除外）, 点C的轨迹是以点为圆心，以为半径的圆除去和两点． 24．该船可以从桥下通过 【分析】建立适当平面直角坐标系，如图所示，得出各点的坐标，设出圆的标准方程，将坐标代入确定出这座圆拱桥的拱圆方程，把D横坐标代入求出纵坐标，与3比较即可作出判断. 【详解】建立如图所示的坐标系.依题意，有A(－10,0)，B(10,0)，P(0,4)，D(－5,0)，E(5,0).    设所求圆的方程是， 于是有 解此方程组，得a＝0，b＝－10.5，r＝14.5， 所以这座圆拱桥的拱圆的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4). 把点D的横坐标x＝－5代入上式，得y≈3.1. 由于船在水面以上高3 m，3＜3.1，所以该船可以从桥下通过. 25．（1）；（2） 或；（3） 或 . 【分析】（1）根据点到直线的距离求得半径,进而得答案; （2）设圆心坐标为(a,a)，再根据题意得，解得或，进而求得答案； （3）设圆心坐标为(a,b),则，解方程得或，进而求得答案. 【详解】解：（1）因为圆与直线相切， 所以点到直线的距离即为圆的半径， 所以， 所以圆的方程为：， 图像如图： （2）因为圆心在直线上，半径为2， 所以设圆心坐标为， 又因为所求圆与直线相切， 所以，解得或， 所以所求圆的方程为 或， 图像如图： （3）半径为，且与直线 相切于点， 所以设圆心坐标为,则，解得或， 所以所求圆的方程为： 或 ， 图像如下： 26．或 【分析】设圆的一般方程是，得出圆心坐标和半径，利用直线与轴相切，令后的二次方程判别式等于0得的一一个等式，求出圆心到直线的距离，用勾股定理得弦长，得的第二个等式，再由圆心在已知直线上第的第三个等式，三式联立解得得圆方程． 【详解】设所求的圆的方程是，则圆心为，半径为. 令，得， 由圆与轴相切，得，即① 又圆心到直线的距离为. 由已知，得， 即② 又圆心在直线上，则③ 联立①②③，解得或 故所求圆的方程是或. 27． 【分析】设两圆交点系方程为，求得圆心坐标代入直线求得圆的方程. 【详解】设经过两圆交点的圆的方程为，即，圆心坐标为 ，将其代入直线解得 ．所以圆的方程为． 故所求圆方程为： 28．（x﹣）2+（y﹣）2=． 【分析】先利用待定系数法假设圆的标准方程：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，求出已知圆的圆心坐标与半径，再根据条件圆C过点M（3，﹣1）且与圆x2+y2+2x﹣6y+5=0相切于点N（1，2），列出方程组可求相应参数，从而可求方程． 【详解】解：设所求圆方程：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2 已知圆的圆心：（﹣1，3），半径=， 由题意可得：（3﹣a）2+（﹣1﹣b）2=r2，（1﹣a）2+（2﹣b）2=r2，（a+1）2+（b﹣3）2=， 解得a=，b=，r2= ∴所求圆：（x﹣）2+（y﹣）2= 考点：圆的切线方程． 29．最大值为88，最小值为72 【分析】设，利用两点间的距离公式得到，再由点P在圆上运动，化简为求解. 【详解】设， 因为，，三点， 所以 ， ， 因为点P在圆上运动， 则，解得， 所以， 当时，取的最大值88， 当时，取的最小值72. 30． 【分析】根据题意，只需圆心到直线的距离为即可，再结合点到直线的距离求解即可. 【详解】解：因为圆的方程为，所以圆心为，半径为 因为圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1， 所以只需要圆心到直线的距离为即可满足条件， 直线的一般式方程为：， 所以圆心到直线的距离为：，解得， 故当时，圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1. 31．(1)作图见解析，； (2)证明见解析；(3) . 【分析】(1)求出中点的坐标即为圆心的坐标，线段长度的一半即为圆的半径，从而求出圆的方程； (2)根据直径对的圆周角为来证明垂直关系； (3)两圆相减消去二次项即为公共弦所在的直线方程. 【详解】(1)易知，所以PQ的中点， 又因为 ，圆的半径为， 所以圆的方程为.作图如下： (2)因为PQ为直径，在圆Q上，所以, 所以直线PA，PB是圆Q的切线. (3) 圆的方程可化为， 圆Q的方程可化为， 两圆方程相减，得， 所以直线AB的方程为. 32．C 【分析】分，讨论即可 【详解】当时，方程为，倾斜角为 当时，直线的斜率， 所以 即 综上 故选：． 33．和 【分析】依题意，由方程组可解得平行四边形ABCD的顶点A的坐标，再结合对角线的交点是，可求得C点坐标，利用点斜式即可求得其他两边所在直线的方程. 【详解】解：联立方程组，解得. 所以平行四边形的顶点. 设，由题意知点是线段的中点， 所以，解得，所以. 由已知，得直线的斜率，因为与平行， 所以直线的方程为，即 由已知，得直线的斜率，因为与平行， 所以直线的方程为，即 故这个平行四边其它两边所在直线的方程是和 34． 【分析】将直线方程变形为，得直线系恒过点，由此得到P到直线l的最远距离为，再利用两点间的距离公式计算可得． 【详解】解：∵直线， ∴可将直线方程变形为， ∴，解得，由此可得直线系恒过点 则P到直线l的最近距离为A，此时直线过P． P到直线l的最远距离为，此时直线垂直于PA． ∴． 35． 【分析】根据题意，设出直线l1上的一点P1，求出P1关于点P的对称点P2；由P2在直线l2上，求出点P1，即得所求的直线方程． 【详解】方法一：　若直线AB无斜率，则其方程为x＝3， 它与两直线的交点分别为(3,4)，(3，－6)，这两点的中点为(3，－1)不是点P， 不合题意． 所以直线AB必有斜率，设为k(k≠2且k≠－1)， 则直线AB的方程为y＝k(x－3)． 由解得y1＝, 由解得y2＝. 据题意＝0，即＋＝0，解得k＝0或8. 当k＝0时，它与两直线的交点分别为(1,0)，(－3,0)，这两点的中点并不是点P，不符合题意，舍去． 当k＝8时，它与两直线的交点分别为(，)，(，－)，这两点的中点是点P，符合题意． ∴直线AB的方程为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0. 方法二： 在直线上， 把代入方程 ，解得 ，， 即直线方程为：. 36． 【分析】先判断两点是在直线同侧还是异侧，再求关于直线的对称点得解 【详解】因为，所以在直线同侧，设点关于直线对称的点坐标为，则，即， 可知，即三点共线时，最小，连接交直线于点，点即为所求，直线方程，联立求得P点坐标. 37．圆的方程为：＋＝2 【详解】设圆心为S，则kSA＝1, ∴SA的方程为：y＋1＝x－2，即y＝x－3， 和y＝－2x联立解得x＝1,y＝－2，即圆心(1,－2)   ∴r＝＝, 故所求圆的方程为：＋＝2 38． 【分析】先看当，时整理曲线的方程，表示出图形占整个图形的，而，表示的图形为一个等腰直角三角形和一个半圆，进而利用三角形面积公式和圆的面积公式求得二者的面积，相加即可． 【详解】解：当，时，，表示的图形占整个图形的， 而，表示的图形为一个等腰直角三角形和一个半圆 ∴ 故围成的图形的面积为： 39．或. 【分析】设出反射光线斜率，得出反射光线方程，利用圆心到反射光线的距离为半径建立关系可求得斜率，得出方程. 【详解】点关于轴的对称点为，设反射光线的斜率为， 则可得出反射光线为，即， 因为反射光线与圆相切， 则圆心到反射光线的距离，即，解得或， 则反射直线的方程为或. 40．(1)证明见解析 (2)当过圆心时弦长最长；当的方程为时最短；；最短弦长为 【分析】（1）将直线的方程可化为，若过定点，则与m无关，理解可得，求解可得定点坐标；（2）根据圆的性质可得：当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长，当直线时，直线被圆截得的弦长最短，据此运算求解. 【详解】（1）直线的方程可化为 联立，解得 故直线恒过定点 （2）当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长 设，当直线时，直线被圆截得的弦长最短 则直线的斜率为 由得直线的斜率为，解得 此时的方程为，即 圆心到直线的距离为 ∴最短弦长 故当过圆心时弦长最长；当的方程为时最短；；最短弦长为 41．（1）更接近于圆；（2） 更接近于圆. 【分析】探究可得离心率越大，椭圆越扁；越小，椭圆越圆. 所以只需比较离心率的大小即可得出结果. 【详解】因为椭圆的离心率， 所以越大，越小，椭圆越扁；越小，越大，椭圆越圆. （1）椭圆即，其离心率，椭圆的离心率， 因为，所以椭圆更接近于圆； （2）椭圆即，其离心率，椭圆的离心率， 因为，所以椭圆更接近于圆. 42．椭圆，理由见解析 【分析】连接、，计算得出，结合椭圆的定义可得出结论. 【详解】解：连接、，如下图所示：    因为线段的垂直平分线和半径相交于点， 由中垂线的性质可得， 因为点在半径为的圆内，则， 因为， 由椭圆的定义可知，点的轨迹是以点、为焦点，且长轴长为的椭圆. 43．；椭圆. 【分析】利用动圆分别与两圆的相外切和内切的位置关系，可得动圆圆心与已知两圆圆心间的关系，再根据它们的数量关系结合圆锥曲线的定义，即可判断轨迹为椭圆，并求出轨迹方程． 【详解】设动圆圆心为，半径为， 设圆和圆的圆心分别为、， 将圆的方程分别配方得：圆，圆 当动圆与圆相外切时，有 …① 当动圆与圆相内切时，有…② 将①②两式相加，得， ∴动圆圆心到点和的距离和是常数， 所以点的轨迹是焦点为点、，长轴长等于的椭圆． 设该椭圆的长轴为，短轴为，焦距为； ∴， ∴ ∴ ∴动圆圆心轨迹方程为，轨迹为椭圆． 【点睛】本题以两圆的位置关系为载体，考查椭圆的定义，考查轨迹方程，熟练掌握椭圆的定义是解题关键． 44．证明见解析. 【分析】先求出直线的方程，再求出它们的交点的坐标，再证明在椭圆上，同理可得ES与、ET与的交点M，N都在椭圆上． 【详解】由题得，，所以， 所以直线的方程为，（1） 由题得，所以， 所以直线的方程为，（2） 联立方程（1）（2）解之得 所以直线的交点为， 代入椭圆方程得， 所以直线的交点在椭圆上. 同理ES与、ET与的交点M，N都在椭圆上． 45．（1）存在点到直线距离最小，最小值为；（2）存在点到直线距离最小，最小值为. 【分析】设椭圆上点，利用点到直线距离公式求出距离，根据三角函数的性质可求得. 【详解】设椭圆上点， 则点到直线距离 ，其中， （1）当时，， 此时，即， 所以，， 所以存在点到直线距离最小，最小值为； （2）当时，， 此时，即， 所以，， 所以存在点到直线距离最大，最大值为； 46．（1）纵截距在，时与椭圆相交；（2）证明见解析 【分析】（1）设出平行直线的方程：，代入椭圆方程，消去，由判别式大于0，可得的范围； （2）运用中点坐标公式和参数方程，消去，即可得到所求的结论． 【详解】（1）设一组平行直线的方程为， 代入椭圆方程，可得，即为， 由判别式大于0，可得，解得， 则这组平行直线的纵截距在，，与椭圆相交； （2）证明：由（1）直线和椭圆方程联立，可得， 即有， 代入直线方程可得截得弦的中点为，， 由，消去，可得． 则这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上． 47． 【分析】根据方程表示双曲线即可得到，解得即可； 【详解】解：因为方程表示双曲线，所以，解得或，即 48．9 【分析】根据焦距，可得c值，根据a，b，c的关系，可得a值，根据双曲线定义，分类讨论，即可求得答案. 【详解】由题意得，焦距，可得， 在双曲线中， 所以，解得， 根据双曲线定义可得， 所以，解得或， 当时，不满足题意，故舍去， 当时，，满足题意， 所以 49．点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为实轴的双曲线，证明见解析. 【分析】连接QA，由题意可得，所以，根据双曲线的定义，即可得答案. 【详解】连接QA，如图所示：    因为l为PA的垂直平分线， 所以， 所以为定值， 又因为点A在圆外，所以， 根据双曲线定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为实轴的双曲线. 50．（1）；（2），，且；（3） 【分析】（1）若方程表示圆，则，即可得答案. （2）若方程表示椭圆，则，，且，即可得答案； （3）若方程表示双曲线，则，即可得答案. 【详解】（1）若方程表示圆，则，所以当时，方程为圆； （2）若方程表示椭圆，则，，且， 所以当，，且时，方程为椭圆； （3）若方程表示双曲线，则，所以当时，方程为双曲线. 51．. 【分析】首先利用点到直线的距离求，，利用面积为3，列式求轨迹方程. 【详解】设，根据题意可知点在和相交的右侧区域， 所以点到直线的距离，到直线的距离， 即 所以动点M的轨迹方程：. 52．， 【分析】根据题意，可得范围，进而可得的范围，根据椭圆、双曲线离心率的公式，化简整理，即可得答案. 【详解】设椭圆和双曲线的焦半径分别为，由题意得双曲线的渐近线方程为， 所以，则， 所以， 53．不能，证明见解析. 【分析】当直线l垂直x轴时，可得直线l方程，经检验不符合题意；当直线l不垂直x轴时，设，利用点差法，假设点为线段AB的中点，可得直线l的斜率，进而可得直线l的方程，与双曲线联立，判别式，方程无解，l不存在，综合即可得答案. 【详解】当直线l垂直x轴时，因为过点，所以直线l方程为x=1， 又双曲线，右顶点为（1,0）在直线l上 所以直线l与双曲线只有一个交点，不满足题意； 当直线l不垂直x轴时，斜率存在，设，且， 因为A、B在双曲线上， 所以，两式相减可得， 所以， 若点为线段AB的中点， 则，即，代入上式， 所以，则直线l的斜率， 所以直线l的方程为，即， 将直线l与双曲线联立，可得， ，故方程无解 所以不存在这样的直线l， 综上，点P不能是线段AB的中点. 54．答案见解析 【分析】联立直线与双曲线方程，利用可得，求得点坐标，得出过点M且与l垂直的直线方程，即可表示出点，得出轨迹方程. 【详解】联立方程可得， 因为有唯一公共点且，则， 整理得，可解得点坐标为，即，其中， 于是，过点M且与l垂直的直线为， 可得，即， 则，即，其中， 所以点的轨迹方程是（），轨迹是焦点在轴上，实轴长为20，虚轴长为10的双曲线（去掉两个顶点）， 如果将此题推广到一般双曲线，直线，其它条件不变，可得点的轨迹方程是，轨迹是焦点在轴上，实轴长为，虚轴长为的双曲线（去掉两个顶点）. 55． 【分析】利用给定条件表示出圆心坐标，再由圆上的点到圆心距离相等即可作答. 【详解】因圆心在y轴上移动，且该圆过点和，则线段AC是圆的直径，圆心， 而点在圆上，则，即，化简整理得， 所以点的轨迹方程. 56． 【分析】求出抛物线的准线方程并作出，过M作准线的垂线，利用抛物线定义结合所给角即可作答. 【详解】抛物线的准线为，过M作MB垂直于直线，垂足为B，作FA⊥MB于A，直线与x轴交于点K，如图： 则轴，即，四边形ABKF是矩形，中，， 由抛物线定义知，，而， 则，解得， 所以=4. 57．证明见解析 【分析】不妨假设点M在第一象限， 设M(a,b)(b> 0),求导求得切线斜率及切线方程，然后得出法线的斜率及方程，求出二者的交点坐标，然后利用对称性求得发射光线，根据反射光线平行与对称轴得出结论. 【详解】不妨假设点M在第一象限， 设M(a,b)(b> 0), 抛物线在第一象限内的解析式为(x>0),从而有 记抛物线在点M处的切线为直线l，过点M且垂直于切线l的直线记为m，则直线l的斜率是，直线m的斜率是， 所以直线m的方程为， 设点F关于直线m的对称点为N(s,t),线段FN的中点为Q，则点Q在直线m上, 且直线FN⊥m，由题意可知,则， 从而有① 因为FN⊥m，所以直线FN的斜率②，由②可得③, 将③代入①可得， 化简得④， 因为点M(a, b)在上，所以,将代入④可解得t = b，所以点M的纵坐标等于点N的纵坐标，所以FN//x轴, 即符合题意的反射光线平行于抛物线的对称轴. 同理可证，当点M在第四象限时，符合题意的反射光线平行于抛物线的对称轴. 综上可知，符合题意的反射光线平行于抛物线的对称轴. 58．B 【分析】根据两圆方程得出两圆的圆心坐标和半径，判断出两圆的位置关系，再利用与两圆都外切的位置关系得出圆心距离所满足的等量关系，结合圆锥曲线的定义即可得出答案. 【详解】由圆可知，圆心，半径， 圆化为标准方程， 圆心，半径， 因此圆心距，所以两圆相离， 设与两圆都外切的圆的圆心为，半径为， 则满足，所以， 即圆心的轨迹满足到两定点距离之差为定值，且定值小于两定点距离， 根据双曲线定义可知，圆心的轨迹是某一双曲线的左支， 即圆心在双曲线的一支上. 故选：B. 59．（1）当时，表示两条直线；（2）当时，表示圆；（3）当时，表示椭圆；（4）当时，表示双曲线. 【解析】分、、、逐一讨论即可. 【详解】（1）当时，，曲线即，表示两条直线； （2）当时，，曲线，表示圆； （3）当时，，曲线表示椭圆； （4）当时，，曲线表示双曲线. 【点睛】本题关键点在于分类讨论，讨论时一定要注意不重不漏，同时要能够清楚的辨析圆、椭圆、双曲线的方程. 60． 【分析】根据抛物线的对称性得在抛物线上两个顶点关于轴对称,进而设，再结合等边三角形的性质得，解得，进而得边长. 【详解】解：因为抛物线关于轴对称， 设等边三角形的一个顶点位于抛物线的焦点，另外两个顶点在抛物线上， 所以两个顶点关于轴对称， 所以设， 由于抛物线的焦点坐标为， 所以等边三角形的边长为，高为， 所以，解方程得， 所以等边三角形的边长为 61．当距离最短为 【分析】根据题意设，进而根据点到直线的距离并结合二次函数最值求解即可. 【详解】解：根据题意设， 所以点到直线的距离为： 当且仅当时等号成立，此时 所以当时，点到直线的距离最短，为 62．当时，表示轴；当时，表示轴；时，方程表示以原点为圆心的单位圆；或时，方程表示双曲线；且时，方程表示椭圆； 【分析】根据题意，分类讨论求解即可得答案； 【详解】解：对于方程， 当时，方程为，即，表示轴； 当时，方程为，即，表示轴； 当且时，方程为， 若，即时，方程为圆，，表示以原点为圆心的单位圆； 若，即或时，方程表示双曲线； 若且时，即且时，方程表示椭圆； 综上，当时，表示轴；当时，表示轴；时，方程表示以原点为圆心的单位圆；或时，方程表示双曲线；且时，方程表示椭圆； 63．以AB为直径的圆与抛物线的准线相切;与椭圆相离;与双曲线相交. 【分析】取AB的中点M，分别过A、B、M作准线的垂线AP、BQ、MN，垂足分别为P、Q、N，作出图形， 利用抛物线的定义及梯形的中位线性质可推导，|MN|＝|AB|，从而可判断圆与准线的位置关系．椭圆、双曲线，同理可得． 【详解】解：取AB的中点M，分别过A、B、M作准线的垂线AP、BQ、MN，垂足分别为P、Q、N，如图所示： 由抛物线的定义可知，|AP|＝|AF|，|BQ|＝|BF|， 在直角梯形APQB中， 故圆心M到准线的距离等于半径， ∴以AB为直径的圆与抛物线的准线相切． 圆半径为r，则 ，分别过点A，B做右准线的垂线，则构成一个直角梯形， 两底长分别为 ,（e为离心率） 圆心到准线的距离d为梯形的中位线长即 ∵椭圆0＜e＜1，∴，∴相离 双曲线e＞1，可得d＜r，相交． 答案第14页，共18页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教A版数学课本优质习题总结训练——选择性必修一 P9 1．证明：如果向量，共线，那么向量与共线． 2．已知四面体的每条棱长都等于a，点E，F，G分别是棱的中点，求下列向量的数量积： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6). P10 3．如图，在四面体OABC中，，，E，F，G，H分别是OA，OB，BC，CA的中点．求证：四边形EFGH是矩形． P14 4．已知四面体OABC，，．求证：． P15 5．如图，平行六面体的底面是菱形，且，，求证：平面． 5题图 6题图 P35 6．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点． (1)求点A1到直线B1E的距离； (2)求直线FC1到直线AE的距离； (3)求点A1到平面AB1E的距离； (4)求直线FC1到平面AB1E的距离． P38 7．PA,PB,PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是(    ) D． C． B． A． 8．如图，△ABC和△DBC所在平面垂直，且，．求： (1)直线AD与直线BC所成角的大小；(2)直线AD与平面BCD所成角的大小；(3)平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值． 8题图 9题图 10题图 P41 9．如图，二面角的棱上有两个点A，B，线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l．若，，，，求平面与平面的夹角． 10．如图，在三棱锥中，，，M，N分别是AD，BC的中点．求异面直线AN，CM所成角的余弦值． P44 11．在空间直角坐标系中，已知向量，点，点． (1)若直线l经过点，且以为方向向量，P是直线l上的任意一点，求证： (2)若平面经过点，且以为法向量，P是平面内的任意一点，求证：． 12．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记． (1)求MN的长；(2)a为何值时，MN的长最小？(3)当MN的长最小时求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值． 12题图 13题图 P48 13．如图，在平行六面体中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱的长为b，且. 求：(1)的长；(2)直线与AC所成角的余弦值. P49 14．如图，把正方形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，E，F分别为AD，BC的中点，O是原正方形ABCD的中心，求折纸后的大小. 14题图 15题图 15．如图，在棱长为的正方体中，，分别是，上的动点，且． (1)求证：；(2)当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的正切值． 16．如图，两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点，E和点A，F，使，且.已知，，，求线段的长. P67 17．求经过点P(2,3)，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程． 18．设点P0(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上，求证：这条直线的方程还可以写成A(x-x0)+B(y-y0)=0. P68 19．若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度后回到原来的位置．试求直线l的斜率． 20．一条光线从点射出，与x轴相交于点，经x轴反射，求入射光线和反射光线所在的直线方程. P80 21．已知为任意实数，当变化时，方程表示什么图形？图形有何特点？ P88 22．圆C的圆心在x轴上，并且过A(-1,1)和B(1,3)两点，求圆C的方程． 23．等腰三角形的顶点是，底边一个端点是，求另一个顶点C的轨迹方程，试说明它的轨迹是什么？ P95 24．某圆拱桥的水面跨度20 m，拱高4 m，现有一船，宽10m，水面以上高3m，这条船能否从桥下通过？ P98 25．求下列条件确定的圆的方程，并画出它们的图形： (1)圆心为M(3,-5)，且与直线相切； (2)圆心在直线y=x上，半径为2，且与直线y=6相切； (3)半径为，且与直线2x-3y+6=0相切于点(3,4)． 26．求与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直线x-y=0截得的弦长为2的圆的方程． 27．求圆心在直线x-y-4=0上，并且经过圆x2+y2+6x-4=0与圆x2+y2+6y-28=0的交点的圆的方程． 28．求经过点M(3，﹣1)且与圆C：x2+y2+2x﹣6y+5=0相切于点N(1，2)的圆的方程． 29．已知A(-2,-2)，B(-2,6)，C(4,-2)三点，点P在圆x2+y2=4上运动，求|PA|2+|PB|2+|PC|2的最大值和最小值． P99 30．已知圆x2+y2=4，直线l：y=x+b，b为何值时，圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1？ 31．已知点P(-2,-3)和以点Q为圆心的圆(x-1)2+(y-2)2=9． (1)画出以为直径，点为圆心的圆，再求出圆的方程； (2)设圆Q与圆相交于A，B两点，直线PA，PB是圆Q的切线吗？为什么？ (3)求直线AB的方程． P102 32．若直线l的方程为x-ysinθ+2=0，则直线l的倾角的范围是(    ) A．[0，] B．[，] C．[，] D．[，)∪(，) 33．已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别为x+y-1=0，3x-y+4=0，且它的对角线的交点为M(3,3)，求这个平行四边形其他两边所在直线的方程． 34．求点P(-2,-1)到直线(为任意实数)的距离的最大值． 35．过点P(3,0)作一条直线，使它夹在两直线l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y＋3＝0间的线段AB恰好被点P平分，求此直线的方程． P103 36．已知直线l:x-2y-8=0和A(-2,0)，B(2,4)两点，若直线l上存在点P使得|PA|+|PB|最小，求点P的坐标． 37．求圆心在直线y=-2x上，并且经过点A(2,－1)，与直线x+y=1相切的圆的方程. 38．求由曲线x2+y2=|x|+|y|围成的图形的面积． 39．一条光线从点A(-2,3)射出，经x轴反射后，与圆C:(x-3)2+(y-2)2=1相切，求反射后光线所在直线的方程 40．已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25，直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0. (1)求证：直线恒过定点； (2)直线被圆截得的弦何时最长？何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短弦长. P112 41．比较下列每组中椭圆的形状，哪一个更接近于圆？为什么？ (1)与；(2)与． P115 42．如图，圆的半径为定长，是圆内一个定点，是圆上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是什么？为什么？ 43．一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线? P116 44．如图，矩形ABCD中，，．E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，R，S，T是线段OF的四等分点，，，是线段CF的四等分点．证明直线ER与、ES与、ET与的交点L，M，N都在椭圆上． 45．已知椭圆，直线．椭圆上是否存在一点，使得： (1)它到直线l的距离最小？最小距离是多少？ (2)它到直线l的距离最大？最大距离是多少？ 46．已知椭圆，一组平行直线的斜率是． (1)这组直线何时与椭圆相交？ (2)当它们与椭圆相交时，证明这些线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上． P121 47．已知方程表示双曲线，求m的取值范围． 48．双曲线的两个焦点分别是F1与F2，焦距为8；M是双曲线上的一点，且|MF1|=5，求|MF2|的值． P127 49．如图，圆O的半径为定长r，A是圆O外一个定点，P是圆O上任意一点．线段AP的垂直平分线l与直线OP相交于点Q，当点P在圆O上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？ 50．m，n为何值时，方程表示下列曲线：(1)圆；(2)椭圆；(3)双曲线？ P128 51．M是一个动点，MA与直线垂直，垂足A位于第一象限，MB与直线垂直，垂足B位于第四象限．若四边形OAMB(O为原点)的面积为3，求动点M的轨迹方程． 52．设椭圆与双曲线的离心率分别为，，双曲线的渐近线的斜率小于，求和e2的取值范围． 53．已知双曲线，过点的直线l与双曲线相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？为什么？ 54．已知双曲线与直线有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于A(x,0)，B(0,y)两点．当点M运动时，求点P(x,y)的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．如果推广到一般双曲线，能得到什么相应的结论？ P138 55．已知圆心在y轴上移动的圆经过点A(0,5)，且与x轴、y轴分别交于B(x,0)，C(0,y)两个动点，求点M(x,y)的轨迹方程. 56．如图，M是抛物线y2=4x上的一点，F是抛物线的焦点，以Fx为始边、FM为终边的角∠xFM=60°，求|FM|． P139 57．设抛物线y2=2px的焦点为F，从点F发出的光线经过抛物线上的点M(不同于抛物线的顶点)反射，证明反射光线平行于抛物线的对称轴． P145 58．与圆x2+y2=1及圆x2+y2-8x+12=0都外切的圆的圆心在(    ) A．椭圆上 B．双曲线上的一支上 C．抛物线上 D．圆上 59．当α从0到π变化时，方程x2+y2cosα=1表示的曲线怎样变化？ 60．已知正三角形一个顶点位于抛物线y2=2px(p＞0)的焦点，另外两个顶点在抛物线上，求这个等边三角形的边长． P146 61．在抛物线y2=4x上求一点P，使得点P到直线y=x+3的距离最短． 62．当m变化时，指出方程(m-1)x2+(3-m)y2=(m-1)(3-m)表示的曲线的形状． 63．过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F作直线与抛物线交于A，B两点，以AB为直径画圆，观察它与抛物线的准线l的关系，你能得到什么结论？相应于椭圆、双曲线如何？你能证明你的结论吗？ -选择性必修一结束- 学科网（北京）股份有限公司 $$