重庆市第八中学校2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷

第 1 页 共 4 页 重庆八中 2023——2024 学年度（下）期末考试高二年级 数 学 试 题 命题：胡文琦 严 傲 审核：苑繁宝 打印：严 傲 校对：曹华荣 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项 中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1.已知集合 { | 4 1}S x x= −  ， { | 1 3}T x x= −   ，则 S T = A.{0,1,2} B.{ | 1 1}x x−  C.{ | 4 3}x x−   D.{ | 1 4}x x−   2.函数 3 1xy e= + 的图象在点 (0,1 3)+ 处的切线的倾斜角为 A. 6  B. 4  C. 3  D. 2  3.设随机变量 1 ~ (4 4 , )X B ，则 (4 1)D X + = A. 3 B. 4 C.12 D.13 4.如图所示，太极图是由黑白两个鱼纹组成的图形图案，充分体现了相互转化、对称 统一的形式美、和谐美.定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两部分的函数称 为圆O 的一个“太极函数”，则下列说法错误的是 A.对于任意一个圆，其“太极函数”有无数个 B.函数 t( n) a xf x = 可以是某个圆的“太极函数” C.函数 1 3( )f x x= 可以是某个圆的“太极函数” D. ( )y f x= 是“太极函数”的充要条件为“ ( )y f x= 的图象是中心对称图形” 5.过点 ( )1,1P − 的直线 l与圆 2 2: 4 2 0C x y x+ + − = 交于 ,A B两点，则 AB 的最小值为 A. 2 3 B. 6 C. 4 D. 2 6.已知甲同学从学校的 4 个科技类社团， 3个艺术类社团， 2 个体育类社团中选择报 名参加，若甲报名了两个社团，则在仅有一个是科技类社团的条件下，另一个是体育 类社团的概率 A. 3 5 B. 2 5 C. 3 4 D. 1 2 7.已知 5 3 ,3 6, log 8 2 ba c= = = ，则 A. c a b  B. a c b  C. a b c  D. b c a  8.若对任意的 1x ， 2 [ 1,0)x  − ， 1 2x x ， 1 2 2 1 1 2 x xx e x e a x x −  − 恒成立，则 a 的最小值为 A. 2 1 e − B. 1 e − C. 2 2 e − D. 2 e − 二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6分，共 18 分.在每小题给出的四个选项 中，有多项符合题目要求.全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分.有选错的得 0 分. 第 2 页 共 4 页 9.函数 2( ) 4 1f x ax x= + + 与 ( ) ag x x= 在同一直角坐标系中的图象可能为 A. B. C. D. 10.某科技企业为了对一种新研制的专利产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的 价格进行试销，得到如下数据： 单价 x （元） 40 50 60 70 80 90 销量 y （件） 50 44 43 m 35 28 由表中数据，求得线性回归方程为 ˆ 0.4 66y x= − + ，则下列说法正确的是 A.产品的销量与单价成负相关 B.为了获得最大的销售额（销售额 =单价销量），单价应定为 70元或80 元 C. 40m = D.若在这些样本点中任取一点，则它在线性回归直线左下方的概率为 1 3 11.已知各项均不为 0 的数列 na 的前n项和为 nS ，且 11 1 1, 4 n n n a a a S + + = = ，对于任意 *, 2n nn S  N 成立，则下列说法正确的是 A. 2 3a = B.数列 na 的通项公式为 4 1na n= − C. 2 nS n= D.实数的取值范围为 9 , 8   +   三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12.已知 3( ) ( )g x x f x= ， ( )f x ， ( )g x 的导函数分别为 ( )f x ， ( )g x ，且 (1) (1) 2f f=  = ， 则 (1)g = . 13.已知 a ， b 均为实数且 0a  ， 0b  ， 3a b+ = ，则 1 1 1a b + + 的最小值为 . 14.如图，为我国数学家赵爽验证勾股定理的示意图，用五种颜色（其中一种为 黄色）对图中四个区域 , , ,A B C E 进行染色，每个区域只能用一种染色.若必须使 用黄色，则四个区域中有且只有一组相邻区域同色的染色方法有＿＿＿种；若 不使用黄色，则四个区域中所有相邻区域都不同色的染色方法有＿＿＿种. 第 3 页 共 4 页 四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13 分）设数列{ }na 是各项均为正实数的等比数列，且 3 2 4a a− = ， 1 2a = . （1）求数列{ }na 的通项公式； （2）令 2logn n nb a a= + ，求数列{ }nb 的前 n 项和 nS . 16.（15 分）已知函数 ( ) 1f x x= + ， ( ) 2 1g x x= − . （1）若 a R ，求不等式 ( ) ( ) 0af x g x+  的解集； （2）若 b R ，对  1 1,2x  ，  2 4,5x  ，使得 ( ) ( ) ( )1 2 1 8bf x f x g x b+ = + + 成立， 求 b 的取值范围. 17.（15 分）已知函数 ( ) xf x xe= . （1）若关于 x 的方程 ( )f x k= 有且只有一个实数根，求实数 k 的取值范围； （2）若关于 x 的不等式 ( ) (1 )f x f x a+ − 对 1 [ ,2] 2 x  恒成立，求实数 a 的取值范围. 第 4 页 共 4 页 18.（17 分）学校举行数学知识竞赛，分为个人赛和团体赛. 个人赛规则：每位参赛选手只有一次挑战机会.电脑同时给出 2 道判断题 1 2,A A （判断 对错）和 4 道连线题（由电脑随机打乱给出的四个数学定理 1 2 3 4, , ,B B B B 和与其相关的 数学家 1 2 3 4, , ,b b b b ，要求参赛者将它们连线配对，配对正确一对数学定理和与其相关 的数学家记为答对一道连线题），要求参赛者全都作答，若有 4 道或 4 道以上答对，则 该选手挑战成功. 团体赛规则：以班级为单位，每班参赛人数不少于 20人，且参赛人数为偶数，参赛 方式有如下两种可自主选择其中之一参赛： 方式一：将班级选派的 2n 个人平均分成 n 组，每组 2 人，电脑随机分配给同组两个人 一道相同试题，两人同时独立答题，若这两人中至少有一人回答正确，则该小组闯关 成功.若这 n 个小组都闯关成功，则该班级挑战成功. 方式二：将班级选派的 2n 个人平均分成 2 组，每组 n 人，电脑随机分配给同组 n 个人 一道相同试题，各人同时独立答题，若这 n 个人都回答正确，则该小组闯关成功.若这 两个小组至少有一个小组闯关成功则该班级挑战成功. （1）在个人赛中若一名参赛选手全部随机作答，求这名选手恰好答对一道判断题并 且配对正确两道连线题的概率. （2）甲同学参加个人赛，他能够答对判断题 1A 并且配对正确 1B 与 1b ，其余题目只能 随机作答，求甲同学挑战成功的概率. （3）在团体赛中，假设某班每位参赛同学对给出的试题回答正确的概率均为常数 (0 1)p p  ，为使本班团队挑战成功的可能性更大，应选择哪种参赛方式？说明理由. 19.（17 分）已知椭圆 ( ) 2 2 2 2 : 1 0 x y C a b a b + =   经过点 3 1, 2 H   −    ，离心率 1 2 e = . （1）求椭圆C 的标准方程； （2）设过点 ( )4,3P 倾斜角为135 的直线 l 与 x 轴， y 轴分别交于点 ,M N ，点 R 为椭 圆C 上任意一点，求三角形 RMN 面积的最小值. （3）如图，过点 ( )4,3P 作两条直线 ,AB CD 分别与椭圆C 相交于点 , , ,A B C D ，设直 线 AD 和 BC 相交于点Q .证明点Q 在定直线上. 重庆八中 2023——2024 学年度（下）期末考试高二年级 数学试题 一、单项选择题. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C C D C B A D 1.【详解】集合 { | 4 1}S x x= −  ， { | 1 3}T x x= −   ，则 { | 1 1}S T x x= −  ．故选： B ． 2.【详解】根据题意，函数 3 1xy e= + ， 3 xy e = ，当 0x = 时， 3y = ，所以函数 3 1xy e= + 在点 (0,1 3)+ 处的切线斜率为 3  ．故选：C ． 3.【详解】由题意得 3 1 3 ( ) 4 4 4 4 D X =   = ，故 (4 1) 16 ( ) 12D X D X+ = = ． 故选：C ． 4.【详解】任意一个圆O 是关于圆心的中心对称图形，其“太极函数”有 无数个，故 A 正确；函数 t( n) a xf x = ， 1 3( )f x x= 是奇函数，其图象关于原 点对称，将圆的圆心放在坐标原点上，则 t( n) a xf x = ， 1 3( )f x x= 是该圆的 “太极函数”，故 ,B C 正确；函数 ( )y f x= 的图象是中心对称图形，则 ( )y f x= 是“太极函数”，但函数 ( )y f x= 是“太极函数”时，图象不一 定是中心对称图形，如图，故 D 错误．故选： D ． 5.【详解】将圆 2 2: 4 2 0C x y x+ + − = 化为 ( ) 2 22 6x y+ + = ，圆心 ( )2,0C − ，半径 6r = ， 因为 ( ) 2 21 2 1 6− + +  ，所以点 ( )1,1P − 在圆C 内，记圆心C 到直线 l 的距离为 d ，则 22 6AB d= − ， 由图可知，当 d CP= ，即 CP l⊥ 时， AB 取得最小值，因为 ( ) 2 21 2 1 2CP = − + + = ， 所以 AB 的最小值为 2 6 2 4− = .故选：C ． 6.【详解】根据题意，设事件 A 为“所报的两个社团中仅有一个是 科技类”，事件 B 为“所报两个社团中有一个是体育类”， 则 1 1 2 9 4 5 5( ) 9 C C P A C  = = ， 1 1 4 2 2 9 ( ) 2 9 C C P AB C = = ，则 ( ) ( | ) 2 ( ) 5 P AB P B A P A = = ．故选： B ． 7.【详解】 3log 6b = 与 3 2 比大小， 先比较6 与 3 23 的大小，再比较 26 与 33 的大小. 2 36 3 , b a   . 5log 8c = 与 3 2 比大小. 先比较8与 3 25 的大小，再比较 28 与 35 的大小， 2 38 5 , c a   .即c a b  ，选 A ． 8.【详解】因为 1 2x x ，所以 1 2 0x x−  ，则 1 2 2 1 1 2 x xx e x e a x x −  − 可化为 ( )1 22 1 1 2 x xx e x e a x x−  − ， 整理得 1 22 2 1 1 x xx e ax x e ax+  + ，因为 1 2 0x x  ，所以 1 2 1 1 2 2 x xe a e a x x x x +  + ，令 ( ) xe a f x x x = + ， 则函数 ( )f x 在 )1,0− 上递减，则 ( ) ( ) 2 1 0 xe x a f x x − −  =  在 )1,0− 上恒成立，所以 ( )1xe x a−  在 )1,0− 上恒成立，令 ( ) ( )1xg x e x= − ，则 ( ) ( )1 0x x xg x e x e xe = − + =  在  )1,0− 上恒成立，则 ( ) ( )1xg x e x= − 在 )1,0− 上递减，所以 ( ) ( ) 2 1g x g e  − = − ，故只 需满足： 2 a e  − .故选： D . 二、选择题: 题号 9 10 11 答案 ABC ACD ACD 9.【详解】对于 A ，二次函数开口向上，所以 0a  ，此时 ( ) ag x x= 在 (0, )+ 为增函 数，符合； 对于 B ，二次函数开口向下，所以 0a  ，此时存在 ( ) ag x x= 与图中符合； 对于C ，二次函数开口向上，所以 0a  ，此时 ( ) ag x x= 在 (0, )+ 为增函数，符合； 对于 D ，二次函数开口向上，所以 0a  ，此时 ( ) ag x x= 在 (0, )+ 为增函数，不符合． 故选： ABC ． 10.【详解】：由线性回归方程 ˆ 0.4 66y x= − + 中的回归系数 0.4 0−  ， 可知产品的销量与单价成负相关，故 A 正确； 由 ˆ 0.4 66y x= − + ， 得 ˆ 40 65 0.4 66a = +  = ， 则 销 售 额 2( 0.4 66) 0.4( 82.5) 2722.5z x x x= − + = − − + ， 为了获得最大的销售额，单价应定为 82.5 元，故 B 错误； 由 表 中 数 据 得 40 50 60 70 80 90 65 6 x + + + + + = = ， 50 44 43 35 28 200 6 6 m m y + + + + + + = = ， 可得样本点的中心的坐标为 200 (65, ) 6 m+ ，则该回归直线过点 200 (65, ) 6 m+ ，代入 ˆ 0.4 66y x= − + ，得 40m = 故C 正确； 将 40x = ，50，60，70，80，90 分别代入线性回归方程 ˆ 0.4 66y x= − + ， 得到的预测值分别为 50，46，42，38，34，30， 由 44 46 ， 28 30 ，故 (50,44)和 (90,28)在线性回归直线的左下方，满足条件的样 本点只有 2 个，故所求概率为 2 1 6 3 P = = ，故 D 正确．故选： ACD ． 11.【详解】当 1n = 时，由 1 1a = 及 1 2 1 1 4 a a S + = ，解得 2 3a = ，故 A 正确 因为数列 na 的前n项和为 nS ，且 11 1 1, 4 n n n a a a S + + = = ，即 14 1n n nS a a += + ，当 2n  时， 可得 1 14 1n n nS a a− −= + ， 两式相减得 ( )1 14 n n n na a a a+ −= − ，因为 0na  ，故 1 1 4n na a+ −− = ，所以 1 3 2 1, , , ,na a a − 及 2 4 2, , , ,na a a 均为公差为 4 的等差数列：当 1n = 时，由 1 1a = 及 1 2 1 1 4 a a S + = ，解 得 2 3a = ，所以 ( ) ( )2 1 1 4 1 2 2 1 1na n n− = + − = − − ， ( ) ( )2 3 4 1 2 2 1na n n= + − = − ， 所以数列 na 的通项公式为 2 1na n= − .故 B 错误 由 B 知 2 1na n= − ，可得 2(2 1)(2 1) 1 4 n n n S n − + + = = ，故C 正确； 因为对于任意 *, 2n nn S  N 成立，所以 2 2n n   恒成立， 设 2 2 n n n b = ，则 2 2 2 1 1 1 ( 1) 2 1 2 2 2 n n n n n n n n n b b+ + + + − + + − = − = ， 1,2n = 时， 1 10,n n n nb b b b+ +−   ， *3, Nn n  时， 1 10,n n n nb b b b+ + − 所以 1 2 3 4 5b b b b b     ，故 ( ) 3max 9 8 nb b= = ，所以 9 8   ， 即实数的取值范围为 9 , 8   +   ，故选： ACD ． 三、填空题： 题号 12 13 14 答案 8 1 144;84 12. 【详解】由函数 3( ) ( )g x x f x= ，可得 2 3( ) 3 ( ) ( )g x x f x x f x = +  ， 令 1x = ，可得 (1) 3 (1) (1) 8g f f = +  = ．故答案为：8． 13.【详解】因为 3a b+ = ，所以 ( 1) 4a b+ + = ， 所以 1 1 1a b + + 1 1 1 ( )[( 1) ] 14 a b a b = + + + + 1 1 [2 14 ] b a a b + = + + + 1 1 [2 2 ] 1 14 b a a b + +  = + ， 当且仅当 1 1 b a a b + = + ，即 1, 2a b= = 所以 1 1 1a b + + 的最小值为1．故答案为：1． 14.【详解】根据题意，要求四个区域 , , ,A B C E 中有且只有一组相邻区域同色， 而同色的相邻区域共有 4 种，不妨假设为 ,A B 同色， ①若 ,A B 同时染黄色，则另外两个区域共有 24A 种染色方法，因此这种情况共有 2 4 12A = 种染色方法； ②若 ,A B 同时染的不是黄色，则它们的染色有 4 种，另外两个区域一个必须染黄色， 所以这两个区域共有3 2 6 = ，因此这种情况共有 4 6 24 = 种染色方法． 综上可知有且只有一组相邻区域同色的染色方法的种数为 4 (12 24) 144 + = 种； 根据题意，因为不用黄色，则只有四种颜色可选， 分 3 种情况讨论： ①、若一共使用了四种颜色，则共有 44 24A = 种染色方法； ②、若只使用了三种颜色，则必有一种颜色使用了两次，且染在相对的区域，所以一 共有 3 1 24 3 22 48C C A   = 种染色方法； ③、若只使用了两种颜色，则两种颜色都使用了两次，且各自染在一组相对区域，所 以共有 24 2 12C  = 种染色方法．综上可知所有相邻区域都不同色的染色方法的种数 为 84 种． 故答案为：144;84． 四、解答题： 15．【详解】 （1）设等比数列{ }na 的公比为 q ， 2 1 1 4 0a q a q− − = ， 2 2 0q q− − = ， ( 1)( 2) 0q q+ − = ， 2q = 或 1q = − ， 0na  ， 2q = ， 2 n na = ．--------------6 分 （ 2 ） 22 log 2 2 n n n nb n= + = + ， 1 2 22 1 2 2 2 (2 2 2 ) (1 2 )n nnS n n= + + + + + + = + + + + + + + ， 2(1 2 ) ( 1) 1 2 2 n n n n S − + = + − ， 1 ( 1)2 2 2 n n n n S + + = − + ．-------------13 分 16．【详解】 （1）令 ( ) ( ) ( ) ( )( )2 1 1 1 0F x af x g x x ax a x x a= + = + + − = + + − = ，解得 1x = − 或1 a− ， ①当 2a  时， 1 1 a−  − ，不等式的解集为 1 1x x a−   − ，②当 2a = 时， 1 1 a− = − ， 不等式的解集为，③当 2a  时， 1 1 a−  − ，不等式的解集为 1 1x a x−   − ．综 上所述： 2a  时，不等式的解集为 1 1x x a−   − ； 2a = 时，不等式的解集为； 2a  时，不等式的解集为 1 1x a x−   − -------5 分 （2）由 ( ) ( ) ( )1 2 1 8bf x f x g x b+ = + + ， 代入整理得 2 2 1 1 6x x bx= − + ，令 ( ) 2 2 26 ( ) 6 2 4 b b x bx xG x − + + −= = − ， ①当 1 2 b ，即 2b 时，对任意 1 [1,2]x  ， 1( ) [7G x b − ，10 2 ] [4,5]b−  ． 所以 2, 7 4, 10 2 5, b b b   −  − 此时不等式组无解． ②当 3 1 2 2 b  ，即 2 3b 时，对任意 1 [1,2]x  ， 2 1( ) [6 ,10 2 ] [4,5] 4 b G x b − −  ． 所以 2 2 3, 6 4, 4 10 2 5, b b b    −   − 解得 5 2 2 2 b ． ③当 3 2 2 2 b   ，即3 4b  时，对任意 1 [1,2]x  ， 2 1( ) [6 ,7 ] [4,5] 4 b G x b − −  ． 所以 2 3 4, 6 4, 4 7 5, b b b     −   − 此时不等式组无解． ④当 2 2 b ，即 4b 时，对任意 1 [1,2]x  ， 1( ) [10 2G x b − ， 7 ] [4,5]b−  ． 所以 4, 7 5, 10 2 4, b b b   −  − 此时不等式组无解． 综上，实数 b 的取值范围是 5 [ ,2 2] 2 ．------------------15 分 17．【详解】（1） ( )f x 的定义域为 R ， ( ) (1 ) xf x x e = + ，又 0xe  ，当 1x  − 时， ( ) 0f x  ，则 ( )f x 单调递减；当 1x  − 时， ( ) 0f x  ，则 ( )f x 单调递增，即 ( )f x 的 单调减区间为 ( , 1)− − ，单调增区间为 ( 1, )− + ；又 ( )0 0f = ， 0x  时 ( ) 0f x  ， ( ) 1 1f e − = − ，故  ) 1 0,k e    − +    ；-----------6 分 （2）设 ( ) ( ) (1 )g x f x f x= + − ， 1( ) ( ) (1 ) (1 ) (2 )x xg x f x f x x e x e − =  −  − = + − − ， ( ) ( ) ( ) 12 3x xg x x e x e − = + − − 1 2 2 x ， ( ) 0g x  ， ( )g x 单调递增， ( ) 1 0 2 g x g     =    ， ( )g x 在 1 ,2 2 x        上单调递增， 1 ( ) ( ) 2 ming x g e= = ， a e ，即实数 a 的取值范围为 (−， ]e ．----------15 分 18．【详解】（1）记事件 S 为恰好答对一道判断题并且配对正确两道连线题， ( ) 2 4 4 4 1 1 2 8 C P S A =  = ------4 分 （2）记事件 A ：甲同学挑战成功，则事件 A 包含以下几种情况： ①事件 B = “共答对四道”，即答对余下的判断题，答错两道连线题，则 1 3 3 3 11 3 ( ) 2 12 C P B A  =  = ， ②事件 C = “共答对五道”，即答错余下的判断题，答对余下的三道连线题，则 3 3 1 1 1 ( ) 2 12 P C A =  = ， ③事件 D = “共答对六道”，即答对余下的四道问题， 3 3 1 1 1 ( ) 2 12 P D A =  = ， 所以 5 ( ) ( ) ( ) ( ) 12 P A P B P C P D= + + = ；-----------10 分 （3）设选择方式一、二的班级团队挑战成功的概率分别为 1P ， 2P ． 当选择方式一时，因为两人都回答错误的概率为 2(1 )p− ，则两人中至少有一人回答 正确的概率为 21 (1 )p− − ，所以 21 [1 (1 ) ] (2 ) n n nP p p p= − − = − ， 当选择方式二时，因为一个小组闯关成功的概率为 np ，则一个小组闯关不成功的概 率为1 np− ， 所 以 22 1 (1 ) (2 ) n n nP p p p= − − = − ， 所 以 1 2 (2 ) (2 ) [(2 ) 2] n n n n n n nP P p p p p p p p− = − − − = − + − ， 构造 ( ) (2 ) 2n nf n p p= − + − ，则 1 1( 1) ( ) (2 ) (2 )n n n nf n f n p p p p+ ++ − = − + − − − (2 ) (1 ) ( 1) (1 )[(2 ) ]n n n np p p p p p p= − − + − = − − − ， 因 为 0 1p  ， 则 1 0p−  ， 2 1p−  ，可得 (2 ) 1np−  ， 1np  ，所以 ( 1) ( ) 0f n f n+ −  ，即 ( 1) ( )f n f n+  ，所 以 ( )f n 单调递增， 又因为 ( ) 2 2 2 22 (2 ) 2 2 4 2 2( 1) 0f p p p p p= − + − = − + = −  ，且 10n ，所以 ( ) 0f n  ， 从而 1 2 0P P−  ，即 1 2P P ，所以为使本班挑战成功的可能性更大，应选择方式一参 赛．---------------17分 19.【详解】（1）由题意，点 3 (1, ) 2 H − 在椭圆 2 2 2 2 1 x y a b + = 上得，可得 2 2 1 9 1 4a b + = ①， 又由 1 2 e = ，所以 1 2 c a = ②， 由①②联立且 2 2 2c a b= − ，可得 2 1c = ， 2 4a = ， 2 3b = ， 故椭圆C 的标准方程为 2 2 1 4 3 x y + = ．----------4分 （ 2 ） ( )i 易 知 : 7l y x= − + ， 7 2MN = ， 设 :l y x c = − + ， 联 立 l 与 C 有 2 27 8 4 12 0x cx c− + − = ， ( )2 264 28 4 12 0c c = − − = ，解得 7c = （舍负），l 到 l的 距离 h 即为三角形 RMN 在 MN 边上高的最小值， 7 7 2 h − = ，此时三角形 RMN 面积 的最小值 ( )7 7 7 49 7 7 2 2 RMNS − − = =△ --------10 分 ( )ii 设 AP PB= ， ( )1 1,A x y ， ( )2 2,B x y ，则 1 2 1 2 4 1 3 1 x x y y     + = +  + =  + ，即 1 2 1 2 4 4 3 3 x x y y     + = +  + = + ，又 由 2 2 1 1 2 2 2 2 22 2 1 4 3 4 3 x y x y    + =    + =  ， 得 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 4 3 x x y y   − − + = − ， 整 理 得 ( ) ( )1 1 2 2 1x y x y  + − + = − ， 再 代 入 得 ( ) ( )1 1 1 17 1 1x y x y  + − + − + = −  ， 即 1 1 4 3x y + = + ， 所 以 ( ) 1 1 2 1 2 1 1 4 3 4 4 3 3 4 3 1 y x x x y x x        = + −  = + −  = + − + − = − ， 同 理 令 CP PD= ， ( )3 3,C x y ， ( )4 4,D x y ， 则 3 3 4 3 4 3 4 3 4 4 1 y x x x y x     = + −  = + −  = − ， 则 ( )1 1, 4 3A x x+ − ， ( ) ( )1 1 1 1 4 4 , 1B x x     + − −    ， ( )3 3,4 3C x x+ − ， ( ) ( )3 3 1 1 4 4 , 1D x x     + − −    ， 则直线 AD 的方程为 ( ) ( )1 3 3 14 3 1 4 4x x x x x y    + − − + + + − − 同理直线 BC 的 方程为 ( ) ( )3 1 1 34 3 1 4 4x x x x x y    + − − + + + − − 两式相减， 整理得 1 0x y+ − = ，即点Q在定直线 1 0x y+ − = 上.------------17 分 ( )1 3 1 3 3 1 1 1 316 16 4 12 12 3 4 4x x x x x x x x x    = − + + + − + + − − − + ( )3 1 3 1 1 3 3 3 116 16 4 12 12 3 4 4x x x x x x x x x    = − + + + − + + − − − +