第21讲 抛物线及其标准方程（思维导图+3知识点+5考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高二数学暑假提升精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

第21讲 抛物线及其标准方程 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．结合教材实例掌握抛物线的定义； 2．掌握抛物线标准方程中参数p的几何意义，会求抛物线的标准方程； 3．通过抛物线概念的引入和抛物线方程的推导，提高用坐标法解决几何问题的能力. 知识点 1 抛物线的定义 1、定义：把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 2、抛物线集合表示：． 3、要点辨析： （1）定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线． （2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质． 知识点 2 抛物线的标准方程 1、抛物线四种标准方程 标准方程 图形 焦点坐标 准线方程 2、对标准方程的理解 （1）标准方程的特征：等号的一边是某个变量的平方，等号的另一边是另一个变量的一次单项式． （2）抛物线标准方程中参数p的几何意义：抛物线的焦点到准线的距离（焦准距），所以p的值恒大于0． （3）焦点的非零坐标是一次项系数的． （4）准线与坐标轴的交点和抛物线的焦点关于原点对称． （5）方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向．p的值决定开口大小，p越大，则抛物线开口越大；p越小，则抛物线开口越小． （6）抛物线虽然是不封闭图形，但与双曲线不同，它没有渐近线． 知识点 3 解题技巧与方法 1、由抛物线方程求焦点与准线方程的基本方法 （1）已知抛物线方程求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程式化为标准形式，由焦点方程准确得到参数，从而得焦点坐标与准线方程，要注意； （2）焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定， 系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴。 2、求抛物线标准方程的方法 （1）直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数； （2）待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为或； 注意：①已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式； ②已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图形及开口方向确定。 考点一：抛物线的定义及辨析 例1．（23-24高二上·浙江嘉兴·月考）已知抛物线，则其焦点到准线的距离为（    ） A． B． C．1 D．4 【变式1-1】（23-24高二下·吉林长春·月考）已知抛物线的焦点为点在上. 若到直线的距离为4，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【变式1-2】（23-24高二下·河南周口·月考）若抛物线上的一点A到焦点的距离为5，则点A的纵坐标是（   ） A． B． C．2 D．4 【变式1-3】（23-24高二下·江苏南京·月考）已知抛物线的焦点为F，准线为l，点A在抛物线C上，点B在准线l上，若是边长为2的等边三角形，则的值是（     ）. A．1 B． C．2 D． 考点二：求抛物线的焦点或准线 例2.（22-23高二上·吉林·月考）抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高二下·内蒙古赤峰·月考）抛物线的焦点坐标是（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二上·陕西榆林·期中）已知抛物线C：过点，则抛物线C的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高二上·河南郑州·月考）抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 考点三：求抛物线的标准方程 例3.（23-24高二上·广东广州·期末）已知抛物线的焦点是，则抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高二上·贵州毕节·期末）准线方程为的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高二上·河南开封·期末）已知抛物线C关于x轴对称，且焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）焦点在直线上的抛物线的标准方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 考点四：利用定义解决最值问题 例4.（23-24高二上·安徽阜阳·期末）已知，抛物线的焦点为是抛物线上任意一点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高二上·贵州黔东南·期末）已知，C是抛物线上的三个点，F为焦点，，点C到x轴的距离为d，则的最小值为（    ） A．10 B． C．11 D． 【变式4-2】（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知，点是抛物线上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式4-3】（23-24高二上·山东青岛·期末）设抛物线上一点到轴的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D．5 考点五：与抛物线有关的轨迹问题 例5.（23-24高二上·上海·期末）已知动点的坐标满足方程，则动点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 【变式5-1】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（    ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【变式5-2】（23-24高二下·广西·月考）点到直线的距离比到点的距离大2，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24高二下·甘肃白银·期中）若圆与轴相切且与圆外切，则圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（23-24高二上·辽宁·月考）顶点在原点，焦点是的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·江西·月考）抛物线 的准线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·江苏淮安·期中）已知抛物线的准线方程为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 4．（22-23高二上·四川南江·月考）动圆与定圆A：外切，且和直线x＝1相切，则动圆圆心的轨迹是（    ） A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线 5．（22-23高二下·河南洛阳·月考）点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C．或 D． 6．（23-24高二上·重庆·期末）设点，抛物线上的点到轴的距离为，若的最小值为4，则（    ） A．6 B．10 C．12 D．16 二、多选题 7．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）对于抛物线，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．准线方程为 D．准线方程为 8．（22-23高二下·湖北孝感·期中）以直线与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．（22-23高二上·吉林·月考）已知抛物线：，若上一点到焦点的距离为6，则的值为 . 10．（23-24高二下·内蒙古赤峰·月考）抛物线的焦点到直线的距离为，则 . 11．（23-24高二下·上海松江·月考）已知抛物线的焦点为，若是该抛物线上一点，点，则的最小值 . 四、解答题 12．（23-24高二上·河北保定·月考）根据下列条件，求抛物线的标准方程： (1)准线方程为； (2)焦点在轴上且其到准线的距离为6； (3)对称轴是轴，顶点到焦点的距离等于2； (4)对称轴是轴，经过点． 13．（22-23高二上·安徽芜湖·月考）已知抛物线C：的焦点F到准线的距离为2． (1)求C的方程； (2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求点Q的轨迹方程． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第21讲 抛物线及其标准方程 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．结合教材实例掌握抛物线的定义； 2．掌握抛物线标准方程中参数p的几何意义，会求抛物线的标准方程； 3．通过抛物线概念的引入和抛物线方程的推导，提高用坐标法解决几何问题的能力. 知识点 1 抛物线的定义 1、定义：把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 2、抛物线集合表示：． 3、要点辨析： （1）定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线． （2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质． 知识点 2 抛物线的标准方程 1、抛物线四种标准方程 标准方程 图形 焦点坐标 准线方程 2、对标准方程的理解 （1）标准方程的特征：等号的一边是某个变量的平方，等号的另一边是另一个变量的一次单项式． （2）抛物线标准方程中参数p的几何意义：抛物线的焦点到准线的距离（焦准距），所以p的值恒大于0． （3）焦点的非零坐标是一次项系数的． （4）准线与坐标轴的交点和抛物线的焦点关于原点对称． （5）方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向．p的值决定开口大小，p越大，则抛物线开口越大；p越小，则抛物线开口越小． （6）抛物线虽然是不封闭图形，但与双曲线不同，它没有渐近线． 知识点 3 解题技巧与方法 1、由抛物线方程求焦点与准线方程的基本方法 （1）已知抛物线方程求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程式化为标准形式，由焦点方程准确得到参数，从而得焦点坐标与准线方程，要注意； （2）焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定， 系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴。 2、求抛物线标准方程的方法 （1）直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数； （2）待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为或； 注意：①已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式； ②已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图形及开口方向确定。 考点一：抛物线的定义及辨析 例1．（23-24高二上·浙江嘉兴·月考）已知抛物线，则其焦点到准线的距离为（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】A 【解析】抛物线方程化为，所以焦点到准线的距离.故选：A 【变式1-1】（23-24高二下·吉林长春·月考）已知抛物线的焦点为点在上. 若到直线的距离为4，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【解析】因为抛物线的焦点准线方程为， 点M在C上，所以M到准线的距离为. 又M到直线的距离为4，故.故选：D. 【变式1-2】（23-24高二下·河南周口·月考）若抛物线上的一点A到焦点的距离为5，则点A的纵坐标是（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【解析】因为抛物线的准线方程为， 由抛物线的定义可知，解得．故选：D． 【变式1-3】（23-24高二下·江苏南京·月考）已知抛物线的焦点为F，准线为l，点A在抛物线C上，点B在准线l上，若是边长为2的等边三角形，则的值是（     ）. A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【解析】根据题意，易知，由抛物线定义可得， 设准线与l的交点为，如下图所示： 因此与平行，又是边长为2的等边三角形， 所以，即, 可得，即.故选：A 考点二：求抛物线的焦点或准线 例2.（22-23高二上·吉林·月考）抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】抛物线的准线方程为：.故选：D 【变式2-1】（23-24高二下·内蒙古赤峰·月考）抛物线的焦点坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】得到，则焦点坐标为．故选：D. 【变式2-2】（23-24高二上·陕西榆林·期中）已知抛物线C：过点，则抛物线C的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由抛物线C：过点，可得，解得， 即抛物线的方程为，可得抛物线的准线方程为.故选：B. 【变式2-3】（23-24高二上·河南郑州·月考）抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，即得，所以即， 所以准线方程为.故选：A. 考点三：求抛物线的标准方程 例3.（23-24高二上·广东广州·期末）已知抛物线的焦点是，则抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为抛物线的焦点是，则抛物线的标准方程是.故选：B 【变式3-1】（23-24高二上·贵州毕节·期末）准线方程为的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由抛物线的准线方程为，可知抛物线是焦点在轴负半轴上的抛物线， 设其方程为，则其准线方程为，得 故该抛物线的标准方程是，故选：A. 【变式3-2】（23-24高二上·河南开封·期末）已知抛物线C关于x轴对称，且焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线与轴的交点为，所以抛物线的焦点为， 故，解得，抛物线的标准方程为．故选：D． 【变式3-3】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）焦点在直线上的抛物线的标准方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【解析】直线与坐标轴的交点为以及， 所以抛物线的焦点为或， 当焦点为，此时抛物线方程为， 当焦点为时，此时抛物线的方程为，故选：C 考点四：利用定义解决最值问题 例4.（23-24高二上·安徽阜阳·期末）已知，抛物线的焦点为是抛物线上任意一点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，抛物线的准线，过点作垂直于准线且交准线于H，则， 由题可知，的周长为，又， 如图，，当三点共线时， 的周长最小，且最小值为.故选：C. 【变式4-1】（23-24高二上·贵州黔东南·期末）已知，C是抛物线上的三个点，F为焦点，，点C到x轴的距离为d，则的最小值为（    ） A．10 B． C．11 D． 【答案】B 【解析】因为M的准线方程为， 所以由抛物线焦半径公式得，故， 所以 当且仅当C，D，F三点共线且C在线段DF上时，等号成立， 所以的最小值为．故选：B 【变式4-2】（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知，点是抛物线上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【解析】由题意知是抛物线的焦点， 抛物线准线方程为：，过点 作垂直于准线，垂足为, 即点到抛物线线的准线的距离为：； 圆是圆心为，半径的圆， 根据抛物线定义有：， 因为点是圆上的一点， 所以，即， 由此有：， 当且仅当、、三点共线时，取得最小值， 所以， 所以的最小值为6.故选：B. 【变式4-3】（23-24高二上·山东青岛·期末）设抛物线上一点到轴的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D．5 【答案】B 【解析】抛物线的焦点，准线， 过点作于，垂直于直线于点，显然， 点到直线的距离， 则， 当且仅当点是点到直线的垂线段与抛物线的交点时取等号， 所以的最小值为2.故选：B 考点五：与抛物线有关的轨迹问题 例5.（23-24高二上·上海·期末）已知动点的坐标满足方程，则动点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 【答案】C 【解析】方程变形为， 表示动点到点和直线的距离相等， 所以动点的轨迹是以为焦点的抛物线，故选：C. 【变式5-1】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（    ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【解析】因为， 得， 即动点到定点的距离与到定直线的距离相等， 且点不在直线上， 则由抛物线定义知，动点的轨迹为抛物线.故选：D. 【变式5-2】（23-24高二下·广西·月考）点到直线的距离比到点的距离大2，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，设点，且点在的下方， 故点到直线的距离和到点的距离相等， 所以点的轨迹为以为焦点，以直线为准线的抛物线， 所以的轨迹方程为，故选：D. 【变式5-3】（23-24高二下·甘肃白银·期中）若圆与轴相切且与圆外切，则圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆心坐标为，依题意可得，化简得， 即圆的圆心的轨迹方程为.故选：C 一、单选题 1．（23-24高二上·辽宁·月考）顶点在原点，焦点是的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知抛物线开口向上， 故抛物线的标准方程是：故选：B. 2．（23-24高二下·江西·月考）抛物线 的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】抛物线的标准方程为，所以的准线方程为．故选：D 3．（23-24高二上·江苏淮安·期中）已知抛物线的准线方程为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【解析】由题意可知：，解得.故选：C. 4．（22-23高二上·四川南江·月考）动圆与定圆A：外切，且和直线x＝1相切，则动圆圆心的轨迹是（    ） A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线 【答案】B 【解析】定圆A：的圆心A(－2，0)，半径为1， 设动圆圆心P(x，y)，半径为r， 则由题意得|PA|＝1＋r，且r＝1－x， ∴|PA|＝1＋1－x＝2－x，即＝2－x，化简得y2＝－8x， ∴动圆圆心的轨迹是抛物线．故选：B． 5．（22-23高二下·河南洛阳·月考）点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【解析】当时，抛物线开口向上，准线方程， 点到准线的距离为，解得，所以抛物线方程为； 当时，抛物线开口向下，准线方程， 点到准线的距离为，解得或（舍去）， 所以抛物线方程为． 所以抛物线的方程为或．故选：C 6．（23-24高二上·重庆·期末）设点，抛物线上的点到轴的距离为，若的最小值为4，则（    ） A．6 B．10 C．12 D．16 【答案】C 【解析】由抛物线，可得焦点，准线为， 点到轴的距离为，其中， 所以，此时点在直线与抛物线的交点， 所以， 因为，即，解得 .故选：C. 二、多选题 7．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）对于抛物线，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．准线方程为 D．准线方程为 【答案】AD 【解析】因为，所以抛物线开口向上，焦点为，其准线方程为， 结合选项可得A，D正确.故选：AD 8．（22-23高二下·湖北孝感·期中）以直线与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】直线与坐标轴的交点为，， 故以和为焦点的抛物线标准方程分别为和.故选：BD. 三、填空题 9．（22-23高二上·吉林·月考）已知抛物线：，若上一点到焦点的距离为6，则的值为 . 【答案】6 【解析】抛物线：的焦点为，准线为， 过作于，则，解得 故答案为：6 10．（23-24高二下·内蒙古赤峰·月考）抛物线的焦点到直线的距离为，则 . 【答案】2 【解析】由题意可知：抛物线的焦点， 直线，即， 则焦点到直线的距离为，解得. 故答案为：2. 11．（23-24高二下·上海松江·月考）已知抛物线的焦点为，若是该抛物线上一点，点，则的最小值 . 【答案】5 【解析】抛物线的准线方程为， 则的最小值为到准线的距离，即为. 故答案为：. 四、解答题 12．（23-24高二上·河北保定·月考）根据下列条件，求抛物线的标准方程： (1)准线方程为； (2)焦点在轴上且其到准线的距离为6； (3)对称轴是轴，顶点到焦点的距离等于2； (4)对称轴是轴，经过点． 【答案】(1)；(2)或；(3)或；(4) 【解析】（1）因为抛物线的准线方程为，则，可得， 所以抛物线的方程是． （2）因为焦点在轴上且其到准线的距离为6，可知， 所以抛物线的方程是或． （3）因为对称轴是轴，顶点到焦点的距离等于2，可知，即， 所以抛物线的方程是或． （4）因为对称轴是轴，设抛物线方程为， 因为抛物线经过点，可得，解得， 所以抛物线的方程是． 13．（22-23高二上·安徽芜湖·月考）已知抛物线C：的焦点F到准线的距离为2． (1)求C的方程； (2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求点Q的轨迹方程． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由抛物线的定义可知，焦点F到准线的距离为p，故， 所以C的方程为； （2）由（1）知，设，， 则，， 因为，所以，可得， 又点P在抛物线C上，所以，即， 化简得，则点Q的轨迹方程为． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$