第10讲：单调性与最大（小）值（7大题型）-【初升高暑假衔接】2024-2025学年新高一数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019必修第一册）

第10讲：单调性与最大（小）值 【考点梳理】 · 考点一、定义法判断或证明函数的单调性 · 考点、求函数的单调区间 · 考点三、单调性的应用 · 命题点1 已知单调区间求参数 · 命题点2根据图像判断函数的单调性问题 · 命题点3 根据函数的单调性解不等式 · 考点四、利用函数的单调性求最值 · 考点五、根据函数的最值求参数问题 · 考点六：函数不等式恒（能）成立问题 · 考点七：函数单调性和最值综合问题 【知识梳理】 知识点一　增函数与减函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： (1)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数． (2)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数． 知识点二　函数的单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 特别提醒：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． (2)单调区间D⊆定义域I. (3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大． 知识点三　函数的最大(小)值及其几何意义 最值 条件 几何意义 最大值 ①对于∀x∈I，都有f(x)≤M，②∃x0∈I，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标 最小值 ①对于∀x∈I，都有f(x)≥M，②∃x0∈I，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标 知识点四　求函数最值的常用方法 1．图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值． 2．运用已学函数的值域． 3．运用函数的单调性： (1)若y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)． (2)若y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)． 4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个． 【例题详解】 题型一、定义法判断或证明函数的单调性 1．（23-24高一上·四川成都·期末）已知定义在上的函数满足：且都有.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024高一·全国）已知函数（，），当时，用单调性的定义证明在上是增函数. 3．（2024高一·全国·专题练习）已知函数的定义域为，判断在上的单调性，并用定义证明； 题型二、求函数的单调区间 4．（23-24高一上·陕西西安·期中）已知函数，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C．和 D．和 5．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数，则函数（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 6．（22-23高一上·广东深圳·期中）函数的一个单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 题型三、单调性的应用 命题点1 已知单调区间求参数 7．（2024·广东揭阳·二模）已知函数在上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·浙江杭州·期末）如果函数在区间上是单调递增的，则实数的取值范围（　　） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·浙江温州·期末）已知函数在定义域上是减函数，则的值可以是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 命题点2根据图像判断函数的单调性问题 10．（23-24高一上·河北石家庄·期中）如图为函数的图象，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 11．（2023高一·江苏·专题练习）已知函数的图象如图所示，则该函数的减区间为（    ）    A． B． C． D． 12．（21-22高一上·福建三明·期中）函数f（x）＝|x－2|·（x－4）的单调递减区间是（ ） A．[2，4] B．[2，3] C．[2，＋∞） D．[3，＋∞） 命题点3 根据函数的单调性解不等式 13．（2024·江西·模拟预测）已知奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 14．（2024·湖北武汉·二模）已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）定义在上的函数满足：，且成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型四、利用函数的单调性求最值 16．（23-24高一上·江苏南通·期末）函数的最小值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 17．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）如图是函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．在和上单调递减 B．在区间上的最大值为3，最小值为-2 C．在上有最大值2，有最小值-1 D．当直线与函数图象有交点时 18．（23-24高一上·湖北宜昌·阶段练习）函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 题型五、根据函数的最值求参数问题 19．（23-24高一上·山东聊城·期中）设函数，若是的最小值，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高一上·四川眉山·期中）已知函数的最小值为8.则实数的值是（   ） A．-1 B．1 C．2 D．3 21．（23-24高一上·四川成都·期中）已知函数，的最小值为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型六：函数不等式恒（能）成立问题 22．（23-24高一上·浙江金华·期末）若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高一上·重庆·期末）已知命题“对，都有恒成立”为真，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高一上·河北·阶段练习）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型七：函数单调性和最值综合问题 25．（23-24高一上·新疆克孜勒苏·期末）已知函数，且． (1)求函数的解析式； (2)用定义证明函数在上是增函数. 26．（23-24高一上·河南安阳·期末）已知函数，且. (1)求. (2)用定义证明函数在上是增函数. (3)求函数在区间上的最大值和最小值. 27．（23-24高一上·海南·期末）已知函数. (1)若，判断在上的单调性，并用单调性的定义证明； (2)设函数，若对任意，总有，使得，求的取值范围. 【专项训练】 一、单选题 28．（2024高一·全国）若函数在单调递增，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 29．（23-24高一上·广西贺州·期末）下列函数的最小值为2的是（     ） A． B． C． D． 30．（23-24高三上·贵州黔东南·开学考试）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 31．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高一上·广东茂名·期末）已知函数是R上的减函数，，是其图象上的两点，那么的解集是（    ） A． B． C． D． 33．（23-24高一上·重庆九龙坡·期末）设，函数，若的最小值为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 34．（23-24高一上·四川凉山·期末）如果函数在区间上单调递减，那么实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 35．（23-24高一上·天津·期末）已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 36．（23-24高一上·江苏连云港·期末）下列各函数中，最小值为2的是（   ） A． B． C． D． 37．（23-24高一上·河北承德·期末）已知函数下列命题正确的是（    ） A．的值域为 B．的值域为 C．若函数在上单调递减，则的取值范围为 D．若在上单调递减，则的取值范围为 38．（23-24高一上·湖南邵阳·期末）已知函数，在上单调递增，则实数的可能取值为（    ） A． B． C．0 D．3 39．（23-24高一上·广东江门·期末）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B． C．在区间上单调递增 D．的值域为 40．（23-24高一上·广东茂名·期末）定义在上的函数满足，且，，则下列结论中正确的是（    ） A．不等式的解集为 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 三、填空题 41．（23-24高一上·广东深圳·期末）函数在上单调递增，则k的取值范围为 ． 42．（23-24高一上·浙江台州·期末）若函数在 上的最小值为1，则正实数的值为 . 43．（23-24高一上·贵州黔西·期末）已知函数，若在区间内任意两个实数，（），都有恒成立，则实数的取值范围为 . 44．（23-24高一上·浙江·期中）已知是减函数，则实数a的取值范围是 ． 四、解答题 45．（23-24高二下·福建三明·阶段练习）已知函数，． (1)判断函数的单调性，并利用定义证明； (2)若，求实数的取值范围． 46．（23-24高一下·湖南岳阳·开学考试）设函数，其中. (1)若，求函数在区间上的值域； (2)若，且对任意的，都有，求实数的取值范围； 47．（23-24高一上·山西吕梁·期末）已知函数． (1)判断的单调性并用定义证明； (2)求函数在区间上的值域． 48．（23-24高一上·安徽安庆·期末）已知函数． (1)判断在上的单调性，并用定义证明： (2)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲：单调性与最大（小）值 【考点梳理】 · 考点一、定义法判断或证明函数的单调性 · 考点、求函数的单调区间 · 考点三、单调性的应用 · 命题点1 已知单调区间求参数 · 命题点2根据图像判断函数的单调性问题 · 命题点3 根据函数的单调性解不等式 · 考点四、利用函数的单调性求最值 · 考点五、根据函数的最值求参数问题 · 考点六：函数不等式恒（能）成立问题 · 考点七：函数单调性和最值综合问题 【知识梳理】 知识点一　增函数与减函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： (1)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数． (2)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数． 知识点二　函数的单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 特别提醒：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． (2)单调区间D⊆定义域I. (3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大． 知识点三　函数的最大(小)值及其几何意义 最值 条件 几何意义 最大值 ①对于∀x∈I，都有f(x)≤M，②∃x0∈I，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标 最小值 ①对于∀x∈I，都有f(x)≥M，②∃x0∈I，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标 知识点四　求函数最值的常用方法 1．图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值． 2．运用已学函数的值域． 3．运用函数的单调性： (1)若y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)． (2)若y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)． 4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个． 【例题详解】 题型一、定义法判断或证明函数的单调性 1．（23-24高一上·四川成都·期末）已知定义在上的函数满足：且都有.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数单调性的定义求解即可. 【详解】由题意可得在上单调递减， 若可得. 故选：D. 2．（2024高一·全国·专题练习）已知函数（，），当时，用单调性的定义证明在上是增函数. 【答案】证明见解析 【分析】当时，，利用定义法即可证明函数的单调性. 【详解】当时，， 任取，且， 则. 因为，所以，，， 所以，即. 所以在上是增函数. 3．（2024高一·全国·专题练习）已知函数的定义域为，判断在上的单调性，并用定义证明； 【答案】在上单调递增，证明见解析 【分析】判断函数的单调性，利用函数单调性的定义即可证明. 【详解】在上单调递增，证明如下：设， ； 因为，，，，所以， 所以是在上单调递增. 题二、求函数的单调区间 4．（23-24高一上·陕西西安·期中）已知函数，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C．和 D．和 【答案】C 【分析】作出函数的图象，可得出函数的单调递增区间. 【详解】因为函数的对称轴为直线， 由可得或，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数的单调递增区间为和. 故选：C. 5．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数，则函数（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】D 【分析】先将分离常数得，再根据反比例函数的性质进行求解即可. 【详解】， 所以函数的图象可由反比例函数的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到. 因为在和上单调递减， 所以在和上单调递减. 故选：D 6．（22-23高一上·广东深圳·期中）函数的一个单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知，先判断函数的奇偶性，然后分段画出图像，即可读取单调减区间. 【详解】由已知，函数为偶函数， 当时，；当时，； 可画出函数图像，图下图所示： 所以函数的单调递减区间为、， 故选：A. 题型三、单调性的应用 命题点1 已知单调区间求参数 7．（2024·广东揭阳·二模）已知函数在上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性列出不等式求解即得. 【详解】函数的图象对称轴为，依题意，，得， 所以的取值范围为. 故选：C 8．（23-24高一上·浙江杭州·期末）如果函数在区间上是单调递增的，则实数的取值范围（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合一次、二次函数的图象与性质，分类讨论，即可求解. 【详解】由函数在区间上为单调递增函数， 当时，在上为单调递增函数，符合题意； 当时，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 故选：D. 9．（23-24高一上·浙江温州·期末）已知函数在定义域上是减函数，则的值可以是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】D 【分析】由题意只需，由此对比选项即可得解. 【详解】由题意当时，单调递减，当时，单调递增， 若函数在定义域上是减函数，只需， 解得，对比选项可知的值可以是. 故选：D. 命题点2根据图像判断函数的单调性问题 10．（23-24高一上·河北石家庄·期中）如图为函数的图象，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象直接得到其单调增区间. 【详解】根据图象知的单调递增区间为， 故选：D. 11．（2023高一·江苏·专题练习）已知函数的图象如图所示，则该函数的减区间为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图象上升下降的情况判断即可. 【详解】函数的图象在区间和是下降的，在区间和是上升的， 故该函数的减区间为． 故选：C. 12．（21-22高一上·福建三明·期中）函数f（x）＝|x－2|·（x－4）的单调递减区间是（ ） A．[2，4] B．[2，3] C．[2，＋∞） D．[3，＋∞） 【答案】B 【分析】先化简函数的解析式，得到一个分段函数，再作分段函数的图象即得解. 【详解】解：函数， 画出函数的图象，如图所示： 函数的单调递减区间是，， 故选：B 命题点3 根据函数的单调性解不等式 13．（2024·江西·模拟预测）已知奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性及单调性计算即可. 【详解】由，可得， 因为是奇函数，且，所以， 因为在上单调递增，所以， 故不等式的解集为． 故选：D 14．（2024·湖北武汉·二模）已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】消去绝对值可得函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可得. 【详解】由，故在上单调递增， 由，有，即. 故选：A. 15．（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）定义在上的函数满足：，且成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，根据单调性的定义得到在上单调递减，结合，利用函数的单调性求解即可. 【详解】因为对任意的，且，都有， 即对任意两个不相等的正实数，不妨设，都有， 所以有，设函数， 则函数在上单调递减，且. 当时，不等式等价于，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：C 题型四、利用函数的单调性求最值 16．（23-24高一上·江苏南通·期末）函数的最小值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】去掉绝对值得到分段函数，结合函数单调性得到最小值. 【详解】， 由于在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递增， 又，即分段处端点值相等， 故在处取得最小值，最小值为. 故选：B 17．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）如图是函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．在和上单调递减 B．在区间上的最大值为3，最小值为-2 C．在上有最大值2，有最小值-1 D．当直线与函数图象有交点时 【答案】A 【分析】根据函数图象，结合函数的基本性质，逐项判断，即可得出结果. 【详解】A选项，由函数图象可得，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，故A正确； B选项，由图象可得，函数在区间上的最大值为，无最小值，故B错； C选项，由图象可得，函数在上有最大值，有最小值，故C错； D选项，由图象可得，为使直线与函数的图象有交点，只需，故D错. 故选：A. 18．（23-24高一上·湖北宜昌·阶段练习）函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将函数分离常数，再利用函数的单调性求解. 【详解】函数，易得函数在上单调递减，在上单调递减， 当时，；当时，； 所以函数的值域为. 故选：D. 题型五、根据函数的最值求参数问题 19．（23-24高一上·山东聊城·期中）设函数，若是的最小值，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质结合基本不等式求解即可. 【详解】，当时，， 当且仅当即时，等号成立； 当时，，要使是的最小值， 只需在上递减，且， 即，解得. 故选：B 20．（23-24高一上·四川眉山·期中）已知函数的最小值为8.则实数的值是（   ） A．-1 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】将原函数分离常数，由题意，结合反比例函数的性质建立方程，解之即可. 【详解】由， 而函数在上单调递减，所以函数在上单调递减， 又其在上的最小值为8， 所以，解得. 故选：C. 21．（23-24高一上·四川成都·期中）已知函数，的最小值为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对反比例型函数分离常数，由时的最小值为得到n，求出m范围. 【详解】由， 因为在上的最小值为， 所以时，， 所以， 易知反比例型函数在单调递减. 所以在处取到的最小值为， 即 ， 所以. 故选：D 题型六：函数不等式恒（能）成立问题 22．（23-24高一上·浙江金华·期末）若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出函数在上的最大值即得. 【详解】令函数，显然在上单调递减，， 因为任意，不等式恒成立，于是， 所以. 故选：A 23．（23-24高一上·重庆·期末）已知命题“对，都有恒成立”为真，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，则问题转化为在的最小值满足，再利用二次函数的性质解不等式即可求出. 【详解】令，则问题转化为在上的最小值满足即可. 当时，，最小值为，符合题意； 当时，对称轴，函数在上单调递减， 而适合题意； 当时，对称轴， 则， 所以； 综上的取值范围为. 故选：A. 24．（23-24高一上·河北·阶段练习）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得出求解即可. 【详解】，，所以，， 在上单调递减，所以， 当时，，即，取成立. 当时，，即，得，所以 当时，，即，得，所以， 综上： 的取值范围是. 故选：A 题型七：函数单调性和最值综合问题 25．（23-24高一上·新疆克孜勒苏·期末）已知函数，且． (1)求函数的解析式； (2)用定义证明函数在上是增函数. 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】（1）代入，即可求解函数的解析式； （2）利用函数单调性的定义，设，再作差，分解因式，判断正负，即可证明函数的单调性. 【详解】（1），； （2）设， ， ，即 则函数在上是增函数 26．（23-24高一上·河南安阳·期末）已知函数，且. (1)求. (2)用定义证明函数在上是增函数. (3)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)1 (2)证明见解析 (3)最大值为，最小值为 【分析】（1）由题意列式计算，即可求得答案； （2）根据函数单调性的定义，即可证明结论； （3）根据函数的单调性，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知函数，且， 故，则 （2）证明：由（1）知， 任取且， 则， 因为且，可得，则， 所以，即， 所以函数在上为单调递增函数. （3）函数在上为单调递增函数， 所以， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. 27．（23-24高一上·海南·期末）已知函数. (1)若，判断在上的单调性，并用单调性的定义证明； (2)设函数，若对任意，总有，使得，求的取值范围. 【答案】(1)在上单调递增，证明见解析； (2) 【分析】（1）判断函数在单调递增，再由定义证明即可； （2）原题可转化为在上的值域是在上值域的子集，再分别求出函数值域，建立不等式求解即可. 【详解】（1）若，则，在上单调递增. 证明如下： 设且， 则， 因为，所以， 即， 故在上单调递增. （2）对任意，总有，使得， 则在上的值域是在上值域的子集. 因为，所以在上单调递增， 当时，所以的值域为. 当时，在上单调递增，所以的值域为. 由，可得，解得； 当时，，满足题意； 当时，由在时，，由对勾函数性质可知， 只需且，解得. 综上可得，的取值范围. 【专项训练】 一、单选题 28．（2024高一·全国）若函数在单调递增，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数单调递增得，解一元二次不等式即可得解. 【详解】因为函数在单调递增，且， 所以，即，解得. 故选：D. 29．（23-24高一上·广西贺州·期末）下列函数的最小值为2的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式判断A，利用函数求最值判断BCD . 【详解】对A： ，，当且仅当时取等号， 其最小值为2；故A正确； 对B：时，，其2不为最小值；故B错误； 对C：，当时等号成立，故C错误； 对D： ，当时等号成立，故D错误； 故选：A 30．（23-24高三上·贵州黔东南·开学考试）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】要使函数在上单调递减，则需时函数单调递减，时函数单调递减，且，然后求解即可. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以在上单调递减， 在上单调递减，且， 所以，解得. 故选：A. 31．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先分析函数的取值情况，从而判断，再结合得到，再分和两种情况讨论，当时结合函数在上的单调性，得到，从而求出的取值范围. 【详解】对于函数，当时，，当时，， 而，即有，依题意可得，又，解得， 所以； 当时，函数在上的取值集合为，不符合题意， 当，函数在上单调递增， 则，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A 【点睛】关键点睛：本题的关键是分析得到，再分和两种情况讨论. 32．（23-24高一上·广东茂名·期末）已知函数是R上的减函数，，是其图象上的两点，那么的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用单调性去掉函数符号即可求解. 【详解】解：由，得或， 因为函数是R上的减函数，，， 所以有，， 所以或. 故选：A． 33．（23-24高一上·重庆九龙坡·期末）设，函数，若的最小值为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当时，结合不等式求得其最小值为；当时，，根据函数的最小值为，列出不等式组，即可求解. 【详解】当时，， 当且仅当时，即时等号成立； 即当时，函数的最小值为， 当时，， 要使得函数的最小值为， 则满足，解得，即实数的取值范围是. 故选：B. 34．（23-24高一上·四川凉山·期末）如果函数在区间上单调递减，那么实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性列式计算即得. 【详解】函数的单调递减区间是，依题意，，则，解得， 所以实数k的取值范围是. 故选：D 35．（23-24高一上·天津·期末）已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由分段函数的定义域要求及所给不等式中的绝对值进行分类讨论，再借助参变分离进行计算即可得. 【详解】当时，，故， 即，由随增大而增大，故， 当时，恒成立。 当时，，故， 即，由随增大而增大，故， 当时，，故， 即，由随增大而减小，故， 即， 综上所述，. 故选：C. 二、多选题 36．（23-24高一上·江苏连云港·期末）下列各函数中，最小值为2的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由基本不等式及二次函数的性质逐项判断即可得解. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，，当时取最小值2，故B正确. 对于C，当时，，故C错误； 对于D，设，则， 当且仅当，即时等号成立，故D正确； 故选：BD. 37．（23-24高一上·河北承德·期末）已知函数下列命题正确的是（    ） A．的值域为 B．的值域为 C．若函数在上单调递减，则的取值范围为 D．若在上单调递减，则的取值范围为 【答案】ACD 【分析】结合分段函数的单调性，依次判断即可. 【详解】当时，的值域为.当时，的值域不为，A正确，B错误. 若函数在上单调递减，则的取值范围为，C正确. 若在上单调递减，根据二次函数和一次函数单调性知的取值范围为，D正确. 故选：ACD 38．（23-24高一上·湖南邵阳·期末）已知函数，在上单调递增，则实数的可能取值为（    ） A． B． C．0 D．3 【答案】ABC 【分析】由题意可知，分段函数每支都在对应的定义域上为增函数，且满足，据题意列出不等式即可求. 【详解】当时，若单调递增，则或，即， 当时，单调递增，则，即， 又函数在上单调递增，所以，解得， 综上，实数的取值范围为， 故选：ABC 39．（23-24高一上·广东江门·期末）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B． C．在区间上单调递增 D．的值域为 【答案】ABC 【分析】根据函数解析式求出定义域判断A，根据解析式计算可判断B，化简解析式，由反比例函数单调性可判断C，取特值可判断D. 【详解】由函数，可知，解得， 所以函数的定义域为，故A正确； ，故B正确； 因为，所以当时，单调递增，故C正确； 由可知，，故函数值域不为，故D错误. 故选：ABC 40．（23-24高一上·广东茂名·期末）定义在上的函数满足，且，，则下列结论中正确的是（    ） A．不等式的解集为 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】BC 【分析】先得到的单调性，AB选项，变形得到，故，根据函数单调性得到不等式，求出解集；CD选项，由得，故，根据函数单调性得到不等式，求出解集. 【详解】，不妨设，故， 即，令，则， 故在上单调递减， AB选项，，不等式两边同除以得：， 因为，所以，即， 根据在上单调递减，故，综上：，A错误，B正确； CD选项，由得， 因为，所以，即， 因为在上单调递减，所以，C正确，D错误 故选：BC 三、填空题 41．（23-24高一上·广东深圳·期末）函数在上单调递增，则k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分、和三种情况，结合单调性的性质以及对勾函数单调性分析求解. 【详解】若，则在上单调递增， 所以函数在上单调递增，符合题意； 若，则函数在上单调递增，符合题意； 若，则在上单调递减，在上单调递增， 则，解得； 综上所述：k的取值范围为. 故答案为：. 42．（23-24高一上·浙江台州·期末）若函数在 上的最小值为1，则正实数的值为 . 【答案】 【分析】对参数进行分类讨论，根据分段函数的单调性和最值，即可求得结果. 【详解】由题可得, 因为函数在 上的最小值为1， 当时，在 上，在单调递减，单调递增， 所以，解得（舍）； 当时，在 上在单调递减，单调递增， 所以，解得（舍）； 当时，在 上，在单调递减，单调递增， 所以，解得. 故答案为： 43．（23-24高一上·贵州黔西·期末）已知函数，若在区间内任意两个实数，（），都有恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】不妨设，根据题意转化为，令，得到函数在上单调递减，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】不妨设，因为，可得， 即， 令，可得函数在上单调递减， 因为函数的图象开口向上，对称轴为，则， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 44．（23-24高一上·浙江·期中）已知是减函数，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用一次函数、二次函数的单调性，结合分段函数是减函数，列出不等式组求解即可. 【详解】由函数是减函数，得，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 45．（23-24高二下·福建三明·阶段练习）已知函数，． (1)判断函数的单调性，并利用定义证明； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)在上单调递减；证明见解析 (2) 【分析】（1）根据条件，利用单调性的定义即可证明结果； （2）利用（1）中结果，即可建立不等式组，即可求出结果. 【详解】（1）在上单调递减，证明如下： 任取， 则， 因为，所以，，， 所以，即， 故在上单调递减. （2）在上单调递减， 所以，可得，解得， 故实数m的取值范围是． 46．（23-24高一下·湖南岳阳·开学考试）设函数，其中. (1)若，求函数在区间上的值域； (2)若，且对任意的，都有，求实数的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数的对称性即可求解； （2）将问题转化为，再利用二次函数的性质得在上的最大值为或，从而得解； 【详解】（1）当时，则，， 由二次函数的对称性知：当时，的最小值为1； 当时，的最大值为10； 所以在区间值域的为. （2）“对任意的，都有”等价于“在区间上”. 由（1）知时，， 由二次函数的性质知函数的图象开口向上， 所以在上的最大值为或， 则，即，解得， 故实数的取值范围为区间. 47．（23-24高一上·山西吕梁·期末）已知函数． (1)判断的单调性并用定义证明； (2)求函数在区间上的值域． 【答案】(1)为增函数，证明见解析 (2)． 【分析】（1）定义法证明单调递增； （2）方法一：由时，则有，后（1）知函数的单调性可求值域； 方法二：求出函数，并研究其单调性，从而得值域. 【详解】（1）函数的定义域为R，为增函数． 证明如下： 设，且，则有， ，，， ，即， 为增函数； （2）方法一：当时，则有， 由（1）知道为增函数，所以，． 所以函数在区间上的值域为． 方法二：． 时，可知函数为增函数，所以在上的值域为． 可知函数为减函数，所以在上的值域为． 所以函数在区间上的值域为． 48．（23-24高一上·安徽安庆·期末）已知函数． (1)判断在上的单调性，并用定义证明： (2)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调递增，证明见解析 (2)或 【分析】（1）利用函数单调性的定义，即可证明； （2）根据（1）的结果求函数的值域，讨论和两种情况求函数的值域，转化子集问题，即可求解. 【详解】（1）设， ， 因为，所以，， 所以，即， 所以在单调递增； （2）由于对任意的，总存在，使得成立， 所以函数的值域是的值域的子集， 由（1）知在单调递增，，， 所以的值域为， 当时，在单调递增，，， 所以，由，解得：， 当时，在在单调递减，，， 所以，由，解得：， 综上所述，或 1 学科网（北京）股份有限公司 $$