专题04三角函数与恒等变换-备战2025届新高考数学模拟题分类汇编（安徽专用）

专题04 三角函数与恒等变换 题型一 三角函数的求值 1．（2024·安徽·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽·模拟预测）已知角α的终边上有一点，则=（    ） A． B． C． D． 3．（2024·安徽·模拟预测）已知，则（    ） A． B．2 C． D． 4．（2024·安徽·模拟预测）已知,则（    ） A． B． C． D． 5．（2023·安徽芜湖·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与的非负半轴重合，将角的终边按照逆时针方向旋转后，其终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·安徽池州·模拟预测）如图，在长方形中，，，从上的一点发出的一束光沿着与夹角为的方向射到上的点后，依次反射到、上的、点，最后回到点，则等于（    ）    A． B． C． D． 7．（2023·安徽·模拟预测）已知，则 . 题型二 三角恒等变换 1．（2024·安徽合肥·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽六安·模拟预测）的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知为三角形的内角，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·安徽池州·二模）已知，则（    ） A．7 B．-7 C． D． 6．（2024·安徽·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·安徽黄山·一模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024·安徽·模拟预测）（ ） A． B． C． D． 9．（2024·安徽·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 10．（2024·安徽·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 11．（2024·安徽合肥·三模）已知，则 . 12．（2024·安徽·三模）已知，其中，且，则 . 13．（2024·安徽阜阳·一模）已知，则 ， . 14．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知的角A，B，C满足，其中符号表示不大于x的最大整数，若，则 ． 15．（2024·安徽·模拟预测）已知为锐角，满足，则 ， ． 题型三 正余弦型函数的图象与性质综合 1．（2024·安徽安庆·二模）已知函数的图象关于点对称，且在上没有最小值，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽·模拟预测）已知函数，若关于的方程在上恰有一个实数根，则（    ） A． B． C． D．2 3．（2024·安徽·模拟预测）已知函数满足，且，则（    ） A． B． C．0 D．2024 4．（2024·安徽马鞍山·三模）已知函数的一个零点是，且在上单调，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·安徽·三模）已知函数的部分图象如下图所示，若曲线过点，，，，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·安徽池州·模拟预测）已知函数的部分图像如图所示，则（    ） A．直线是的对称轴 B．点是的对称中心 C．在区间上单调递减 D．当时，的值域为 （多选）7．（2024·安徽·模拟预测）如图，函数的图象与x轴的其中两个交点为A，B，与y轴交于点C，D为线段BC的中点，，，，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．在单调递减 D．为奇函数 （多选）8．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知，则下列说法中错误的是（    ） A． B．在上为减函数 C．的对称轴为 D．当时，取最大值 （多选）9．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知函数，其部分图象如图所示，且直线与曲线所围成的封闭图形的面积为，下列叙述正确的是（    ） A． B．为奇函数 C． D．若在区间（其中）上单调递增，则的取值范围是 （多选）10．（2024·安徽·模拟预测）在信息时代，信号处理是非常关键的技术，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数.函数的图象可以近似模拟某种信号的波形，则（    ） A．为偶函数 B．的图象关于点对称 C．的图象关于直线对称 D．是的一个周期 （多选）11．（2024·安徽·三模）已知函数，则（    ） A． B．的图象关于直线对称 C．在上单调递增 D．函数在上有2个零点 （多选）12．（2024·安徽芜湖·三模）已知，下面结论正确的是（    ） A．时，在上单调递增 B．若，且的最小值为，则 C．若在上恰有7个零点，则的取值范围是 D．存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称 （多选）13．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知函数，则下列命题正确的有（    ） A．当时，是的一条对称轴 B．若，且，则 C．存在，使得的图象向左平移个单位得到的函数为偶函数 D．若在上恰有5个零点，则的范围为 （多选）14．（2024·安徽·三模）已知函数，则（    ） A．是偶函数 B．的最小正周期是 C．的值域为 D．在上单调递增 （多选）15．（2024·安徽合肥·三模）已知是函数的两个零点，且的最小值是，则（    ） A．在上单调递增 B．的图象关于直线对称 C．的图象可由的图象向右平移个单位长度得到 D．在上仅有1个零点 （多选）16．（2024·安徽阜阳·模拟预测）已知函数（，，）的部分图象如图所示，且图中阴影部分的面积为，则（    ） A． B．点是曲线的一个对称中心 C．直线是曲线的一条对称轴 D．函数在区间内单调递减 （多选）17．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，且阴影部分的面积为，则（    ） A．函数的最小正周期为 B．点为曲线的一个对称中心 C．直线为曲线的一条对称轴 D．函数在区间上单调递增 （多选）18．（2024·安徽安庆·三模）已知函数，则（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数在上单调递增 C．函数的最大值为 D．若方程在上有且仅有8个不同的实根，则 （多选）19．（2024·安徽·模拟预测）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．是的一个周期 B．在上递减 C．将图象向左平移个单位可得到的图象 D．若，则 （多选）20．（2024·安徽黄山·二模）已知函数图象上相邻两条对称轴之间的距离为，则（    ） A．函数图象关于点对称 B．函数图象关于直线对称 C．函数在上单调递增 D．函数在上有个零点 （多选）21．（2024·安徽芜湖·二模）在平面直角坐标系xOy中，角θ以坐标原点O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点，，定义，，则（    ） A． B． C．若，则 D．是周期函数 （多选）22．（2024·安徽池州·二模）已知函数，则（    ） A．的图象关于点对称 B．在区间内有2个极大值点 C． D．将函数的图象向左平移个单位，所得图象关于直线对称 （多选）23．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则的值可以是（    ） A． B．1 C． D． （多选）24．（2024·安徽淮北·一模）已知函数，，（    ） A．存在实数使得在单调递减 B．若的图象关于点成中心对称，则的最小值为2 C．若，将的图象向右平移个单位可以得到的图象 D．若，的最大值为 25．（2024·安徽合肥·一模）已知函数的一条对称轴为，当时，的最小值为，则的最大值为 . 26．（2024·安徽芜湖·二模）已知偶函数的图像关于点中心对称，且在区间上单调，则 ． 27．（2024·安徽合肥·三模）已知函数在区间上只有一个零点和两个最大值点，则的取值范围是 ． 28．（2024·安徽·模拟预测）已知函数．直线与曲线的两个交点如图所示，若，且在区间上单调递减，则 ； ． 29．（2024·安徽池州·模拟预测）筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有多年的历史如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为米的筒车按逆时针方向做每分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心距离水面的高度为米，设筒车上的某个盛水筒的初始位置为点（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，分钟时，该盛水筒距水面距离为，则 . 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 三角函数与恒等变换 题型一 三角函数的求值 1．（2024·安徽·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据结合诱导公式求解即可. 【详解】. 故选：A 2．（2024·安徽·模拟预测）已知角α的终边上有一点，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的定义可求得的值，再利用诱导公式，即可求得答案. 【详解】由题意知角α的终边上有一点，则， 故，则， 故选：A 3．（2024·安徽·模拟预测）已知，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用已知的三角函数值，利用换元法，结合三角函数的诱导公式，可得答案. 【详解】令，则， 从而 . 故选：A 4．（2024·安徽·模拟预测）已知,则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查诱导公式等知识． 【详解】． 故选：B 5．（2023·安徽芜湖·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与的非负半轴重合，将角的终边按照逆时针方向旋转后，其终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数定义先求，然后利用诱导公式和二倍角公式可解. 【详解】由题知，角的终边过点， 所以，，， 所以 . 故选：B 6．（2024·安徽池州·模拟预测）如图，在长方形中，，，从上的一点发出的一束光沿着与夹角为的方向射到上的点后，依次反射到、上的、点，最后回到点，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】记，设，由几何关系用逐个三角形推出，再由中，，最终求出结果. 【详解】记，根据对称性得到，， 设，， 在中，，， 在中，，， 在中，， ， 在中，， ，，得． 故选：C    7．（2023·安徽·模拟预测）已知，则 . 【答案】 【分析】由三角函数的诱导公式化简可得. 【详解】由题可得. 故答案为： 题型二 三角恒等变换 1．（2024·安徽合肥·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由辅助角公式得，再利用诱导公式和余弦二倍角公式即可求解. 【详解】由得，即， 所以， 故选：D 2．（2024·安徽六安·模拟预测）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角的商数关系、两角和的正弦公式、二倍角公式和诱导公式计算化简即可求解. 【详解】. 故选：A 3．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两角和差的余弦公式化简，再根据结合两角差的余弦公式化简即可得解. 【详解】由， 得， 故 所以 . 故选：C 4．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知为三角形的内角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用降幂公式得到答案. 【详解】因为为三角形的内角，， 所以 . 故选：B 5．（2024·安徽池州·二模）已知，则（    ） A．7 B．-7 C． D． 【答案】D 【分析】由可求，再由两角和的正切可求. 【详解】因为，故， 故，而，故，故， 而，故，所以， 故，故， 故选：D 6．（2024·安徽·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由两角和与差的正弦，余弦，正切公式求解即可. 【详解】由于，所以， 所以，所以， 又，所以， 所以，由题设显然， 所以， 所以， 所以. 故选：C 7．（2024·安徽黄山·一模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两角差的余弦公式可得出的值，再利用两角和的余弦公式可求得的值. 【详解】因为，, 解得，因此，. 故选：B 8．（2024·安徽·模拟预测）（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】切化弦后通分，根据两角和差的正余弦公式求解即可. 【详解】 . 故选：A 9．（2024·安徽·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据二倍角的正弦公式和同角三角函数的关系求出，再根据两角差的余弦公式即可得解. 【详解】因为，所以， 因为，所以，，， 所以. 故选：B 10．（2024·安徽·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用三角恒等变换，再根据已知条件变换，即可求解. 【详解】由和得， 即，又因为，且， 所以得，因此. 故选：B 11．（2024·安徽合肥·三模）已知，则 . 【答案】 【分析】利用两角和差的正切公式计算，再使用二倍角的正切公式即可. 【详解】由， 且， 得， 整理得， 解得（舍）或， 所以． 故答案为：. 12．（2024·安徽·三模）已知，其中，且，则 . 【答案】 【分析】由第一个已知条件得，结合二倍角公式进一步得出，结合第二个已知条件可得关于的方程，由此即可求解. 【详解】依题意，， ， 所以， 所以， 而， 因为，故， 则， 则， 即， 则 ， 解得，故. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键是得出，由此即可顺利得解. 13．（2024·安徽阜阳·一模）已知，则 ， . 【答案】； 【分析】第一空，将已知条件两边同时平方两式相加，结合同角三角函数基本关系与余弦函数的和差公式即可求解；第二空，利用三角函数的和差公式得到，再利用倍角公式化简转化即可得解. 【详解】由可得，即， 由可得，即， 两式相加可得， 即，解得； 因为， ， 所以， 所以． 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是熟练掌握三角函数半角公式的转化，从而得解. 14．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知的角A，B，C满足，其中符号表示不大于x的最大整数，若，则 ． 【答案】1 【分析】先证得，结合条件得必为整数，分为钝角三角形与锐角三角形讨论求得的值 【详解】由， 得. 记，由条件得， 因为，所以必为整数. 如果为钝角三角形，则，则、均为锐角， 从而、为正整数()， 于是， 这时有，矛盾. 于是只能是锐角三角形，则. 又. 若，则，从而不能成立; 若，则，由，得; 若，则，由，得，与矛盾. 所以，即， 所以. 故答案为：1. 【点睛】关键点点睛：解题关键是由推得必为整数，再结合求解. 15．（2024·安徽·模拟预测）已知为锐角，满足，则 ， ． 【答案】； 【分析】由，利用两角和与差的正弦公式和余弦的二倍角公式，求出；再用余弦的二倍角公式求出. 【详解】因为，所以 ， 又，所以， 因为为锐角，所以为锐角， 又，所以， 又，所以， 所以． 故答案为：；. 题型三 正余弦型函数的图象与性质综合 1．（2024·安徽安庆·二模）已知函数的图象关于点对称，且在上没有最小值，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简解析式，根据对称性可得，再结合最小值点即可求解. 【详解】， 因为的图象关于点对称， 所以， 故，即， 当，即时，函数取得最小值， 因为在上没有最小值， 所以，即， 由解得，故，得. 故选：B 2．（2024·安徽·模拟预测）已知函数，若关于的方程在上恰有一个实数根，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】直接利用三角函数的图象和性质求出结果. 【详解】若关于的方程在上恰有一个实数根，则，即在上恰有一个实数根， 因为恰为的最小正周期，且当时，，所以， 若，则关于的方程在上有两个实数根，因为，所以，此时， 即，解得，所以． 故选：A 3．（2024·安徽·模拟预测）已知函数满足，且，则（    ） A． B． C．0 D．2024 【答案】B 【分析】根据题意，求出是的一个周期，利用周期性求解答案. 【详解】，， ，所以是的一个周期， 又，，， 所以. . 故选：B 【点睛】关键点睛：本题解题的关键是根据条件判断是的一个周期，再求出，，利用周期性求解. 4．（2024·安徽马鞍山·三模）已知函数的一个零点是，且在上单调，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】整理可得，以为整体，根据单调性分析可得，再结合零点分析求解. 【详解】因为， ，且时， 可得，且， 若在上单调，则，解得， 又因为的一个零点是，则，解得， 所以. 故选：B 5．（2024·安徽·三模）已知函数的部分图象如下图所示，若曲线过点，，，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用五点法作图，结合函数的图象得、和，再利用两角差的余弦公式，计算得结论. 【详解】解：因为，所以，而，因此， 即 因为，所以由“五点法”作图得：，解得， 由于,解得，故取，则， 因此. 因为，所以，. 因为由函数的图象，结合“五点法”作图知：，， 所以由和得：，， 因此 . 故选：A 6．（2024·安徽池州·模拟预测）已知函数的部分图像如图所示，则（    ） A．直线是的对称轴 B．点是的对称中心 C．在区间上单调递减 D．当时，的值域为 【答案】A 【分析】根据题意求出函数的解析式，利用正弦函数的性质依次判断各个选项. 【详解】由图知，所以周期． 又因为，所以，当时，， 所以．又因为，所以，即． 对于选项A，当时，，，所以直线是的对称轴，故A正确； 对于选项B，当时，，所以点不是的对称中心，故B错误； 对于选项C，当时，，由正弦函数可知，在区间上不单调递减，故C错误； 对于选项D，当时，，的值域为，故D错误． 故选：A （多选）7．（2024·安徽·模拟预测）如图，函数的图象与x轴的其中两个交点为A，B，与y轴交于点C，D为线段BC的中点，，，，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．在单调递减 D．为奇函数 【答案】CD 【分析】结合题意计算可得，结合正弦型函数的性质逐项判断即可得. 【详解】由题可，，，则， 有，， ，， 把代入上式，得，解得 (负值舍去)， ，，由，解得，， 解得，， 对A，的最小正周期为，故A错误； 对B：，故B错误； 对C：当时，，在单调递减，故C正确； 对D：，为奇函数，故D正确. 故选：CD. （多选）8．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知，则下列说法中错误的是（    ） A． B．在上为减函数 C．的对称轴为 D．当时，取最大值 【答案】BCD 【分析】对于A：根据题意结合诱导公式分析判断；对于BCD：举反例说明即可. 【详解】对于选项A：因为 ， 即，故A正确； 对于选项B：因为，， 即，所以在内不单调，故B错误． 对于选项C：因为 ， 即，可知为的对称轴， 显然，故C错误； 对于选项D：因为 ， 即，可知不是的最大值点，故D错误； 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：对于BCD：因为本函数形式较为复杂，直接说明比较困难，可以通过举反例方式的证伪，这样可以简化过程，快速判断正误. （多选）9．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知函数，其部分图象如图所示，且直线与曲线所围成的封闭图形的面积为，下列叙述正确的是（    ） A． B．为奇函数 C． D．若在区间（其中）上单调递增，则的取值范围是 【答案】AC 【分析】根据函数图象求出、，再根据面积求出，最后根据函数过点求出，即可得到函数解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可. 【详解】依题意可得，即，又，所以，解得， 又直线与曲线所围成的封闭图形的面积为， 所以，解得，故A正确； 所以，又函数过点可得， 又，则，所以，则， 所以， 则，为非奇非偶函数，故B错误； 因为， 所以 ， 又， 所以，故C正确； 令，解得， 所以的单调递增区间为， 因为在区间（其中）上单调递增， 所以，， 即，，解得，， 即的取值范围是，，故D错误； 故选：AC. （多选）10．（2024·安徽·模拟预测）在信息时代，信号处理是非常关键的技术，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数.函数的图象可以近似模拟某种信号的波形，则（    ） A．为偶函数 B．的图象关于点对称 C．的图象关于直线对称 D．是的一个周期 【答案】BC 【分析】对A，根据奇偶函数得定义判断；对B，计算可判断；对C，计算可判断；对D，根据周期函数的定义判断. 【详解】由题意得，， 对于A，， ， ∴函数是奇函数，故A错误； 对于B， ， ∴的图象关于点对称，故B正确； 对于C， ， ∴的图象关于直线对称，故C正确； 对于D， ， ∴不是的周期，故D错误. 故选：BC. （多选）11．（2024·安徽·三模）已知函数，则（    ） A． B．的图象关于直线对称 C．在上单调递增 D．函数在上有2个零点 【答案】ABD 【分析】利用正弦函数的图象和性质依次判断选项即可. 【详解】易知的最小正周期为，所以也是的周期，则，故A正确； 令，解得：，当时，，所以的图象关于直线对称，故B正确； 当时，，则函数在上先增后减，故错误； 令，故，在一直角坐标系中分别作出和的大致图像（如图），观察可知，二者有两个交点，故函数在上有2个零点，故D正确.                                                                            故选：ABD. （多选）12．（2024·安徽芜湖·三模）已知，下面结论正确的是（    ） A．时，在上单调递增 B．若，且的最小值为，则 C．若在上恰有7个零点，则的取值范围是 D．存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称 【答案】CD 【分析】利用把相位看成一个整体，通过正弦函数的性质，可以做出各选项的判断. 【详解】对于A，， 当时，， 而在不单调，故A是错误的； 对于B，，由的最小值为， 则函数周期为，所以，解得，故B是错误的； 对于C，在上恰有7个零点，结合正弦曲线可知， ，解得：，故C是正确的； 对于D，由的图象向右平移个单位长度后得到： ，由它关于轴对称，可知：， 解得：，当时，，故D是正确的； 故选：CD. （多选）13．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知函数，则下列命题正确的有（    ） A．当时，是的一条对称轴 B．若，且，则 C．存在，使得的图象向左平移个单位得到的函数为偶函数 D．若在上恰有5个零点，则的范围为 【答案】BD 【分析】首先对函数表达式进行化简，A选项，将，代入发现此处有对称中心，没有对称轴；B选项，由题设知，为半个周期；C选项，对函数进行平移变换，再判断奇偶性；D选项，求出的范围，再确定区间右端点的范围，从而求出的范围. 【详解】 对于A，当时，， 所以， 所以不是的一条对称轴，故A错误； 对于B，由题意知，， 所以， 又因为，所以，故B正确； 对于C，向左平移个单位后， 得到， 假设为偶函数，则，， 解得， 而，所以假设不成立，故C错误； 对于D，时，， 令， 则， 因为在上恰有5个零点， 所以，解得，故D正确. 故选：BD. （多选）14．（2024·安徽·三模）已知函数，则（    ） A．是偶函数 B．的最小正周期是 C．的值域为 D．在上单调递增 【答案】AC 【分析】对于A，直接用偶函数的定义即可验证；对于B，直接说明即可否定；对于C，先证明，再说明对总有有解即可验证；对于D，直接说明即可否定. 【详解】对于A，由于的定义域为，且， 故是偶函数，A正确； 对于B，由于，，故，这说明不是的周期，B错误； 对于C，由于 ， 且，故. 而对，有，，故由零点存在定理知一定存在使得. 所以的值域为，C正确； 对于D，由于，，故在上并不是单调递增的，D错误. 故选：AC. （多选）15．（2024·安徽合肥·三模）已知是函数的两个零点，且的最小值是，则（    ） A．在上单调递增 B．的图象关于直线对称 C．的图象可由的图象向右平移个单位长度得到 D．在上仅有1个零点 【答案】ABD 【分析】依题意可得的最小正周期，即可求出，从而得到解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可. 【详解】由题意可知，函数的最小正周期，，． 对于，当时，， 因为在上单调递增，所以在上单调递增，故A正确； 对于B，因为， 所以的图象关于直线对称，故B正确； 对于C，将的图象向右平移个单位长度得到： ，故C错误； 对于D，当时，，仅当，即时，， 即在上仅有1个零点，故D正确． 故选：ABD． （多选）16．（2024·安徽阜阳·模拟预测）已知函数（，，）的部分图象如图所示，且图中阴影部分的面积为，则（    ） A． B．点是曲线的一个对称中心 C．直线是曲线的一条对称轴 D．函数在区间内单调递减 【答案】ABC 【分析】根据题意利用五点法可得，，，即可判断A；对于BC：代入检验结合正弦函数性质分析判断；对于D：以为整体，结合正弦函数的单调性分析判断. 【详解】设函数的最小正周期为， 由题意可知：，， 则， 即函数的最小正周期为，可得，故A正确； 且，可得， 又因为，所以，即， 且，可得，所以. 对于选项B：因为， 所以点是曲线的一个对称中心，故B正确； 对于选项C：因为为最大值， 所以直线是曲线的一条对称轴，故C正确； 对于选项D：因为，则， 且在不单调，所以函数在区间内不单调，故D错误； 故选：ABC. （多选）17．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，且阴影部分的面积为，则（    ） A．函数的最小正周期为 B．点为曲线的一个对称中心 C．直线为曲线的一条对称轴 D．函数在区间上单调递增 【答案】ACD 【分析】根据题意结合五点法求函数解析式，即可判断A；代入检验结合最值与对称轴、零点与对称中心之间的关系判断BC；对于D：以为整体，结合正弦函数单调性分析判断. 【详解】由题意可知：函数的最大值为2，即， 因为，即， 且，可得， 设的最小正周期为，则，即，故A正确； 且，可得， 所以， 对于选项B：因为， 所以点不为曲线的一个对称中心，故B错误； 对于选项C：因为为最小值， 所以直线为曲线的一条对称轴，故C正确； 对于选项D：因为，则， 且在内单调递增， 所以函数在区间上单调递增，故D正确； 故选：ACD. （多选）18．（2024·安徽安庆·三模）已知函数，则（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数在上单调递增 C．函数的最大值为 D．若方程在上有且仅有8个不同的实根，则 【答案】ACD 【分析】A选项，由函数与的最小正周期的周期性即可；B选项，利用函数的单调性定义求解；C选项，由倍角公式化简函数解析式，利用二次函数的性质求最大值；D选项，利用导数讨论函数的单调性，数形结合求的取值范围. 【详解】由条件可知， 因， 又函数与的最小正周期均为， 所以函数的最小正周期为，A选项正确； 时，，，， ，则函数在上不可能单调递增，B选项错误； ， 当时，函数取最大值，C选项正确； ，所以函数为偶函数， 方程在上有且仅有8个不同的实根，则在上有四个根， 此时，则， 设 令，得，令，得 则在上和单调递增，在和上单调递减， 又，，，如图所示， 若想方程在上有四个根，则，即， 因此选项D正确. 故选：ACD． （多选）19．（2024·安徽·模拟预测）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．是的一个周期 B．在上递减 C．将图象向左平移个单位可得到的图象 D．若，则 【答案】ACD 【分析】由三角函数的最小正周期公式可判断A；通过的单调性可判断B；通过函数图象左右平移作用于自变量，且左加右减可判断C；由题代入求出，再通过诱导公式和二倍角公式凑角求值可判断D. 【详解】对于A，由题意，函数，可得的最小正周期为， 所以是的一个周期，故A正确； 对于B，由，可得， 所以函数在上不单调，故B错误； 对于C，将的图象向左平移个单位可得，， 即，故C正确； 对于D，若，即，即， 所以， 故D正确. 故选：ACD. （多选）20．（2024·安徽黄山·二模）已知函数图象上相邻两条对称轴之间的距离为，则（    ） A．函数图象关于点对称 B．函数图象关于直线对称 C．函数在上单调递增 D．函数在上有个零点 【答案】AD 【分析】对函数利用辅助角公式进行化简，根据条件求出函数的周期和，得到的解析式，对于A，将代入验证看是否为对称中心；对于B，将代入检验是否为对称轴；对于C，，，结合正弦函数的图象与性质，判断单调性；对于D，求出在的零点，判断个数即可. 【详解】， 因为函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为， 所以，则，所以，解得， 所以. 对于A选项，， 所以函数图象关于点对称，故A正确； 对于B选项，， 所以函数图象不关于直线对称，故B错误； 对于C选项，当，， 当，即时，， 结合正弦函数图象可知，函数在上先增后减，故C错误； 对于D选项，令，即，即， 当时，的值为， 所以函数在上有个零点，故D正确， 故选：AD. （多选）21．（2024·安徽芜湖·二模）在平面直角坐标系xOy中，角θ以坐标原点O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点，，定义，，则（    ） A． B． C．若，则 D．是周期函数 【答案】ACD 【分析】根据题意分别求出，，则，，从而可对A判断求解，利用换元法令可对B判断求解，由求出，并结合从而可对C判断求解，由可对D判断求解. 【详解】由题意得在角的终边上，且，所以，， 则，， 对A：，故A正确； 对B：，令， 所以，故B错误； 对C：，解得， 又由，故C正确； 对D：，因为为周期函数，故D正确. 故选：ACD. （多选）22．（2024·安徽池州·二模）已知函数，则（    ） A．的图象关于点对称 B．在区间内有2个极大值点 C． D．将函数的图象向左平移个单位，所得图象关于直线对称 【答案】BCD 【分析】先用辅助角公式把函数化成的形式，再结合函数的图象和性质进行判断. 【详解】因为. 因为，所以是的一条对称轴，故A错误； 由，，， 所以可能为：，，，，等等，在内只有两个极大值点和，故B正确； 因为， . 又在上单调递减，所以，所以， 故C正确； 把的图象向左平移个单位，可得， 当时，为函数最小值，是所得函数的一条对称轴，故D正确. 故选：BCD. （多选）23．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则的值可以是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】ABC 【分析】根据条件求得的范围，逐项验证即可. 【详解】因为，则， 又函数在上单调递增， 则时，，符合题意，A正确； 则时，，符合题意，B正确； 则时，，符合题意，C正确； 则时，，不符合题意，D错误； 故选：ABC. （多选）24．（2024·安徽淮北·一模）已知函数，，（    ） A．存在实数使得在单调递减 B．若的图象关于点成中心对称，则的最小值为2 C．若，将的图象向右平移个单位可以得到的图象 D．若，的最大值为 【答案】BCD 【分析】由三角函数的性质对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于A，因为，，因为， 所以不存在实数使得在单调递减，故A错误； 对于B，的图象关于点成中心对称， 所以，所以，，因为， 所以的最小值为2，故B正确； 对于C，若，， 将的图象向右平移个单位可以得到的图象， 则，故C正确； 对于D，若，，， ， 当时，的最大值为，故D正确. 故选：BCD. 25．（2024·安徽合肥·一模）已知函数的一条对称轴为，当时，的最小值为，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据条件得到，从而得到，令，再利用的图象与性质，即可求出结果. 【详解】因为函数的一条对称轴为， 所以，得到，又，所以， 所以， 又当时，的最小值为， 令，则， 由的图象与性质知，，得到， 故答案为：. 26．（2024·安徽芜湖·二模）已知偶函数的图像关于点中心对称，且在区间上单调，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，再由对称中心求出，最后根据函数单调性确定. 【详解】因为偶函数，所以，， 即或， 又的图像关于点中心对称， 所以，即， 所以， 因为函数单调，所以，即， 所以当时，符合条件. 故答案为：. 27．（2024·安徽合肥·三模）已知函数在区间上只有一个零点和两个最大值点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先将化简为，再根据在区间上只有一个零点和两个最大值点，结合正弦型三角函数的处理办法求出的取值范围. 【详解】 ， 由，，得， 时，，最大时，也最大， 若在区间上只有一个零点和两个最大值点， 则只需，解得． 故答案为：. 28．（2024·安徽·模拟预测）已知函数．直线与曲线的两个交点如图所示，若，且在区间上单调递减，则 ； ． 【答案】； 【分析】根据和，可构造方程求得，并确定为半个周期，根据正弦函数单调性可构造方程组求得. 【详解】设， 由得：，， 又，，解得：， 此时的最小正周期， ，在区间上单调递减， 和分别为单调递减区间的起点和终点， 当时，， ，，又，； 综上所述：，. 故答案为：；. 29．（2024·安徽池州·模拟预测）筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有多年的历史如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为米的筒车按逆时针方向做每分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心距离水面的高度为米，设筒车上的某个盛水筒的初始位置为点（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，分钟时，该盛水筒距水面距离为，则 . 【答案】3 【分析】由题意得，，，又时，，代入求值，得到，求出函数解析式，求出答案. 【详解】由题意得，又，故， 且，解得， 故， 当时，，即，， 又，解得， 故， 所以 . 故答案为：3 学科网（北京）股份有限公司 $$