专题03函数的性质与综合应用-备战2025届新高考数学模拟题分类汇编（安徽专用）

专题03 函数的性质与综合应用 题型一 函数图象的判断 1．（2024·安徽合肥·三模）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽·模拟预测）如图，直线在初始位置与等边的底边重合，之后开始在平面上按逆时针方向绕点匀速转动（转动角度不超过），它扫过的三角形内阴影部分的面积是时间的函数．这个函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·安徽芜湖·二模）我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图象特征．则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·安徽马鞍山·三模）已知函数的大致图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·安徽·模拟预测）函数的大致图象是（    ） A．   B．   C．     D．     6．（2024·安徽·模拟预测）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 题型二 分段函数的应用 1．（2024·安徽·模拟预测）“肝胆两相照，然诺安能忘．”（《承左虞燕京惠诗却寄却寄》，明•朱察卿）若两点关于点成中心对称，则称为一对“然诺点”，同时把和视为同一对“然诺点”．已知的图象上有两对“然诺点”，则等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2024·安徽合肥·三模）设，函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·安徽·三模）已知函数的图象关于直线对称，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 4．（2024·安徽合肥·二模）已知函数，若关于的方程至少有两个不同的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （多选）5．（2024·安徽·三模）已知函数其中，且，则（    ） A． B．函数有2个零点 C． D． 6．（2024·安徽·模拟预测）已知函数则函数有 个零点． 7．（2024·安徽·模拟预测）已知函数，若关于的方程有3个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 8．（2024·安徽·模拟预测）已知函数，若方程有7个不同的实数根，则实数的取值范围是 ． 题型三 指对函数模型的实际应用 1．（2024·安徽·模拟预测）某农业研究所对玉米幼穗的叶龄指数与可见叶片数进行分析研究，其关系可以用函数（为常数）表示．若玉米幼穗在伸长期可见叶片为7片，叶龄指数为30，则当玉米幼穗在四分体形成期叶龄指数为82.5时，可见叶片数约为（    ）（参考数据：，） A．15 B．16 C．17 D．18 2．（2024·安徽·模拟预测）2024年中国载人航天工程将统筹推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务，其中，中国空间站应用与发展阶段各项工作正按计划稳步推进.若空间站运行周期的平方与其圆轨道半径的立方成正比，当空间站运行周期增加1倍时，其圆轨道半径增加的倍数大约是（参考数据：，）（    ） A．1.587 B．1.442 C．0.587 D．0.442（    ） 3．（2024·安徽·模拟预测）小微企业是推进创业富民、恢复市场活力、引领科技创新的主力军，一直以来，融资难、融资贵制约着小微企业的发展活力.某银行根据调查的数据，建立了小微企业实际还款比例与小微企业的年收入（单位：万元）的关系为.已知小微企业的年收入为80万元时，其实际还款比例为，若银行希望实际还款比例为，则小微企业的年收入约为（参考数据：，1）（   ） A．46.49万元 B．53.56万元 C．64.43万元 D．71.12万元 4．（2024·安徽·模拟预测）在一个空房间中大声讲话会产生回音，这个现象叫做“混响”．用声强来度量声音的强弱，假设讲话瞬间发出声音的声强为，则经过秒后这段声音的声强变为，其中是一个常数．把混响时间定义为声音的声强衰减到原来的所需的时间，则约为（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 5．（2024·安徽·模拟预测）青少年视力问题是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足．已知小明和小李视力的五分记录法的数据分别为4.5和4.9，记小明和小李视力的小数记录法的数据分别为，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·安徽·模拟预测）遗忘曲线（又称作“艾宾浩斯记忆曲线”）由德国心理学家艾·宾浩斯（H. Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．人体大脑对新事物遗忘的循序渐进的直观描述，人们可以从遗忘曲线中掌握遗忘规律并加以利用，从而提升自我记忆能力．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率与初次记忆经过的时间（小时）的大致关系：若陈同学需要在明天15时考语文考试时拥有复习背诵记忆的50%，则他复习背诵时间需大约在（    ） A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00 7．（2024·安徽·模拟预测）药物的半衰期指的是血液中药物浓度降低一半所需要的时间，在特定剂量范围内，药物的半衰期，其中是药物的消除速度常数，不同药物的消除速度常数一般不同，若内药物在血液中浓度由降低到，则该药物的消除速度常数．已知某药物半衰期为，首次服用后血药浓度为，当血药浓度衰减到时需要再次给药，则第二次给药与首次给药时间间隔约为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·安徽·模拟预测）北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统．已知卫星运行轨道近似为以地球为圆心的圆形，运行周期与轨道半径之间关系为（K为常数）．已知甲、乙两颗卫星的运行轨道所在平面互相垂直，甲的周期是乙的8倍，且甲的运行轨道半径为，分别是甲、乙两颗卫星的运行轨道上的动点，则之间距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·安徽·模拟预测）放射性物质的半衰期的定义为：每经过时间，该物质的质量会衰减成原来的一半．由此可知，，其中为初始时物质的质量，为经过的时间，为半衰期，为经过时间后物质的质量．若某铅制容器中有，两种放射性物质，半衰期分别为，，开始时这两种物质的质量相等，100天后测量发现物质的质量为物质的质量的四分之一，则（    ） A． B． C．50 D．25 （多选）10．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）科学研究表明，物体在空气中冷却的温度变化是有规律的．如果物体的初始温度为，空气温度保持不变，则t分钟后物体的温度（单位：）满足：．若空气温度为，该物体温度从（）下降到，大约所需的时间为，若该物体温度从，下降到，大约所需的时间分别为，则（    ）（参考数据：） A． B． C． D． （多选）11．（2024·安徽·模拟预测）放射性物质在衰变中产生辐射污染逐步引起了人们的关注，已知放射性物质数量随时间的衰变公式，表示物质的初始数量，是一个具有时间量纲的数，研究放射性物质常用到半衰期，半衰期指的是放射性物质数量从初始数量到衰变成一半所需的时间，已知，右表给出了铀的三种同位素τ的取值：若铀234、铀235和铀238的半衰期分别为，，，则（    ） 物质 τ的量纲单位 τ的值 铀234 万年 35.58 铀235 亿年 10.2 铀238 亿年 64.75 A． B．与成正比例关系 C． D． （多选）12．（2024·安徽·模拟预测）某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常，排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为，继续排气4分钟后又测得浓度为．由检验知该地下车库一氧化碳浓度（单位：）与排气时间（单位：分钟）之间满足函数关系（为常数，是自然对数的底数）．若空气中一氧化碳浓度不高于，人就可以安全进入车库了，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．排气12分钟后浓度为 D．排气32分钟后，人可以安全进入车库 题型四 抽象函数综合 1．（2024·安徽·模拟预测）若定义在上的函数，满足，且，则（    ） A．0 B．-1 C．2 D．1 2．（2024·安徽合肥·三模）已知定义在上的偶函数满足且，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·安徽·二模）已知函数满足，当时，，则（    ） A．为奇函数 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（2024·安徽芜湖·二模）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则=（    ） A．4036 B．4040 C．4044 D．4048 5．（2024·安徽·模拟预测）已知函数与及其导函数和的定义域都为，且为奇函数，则下列等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·安徽·模拟预测）若定义在上的函数满足，且，则下列结论错误的是（    ） A． B．的图象关于直线对称 C． D．是奇函数 7．（2024·安徽·模拟预测）已知函数对任意恒有，且当时，．若存在，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． （多选）8．（2024·安徽·三模）已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则（    ） A．的图象关于点对称 B． C． D．若，则 （多选）9．（2024·安徽池州·二模）已知函数的定义域为是奇函数，且，恒有，当时（其中），.若，则下列说法正确的是（    ） A．图象关于点对称 B．图象关于点对称 C． D． （多选）10．（2024·安徽安庆·二模）已知定义在R上的函数，满足对任意的实数x，y，均有，且当时，，则（    ） A． B． C．函数为减函数 D．函数的图象关于点对称 （多选）11．（2024·安徽·三模）已知函数定义域为且不恒为零，若函数的图象关于直线对称，的图象关于点对称，则（    ） A． B． C．是图象的一条对称轴 D．是图象的一个对称中心 （多选）12．（2024·安徽·模拟预测）已知定义在上的函数满足：对任意x，，恒成立，且，则（    ） A．函数的图象过点 B．函数的图象关于原点对称 C．的图象关于点对称 D． （多选）13．（2024·安徽·模拟预测）已知函数的定义域为，且的图象关于点对称，，则下列结论正确的是（    ） A．是偶函数 B．的图象关于直线对称 C．的最小正周期为4 D．若，则 题型五 根据函数性质比大小 1．（2024·安徽·三模）若，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽阜阳·模拟预测）记，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·安徽阜阳·一模）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·安徽·模拟预测）已知函数满足，且在区间上单调递减.设，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·安徽·模拟预测）已知，，，则实数a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·安徽·模拟预测）已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·安徽·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． （多选）8．（2024·安徽·模拟预测）已知，且，则（    ） A． B． C． D．若，则 （多选）9．（2024·安徽·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 函数的性质与综合应用 题型一 函数图象的判断 1．（2024·安徽合肥·三模）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数奇偶性、在上的单调性、函数值的正负情况依次判断和排除ABC，即可得解. 【详解】由题定义域为关于原点对称，且， 故是奇函数，故A错； 当时，， 又是增函数，在上是增函数， 故在上是增函数，故BC错； 故选：D 2．（2024·安徽·模拟预测）如图，直线在初始位置与等边的底边重合，之后开始在平面上按逆时针方向绕点匀速转动（转动角度不超过），它扫过的三角形内阴影部分的面积是时间的函数．这个函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，连接，设等边的边长为，求得，令，其中，结合导数，即可求解. 【详解】如图所示，取的中点，连接，因为为等边三角形，可得， 设等边的边长为，且，其中， 可得， 又由的面积为，可得， 且， 则的面积为， 令，其中， 可得，所以为单调递增函数， 又由余弦函数的性质得，当时，函数取得最小值， 所以阴影部分的面积一直在增加，但是增加速度先快后慢再快， 结合选项，可得选项C符合题意. 故选：C 3．（2024·安徽芜湖·二模）我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图象特征．则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用排除法，根据函数奇偶性和函数值的符号性分析判断. 【详解】由题意可知：的定义域为，关于原点对称， 且，可知为奇函数，排除AB， 且，排除D. 故选：C 4．（2024·安徽马鞍山·三模）已知函数的大致图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用排除法，取特值，求即可判断结果. 【详解】对于选项A：因为，与图象不符，故A错误； 对于选项B：因为，与图象不符，故B错误； 对于选项C：因为，与图象不符，故C错误； 故选：D 5．（2024·安徽·模拟预测）函数的大致图象是（    ） A．   B．   C．     D．     【答案】A 【分析】根据函数解析式，求函数定义域，奇偶性，特殊值利用排除法逐一判断各个选项. 【详解】由题意得，即，得，且， 所以的定义域为； 又，所以为奇函数， 其图象关于原点对称，排除B，C； 又，所以排除D． 故选：A 6．（2024·安徽·模拟预测）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求的定义域，判断奇偶性，再计算的值，利用排除法即可选出正确的选项． 【详解】解：由题可知，的定义域为， ， 是偶函数，排除A，B， 又，排除D， 故选：C 题型二 分段函数的应用 1．（2024·安徽·模拟预测）“肝胆两相照，然诺安能忘．”（《承左虞燕京惠诗却寄却寄》，明•朱察卿）若两点关于点成中心对称，则称为一对“然诺点”，同时把和视为同一对“然诺点”．已知的图象上有两对“然诺点”，则等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】当时，，其关于点对称的函数为，问题转化为与在上有两个交点，联立方程得到，构造函数，利用函数图象即可求出结果. 【详解】当x＞1时，关于点对称的函数为， 由题知与在上有两个交点， 由，消得到， 又，得到， 令， 则和在上有两个交点， 在同一坐标系中，作出和的图象，如图所示， 因为的图象可由上下平移得到， 由图知，得到， 又， 所以． 故选：C 【点睛】思路点睛：本题可从以下方面解题 （1）先求函数关于点对称的函数； （2）将问题转化为函数与在上有两个交点； （3）最后利用构造函数，通过图象即可求解. 2．（2024·安徽合肥·三模）设，函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，可确定当时，函数的零点个数，继而作出的大致图像，考虑时的图象情况，分类讨论，将零点问题转化为函数图象的交点问题，数形结合，即可解决. 【详解】设，当时，，此时， 由得，即，解得或， 所以在上有2个零点； 时，若，对称轴为，函数的大致图象如图： 此时，即，则， 所以无解，则无零点，无零点， 综上，此时只有两个零点，不符合题意， 若，此时的大致图象如下： 令，解得（舍去）， 显然在上存在唯一负解， 所以要使恰有5个零点， 需，即，解得， 所以． 故选：D 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法: 直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法: 先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决; （3）数形结合法: 先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 3．（2024·安徽·三模）已知函数的图象关于直线对称，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】利用的图象关于直线对称，可知向左平移个单位为偶函数，再利用恒成立,知对应待定系数相等，即可解决问题. 【详解】依题意，为偶函数， 当时，， 由可知， 解得，所以. 故选：B 4．（2024·安徽合肥·二模）已知函数，若关于的方程至少有两个不同的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出函数的图象，由题意可得的图象与至少有两个不同的交点，从而得，结合图象可得，求解即可． 【详解】因为， 作出函数的图象，如图所示： 由此可知函数在和上单调递减，在上单调递增， 且，， 又因为关于的方程至少有两个不同的实数根， 所以至少有两个不同的实数根， 即的图象与至少有两个不同的交点，所以， 又因为当时，，令，可得； 当时，，令，解得， 又因为，所以，解得． 故选：D （多选）5．（2024·安徽·三模）已知函数其中，且，则（    ） A． B．函数有2个零点 C． D． 【答案】ACD 【分析】先作出函数图象，结合图象逐一判定即可. 【详解】解：，故A正确； 作出函数的图象如图所示， 观察可知，，而， 故，有3个交点， 即函数有3个零点，故B错误； 由对称性，，而， 故，故C正确； b，c是方程的根，故， 令，则， 故，而，均为正数且在上单调递增， 故，故D正确， 故选：ACD. 6．（2024·安徽·模拟预测）已知函数则函数有 个零点． 【答案】7 【分析】设，则等价于，作出函数的图像，由图可知有3个根，再根据结合函数的图象得出交点的个数，即得到结果. 【详解】令，则，设，则等价于， 则函数的零点个数问题即为解的个数问题． 二次函数，其图像开口向上，过点，对称轴为，最小值为， 由题意得作出函数的图像如图所示． 由图可知有3个根，当时，，即； 当时，，即. 则对于，当时，; 当时，，此时共有3个解． 对于，此时有1个解，，即有2个解． 对于，此时有1个解，，即无解． 因此，此时函数有7个零点． 故答案为：7. 7．（2024·安徽·模拟预测）已知函数，若关于的方程有3个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用分段函数，指数函数，对数函数的性质作出函数的图象，结合图象，从而确定的取值范围. 【详解】由的解析式作出的大致图像．如图所示：    方程有3个不等实数根等价于的图象与直线有3个不同的公共点，则． 故答案为：. 8．（2024·安徽·模拟预测）已知函数，若方程有7个不同的实数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先作出函数图象，解一元二次方程，结合函数图象含参讨论即可. 【详解】作出函数的图象，如图所示． 由，得， 解得或． 由图象易知，直线与的图象有3个交点， 所以方程有3个不同的实数根， 因为方程有7个不同的实数根， 所以直线与的图象有4个交点， 故，解得，故实数的取值范围是． 故答案为：. 题型三 指对函数模型的实际应用 1．（2024·安徽·模拟预测）某农业研究所对玉米幼穗的叶龄指数与可见叶片数进行分析研究，其关系可以用函数（为常数）表示．若玉米幼穗在伸长期可见叶片为7片，叶龄指数为30，则当玉米幼穗在四分体形成期叶龄指数为82.5时，可见叶片数约为（    ）（参考数据：，） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【分析】利用函数，由题意已知，求出待定系数，再用，去求解，当然这里面有取自然对数及取值计算. 【详解】由题意知，，则等式两边同时取自然对数得，， ．，，，， 故选：C 2．（2024·安徽·模拟预测）2024年中国载人航天工程将统筹推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务，其中，中国空间站应用与发展阶段各项工作正按计划稳步推进.若空间站运行周期的平方与其圆轨道半径的立方成正比，当空间站运行周期增加1倍时，其圆轨道半径增加的倍数大约是（参考数据：，）（    ） A．1.587 B．1.442 C．0.587 D．0.442（    ） 【答案】C 【分析】利用指数和对数的运算求解即可. 【详解】空间站运行周期的平方与其圆轨道半径的立方成正比， 设， 当空间站运行周期增加1倍时，设此时半径为， 则， 两式相比得：，即， 故， 故圆轨道半径增加的倍数大约是. 故选：C 3．（2024·安徽·模拟预测）小微企业是推进创业富民、恢复市场活力、引领科技创新的主力军，一直以来，融资难、融资贵制约着小微企业的发展活力.某银行根据调查的数据，建立了小微企业实际还款比例与小微企业的年收入（单位：万元）的关系为.已知小微企业的年收入为80万元时，其实际还款比例为，若银行希望实际还款比例为，则小微企业的年收入约为（参考数据：，1）（   ） A．46.49万元 B．53.56万元 C．64.43万元 D．71.12万元 【答案】A 【分析】先根据题中数据代入计算函数中参数的值，然后计算还款比例为时的值即可. 【详解】由题意知，化简得， 故，得. 则当时，，化简得， 两边同时取对数，得，得， 故当实际还款比例为时，小微企业的年收入约为46.49万元. 故选：A 4．（2024·安徽·模拟预测）在一个空房间中大声讲话会产生回音，这个现象叫做“混响”．用声强来度量声音的强弱，假设讲话瞬间发出声音的声强为，则经过秒后这段声音的声强变为，其中是一个常数．把混响时间定义为声音的声强衰减到原来的所需的时间，则约为（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知公式及对数运算可得结果. 【详解】由题意，，即，等号两边同时取自然对数得 ，即，所以． 故选：C 5．（2024·安徽·模拟预测）青少年视力问题是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足．已知小明和小李视力的五分记录法的数据分别为4.5和4.9，记小明和小李视力的小数记录法的数据分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到方程组，求出，根据得到. 【详解】依题意，，两式相减可得，， 故，而，故. 故选：C 6．（2024·安徽·模拟预测）遗忘曲线（又称作“艾宾浩斯记忆曲线”）由德国心理学家艾·宾浩斯（H. Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．人体大脑对新事物遗忘的循序渐进的直观描述，人们可以从遗忘曲线中掌握遗忘规律并加以利用，从而提升自我记忆能力．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率与初次记忆经过的时间（小时）的大致关系：若陈同学需要在明天15时考语文考试时拥有复习背诵记忆的50%，则他复习背诵时间需大约在（    ） A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00 【答案】A 【分析】利用函数模型求出需要记忆的时间，即可推断出考前复习背诵的时间在几点开始. 【详解】令，，， ∵， ∴他在考试前半小时复习即可， ∴他复习背诵时间需大约在14：30， 故选：A 7．（2024·安徽·模拟预测）药物的半衰期指的是血液中药物浓度降低一半所需要的时间，在特定剂量范围内，药物的半衰期，其中是药物的消除速度常数，不同药物的消除速度常数一般不同，若内药物在血液中浓度由降低到，则该药物的消除速度常数．已知某药物半衰期为，首次服用后血药浓度为，当血药浓度衰减到时需要再次给药，则第二次给药与首次给药时间间隔约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意结合对数运算即可得. 【详解】因为，所以， 由题意，得， 所以． 故选：B 8．（2024·安徽·模拟预测）北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统．已知卫星运行轨道近似为以地球为圆心的圆形，运行周期与轨道半径之间关系为（K为常数）．已知甲、乙两颗卫星的运行轨道所在平面互相垂直，甲的周期是乙的8倍，且甲的运行轨道半径为，分别是甲、乙两颗卫星的运行轨道上的动点，则之间距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题设条件得到，再根据图形，利用，当且仅当三点共线时取等号即可求出结果. 【详解】如图，设卫星乙的运行轨道半径为，因为，且，所以， 设地球的球心为，则，当且仅当与共线且位于两侧时取得等号， 故选：B 9．（2024·安徽·模拟预测）放射性物质的半衰期的定义为：每经过时间，该物质的质量会衰减成原来的一半．由此可知，，其中为初始时物质的质量，为经过的时间，为半衰期，为经过时间后物质的质量．若某铅制容器中有，两种放射性物质，半衰期分别为，，开始时这两种物质的质量相等，100天后测量发现物质的质量为物质的质量的四分之一，则（    ） A． B． C．50 D．25 【答案】A 【分析】设，两种物质的初始质量均为1，求出100天后，两种物质的质量，再根据给定的关系列式化简即得. 【详解】设开始时，两种物质的质量均为1，天后，两种物质的质量分别为，， 则，，于是100天后有，， 由，得，即，于是， 所以. 故选：A （多选）10．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）科学研究表明，物体在空气中冷却的温度变化是有规律的．如果物体的初始温度为，空气温度保持不变，则t分钟后物体的温度（单位：）满足：．若空气温度为，该物体温度从（）下降到，大约所需的时间为，若该物体温度从，下降到，大约所需的时间分别为，则（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】当时，可求得，继而求得，逐项判定即可. 【详解】有题意可知，， 当，则， 即，， 则， 其是关于的单调递增函数， 当时，， 当时，， 则，故B正确； 当时，， 故A错误； 当时，， 此时满足， ，故C正确，D错误， 故选：BC. （多选）11．（2024·安徽·模拟预测）放射性物质在衰变中产生辐射污染逐步引起了人们的关注，已知放射性物质数量随时间的衰变公式，表示物质的初始数量，是一个具有时间量纲的数，研究放射性物质常用到半衰期，半衰期指的是放射性物质数量从初始数量到衰变成一半所需的时间，已知，右表给出了铀的三种同位素τ的取值：若铀234、铀235和铀238的半衰期分别为，，，则（    ） 物质 τ的量纲单位 τ的值 铀234 万年 35.58 铀235 亿年 10.2 铀238 亿年 64.75 A． B．与成正比例关系 C． D． 【答案】BD 【分析】A选项，根据半衰期的定义得到，从而得到方程，求出；B选项，由A选项得到结论；C选项，由B选项可得C错误；D选项，计算出，作商得到D正确. 【详解】A选项，由题意得， 又，故，两边取对数得，， ，A错误； B选项，由A可知，与成正比例关系，B正确； C选项，由B可知，与成正比例关系，由于铀234的值小于铀235的值， 故，C错误； D选项，， ， 故，D正确. 故选：BD. （多选）12．（2024·安徽·模拟预测）某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常，排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为，继续排气4分钟后又测得浓度为．由检验知该地下车库一氧化碳浓度（单位：）与排气时间（单位：分钟）之间满足函数关系（为常数，是自然对数的底数）．若空气中一氧化碳浓度不高于，人就可以安全进入车库了，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．排气12分钟后浓度为 D．排气32分钟后，人可以安全进入车库 【答案】ACD 【分析】由题意列式，求出，即可判断A，B；可得函数解析式，将代入，即可判断C；结合解析式列出不等关系，求出人可以安全进入车库的排气时间，判断D. 【详解】设，代入，得, 解得，A正确，B错误． 此时，所以，C正确． 当时，即，得，所以， 所以排气32分钟后，人可以安全进入车库，D正确． 故选：ACD． 题型四 抽象函数综合 1．（2024·安徽·模拟预测）若定义在上的函数，满足，且，则（    ） A．0 B．-1 C．2 D．1 【答案】D 【分析】利用赋值法，先后求出，，再令，得到，即可求解. 【详解】令，则有， 又，∴.令，. 则有，∴. 令，则有. ∵，∴，∴， ∴ . 故选：D 2．（2024·安徽合肥·三模）已知定义在上的偶函数满足且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的周期性与对称性可得解. 【详解】由， 令，得， 又令得， 再令，， 又，所以， 又，， 所以，为的一个周期，， 即， 故选：A 3．（2024·安徽·二模）已知函数满足，当时，，则（    ） A．为奇函数 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据赋值法可得，，进而可得，即可判断A，根据函数单调性的定义可判断在上为减函数，即可求解B，代值逐步求解即可判断CD. 【详解】令，，，所以； 令，，则． 令，得，故为偶函数．A错误， 任取，，，则， 则，故在上为减函数． 由已知，可得，故，解得，且．B错误， 若，则，C正确， 若，则，， ，所以，故D错误， 故选：C 4．（2024·安徽芜湖·二模）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则=（    ） A．4036 B．4040 C．4044 D．4048 【答案】D 【分析】根据题中为奇函数，为偶函数，从而可得出为周期为4的函数，从而可求解. 【详解】由题意得为奇函数，所以，即，所以函数关于点中心对称， 由为偶函数，所以可得为偶函数，则，所以函数关于直线对称， 所以，从而得，所以函数为周期为4的函数， 因为，所以，则， 因为关于直线对称，所以， 又因为关于点对称，所以， 又因为，又因为，所以， 所以，故D正确. 故选：D 5．（2024·安徽·模拟预测）已知函数与及其导函数和的定义域都为，且为奇函数，则下列等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先对两边求导，得，与联立可得：，这样就知道图象关于对称，再由为奇函数，又知道图象关于点对称，这样由双对称性质可知是周期函数且周期为4，然后即可用赋值法得到结果. 【详解】对两边求导，得， 又由，得， 所以，可得． 由为奇函数，得，则， 令得：， 则由上面两式可得：，即是以4为周期的周期函数， 则． 故选：C 6．（2024·安徽·模拟预测）若定义在上的函数满足，且，则下列结论错误的是（    ） A． B．的图象关于直线对称 C． D．是奇函数 【答案】C 【分析】本题考查抽象函数的图象与性质内容，根据已有条件和，以及x的任意性结合函数奇偶性和周期性概念、对称性的判定知识去进行转化推理即可. 【详解】由，所以 又，所以，且， 所以，故A正确 由A可得，，所以的图象关于直线对称，故B正确 由A可得，是周期为8的函数，， 又由，得，所以，故C错误 对于D，由的图象关于点对称， 所以的图象关于原点对称，故D正确， 故选：C 7．（2024·安徽·模拟预测）已知函数对任意恒有，且当时，．若存在，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法一：令，求出，令，可证得函数是奇函数，再由单调性的定义可得函数在上单调递增，进而可求出在区间上的最大值，则，解不等式即可求出实数的取值范围；法二：令可得函数的单调性，进而可求出在区间上的最大值，则，解不等式即可求出实数的取值范围. 【详解】法一：令，得，所以； 令，则有，即，则， 故是定义在上的奇函数． 设，则，又当时，， 则有，即， 则，故在上单调递增． 所以当时，． 又因为存在，使得成立， 所以，解得．故选D． 法二：令，则．因为， 当时，，所以，即函数在上单调递增． 因为存在，使得成立， 所以为在区间上的最大值． 因为在上单调递增，，所以， 所以．解得，即实数的取值范围为． 故选：D 【点睛】关键点睛：本题的关键点在于由赋值法证得函数在上单调递增，进而可求出在区间上的最大值，则，解不等式即可求出实数的取值范围. （多选）8．（2024·安徽·三模）已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则（    ） A．的图象关于点对称 B． C． D．若，则 【答案】ABD 【分析】对A：由是奇函数可得，即可得；对B：由，借助赋值法计算即可得解；对C：结合所得可得函数的周期性，结合周期性与赋值法计算即可得；对D：结合函数周期性，借助赋值法算出一个周期内的值即可得. 【详解】对A：由题意知，，则， 所以图象的对称中心为，故A正确； 对B：， 两式相减得，所以，故B正确； 对C：由B选项可得，的周期为4，又， 故，令得，， 得0，故C错误； 对D：因为，又，故中， 令得，，由， 得，又的周期为4， 则 ，所以，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论： （1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立； （2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为. （多选）9．（2024·安徽池州·二模）已知函数的定义域为是奇函数，且，恒有，当时（其中），.若，则下列说法正确的是（    ） A．图象关于点对称 B．图象关于点对称 C． D． 【答案】ABC 【分析】根据是奇函数判断A项正确；由代入可得，又由推导出图象关于直线对称，从而判断B项；利用题设条件得到，分类讨论的取值情况求出的值，从而判断C项；利用选项C的结论，求得，否定D项. 【详解】对于A项，由是奇函数得， 所以函数关于点对称，故A项正确； 对于B项，由函数的定义域为且关于点对称，则， 所以，因，故解得. 由得点在函数图象上， 又点在函数图象上， 所以函数图象关于直线对称. 又由关于点对称，可得关于对称，故B项正确； 对于C项，由函数关于点对称得， 由函数关于点对称得， 故由可得. ①当时，，所以，， 因是增函数，又，故得； ②当时，由函数关于直线对称可知函数在内单减， 所以，又，所以， 这与题设矛盾，舍去.所以，又，即，故C项正确； 对于D项，由上分析，当时，， 显然，由函数关于对称，可知， 由关于点对称得，故D项错误. 故选：ABC. 【点睛】思路点睛：本题解题思路在于利用函数奇偶性及相关条件推断出函数具备的轴对称和中心对称的特征，再利用对称性推断结论，得到相关点的函数值，确定参数值，得到函数的解析式，再利用函数对称性求出相应函数值. （多选）10．（2024·安徽安庆·二模）已知定义在R上的函数，满足对任意的实数x，y，均有，且当时，，则（    ） A． B． C．函数为减函数 D．函数的图象关于点对称 【答案】ACD 【分析】对A：借助赋值法令计算即可得；对B：借助赋值法令，计算即可得；对C：结合函数单调性的定义及赋值法令计算即可得；对D：结合函数对称性及赋值法令计算即可得. 【详解】对A：令，则有，故，故A正确； 对B：令，，则有，故，故B错误； 对C：令，则有，其中，， 令，，即有对、，当时，恒成立， 即函数为减函数，故C正确； 对D：令，则有，又， 故，故函数的图象关于点对称，故D正确. 故选：ACD. （多选）11．（2024·安徽·三模）已知函数定义域为且不恒为零，若函数的图象关于直线对称，的图象关于点对称，则（    ） A． B． C．是图象的一条对称轴 D．是图象的一个对称中心 【答案】BCD 【分析】由条件证明直线为函数的对称轴，点为函数的对称中心，结合函数的周期定义证明为周期函数，由此判断A，再证明，结合周期性判断B，证明为函数的对称轴，结合周期性判断C，证明原点为函数的对称中心，结合周期性判断D. 【详解】因为的图象关于直线对称， 所以，即， 所以， 所以的图象关于直线对称. 因为的图象关于点对称， 所以，即， 所以的图象关于点对称. 所以. 令，得. 由，可得， 故即， 所以， 所以函数的周期， 所以，又不恒为零， 所以错误，A错误， ，B正确； 因为的图象关于直线对称，的图象关于点对称， 所以， 所以为函数的对称轴， 结合周期性可得，，为函数的图象的对称轴， 所以是函数图象的一条对称轴，C正确； 因为，， 所以， 所以原点为函数的一个对称中心， 结合函数周期性可得点，，为函数图象的对称中心， 所以点是函数图象的一个对称中心，D正确. 故选：BCD. （多选）12．（2024·安徽·模拟预测）已知定义在上的函数满足：对任意x，，恒成立，且，则（    ） A．函数的图象过点 B．函数的图象关于原点对称 C．的图象关于点对称 D． 【答案】ACD 【分析】根据抽象函数的关系，令可得，从而可判断A；用代替y，根据可得， 从而可判断B；用代替x，代替，y，得，由，，故，用2x代替x，0代替y，代替x，0代替y，得表达式结合为偶函数，即可判断C，D. 【详解】对于A，令，则，因为，所以，故A正确； 对于B，用代替y，得， 又，整理得，所以为偶函数，且，故B不正确； 对于C，用代替x，代替y，得． 又，所以，即， 进一步可得． 又，，故， 所以，由此规律可得 ． 用2x代替x，0代替y，得①． 代替x，0代替y，得②， 由①+②得． 又为偶函数，所以， 所以函数的图象关于点对称，故C正确； 对于D，由对C选项的分析知，，故D正确， 故选：ACD． 【点睛】关键点点睛：本题涉及由抽象函数关系求函数值，函数的奇偶性，对称性等，根据给定的函数关系，在对应区间上赋值，再不断变换求解即可. （多选）13．（2024·安徽·模拟预测）已知函数的定义域为，且的图象关于点对称，，则下列结论正确的是（    ） A．是偶函数 B．的图象关于直线对称 C．的最小正周期为4 D．若，则 【答案】CD 【分析】根据题意，结合函数的对称性，周期性，以及函数的奇偶性，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由的图象关于点对称，所以的图象关于点对称， 所以的图象关于点对称，则是奇函数，且，所以A不正确； 对于B中，因为是奇函数，所以， 所以的图象关于直线对称，所以B不正确； 对于C中，因为，所以， 所以，所以的最小正周期为4，所以C正确． 对于D中，因为， 所以，所以， 所以，所以D正确． 故选：CD． 题型五 根据函数性质比大小 1．（2024·安徽·三模）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的性质有，可比较，然后再与2比较大小，可得结果. 【详解】依题意，，故；而， 故， 故选：D 2．（2024·安徽阜阳·模拟预测）记，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数和对数函数的单调性即可得出答案. 【详解】因为，， ， 故选：C 3．（2024·安徽阜阳·一模）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由对数的运算化简，再由对数函数的单调性即可得到结果. 【详解】， ， ， . 故选：D 4．（2024·安徽·模拟预测）已知函数满足，且在区间上单调递减.设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，得到对称轴为，然后求解，进而利用在上单调递减，比较大小，判断选项. 【详解】由，得到对称轴为，则， 而，又在上单调递减， 则，得. 故选：D 5．（2024·安徽·模拟预测）已知，，，则实数a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数单调性可得、对数函数的单调性可得，，从而可得结果. 【详解】由在R上单调递增，可得，又， 则． 由在上单调递增，可得． 由在上单调递增，可得． 所以， 故选：A 6．（2024·安徽·模拟预测）已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意利用指、对数函数单调性以及指、对数运算分析判断. 【详解】因为，，所以； 又因为，则， 即，所以，即； 所以． 故选：A 7．（2024·安徽·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数、对数函数的性质及对数的运算性质判断即可. 【详解】因为，，又， 所以，又， 所以. 故选：A （多选）8．（2024·安徽·模拟预测）已知，且，则（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】ACD 【分析】设，由对数运算及单调性判断ACD，特值法判断B. 【详解】因为，设 对A，知，易知.选项A正确. 对C，因为，，，所以，，， 于是，选项C正确. 对D，若，则，即，则. 由知.选项D正确. 对B，取，则，由知， 知，所以，即， ，此时，选项B错误. 故选：ACD. （多选）9．（2024·安徽·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】本题通过设元，将对数转化为指数，进而化成同底的对数，然后又将对数相等转化为指数相等，再利用指数函数的单调性，得到方程有两个相等的根，再根据零点存在定理，得出方程根的取值范围，进而得到的取值范围 【详解】由已知，得． 令，则，所以， 所以， 所以． 等式两边同时除以，得，即． 同理，令，有． 所以是方程的两个根． 设，则易知在区间上单调递减， 所以． 又因为， 所以．故，且，所以． 又，所以． 故选：BC． 【点睛】关键点点睛：本题考查了指数与对数的运算、函数的单调性，考查了转化与化归的思想，其关键在于指数与对数的相互转化，先将对数转化为指数，再换成同底对数，又利用对数相等转化为指数相等，从而可以利用指数函数的单调性求根，进而得到范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$