专题02复数、等式与不等式性质-备战2025届新高考数学模拟题分类汇编（安徽专用）

专题02 复数、等式与不等式性质 题型一 复数的运算 1．（2024·安徽淮北·一模）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023·安徽芜湖·模拟预测）已知（为虚数单位），则的虚部是（    ） A． B． C．1 D． 3．（2024·安徽合肥·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·安徽安庆·二模）已知复数，是z的共轭复数，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 5．（2024·安徽池州·二模）若复数，则的实部为（    ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 6．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·安徽·二模）已知复数，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 8．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 9．（2024·安徽芜湖·三模）已知复数满足，且是复数的共轭复数，则的值是（    ） A． B．3 C．5 D．9 10．（2024·安徽阜阳·模拟预测）已知复数满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 12．（2024·安徽黄山·二模）已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 13．（2024·安徽合肥·二模）已知，则（    ） A． B． C．1 D．2 14．（2024·安徽安庆·三模）复数满足，则（    ） A． B． C． D． 15．（2024·安徽·三模）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 16．（2024·安徽芜湖·二模）已知复数且有实数根b，则=（    ） A． B．12 C． D．20 17．（2024·安徽淮北·二模）若复数（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 18．（2024·安徽·模拟预测）已知复数，则在复平面内对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． （多选）19．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知复数（为实数），若，则的值可能为（    ） A． B． C．1 D．3 （多选）20．（2024·全国·模拟预测）若，则（    ） A． B．   C． D． （多选）21．（2024·安徽·三模）若复数，是方程的两根，则（    ） A．，实部不同 B．，虚部不同 C． D．在复平面内所对应的点位于第三象限 （多选）22．（2024·安徽合肥·模拟预测）下列说法正确的是（    ） A．复数（为虚数单位）的虚部为 B．已知复数，若，则 C．若，则的最小值为1 D．已知复数，复数的虚部不为0，则 （多选）23．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知复数的共轭复数为，下列说法正确的是（     ） A．可能为虚数 B． 为实数 C． D．若为一元二次方程的一个复数根，则 （多选）24．（2024·安徽合肥·三模）若是复数，则下列命题正确的是（    ） A． B．若，则是实数 C．若，则 D．方程在复数集中有6个解 （多选）25．（2024·安徽·一模）已知为虚数单位，复数，下列说法正确的是（    ） A． B．复数在复平面内对应的点位于第四象限 C． D．为纯虚数 26．（2024·安徽池州·模拟预测）若复数，则 ． 27．（2024·安徽·三模）若复数z满足，则 ． 28．（2024·安徽黄山·一模）若复数为纯虚数，则实数的值为 ． 29．（2024·安徽马鞍山·三模）已知复数满足，若在复平面内对应的点不在第一象限，则 ． 30．（2024·安徽·模拟预测）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，则实数的取值范围是 . 题型二 不等式性质 1．（2024·安徽淮北·二模）已知，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（（2024·安徽·一模））下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（2024·安徽·模拟预测）已知，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（（2024·安徽·模拟预测））已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·安徽·模拟预测）若，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（（2024·安徽·模拟预测））已知实数，则下列不等式中一定正确的有（    ） A． B． C． D． （多选）7．（2024·安徽淮北·一模）已知，，，下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 （多选）8．（2024·安徽·模拟预测）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若则 C．“”是“”的必要条件 D．若，则 （多选）9．（2024·安徽·二模）设a，b，c，d为实数，且，则下列不等式正确的有（   ） A． B． C． D． 题型三 基本不等式的应用 1．（2024·安徽·模拟预测）已知，，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2024·安徽·三模）已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 3．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知，则下列选项中，能使取得最小值18的为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·安徽芜湖·模拟预测）若，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 5．（2024·安徽·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D． 6．（2024·安徽合肥·三模）设函数，正实数满足，若，则实数的最大值为（    ） A． B．4 C． D． 7．（2024·安徽·模拟预测）已知，，且，则的最小值是 ． 8．（2024·安徽·模拟预测）已知，，且，则的最小值为 ． 9．（2024·安徽芜湖·三模）已知实数，且满足，当取得最大值时， ． 10．（2024·安徽·模拟预测）记表示这3个数中最大的数．已知都是正实数，，则的最小值为 ． 11．（2024·安徽·模拟预测）设为实数中最大的数．若，，则的最小值为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 复数、等式与不等式性质 题型一 复数的运算 1．（2024·安徽淮北·一模）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数除法运算即可化简，由共轭的定义即可求解. 【详解】由得， 故， 故选：A 2．（2023·安徽芜湖·模拟预测）已知（为虚数单位），则的虚部是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】利用复数的除法法则及共轭复数的定义，结合复数的定义即可求解. 【详解】由，得， 所以， 所以的虚部是. 故选：D 3．（2024·安徽合肥·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，则，根据题意，结合复数的乘法运算和相等复数建立方程组，解之即可求解. 【详解】设，则， 因为，所以， 即， 所以，解得， 所以． 故选：D 4．（2024·安徽安庆·二模）已知复数，是z的共轭复数，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】首先分析题意，对给定复数化简，再利用共轭复数知识求解即可. 【详解】， 而， 可得. 故选：B 5．（2024·安徽池州·二模）若复数，则的实部为（    ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【答案】C 【分析】将复数的分子分母同乘以分母的共轭复数，化简整理即得. 【详解】由，可得的实部为2. 故选：C 6．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的四则运算及模长公式即可求得. 【详解】因为， 所以. 故选：C 7．（2024·安徽·二模）已知复数，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的除法、乘法运算可得，结合共轭复数的概念即可求解. 【详解】， 故. 故选：D 8．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题设求出，从而求出的值. 【详解】由题知，， 所以. 故选：A 9．（2024·安徽芜湖·三模）已知复数满足，且是复数的共轭复数，则的值是（    ） A． B．3 C．5 D．9 【答案】C 【分析】先化简复数，再求出，最后得解. 【详解】， ， . 故选：C 10．（2024·安徽阜阳·模拟预测）已知复数满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于D，由即可判断；对于ABC，只需求出即可逐一判断. 【详解】对于D，因为，所以，从而，故D正确， 对于A，或，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误. 故选：D 11．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由共轭复数的模长公式结合复数相等的条件计算即可. 【详解】设， 则由已知得， 由实部、虚部分别相等得，解得，． 所以. 故选：D 12．（2024·安徽黄山·二模）已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】利用复数乘法运算求出复数z，再结合复数的意义求解作答. 【详解】，复数在复平面内对应的点为， 所以数在复平面内对应的点位于第三象限， 故选：C 13．（2024·安徽合肥·二模）已知，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】由复数的运算和模长计算求出即可. 【详解】， 所以， 所以， 故选：B 14．（2024·安徽安庆·三模）复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，用复数的除法运算求，进而求即可. 【详解】由条件知， 所以. 故选：D 15．（2024·安徽·三模）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得z，然后求得|z|. 【详解】依题意，，故， 故. 故选：D 16．（2024·安徽芜湖·二模）已知复数且有实数根b，则=（    ） A． B．12 C． D．20 【答案】D 【分析】根据题意可求得，从而得，求解得，从而可求解. 【详解】由题意知为的实数根， 则，即， 则，解得，所以， 所以，故D正确. 故选：D 17．（2024·安徽淮北·二模）若复数（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据三角函数化简复数，然后再进行平方运算. 【详解】因为， 所以. 故选：A 18．（2024·安徽·模拟预测）已知复数，则在复平面内对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用复数的运算法则化简即可求得. 【详解】由复数，则，， 故复数在复平面内的点的坐标为. 故选：B （多选）19．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知复数（为实数），若，则的值可能为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】BC 【分析】根据题意结合复数的模长公式运算求解即可. 【详解】由题意可知：，解得， 结合选项可知：BC正确；AD错误. 故选：BC （多选）20．（2024·全国·模拟预测）若，则（    ） A． B．   C． D． 【答案】BC 【分析】复数的几何意义得出复数z所对应的点的轨迹，由共轭复数的定义及复数的运算可判断各选项. 【详解】利用复数的几何意义知在复平面内，对应的点在对应线段的中垂线即y轴上， 所以不一定是实数，所以A错误； 因为与关于实轴对称，且在y轴上，所以B，C正确； 取，则，所以D错误． 故选：BC （多选）21．（2024·安徽·三模）若复数，是方程的两根，则（    ） A．，实部不同 B．，虚部不同 C． D．在复平面内所对应的点位于第三象限 【答案】BC 【分析】本题首先在复数集内解方程，求出，再根据复数的模及其几何意义、共轭复数、复数的代数表示及其几何意义、复数的除法运算，逐项判定，即可求出结果. 【详解】因为方程可化为，所以， 则，是共轭复数，实部相同，虚部互为相反数，所以A错误，B正确； 因为，所以C正确； 因为， 所以在复平面内所对应的点为， 位于第一象限，所以D错误. 故选：BC （多选）22．（2024·安徽合肥·模拟预测）下列说法正确的是（    ） A．复数（为虚数单位）的虚部为 B．已知复数，若，则 C．若，则的最小值为1 D．已知复数，复数的虚部不为0，则 【答案】ACD 【分析】由已知结合复数的四则运算及复数得几何意义检验各选项即可判断. 【详解】对于A，的虚部为，则A正确； 对于B，令，，满足，故B错误， 对于C，设，则，且，由，得，所以，故C正确； 对于D，，则D正确 故选：ACD （多选）23．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知复数的共轭复数为，下列说法正确的是（     ） A．可能为虚数 B． 为实数 C． D．若为一元二次方程的一个复数根，则 【答案】BD 【分析】设，，利用复数的乘法、平方、模长可判断、、，运用韦达定理判断. 【详解】设，则，， 因为，所以，即，故A错误； ，故B正确； ， ，当时，，故C错误； 若为一元二次方程的一个复数根， 则为一元二次方程的另一个复数根， 所以，， ，故D正确. 故选：BD （多选）24．（2024·安徽合肥·三模）若是复数，则下列命题正确的是（    ） A． B．若，则是实数 C．若，则 D．方程在复数集中有6个解 【答案】AD 【分析】根据复数运算对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】对于A，由复数共轭的性质知，设， 则， 所以，选项A正确； 对于B，当时满足题设等式，但不一定为实数，故B错误； 对于C：， 整理得，故， 整理得，与不等价，故C错误； 对于D，可化为， 即，所以， 当时，，解得； 当时，，解得或； 所以复数集中原方程有6个解，选项D正确； 故选：AD （多选）25．（2024·安徽·一模）已知为虚数单位，复数，下列说法正确的是（    ） A． B．复数在复平面内对应的点位于第四象限 C． D．为纯虚数 【答案】ABC 【分析】先利用复数的四则运算求出，求出其模后可判断A的正误，求出其对应的点后可判断B的正误，结合四则运算求出、可判断CD的正误. 【详解】， 故，故，故A正确， 而在复平面上对应的点为，它在第四象限，故B正确. ，故C正确. ，它不为纯虚数，故D错误， 故选：ABC 26．（2024·安徽池州·模拟预测）若复数，则 ． 【答案】/ 【分析】由复数的除法运算即可求解. 【详解】． 故答案为：. 27．（2024·安徽·三模）若复数z满足，则 ． 【答案】 【分析】借助复数四则运算与共轭复数定义计算即可得. 【详解】由，则，即， 故. 故答案为：. 28．（2024·安徽黄山·一模）若复数为纯虚数，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的概念可得出关于实数的等式与不等式，解之即可. 【详解】因为为纯虚数，则，解得. 故答案为：. 29．（2024·安徽马鞍山·三模）已知复数满足，若在复平面内对应的点不在第一象限，则 ． 【答案】 【分析】设，结合复数的运算以及共轭复数求，并结合复数的几何意义取舍. 【详解】设，则， 因为，则， 解得或， 又因为在复平面内对应的点不在第一象限，可知，可知， 所以. 故答案为：. 30．（2024·安徽·模拟预测）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由实部和虚部都小于零解不等式组求出即可. 【详解】由题意得，，解得， ∴实数的取值范围是. 故答案为：. 题型二 不等式性质 1．（2024·安徽淮北·二模）已知，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】举反例即可推出A,B,C错误，D利用反比例函数单调性和不等式可加性即可证得. 【详解】当时，，所以A错. 当时， ，所以B错. 当时，，所以C错. 若，则，则成立，所以D正确. 故选：D 2．（（2024·安徽·一模））下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】取，可判断A；作差法比较数的大小可判断B；由不等式性质可判断C；作差法比较数的大小可判断D. 【详解】对于A：当时，显然不成立，故A错误； 对于B：因为，所以，故B正确； 对于C：因为，所以，故C错误； 对于D：因为，所以，故D错误. 故选：B 3．（2024·安徽·模拟预测）已知，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用不等式的性质可判断A项正确，D项错误，通过举反例可说明B,C两项错误. 【详解】，即，故选项A正确； 当时，满足，但，此时，，故选项B，C错误； 当时，由可得，故选项D错误. 故选：A 4．（（2024·安徽·模拟预测））已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质逐项分析即得. 【详解】A：由，得，又，所以，A错误； B：由，，所以，B错误； C：由，则，又，所以，C正确； D：因为，又，所以，∴D错误. 故选：C 5．（2024·安徽·模拟预测）若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】举反例即可求解ABC，根据不等式的性质即可求解D. 【详解】由于，取，，，无法得到，，故AB错误， 取,则，无法得到，C错误， 由于，则，所以， 故选：D 6．（（2024·安徽·模拟预测））已知实数，则下列不等式中一定正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用特殊值判断A；根据不等式的基本性质得到，即可判断B；利用作差法比较出大小关系，即可判断C、D. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，因为，所以，又，故， 从而，故B错误； 对于C，， 因为，所以，故， 故，故C错误； 对于D， ， 因为，故， 所以，即，故D正确. 故选：D （多选）7．（2024·安徽淮北·一模）已知，，，下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】利用举反例和不等式得性质进行判断. 【详解】当为负数时A可能不成立，例如但是错误的. 因为根据不等式性质可得正确. 因为，所以所以即所以故C错误. 因为，所以， 所以正确. 故选：BD （多选）8．（2024·安徽·模拟预测）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若则 C．“”是“”的必要条件 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据不等式的性质逐项求解判断； 【详解】选项A：当时，不等式不成立，A错； 选项B ：两边分别同乘 则有，故有，选项B正确； 选项C: 当时， “”不成立， 然后，可以解得“”，故 “”是“”的必要条件，选项C正确； 选项D：则 则有，选项D正确； 故选：BCD （多选）9．（2024·安徽·二模）设a，b，c，d为实数，且，则下列不等式正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据不等式的相关性质可得A ,D 项正确；通过举反例可说明B ,C 项错误. 【详解】对于A，由和不等式性质可得，故A正确； 对于B，因，若取，，，， 则，，所以，故B错误； 对于C，因，若取，，，， 则，，所以，故C错误； 对于D，因为，则，又因则， 由不等式的同向皆正可乘性得，，故，故D正确． 故选：AD 题型三 基本不等式的应用 1．（2024·安徽·模拟预测）已知，，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解. 【详解】，， 当且仅当，即，时等号成立. 故选：B 2．（2024·安徽·三模）已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】由，可得，再利用基本不等式计算即可得. 【详解】， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D 3．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知，则下列选项中，能使取得最小值18的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据基本不等式求最值可判断出A、B两项的正误；利用二次函数的性质可判断出C项的正误；通过举反例可判断D项的正误. 【详解】对选项A：由可知，，当且仅当等号成立，最小值不是18， 故选项A不正确； 对选项B：若，两边除以得，， 则， 当且仅当时，即时等号成立， 故的最小值是18，故选项B正确； 对选项C：由，得, 故， 由二次函数的性质，可知：当时，的最大值为18， 故选项C不正确； 对选项D：，则当时， ， 故不能取得最小值18， 故选项D不正确. 故选：B 4．（2024·安徽芜湖·模拟预测）若，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】将和两边放，然后两边同时除以，凑出，再用基本不等式即可. 【详解】因为，，两边同时除以，得到， 当且仅当即取“=”. 则，当且仅当取“=”. 两边取自然对数，则，当且仅当取“=”. 故的最小值为. 故选：D 5．（2024·安徽·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D． 【答案】A 【分析】根据条件，将所求式子变形利用基本不等式求解. 【详解】，， ， 当且仅当，即，即时等号成立. 故选：A 6．（2024·安徽合肥·三模）设函数，正实数满足，若，则实数的最大值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得，从而得到，再令，最后利用基本不等式计算可得. 【详解】因为，所以，， 又， 所以，即， 因为，，所以，所以，所以， 又，即， 所以，所以， 令，则， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以，所以， 则实数的最大值为. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出，从而参变分离得到，再换元、利用基本不等式求出的最小值. 7．（2024·安徽·模拟预测）已知，，且，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】利用 “1”的巧用及基本不等式即可求解. 【详解】由，得， 因为，， 所以， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值是． 故答案为：． 8．（2024·安徽·模拟预测）已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】64 【分析】借助基本不等式计算即可得. 【详解】法一：因为，，所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立． 所以的最小值为64． 法二：因为，，， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值为64． 故答案为：64. 9．（2024·安徽芜湖·三模）已知实数，且满足，当取得最大值时， ． 【答案】7 【分析】求得，分类讨论可求得取得最大值为6，此时或，进而可求得. 【详解】由， 可得, 当时，若时，随的增大而增大，此时， 若时，， 当且仅当，解得时，的最大值为6，所以取得最大值为6， 同理可得当时，可得，取得最大值为6， 故. 故答案为：7. 【点睛】关键点点睛：本题求最值时关键是用不等式：. 10．（2024·安徽·模拟预测）记表示这3个数中最大的数．已知都是正实数，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题意可确定与的不等关系，结合基本不等式即可得最值. 【详解】因为，所以，， 又都是正实数，所以，所以，即， 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 故答案为：． 11．（2024·安徽·模拟预测）设为实数中最大的数．若，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】设，分，分类讨论代数式间的大小关系，利用基本不等式求得的最小值，即可求解． 【详解】设， 则，，， 因为 ，当时，只需考虑，， 又因为，， 两式相乘得，可得，当且仅当时取等号， 当时，，只需考虑，， 两式相乘得， 则，当且仅当时取等号， 因为，故，综上所述，的最小值为． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是对分和讨论，当时利用基本不等式得到，，再对两不等式相乘得，同理当时，利用该方法亦可得. 学科网（北京）股份有限公司 $$