精品解析：山东省青岛市胶州市实验初级中学2023-2024学年八年级下学期第二次月考数学试题

八年级下学期第二次学情检测（数学）试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 利用因式分解计算：的结果是（ ） A. 44 B. 800 C. 2200 D. 8800 4. 某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同．设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，下面所列方程正确是（　　） A. B. C. D. 5. 若分式的值为0，则x的值为（　　）． A. 0 B. 1 C. ﹣1 D. ±1 6. 若解分式方程 产生增根，则m=（　　） A. 1 B. 0 C. ﹣4 D. ﹣5 7. 若把分式的和同时扩大为原来的5倍，则分式的值（ ） A. 扩大为原来的5倍 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的10倍 D. 保持不变 8. 下列分式中，最简分式是（ ） A. B. C. D. 9. 在中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 下列分式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 式子与的公因式是 _____． 12. 若是一个完全平方式，则值为______． 13. 若关于x的方程有增根，则m的值为___________． 14. 已知甲厂烧100吨煤与乙厂烧120吨煤所用的天数相同，若甲乙厂每天一共烧煤33吨，则甲厂每天烧煤______吨． 15. 已知，，则______． 16. 分解因式：﹣=______． 17. 根据下面的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：_______． 18. 观察：，，，……，，请用你发现的规律计算求值：__． 三、计算：（每题5分，共30分） 19. （1）因式分解：； （2）因式分解：． （3）化简：； （4）化简：； （5）解分式方程：； （6）解分式方程：． 四、应用题（每题8分，共16分） 20. 为培养学生良好的个性品质，增强创新意识，掌握科学研究的方法，推进其对自然、社会、自我的整体认识与体验，我校甲、乙两个班的同学以班级为单位分别乘坐大巴车去离学校的综合实践教育基地参加活动，甲班的甲车出发分钟后，乙班的乙车才出发，为了比甲车早到分钟，乙车的平均速度是甲车的平均速度的倍，求乙车的平均速度． 21. 中建和陕建两个建筑公司计划修建一条长30千米的乡村振兴致富路．中建公司每天比陕建公司每天多修路0.5千米，陕建公司单独完成修路任务所需天数是中建公司单独完成修路任务所需天数的1.5倍． （1）求中建和陕建两个建筑公司每天各修路多少千米？ （2）若中建公司每天的修路费用为50万元，陕建公司每天的修路费用为40万元，要使两个工程队修路总费用不超过1050万元，中建公司至少修路多少天？ 五、解答题：（每题10分，共20分） 22. 阅读材料，拓展知识． 第一步：要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式a，再把它的后两项分成一组，提出公因式b，从而可得：，这种方法称为分组法． 第二步：理解知识，尝试填空． （1）______． 第三步：应用知识，解决问题． （2）因式分解： ①______． ②______． 第四步：提炼思想，拓展应用． （3）已知三角形三边长分别是a、b、c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 23. 阅读下列材料：我们知道，分子比分母小数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成1（即1）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：． 解决下列问题： （1）分式是__（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式__形式； （2）如果分式的值为整数，求满足条件的整数x的值． （3）若分式的值为m，则m的取值范围是____（直接写出结果）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级下学期第二次学情检测（数学）试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解的定义，因式分解是把多项式写成几个整式积的形式，据此对各选项分析判断即可求解． 【详解】A选项：等式右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意； B选项：，它不是因式分解，故本选项不符合题意； C选项：等式右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意； D选项：该变形符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项符合题意． 故选：D 2. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案． 【详解】解： ， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型． 3. 利用因式分解计算：的结果是（ ） A. 44 B. 800 C. 2200 D. 8800 【答案】D 【解析】 分析】先提出11，再根据平方差公式计算即可． 【详解】解： ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了应用因式分解计算，掌握平方公式是解题的关键．即． 4. 某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同．设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据现在生产台机器的时间与原计划生产台机器的时间相同，所以可得等量关系为：现在生产台机器时间原计划生产台时间． 【详解】解：设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，列方程得： ， 故选A． 【点睛】此题主要考查了列分式方程应用，利用本题中“现在平均每天比原计划多生产台机器”这一个隐含条件，进而得出分式方程是解题关键． 5. 若分式的值为0，则x的值为（　　）． A. 0 B. 1 C. ﹣1 D. ±1 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式值为0的条件，分子为0分母不为0,列式进行计算即可得. 【详解】解：∵分式的值为零， ∴， 解得：x=1， 故选B． 【点睛】本题考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0分母不为0是解题的关键. 6. 若解分式方程 产生增根，则m=（　　） A. 1 B. 0 C. ﹣4 D. ﹣5 【答案】D 【解析】 【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值． 【详解】解：方程两边都乘，得 原方程增根为 把代入整式方程，得 故选D． 【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 7. 若把分式的和同时扩大为原来的5倍，则分式的值（ ） A. 扩大为原来5倍 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的10倍 D. 保持不变 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用分式的基本性质化简得出答案． 【详解】解：∵把分式的和同时扩大为原来的5倍， ∴， ∴分式的值保持不变． 故选：D 【点睛】此题主要考查了分式的基本性质，正确化简分式是解题关键． 8. 下列分式中，最简分式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用最简分式的定义：分式的分子和分母没有公因式，进行判断即可． 【详解】解：A、，不是最简分式，不合题意； B、是最简分式，符合题意； C、，不是最简分式，不合题意； D、不是最简分式，不合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了最简分式．正确掌握最简分式的定义是解题的关键． 9. 在中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，对角相等，邻角互补，即可求解． 【详解】解：∵中，， ∴ ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 10. 下列分式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，根据分式的混合运算法则逐项判断即可得出答案，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算正确，符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 式子与的公因式是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了公因式，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键． 【详解】解：式子与的公因式是， 故答案为：． 12. 若是一个完全平方式，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 利用完全平方公式的结构特征判断即可求出的值． 【详解】解：∵一个完全平方式， ， 故答案为：． 13. 若关于x的方程有增根，则m的值为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】先解分式方程，分式两边同时乘以化为整式方程，再去括号、移项合并同类项、系数化为1，得到方程的解，已知关于x的方程有增根，所得方程的解即为3，由此可求出m的值． 【详解】解： 分式两边同乘以，得， 移项，得， ∵关于x的方程有增根， ∴， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，及增根的定义，分式方程的增根是使最简公分母的值为0的根． 14. 已知甲厂烧100吨煤与乙厂烧120吨煤所用的天数相同，若甲乙厂每天一共烧煤33吨，则甲厂每天烧煤______吨． 【答案】 【解析】 分析】设甲厂每天烧x吨煤，则乙厂每天烧吨煤，根据等量关系列出方程，再解方程即可． 【详解】解：设甲厂每天烧x吨煤，则乙厂每天烧吨煤， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查分式方程的应用，根据等量关系列出分式方程是关键． 15. 已知，，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】将变形为，把，代入即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴ 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用，代数式求值，将变形为，是解题的关键． 16. 分解因式：﹣=______． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方差公式分解即可． 【详解】 故答案为： 【点睛】本题考查了用平方差公式分解因式，关键是掌握平方差公式的特征：是两项，且异号；每项的绝对值可表示为一个数的平方． 17. 根据下面的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：_______． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出独立图形的面积和，组合图形的面积，面积不变得等式，即为所求． 【详解】解：四个独立图形的面积和： 组合图形面积： ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查长方形的面积，因式分解定义，理解因式分解的定义是解题的关键． 18. 观察：，，，……，，请用你发现的规律计算求值：__． 【答案】 【解析】 【分析】根据题目中的式子，对所求式子进行拆项即可解答本题． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了数字的变化类，有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现题目中式子的变化特点，求出所求式子的值． 三、计算：（每题5分，共30分） 19. （1）因式分解：； （2）因式分解：． （3）化简：； （4）化简：； （5）解分式方程：； （6）解分式方程：． 【答案】（1） （2） （3） （4） （5）原分式方程无解 （6） 【解析】 【分析】（1）利用综合提公因式和公式法进行因式分解即可； （2）利用综合提公因式和公式法进行因式分解即可； （3）通分求解即可； （4）先通分，进行因式分解，然后进行除法运算即可； （5）先去分母，将分式方程化成整式方程，然后求整式方程的解，最后进行检验即可； （6）先去分母，将分式方程化成整式方程，然后求整式方程的解，最后进行检验即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ； 【小问5详解】 解：， ， ， 解得，， 经检验，不是原分式方程的解， ∴原分式方程无解； 【小问6详解】 解：， ， 解得，， 经检验，是原分式方程的解． 【点睛】本题考查了因式分解，分式的减法运算，分式的化简，解分式方程．熟练掌握因式分解，分式的减法运算，分式的化简，解分式方程是解题的关键． 四、应用题（每题8分，共16分） 20. 为培养学生良好的个性品质，增强创新意识，掌握科学研究的方法，推进其对自然、社会、自我的整体认识与体验，我校甲、乙两个班的同学以班级为单位分别乘坐大巴车去离学校的综合实践教育基地参加活动，甲班的甲车出发分钟后，乙班的乙车才出发，为了比甲车早到分钟，乙车的平均速度是甲车的平均速度的倍，求乙车的平均速度． 【答案】 【解析】 【分析】设甲的速度为，则乙的速度为，根据题意列分式方程解答即可． 【详解】解：∵分钟小时，分钟小时， 设甲的平均速度为，则乙的平均速度为，根据题意得， ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ∴原分式方程的解是， ∴乙的平均速度为（）， 答：乙车的平均速度为． 【点睛】本题考查了分式方程与实际问题，明确题意找出数量关系和等量关系是解题的关键． 21. 中建和陕建两个建筑公司计划修建一条长30千米的乡村振兴致富路．中建公司每天比陕建公司每天多修路0.5千米，陕建公司单独完成修路任务所需天数是中建公司单独完成修路任务所需天数的1.5倍． （1）求中建和陕建两个建筑公司每天各修路多少千米？ （2）若中建公司每天的修路费用为50万元，陕建公司每天的修路费用为40万元，要使两个工程队修路总费用不超过1050万元，中建公司至少修路多少天？ 【答案】（1）中建公司每天修路1.5千米，陕建公司每天修路1千米 （2）15天 【解析】 【分析】（1）可设中建公司每天修路千米，则陕建公司每天修路千米，则可表示出修路所用的时间，可列分式方程，求解即可； （2）设中建公司修路天，则则陕建公司需要修千米，从而可表示出两个公司修路的总费用，由题意可列不等式，求解即可． 【小问1详解】 解：设中建公司每天修路千米，则陕建公司每天修路千米， 根据题意，可列方程：， 解得：， 经检验是原方程的解，且， 所以，中建公司每天修路1.5千米，则陕建公司每天修路1千米． 【小问2详解】 解：设中建公司修路天，则陕建公司需要修千米， 陕建公司需要修路（天）， 由题意可得， 解得， 所以，中建公司至少修路15天． 【点睛】本题主要考查分式方程及一元一次不等式的应用，找出题目中的等量（或不等）关系是解题的关键，注意分式方程需要检验． 五、解答题：（每题10分，共20分） 22. 阅读材料，拓展知识． 第一步：要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式a，再把它的后两项分成一组，提出公因式b，从而可得：，这种方法称为分组法． 第二步：理解知识，尝试填空． （1）______． 第三步：应用知识，解决问题． （2）因式分解： ①______． ②______． 第四步：提炼思想，拓展应用． （3）已知三角形的三边长分别是a、b、c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）这个三角形为等边三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的分组分解方法，等边三角形的判定，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）仿照例题，先分组，再利用提取公因式法分解即可； （2）①先分组，用提取公因式法分解，再用平方差公式分解即可； ②先分组，用提取公因式法分解，再用平方差公式分解即可； （3）移项后分解因式，可得出，则可得出答案． 【详解】解：（1） 故答案：； （2）① ； ② ； （3）这个三角形为等边三角形． 理由如下： ∵， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴这个三角形是等边三角形． 23. 阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成1（即1）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：． 解决下列问题： （1）分式是__（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式__形式； （2）如果分式的值为整数，求满足条件的整数x的值． （3）若分式的值为m，则m的取值范围是____（直接写出结果）． 【答案】（1）真分式， （2）或或或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据分子的次数小于分母的次数可得第一空的答案，再把分子化为 逆用分式的加减法运算可得第二空的答案； （2）先把原分式化为再结合为整数，为整数，可得或或或从而可得答案； （3）先把原分式化为再结合从而可得答案． 【小问1详解】 解：根据新定义可得：是真分式， 故答案为：真分式， 【小问2详解】 ∵且为整数，为整数， ∴或或或 解得：或或或 【小问3详解】 ∵ 而 ∴ ∴ ∴ 所以 【点睛】本题考查的是新定义的理解，分式的加减运算的逆应用，不等式的基本性质，理解新定义，掌握分式的加减运算的逆运算是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$