2024年人教版数学八年级上册暑假专题训练专题十八 暑假自学成果检测卷

人教版数学八年级上暑假自学课专题训练 专题十八 暑假自学成果检测卷 一、试卷知识点梳理 2、 暑假自学成果检测卷 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 分卷I 评卷人 得分 . . 一、选择题(共10题；共30.0分) 1．(3分)如图，四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（　　） A. B. C. D. 2．(3分)如图，CM是△ABC的中线，BC=8cm,若△BCM的周长比△ACM的周长大3cm,则AC的长为（　　） A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm 3．(3分)等腰三角形的一个角是70°，则它的底角度数是（　　） A. 55° B. 70° C. 70°或55° D. 70°或40° 4．(3分)如图，以正方形ABCD的边CD向外作正五边形CDEFG，则∠ADE的度数为（　　） A. 172° B. 162° C. 152° D. 150° 5．(3分)甲、乙、丙、丁四位同学解决以下问题，请你选出正确的作图是（　　） 问题：某旅游景区内有一块三角形绿地ABC，如图所示，先要在道路AB边上建一个休息点M，使它到AC和BC两边的距离相等，在图中确定休息点M的位置 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6．(3分)下列说法正确的是（　　） A. 全等三角形是指形状相同的两个三角形 B. 全等三角形的周长和面积分别相等 C. 所有的直角三角形都是全等三角形 D. 所有的等边三角形都是全等三角形 7．(3分)如图，P为△ABC内一点，过点P的直线MN与边AB，AC分别交于点M，N，若点M，点N恰好分别在BP，CP的垂直平分线上，记∠PBC=α，∠A+2∠PCB=β，则α，β满足的关系式为（　　） A. β-α=90° B. β-2α=90° C. D. 8．(3分)如图，中，是角平分线，垂足为，垂足为，与交于，下列说法不一定正确的是（ ） A. 也是中线 B. 平分 C. D. 9．(3分)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC，交AB于点E，若AB=6，则DE的长为（　　） A. 2.5 B. 3 C. 3.5 D. 4 10．(3分)如图，∠MON=40°，P为∠MON内一点，A为OM上一点，B为ON上一点，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为（　　） A. 40° B. 80° C. 100° D. 140° 分卷II 评卷人 得分 . . 二、填空题(共5题；共15.0分) 11．(3分)一个三角形的两边长为2和6，第三边为偶数，则这个三角形的周长为_______ 12．(3分)如图，点E，F分别在□ABCD的边AB，CD的延长线上，连接EF，分别交AD，BC于G，H．添加一个条件使△AEG≌△CFH，这个条件可以是______．（只需写一种情况） 13．(3分)工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合．过角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线．这种做法是利用了全等三角形对应角相等，图中判断三角形全等的依据是_____． 14．(3分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，AD恰好平分∠BAC，若DE＝1，则BC的长是_____． 15．(3分)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，6），点B为x轴上一动点，以AB为边在直线AB的右侧作等边三角形ABC．若点P为OA的中点，连接PC，则PC的长的最小值为_____． 评卷人 得分 . . 三、解答题(共8题；共75.0分) 16．(8分)如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，DE平分∠ADC，交BC于点E． （1）用直尺和圆规作∠ABC的角平分线，交AD于点F；（保留作图痕迹） （2）求证：BF∥DE． 证明：∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，且∠A=∠C=90°， ∴∠ABC+∠ADC=_____°， ∴∠ABC+∠ADC=90°． ∵BF平分∠ABC，DE平分∠ADC， ∴∠ABF=∠ABC，∠1= _____， ∴_____+∠1=90°． ∵∠A=90°， ∴∠ABF+∠AFB=90°， ∴∠1=_____， ∴BF∥DE． 17．(8分)在两个不全等的三角形中，有两组边对应相等，其中一组是公共边，另一组等边所对的角对应相等，就称这两个三角形为共边偏差三角形．如图1，AB是公共边，BC=BD，∠A=∠A，则△ABC与△ABD是共边偏差三角形． （1）如图2，在线段AD上找一点E，连接CE，使得△ACE与△ACD是共边偏差三角形，并简要说明理由； （2）在图2中，已知∠1=∠2，∠B+∠D=180°，求证：△ACB与△ACD是共边偏差三角形？ 18．(9分)如图，在△ABC中，BE⊥AC于点E，BC的垂直平分线分别交AB、BE于点D、G，垂足为H，CD⊥AB，CD交BE于点F． （1）试说明：△BDF≌△CDA； （2）若DF＝DG，则： ①BE平分∠ABC吗？请说明理由； ②线段BF与CE有何数量关系，请说明理由． 19．(8分)如图，于点E，于点F，若． （1）求证：平分； （2）请猜想与之间的数量关系，并给予证明． 20．(7分)在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上（小正方形的顶点称为格点），请解答下列问题： （1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点C1为（ _____，_____）； （2）在y轴上存在一点P使得AP+BP最小，在图中画出点P的位置，则P点的坐标为（ _____，_____）． 21．(10分)阅读材料： 如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h,连接AP，则S△ABP+S△ACP=S△ABC，即：，∴r1+r2=h（定值）． （1）类比与推理 如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边△ABC的高为h,试证明r1+r2+r3=h（定值）． （2）理解与应用 △ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BC=6，△ABC内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？_____（填“存在”或“不存在”），若存在，请直接写出这个距离r的值，r=_____．若不存在，请说明理由． 22．(12分)在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系． （1）如图1，当点M、N在边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 _____；此时=_____； （2）如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由． （3）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证明． 23．(13分)已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F， （1）如图①，若∠ACD=60°，则∠AFB=_____；如图②，若∠ACD=90°，则∠AFB=_____；如图③，若∠ACD=120°，则∠AFB=_____； （2）如图④，若∠ACD=α，则∠AFB=_____（用含α的式子表示）； （3）将图④中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），变成如图⑤所示的情形，若∠ACD=α，则∠AFB与α的有何数量关系？并给予证明． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版数学八年级上暑假自学课专题训练 专题十八 暑假自学成果检测卷（解析版） 一、试卷知识点梳理 2、 暑假自学成果检测卷 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 分卷I 评卷人 得分 . . 一、选择题(共10题；共30.0分) 1．(3分)如图，四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高． 解：由图可得，线段BE是△ABC的高的图是D选项． 故选：D． 2．(3分)如图，CM是△ABC的中线，BC=8cm,若△BCM的周长比△ACM的周长大3cm,则AC的长为（　　） A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm 【答案】C 【解析】根据三角形中线的特点进行解答即可． 解：∵CM为△ABC的AB边上的中线， ∴AM=BM， ∵△BCM的周长比△ACM的周长大3cm, ∴（BC+BM+CM）-（AC+AM+CM）=3cm, ∴BC-AC=3cm, ∵BC=8cm, ∴AC=5cm, 故选：C． 3．(3分)等腰三角形的一个角是70°，则它的底角度数是（　　） A. 55° B. 70° C. 70°或55° D. 70°或40° 【答案】C 【解析】先分顶角为70°和底角为70°两种情况，再根据等腰三角形的性质即可解答． 解：当它的顶角为70°时， 它的底角度数为：（180°-70°）÷2=55°； 当它的底角为70°时， 它的底角度数为：180°-2×70°=40°； ∴它的底角度数是55°或70°． 故选：C． 4．(3分)如图，以正方形ABCD的边CD向外作正五边形CDEFG，则∠ADE的度数为（　　） A. 172° B. 162° C. 152° D. 150° 【答案】B 【解析】利用多边形内角和及正多边形性质求得∠CDE的度数，利用正方形性质求得∠ADC的度数，然后根据角的和差即可求得答案． 解：∵五边形CDEFG为正五边形， ∴∠CDE=（5-2）×180°÷5=108°， ∵正方形ABCD中，∠ADC=90°， ∴∠ADE=360°-∠ADC-∠CDE=360°-90°-108°=162°， 故选：B． 5．(3分)甲、乙、丙、丁四位同学解决以下问题，请你选出正确的作图是（　　） 问题：某旅游景区内有一块三角形绿地ABC，如图所示，先要在道路AB边上建一个休息点M，使它到AC和BC两边的距离相等，在图中确定休息点M的位置 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】根据角平分线的性质可判断点M为∠ACB的平分线与AB的交点，然后根据基本作图进行判断． 解：∵M点到AC和BC两边的距离相等， ∴点M为∠ACB的平分线与AB的交点， ∴丙同学的作图正确． 故选：C． 6．(3分)下列说法正确的是（　　） A. 全等三角形是指形状相同的两个三角形 B. 全等三角形的周长和面积分别相等 C. 所有的直角三角形都是全等三角形 D. 所有的等边三角形都是全等三角形 【答案】B 【解析】根据等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积公式逐个判断即可． 解：A、全等三角形是指形状相同，大小也相同的两个三角形，故本选项不符合题意； B、∵两个三角形全等， ∴这两个三角形的面积相等，对应边相等， 即这两个三角形的周长也相等，故本选项符合题意； C、所有的直角三角形不一定是全等三角形，故本选项不符合题意； D、两个等边三角形不一定是全等三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 7．(3分)如图，P为△ABC内一点，过点P的直线MN与边AB，AC分别交于点M，N，若点M，点N恰好分别在BP，CP的垂直平分线上，记∠PBC=α，∠A+2∠PCB=β，则α，β满足的关系式为（　　） A. β-α=90° B. β-2α=90° C. D. 【答案】C 【解析】根据三角形内角和定理可得∠PBC+∠PCB=180°-∠BPC，∠AMP+∠ANP=180°-∠A，根据平角定义可得∠MPB+∠NPC=180°-∠BPC，结合点M，点N恰好分别在BP，CP的垂直平分线上可得∠PBM=∠MPB，∠NPC=∠NCP，结合三角形内外角关系可得∠AMP=2∠MPB，∠ANP=2∠NPC，即可得到答案． 解：∵点M，点N恰好分别在BP，CP的垂直平分线上， ∴PM=BM，PN=CN， ∴∠PBM=∠MPB，∠NPC=∠NCP， ∵∠PBC+∠PCB=180°-∠BPC，∠AMP+∠ANP=180°-∠A，∠AMP=2∠MPB，∠ANP=2∠NPC，∠MPB+∠NPC=180°-∠BPC，∠PBC=α，∠A+2∠PCB=β， ∴． 故选：C． 8．(3分)如图，中，是角平分线，垂足为，垂足为，与交于，下列说法不一定正确的是（ ） A. 也是中线 B. 平分 C. D. 【答案】A 【解析】A．根据等腰三角形的三线合一可以判定A符合题意； B．根据角平分线的性质得出，证明，得出，即可判断B不符合题意； CD．根据全等三角形的性质得出，根据，证明垂直平分，即可判断CD不符合题意． 解：A．等腰三角形底边上的中线，顶角平分线，底边上的高线才三线合一，而不是等腰三角形，因此不一定是中线，故A符合题意； B．∵是角平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分，故B不符合题意； CD．∵， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴，，故CD不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，垂直平分线的判定，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等． 9．(3分)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC，交AB于点E，若AB=6，则DE的长为（　　） A. 2.5 B. 3 C. 3.5 D. 4 【答案】B 【解析】求出∠CAD=∠BAD=∠EDA，推出AE=DE，求出∠ABD=∠EDB，推出BE=DE，求出AE=BE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可． 解：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD， ∵DE∥AC， ∴∠CAD=∠ADE， ∴∠BAD=∠ADE， ∴AE=DE， ∵AD⊥DB， ∴∠ADB=90°， ∴∠EAD+∠ABD=90°，∠ADE+∠BDE=∠ADB=90°． ∴∠ABD=∠BDE． ∴DE=BE． ∵AB=6， ∴DE=BE=AE=AB=3， 故选：B． 10．(3分)如图，∠MON=40°，P为∠MON内一点，A为OM上一点，B为ON上一点，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为（　　） A. 40° B. 80° C. 100° D. 140° 【答案】C 【解析】如图，作P点关于OM、ON的对称点P1，P2，PP1与OM交点为C，PP2与ON交点为D，连接P1P2交OM、ON于A、B两点，则∠P1PA=∠P1，∠P2PB=∠P2，由题意知，当P1，A，B，P2四点共线时，△PAB的周长最小，由PP1⊥OM，PP2⊥ON，可知∠PCO=∠PDO=90°，∠P1PP2=360°-∠PCO-∠PDO-∠MON=140°，则∠P1PA+∠P2PB=∠P1+∠P2=180°-∠P1PP2=40°，根据∠APB=∠P1PP2-（∠P1PA+∠P2PB），计算求解即可． 解：如图，作P点关于OM、ON的对称点P1，P2，PP1与OM交点为C，PP2与ON交点为D，连接P1P2交OM、ON于A、B两点，则∠P1PA=∠P1，∠P2PB=∠P2， 由题意知，当P1，A，B，P2四点共线时，△PAB的周长最小， ∵PP1⊥OM，PP2⊥ON， ∴∠PCO=∠PDO=90°， ∴∠P1PP2=360°-∠PCO-∠PDO-∠MON=140°， ∴∠P1PA+∠P2PB=∠P1+∠P2=180°-∠P1PP2=40°， ∴∠APB=∠P1PP2-（∠P1PA+∠P2PB）=100°， 故选：C． 分卷II 评卷人 得分 . . 二、填空题(共5题；共15.0分) 11．(3分)一个三角形的两边长为2和6，第三边为偶数，则这个三角形的周长为_______ 【答案】14 【解析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解． 解：第三边的取值范围是大于4且小于8，又第三边是偶数， 故第三边是6． ∴该三角形的周长是：2+6+6=14． 故答案为：14． 【点睛】首先根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，再根据第三边是偶数确定第三边的长． 12．(3分)如图，点E，F分别在□ABCD的边AB，CD的延长线上，连接EF，分别交AD，BC于G，H．添加一个条件使△AEG≌△CFH，这个条件可以是______．（只需写一种情况） 【答案】（答案不唯一） 【解析】由平行四边形的性质可得： 证明 再补充两个三角形中的一组相对应的边相等即可． 解： ， 所以补充： △AEG≌△CFH， 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握“平行四边形的性质与利用ASA证明三角形全等”是解本题的关键． 13．(3分)工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合．过角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线．这种做法是利用了全等三角形对应角相等，图中判断三角形全等的依据是_____． 【答案】SSS 【解析】由三边相等得△COM≌△CON，即由SSS判定三角全等．做题时要根据已知条件结合判定方法逐个验证． 解：由图可知，CM=CN，又OM=ON， ∵在△MCO和△NCO中， ∴△COM≌△CON（SSS）， ∴∠AOC=∠BOC， 即OC是∠AOB的平分线． 故答案为：SSS． 14．(3分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，AD恰好平分∠BAC，若DE＝1，则BC的长是_____． 【答案】3 【解析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD＝BD，再根据等边对等角的性质求出∠DAB＝∠B，然后根据角平分线的定义与直角三角形两锐角互余求出∠B＝30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BD，然后求解即可． 解：∵AD平分∠BAC，且DE⊥AB，∠C＝90°， ∴CD＝DE＝1， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD＝BD， ∴∠B＝∠DAB， ∵∠DAB＝∠CAD， ∴∠CAD＝∠DAB＝∠B， ∵∠C＝90°， ∴∠CAD+∠DAB+∠B＝90°， ∴∠B＝30°， ∴BD＝2DE＝2， ∴BC＝BD+CD＝1+2＝3， 故答案为3． 【点睛】本题考查了角平分线的定义和性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，属于基础题，熟记性质是解题的关键． 15．(3分)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，6），点B为x轴上一动点，以AB为边在直线AB的右侧作等边三角形ABC．若点P为OA的中点，连接PC，则PC的长的最小值为_____． 【答案】 【解析】以AP为边作等边三角形APE，连接BE，过点E作EF⊥AP于F，由“SAS”可证△ABE≌△ACP，可得BE＝PC，则当BE有最小值时，PC有最小值，即可求解． 解：如图，以AP为边作等边三角形APE，连接BE，过点E作EF⊥AP于F， ∵点A的坐标为（0，6）， ∴OA＝6， ∵点P为OA的中点， ∴AP＝3， ∵△AEP是等边三角形，EF⊥AP， ∴AF＝PF＝，AE＝AP，∠EAP＝∠BAC＝60°， ∴∠BAE＝∠CAP， 在△ABE和△ACP中， ∴△ABE≌△ACP（SAS）， ∴BE＝PC， ∴当BE有最小值时，PC有最小值， 即BE⊥x轴时，BE有最小值， ∴BE的最小值为OF＝OP＋PF＝3＋＝， ∴PC的最小值为， 故答案为． 【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 评卷人 得分 . . 三、解答题(共8题；共75.0分) 16．(8分)如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，DE平分∠ADC，交BC于点E． （1）用直尺和圆规作∠ABC的角平分线，交AD于点F；（保留作图痕迹） （2）求证：BF∥DE． 证明：∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，且∠A=∠C=90°， ∴∠ABC+∠ADC=_____°， ∴∠ABC+∠ADC=90°． ∵BF平分∠ABC，DE平分∠ADC， ∴∠ABF=∠ABC，∠1= _____， ∴_____+∠1=90°． ∵∠A=90°， ∴∠ABF+∠AFB=90°， ∴∠1=_____， ∴BF∥DE． 【答案】(1)180;(2)∠ADC;(3)∠ABF;(4)∠AFB; 【解析】（1）利用基本作图作∠ABC的平分线即可； （2）先利用四边形内角和得到∠ABC+∠ADC=180°，再根据角平分线的定义得到∠ABF=∠ABC，∠1=∠ADC，则∠ABF+∠1=90°，然后证明∠1=∠AFB，从而可判断BF∥DE． （1）解：如图，BF为所作； （2）证明：∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，且∠A=∠C=90°， ∴∠ABC+∠ADC=180°， ∴∠ABC+∠ADC=90°． ∵BF平分∠ABC，DE平分∠ADC， ∴∠ABF=∠ABC，∠1=∠ADC， ∴∠ABF+∠1=90°． ∵∠A=90°， ∴∠ABF+∠AFB=90°， ∴∠1=∠AFB， ∴BF∥DE． 故答案为：180，∠ADC，∠ABF，∠AFB． 17．(8分)在两个不全等的三角形中，有两组边对应相等，其中一组是公共边，另一组等边所对的角对应相等，就称这两个三角形为共边偏差三角形．如图1，AB是公共边，BC=BD，∠A=∠A，则△ABC与△ABD是共边偏差三角形． （1）如图2，在线段AD上找一点E，连接CE，使得△ACE与△ACD是共边偏差三角形，并简要说明理由； （2）在图2中，已知∠1=∠2，∠B+∠D=180°，求证：△ACB与△ACD是共边偏差三角形？ 【解析】（1）根据共边偏差三角形的定义可知，取CE=CD即可； （2）根据AC是公共边，∠1=∠2，再证BC=CD，即可得出结论； （1）解：如图所示即为所求，在AD上取点E，使得CE=CD即可； （2）证明：由（1）作法可知CE=CD，则∠CED=∠D， ∵∠CED+∠CEA=180°，且∠B+∠D=180°， ∴∠B=∠CEA， 又∵∠1=∠2，AC=AC， ∴△ABC≌△AEC（AAS）， ∴BC=CE， ∴BC=CD， 在△ACB与△ACD中， ， ∴△ACB与△ACD是共边偏差三角形； 18．(9分)如图，在△ABC中，BE⊥AC于点E，BC的垂直平分线分别交AB、BE于点D、G，垂足为H，CD⊥AB，CD交BE于点F． （1）试说明：△BDF≌△CDA； （2）若DF＝DG，则： ①BE平分∠ABC吗？请说明理由； ②线段BF与CE有何数量关系，请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）①BE平分∠ABC，理由见解析；②EC=BF，理由见解析 【解析】（1）根据三角形的内角和定理求出∠A=∠DFB，由DH是BC的垂直平分线推出BD=DC，根据AAS即可证△BDF≌△CDA； （2）①由DF=DG，可得∠DFB=∠BGH，而CD⊥AB，有∠ABE+∠DFB=90°，由DH⊥BC，得∠GBH+∠BGH=90°，从而∠ABE=∠GBH，BE平分∠ABC； ②由BD=CD，CD⊥AB，得△BCD是等腰直角三角形，即得∠ABE=∠CBE=22.5°，从而可得∠A=∠C=67.5°，有AB=CB，故AE=CE=AC，即可得EC=BF． 【小问1详解】 解：证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠BDC=∠ADC=∠AEB=90°， ∴∠A+∠ABE=90°，∠ABE+∠DFB=90°， ∴∠A=∠DFB， ∵DH是BC的垂直平分线， ∴BD=DC， 在△BDF和△CDA中， ， ∴△BDF≌△CDA（AAS）； 【小问2详解】 ①BE平分∠ABC，理由如下： ∵DF=DG， ∴∠DFB=∠DGF， ∴∠DFB=∠BGH， ∵CD⊥AB， ∴∠ABE+∠DFB=90°， ∵DH⊥BC， ∴∠GBH+∠BGH=90°， ∴∠ABE=∠GBH， ∴BE平分∠ABC； ②EC=BF，理由是： ∵由（1）知：BD=CD，△BDF≌△CDA， 而CD⊥AB， ∴△BCD是等腰直角三角形，AC=BF， ∴∠ABC=45°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE=22.5°， ∵BE⊥AC， ∴∠A=∠C=67.5°， ∴AB=CB， ∴AE=CE=AC， ∵BF=AC， ∴EC=BF． 【点睛】本题考查三角形综合应用，涉及等腰三角形性质及应用、全等三角形判定及应用、垂直平分线性质等知识，解题的关键是证明△BDF≌△CDA． 19．(8分)如图，于点E，于点F，若． （1）求证：平分； （2）请猜想与之间的数量关系，并给予证明． 【答案】（1）见解析 （2），证明见解析 【解析】（1）根据证明，得到，再根据角平分线的判定定理，求证即可； （2）通过证明，得到，利用线段之间的关系，求解即可． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴平分． 【小问2详解】 解：，证明如下： 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线的判定定理，解题的关键是灵活利用相关性质进行求解． 20．(7分)在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上（小正方形的顶点称为格点），请解答下列问题： （1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点C1为（ _____，_____）； （2）在y轴上存在一点P使得AP+BP最小，在图中画出点P的位置，则P点的坐标为（ _____，_____）． 【答案】(1)-3;(2)2;(3)0;(4)2; 【解析】（1）先作出点A，B，C关于y轴的对称点，然后顺次连接即可； （2）由（1）得点A关于 y轴的对称点为A1，连接A1B与y轴的交点即为点P，即可得出点的坐标． 解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，点C1的坐标为（-3，2）， 故答案为：（-3，2）； （2）由（1）得点A关于 y轴的对称点为A1，连接A1B与y轴的交点即为点P， 此时AP+BP=A1P+BP=A1B，此时AP+BP最小， ∴P点的坐标为（0，2）． 故答案为：（0，2）． 21．(10分)阅读材料： 如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h,连接AP，则S△ABP+S△ACP=S△ABC，即：，∴r1+r2=h（定值）． （1）类比与推理 如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边△ABC的高为h,试证明r1+r2+r3=h（定值）． （2）理解与应用 △ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BC=6，△ABC内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？_____（填“存在”或“不存在”），若存在，请直接写出这个距离r的值，r=_____．若不存在，请说明理由． 【答案】(1)存在;(2)2; 【解析】（1）连接AP，BP，CP．根据三角形ABC的面积的两种计算方法进行证明； （2）根据角平分线上的点到角两边的距离相等进行求作． 证明：（1）连接AP，BP，CP． 则S△ABP+S△BCP+S△ACP=S△ABC， 即， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC， ∴r1+r2+r3=h（定值）； （2）存在． r=2． 22．(12分)在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系． （1）如图1，当点M、N在边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 _____；此时=_____； （2）如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由． （3）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证明． 【答案】(1)BM+NC=MN;(2); 【解析】（1）由DM=DN，∠MDN=60°，可证得△MDN是等边三角形，又由△ABC是等边三角形，CD=BD，易证得Rt△BDM≌Rt△CDN，然后由直角三角形的性质，即可求得BM、NC、MN之间的数量关系 BM+NC=MN，此时 ； （2）在CN的延长线上截取CM1=BM，连接DM1．可证△DBM≌△DCM1，即可得DM=DM1，易证得∠CDN=∠MDN=60°，则可证得△MDN≌△M1DN，然后由全等三角形的性质，即可得结论仍然成立； （3）首先在CN上截取CM1=BM，连接DM1，可证△DBM≌△DCM1，即可得DM=DM1，然后证得∠CDN=∠MDN=60°，易证得△MDN≌△M1DN，则可得NC-BM=MN． 解：（1）如图1，BM、NC、MN之间的数量关系 BM+NC=MN， 此时 ， 理由：∵DM=DN，∠MDN=60°， ∴△MDN是等边三角形， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=60°， ∵BD=CD，∠BDC=120°， ∴∠DBC=∠DCB=30°， ∴∠MBD=∠NCD=90°， ∵DM=DN，BD=CD， ∴Rt△BDM≌Rt△CDN， ∴∠BDM=∠CDN=30°，BM=CN， ∴DM=2BM，DN=2CN， ∴MN=2BM=2CN=BM+CN； ∴AM=AN， ∴△AMN是等边三角形， ∵AB=AM+BM， ∴AM：AB=2：3， ∴=； （2）猜想：结论仍然成立， 证明：在NC的延长线上截取CM1=BM，连接DM1， ∵∠MBD=∠M1CD=90°，BD=CD， ∴△DBM≌△DCM1， ∴DM=DM1，∠MBD=∠M1CD，M1C=BM， ∵∠MDN=60°，∠BDC=120°， ∴∠M1DN=∠MDN=60°， ∴△MDN≌△M1DN， ∴MN=M1N=M1C+NC=BM+NC， ∴△AMN的周长为：AM+MN+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC， ∴=； （3）证明：在CN上截取CM1=BM，连接DM1， 可证△DBM≌△DCM1， ∴DM=DM1， 可证∠M1DN=∠MDN=60°， ∴△MDN≌△M1DN， ∴MN=M1N， ∴NC-BM=MN． 23．(13分)已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F， （1）如图①，若∠ACD=60°，则∠AFB=_____；如图②，若∠ACD=90°，则∠AFB=_____；如图③，若∠ACD=120°，则∠AFB=_____； （2）如图④，若∠ACD=α，则∠AFB=_____（用含α的式子表示）； （3）将图④中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），变成如图⑤所示的情形，若∠ACD=α，则∠AFB与α的有何数量关系？并给予证明． 【答案】(1)120°;(2)90°;(3)60°;(4)180°-α; 【解析】（1）如图1，首先证明△BCD≌△ECA，得出∠EAC=∠BDC，再根据∠AFB是△ADF的外角求出其度数． 如图2，首先证明△ACE≌△DCB，得出∠AEC=∠DBC，又有∠FDE=∠CDB，进而得出∠AFB=90°． 如图3，首先证明△ACE≌△DCB，得出∠EAC=∠BDC，又有∠BDC+∠FBA=180°-∠DCB得到∠FAB+∠FBA=120°，进而求出∠AFB=60°． （2）由∠ACD=∠BCE得到∠ACE=∠DCB，再由三角形的内角和定理得∠CAE=∠CDB，从而得出∠DFA=∠ACD，得到结论∠AFB=180°-α． （3）由∠ACD=∠BCE得到∠ACE=∠DCB，通过证明△ACE≌△DCB得∠CBD=∠CEA，由三角形内角和定理得到结论∠AFB=180°-α． 解：（1）如图1，CA=CD，∠ACD=60°， 所以△ACD是等边三角形． ∵CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°， 所以△ECB是等边三角形． ∵AC=DC，∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠BCD=∠BCE+∠DCE， 又∵∠ACD=∠BCE， ∴∠ACE=∠BCD． ∵AC=DC，CE=BC， ∴△ACE≌△DCB． ∴∠EAC=∠BDC． ∠AFB是△ADF的外角． ∴∠AFB=∠ADF+∠FAD=∠ADC+∠CDB+∠FAD=∠ADC+∠EAC+∠FAD=∠ADC+∠DAC=120°． 如图2，∵AC=CD，∠ACE=∠DCB=90°，EC=CB， ∴△ACE≌△DCB． ∴∠AEC=∠DBC， 又∵∠FDE=∠CDB，∠DCB=90°， ∴∠EFD=90°． ∴∠AFB=90°． 如图3，∵∠ACD=∠BCE， ∴∠ACD-∠DCE=∠BCE-∠DCE． ∴∠ACE=∠DCB． 又∵CA=CD，CE=CB， ∴△ACE≌△DCB（SAS）． ∴∠EAC=∠BDC． ∵∠BDC+∠FBA=180°-∠DCB=180°-（180-∠ACD）=120°， ∴∠FAB+∠FBA=120°． ∴∠AFB=60°． 故填120°，90°，60°． （2）∵∠ACD=∠BCE， ∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE． ∴∠ACE=∠DCB． ∴∠CAE=∠CDB． ∴∠DFA=∠ACD． ∴∠AFB=180°-∠DFA=180°-∠ACD=180°-α． （3）∠AFB=180°-α； 证明：∵∠ACD=∠BCE=α，则∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE， 即∠ACE=∠DCB． 在△ACE和△DCB中， 则△ACE≌△DCB（SAS）． 则∠CBD=∠CEA，由三角形内角和知∠EFB=∠ECB=α． ∠AFB=180°-∠EFB=180°-α． 学科网（北京）股份有限公司 $$