第02讲 玩转立体几何中的角度、体积、距离问题 （五大题型）-2024年暑假高一升高二数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

第02讲 玩转立体几何中的角度、体积、距离问题 【题型归纳目录】 【知识点梳理】 知识点1、求点线、点面、线面距离的方法 （1）若P是平面外一点，a是平面内的一条直线，过P作平面的垂线PO，O为垂足，过O作OA⊥a，连接PA，则以PA⊥a．则线段PA的长即为P点到直线a的距离（如图所示）． （2）一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫直线与平面的距离． （3）求点面距离的常用方法：①直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形来求解． ②转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解． ③体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解． 知识点2、异面直线所成角的常用方法 求异面直线所成角的一般步骤： （1）找（或作出）异面直线所成的角——用平移法，若题设中有中点，常考虑中位线． （2）求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角． （3）结论——设（2）所求角大小为θ．若，则θ即为所求；若，则即为所求． 知识点3、直线与平面所成角的常用方法 求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤 （1）确定斜线与平面的交点（斜足）； （2）通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影，则斜线和射影所成的锐角即为所求的角； （3）求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形． 知识点4、作二面角的三种常用方法 （1）定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，则∠AOB为二面角α-l-β的平面角． （2）垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，∠AOB为二面角α-l-β的平面角． （3）垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则为二面角的平面角或其补角．如图③，为二面角的平面角． 知识点5、求体积的常用方法 选择合适的底面，再利用体积公式求解． 【典例例题】 题型一：异面直线所成的角 【典例1-1】（2024·高一·江苏南通·期中）已知空间四边形的对角线，，，分别为，的中点，若，则异面直线，所成角为 ． 【典例1-2】（2024·高一·浙江嘉兴·阶段练习）四面体ABCD中，，AC=2，M、N分别为BC、AD的中点，MN=1，则异面直线AC与BD所成的角是 . 【变式1-1】（2024·高一·河南·阶段练习）在直三棱柱中，，，则异面直线与所成角的正弦值为 ． 【变式1-2】（2024·高一·江苏扬州·期末）如图，在三棱锥中，，，平面ABC，E为CD的中点，则直线BE与AD所成角的余弦值为 ． 【变式1-3】（2024·全国·模拟预测）在三棱锥中，，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 ． 题型二：线面角 【典例2-1】（2024·高一·四川成都·期末）如图，在四棱锥中，为棱的中点，底面为平行四边形，平面，直线与底面所成的角为. (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【典例2-2】（2024·高一·浙江嘉兴·期中）如图在四棱锥中，底面为矩形，侧棱，且，，，点E为AD中点， (1)求证：平面平面； (2)求二面角的余弦值； (3)点F为对角线AC上的点，且，垂足为G，求FG与平面ABCD所成的最大角的正弦值. 【变式2-1】（2024·高一·山西运城·阶段练习）如图，直四棱柱中，底面ABCD为菱形，，，P，M，N分别为CD，，的中点. (1)证明：平面平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 【变式2-2】（2024·高一·山东淄博·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，，、分别是、的中点.    (1)求证：平面； (2)若二面角的大小为， （ⅰ）求与所成角的余弦值； （ⅱ）求直线与平面所成角的大小. 【变式2-3】（2024·高一·广东中山·期中）在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型,点E在棱PB上，满足, 点F在棱PC上，满足要求同学们按照以下方案进行切割：    (1)试在棱PC上确定一点G，使得 平面，并说明理由； (2)过点A，E，F的平面α交PD于点H，沿平面α平将四棱锥模型切割成两部分，在实施过程中为了方便切割，需先在模型中确定H 点的位置； ①请求出 的值； ②若正四棱锥模型的棱长均为6，求直线与平面α所成角的正弦值. 题型三：二面角 【典例3-1】（2024·高一·甘肃武威·阶段练习）在四棱锥中，是等边三角形，四边形ABCD是矩形，，，，E是棱PD的中点． (1)求证：； (2)求二面角的正切值． 【典例3-2】（2024·高一·湖北十堰·期末）如图，在四棱锥中，四边形是菱形，. (1)证明：平面； (2)茬，求二面角的正切值； (3)是否存在实数，使得直线平面？若存在，求出的值；若不存在.请说明理由. 【变式3-1】（2024·高一·江苏南通·期中）如图，在四棱锥中，平面，，且，是的中点． (1)证明：； (2)若，直线与直线所成角的余弦值为． （ⅰ）求直线与平面所成角； （ⅱ）求二面角的余弦值． 【变式3-2】（2024·高一·河南濮阳·阶段练习）如图，在三棱柱中，是等边三角形，，，平面平面，点，，分别为棱，，的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求二面角的正切值． 【变式3-3】（2024·高一·浙江宁波·期末）如图，在多面体中，平面，，，四边形是正方形． (1)求直线与平面所成角的余弦值； (2)证明：平面； (3)求平面与平面所成的二面角的平面角的大小. 题型四：距离问题 【典例4-1】（2024·高一·吉林长春·期中）如图，已知平面ABC，，，，，，点为的中点 (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)若点为的中点，求点到平面的距离． 【典例4-2】（2024·高一·陕西西安·阶段练习）如图，在三棱锥中，平面，，，，分别为，的中点. (1)证明：平面平面； (2)若平面上有一动点，使得平面平面，求出动点的轨迹； (3)证明平面，并求直线到平面的距离. 【变式4-1】（2024·高一·浙江温州·期末）在三棱锥中，两两垂直，，. (1)求三棱锥的表面积； (2)求P到平面的距离. 【变式4-2】（2024·高一·河南周口·阶段练习）如图，在三棱锥中，，，，为等边三角形，，点E，F分别是线段，的中点. (1)证明：平面； (2)求点C到平面的距离. 【变式4-3】（2024·高一·浙江嘉兴·期中）如图，在直三棱柱中，，、分别是BC、的中点，. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离. 题型五：体积问题 【典例5-1】（2024·高一·河南安阳·期中）在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，.    (1)证明： (2)若，当与平面所成角的正弦值最大时，求四棱锥的体积. 【典例5-2】（2024·高一·云南昆明·期中）如图1，已知矩形ABCD中，为CD上一点且.现沿着折起，使点到达点的位置，且，得到的图形如图2. (1)证明为直角三角形； (2)设动点在线段上，判断直线与平面的位置关系，并说明理由. (3)若为中点且平面APE，求三棱锥的体积. 【变式5-1】（2024·高一·广东佛山·期中）如图，是四棱锥的高，，，为线段上一点，为的中点． (1)求证：平面； (2)求四面体的体积． 【变式5-2】（2024·高二·江西赣州·期末）如图，四棱锥中，底面ABCD为正方形，面ABCD，，E，F分别是PC，AD的中点． (1)证明：平面PFB； (2)求三棱锥的体积． 【变式5-3】（2024·高一·云南昆明·阶段练习）如图，在三棱柱中，，，，. (1)求证：平面平面ABC； (2)求四棱锥的体积. 【过关测试】 1．（2024·高一·北京·期中）如图，已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱的长为2，E、F分别为和AC中点，则直线EF与平面所成角的余弦值为 ，异面直线与所成角的余弦值为 ． 2．（2024·高三·河南鹤壁·期中）如图，在正三棱柱中，，，则直线与直线所成角的正切值为 ． 3．（2024·高一·黑龙江大庆·阶段练习）如图，四棱柱的棱长均为2，点E是棱的中点，. (1)证明：平面； (2)若，求直线与底面所成角的正切值. 4．（2024·高一·江苏泰州·阶段练习）如图，在三棱柱中，，，且平面平面 (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)设点为棱的中点，求直线与平面所成角的正切值． 5．（2024·高一·四川成都·期末）在平行四边形中，分别为的中点，将三角形沿翻折，使得二面角为直二面角后，得到四棱锥. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求与平面所成角的正弦值. 6．（2024·高一·湖南永州·阶段练习）如图，在长方体中，， (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正切值. 7．（2024·高一·广西南宁·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，. (1)求点到平面的距离； (2)求二面角的正切值. 8．（2024·高一·江苏扬州·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形， ，且. (1)若平面与平面相交于直线，求证：； (2)求证：平面平面； (3)求二面角的正切值 9．（2024·高一·浙江金华·期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，，，，，，点N在棱PC上，平面平面． (1)证明：； (2)若平面，求三棱锥的体积； (3)若二面角的平面角为，求． 10．（2024·高一·江苏南京·阶段练习）如图，在四面体中，已知，. (1)求证：； (2)求直线与平面所成的角； (3)求二面角的正切值. 11．（2024·高一·四川雅安·期末）已知平面四边形ABCD，，，，现将沿边折起，使得平面平面，此时，点为线段的中点. (1)求证：平面； (2)若为的中点，求与平面所成角的正弦值； (3)在（2）的条件下，求二面角的平面角的余弦值 12．（2024·高一·广西南宁·期末）如图，三角形所在的平面与长方形所在的平面垂直，，.    (1)证明：； (2)求点到平面的距离. 13．（2024·高一·山西忻州·阶段练习）如图①所示，在中，，D，E分别是AC，AB上的点，且．将沿DE折起到的位置，使，如图②所示．M是线段的中点，P是上的点，平面． (1)求的值． (2)证明：平面平面． (3)求点P到平面的距离． 14．（2024·高一·广东广州·阶段练习）在直三棱柱中，，，，是的中点． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 15．（2024·高一·全国·专题练习）如图，四棱锥为正四棱锥，底面ABCD是边长为2的正方形，四棱锥的高为1，点E在棱AB上，且． (1)若点F在棱PC上，是否存在实数满足，使得平面PDE？若存在，请求出实数的值；若不存在，请说明理由． (2)在第（1）问的条件下，当平面PDE时，求三棱锥的体积． 16．（2024·高一·吉林·期中）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，，，平面平面，，点在棱上，且平面 (1)求的长； (2)求三棱锥的体积. 17．（2024·高三·内蒙古锡林郭勒盟·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱上的一点，且． (1)证明：平面； (2)求四棱锥的体积． 18．（2024·高一·广东深圳·期中）如图，已知正四棱台，点为棱的中点， (1)若，证明平面； (2)若，求正四棱台的体积． 19．（2024·高一·海南省直辖县级单位·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD是梯形，其中，且，平面ABCD，，M为PC的中点． (1)求证：平面ABM； (2)求三棱锥的体积． 20．（2024·高三·四川成都·期末）如图，四棱锥中，，，，平面平面. (1)证明：； (2)若，M是的中点，求三棱锥的体积. 21．（2024·高一·吉林·期末）如图，在四棱锥中，在线段上（不含端点），底面. (1)证明：平面平面. (2)设，请写出三棱锥的体积关于的函数表达式，并求出的最大值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 玩转立体几何中的角度、体积、距离问题 【题型归纳目录】 【知识点梳理】 知识点1、求点线、点面、线面距离的方法 （1）若P是平面外一点，a是平面内的一条直线，过P作平面的垂线PO，O为垂足，过O作OA⊥a，连接PA，则以PA⊥a．则线段PA的长即为P点到直线a的距离（如图所示）． （2）一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫直线与平面的距离． （3）求点面距离的常用方法：①直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形来求解． ②转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解． ③体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解． 知识点2、异面直线所成角的常用方法 求异面直线所成角的一般步骤： （1）找（或作出）异面直线所成的角——用平移法，若题设中有中点，常考虑中位线． （2）求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角． （3）结论——设（2）所求角大小为θ．若，则θ即为所求；若，则即为所求． 知识点3、直线与平面所成角的常用方法 求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤 （1）确定斜线与平面的交点（斜足）； （2）通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影，则斜线和射影所成的锐角即为所求的角； （3）求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形． 知识点4、作二面角的三种常用方法 （1）定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，则∠AOB为二面角α-l-β的平面角． （2）垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，∠AOB为二面角α-l-β的平面角． （3）垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则为二面角的平面角或其补角．如图③，为二面角的平面角． 知识点5、求体积的常用方法 选择合适的底面，再利用体积公式求解． 【典例例题】 题型一：异面直线所成的角 【典例1-1】（2024·高一·江苏南通·期中）已知空间四边形的对角线，，，分别为，的中点，若，则异面直线，所成角为 ． 【答案】 【解析】在四面体中，取的中点，连接， 由M、N分别为，的中点，得， 则是异面直线AC与BD所成的角或其补角， 显然，而，有， 于是， 所以异面直线AC与BD所成的角是. 故答案为： 【典例1-2】（2024·高一·浙江嘉兴·阶段练习）四面体ABCD中，，AC=2，M、N分别为BC、AD的中点，MN=1，则异面直线AC与BD所成的角是 . 【答案】 【解析】在四面体中，取的中点，连接， 由M、N分别为BC、AD的中点，得， 则是异面直线AC与BD所成的角或其补角， 显然，而，有， 于是， 所以异面直线AC与BD所成的角是. 故答案为： 【变式1-1】（2024·高一·河南·阶段练习）在直三棱柱中，，，则异面直线与所成角的正弦值为 ． 【答案】1 【解析】解法一：连接，，取中点为，连接，， 因为分别为的中点，则∥， 可知为异面直线与所成角或其补角， 由题意可得：，，， 则，即， 所以异面直线与所成角为，即正弦值为1； 解法二：因为平面，且，根据三垂线定理可知， 所以异面直线与所成角为，即正弦值为1； 故答案为：1． 【变式1-2】（2024·高一·江苏扬州·期末）如图，在三棱锥中，，，平面ABC，E为CD的中点，则直线BE与AD所成角的余弦值为 ． 【答案】/ 【解析】由平面，平面，得，， 又，，则， 取的中点，连结，由为的中点，得， 因此直线BE与AD所成角为或其补角， 在中，，，， 由余弦定理得， 所以直线BE与AD所成角的余弦值为. 故答案为： 【变式1-3】（2024·全国·模拟预测）在三棱锥中，，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 ． 【答案】 【解析】取的中点，连接，如图所示： 因为为的中点，为的中点， 则根据三角形的中位线定理可得，且. 所以为异面直线与所成的角或其补角． 因为在中，，，， 所以，则. 又，所以． 又在中，，, 所以由余弦定理可得：. 又因为在中，， 所以由余弦定理可得：. 则在中，由余弦定理可得，， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 故答案为：. 题型二：线面角 【典例2-1】（2024·高一·四川成都·期末）如图，在四棱锥中，为棱的中点，底面为平行四边形，平面，直线与底面所成的角为. (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）底面为平行四边形，，， 根据余弦定理， 即，解得，， ，又，， 又平面，平面，， 又，平面， 平面； （2）平面，平面，所以， 直线与底面所成的角为，即，又，， 又为的中点，到平面的距离等于到平面的距离的， 三棱锥的体积为： ； （3）如图，取中点，连接，又为的中点， 且， 由（1）知平面，平面， 直线与平面所成角为，又平面，， 又， ， 故直线与平面所成角的正弦值为． 【典例2-2】（2024·高一·浙江嘉兴·期中）如图在四棱锥中，底面为矩形，侧棱，且，，，点E为AD中点， (1)求证：平面平面； (2)求二面角的余弦值； (3)点F为对角线AC上的点，且，垂足为G，求FG与平面ABCD所成的最大角的正弦值. 【解析】（1），， 则，， 又，，平面， 平面，平面， 平面平面； （2）侧棱，点E为AD中点.，，， 为正三角形，取中点，则，， 因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 平面，所以，， 在边上取，连接，可得四边形是长方形， 可得，又，平面， 所以平面，作，垂足为，平面， ，， 又，平面， 平面，且， 又，平面，平面， 平面， 所以点到平面的距离，且点的投影在内， 在中，，，由余弦定理得， 作垂足为，由等面积法得， 所以二面角的大小的正弦值 ，； （3）作平面， 则，为在平面内的射影， 所以点，，共线， 再在平面作交于点， 又，，平面， 平面， 设线交线于点， 则，又，，平面， 平面，平面，得， ，， 又因为， 所以与平面所成的最大角的正弦值为， 当点为线与的交点时取到最大角. 【变式2-1】（2024·高一·山西运城·阶段练习）如图，直四棱柱中，底面ABCD为菱形，，，P，M，N分别为CD，，的中点. (1)证明：平面平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）因为，分别为线段，的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面.    因为，分别为线段，的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面. 因为，平面，平面， 所以平面平面. （2）由题知平面，平面，故，故， 因为四边形是菱形，且， 则，所以. 而，故.     设为点到平面的距离，与平面所成的角为， 故. 又， 而，故，故.     故，即与平面所成角的正弦值为. 【变式2-2】（2024·高一·山东淄博·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，，、分别是、的中点.    (1)求证：平面； (2)若二面角的大小为， （ⅰ）求与所成角的余弦值； （ⅱ）求直线与平面所成角的大小. 【解析】（1）如图，因为点是正方形的对角线的中点，所以三点共线，连结， 点是对角线的交点，所以是的中点，是的中点， 所以， 平面，平面， 所以平面 （2）（ⅰ）连结， 若二面角的大小为， 则平面平面，且平面平面， ，且平面， 所以平面，平面， 所以， 又因为，所以，则， 又，， 异面直线与所成的角为与所成的角，为或其补角， 中，， 所以异面直线与所成角的余弦值为； （ⅱ）取的中点，连结，因为，所以， 所以平面， 连结，为直线与底面所成的角， 因为底面边长为1，， 所以,， , 所以. 所以直线与平面所成角的大小为. 【变式2-3】（2024·高一·广东中山·期中）在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型,点E在棱PB上，满足, 点F在棱PC上，满足要求同学们按照以下方案进行切割：    (1)试在棱PC上确定一点G，使得 平面，并说明理由； (2)过点A，E，F的平面α交PD于点H，沿平面α平将四棱锥模型切割成两部分，在实施过程中为了方便切割，需先在模型中确定H 点的位置； ①请求出 的值； ②若正四棱锥模型的棱长均为6，求直线与平面α所成角的正弦值. 【解析】（1） 由已知得，点E在棱PB上，满足,点F在棱PC上，满足， 如图，取PC上靠近C的四等分点为G，则必有, 则根据三角形相似，必有， 因平面, 平面, 易得EF∥平面 . （2） ①延长FE， 与的延长线交于点M ， 连接并延长与的延长线交于N， 连接FN， 交PD于H， 由（1） 可得，即G为的中点， 由， 可得B为MC的中点， 由AD∥BC及 可得D为CN的中点， 在等腰三角形PCD中， F为PC的中点， 取CD的中点K， 连接FK， 则，, 所以，， 即 . ② 连接,两线交于点，连接,则平面，因平面，则, 因是正方形，则，又，故得平面， 由①得,则,故有平面， 又,则有平面，且平面, 过点作于点，则，则即直线与平面α所成角. 因，则，在中，, 故，即直线PA与平面α所成角的正弦值为 题型三：二面角 【典例3-1】（2024·高一·甘肃武威·阶段练习）在四棱锥中，是等边三角形，四边形ABCD是矩形，，，，E是棱PD的中点． (1)求证：； (2)求二面角的正切值． 【解析】（1）证明：如图所示，取PA的中点F，连接BF，EF， 因为是等边三角形，F是PA的中点，所以， 又因为F是PA的中点，E是棱PD的中点，所以， 因为四边形ABCD是矩形，所以，所以， 又因为，所以，           因为，且平面PAB，所以平面， 又因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 又因为平面BEF，所以. （2）因为平面PAB，平面，所以， 又因为，，且平面，所以平面， 因为平面PDA，所以， 过作的垂线，垂足为，连接，如图所示， 因为，平面，所以平面， 又平面，所以，所以二面角的大小为， 在等边中，因为，可得， 在直角中，由，则，可得， 在直角中，可得．   【典例3-2】（2024·高一·湖北十堰·期末）如图，在四棱锥中，四边形是菱形，. (1)证明：平面； (2)茬，求二面角的正切值； (3)是否存在实数，使得直线平面？若存在，求出的值；若不存在.请说明理由. 【解析】（1）因为四边形是菱形，所以. 因为平面，且，所以平面. 因为平面，所以. 因为四边形是菱形，且，所以. 因为，所以，所以. 因为平面，且，所以平面. （2）取棱的中点，连接，作，垂足为，连接. 因为分别是的中点，所以. 由（1）可知平面，则平面. 因为平面，所以. 因为平面，且，所以平面. 因为平面，所以，则是二面角的平面角. 因为，所以. 因为四边形是菱形，且，所以，且. 因为，所以. 因为是的中点，所以. 因为平面，且平面，所以， 则. （3）连接，交于点，连接，作，交于点. 因为平面，且平面平面，所以. 因为四边形是菱形，所以是的中点，所以是的中点，即. 因为，所以是的中点. 因为，所以，所以， 则，即. 【变式3-1】（2024·高一·江苏南通·期中）如图，在四棱锥中，平面，，且，是的中点． (1)证明：； (2)若，直线与直线所成角的余弦值为． （ⅰ）求直线与平面所成角； （ⅱ）求二面角的余弦值． 【解析】（1）取的中点，连接，由平面，，得平面， 而平面，则，由为的中点，得， 则四边形是平行四边形，因此， 所以. （2）（ⅰ）由为的中点，，则，而， 平面，于是平面，平面， 则，由，得直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，为， 在中，，而， 解得，则，由平面，得直线与平面所成角为， 显然，则， 所以直线与平面所成角为. （ⅱ）过作于，由（ⅰ）可得，为等腰三角形， ，，由三角形面积法得， 由勾股定理得，过作交于，与延长线交于点， 在直角梯形中，，则， ，显然∽，则， 于是，，为线段的中点， 显然是二面角的平面角，在正中，， 由平面，平面，则，平面， 于是平面，而平面，则，， 所以二面角的余弦值. 【变式3-2】（2024·高一·河南濮阳·阶段练习）如图，在三棱柱中，是等边三角形，，，平面平面，点，，分别为棱，，的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求二面角的正切值． 【解析】（1）证明：如图所示，取的中点，连接，， 因为是棱的中点，是的中点，所以，， 又因为点，分别为棱，的中点，所以，， 因为，，所以，， 又因为平面，平面，所以平面， 在平行四边形中，是的中点，是的中点， 所以，，所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面． 又因为，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面． （2）证明：如图所示，连接，因为是等边三角形，是的中点，所以，因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 因为，，所以， 又因为，平面，所以平面． （3）如图所示，在平面内，过点作直线的垂线，垂足为，连接， 由（2）易得平面，又平面，所以，， 因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为，所以二面角的平面角为， 在中，，，，所以， 在中，，，，所以， 即二面角的正切值是． 【变式3-3】（2024·高一·浙江宁波·期末）如图，在多面体中，平面，，，四边形是正方形． (1)求直线与平面所成角的余弦值； (2)证明：平面； (3)求平面与平面所成的二面角的平面角的大小. 【解析】（1）因为平面，平面， 所以， 因为为正方形，所以， 又，，平面， 所以平面， 故就是直线与平面所成角， 又平面，所以， 因为平面，，所以平面， 平面，所以，所以， 在中 ，所以， 所以， 所以直线与平面所成角的余弦值为； （2）因为平面，平面， 所以， 因为，， 所以四边形为直角梯形， 所以，， 在中，，则， 故， 因为平面，平面， 所以， 在中，， 在中，，， 所以，又，，平面， 所以平面； （3）取的中点，连接、，则且， 所以四边形为平行四边形，所以，又， 所以，所以、、、四点共面，又，，， 平面， 所以平面，则平面，平面， 所以，， 所以为平面与平面所成的二面角的平面角， 又，，即为等腰直角三角形，所以， 所以平面与平面所成的二面角的平面角的大小为. 题型四：距离问题 【典例4-1】（2024·高一·吉林长春·期中）如图，已知平面ABC，，，，，，点为的中点 (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)若点为的中点，求点到平面的距离． 【解析】（1）∵平面，， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面， ∵，点为中点， ∴， ∵平面平面，平面， ∴平面. （2） 取中点，连接，， ∵，，，点为中点， ∴四边为平行四边形，∴， ∴直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等， ∵平面， ∴为直线与平面所成的角， ∵点为中点，， ∴，，， ∴，又，所以， 所以直线与平面所成角为. （3）如图，连结和， 由，，，且平面， 所以,， ，，, 所以是等边三角形，， 设点到平面的距离为， 则，即，得 所以点到平面的距离为 【典例4-2】（2024·高一·陕西西安·阶段练习）如图，在三棱锥中，平面，，，，分别为，的中点. (1)证明：平面平面； (2)若平面上有一动点，使得平面平面，求出动点的轨迹； (3)证明平面，并求直线到平面的距离. 【解析】（1）证明：因为平面，又平面，所以, 又，，平面，所以平面， 又平面，所以，由，为中点， 所以，又，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面. （2） 取中点为，连接，则分别为的中点， 所以，又平面，平面，所以平面， 且，由平面，平面，所以平面， 又平面，，所以平面平面， 因为点在平面内，所以点在直线上运动，可使得平面平面， 所以动点的轨迹为所在直线. （3）证明：由，分别为，的中点，故，又平面， 平面，所以平面，则到平面的距离为点 到平面的距离， 由为中点，所以，记为， ，又， 所以，由（1）可知，平面， 故，，， 由题可知，，， 所以，而， 所以. 【变式4-1】（2024·高一·浙江温州·期末）在三棱锥中，两两垂直，，. (1)求三棱锥的表面积； (2)求P到平面的距离. 【解析】（1） 因为两两垂直，，， 所以， 所以， 从而三棱锥的表面积为； （2）设点P到平面的距离为， 由（1）得三角形的面积为， 由等体积法有，，即， 解得，所以点P到平面的距离为. 【变式4-2】（2024·高一·河南周口·阶段练习）如图，在三棱锥中，，，，为等边三角形，，点E，F分别是线段，的中点. (1)证明：平面； (2)求点C到平面的距离. 【解析】（1）∵，，，∴， 又为等边三角形，∴， 在中，由余弦定理得， 解得，∴，即． ∵，，平面，∴平面. （2）取中点，连接，∵为等边三角形，∴， 又由（1）可知平面，平面，∴， 又∵，且平面，∴平面. ∵为的中点，∴点到平面的距离等于点到平面的距离． 在中，可知，在中，可知， ∵是的中位线，∴， 可得的面积 设点到平面的距离为，则三棱锥的体积， 又的面积， 点E到平面的距离为， ∴三棱锥的体积. 由，得，即点到平面的距离为. 【变式4-3】（2024·高一·浙江嘉兴·期中）如图，在直三棱柱中，，、分别是BC、的中点，. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离. 【解析】（1）在直三棱柱中，由，是的中点，得， 由平面，平面，得， 而平面，则平面， 又平面，则，而，平面， 所以平面. （2）在矩形中，由（1）知，，， 于是直角与直角相似，则，即， 因此，，，， ，， 设点到平面的距离为，由，得， ，解得， 所以点到平面的距离为. 题型五：体积问题 【典例5-1】（2024·高一·河南安阳·期中）在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，.    (1)证明： (2)若，当与平面所成角的正弦值最大时，求四棱锥的体积. 【解析】（1） 如图，连接，设，连接， 因为平面平面，故， 而平面， 故平面，而平面，故， 由四边形为平行四边形可得， 故为等腰三角形，即； （2）设， 由（1）可得平面，而平面，故， 故四边形ABCD为菱形，而，故， 因为平面平面，故， 故，同理， 而，故， 设为点到平面的距离，与平面所成的角为，， 故， 又， 而， 故，故， 故， 当且仅当即时等号成立，所以， 故此时. 【典例5-2】（2024·高一·云南昆明·期中）如图1，已知矩形ABCD中，为CD上一点且.现沿着折起，使点到达点的位置，且，得到的图形如图2. (1)证明为直角三角形； (2)设动点在线段上，判断直线与平面的位置关系，并说明理由. (3)若为中点且平面APE，求三棱锥的体积. 【解析】（1）在折叠前的图中，连接BE，如图： 由题意可得：，则 折叠后，所以， 又，所以，即， 所以为直角三角形. （2）当动点在线段上，设， 同样在线段上取，使得，则， 当时，则， 又且，所以，且， 则四边形CEMN为平行四边形，所以， 平面平面 所以平面； 当时，此时，但，所以四边形CEMN为梯形， 所以与必然相交，则与平面必然相交. 综上所述：当动点满足时，平面； 当动点满足时，与平面相交. （3）因为平面PAE，则三棱锥的高为 所以三棱锥的体积， 又因为Q为PB中点， 所以三棱锥的体积. 【变式5-1】（2024·高一·广东佛山·期中）如图，是四棱锥的高，，，为线段上一点，为的中点． (1)求证：平面； (2)求四面体的体积． 【解析】（1）取的中点，连接，． 因为为中点，为的中点， 所以为的中位线，于是，． 因为为线段上一点，，所以． 又因为，所以，而，所以四边形为平行四边形，于是． 又因为平面平面，所以平面． （2）因为是四棱锥的高，为的中点， 所以到平面的距离为． 过点作交于点，就是梯形的高． 因为，所以点为的中点，因为，所以． 由可得的高等于梯形的高，所以的高为， 所以． 所以四面体的体积为． 【变式5-2】（2024·高二·江西赣州·期末）如图，四棱锥中，底面ABCD为正方形，面ABCD，，E，F分别是PC，AD的中点． (1)证明：平面PFB； (2)求三棱锥的体积． 【解析】（1）取PB的中点G，连接EG，FG，如图， E，G分别是PC，PB的中点，底面ABCD为正方形， 且，又且， 且， 四边形是平行四边形， 则，又平面PFB，平面PFB， 平面PFB. （2）因为， 又平面ABCD，所以是三棱锥的高， 因为， F是AD的中点,则, 所以, 即三棱锥的体积是. 【变式5-3】（2024·高一·云南昆明·阶段练习）如图，在三棱柱中，，，，. (1)求证：平面平面ABC； (2)求四棱锥的体积. 【解析】（1）如图，取BC的中点M，连接AM，， ∵在三棱柱中，，， ∴，.又，， ∴，∴，∴，. 在中，，，， ∴，∴. 又，且，平面ABC， ∴平面ABC，又平面， ∴平面平面ABC. （2）由（1）可知平面ABC，又， ∴四棱锥的体积为： . 【过关测试】 1．（2024·高一·北京·期中）如图，已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱的长为2，E、F分别为和AC中点，则直线EF与平面所成角的余弦值为 ，异面直线与所成角的余弦值为 ． 【答案】 / 【解析】取中点，连接， 由题意可知，平面，所以为直线EF与平面所成角， 在中，， 所以； 取中点，连接， 可得， 所以异面直线与所成角的余弦值为， 在中，，， ， 由余弦定理可得，， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：；. 2．（2024·高三·河南鹤壁·期中）如图，在正三棱柱中，，，则直线与直线所成角的正切值为 ． 【答案】/ 【解析】在正三棱柱中，连接交于O点，取的中点F，连接OF， 显然是的中点，则，是与所成的角或其补角， 在中，，，， ，， 所以直线与直线所成角的正切值为. 故答案为： 3．（2024·高一·黑龙江大庆·阶段练习）如图，四棱柱的棱长均为2，点E是棱的中点，. (1)证明：平面； (2)若，求直线与底面所成角的正切值. 【解析】（1）连接交于点F，连接. 由题意知四边形是菱形，故点F是的中点. 又点E是棱的中点，所以. 又平面平面，所以平面. （2）连接，设，连接， 由，可得，则， 由题意知四边形是菱形，故点O是的中点，得， 在中，易得，故，得， 又，所以，又由菱形性质知，且， 平面，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 又，平面平面，平面， 所以平面，故是直线与底面所成的角. 又，所以，所以， 所以，即直线与底面所成角的正切值为. 4．（2024·高一·江苏泰州·阶段练习）如图，在三棱柱中，，，且平面平面 (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)设点为棱的中点，求直线与平面所成角的正切值． 【解析】（1）在中，由，， 则，∴，得到， ∴，∴， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面． （2）连接与，在中，由，， 则， ∴，∴， 在棱柱中，，由（1）知， ∴又，，，平面 ∴平面， 又平面，∴平面平面． （3）由（2）知平面，∴在平面内射影为 ∴为直线与平面所成角． 由（1）知平面，面，∴， 又，∴． 在中，，，则， 在中，，， ∴， 所以直线与平面所成角的正切值为． 5．（2024·高一·四川成都·期末）在平行四边形中，分别为的中点，将三角形沿翻折，使得二面角为直二面角后，得到四棱锥. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）取中点，连接和， 因为，分别为，的中点，所以，且, 又，且, 所以，且． 所以四边形是平行四边形． 所以．平面,平面 故平面 （2）由于在平行四边形中，分别为的中点， 所以，则， 因此，又，故， 由于二面角为直二面角，所以平面平面且两平面的交线为，又平面， 故平面， 平面，故平面平面. （3）由于平面平面且两平面的交线为，，平面，故平面, 由（2）知平面, 平面，故， 设点到平面的距离为，则，故， 设与平面所成角为，则. 6．（2024·高一·湖南永州·阶段练习）如图，在长方体中，， (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正切值. 【解析】（1）连接， 由题意可知：为正方体，则， 又因为平面，平面，则， 且，平面，可得平面， 由平面，可得. （2）由题意可知：平面，则即为直线与平面所成的角， 又因为，则， 所以所求角的正切值为 7．（2024·高一·广西南宁·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，. (1)求点到平面的距离； (2)求二面角的正切值. 【解析】（1）因为平面平面，平面平面，且，即，面， 所以平面，而平面，所以， 又，所以，又，平面， 所以平面，面，即， 由面，则， 又，，， 所以，， 则，故， 所以， 又因为平面平面，平面平面， 所以点到平面的距离即为点到直线的距离； 设点到平面的距离为，则， 设点到平面的距离为，则， 所以，即， 解得，即点到平面的距离为. （2） 如图：取中点，连结BD，取中点，连结， 因为，为中点，所以， 又平面平面，平面平面，面， 所以平面，又，， 所以，， 由题设易知为正方形，则，且， 所以且， 则平面， 所以平面，平面，所以， 所以在直角三角形中，即为二面角的平面角， . 8．（2024·高一·江苏扬州·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形， ，且. (1)若平面与平面相交于直线，求证：； (2)求证：平面平面； (3)求二面角的正切值 【解析】（1）由，平面，平面，得平面， 又平面，且平面与平面相交于直线， 所以. （2）在直角梯形中，，， 取的中点，连接，则，即四边形是平行四边形， 于是，则，即，又平面，平面， 则，又，平面，因此平面，而平面， 所以平面平面. （3）由（1）知，，由平面，平面，则， 而平面，于是平面，又平面， 则，过作于，连接，显然平面， 因此平面，而平面，则，即是二面角的平面角， 由，，得， 则，， 所以二面角的正切值是. 9．（2024·高一·浙江金华·期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，，，，，，点N在棱PC上，平面平面． (1)证明：； (2)若平面，求三棱锥的体积； (3)若二面角的平面角为，求． 【解析】（1）因为平面平面，平面平面，， 平面， 平面， 又平面， （2） 平面，平面，平面平面（其中点是的交点亦是中点）， ，可知N为中点， 而，，， 所以， 因为，， 所以， 因为平面，平面， 所以， 所以， 所以， 在三角形中，，由余弦定理有， 结合，解得， . （3） 由题意知平面，过点N作平行线交于点H， 面，再作（K为垂足）， 为二面角的平面角，， 由（2）可知，所以三角形是等腰直角三角形，同理三角形也是等腰直角三角形， 从而， 在三角形中，， 所以， 而，所以， 不妨设，， 则且，， . 10．（2024·高一·江苏南京·阶段练习）如图，在四面体中，已知，. (1)求证：； (2)求直线与平面所成的角； (3)求二面角的正切值. 【解析】（1）取的中点，连接，因为，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以. （2）因为，，所以， 又，所以为等腰直角三角形，且， 又，，平面，所以平面， 所以直线与平面所成的角为，在中，， 所以，所以直线与平面所成的角为； （3）取的中点，连接，则，且， 因为，所以，同理， 所以，又，所以， 所以是二面角的平面角， 在中，， 即二面角的正切值为. 11．（2024·高一·四川雅安·期末）已知平面四边形ABCD，，，，现将沿边折起，使得平面平面，此时，点为线段的中点. (1)求证：平面； (2)若为的中点，求与平面所成角的正弦值； (3)在（2）的条件下，求二面角的平面角的余弦值 【解析】（1）因为，，所以为等边三角形， 因为为的中点，所以. 取的中点，连接，，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 因为，，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，，平面，所以平面. （2）过点作，垂足为．如图所示， 由（1）知平面，因为平面，所以， 又因为，，平面，所以平面. ，因为平面，所以， ，，平面，所以平面， 所以为与平面所成角. 由（1）知，平面，平面，所以， 在中，因为，，所以， 因为为的中点，所以， 在中，， 在中，， 在中，， 所以由同角三角函数的基本关系得. 所以与平面所成角的正弦值为. （3）取的中点为，连接，因为为线段的中点， 所以， 由（1）知，平面，所以平面，平面. 所以，过点作，垂足为，连接，， ，平面，所以平面．平面，所以， 所以为二面角的平面角. 在中，， 由（1）知，为等边三角形，为线段的中点， 所以， 由（1）知，平面，平面．所以， 在中，，由（2）知，， 即，解得. 因为平面，平面，所以， 在中，， 所以，即二面角的平面角的余弦值为. 12．（2024·高一·广西南宁·期末）如图，三角形所在的平面与长方形所在的平面垂直，，.    (1)证明：； (2)求点到平面的距离. 【解析】（1）证明：取的中点，连接，因为，所以. 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面.又因为平面，所以. 又因为长方形中，，平面， 所以平面. 又因为平面，所以. （2）连接，由（1）知为三棱锥的高. 因为， 所以. 由（1）知，又因为，所以，所以. 设点到平面的距离为.因为， 所以，所以. 13．（2024·高一·山西忻州·阶段练习）如图①所示，在中，，D，E分别是AC，AB上的点，且．将沿DE折起到的位置，使，如图②所示．M是线段的中点，P是上的点，平面． (1)求的值． (2)证明：平面平面． (3)求点P到平面的距离． 【解析】（1）令平面交棱于点，连接，由，平面，平面， 则平面，而平面平面，平面，于是， 又平面，平面平面，平面，于是， 因此四边形是平行四边形，，而，， 所以. （2）在图①的中，由，得， 于是，而，则，， 又M是线段的中点，则，， 由（1）得，则，， 则有，，因此， 显然，平面，则平面， 而，因此平面，又平面，则， 又平面，从而平面，又， 则平面，而平面， 所以平面平面. （3）由（1）知，又平面，平面，则平面， 即点到平面的距离等于点到平面的距离， 所以点P到平面的距离为. 14．（2024·高一·广东广州·阶段练习）在直三棱柱中，，，，是的中点． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 【解析】（1） 设，连接， 直三棱柱中，是矩形， 是中点，点是的中点， ，平面，平面， 平面； （2）易知， 又，, 在中，，，， 由余弦定理可得，， 所以， 则， 设点到平面的距离为， 因为，所以， 即，所以． 15．（2024·高一·全国·专题练习）如图，四棱锥为正四棱锥，底面ABCD是边长为2的正方形，四棱锥的高为1，点E在棱AB上，且． (1)若点F在棱PC上，是否存在实数满足，使得平面PDE？若存在，请求出实数的值；若不存在，请说明理由． (2)在第（1）问的条件下，当平面PDE时，求三棱锥的体积． 【解析】（1） 存在实数满足，使得平面PDE． 证明如下：取DC上一点G，满足，连接GF，GB，BF． 因为，所以． 因为平面PDE，平面PDE，所以平面PDE． 因为底面ABCD是正方形，且，所以且相等， 所以四边形EBGD为平行四边形，所以． 因为平面PDE，平面PDE，所以平面PDE． 又因为，平面BGF，平面BGF， 所以平面平面PDE． 又因为平面BGF，所以平面PDE． （2）已知，因为平面PDE，所以． 又因为正四棱锥的高为1，底面边长为2，所以． 16．（2024·高一·吉林·期中）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，，，平面平面，，点在棱上，且平面 (1)求的长； (2)求三棱锥的体积. 【解析】（1）由于平面，平面，平面平面， 所以，由于是中点，所以是的中点， 平面平面，且两平面交线为， 又，，故，平面， 由面面垂直的性质知平面，平面，故， 由于底面是菱形，，，故, 所以, 因此. （2）由于是的中点，所以到平面的距离是到平面的距离的一半， 所以. 17．（2024·高三·内蒙古锡林郭勒盟·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱上的一点，且． (1)证明：平面； (2)求四棱锥的体积． 【解析】（1）连接交于点，连接． 在底面中，因为，， 由，可得， 因为，即， 所以在中，，故， 因为平面，平面， 所以平面； （2）取的中点，连接，由，， 得为等边三角形，所以． 在等边三角形中，， 所以． 因为． 18．（2024·高一·广东深圳·期中）如图，已知正四棱台，点为棱的中点， (1)若，证明平面； (2)若，求正四棱台的体积． 【解析】（1）点为棱的中点，连接，如图所示， 又点为棱的中点，由梯形中位线可得，， ，，则，， 所以，，四边形为平行四边形，， 平面，平面，所以平面 （2）为底面正方形的中心，为底面正方形的中心，则平面， ，则有， 直角梯形中，过作，垂足为，则， ，有，得正四棱台的高为， 正四棱台上表面面积，下表面面积， 所以正四棱台的体积. 19．（2024·高一·海南省直辖县级单位·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD是梯形，其中，且，平面ABCD，，M为PC的中点． (1)求证：平面ABM； (2)求三棱锥的体积． 【解析】（1）如图，取的中点，连接，，则且． ∵且， ∴，即四点共面． ∵平面，平面， ∴，又，， ∴平面， ∵平面， ∴． 又，是的中点， ∴，又， ∴平面，即平面． （2）∵，平面，平面， ∴平面，即点到平面的距离等于线段到平面的距离． ∵，，PD，平面，， ∴平面， 由（1）知，平面，，可得， ∴ ． 20．（2024·高三·四川成都·期末）如图，四棱锥中，，，，平面平面. (1)证明：； (2)若，M是的中点，求三棱锥的体积. 【解析】（1）在四棱锥中，，，， 四边形是直角梯形，，，， 于是，即，而平面平面， 平面平面，平面，则平面，又平面， 所以. （2）取的中点，连接，由，得，， 由平面平面，平面平面，平面，得平面， 由M是的中点，得点到平面的距离，又， 显然，所以三棱锥的体积. 21．（2024·高一·吉林·期末）如图，在四棱锥中，在线段上（不含端点），底面. (1)证明：平面平面. (2)设，请写出三棱锥的体积关于的函数表达式，并求出的最大值. 【解析】（1）因为底面底面，所以. 又因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）过点作，交于，连接. 由，得，因为，所以，则，所以， 则， . 因为底面，平面，所以，又，平面，所以平面，而平面， 所以. 中由余弦定理得，所以， 则， 所以. 因为，所以 所以当时，取得最大值，最大值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$