专题21.2 用配方法解一元二次方程（9考点+过关检测）-【学霸满分】2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）

专题21.2 用配方法解一元二次方程 目录 【典型例题】 1 【考点一 直接开平方法解一元二次方程】 1 【考点二 直接开平方法解一元二次方程的条件】 3 【考点三 直接开平方法解一元二次方程的复合型】 4 【考点四 用配方法配二次项系数为1的一元二次方程】 5 【考点五 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程】 6 【考点六 用配方法配二次项系数不为1的一元二次方程】 8 【考点七 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程】 9 【考点八 用配方法解一元二次方程中错解复原问题】 12 【考点九 配方法的应用】 15 【过关检测】 17 【典型例题】 【考点一 直接开平方法解一元二次方程】 例1．（2024八年级下·浙江·专题练习）解方程： (1) ； (2)． 【变式训练】 1.（24-25八年级上·全国·课后作业）求x的值：． 2.（23-24八年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【考点二 直接开平方法解一元二次方程的条件】 例2.（23-24九年级上·四川达州·期中）已知一元二次方程，若方程有解，则必须（ ） A． B． 同号 C． 的整数倍 D． 异号 【变式训练】 1.（23-24九年级上·四川成都·期末）若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2.（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【考点三 直接开平方法解一元二次方程的复合型】 例3. （23-24九年级上·江西萍乡·期末）解方程： 【变式训练】 1.（23-24九年级上·江苏常州·期中）解方程：． 2.（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）用适当的方法解方程： 【考点四 用配方法配二次项系数为1的一元二次方程】 例4.（23-24八年级下·浙江金华·期中）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1.（2024·山西阳泉·三模）用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 2.（23-24八年级下·广西百色·期中）用配方法解方程时，配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点五 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程】 例5. （2024·广东东莞·模拟预测）解方程： 【变式训练】 1.（23-24八年级下·安徽安庆·阶段练习）解方程：（用配方法） 2.（2024·甘肃陇南·一模）解方程：． 3.（23-24八年级上·上海青浦·期中）用配方法解方程： 【考点六 用配方法配二次项系数不为1的一元二次方程】 例6.（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）用配方法解方程时，变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1.（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 2.（23-24八年级下·安徽淮北·阶段练习）用配方法解方程，应把它先变形为（    ） A． B． C． D． 【考点七 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程】 例7. （23-24八年级下·山东烟台·期中）配方法解一元二次方程：． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解方程 (1)． (2) 2.（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）用配方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4) 【考点八 用配方法解一元二次方程中错解复原问题】 例8：（2024·江西吉安·三模）小明解一元二次方程的过程如下，请你仔细阅读，并回答问题： 解：原方程可变形为，（第一步） ∴，（第二步） ∴，（第三步） ∴，（第四步） ∴，（第五步） ∴，．（第六步） (1)小明解此方程使用的是______法；小明的解答过程是从第______步开始出错的． (2)请写出此题正确的解答过程． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）王明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程的过程如下： 解：移项，得．                第一步 二次项系数化为1，得．            第二步 配方，得．                第三步 因此．                        第四步 由此得或．                第五步 解得．                        第六步 (1)王明的解题过程从第______步开始出现了错误； (2)请利用配方法正确地解方程． 2．（23-24九年级上·宁夏吴忠·期中）配方法解一元二次方程． 下面是某同学的解题过程，请认真阅读并完成任务 ． 解：．    第一步 ．    第二部 ．    第三步     第四步     第五步 ，．    第六步 任务一：该同学解答第________步出现了错，错误的原因是________________．做这一步的依据是________________________ 任务二：写出用配方法解方程的正确过程． 【考点九 配方法的应用】 例8. （23-24九年级上·新疆昌吉·阶段练习）代数式有最 值，其最值为 ． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）（1）当__________时，多项式的最小值为__________． （2）当__________时，多项式的最大值为__________． （3）当、为何值时，多项式取最小值？并求出这个最小值． 2.（2024·河北石家庄·一模）（1）发现，比较4m与 的大小， 填“>” “<”或“=”： 当时， ； 当时， ； 当时， ； （2）论证，无论m取什么值，判断4m与有怎样的大小关系?试说明理由； （3）拓展，试通过计算比较．与的大小． 【过关检测】 一、单选题 1．（2024·广东广州·三模）用配方法解方程时，配方后所得的方程（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·福建泉州·期中）下面是小明解方程的过程： 解：， ， ，. 上述解法用到的方法是（    ） A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 3．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）代数式的值恒为（   ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 4．（23-24八年级下·浙江绍兴·阶段练习）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如与是“同族二次方程”，现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是（   ） A．2023 B．2024 C．2018 D．2019 二、填空题 5．（23-24八年级下·全国·假期作业）一元二次方程配方后可化为 ． 6．（23-24九年级上·青海海东·期中）将方程化成的形式，则 ． 7．（22-23九年级上·陕西咸阳·期中）将方程用配方法化为，则 ． 8．（23-24九年级上·河南驻马店·期中）在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：，则方程的解为 ． 三、解答题 9．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）解方程： (1)． (2)． 10．（23-24九年级上·广东肇庆·阶段练习）解方程： (1) (2) 11．（23-24八年级下·全国·假期作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)． 12．（2024·宁夏银川·一模）下面是某老师讲解一元二次方程的解法时在黑板上的板书过程：请认真阅读并完成任务． 解方程：． 解：，                第一步 ，        第二步 ，                    第三步 ，                        第四步 ，．                第五步 (1)任务一： ①杨老师解方程的方法是 ； A．直接开平方法            B．配方法                C．公式法    D．因式分解法 ②第二步变形的依据是 ； (2)任务二： 解方程：； 13．（23-24九年级上·山西临汾·期末）下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解： 二次项系数化为1，得                    第一步 移项，得                                    第二步 配方，得，即            第三步 由此，可得                                第四步 所，                        第五步 任务一：填空： ①上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是______，其中，“配方法”所依据的数学公式是______； ②“第二步”变形的数学依据是______； ③小明同学解题过程中，从第步______开始出现错误，请直接写出正确的结果______； 任务二：请你运用“配方法”解一元二次方程：． 14．（23-24八年级下·广西百色·期中）先阅读下列问题，再按要求解答问题： 例题：求代数式的最小值． 解： ∵，∴， ∴的最小值是9． (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值； (3)小红的爸爸要在一块一边靠墙（墙长）的空地上建一个长方形鸡舍，鸡舍一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．如图，设；请问：当x取何值时，鸡舍的面积最大？最大面积是多少？ 15．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：分解因式：． 解：原式 再如：求代数式的最小值． 解：， 当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：（应用配方法） (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)利用配方法，尝试求出等式中，的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21.2 用配方法解一元二次方程 目录 【典型例题】 1 【考点一 直接开平方法解一元二次方程】 1 【考点二 直接开平方法解一元二次方程的条件】 3 【考点三 直接开平方法解一元二次方程的复合型】 4 【考点四 用配方法配二次项系数为1的一元二次方程】 5 【考点五 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程】 6 【考点六 用配方法配二次项系数不为1的一元二次方程】 8 【考点七 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程】 9 【考点八 用配方法解一元二次方程中错解复原问题】 12 【考点九 配方法的应用】 15 【过关检测】 17 【典型例题】 【考点一 直接开平方法解一元二次方程】 例1．（2024八年级下·浙江·专题练习）解方程： (1) ； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程： （1）利用直接开平方法求解； （2）先移项，再利用直接开平方法求解． 【详解】（1）解：， ， ∴， ∴，； （2）解：， ， ∴， ∴，． 【变式训练】 1.（24-25八年级上·全国·课后作业）求x的值：． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元二次方程—直接开平方法，解题的关键是熟练掌握平方根的定义， 方程两边同时除以4，再利用平方根的定义即可求解； 【详解】解： 或， 解得或． 2.（23-24八年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查的是用直接开平方法解一元二次方程．若，则． （1）移项，得． 两边同除以9，得． 两边同时开平方，得或， ∴，． （2）直接开平方，得 或， ∴，． 【考点二 直接开平方法解一元二次方程的条件】 例2.（23-24九年级上·四川达州·期中）已知一元二次方程，若方程有解，则必须（ ） A． B． 同号 C． 的整数倍 D． 异号 【答案】D 【分析】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，由移项得，再两边同时除以，可得，再根据偶次幂的非负性可得异号，解题的关键是把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成的形式，利用数的开方直接求解． 【详解】解：， 则， ∵， ∴， ∵，， ∴为异号， 故选：． 【变式训练】 1.（23-24九年级上·四川成都·期末）若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法——直接开平方法，根据偶次方的非负性解答即可．熟记偶次方的非负性是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程有实数根， ∴， 解得：， 故选：D． 2.（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】D 【分析】将常数项移到等号的右边，利用平方的非负性即可进行判断． 【详解】解：将原方程可变形为：， ∵， ∴原方程没有实数根， 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况．利用平方的非负性进行判断是解决此题的简便方法． 【考点三 直接开平方法解一元二次方程的复合型】 例3. （23-24九年级上·江西萍乡·期末）解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程－直接开平方法．开平方求出的值，然后求出x的值即可． 【详解】解：， ∴， 则或， 解得． 【变式训练】 1.（23-24九年级上·江苏常州·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴或， 解得，． 2.（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）用适当的方法解方程： 【答案】， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，根据方程的特点选择恰当解法是解题的关键．直接用开平方法求解即可． 【详解】解：原式直接开方得，， 或， ∴原方程的解为：，． 【考点四 用配方法配二次项系数为1的一元二次方程】 例4.（23-24八年级下·浙江金华·期中）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，将方程两边同时加上一次项系数一半的平方，再写成完全平方式即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，即， 故选：A． 【变式训练】 1.（2024·山西阳泉·三模）用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的配方法．把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得到结果，即可做出判断． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：， 整理得：， 故选：D． 2.（23-24八年级下·广西百色·期中）用配方法解方程时，配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了配方法求解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法求解一元二次方程的步骤．根据配方法的步骤，求解即可． 【详解】解： 移项得： 配方得： 即 故选：B 【考点五 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程】 例5. （2024·广东东莞·模拟预测）解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程． 【详解】解： ， ， ， ，． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·安徽安庆·阶段练习）解方程：（用配方法） 【答案】 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，把方程变形为，开平方得到，解一元一次方程即可得到答案． 【详解】解： ∴ 则 ∴ 开平方得， 解得 2.（2024·甘肃陇南·一模）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，直接利用配方法解方程即可． 【详解】解：， ， 解得． 3.（23-24八年级上·上海青浦·期中）用配方法解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 移项，然后两边都加上一次项系数的一半的平方，再根据完全平方公式整理，然后求解即可． 【详解】解：移项得，， 配方得，， 即， ， ，． ∴方程的解为，． 【考点六 用配方法配二次项系数不为1的一元二次方程】 例6.（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）用配方法解方程时，变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把二次项系数化为1，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案． 【详解】解； ， 故选：A． 【变式训练】 1.（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是利用配方法解一元二次方程．先把原方程化为：，再“两边同时加上一次项系数一半的平方”，从而可得答案． 【详解】解：， ， 配方得，即， 故选：A． 2.（23-24八年级下·安徽淮北·阶段练习）用配方法解方程，应把它先变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元二次方程-配方法，涉及完全平方差公式、等式性质等知识，由配方法，利用完全平方差公式恒等变形即可得到答案，熟练掌握配方法是解决问题的关键． 【详解】解：， 二次项系数化为1得， 移常数项得， 配方得， ，即， 故选：A． 【考点七 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程】 例7. （23-24八年级下·山东烟台·期中）配方法解一元二次方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解： 两边同除以，得， 移项，得， 配方，得，即， 开平方，得， ∴，或， ∴，． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解方程 (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据直接开平方法解答即可； （2）根据配方法解答即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 2.（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）用配方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4) 【分析】本题考查解一元二次方程，正确计算是解题的关键： （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可； （3）利用配方法解一元二次方程即可； （4）利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ，； （2）解：， ， ，； （3）解：， ， ，； （4）解：， ， ， ． 【考点八 用配方法解一元二次方程中错解复原问题】 例8：（2024·江西吉安·三模）小明解一元二次方程的过程如下，请你仔细阅读，并回答问题： 解：原方程可变形为，（第一步） ∴，（第二步） ∴，（第三步） ∴，（第四步） ∴，（第五步） ∴，．（第六步） (1)小明解此方程使用的是______法；小明的解答过程是从第______步开始出错的． (2)请写出此题正确的解答过程． 【答案】(1)配方；三 (2)， 【分析】（1）根据配方法解答即可． （2）根据配方法的基本步骤规范解答即可． 本题考查了配方法解方程，熟练掌握配方法解方程是解题的关键． 【详解】（1）根据题意，这种解方程的方法是配方法，配方时，在第三步时出现错误， 故答案为：配方法，第三步． （2）原方程可变形为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）王明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程的过程如下： 解：移项，得．                第一步 二次项系数化为1，得．            第二步 配方，得．                第三步 因此．                        第四步 由此得或．                第五步 解得．                        第六步 (1)王明的解题过程从第______步开始出现了错误； (2)请利用配方法正确地解方程． 【答案】(1)二 (2) 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键，配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方． （1）由配方法解一元二次方程即可判断错误的步骤； （2）由配方法解一元二次方程即可得到答案； 【详解】（1）解题过程从第二步开始出现了错误，错误原因是系数化为1时，等式右边的-3未除以2， 故答案为：二； （2）． 移项，得：， 二次项系数化为1，得：， 配方，得：， 因此， 由此得：或， 解得：． 2．（23-24九年级上·宁夏吴忠·期中）配方法解一元二次方程． 下面是某同学的解题过程，请认真阅读并完成任务 ． 解：．    第一步 ．    第二部 ．    第三步     第四步     第五步 ，．    第六步 任务一：该同学解答第________步出现了错，错误的原因是________________．做这一步的依据是________________________ 任务二：写出用配方法解方程的正确过程． 【答案】任务一：三；配方错误；等式的基本性质1；任务二：，；过程见解析 【分析】本题主要考查配方法解一元二次方程，将常数项移到方程的右边，再把二次项系数化为1，继而边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．熟知配方法解一元二次方程的方法及一般步骤是解题的关键． 【详解】解：任务一：第三步开始出现错误；错误的原因是配方错误；等式的基本性质1； 故答案为：三；配方错误；等式的基本性质1； 任务二：配方法解方程的正确过程如下： ， ， ， ， ， ， 解得：，． 【考点九 配方法的应用】 例8. （23-24九年级上·新疆昌吉·阶段练习）代数式有最 值，其最值为 ． 【答案】 小 1 【分析】本题主要考查了配方法的应用，利用配方法把原代数式变形为，根据得到，据此可得答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值1， ∴有最小值，最小值为1， 故答案为：小，1． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）（1）当__________时，多项式的最小值为__________． （2）当__________时，多项式的最大值为__________． （3）当、为何值时，多项式取最小值？并求出这个最小值． 【答案】（1）3，3 （2）1， （3），，最小值是10 【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由配方可知，然后根据非负数的性质，判断出的值，然后进行计算即可； （2）由配方可知，然后根据非负数的性质，判断出的值，然后进行计算即可； （3）由配方可知，然后根据非负数的性质，判断出和的取值，然后进行计算即可． 【详解】（1） 当时，多项式取最小值，且最小值为3； 故答案为：3，3 （2） 当时，多项式取最大值，且最大值为； 故答案为：1，； （3） ， 当且，即时，多项式取最小值，并且最小值为． ，，最小值是10． 2.（2024·河北石家庄·一模）（1）发现，比较4m与 的大小， 填“>” “<”或“=”： 当时， ； 当时， ； 当时， ； （2）论证，无论m取什么值，判断4m与有怎样的大小关系?试说明理由； （3）拓展，试通过计算比较．与的大小． 【答案】（1），，；（2）总有，理由见解析；（3） 【分析】此题考查了配方法的应用，不等式的性质，用到的知识点是不等式的性质、完全平方公式、非负数的性质，关键是根据两个式子的差比较出数的大小． （1）当时，当时，当时，分别代入计算，再进行比较得出结论填空即可； （2）根据，即可得出无论取什么值，判断与有； （3）拓展：先求出，再判断的正负，即可做出判断． 【详解】解：（1）①当时，，，则， ②当时，，，则， ③当时，，，则． 故答案为：；；； （2）无论取什么值，判断与有， 理由如下： ， 无论取什么值，总有； （3）拓展： ， 故． 【过关检测】 一、单选题 1．（2024·广东广州·三模）用配方法解方程时，配方后所得的方程（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．利用配方法二次项系数化1，移项，配方，进行作答即可得． 【详解】解：， ， ， 故选：D． 2．（23-24九年级上·福建泉州·期中）下面是小明解方程的过程： 解：， ， ，. 上述解法用到的方法是（    ） A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解，求一个一元二次方程的解，一般用到的方法是公式法、配方法、因式分解法，熟练掌握配方法是解答本题的关键． 配方法一般步骤：先移项，将常数项移到等式右边；再将二次项系数化为；最后配方：等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，故上述解法用到的方法配方法． 【详解】解：由已知条件知， ，将常数项移到等式右边，并且等式两边同时加一次项系数一半的平方， ，利用了完全平方公式， 上述解法用到的方法配方法， 故选B 3．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）代数式的值恒为（   ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【答案】A 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．将原式整理为，即可获得答案． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴代数式的值恒为正数． 故选：A． 4．（23-24八年级下·浙江绍兴·阶段练习）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如与是“同族二次方程”，现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是（   ） A．2023 B．2024 C．2018 D．2019 【答案】D 【分析】本题考查了配方法的应用，一元二次方程的定义，理解题目中的新定义是解题的关键；利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【详解】与是“同族二次方程”， ， ， ，解得：， ， 当时，能取的最小值是2019， 故选：． 二、填空题 5．（23-24八年级下·全国·假期作业）一元二次方程配方后可化为 ． 【答案】 【解析】略 6．（23-24九年级上·青海海东·期中）将方程化成的形式，则 ． 【答案】5 【分析】此题考查了解一元二次方程配方法，利用完全平方公式整理后，即可求出与的值． 【详解】解：方程， 变形得：， 配方得：，即， 则，， 故， 故答案为：5． 7．（22-23九年级上·陕西咸阳·期中）将方程用配方法化为，则 ． 【答案】22 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程和求代数式的值．把化成一般式，然后根据题意即可得到和的值，从而可以求得的值． 【详解】解：， ， ，， ， ， 故答案为：22． 8．（23-24九年级上·河南驻马店·期中）在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：，则方程的解为 ． 【答案】， 【分析】根据新定义得到，由得到，利用配方法解方程即可．此题考查了解一元二次方程，根据题意得到一元二次方程是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， 则， ∴， ， 开平方得，， ∴， ∴， 故答案为：，． 三、解答题 9．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用配方法求解即可； （2）利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 解得：，； （2）， ， ， ， 解得：，． 【点睛】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握各自的解法是解本题的关键． 10．（23-24九年级上·广东肇庆·阶段练习）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）移项，配方，直接开平方即可得到答案； （2）移项，配方，直接开平方即可得到答案． 【详解】（1）移项得， 配方得， 开平方得， （2）移项得， 配方得， 开平方得， 【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，解题的关键是正确配方． 11．（23-24八年级下·全国·假期作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无实数根 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握配方法解方程是解题的关键； （1）由题意易得，然后进行配方即可求解； （2）由题意易得，则有，然后进行配方即可求解 【详解】（1）解：移项，得， 配方，得， 即， ． （2）解：移项，得． 二次项系数化为1，得． 配方，得， 即． 因为任何实数的平方都不会是负数，所以原方程无实数根． 12．（2024·宁夏银川·一模）下面是某老师讲解一元二次方程的解法时在黑板上的板书过程：请认真阅读并完成任务． 解方程：． 解：，                第一步 ，        第二步 ，                    第三步 ，                        第四步 ，．                第五步 (1)任务一： ①杨老师解方程的方法是 ； A．直接开平方法            B．配方法                C．公式法    D．因式分解法 ②第二步变形的依据是 ； (2)任务二： 解方程：； 【答案】(1)①B；②等式的性质 (2)， 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的求解过程是解答的关键． （1）①根据解方程过程可得结论； ②根据等式的性质求解即可； （2）仿照例题中的配方法求解过程求解即可． 【详解】（1）解：①杨老师解方程的方法是配方法， 故选：B； ②第二步变形的依据是等式的性质， 故答案为：等式的性质； （2）解： 解得，． 13．（23-24九年级上·山西临汾·期末）下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解： 二次项系数化为1，得                    第一步 移项，得                                    第二步 配方，得，即            第三步 由此，可得                                第四步 所，                        第五步 任务一：填空： ①上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是______，其中，“配方法”所依据的数学公式是______； ②“第二步”变形的数学依据是______； ③小明同学解题过程中，从第步______开始出现错误，请直接写出正确的结果______； 任务二：请你运用“配方法”解一元二次方程：． 【答案】任务一：①转化；完全平方公式；②等式的基本性质；③三；，；任务二：， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键； 任务一：①根据转化思想，完全平方公式解答； ②根据移项的依据是等式的性质解答； ③由完全平方公式判断即可解答； 任务二： 根据配方法的基本步骤，由完全平方公式进行计算． 【详解】解：任务一：①由题意得，此过程所体现的数学思想是转化：其中，“配方法”所依据的数学公式是完全平方公式； 故答案为；转化；完全平方公式； ②“第二步”变形的数学依据是等式的基本性质（或等式两边同时加上（或减去）同一个整式，所得结果仍是等式）； 故答案网诶；等式的基本性质 ③观察可知，小明是在第三步配方的时候出错， 配方，得，即， 由此，可得， ，， 故答案为：三；，； 任务二： 解： ， ， ， ， ， 或， ，。 14．（23-24八年级下·广西百色·期中）先阅读下列问题，再按要求解答问题： 例题：求代数式的最小值． 解： ∵，∴， ∴的最小值是9． (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值； (3)小红的爸爸要在一块一边靠墙（墙长）的空地上建一个长方形鸡舍，鸡舍一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．如图，设；请问：当x取何值时，鸡舍的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)4 (2)4 (3)当时，花园的面积最大，最大面积是 【分析】本题考查了配方法的应用： （1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值； （2）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值； （3）根据题意列出关系式，配方后根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值以及的值即可； 熟练掌握配方法是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴的最小值是4． （2）， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值是4． （3）设，则， 由题意，得花园的面积是， ， ， 的最大值是50，此时，，符合题意， 则当时，花园的面积最大，最大面积是． 15．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：分解因式：． 解：原式 再如：求代数式的最小值． 解：， 当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：（应用配方法） (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)利用配方法，尝试求出等式中，的值． 【答案】(1) (2)当时，多项式有最大值，最大值是7 (3)， 【分析】本题考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握利用配方法和分组法分解因式． （1）利用配方法，把所求整式写成一个完全平方式和一个常数差的形式，再利用平方差公式进行分解因式即可； （2）利用配方法把所求整式写成一个完全平方式与一个常数和的形式，然后根据偶次方的非负性，求出答案即可； （3）利用分组法把等式的左边分解因式，然后根据偶次方非负性，列出关于的方程，求出的值即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：， ， 当时，多项式有最大值，最大值是7； （3）解：， ， ， ，， 解得，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$