第20讲 重难点拓展：二次函数综合之七种存在性问题【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（人教版）

第20讲重难点拓展：二次函数综合之七种存在性问题 题型一：等腰三角形存在性 题型二：直角三角形存在性 题型三：等腰直角三角形存在性 题型四: 平行四边形的存在性问题 题型五：菱形的存在性问题 题型六：矩形的存在性问题 题型七：正方形存在性问题 一、等腰三角形存在性 根据等腰三角形的定义，若为等腰三角形，则有三种可能情况：（1）AB=BC；（2）BC=CA；（3）CA=AB．但根据实际图形的差异，其中某些情况会不存在，所以等腰三角形的存在性问题，往往有2个甚至更多的解，在解题时需要尤其注意． 1、知识内容： 在用字母表示某条线段的长度时，常用的方法有但不仅限于以下几种： （1）勾股定理：找到直角三角形，利用两边的长度表示出第三边； （2）两点间距离公式：设A（x1，y1）、B（x2，y2） 2、解题思路： （1）利用几何或代数的手段，表示出三角形的三边对应的函数式； （2）根据条件分情况进行讨论，排除不可能的情况，将可能情况列出方程（多为分式或根式方程） （3）解出方程，并代回原题中进行检验，舍去增根． 二、直角三角形存在性 在考虑△ABC是否为直角三角形时，很显然需要讨论三种情况：①∠A=90°；②∠B=90°；③∠C=90°．在大多数问题中，其中某两种情况会较为简单，剩下一种则是考察重点，需要用到勾股定理。 以函数为背景的直角三角形存在性问题 1、知识内容： 在以函数为背景的此类压轴题中，坐标轴作为一个“天然”的直角存在，在解题时经常会用到，作出垂直于坐标轴的直线来构造直角。另外，较困难的情况则需要用到全等或者勾股定理的计算来确定直角三角形． 2、解题思路： （1）按三个角分别可能是直角的情况进行讨论； （2）计算出相应的边长等信息； （3）根据边长与已知点的坐标，计算出相应的点的坐标． 三、平行四边形的存在性问题 1.要先明确定点和动点，常以定点为对角线和边进行分类; 2.三定一动，有三种情况，可借助平移，全等、中点公式等知识确定坐标..(坐标平移规律:左减右加变x上加下减变 y如何平移?可先确定其中两点的变化作参照，以此变化确定) 3.两定两动:以定线段作边或对角线，确定分类;常借助对应边相等、坐标间关系及中点坐标公式建等式求解 常见设问:已知 A、B，求另外两点 C、D与A、B两点构成平行四边形 分类讨论: 当AB为边时，找AB平行且等于的 CD利用距离建立数量关系，求出相应点的坐标; 当AB为对角线时，AB 的中点即为对角线的交点，结合图形的对称性，围绕对角顶点的横坐标和纵坐标之和分别相等进行求解，列出两个二元一次方程组来求解. 4.三动点或四动点:往往有不变特征，如两边始终平行，满足相等即可 四、菱形的存在性问题(常为含 60°角的菱形) 通常有两大类: 1.已知三个定点探究菱形时，分别以三个定点中的任意两个定点确定线段为要探究的菱形的对角线画出 所有菱形，结合题干要求找出满足条件的菱形; 2已知两个定点去探究菱形时，以两个定点连线所成的线段作为要探究菱形的对角线或边长画出符合题意的 菱形，结合题干要求找出满足条件的菱形: 3.计算:建立类似平行四边形的存在性问题来解 五、矩形的存在性问题 等价于直角三角形的存在性问题 （其特点往往是2定点2动点），通过构造一线三等角模型或勾股定理，可以求出其中一个顶点的坐标，再根据对称性求出另一个顶点的坐标。 分类的依据往往是以已知两点所在线段为边或对角线进行分类讨论。 六、正方形存在性问题 正方形是菱形和矩形特征的集结，因此同时采取菱形或矩形存在性问题解决的方法去求点的坐标。 题型归纳 题型一：等腰三角形存在性 【例1】（2023·广东汕头·汕头市潮阳实验学校校考二模）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，拋物线的对称轴交轴于点，已知．    (1)求抛物线的解析式； (2)点是线段上的一个动点（不与重合），过点作轴的垂线与抛物线相交于点，当点运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积及此时点的坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，四边形的面积最大，最大值为，此时 (3)存在，满足条件的点坐标为 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）根据抛物线解析式得出对称轴为直线，进而得出，求得直线的解析式为，设，则，进而得出，根据四边形的面积，进而根据二次函数的性质即可求解； （3）先利用勾股定理求得，再根据等腰三角形的性质分和，结合坐标与图形求解即可． 【详解】（1）将代入抛物线解析式得 ， 解得 抛物线解析式为 （2）抛物线的对称轴为直线 设直线的解析式为，将点坐标代入得 解得 直线的解析式为 设，则 四边形的面积 当时，四边形的面积最大，最大值为，此时    （3）， ， 当时，点坐标为或， 当时，点坐标为， 当时，设 则， 解得：，则点坐标为， 综上所述，满足条件的点坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，待定系数法求解析式，面积问题，等腰三角形的定义，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【变式1-1】（2023·浙江·九年级假期作业）如图，抛物线的顶点为D，其图象交x轴于A，B两点，交y轴于点，点B的坐标为．    (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以A，C，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出以为腰时点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线解析式为 (2)存在，符合条件的点M有3个，其坐标分别为 或 或 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）设点M的坐标为，分两种情况讨论：① 当时；② 当时，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴代入得解得 ∴抛物线解析式为． （2）解：存在； 由（1）得：抛物线解析式为， ∴对称轴， 当时，解得或1， ∴点A的坐标为， ∵点C坐标为， 设点M的坐标为， 由勾股定理，得， ， ， ∵为等腰三角形的腰， ① 当时，即．解得， ∴，； ② 当时，即，解得， ∴； 综上，符合条件的点M有3个，其坐标分别为或或； 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求解析式、三角形问题，掌握解题方法是关键． 【变式1-2】（2023春·湖北武汉·九年级校考期中）如图，抛物线与x轴于A，B两点，交y轴于点C，． (1)直线过A，C两点， ①如图1，求抛物线的解析式； ②如图1，将直线向右平移，A的对应点为B，且，以为一边作等腰三角形，求N的坐标； (2)如图2，M为抛物线第一象限上任意一点，直线交y轴于点H，若，求a的值． 【答案】(1)①；②N点坐标为或或，或或或 (2) 【详解】（1）解：①直线过，两点， ， 将、点坐标代入， ， 解得， 抛物线的解析式为； ②当时，， 解得或， ， 将直线向右平移，的对应点为， 平移后的直线的解析式为， ，， ， ， ， 过点作轴交于点， ， ， ，， ， ，， ，， 当时，或或，； 当时，或或； 综上所述：点坐标为或或，或或或； （2）解：， ， 设，直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， ，， ， ， 解得． 【点睛】本题考查二次函数综合题，涉及到一次函数和二次函数的图象和性质、等腰三角形的性质、解直角三角形等，有一定的综合性，难度适中． 【变式1-3】（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考三模）如图，在平面直角坐标系中，拋物线与轴交于两点，与y轴交于点C．    (1)求的面积； (2)点P是直线下方抛物线上一动点，过作于点，求线段的最大值及此时点P的坐标； (3)将抛物线沿射线平移个单位得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点，将沿直线平移得到（不与重合），若以点，，为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1)18 (2)，此时 (3)或或 【分析】（1）分别令和解方程可得点、、的坐标，再用三角形面积公式求出面积即可； （2）过点作轴交于点，数形结合思想找到和的数量关系，求最大值转化为求最大值问题，利用配方法求最值即可； （3）根据相似三角形的性质，把图象的平移转化为水平和左右平移，则向下平移个单位长度，向左平移个单位长度，得出新抛物线解析式，求出两个抛物线的交点坐标，再设向下平移个单位长度，向左平移个单位长度，则，，然后根据等腰三角形的性质建立关于的方程求解，即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 当时，，解得：，， ，，， ，， ； （2）解：过点作轴交于点，    ，， ， ， ∵轴， ， ， ，则当最大时，也最大， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， 设，， ， 当时，最大，则， 线段的最大值为，此时点的坐标为； （3）， 将抛物线沿射线平移个单位得到新抛物线， 即原抛物线向下平移个单位长度，向左平移个单位长度， 原抛物线， 新抛物线， 令， 解得， ， 设向下平移个单位长度，向左平移个单位长度， 则，， ， ， ， ， ①当时， ， （舍去）或， 点的坐标为； ②当时， ， 或， 点的坐标为或； 综上所述：点的坐标为或或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质，三角形的面积，二次函数最值，等腰三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，平移的性质是解题的关键． 题型二：直角三角形存在性 【例2】（23-24九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，抛物线经过两点，与x轴交于另一点B，连接．在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得由点M，A，C构成的是直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，或或或． 【分析】本题考查二次函数性质的综合运用、勾股定理等，要注意分类求解，避免遗漏． 先求出，得到抛物线对称轴为，设点， 则，,，再分三种情况分别列方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：抛物线经过两点， ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为 ∵ ∴抛物线对称轴为， 设点，而点， 则，,， ①当是斜边时， 解得：； ②当是斜边时， 解得，； ③当是斜边时， 同理可得：或； 综上，点M的坐标为：或或或． 【变式2-1】（2023春·甘肃金昌·九年级统考期中）平面直角坐标系中，抛物线 与轴交于，，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式，并直接写出点，的坐标； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图，点是直线上的一个动点，连接，，是否存在点使最小，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； 【答案】(1)， ，， (2)存在，，，，，，，， (3)存在， ， 【详解】（1）解：将，代入， 即，解得：， ∴， 令，则， 令，则， 解得：， ，， （2）解：存在是直角三角形， ∵，对称轴为直线， 设， ∵，， ∴，， ①当时，, ∴ 解得： ②当时，, ∴ 解得： ③当时，, 解得：或. 综上所述：，，，，，，， （3）存在点使最小，理由如下： 作点关于的对称点，连接交于点，连接， 由对称性可知，， ， 当、、三点共线时，有最小值， ，，，， ， ， 由对称性可知， ， ，， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为， 联立方程组， 解得， ，； 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，待定系数求解析式，勾股定理，轴对称的性质求线段长的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【变式2-2】（2023·浙江·九年级假期作业）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式： (2)证明：为直角三角形： (3)在抛物线上除点外，是否还存在另外一个点，使是直角三角形？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在， 【分析】（1）将、、的坐标代入抛物线解析式，求解即可； （2）由（1）得到边，，的长，再根据勾股定理的逆定理来判定为直角三角形； （3）根据抛物线的对称性可得另一点的坐标． 【详解】（1）解： 与轴交于、两点，与轴交于点， ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：、、， ， ， ， ， ，则， 是直角三角形； （3）解：存在， 当轴，即点与点是关于抛物线对称轴的对称点，而点坐标为， ， 把代入得：， ，． 点坐标为．    【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，勾股定理的逆定理，两点间的距离公式，二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【变式2-3】（2023·浙江·九年级假期作业）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线经过B，C两点，已知，，且．    (1)试求出点B的坐标． (2)分别求出直线和抛物线的解析式． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，或或或 【分析】（1）由，，可由勾股定理求，进而得点B坐标； （2）用待定系数法即可求解函数解析式； （3）设点P坐标为，分三类讨论：①当时；②当时；③当时，分别建立勾股定理方程求解点P坐标即可． 【详解】（1）解：∵点，即． ∵， 在中，根据勾股定理得， 即点B坐标为． （2）把分别代入中， 得，解得． ∴直线解析式为； 把、、分别代入得 ，解得． ∴抛物线的解析式是． （3）在抛物线的对称轴上存在点P，使得以三点为顶点的三角形是直角三角形，理由如下： ∵抛物线的解析式是， ∴抛物线对称轴为直线． 设点P坐标为． ①当时，有． ∵，，， ∴， 解得：， 故点； ②当时，有． ∵，，， ∴， 解得：， 故点； ③当时，有． ∵，，， ∴． 解得：，， ∴， ． 综上所述，使得为直角三角形的点P的坐标为或或或． 【点睛】本题以二次函数为背景，考查了勾股定理及其逆定理，待定系数法求解析式，分类讨论的数学思想，难度不大．第（3）问特别注意分类讨论思想的运用．做到不重不漏． 题型三：等腰直角三角形存在性 【例3】（2024·四川眉山·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．    (1)求该抛物线的解析式； (2)当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标； (3)在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)的坐标为或 (3)的坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）过作轴交于，求出直线解析式，根据列式求解； （3）先求出点A，B坐标，再求出直线解析式，过作轴于，过作轴于，分以下情况分别讨论即可：①与重合，与重合时；②当在第一象限，在第四象限时；③当在第四象限，在第三象限时；④当在第四象限，在第一象限时． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：过作轴交于，如图：    由，得直线解析式为， 设，则， ， 的面积为3， ，即， 解得或， 的坐标为或； （3）解：在直线上存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形，理由如下： 在中，令得， 解得或， ，， 由，得直线解析式为， 设，， 过作轴于，过作轴于， ①， 当与重合，与重合时，是等腰直角三角形，如图：    此时； ②当在第一象限，在第四象限时，   是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 解得（小于0，舍去）或， ， 的坐标为； ③当在第四象限，在第三象限时，如图：   是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， 同理可得， 解得或（大于0，舍去）， ， 的坐标为； ④当在第四象限，在第一象限，如图：   是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 解得（舍去）或， ， 的坐标为； 综上所述，的坐标为或或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查待定系数法求函数解析式、二次函数中三角形面积计算、特殊三角形存在性问题、等腰直角三角形的性质等，难度较大，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键． 【变式3-1】（2023·四川·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)已知为抛物线上一点，为抛物线对称轴上一点，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，求出点的坐标； (3)如图，为第一象限内抛物线上一点，连接交轴于点，连接并延长交轴于点，在点运动过程中，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或 (3)，理由见解析 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）先求得抛物线的对称轴为直线，设与交于点，过点作于点，证明，设，则，，进而得出点的坐标，代入抛物线解析式，求得的值，同理可求得当点F在x轴下方时的坐标；当点与点重合时，求得另一个解，进而即可求解； （3）设，直线的解析式为，的解析式为，求得解析式，然后求得，即可求解． 【详解】（1）解：将点，，代入 得 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）∵点，， ∴抛物线的对称轴为直线：， 如图所示，设与交于点，过点作于点     ∵以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵点在抛物线上 ∴ 解得：（舍去）或, ∴， 如图所示，设与交于点，过点作于点    ∵以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵点在抛物线上 ∴ 解得：（舍去）或， ∴， 当点与点重合时，如图所示，     ∵，是等腰直角三角形，且， ∴ 此时， 综上所述，或或； （3）设，直线的解析式为，的解析式为， ∵点，，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为，的解析式为， 对于，当时，，即， 对于，当时，，即， ∵在抛物线上，则 ∴ ∴为定值． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的性质，一次函数与坐标轴交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【变式3-2】（2023·浙江·九年级假期作业）已知抛物线经过点和点 (1)求该抛物线的函数表达式及其顶点坐标． (2)将该抛物线平移，所得抛物线经过点，且与y轴交于点B．如果以点A，O，B为顶点的三角形是等腰直角三角形，那么应将抛物线怎样平移？为什么？ 【答案】(1)，顶点坐标为； (2)将原抛物线向右平移3个单位，再向下平移3个单位或将原抛物线向右平移4个单位，再向下平移6个单位，理由见解析 【分析】（1）把P、Q两点的坐标代入抛物线解析式可求得a、b的值，可求得抛物线解析式，将其化为顶点式即可确定顶点坐标； （2）利用A点坐标和等腰三角形的性质可求得B点坐标，设出平移后的抛物线的解析式，把A、B的坐标代入可求得平移后的抛物线的解析式，比较平移前后抛物线的顶点的变化即可得到平移的过程． 【详解】（1）解：将和，代入中得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∴， ∴顶点坐标为； （2）∵是等腰直角三角形，，点在轴上， ∴点坐标为或， 可设平移后的抛物线解析式为， ①当抛物线过点，时，代入可得， ， 解得， ∴平移后的抛物线为， ∴该抛物线的顶点坐标为，而原抛物线顶点坐标为， ∴将原抛物线向右平移3个单位，再向下平移3个单位即可； ②当抛物线过点，时，代入可得∶ ， 解得， ∴平移后的抛物线为， ∴该抛物线的顶点坐标为，而原抛物线顶点坐标为， ∴将原抛物线向右平移4个单位，再向下平移6个单位即可； 综上可得：将原抛物线向右平移3个单位，再向下平移3个单位或将原抛物线向右平移4个单位，再向下平移6个单位． 【点睛】此题考查了利用待定系数法求函数解析式、函数与方程的关系、等腰三角形的性质、坐标平移和分类讨论等．求出平移前后抛物线顶点坐标确定平移的方式是解题的关键． 【变式3-3】（2023·吉林松原·校联考三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线(a为常数，且)，此抛物线与y轴交于点A，过点A作y轴的垂线与此抛物线交于点B，点A与点B不重合．    (1)抛物线的对称轴为直线_______； (2)当抛物线经过坐标原点时， ①求此抛物线所对应的二次函数表达式； ②当(m为常数)时，y的最小值为，求m的值； (3)若点P是抛物线对称轴上的点，其纵坐标为，当以点A，B，P三个点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出a的值． 【答案】(1)2 (2)①；②或3 (3)或3 【分析】（1）根据对称轴公式求对称轴即可； （2）①由抛物线经过坐标原点可得，从而得到二次函数的解析式； ②分，，三种情况，根据二次函数的增减性求解即可； （3）由以点A，B，P三个点为顶点的三角形是等腰直角三角形可知点P是直角顶点，根据点A、B的坐标求得点P的坐标为，由题意可知点P的坐标为，从而得到，从而得解． 【详解】（1）解：依题意得∶ 抛物线的对称轴为直线 故答案为：2； （2）解：①∵抛物线经过坐标原点， ，解得， 抛物线的解析式为． ②当，即时， 此时开口向上，在上，y随着x的增大而减小， ∴当时，y取最小值，即 解得(不合题意，舍去)，； 当，即时， 此时对称轴处取最小值， ∴当时，y的最小值为，不存在最小值为的情况； 当时，此时开口向上，在上，y随着x的增大而增大， ∴当时，y取最小值，即， 解得，(不合题意，舍去)． 综上所述，m的值为或3． （3）解：∵以点A，B，P三个点为顶点的三角形是等腰直角三角形，点P是抛物线对称轴上的点， ∴点P是直角顶点，(否则点P在直线或y轴上，不合题意) 设与对称轴的交点为Q，则根据对称性可知点Q是的中点． 作出图形如下：    令，解得， ∴ 又令，解得 ∴ ∴， 又∵点Q是的中点， ∴ ∵点A，B，P三个点为顶点的三角形是等腰直角三角形，点P是直角顶点， ∴， ∴ 又∵点P是抛物线对称轴上的点，其纵坐标为， ∴点P的坐标为， ∴， 解得：或3 即a的值为或3． 【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，二次函数与几何综合等知识，掌握相关知识和分类讨论思想是解题的关键． 题型四: 平行四边形的存在性问题 【例4】（23-24九年级下·四川成都·阶段练习）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线解析式及点坐标； (2)是平面直角坐标系内一点，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标； (3)该抛物线对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或或 (3)存在， 【分析】（1）根据待定系数法求出抛物线的解析式，然后即可求出抛物线与轴和轴的交点坐标； （2）分三种情况，先确定四边形的对角线，找到对角线的中点，然后根据中点坐标公式即可求解； （3）如图，作，使，连接，交对称轴于点，作轴于，即，点即为所求；证明，则，，待定系数法求直线的解析式为，将代入，计算求解，进而可得． 【详解】（1）解：将，代入解析式得， ， 抛物线的解析式为， 点的坐标为； （2）解：由题意知，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况求解； 当为对角线，则为对角线， 设的中点为，则， 设， ∴， 解得，， ∴； 当为对角线，则为对角线， 设的中点为，则， 设， ∴， 解得，， ∴； 当为对角线，则为对角线， 设的中点为，则， 设， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，点的坐标为或或； （3）解：存在，理由如下； 如图，作，使，连接，交对称轴于点，作轴于， ∵，， ∴，即，点即为所求； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 由题意知，的对称轴为直线， 将代入得，， ∴， ∴存在，． 【点睛】本题综合考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与平行四边形综合，二次函数与角度综合，一次函数解析式等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与平行四边形综合，二次函数与角度综合，一次函数解析式是解题的关键． 【变式4-1】（2023春·湖南衡阳·九年级校考期中）如图所示，已知抛物线C：的对称轴为，且经过点，，与x轴交于另一点B．    (1)求抛物线C的解析式； (2)如图所示，若点M是直线上方抛物线C上的一动点，连接，设所得的面积为S，请结合图象求S的取值范围； (3)在（2）的条件下，将抛物线C向右平移4个单位长度得到新抛物线，点N是x轴上方抛物线上一点，当的面积S最大时，在x轴是否存在一点P，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或或或 【详解】（1）解：的对称轴为，， ， ∴抛物线经过三点，， ， 解得， 抛物线的表达式为； （2）解：设直线的解析式为，该直线过点，， 则， 解得， 故直线为的表达式为：； 过点作轴交于点， 设点的坐标为，则点， 则 ， ， 故的面积存在最大值， 当时，的面积最大值为， ；    （3）解：存在，或或，； 将原抛物线向右平移个单位长度得到新抛物线， 则新抛物线的表达式为， 设点的坐标为，点， 当时，， ∴点的坐标为； ①当、是对角线时，如图：    则的中点即是的中点， 而的中点为，即， 的中点为， ， 解得或， 点的坐标为或； ②当、为对角线时，如图：    此时点在轴下方，故舍去； ③当、为对角线时，如图：    此时，点的纵坐标与点相同，且， 将代入， 解得：，， 即或， 此时的，， 综上，点的坐标为或或，． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法的应用，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，二次函数图象的平移以及平行四边形的性质等知识，灵活运用各性质及分类讨论的数学思想是解题的关键． 【变式4-2】（2023春·山东枣庄·九年级统考期中）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其顶点为点，连接．    (1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D的坐标； (2)在抛物线的对称轴上取一点E，点F为抛物线上一动点，使得以点A、C、E、F为顶点、为边的四边形为平行四边形，求点F的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【详解】（1）抛物线经过、，， ， 解得， 抛物线的解析式为， ， 顶点的坐标为； （2）设直线的解析式为， 把，代入，得， ， 直线的解析式为， 过点作于点，    以，，，为顶点的四边形是以为边的平行四边形， ，， ， ，而， ， ， 设，则， ， 或， 当时，， ， 当时，， 综上所述，满足条件点的坐标为或； 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 【变式4-3】（2023春·吉林松原·九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与二次函数，交于点，两点．    (1)求一次函数和二次函数的解析式． (2)点P是二次函数图象上一点，且位于直线上方，过点P作y轴的平行线，交直线于点Q，求当面积最大时，点P的坐标． (3)点M在二次函数图象上，点N在二次函数图象的对称轴上，若以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)或或 【详解】（1）解：把点，代入，得， 解得， ∴一次函数的解析式为：； 把点，代入， 得， 解得：， 所以二次函数的解析式为：． （2）解：设点P的横坐标为m，则纵坐标为， ∵轴， ∴点Q的横坐标也是m，纵坐标为， ∴， ∴， ∴当最大时，的面积最大， ∵， ∴当时，的面积最大． 此时点．    （3）解：抛物线的对称轴为直线，点，， 如图2，当点A平移到点N时，向左平移了2个单位， ∴点B平移到点M也得向左平移2个单位， ∴点M的横坐标为2， 把代入得，， ∴；    如图3，∵当点B向右平移到点N时，向右平移了1个单位， ∴点A平移到点M也得向右平移1个单位， ∴点M的横坐标为4， 把代入得，， ∴点；    如图4当为平行四边形的对角线时，的中点坐标为， ∵点N的横坐标为1， ∴点M的横坐标为2， 把代入得，， ∴．    综上，点M的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，求一次函数解析式，解题的关键是数形结合，并注意进行分类讨论． 题型五：菱形的存在性问题 【例5】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·九年级校联考期中）综合与探究 如图，抛物线与轴交于点A、点B，与y轴交于点C，直线与抛物线交于点B、点C，直线与抛物线交于点A，与y轴交于点E，与直线交于点F． (1)求抛物线的解析式； (2)已知点在抛物线上，当时，直接写出的取值范围； (3)H是直线CB上一点，若，求点H的坐标； (4)P是轴上一点，Q是平面内任意一点，是否存在以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？者存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或或 【详解】（1）解：∵直线与x轴、y轴交于点B、点C, ∴,， ∵直线与x轴交于点A， ∴， ∵抛物线与轴交于点A、点B，与y轴交于点C， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为， ∵点在抛物线上，， ∴当时，抛物线有最小值，即n有最小值； ∵当时，；当时，，即n有最大值14． ∴的取值范围为． （3）解：∵直线与y轴交于点E， ∴， ∵，即得：， ∴， ∴， ∴ ∴． 设． ①当H在上方， ∵， ∴， ∴，即F是的中点， ∴，解得：， ∴； ②当H在下方， ∵， ∴， ∴， 设点为的中点，如图，即C是的中点， ∴，解得：， ∴． ∵， ∴设点，由为的中点, ∴，解得：, ∴； 综上，点H的坐标为或． （4）解：存在一点Q使存在以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形，理由如下： ∵,, ∴， ①当为菱形一边时，则， ∴,即， ②当为菱形对角线时，则， 设，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 综上 ，点Q的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了求函数解析式、二次函数的性质、二次函数与面积的综合、二次函数与特殊四边形的综合等知识点，综合运用所学知识成为解答本题的关键． 【变式5-1】（2024·广东湛江·二模）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，对称轴为直线，连接． (1)求抛物线的表达式． (2)点在直线下方的抛物线上运动（不含端点），连接，当四边形的面积最大时，求出面积的最大值和此时点的坐标． (3)连接是线段上的一个动点，过点作的平行线．在直线上是否存在点，使得以点为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)存在，或 【分析】本题主要考查二次函数的性质，菱形的性质，图形的面积： （1）运用待定系数支求解即可； （2）如图，作轴交于点，求出直线的表达式为．设点，则点，根据可列出式子求解 （3）根据菱形的性质求解即可 【详解】（1）解：抛物线交轴于点， ， 点的坐标为，对称轴为直线， 点的坐标为， 将点代入， 得，解得， 抛物线的表达式为． （2）解：如图，作轴交于点， 设直线的解析式为， 把代入得： 解得，， 直线的表达式为． 设点，则点， ， ， ， 当时，的最大值为，此时点， 四边形面积的最大值为，此时点的坐标为． （3）解：存在．点的坐标为或． 理由：直线的表达式为， 设点． 点， ， 当四边形为菱形时，点平移到点，点平移到点，则点， ， （舍去）或， 点， 当四边形为菱形时，点平移到点，点平移到点，则点， ， 解得（舍去）或， 点． 【变式5-2】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，已知，，以为边在左侧作等边，点D在第二象限． (1)求抛物线的表达式； (2)将等边沿x轴方向平移，在抛物线的对称轴上存在一点E，使得以点A，C，D，E为顶点的四边形是菱形，请求出点E的坐标，并写出平移方式． 【答案】(1)； (2)，将等边沿x轴向左平移个单位或，将等边沿x轴向右平移个单位或，将等边沿x轴向右平移个单位时，以点A，C，D，E为顶点的四边形是菱形． 【分析】本题考查二次函数图象与性质，菱形的性质及应用 （1）用待定系数法可得抛物线的表达式为； （2）求出，，，即可得，由可知，抛物线对称轴为直线，设将等边沿x轴方向平移t个单位（当时，向右平移，当时向左平移），，则平移后，分三种情况列方程组可解得答案． 【详解】（1）解：把代入得： ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：在中，令得， 解得或， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 由可知，抛物线对称轴为直线， 设将等边沿x轴方向平移t个单位（当时，向右平移，当时向左平移），， 则平移后， ①以为对角线时， ∵， ∴当四边形是平行四边形时，四边形为菱形， ∵平行四边形两条对角线的中点重合， ∴， 解得， ∴，将等边沿x轴向左平移个单位； ②以为对角线时， ∵， ∴当四边形是平行四边形时，四边形为菱形， ∵平行四边形两条对角线的中点重合， ∴， 解得， ∴，将等边沿x轴向右平移个单位； ③以为对角线时， ∵， ∴当四边形是平行四边形时，四边形为菱形， ∵平行四边形两条对角线的中点重合， ∴， 解得， ∴，将等边沿x轴向右平移个单位； 综上所述，，将等边沿x轴向左平移个单位或，将等边 沿x轴向右平移个单位或，将等边沿x轴向右平移个单位时，以点A，C，D，E为顶点的四边形是菱形． 【变式5-3】（2024·陕西咸阳·三模）如图，已知抛物线（、为常数，且）与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴与轴交于点，点的坐标为，于点，连接． (1)求抛物线的函数表达式和点的坐标； (2)将抛物线沿轴向下平移一定距离后得到抛物线，已知抛物线的顶点为，且抛物线与轴无交点，点为平面直角坐标系中一点，请问是否存在点，使得以为顶点的四边形是以为边的菱形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)点的坐标为或 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，菱形的性质及两点间距离， （1）将点，代入抛物线，得到关于、的二元一次方程组，求解可得解析式，再令，解一元二次方程组，求解即可； （2）分两种情况，根据菱形的性质及两点间距离即可求解； 掌握菱形的性质及两点间距离公式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点和点在抛物线上， ∴， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为， 当时，得：， 解得：，， ∴； （2）∵抛物线：， ∴抛物线的对称轴为∶直线， ∵将抛物线沿轴向下平移一定距离后得到抛物线， ∴抛物线的对称轴为∶直线， 设点，使得以为顶点的四边形是以为边的菱形， ①若，如图， ∵，， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， ②若，如图， ∵，， ∴， 解得：（舍去）或， ∴； 综上所述，当点的坐标为或时，以为顶点的四边形是以为边的菱形． 题型六：矩形的存在性问题 【例6】（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）综合与探究 如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于点、两点，且点的坐标为，与轴交于点， (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)点为抛物线上一点，且，则点的坐标为______； (3)点为线段上任意一点，过点作轴于点，直线交抛物线于点，求线段的最大值； (4)点是抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)最大值为 (4)存在， 【分析】（1）先由题意得出的坐标，再用待定系数法求出解析式即可； （2）先设出的坐标，然后将的面积表示出来，根据题意列出方程，解方程即可求解； （3）表示出，根据二次函数的性质，即可求解． （4）根据对角线的情况分三种讨论，再由矩形的性质求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，与x轴交于点A、B两点，且A点的坐标为，与y轴交于点， ∴ 设抛物线解析式为 将代入得， 解得： ∴抛物线解析式为 当时， ∴, （2）解：∵ ∴ ∴ ∵点为抛物线上一点，且 设， ∴ ∵ ∴ ∵为顶点， ∴ ∴ 解得： ∴或 （3）解：设直线的解析式为，代入 ∴ 解得： ∴ 设，则 ∴ 当时，线段的最大值为 （4）存在， ∵抛物线对称轴为直线，设，，又 当为对角线时， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 解得：； ∴ ∴ 当为对角线时， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 解得：， ∴ ∴ 当为矩形的对角线， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 解得：或； ∴或； ∴ 综上所述， 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，面积问题，线段问题，特殊四边形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【变式6-1】（23-24九年级上·河北保定·期末）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．    (1)求抛物线和直线的解析式； (2)动点，从点O同时出发，都以每秒1个单位长度的速度分别在线段，上向点，运动，过点作轴的垂线交于点，交抛物线于点，当四边形为矩形时，求点的坐标． 【答案】(1)抛物线得解析式为，直线的解析式为； (2)． 【分析】（1）本题把，，代入抛物线，求出、，根据抛物线与轴交于点，求出点的坐标，设直线的解析式为，利用点、点求出直线的解析式，即可解题． （2）本题设，根据题意表示出、，运用，列出方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：把，，代入抛物线得： ，解得， ， 抛物线与轴交于点， ， 设直线的解析式为， 将代入，有，解得， 直线的解析式为， 综上所述，抛物线得解析式为，直线的解析式为． （2）解：根据题意，设，， ， 当时，四边形为矩形， 即， 解得：或（不合题意舍去）， 把代入得：， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求直线和抛物线的解析式、矩形的判定与性质、二次函数与几何综合，解题的关键在于根据几何特点建立函数关系再进行求解． 【变式6-2】（2024·山东泰安·二模）如图，抛物线交x轴于点A，交y轴于点B，已知经过点A，B的直线的表达式为，点是线段上的一个动点，其中，作直线轴，交直线于D，交抛物线于E． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，作轴，交直线于点F，四边形为矩形，当矩形的周长为9时，求m的值； (3)如图2，作的中垂线交于M，于Q，在延长线上取点N，使，求点N与y轴的最远距离． 【答案】(1)抛物线表达式为 (2) (3) 【分析】（1）由一次函数表达式求得B、A的坐标，把这两点坐标分别代入二次函数表达式中即可求解； （2）根据四边形为矩形，由点P的坐标可得点D、E的坐标，则可得的长度；由点E的坐标可得点F的坐标，则可得的长度，根据矩形周长建立关于m的方程即可求解． （3）由（2）知可求得点Q的坐标，从而求得点M的坐标及点N的坐标，则点N横坐标的绝对值即为点N到y轴的距离，即可求得距离的最大值． 【详解】（1）解：对于，令，得；令，得， 则； 把B、A的坐标分别代入中，得：， 解得：， 则； （2）解：四边形为矩形，轴， 轴； ， ， ； 轴，且点F在直线上， 点与F点的纵坐标相同， 即， ， ， 则， ， 即四边形是正方形； 由题意得，即， 解得：； 即； （3）解：垂直平分， 点是的中点， 由（2）知，点Q的坐标为， 轴，， 轴， 三点的纵坐标相同， 点在直线上， ， ， 即， ； ， ， 即； 点N横坐标的绝对值即为点N到y轴的距离， 而点N在第二象限，点N到y轴的距离为， ， 当时，d有最大值，且最大值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像与性质，二次函数的最大值，正方形的判定，掌握二次函数的图像与性质是关键． 【变式6-3】（2023春·内蒙古通辽·九年级校考期中）如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式和对称轴． (2)若R为第一象限内抛物线上点，满足，求R的坐标． (3)若点P在抛物线的对称轴上，点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点P使得A、C、P、Q为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 【答案】(1)，对称轴是直线 (2)或 (3)存在，点P的坐标是或或或 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于，两点， ∴， 解得：， ∴该抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线； （2）解：当时，， ∴， ∵点， ∴， ， ∴， 设的解析式为，把代入得： ，解得， ∴， 如图，过点R作轴交于点M， 设点，则， ∴， ∴ 解得或， ∴R的坐标为或； （3）解：存在． 设，点Q（m，n）， 当以AC为边时，点C向点P（或点Q）平移的方向和距离与点A向点Q（或点P）平移的方向和距离相同，且（或）， ∴或， 解得： 或， ∴此时点Q的坐标为或 如图，当为对角线时，，且与的中点重合，如图， ， ∴，解得：或， ∴此时点Q的坐标为或； 综上所述，点Q的坐标为或或或 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象和性质，矩形的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，矩形的性质，灵活利用数形结合思想是解题的关键，是中考的压轴题． 题型七：正方形存在性问题 【例7】（23-24九年级下·江苏南通·阶段练习）如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点D是的中点，点P是抛物线上的一个动点． (1)求该抛物线的表达式． (2)当时，求点P的坐标． (3)如图2，过点P作直线的垂线，垂足为M．以为对角线作正方形，当点Q落在抛物线的对称轴上时，请写出点P的横坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或； (3)P的横坐标为或 【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的表达式为； （2）分两种情况：①当在轴下方时，设交轴于，求出，直线解析式为，由，知，可得直线解析式为，联立，即可解得；②当在轴上方时，交轴于，可知与关于轴对称，从而可得，直线解析式为，联立，可解得； （3）分两种情况：①当在对称轴左侧时，延长交轴于，求得抛物线对称轴为直线，证明，即轴，知直线，故当在直线上时，也在直线上，求得，；设，得，即可解得此时的横坐标为；②当在对称轴右侧时，同理可知，；设，有，可解得此时的横坐标为． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， 抛物线的表达式为； （2）解：①当在轴下方时，设交轴于，如图： 点是的中点，， ， 设直线解析式为 把，代入 ∴ 得直线解析式为， ， ， 设直线解析式为， 把代入得：， 解得， 直线解析式为， 联立， 解得或； ； ②当在轴上方时，交轴于，如图， ， ∴与关于轴对称， 由①知直线解析式为， ， ， 由，得直线解析式为， 联立， 解得或， ； 综上所述，点的坐标为或； （3）解：当在对称轴左侧时，延长交轴于，如图： 由可得抛物线对称轴为直线， ，， ，直线解析式为， ， ， ， 四边形为正方形， ， ， ， ，即轴， 抛物线对称轴直线垂直轴， 直线， 当在直线上时，也在直线上， 如图： 由得， ，； 设，则，， ， ， 解得（舍去）或， 此时的横坐标为； ②当在对称轴右侧时，如图： 同理可知，； 设，则，， ， ， 解得或（舍去）， 此时的横坐标为； 综上所述，的横坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，一次函数的性质，涉及待定系数法，梯形的面积，正方形，公式法解一元二次方程等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用． 【变式7-1】（2023·陕西西安·模拟预测）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且与y轴的交点坐标为，直线l与x轴相交于点C．    (1)求该抛物线的表达式； (2)如图，点P是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，过点P作轴，，垂足分别为A，B．设点P的横坐标为m．当四边形为正方形时，求m的值． 【答案】(1) (2)0或1 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可； （2）根据题意可得，再由正方形的性质可得，从而得到关于m的方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵直线与x轴相交于点C． ∴点， ∵轴，，垂足分别为A，B．点P的横坐标为m． ∴， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， 解得：（舍去）或或（舍去）或， 综上所述，m的值为0或1． 【点睛】本题主要考查了二次函数的的综合题，涉及了求二次函数的解析式，正方形的性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【变式7-2】．（2024·陕西汉中·二模）如图，抛物线与x轴交于、两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点N在坐标平面内，请问在抛物线上是否存在点M，过点M作x轴的垂线交x轴于点H，使得四边形是正方形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在的坐标为或时，使得四边形是正方形 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象及性质、二次函数综合问题． （1）利用将、代入，利用待定系数法即可求解； （2）由题意，设，四边形是正方形，可知，得则，分两种情况：当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，将、代入， 得：，解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）存在的坐标为或时，使得四边形是正方形，理由如下： 由题意，设， ∵，四边形是正方形，轴，则， ∴， 则， 即：， 当时， 解得：，（舍去）， 则，即； 当时， 解得：，（舍去）， 则，即； 综上，存在的坐标为或时，使得四边形是正方形． 【变式7-3】．（2024·黑龙江大庆·二模）如图，某一次函数与二次函数的图象交点为，． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线对称轴上一动点，当与的和最小时，求点的坐标； (3)在（2）条件下，点为轴上一点，点为直线上一点，点为平面直角坐标系内一点，若以点，，，为顶点的四边形是正方形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2) (3)或或或 【分析】本题考查用等定系数法求函数解析式，二次函数与正方形综合，二次函数与一次函数综合．熟练掌握二次函数的图象性质和正方形的性质是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）先用待定系数法求出直线的解析式为，根据当点、三点共线时，的最小值为的长，再根据抛物线的对称轴为，把 代入，求得，即可求解． （3）分三种情况：当为对角线时，此时四边形是正方形；当为边时，若点在的上方，四边形是正方形；当若点在点的下方时，四边形是正方形．分别求解即可． 【详解】（1）解：将，代入得 抛物线的解析式为． （2）解：设直线的函数解析式为，   ， ， 直线的解析式为． ， 当点、三点共线时，的最小值为的长， 抛物线的对称轴为， 当时，， （3）解：当为对角线时，此时四边形是正方形，如图， 令，则， ∴， ∵四边形是正方形，点为轴上一点， ∴轴， ∵， ； 当为边时，若点在的上方，四边形是正方形，如图， 此时 ， 轴 是等腰直角三角形， ， ； 当点在点的下方时，四边形是正方形，如图， 是等腰直角三角形， ∴点F在的垂直平分线上， ∵点为轴上一点，， ∴点F的横坐标为， 把代入，得， ∴ ∵四边形是正方形， ∴点F与点N关于对称， ∴； 当点在点的下方时，如图，四边形是正方形， ∵四边形是正方形，点为轴上一点， ∴点N与点C关于y轴对称， ∵ ∴； 综上：点的坐标为或或或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第20讲重难点拓展：二次函数综合之七种存在性问题 题型一：等腰三角形存在性 题型二：直角三角形存在性 题型三：等腰直角三角形存在性 题型四: 平行四边形的存在性问题 题型五：菱形的存在性问题 题型六：矩形的存在性问题 题型七：正方形存在性问题 一、等腰三角形存在性 根据等腰三角形的定义，若为等腰三角形，则有三种可能情况：（1）AB=BC；（2）BC=CA；（3）CA=AB．但根据实际图形的差异，其中某些情况会不存在，所以等腰三角形的存在性问题，往往有2个甚至更多的解，在解题时需要尤其注意． 1、知识内容： 在用字母表示某条线段的长度时，常用的方法有但不仅限于以下几种： （1）勾股定理：找到直角三角形，利用两边的长度表示出第三边； （2）两点间距离公式：设A（x1，y1）、B（x2，y2） 2、解题思路： （1）利用几何或代数的手段，表示出三角形的三边对应的函数式； （2）根据条件分情况进行讨论，排除不可能的情况，将可能情况列出方程（多为分式或根式方程） （3）解出方程，并代回原题中进行检验，舍去增根． 二、直角三角形存在性 在考虑△ABC是否为直角三角形时，很显然需要讨论三种情况：①∠A=90°；②∠B=90°；③∠C=90°．在大多数问题中，其中某两种情况会较为简单，剩下一种则是考察重点，需要用到勾股定理。 以函数为背景的直角三角形存在性问题 1、知识内容： 在以函数为背景的此类压轴题中，坐标轴作为一个“天然”的直角存在，在解题时经常会用到，作出垂直于坐标轴的直线来构造直角。另外，较困难的情况则需要用到全等或者勾股定理的计算来确定直角三角形． 2、解题思路： （1）按三个角分别可能是直角的情况进行讨论； （2）计算出相应的边长等信息； （3）根据边长与已知点的坐标，计算出相应的点的坐标． 三、平行四边形的存在性问题 1.要先明确定点和动点，常以定点为对角线和边进行分类; 2.三定一动，有三种情况，可借助平移，全等、中点公式等知识确定坐标..(坐标平移规律:左减右加变x上加下减变 y如何平移?可先确定其中两点的变化作参照，以此变化确定) 3.两定两动:以定线段作边或对角线，确定分类;常借助对应边相等、坐标间关系及中点坐标公式建等式求解 常见设问:已知 A、B，求另外两点 C、D与A、B两点构成平行四边形 分类讨论: 当AB为边时，找AB平行且等于的 CD利用距离建立数量关系，求出相应点的坐标; 当AB为对角线时，AB 的中点即为对角线的交点，结合图形的对称性，围绕对角顶点的横坐标和纵坐标之和分别相等进行求解，列出两个二元一次方程组来求解. 4.三动点或四动点:往往有不变特征，如两边始终平行，满足相等即可 四、菱形的存在性问题(常为含 60°角的菱形) 通常有两大类: 1.已知三个定点探究菱形时，分别以三个定点中的任意两个定点确定线段为要探究的菱形的对角线画出 所有菱形，结合题干要求找出满足条件的菱形; 2已知两个定点去探究菱形时，以两个定点连线所成的线段作为要探究菱形的对角线或边长画出符合题意的 菱形，结合题干要求找出满足条件的菱形: 3.计算:建立类似平行四边形的存在性问题来解 五、矩形的存在性问题 等价于直角三角形的存在性问题 （其特点往往是2定点2动点），通过构造一线三等角模型或勾股定理，可以求出其中一个顶点的坐标，再根据对称性求出另一个顶点的坐标。 分类的依据往往是以已知两点所在线段为边或对角线进行分类讨论。 六、正方形存在性问题 正方形是菱形和矩形特征的集结，因此同时采取菱形或矩形存在性问题解决的方法去求点的坐标。 题型归纳 题型一：等腰三角形存在性 【例1】（2023·广东汕头·汕头市潮阳实验学校校考二模）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，拋物线的对称轴交轴于点，已知．    (1)求抛物线的解析式； (2)点是线段上的一个动点（不与重合），过点作轴的垂线与抛物线相交于点，当点运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积及此时点的坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【变式1-1】（2023·浙江·九年级假期作业）如图，抛物线的顶点为D，其图象交x轴于A，B两点，交y轴于点，点B的坐标为．    (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以A，C，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出以为腰时点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-2】（2023春·湖北武汉·九年级校考期中）如图，抛物线与x轴于A，B两点，交y轴于点C，． (1)直线过A，C两点， ①如图1，求抛物线的解析式； ②如图1，将直线向右平移，A的对应点为B，且，以为一边作等腰三角形，求N的坐标； (2)如图2，M为抛物线第一象限上任意一点，直线交y轴于点H，若，求a的值． 【变式1-3】（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考三模）如图，在平面直角坐标系中，拋物线与轴交于两点，与y轴交于点C．    (1)求的面积； (2)点P是直线下方抛物线上一动点，过作于点，求线段的最大值及此时点P的坐标； (3)将抛物线沿射线平移个单位得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点，将沿直线平移得到（不与重合），若以点，，为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 题型二：直角三角形存在性 【例2】（23-24九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，抛物线经过两点，与x轴交于另一点B，连接．在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得由点M，A，C构成的是直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2-1】（2023春·甘肃金昌·九年级统考期中）平面直角坐标系中，抛物线 与轴交于，，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式，并直接写出点，的坐标； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图，点是直线上的一个动点，连接，，是否存在点使最小，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； 【变式2-2】（2023·浙江·九年级假期作业）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式： (2)证明：为直角三角形： (3)在抛物线上除点外，是否还存在另外一个点，使是直角三角形？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由． 【变式2-3】（2023·浙江·九年级假期作业）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线经过B，C两点，已知，，且．    (1)试求出点B的坐标． (2)分别求出直线和抛物线的解析式． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型三：等腰直角三角形存在性 【例3】（2024·四川眉山·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．    (1)求该抛物线的解析式； (2)当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标； (3)在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3-1】（2023·四川·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)已知为抛物线上一点，为抛物线对称轴上一点，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，求出点的坐标； (3)如图，为第一象限内抛物线上一点，连接交轴于点，连接并延长交轴于点，在点运动过程中，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 【变式3-2】（2023·浙江·九年级假期作业）已知抛物线经过点和点 (1)求该抛物线的函数表达式及其顶点坐标． (2)将该抛物线平移，所得抛物线经过点，且与y轴交于点B．如果以点A，O，B为顶点的三角形是等腰直角三角形，那么应将抛物线怎样平移？为什么？ 【变式3-3】（2023·吉林松原·校联考三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线(a为常数，且)，此抛物线与y轴交于点A，过点A作y轴的垂线与此抛物线交于点B，点A与点B不重合．    (1)抛物线的对称轴为直线_______； (2)当抛物线经过坐标原点时， ①求此抛物线所对应的二次函数表达式； ②当(m为常数)时，y的最小值为，求m的值； (3)若点P是抛物线对称轴上的点，其纵坐标为，当以点A，B，P三个点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出a的值． 题型四: 平行四边形的存在性问题 【例4】（23-24九年级下·四川成都·阶段练习）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线解析式及点坐标； (2)是平面直角坐标系内一点，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标； (3)该抛物线对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式4-1】（2023春·湖南衡阳·九年级校考期中）如图所示，已知抛物线C：的对称轴为，且经过点，，与x轴交于另一点B．    (1)求抛物线C的解析式； (2)如图所示，若点M是直线上方抛物线C上的一动点，连接，设所得的面积为S，请结合图象求S的取值范围； (3)在（2）的条件下，将抛物线C向右平移4个单位长度得到新抛物线，点N是x轴上方抛物线上一点，当的面积S最大时，在x轴是否存在一点P，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式4-2】（2023春·山东枣庄·九年级统考期中）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其顶点为点，连接．    (1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D的坐标； (2)在抛物线的对称轴上取一点E，点F为抛物线上一动点，使得以点A、C、E、F为顶点、为边的四边形为平行四边形，求点F的坐标． 【变式4-3】（2023春·吉林松原·九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与二次函数，交于点，两点．    (1)求一次函数和二次函数的解析式． (2)点P是二次函数图象上一点，且位于直线上方，过点P作y轴的平行线，交直线于点Q，求当面积最大时，点P的坐标． (3)点M在二次函数图象上，点N在二次函数图象的对称轴上，若以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标． 题型五：菱形的存在性问题 【例5】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·九年级校联考期中）综合与探究 如图，抛物线与轴交于点A、点B，与y轴交于点C，直线与抛物线交于点B、点C，直线与抛物线交于点A，与y轴交于点E，与直线交于点F． (1)求抛物线的解析式； (2)已知点在抛物线上，当时，直接写出的取值范围； (3)H是直线CB上一点，若，求点H的坐标； (4)P是轴上一点，Q是平面内任意一点，是否存在以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？者存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式5-1】（2024·广东湛江·二模）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，对称轴为直线，连接． (1)求抛物线的表达式． (2)点在直线下方的抛物线上运动（不含端点），连接，当四边形的面积最大时，求出面积的最大值和此时点的坐标． (3)连接是线段上的一个动点，过点作的平行线．在直线上是否存在点，使得以点为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式5-2】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，已知，，以为边在左侧作等边，点D在第二象限． (1)求抛物线的表达式； (2)将等边沿x轴方向平移，在抛物线的对称轴上存在一点E，使得以点A，C，D，E为顶点的四边形是菱形，请求出点E的坐标，并写出平移方式． 【变式5-3】（2024·陕西咸阳·三模）如图，已知抛物线（、为常数，且）与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴与轴交于点，点的坐标为，于点，连接． (1)求抛物线的函数表达式和点的坐标； (2)将抛物线沿轴向下平移一定距离后得到抛物线，已知抛物线的顶点为，且抛物线与轴无交点，点为平面直角坐标系中一点，请问是否存在点，使得以为顶点的四边形是以为边的菱形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型六：矩形的存在性问题 【例6】（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）综合与探究 如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于点、两点，且点的坐标为，与轴交于点， (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)点为抛物线上一点，且，则点的坐标为______； (3)点为线段上任意一点，过点作轴于点，直线交抛物线于点，求线段的最大值； (4)点是抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式6-1】（23-24九年级上·河北保定·期末）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．    (1)求抛物线和直线的解析式； (2)动点，从点O同时出发，都以每秒1个单位长度的速度分别在线段，上向点，运动，过点作轴的垂线交于点，交抛物线于点，当四边形为矩形时，求点的坐标． 【变式6-2】（2024·山东泰安·二模）如图，抛物线交x轴于点A，交y轴于点B，已知经过点A，B的直线的表达式为，点是线段上的一个动点，其中，作直线轴，交直线于D，交抛物线于E． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，作轴，交直线于点F，四边形为矩形，当矩形的周长为9时，求m的值； (3)如图2，作的中垂线交于M，于Q，在延长线上取点N，使，求点N与y轴的最远距离． 【变式6-3】（2023春·内蒙古通辽·九年级校考期中）如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式和对称轴． (2)若R为第一象限内抛物线上点，满足，求R的坐标． (3)若点P在抛物线的对称轴上，点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点P使得A、C、P、Q为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 题型七：正方形存在性问题 【例7】（23-24九年级下·江苏南通·阶段练习）如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点D是的中点，点P是抛物线上的一个动点． (1)求该抛物线的表达式． (2)当时，求点P的坐标． (3)如图2，过点P作直线的垂线，垂足为M．以为对角线作正方形，当点Q落在抛物线的对称轴上时，请写出点P的横坐标． 【变式7-1】（2023·陕西西安·模拟预测）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且与y轴的交点坐标为，直线l与x轴相交于点C．    (1)求该抛物线的表达式； (2)如图，点P是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，过点P作轴，，垂足分别为A，B．设点P的横坐标为m．当四边形为正方形时，求m的值． 【变式7-2】．（2024·陕西汉中·二模）如图，抛物线与x轴交于、两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点N在坐标平面内，请问在抛物线上是否存在点M，过点M作x轴的垂线交x轴于点H，使得四边形是正方形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式7-3】．（2024·黑龙江大庆·二模）如图，某一次函数与二次函数的图象交点为，． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线对称轴上一动点，当与的和最小时，求点的坐标； (3)在（2）条件下，点为轴上一点，点为直线上一点，点为平面直角坐标系内一点，若以点，，，为顶点的四边形是正方形，请直接写出点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$