第05讲 特殊平行四边形中的动态与折叠问题-2024年暑假九年级数学上册自学课系列（北师大版）

第05讲 特殊平行四边形中的折叠与动态问题 【北师大版】 ·模块一 特殊平行四边形中的折叠问题 ·模块二 特殊平行四边形中的动态问题 ·模块三 课后作业 模块一 特殊平行四边形中的折叠问题 【考点1 菱形中的折叠问题】 【例1】（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，菱形中，，，点、分别在边、上．若将沿直线折叠，点恰好落在边的中点处，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理；连接，，根据等腰三角形的三线合一可知，再利用翻折变化的性质，利用勾股定理解直角三角形求长；过作于，过作于，连接交于，依据勾股定理即可得到的长，，的长，进而得到的值． 【详解】解：连接，，如图， 四边形是边长为的菱形，， 和都是边长为的等边三角形， ，， 为的中点， ，， 在中， ， 根据翻折变换可知， ，， ， 在中，设，则， ， ， 解得 ， ． 故答案为：． 【变式1.1】（23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，菱形纸片的边长为2，点E在边上，将纸片沿折叠，点B落在处，，垂足为F．若，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是菱形的性质，等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的除法运算，掌握以上基础知识是解本题的关键；证明，过点E作于点G，再利用等腰直角三角形的性质与含30度角的直角三角形的性质进一步解答即可． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴， ∵， ∴， 又由折叠有，且， ∴， 过点E作于点G， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵在菱形中，， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1.2】（23-24九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图，点是菱形边的中点，点为边上一动点，连接，将沿直线折叠得到，连接． 已知，当为直角三角形时，线段的长为 ． 【答案】2或 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，折叠的性质，三角形三边的关系，含角的直角三角形的性质，平行四边形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等．分当时和当时两种情况讨论求解即可． 【详解】如图1所示，当时，取中点H，连接， ∴， ∵四边形是菱形，E为中点， ∴，，， 由折叠的性质可知，， ∴， 连接， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵由三角形三边的关系可知，当点不在线段上时，必有，这与矛盾， ∴E、、H三点共线， ∴， ∴为等边三角形， ∴； 如图2所示，当时，连接，，过点F作于G， ∵，四边形是菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∵E是中点， ∴， ∴， ∴， ∴此时D、、E三点共线， 由翻折的性质可得， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：2或． 【变式1.3】（23-24八年级下·江苏南京·期末）（1）【感知】如图①，将沿过点D的直线折叠，使点A的对应点落在边上的点F处，得到折痕，连接．若，则四边形的周长为________； （2）【探究】如图②，点E、G分别是的边上的点，将四边形沿折叠，点A、D的对应点分别为、，点恰好落在边上． ①求证：四边形为菱形； ②若，，，，则的长为________． 【答案】（1）；（2）①见解析；② 【分析】本题考查四边形综合应用，涉及翻折变换，菱形的判定，勾股定理及应用等知识，解题的关键是掌握翻折的性质 （1）【感知】根据折叠的性质，得，，，而，即得，故，可知四边形的周长为16， （2）【探究】①由折叠的性质，得，，即得，，故，而，从而可证四边形为菱形； ②过作交延长线于，设，则，可知，由，得，有，，在中，，得，进而得解． 【详解】解：（1）【感知】如图 沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处， ，，， ， ， ， ， ， 四边形的周长为16， 即四边形的周长为16； （2）【探究】①证明：∵将四边形沿折叠，点A、D的对应点分别为、 ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴四边形为平行四边形 又 ∴四边形为菱形； ②．解：过作交延长线于，如图 四边形是平行四边形， ，，， 设，则， 四边形为菱形， ， ， ， ， ， 在中，， ， 解得， ． 【考点2 矩形中的折叠问题】 【例2】（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在矩形中，，，连接，将沿折叠，使点对应点落在上，将沿折叠，使对应点也落在上，连接，，则四边形面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理、三角形面积计算等知识，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键．先证四边形是平行四边形，得出，推出，由勾股定理求出，设，则，再由折叠的性质得，，，，，，得出，，，求出，然后由勾股定理求出，最后由三角形面积公式即可得出答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，，， ， 由折叠性质得：，， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， ， 即， 在中，， 设，则， 由折叠的性质得：，，，，，， ，，， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即， ， 故选：B． 【变式2.1】（23-24八年级下·湖北荆州·期末）如图，将一张矩形纸片折叠，折痕为，点F为中点，折叠后，的对应边经过点点的对应点为点G，若，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】先根据矩形性质得，结合折叠性质，得，，证明，结合点F为中点，得出是等边三角形，则，，在中，，解得，即可作答． 【详解】解：如图所示：连接 ∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∵折叠后，的对应边经过点点的对应点为点G， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵点F为中点 ∴ ∵ ∴ 即是等边三角形 ∴ ∵ ∴ 则 ∴ 在中， 解得 ∴ ∴ 【点睛】本题考查了矩形与折叠，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式2.2】（2024·河南南阳·一模）如图，矩形的边长为2，将沿对角线翻折得到，与交于点E，再将沿进行翻折，得到．若两次折叠后，点恰好落在的边上，则的长为 ． 【答案】或 【分析】根据题意分两种情况讨论：①当点恰好落在上时，由翻折以及矩形的性质利用可证明，然后根据等腰三角形的性质求出的长，再依据勾股定理求解即可；②当点恰好落在上时，同理利用可证明，根据全等三角形的性质可得出的长，再根据线段的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵沿对角线翻折得到， ∴，， ∵以为折痕，将进行翻折，得到， ∴，， ①当点恰好落在上时，如图， 在和中， ∴ ∴，即为等腰三角形， ∵ ∴点为中点， ∴， 在中，有， 即，解得 ②当点恰好落在上时，如图， ∵ ∴四边形为矩形， ∴， ∵沿进行翻折，得到， ∴ 在中， ， 在和中， ∴ ∴ ∴． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了矩形与翻折，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握翻折的性质，运用全等三角形的判定与性质、勾股定理是解答此题的关键．注意分类讨论． 【变式2.3】（23-24八年级下·安徽六安·期末）已知矩形纸片，，．如图1，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交边于点．再将图1中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，折痕交边于点，连结，如图2． (1)求证：． (2)若，，求折痕的长． (3)当时，求出，之间应满足的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由题意易得四边形是矩形，可得，然后可得，进而可得，最后问题可求证； （2）过点E作于点D，由题意可得，则有，，设，则，然后根据勾股定理可求解； （3）当时，过点E作于点N，连接，进而得出是等腰直角三角形，根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可知：，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； ∴， 在矩形中，， 由折叠的性质可知， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：过点E作于点D，如图所示： ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 当时，过点E作于点N，连接，如图所示：    由折叠可知，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 解得：； 【点睛】本题主要考查折叠的性质、矩形的性质、等腰三角形的性质、正方形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握折叠的性质、矩形的性质、等腰三角形的性质、正方形的性质与判定及勾股定理是解题的关键． 【考点3 正方形中的折叠问题】 【例3】（23-24八年级下·广东惠州·期中）如图，已知正方形的边长为12，，将正方形的边沿折叠到，延长交于G，连接．现有如下3个结论：①；②；③的长为4．其中正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据正方形的性质，折叠的性质可证明，得出，结合可判断①；利用全等三角形的性质，折叠的性质得出，，结合可判断②；在中，利用勾股定理求出，即可判定③． 【详解】解：∵正方形的边长为12，， ∴，，， ∵翻折， ∴，，，， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴，故①正确； ∵，，， ∴，故②正确； 在中，， ∴， 解得，故③正确， 故选：D． 【点睛】本题主要考查折叠变换，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，能够熟练应用勾股定理是解决本题的关键． 【变式3.1】（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，在正方形中，是边上的一点，，，将正方形边沿折叠到，延长交于，连接，现在有如下结论：①；②；③；④．其中结论正确的个数是（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识．证明，即可说明①正确；可以证明，显然不是等边三角形，可得结论②错误；证明，即可说明③正确；证明，求出的面积即可证明④错误． 【详解】解：如图，连接．   四边形是正方形， ，， 由翻折可知：，，，， ，，， ， ，， 设， ，故①正确； 在中，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 不是等边三角形， ，故②错误； ， ， ， ，， ， ∴，故③正确， ，， ， ，故④错误， 综上所述：结论正确的是①③，共2个， 故选：B． 【变式3.2】（22-23九年级上·河南郑州·期中）如图，在正方形中，，点E为边的中点，点P是边上一动点，连接，沿折叠得到．当射线经过正方形的边的中点（不包括点E）时，的长为 ． 【答案】2或 【分析】分三种情况：当射线经过正方形的边的中点时，点在的延长线上，不合题意；当射线经过正方形的边的中点时，可得；当射线经过正方形的边的中点时，． 【详解】解：分三种情况： （1）如图1，当射线经过正方形的边的中点时，过点作交于点，    ∵在正方形中，，点E为边的中点，点为边的中点， ∴，． ∴． ∵沿折叠得到， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴，． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴，点在的延长线上，不合题意，舍去． （2）如图2，当射线经过正方形的边的中点时，    ∵点E为边的中点，点为边的中点， ∴． ∵， ∴． ∵沿折叠得到， ∴，，． ∴． ∴． ∴． （3）如图2，当射线经过正方形的边的中点时，    ∵点E为边的中点，点为边的中点， ∴． ∵， ∴，． ∵沿折叠得到， ∴，． ∴，． ∴． ∴． ∴． 故答案是或． 【点睛】本题主要考查了正方形中的折叠问题，轴对称的性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，解题的关键是分类讨论，分别画出对应的图形，利用翻折的性质解决问题． 【变式3.3】（2024·湖北荆门·模拟预测）如图，对折正方形纸片，得到折痕，将纸片展平，在上取一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部点M处，将纸片展平，连接，延长交于点Q，连接若正方形的边长为6，，则的长为 ． 【答案】或 【分析】由折叠及正方形的性质得到，，再由“”易证；分当点在线段上和当点在线段上两种情况，再根据折叠的性质和勾股定理即可求解． 【详解】∵在正方形中， ∴，， 根据折叠的性质可得：， ∴，， ∴在和中， ， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：，， 当点在线段上时， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 当点在线段上时， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 模块二 特殊平行四边形中的动态问题 【例1.1】（23-24八年级下·宁夏吴忠·期中）如图，在四边形中，，，，，．点从点出发，以秒的速度向点运动；点从点出发，以秒的速度向点运动．规定其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点运动的时间为秒．    (1)若，两点同时出发． ①______，______； ②若为何值时，四边形为平行四边形？ ③若为何值时，四边形为矩形？ (2)若点先运动秒后停止运动．此时点从点出发，到达点后运动立即停止，则为______时， 为直角三角形（直接写出答案）． 【答案】(1)①，；②；③ (2)或 【分析】（1）①先表示出和的值，再根据求出的值； ②根据平行四边形的对边相等得出四边形为平行四边形，此时，据此列出方程，解方程求出的值； ③先根据求出的值，再根据矩形的对边相等得出当四边形为矩形，此时，据此列出方程，解方程求出的值； （2）先根据题意判断出，再分和两种情况进行讨论：当时，根据两直线平行，内错角相等得出，根据有三个角是直角的四边形是矩形，矩形的对边相等得出，求出的值，结合列出方程，解方程求出的值；当时，过点作交于，根据两直线平行，内错角相等得出，根据有三个角是直角的四边形是矩形，矩形的对边相等得出，，求得，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方列出方程，解方程求出的值． 【详解】（1）解：①根据题意，得，， ∵， 则， 故答案为：，． ②如图：    当四边形为平行四边形， 此时， 即， 解得：， 故当秒时，四边形为平行四边形． ③∵，， ∴， 如图：    当四边形为矩形， 此时， 即， 解得：， 故当秒时，四边形为矩形． （2）解：∵点先运动秒后停止运动，此时点从点出发， 即当时，，点与点重合，此时； 当时，如图：    ∵，， ∴， 故四边形为矩形， ∴， ∴， 即， 解得：； 当时，如图：过点作交于，    ∵，， ∴， 故四边形为矩形， ∴，， 故， 在中，， 在中，， 在中，， 即， 解得：； 故为或时，为直角三角形． 【点睛】本题考查了四边形的动点问题，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，解一元一次方程等，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【例1.2】（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）如图，在矩形中，，点P与点Q同时出发，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C停止，点P，Q的速度都是，连接，设点P，Q的运动时间为． (1)求当t为何值时，四边形是正方形； (2)求当t为何值时，； (3)当四边形的面积为时，求矩形的周长与四边形的周长的比值． 【答案】(1)当时，四边形是正方形； (2)当时； (3) 【分析】（1）设经过后四边形是正方形，则，，在矩形中，，，则当时，四边形是正方形，即，然后解方程即可解答； （2）由于，，得四边形为平行四边形，当时，四边形为菱形，，再利用勾股定理列方程求解即可； （3）四边形为平行四边形，四边形的面积为，即，解得，则，，再分别求矩形的周长与四边形的周长即可解答． 【详解】（1）解：∵ 在矩形中，， ，， 设经过后四边形是正方形，则，， 在矩形中，，， 当时，四边形是正方形， ∴，解得， ∴当时，四边形是正方形； （2）解：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形， ， ∵， ，解得， ∴当时； （3）解：∵四边形为平行四边形， ∴ 四边形的面积为，即，解得， ，， ∴四边形的周长， ∴矩形的周长， ∴矩形的周长与四边形的周长的比值为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、正方形的判定、平行四边形的判定和性质、菱形的判定及性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键． 【变式1.1】（23-24八年级下·重庆铜梁·期中）如图，四边形中，，，，，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作于点P，连接交于点Q，连接．设运动时间为t秒． (1)________，________．（用含t的代数式表示） (2)当四边形为平行四边形时，求t的值． (3)如图，当M和N在运动的过程中，是否存在某时刻t，使为直角三角形，若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或2 【分析】本题主要考查了四边形综合题，矩形的判定与性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，运用数形结合、方程思想是解题的关键． （1）由，根据，即可求出；先证明四边形为矩形，得出，则； （2）根据四边形为平行四边形时，可得，解方程即可； （3）分两种情况：①当时，②当时，进行讨论即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， ， ， ， ∴四边形为矩形， ， 故答案为：； （2）∵当四边形为平行四边形时，， 根据（1）可算出， ∴， 解得． （3）由其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动可知，， ∵， ∴为等腰直角三角形，即：， 则也是等腰直角三角形， ， ∵此种情况不存在； ①当时，∵， ∴，为等腰直角三角形， 则， ∴， 解得； ②当时，∵， ∴，为等腰直角三角形， 则， ∴， 解得：； 综上，当或2时，为直角三角形． 【变式1.2】（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，点P从原点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿x轴向右运动，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向左运动，P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点停止运动，设运动时间为t（秒）． (1)当 秒时，四边形为矩形； (2)在整个运动过程中，t为何值时，垂直平分线段？判断此时四边形的形状，并说明理由； (3)在整个运动过程中，t为何值时，以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？ 【答案】(1) (2)时，垂直平分线段；此时四边形为菱形，理由见解析 (3)当或时，以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形 【分析】（1）根据矩形的性质可得，列式计算，即可； （2）根据垂直平分线的性质可知若垂直平分线段，则，再在中，利用勾股定理即可求得t，由此可得四边形的四边长度发现它是相等的，从而得出其为菱形； （3）当时，以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，分当点P在线段上和当点P在线段的延长线上两种情况讨论． 【详解】（1）解：∵点B的坐标为，点C的坐标为， ∴轴，， 由题意得： ∴． ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 解得：． 即当秒时，四边形为矩形； 故答案为； （2）解：时，垂直平分线段；此时四边形为菱形，理由如下： ∵点A的坐标为， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴， 即时，垂直平分线段；此时四边形为菱形； （3）解：当点P在线段上时，， 当时，四边形是平行四边形， ∴， 解得， 当点P在线段的延长线上时，， 当时，四边形是平行四边形， ∴， 解得， 综上所述，当或时，以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形． 【点睛】本题是四边形的综合题，以两个动点P、Q为背景，考查了平行四边形、矩形的性质及面积；此类题的解题思路为：首先根据运动路径、时间和速度确定其运动的路程，即能用时间t表示各条线段的长，再利用已知条件找等量关系列方程． 【变式1.3】（23-24八年级下·山西朔州·期中）综合与探究 如图，在矩形中，，，点M从点D出发沿射线方向运动，运动速度为每秒2个单位长度．设点M的运动时间为t秒． (1)如图1，当秒时，猜想与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，E为的延长线上的一点，，动点N从点E出发，以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点N与点M同时出发，当点N到达点B时，两点同时停止运动． ①当时，求的长． ②当以M，C，E，N为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． 【答案】(1)，理由见解析 (2)① ；②t的值为1或3 【分析】（1）首先根据矩形的性质得到，，，然后得到，然后证明出，即可得到； （2）①过点M作于点P，首先证明出四边形为正方形，得到，然后利用勾股定理求出； ②首先得到，然后分点M在DC上和点M在点C的右侧两种情况讨论，然后分别列方程求解即可． 【详解】（1）． 理由：四边形ABCD为矩形， ，，． 当秒时，，则， ． 在和中， ， ， ． （2）①如图，过点M作于点P， 则． 四边形为矩形， ， 四边形为矩形． ， 四边形为正方形， ， 秒，则， ． 在中，． ②由题意，得，． 四边形是矩形， ， 当时，则以M，C，E，N为顶点的四边形是平行四边形． 当点M在上时，即时，， ，得，解得； 当点M在点C的右侧时，即时，， ，解得． 综上所述，t的值为1或3． 【点睛】此题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，几何动点问题，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式1.4】（23-24八年级下·湖北鄂州·期中）如图，在四边形中，，，，动点P，Q分别从A，C同时出发，点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由C向B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点随之停止运动．设运动时间为． (1)___________cm，___________cm；（分别用含t的式子表示） (2)当点P，Q与四边形的任意两个顶点所形成的四边形为平行四边形时，求t的值； (3)在（2）的条件下，若，（2）中的平行四边形为菱形时，直接写出的长：___________． 【答案】(1)；； (2)2或或4； (3)4或 或． 【分析】（1）设运动时间为t秒，则，， （2）设秒后四边是平行四边形；分情况讨论，根据平行四边形的性质列出方程解方程即可求解． （3）根据（2）的三种不同情况根据菱形四边相等，分别画出图形利用等腰直角三角形性质和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由C向B运动， ∴设运动时间为t秒，则， ∵，， ∴； 故答案为：；； （2）①当时，四边形是平行四边形，则：，解得， ②当时，四边形是平行四边形，则：，解得， ③当时，四边形是平行四边形，，解得， ④当时，，这种情况不可能． 综上所述，综上所述，t的值为2或或4； （3）①当，四边形是菱形时，如图： 即：， ②当，四边形是菱形时，即：，， ∴ 过点作， ∵， ∴， ∴，，故此时不存在使四边形是菱形， ③当四边形是菱形时，即：，，， 过点D作，过点K作垂足为H，当在内部时，如图③-1 ∵， ∴四边形使平行四边形． ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， 当在外部时，如图③-2， 此时， 综上所述：CD长为或 或． 【点睛】本题考查了四边形动点问题，平行四边形的性质与判定，分类讨论、构造直角三角形利用勾股定理求解是解题的关键． 模块三 课后作业 1．（23-24八年级下·江苏南京·期末）如图，在矩形纸片中，，．将矩形纸片折叠，使点与点重合，则折痕的长为（    ） A．6.5 B．7 C．7.5 D．8 【答案】C 【分析】连接交于点，利用勾股定理得到，利用折叠的性质可知于点，，进而得到，设，则，利用勾股定理建立等式求解，得到，再利用勾股定理算出，即可得到折痕的长． 【详解】解：连接交于点， 四边形为矩形，， ，，， ， ， ∴， ， ， 由折叠的性质可知，，，于点， ， ， ， 设，则， ， ，解得， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理．根据勾股定理列出方程是解题关键． 2．（2024·河北唐山·模拟预测）如图，在矩形中，，，点M，N分别在，边上，且，将，分别沿，折叠，点A的对应点为，点C的对应点为，点A，在的同侧，连接，．甲，乙两人有如下说法： 甲：当时，； 乙：当时，． 则下列正确的是（    ） A．甲错，乙对 B．甲对，乙错 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都错误 【答案】C 【分析】本题考查了矩形与折叠，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判断与性质等知识，当时，延长交于点H，延长交于点K，利用证明，可得出，，利用证明，求出，利用勾股定理求出，即可求出；当于点O时，连接、，利用证明，得出．证明四边形是平行四边形，求出，利用勾股定理求出，即可求出． 【详解】如解图①，当时，延长交于点H，延长交于点K， ， ， ， 由折叠的性质可知，， ，，， ， ． ，， ， ，， ， ， ， ．故甲的说法正确． 如解图②，当于点O时，连接、， 在矩形中，，， ． ， ，，． ． ． 又， 四边形是平行四边形． ，， ．故乙的说法正确． 故选：C． 3．（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，在平行四边形中，，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在边上以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为，开始运动以后，当t为何值时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？（　　）    A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质以及一元一次方程的应用．由四边形为平行四边形可得出，结合平行四边形的判定定理可得出当时以四点组成的四边形为平行四边形，分三种情况考虑，在每种情况中由即可列出关于/的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， 若要以四点组成的四边形为平行四边形， 则， 设运动时间为， 当时，，， ∴， ， ∴(舍去)； 当时，， ∴， 解得：； 当时，， ∴， 解得：(舍去)； 综上所述，的值为时, 以为顶点的四边形是平行四边形． 故选:B． 4．（23-24八年级下·山东烟台·期中）如图，正方形 的对角线与相交于点，将正方形沿直线折叠，点落在对角线上的点处，折痕交于点，若，则正方形的边长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，连接，由正方形的性质可得，，由折叠可得，， ，设，利用勾股定理得到，进而得，在中由勾股定理得，解方程即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵ 四边形是正方形， ∴，， 由折叠的性质可得，，， ， 设， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， 故选：． 5．（22-23八年级下·安徽淮南·期末）如图，在菱形中，，，点是的中点，点是上一点，以为对称轴将折叠得到，以为对称轴将折叠得到，使得点落到上，连接．下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】A.由折叠的性质可以知道和分别是和的平分线，同时是平角，所以可知，故选项A正确；B.由题意和折叠的性质可以知道、，就可以得到，选项B正确；C和D.过点作于点，，可得，．设，可以得到，．根据折叠的性质可得，根据勾股定理，求得，即可得到，，所以．故选项C正确，选项D错误． 【详解】解：A.由折叠可知和分别是和的平分线． 又 ， ， 故选项A正确． B.又点与点关于对称， ， 又 ， ， 故选项B正确． C和D.如答图，过点作于点．    ， ， ， 易知，， 设， ，， 点是的中点，折叠后点落到上， 点与点重合，． 易知点共线， ． ， ， 解得． ，， ， 故选项C正确，选项D错误． 综上，故选：D． 【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题）、菱形的性质、勾股定理，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键． 6．（22-23八年级下·浙江绍兴·期中）已知，四边形中，，，，点、分别为边、的中点，点从点出发，以每秒个单位的速度从方向运动，到达点后停止运动，同时点从点出发，以每秒个单位的速度从方向运动，到达点后立即原路返回，点到达点后点同时停止运动，设点、运动的时间为秒，当以点、、、为顶点的四边形为平行四边形时，的值为 ．    【答案】1或或 【分析】设秒后，点、、、为顶点的四边形为平行四边形．分三种情形分别构建方程即可． 【详解】解：设秒后，点、、、为顶点的四边形为平行四边形． 由题意，当时，点、、、为顶点的四边形为平行四边形， 则有：或或， 解得或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，一元一次方程等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 7．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）矩形第一次沿折叠得到四边形，展开后第二次沿折叠，使得点C与点F重合．若，，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查矩形与折叠，勾股定理，根据矩形和折叠的性质，得到四边形为正方形，求出，设，在中，利用勾股定理求出的值，进一步求出的长即可． 【详解】解：∵矩形第一次沿折叠得到四边形， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， ∵第二次沿折叠，使得点C与点F重合， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴， ∴； 故答案为：． 8．（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）如图，菱形的边长为2，，点M是边的中点，点N在边上移动，把沿折叠，使点A落在点E处，连接．若是直角三角形，则线段的长为 ． 【答案】或2 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，分和两种情况，画出图形，然后利用勾股定理解题即可． 【详解】解：显然， 如图，当时，过点C作于点F， ∵， ∴， ∴是等边三角形， 又∵点M是边的中点， ∴， ∴， ∵是菱形， ∴，， ∴，则， ∴， ∴，， ∴； 当时，则点E与点D重合，点N与点B重合， 这时； 故答案为：或2． 9．（23-24九年级下·安徽合肥·阶段练习）如图，在菱形中，点P是上一点，将沿着折叠，得到，连接． （1）若，，则的度数为 ； （2）点Q是的中点，若，，则的最小值为 ． 【答案】 41 / 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠与轴对称等知识， （1）根据折叠可得，再根据三角形内角和定理可得结论； （2）延长至点F，使得，连接，，则是的中位线，证明是等边三角形，求出，，从而可得结论 【详解】解：（1）由折叠和菱形的定义可知，，， 则， ， 故答案为：41； （2）延长至点F，使得，连接，， 则是的中位线， ， 当取最小值时，有最小值． 连接， ∵四边形是菱形， ∴ 又， ∴是等边三角形， 则，， ∴ ∴垂足为， ∴， ∴ ∴ ∴． 由折叠可知， 又， ， 当点B，E，F共线时，有最小值， 此时的最小值为， 故答案为：． 10．（2024·江苏宿迁·二模）如图，矩形中，，，E为中点，F为上一点，将沿折叠后，点A恰好落到上的点G处，则折痕的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识；连接，由折叠的性质易得，则；设，则，，由勾股定理建立方程即可求得x，再由勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，如图， 在矩形中，，，； 为中点， ∴； 由折叠的性质得：， ； ， ， ； 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：； 在中，由勾股定理得； 故答案为：． 11．（23-24八年级下·湖南株洲·期中）如图，在菱形中，，菱形的面积为60，点从点出发沿折线向终点运动．过点作点所在的边（或）的垂线，交菱形其它的边于点，在的右侧作矩形． (1)求菱形的高． (2)如图1，点在上.求证：． (3)若，当过中点时，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)长为或 【分析】此题考查了菱形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、矩形的性质等知识，分类讨论方法是解题的关键． （1）根据菱形的面积公式计算，即可； （2）由菱形性质可证，进而证明，即可得出结论； （3）记中点为点O．分点E在上和点E在上两种情况，求出，进而解题． 【详解】（1）解：∵，面积为60， ∴菱形的高为； 故答案为：6； （2）证明：如图1， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：记中点为点O， ①如图中，当点在上时，作．则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图中，当点在上时，作． 同理，，，， ∴， 综上所述，长为或． 12．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在直角梯形中，，，，，，点P沿线段从点A向点B运动，其速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t．    (1)求的长； (2)点P在运动过程中，t为何值时，四边形是矩形？ (3)点P在运动过程中，t为何值时，四边形是平行四边形？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过C作于点E，利用含角直角三角形的性质得到，然后利用勾股定理求出，即可求得的长； （2）根据题意得到当点P和点E重合时，四边形是矩形，然后求出，然后根据点P运动的速度求解即可； （3）根据题意得到，然后根据点P运动的速度求解即可． 【详解】（1）如图，过C作于点E，    ∵， ∴ ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴； （2）由（1）可得，四边形为矩形， ∴当点P和点E重合时，四边形是矩形 ∵， ∴ ∵点P沿线段从点A向点B运动，其速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t ∴（秒） ∴时，四边形是矩形； （3）∵四边形为矩形， ∴ ∵，即 ∴当时，四边形是平行四边形 ∴此时 ∴（秒） ∴时，四边形是平行四边形． 【点睛】此题考查了含角直角三角形的性质，勾股定理，矩形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 13．（23-24八年级下·吉林四平·期中）如图，为正方形的对角线，．动点、分别从点、同时出发，均以每秒个单位长度的速度分别沿、向终点、运动．连接交于点，过点作交边于点．设点运动的时间为秒．    (1)当点运动到边的中点时，四边形的面积为__________； (2)连接、，求证：四边形是平行四边形； (3)求四边形的面积； (4)当将四边形分成面积比为两部分时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) (4)秒或秒 【分析】（1）根据题意得，证明，得，证明四边形是矩形，得，，证明四边形是矩形，继而得解； （2）根据题意得，再根据正方形的性质得，即可得证； （3）连接，证明，得，则 ，计算即可； （4）根据和的两底边都在线段上，且高相等，得，继而得到，然后分两种情况：①当时；②当时，分别求出的值即可． 【详解】（1）解：∵在正方形中，， ∴，，， ∴， ∵动点、分别从点、同时出发，均以每秒个单位长度的速度分别沿、向终点、运动，当点运动到边的中点时， ∴， ∴动点、的运动时间为：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴四边形的面积为， 故答案为：；    （2）证明：如图， ∵动点、分别从点、同时出发，均以每秒个单位长度的速度分别沿、向终点、运动，点运动的时间为秒， ∴，， ∴， ∵，即， ∴四边形平行四边形；    （3）解：连接， ∵，，即点是的中点， ∴，，， ∴， ∴， ∵为正方形的对角线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形的面积为；    （4）由（3）知：，， ∵和的两底边都在线段上，且高相等， ∴， ∴， ∴， ∵将四边形分成面积比为两部分， ①当时， ， ∴， ∴， ②当时， ， ∴， ∴， 综上所述，当将四边形分成面积比为两部分时，的值为秒或秒． 【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，矩形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形三线合一性质，三角形的面积及等积变换等知识点．掌握特殊四边形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 14．（23-24九年级下·山东临沂·期中）综合与实践 【问题情境】 已知在四边形中，M为边上一点（不与点A，D重合），连接，将沿折叠得到，点A的对应点为点N． 【问题探究】 （1）乐学小组的同学对正方形进行探究：若四边形是正方形，如图①，点N落在对角线上，连接并延长交于点G．在该图中，发现有很多与相等的角，请你帮他们找出与相等的角：__________（写出一个即可）； （2）善思小组的同学对矩形进行探究：若四边形是矩形，如图②，点N恰好落在的垂直平分线上，与交于点G．他们发现了下列结论：①；②是等边三角形，请任意选择一个你认为正确的结论加以证明； 【深度探究】 （3）探究完后，老师又提出了如下问题，如图③，若四边形是平行四边形，，，点N落在线段上，P为的中点，连接，，，求的面积，请你完成该问题． 【答案】（1）（答案不唯一，写出一个即可，如，，，都可以）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据正方形的性质及直角三角形的特征即可求解； （2）选择①：根据垂直平分线段，结合折叠的性质可得，，在中，根据含30度角的直角三角形的特征即可证明；选择②：根据四边形是矩形，垂直平分线段，结合折叠的性质可得，即可证明为等边三角形； （3）连接，延长至点，使得，连接，由折叠的性质得，证为等边三角形，推出，在中，求出，，证，推出，，三点共线，即可得到，即可求解． 【详解】解：（1）四边形是正方形，点落在对角线上， ， ， ， 故答案为：（答案不唯一，写出一个即可，如，，，都可以）； （2）选择①：证明：垂直平分线段， ，，， 由折叠的性质可知， ， ， ， 由折叠性质可知， ， ， 在中，， ， ； 选择②：证明：， 四边形是矩形，垂直平分线段， ， ， 由折叠的性质可知， ， 为等边三角形； （3）连接， 由折叠的性质得， ， 为等边三角形， ， ， 为的中点， ， 延长至点，使得，连接， 在中，， ，， 四边形是平行四边形，，， ， ，， ， ， ， ，，三点共线， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了四边形综合问题，涉及正方形，矩形，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的特征，折叠的性质，熟练掌握正方形，矩形，平行四边形的性质是解题的关键． 15．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）在矩形中，是直线上的两个动点，分别从同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒． (1)如图1，分别是中点，当 时，四边形是矩形． (2)若在点运动的同时，点以每秒1个单位长度的速度从出发，沿折线运动，点以每秒1个单位长度的速度从出发，沿折线运动． ①如图2，作的垂直平分线交于点，当四边形的面积是矩形面积的一半时，求值； ②如图3，在异于所在矩形边上取，使得，顺次连接，则四边形周长的最小值是 ． 【答案】(1)或 (2)①；② 【分析】（1）连接，证明，可得，可证得四边形为平行四边形，从而得到当时，四边形为矩形，再证明四边形是矩形，可得，在中， 根据勾股定理求出的长，即可； （2）①连接，根据线段垂直平分线的性质可得，在中，根据勾股定理求出，，再证明，可得，从而得到，再由，可得，，从而得到四边形是平行四边形，再由四边形的面积是矩形面积的一半，可得，即可求解；②如图，作点G关于的对称点，过点作于K，连接，则，，根据勾股定理，可得，由①得：四边形是平行四边形，可得四边形的周长为，即当点，Q，H三点共线时，四边形的周长最小，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵分别是中点， ∴，， ∵是直线上的两个动点，分别从同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为矩形， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中， ， ∴或， ∴或， 综上所述，当或时，四边形是矩形； 故答案为：或 （2）解：①如图，连接， ∵垂直平分， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 根据题意得：， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形的面积是矩形面积的一半， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； ②如图，作点G关于的对称点，过点作于K，连接，则，， ∵， ∴， ∴， 由①得：四边形是平行四边形， ∴四边形的周长为， 即当点，Q，H三点共线时，四边形的周长最小，最小值为． 故答案为：10 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的性质和判定，轴对称的性质，轴对称的最短路径问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 特殊平行四边形中的折叠与动态问题 【北师大版】 ·模块一 特殊平行四边形中的折叠问题 ·模块二 特殊平行四边形中的动态问题 ·模块三 课后作业 模块一 特殊平行四边形中的折叠问题 【考点1 菱形中的折叠问题】 【例1】（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，菱形中，，，点、分别在边、上．若将沿直线折叠，点恰好落在边的中点处，则 ． 【变式1.1】（23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，菱形纸片的边长为2，点E在边上，将纸片沿折叠，点B落在处，，垂足为F．若，则的长是 ． 【变式1.2】（23-24九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图，点是菱形边的中点，点为边上一动点，连接，将沿直线折叠得到，连接． 已知，当为直角三角形时，线段的长为 ． 【变式1.3】（23-24八年级下·江苏南京·期末）（1）【感知】如图①，将沿过点D的直线折叠，使点A的对应点落在边上的点F处，得到折痕，连接．若，则四边形的周长为________； （2）【探究】如图②，点E、G分别是的边上的点，将四边形沿折叠，点A、D的对应点分别为、，点恰好落在边上． ①求证：四边形为菱形； ②若，，，，则的长为________． 【考点2 矩形中的折叠问题】 【例2】（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在矩形中，，，连接，将沿折叠，使点对应点落在上，将沿折叠，使对应点也落在上，连接，，则四边形面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2.1】（23-24八年级下·湖北荆州·期末）如图，将一张矩形纸片折叠，折痕为，点F为中点，折叠后，的对应边经过点点的对应点为点G，若，则的长为 ． 【变式2.2】（2024·河南南阳·一模）如图，矩形的边长为2，将沿对角线翻折得到，与交于点E，再将沿进行翻折，得到．若两次折叠后，点恰好落在的边上，则的长为 ． 【变式2.3】（23-24八年级下·安徽六安·期末）已知矩形纸片，，．如图1，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交边于点．再将图1中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，折痕交边于点，连结，如图2． (1)求证：． (2)若，，求折痕的长． (3)当时，求出，之间应满足的数量关系． 【考点3 正方形中的折叠问题】 【例3】（23-24八年级下·广东惠州·期中）如图，已知正方形的边长为12，，将正方形的边沿折叠到，延长交于G，连接．现有如下3个结论：①；②；③的长为4．其中正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3.1】（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，在正方形中，是边上的一点，，，将正方形边沿折叠到，延长交于，连接，现在有如下结论：①；②；③；④．其中结论正确的个数是（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3.2】（22-23九年级上·河南郑州·期中）如图，在正方形中，，点E为边的中点，点P是边上一动点，连接，沿折叠得到．当射线经过正方形的边的中点（不包括点E）时，的长为 ． 【变式3.3】（2024·湖北荆门·模拟预测）如图，对折正方形纸片，得到折痕，将纸片展平，在上取一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部点M处，将纸片展平，连接，延长交于点Q，连接若正方形的边长为6，，则的长为 ． 模块二 特殊平行四边形中的动态问题 【例1.1】（23-24八年级下·宁夏吴忠·期中）如图，在四边形中，，，，，．点从点出发，以秒的速度向点运动；点从点出发，以秒的速度向点运动．规定其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点运动的时间为秒．    (1)若，两点同时出发． ①______，______； ②若为何值时，四边形为平行四边形？ ③若为何值时，四边形为矩形？ (2)若点先运动秒后停止运动．此时点从点出发，到达点后运动立即停止，则为______时， 为直角三角形（直接写出答案）． 【例1.2】（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）如图，在矩形中，，点P与点Q同时出发，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C停止，点P，Q的速度都是，连接，设点P，Q的运动时间为． (1)求当t为何值时，四边形是正方形； (2)求当t为何值时，； (3)当四边形的面积为时，求矩形的周长与四边形的周长的比值． 【变式1.1】（23-24八年级下·重庆铜梁·期中）如图，四边形中，，，，，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作于点P，连接交于点Q，连接．设运动时间为t秒． (1)________，________．（用含t的代数式表示） (2)当四边形为平行四边形时，求t的值． (3)如图，当M和N在运动的过程中，是否存在某时刻t，使为直角三角形，若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【变式1.2】（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，点P从原点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿x轴向右运动，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向左运动，P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点停止运动，设运动时间为t（秒）． (1)当 秒时，四边形为矩形； (2)在整个运动过程中，t为何值时，垂直平分线段？判断此时四边形的形状，并说明理由； (3)在整个运动过程中，t为何值时，以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？ 【变式1.3】（23-24八年级下·山西朔州·期中）综合与探究 如图，在矩形中，，，点M从点D出发沿射线方向运动，运动速度为每秒2个单位长度．设点M的运动时间为t秒． (1)如图1，当秒时，猜想与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，E为的延长线上的一点，，动点N从点E出发，以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点N与点M同时出发，当点N到达点B时，两点同时停止运动． ①当时，求的长． ②当以M，C，E，N为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． 【变式1.4】（23-24八年级下·湖北鄂州·期中）如图，在四边形中，，，，动点P，Q分别从A，C同时出发，点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由C向B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点随之停止运动．设运动时间为． (1)___________cm，___________cm；（分别用含t的式子表示） (2)当点P，Q与四边形的任意两个顶点所形成的四边形为平行四边形时，求t的值； (3)在（2）的条件下，若，（2）中的平行四边形为菱形时，直接写出的长：___________． 模块三 课后作业 1．（23-24八年级下·江苏南京·期末）如图，在矩形纸片中，，．将矩形纸片折叠，使点与点重合，则折痕的长为（    ） A．6.5 B．7 C．7.5 D．8 2．（2024·河北唐山·模拟预测）如图，在矩形中，，，点M，N分别在，边上，且，将，分别沿，折叠，点A的对应点为，点C的对应点为，点A，在的同侧，连接，．甲，乙两人有如下说法： 甲：当时，； 乙：当时，． 则下列正确的是（    ） A．甲错，乙对 B．甲对，乙错 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都错误 3．（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，在平行四边形中，，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在边上以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为，开始运动以后，当t为何值时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？（　　）    A． B． C．或 D．或 4．（23-24八年级下·山东烟台·期中）如图，正方形 的对角线与相交于点，将正方形沿直线折叠，点落在对角线上的点处，折痕交于点，若，则正方形的边长为（　　） A． B． C． D． 5．（22-23八年级下·安徽淮南·期末）如图，在菱形中，，，点是的中点，点是上一点，以为对称轴将折叠得到，以为对称轴将折叠得到，使得点落到上，连接．下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 6．（22-23八年级下·浙江绍兴·期中）已知，四边形中，，，，点、分别为边、的中点，点从点出发，以每秒个单位的速度从方向运动，到达点后停止运动，同时点从点出发，以每秒个单位的速度从方向运动，到达点后立即原路返回，点到达点后点同时停止运动，设点、运动的时间为秒，当以点、、、为顶点的四边形为平行四边形时，的值为 ．    7．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）矩形第一次沿折叠得到四边形，展开后第二次沿折叠，使得点C与点F重合．若，，则 ． 8．（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）如图，菱形的边长为2，，点M是边的中点，点N在边上移动，把沿折叠，使点A落在点E处，连接．若是直角三角形，则线段的长为 ． 9．（23-24九年级下·安徽合肥·阶段练习）如图，在菱形中，点P是上一点，将沿着折叠，得到，连接． （1）若，，则的度数为 ； （2）点Q是的中点，若，，则的最小值为 ． 10．（2024·江苏宿迁·二模）如图，矩形中，，，E为中点，F为上一点，将沿折叠后，点A恰好落到上的点G处，则折痕的长是 ． 11．（23-24八年级下·湖南株洲·期中）如图，在菱形中，，菱形的面积为60，点从点出发沿折线向终点运动．过点作点所在的边（或）的垂线，交菱形其它的边于点，在的右侧作矩形． (1)求菱形的高． (2)如图1，点在上.求证：． (3)若，当过中点时，求的长． 12．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在直角梯形中，，，，，，点P沿线段从点A向点B运动，其速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t．    (1)求的长； (2)点P在运动过程中，t为何值时，四边形是矩形？ (3)点P在运动过程中，t为何值时，四边形是平行四边形？ 13．（23-24八年级下·吉林四平·期中）如图，为正方形的对角线，．动点、分别从点、同时出发，均以每秒个单位长度的速度分别沿、向终点、运动．连接交于点，过点作交边于点．设点运动的时间为秒．    (1)当点运动到边的中点时，四边形的面积为__________； (2)连接、，求证：四边形是平行四边形； (3)求四边形的面积； (4)当将四边形分成面积比为两部分时，直接写出的值． 14．（23-24九年级下·山东临沂·期中）综合与实践 【问题情境】 已知在四边形中，M为边上一点（不与点A，D重合），连接，将沿折叠得到，点A的对应点为点N． 【问题探究】 （1）乐学小组的同学对正方形进行探究：若四边形是正方形，如图①，点N落在对角线上，连接并延长交于点G．在该图中，发现有很多与相等的角，请你帮他们找出与相等的角：__________（写出一个即可）； （2）善思小组的同学对矩形进行探究：若四边形是矩形，如图②，点N恰好落在的垂直平分线上，与交于点G．他们发现了下列结论：①；②是等边三角形，请任意选择一个你认为正确的结论加以证明； 【深度探究】 （3）探究完后，老师又提出了如下问题，如图③，若四边形是平行四边形，，，点N落在线段上，P为的中点，连接，，，求的面积，请你完成该问题． 15．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）在矩形中，是直线上的两个动点，分别从同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒． (1)如图1，分别是中点，当 时，四边形是矩形． (2)若在点运动的同时，点以每秒1个单位长度的速度从出发，沿折线运动，点以每秒1个单位长度的速度从出发，沿折线运动． ①如图2，作的垂直平分线交于点，当四边形的面积是矩形面积的一半时，求值； ②如图3，在异于所在矩形边上取，使得，顺次连接，则四边形周长的最小值是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$