专题 二次函数的综合题专训之与特殊平行四边形有关的存在性问题（专项训练）数学浙教版九年级上册

九年级数学上册《第1章 二次函数》 二次函数的综合专训（七） ------与特殊平行四边形有关的存在性问题 ●●解决二次函数特殊平行四边形存在性问题的方法： ◎一、矩形的存在性问题等价于直角三角形的存在性问题. (其特点往往是 2 定点 2 动点)，通过构造一线三等角模型或勾股定理，可以求出其中一个顶点的坐标，再根据对称性求出另一个顶点的坐标，分类的依据往往是以已知两点所在线段为边或对角线进行分类讨论. ◎二、菱形的存在性问题(常为含 60”角的菱形) 通常有两大类: 1、已知三人定点探究菱形时，分别以三个定点中的任意两人定点确定线段为要探究的券形的对角线画出所有菱形，结合题干要求找出满足条件的菱形: 2、已知两个定点去探究菱形时，以两个定点连线所成的线段作为要探究菱形的对角线或边长画出符合题意的菱形，结合题干要求找出满足条件的菱形: 3、计算:建立类似平行四边形的存在性问题来解 ◎三、正方形存在性问题 正方形是菱形和矩形特征的集结，因此同时采取菱形或矩形存在性问题解决的方法去求点的坐标. 题型一 二次函数与矩形的存在性问题 1．（2024•雁塔区校级开学）如图，抛物线l：y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线l′，l′与原抛物线相交于点M，点H为平面直角坐标系内一点，原抛物线对称轴上是否存在一点N，使以点A，M，N，H为顶点的四边形是以AM为边的矩形？若存在，请求出点N、点H的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2022•黔东南州）如图，抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B（3，0），与y轴交于点C，连接AC． （1）求此抛物线的解析式； （2）已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2023•西和县二模）如图，抛物线与坐标轴相交于A（0，﹣2），B（4，0）两点，点D为直线AB下方抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为G；DG交直线AB于点E． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求ED的最大值； （3）过点B的直线y＝﹣2x+8交y轴于点C，交直线DG于点F，H是y轴上一点，当四边形BEHF是矩形时，求点H的坐标． 4．（2022•仓山区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线l：yx与x轴交于点A，经过点A的抛物线y＝ax2﹣3x+c的对称轴是直线x． （1）求抛物线的解析式； （2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PEPF，求证PE⊥PF． （3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE⊥PF时，抛物线上是否存在点Q，使得四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由． 5．（2023秋•天桥区期末）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）P是抛物线上，位于直线AC上方的一个动点，过点P作PD⊥AC于点D，求P坐标为何值时PD最大，并求出最大值； （3）如图②，将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线y'，y'与原抛物线相交于点M，点N为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点A，M，N，H为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2023•通榆县二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c（b、c为常数）经过点A（﹣1，0）和点B（0，5），点P在此抛物线上，其横坐标为m． （1）求该抛物线的解析式； （2）当点P在x轴下方时，直接写出m的取值范围； （3）当点P在y轴右侧时，将抛物线B、P两点之间的部分（包括B、P两点）记为图象G，设图象G上最高点与最低点的纵坐标的差为h． ①求h与m之间的函数关系式； ②点Q在此抛物线的对称轴上，点D在坐标平面内，当h＝16时，以B、P、Q、D为顶点的四边形为矩形，且BP为矩形的一边，直接写出点Q的坐标． 题型二 二次函数与菱形的存在性问题 7．（2022•陕西模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线yx﹣2分别交x轴、y轴于点A、B，且抛物线与x轴的另一个交点为C（﹣1，0）． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是平面内任意一点，在抛物线对称轴上是否存在点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 8．（2021•湘潭）如图，一次函数yx图象与坐标轴交于点A、B，二次函数yx2+bx+c图象过A、B两点． （1）求二次函数解析式； （2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 9．（2024春•南川区期中）已知抛物线与x轴交于点B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A． （1）判断△ABC的形状，并说明理由． （2）设点P（m，n）是抛物线在第一象限部分上的点，过点P作PH⊥x轴于H，交AC于点Q，设四边形OAPC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标和△QHC的面积； （3）在（2）的条件下，点N是坐标平面内一点，抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以P、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点M的坐标． 10．（2024•金川区模拟）如图1，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A和B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接AC，直线y＝kx+b经过点B、C． （1）求直线BC的函数表达式； （2）点P是位于直线BC上方抛物线上的一个动点，过点P作PE⊥BC于点E，连接OE．求△BOE面积的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，将抛物线沿着射线CA方向平移2个单位得到新抛物线y′，y′与原抛物线相交于点M，点Q是新抛物线y′对称轴上的一个动点，点N为平面内一点，若以P、Q、M、N为顶点的四边形是以MQ为边的菱形，直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 11．（2024•湖南模拟）如图，已知直线yx+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1． （1）求抛物线的表达式； （2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标； （3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由． 12．（2024•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（3，0），与y轴交于点B，且关于直线x＝1对称． （1）求该抛物线的解析式； （2）当﹣1≤x≤t时，y的取值范围是0≤y≤2t﹣1，求t的值； （3）点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 13．（2023春•盱眙县期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，作直线BC，点P是抛物线在第四象限上一个动点（点P不与点B，C重合），连结PB，PC，以PB，PC为边作▱CPBD，点P的横坐标为m． （1）求抛物线对应的函数表达式； （2）当▱CPBD有两个顶点在x轴上时，点P的坐标为 　 　； （3）当▱CPBD是菱形时，求m的值． 14．（2024•深圳三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与轴交于A，B点，与y轴交于点C（0，3），点B的坐标为（3，0），点P是抛物线上一个动点． （1）求二次函数解析式； （2）若P点在第一象限运动，当P运动到什么位置时，△BPC的面积最大？请求出点P的坐标和△BPC面积的最大值； （3）连接PO，PC，并把△POC沿CO翻折，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形；若不存在，请说明理由． 题型三 二次函数与正方形的存在性问题 15．（2024•榆林二模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a＜0）与y轴交于点C，与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点D是第二象限抛物线上的动点，DE∥x轴，交直线BC于点E，点G在x轴上，点F在坐标平面内．是否存在点D，使以D，E，F，G为顶点的四边形是正方形？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由． 16．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点A在y轴的左侧，点C在x轴的下方，且OA＝OC＝5． （1）求抛物线对应的函数解析式； （2）点P为抛物线对称轴上的一动点，当PB+PC的值最小时，求点P的坐标； （3）在（2）条件下，点E为抛物线的对称轴上的动点，点F为抛物线上的动点，以点P、E、F为顶点作四边形PEFM，当四边形PEFM为正方形时，请直接写出坐标为整数的点M的坐标． 17．（2024•武都区校级二模）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点Q在该抛物线的对称轴上，若△ACQ是以AC为腰的等腰三角形，求点Q的坐标； （3）若P为BD的中点，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，GM⊥x轴于点M，N为直线PF上一动点，当以F、M、G、N为顶点的四边形是正方形时，直接写出点M的坐标． 18．（2022秋•越城区期中）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD． （1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式； （2）点Q在该抛物线的对称轴上，若△BCQ是以BC为直角边的直角三角形，求点Q的坐标； （3）若P为BD的中点，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标． 19．（2024•大同三模）综合与探究 如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，﹣1）和点B（3，3），点P是线段AB上一动点（不与A，B重合），直线l是抛物线的对称轴，设点P的横坐标为m． （1）求抛物线的函数表达式及直线AB的函数表达式． （2）当点P在直线l右侧的线段部分上运动时，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，分别过点P，Q作直线l的垂线，垂足分别为C，D，求四边形PCDQ周长的最大值． （3）若点E是抛物线上一点，平面内是否存在点F，使得以点A，E，F，P为顶点的四边形是正方形时，若存在，请直接写出所有满足条件的点F的坐标．若不存在，请说明理由． 20．（2022•齐齐哈尔）综合与探究 如图，某一次函数与二次函数y＝x2+mx+n的图象交点为A（﹣1，0），B（4，5）． （1）求抛物线的解析式； （2）点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为 　 　； （3）点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度的最大值； （4）在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标． 21．（2024•德惠市二模）如图，抛物线y＝kx2﹣2kx﹣1与y轴交于点C．已知抛物线顶点坐标为（1，﹣2），点P在此抛物线上，其坐标为（m，n）． （1）求抛物线的解析式． （2）当﹣1≤m≤2时，结合图象，直接写出n的取值范围． （3）若此抛物线在点P左侧部分（包括点P）恰有三个点到x轴的距离为1，求m的取值范围． （4）当m＞1时，以PC为边作正方形，当此正方形的另外两个顶点中有一个顶点在此抛物线的对称轴上时，直接写出m的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学上册《第1章 二次函数》 二次函数的综合专训（七） ------与特殊平行四边形有关的存在性问题 ●●解决二次函数特殊平行四边形存在性问题的方法： ◎一、矩形的存在性问题等价于直角三角形的存在性问题. (其特点往往是 2 定点 2 动点)，通过构造一线三等角模型或勾股定理，可以求出其中一个顶点的坐标，再根据对称性求出另一个顶点的坐标，分类的依据往往是以已知两点所在线段为边或对角线进行分类讨论. ◎二、菱形的存在性问题(常为含 60”角的菱形) 通常有两大类: 1、已知三人定点探究菱形时，分别以三个定点中的任意两人定点确定线段为要探究的券形的对角线画出所有菱形，结合题干要求找出满足条件的菱形: 2、已知两个定点去探究菱形时，以两个定点连线所成的线段作为要探究菱形的对角线或边长画出符合题意的菱形，结合题干要求找出满足条件的菱形: 3、计算:建立类似平行四边形的存在性问题来解 ◎三、正方形存在性问题 正方形是菱形和矩形特征的集结，因此同时采取菱形或矩形存在性问题解决的方法去求点的坐标. 题型一 二次函数与矩形的存在性问题 1．（2024•雁塔区校级开学）如图，抛物线l：y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线l′，l′与原抛物线相交于点M，点H为平面直角坐标系内一点，原抛物线对称轴上是否存在一点N，使以点A，M，N，H为顶点的四边形是以AM为边的矩形？若存在，请求出点N、点H的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）设顶点式y＝a（x+3）（x﹣1），展开得﹣3a＝3，解方程求出a即可得到抛物线解析式； （2）先通过勾股定理求出N点的坐标，再由矩形对角线的性质，直接计算H的坐标． 【解答】（1）解：设抛物线解析式为y＝ax2+bx+3＝a（x+3）（x﹣1）， 即y＝ax2+2ax﹣3a， ∴﹣3a＝3，解得a＝﹣1， ∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2﹣2x+3； （2）在平面直角坐标系中存在点H，使以点A，M，N，H为顶点的四边形是以AM为边的矩形， ∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴抛物线l：y＝﹣x2﹣2x+3的对称轴为直线x＝﹣1， 由平移可求得平移后函数解析式为y＝﹣（x+3+2）（x﹣1+2）＝﹣x2﹣6x﹣5，与原函数交点M（﹣2，3）； ①以AM为边，作MN1⊥AM交对称轴于N1，可构造矩形AMN1H1，如图2， 设N1（﹣1，y1）， ∴AM2＝（2﹣1）2+32＝10，[（﹣1）﹣（﹣2）]2+（y1﹣3）2，[（﹣1）﹣（﹣3）]2+（y1﹣0）2， ∵AM2， ∴10+[（﹣1）﹣（﹣2）]2+（y1﹣3）2＝[（﹣1）﹣（﹣3）]2+（y1﹣0）2， 解得y1，即N1（﹣1，）， 此时设H1（p1，q1），由A、M、N1、H1四点的相对位置关系可得：， 解得：， ∴H1（﹣2，）； ②同理，以AM为边，作MN2⊥AM交对称轴于N2，可构造矩形AMH2N2，如图2， 设N2（﹣1，y2）， ∵AM2， ∴10+[（﹣1）﹣（﹣3）]2+（y2﹣0）2＝[（﹣1）﹣（﹣2）]2+（y2﹣3）2， 解得y2，即N2（﹣1，）， 此时设H2（p2，q2），由A、M、N2、H2四点的相对位置关系可得：， 解得：， ∴H2（0，）； 综上所述，点N的坐标为（﹣1，）或（﹣1，），点H的坐标为（﹣2，）或（0，）． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象和性质，矩形性质等知识点，熟练掌握相关知识并灵活运用方程思想，数形结合思想和分类讨论思想是解题关键． 2．（2022•黔东南州）如图，抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B（3，0），与y轴交于点C，连接AC． （1）求此抛物线的解析式； （2）已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线经过点B（3，0），可得A（﹣1，0），用待定系数法即可求解； （2）分两种情形讨论：①当BC为对角线时，②当BC为边时，先求出点E的坐标，再利用平行四边形的中心对称性求出点F的坐标即可． 【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B（3，0）， ∴A（﹣1，0）， ∴，解得， ∴抛物线的解析式y＝﹣x2+2x+3； （2）设E（1，a），F（m，n）， ∵B（3，0），C（0，3）， ∴BC＝3， ①以BC为对角线时，BC2＝CE2+BE2， ∴（3）2＝12+（a﹣3）2+a2+（3﹣1）2， 解得：a，或a， ∴E（1，）或（1，）， ∵B（3，0），C（0，3）， ∴m+1＝0+3，n0+3或n0+3， ∴m＝2，n或n， ∴点F的坐标为（2，）或（2，）； ②以BC为边时，BE2＝CE2+BC2或CE2＝BE2+BC2， ∴a2+（3﹣1）2＝12+（a﹣3）2+（3）2或12+（a﹣3）2＝a2+（3﹣1）2+（3）2， 解得：a＝4或a＝﹣2， ∴E（1，4）或（1，﹣2）， ∵B（3，0），C（0，3）， ∴m+0＝1+3，n+3＝0+4或m+3＝1+0，n+0＝3﹣2， ∴m＝4，n＝1或m＝﹣2，n＝1， ∴点F的坐标为（4，1）或（﹣2，1）， 综上所述：存在，点F的坐标为（2，）或（2，）或（4，1）或（﹣2，1）． 【点评】本题是二次函数综合题，本题考查了待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，二次函数的性质，勾股定理，矩形的判定和性质等，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会分类讨论，属于中考压轴题． 3．（2023•西和县二模）如图，抛物线与坐标轴相交于A（0，﹣2），B（4，0）两点，点D为直线AB下方抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为G；DG交直线AB于点E． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求ED的最大值； （3）过点B的直线y＝﹣2x+8交y轴于点C，交直线DG于点F，H是y轴上一点，当四边形BEHF是矩形时，求点H的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法即可求解抛物线的函数表达式； （2）利用待定系数法求出直线AB的解析式为，设点D的坐标是，则点E的坐标是，得到ED，根据二次函数的性质即可得到ED的最大值； （3）先求出OC＝8，得到AC＝OA+OC＝10，根据四边形BEHF是矩形，得到EH∥BF，EH＝BF，则∠HEA＝∠FBE，由DF∥y轴得到∠HAE＝∠FEB，∠HCF＝∠EFB，则△HAE≌△FEB（AAS），HA＝FE，同理可得△CHF≌△FEB（AAS），HC＝FE，则，得到HO＝3，得到点H的坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线与坐标轴相交于A（0，﹣2），B（4，0）两点， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）设直线AB的解析式为y＝kx+d，把A（0，﹣2），B（4，0）代入得， ， 解得， ∴直线AB的解析式为， 设点D的坐标是，则点E的坐标是， ∴， ∴当m＝2时，ED的最大值是2； （3）过点B的直线y＝﹣2x+8交y轴于点C， 当x＝0时，y＝8， ∴点C的坐标为（0，8）， ∴OC＝8， ∴AC＝OA+OC＝10， ∵四边形BEHF是矩形， ∴EH∥BF，EH＝BF， ∴∠HEA＝∠FBE， ∵过点D作x轴的垂线，垂足为G， ∴DF∥y轴， ∴∠HAE＝∠FEB，∠HCF＝∠EFB， ∴△HAE≌△FEB（AAS）， ∴HA＝FE， ∵HF∥BE，HF＝BE， ∴∠CFH＝∠FBE， ∴△CHF≌△FEB（AAS） ∴HC＝FE， ∴， ∴HO＝3， ∴点H的坐标是（0，3）． 【点评】此题考查了二次函数图象和性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质，数形结合和准确计算是解题的关键． 4．（2022•仓山区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线l：yx与x轴交于点A，经过点A的抛物线y＝ax2﹣3x+c的对称轴是直线x． （1）求抛物线的解析式； （2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PEPF，求证PE⊥PF． （3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE⊥PF时，抛物线上是否存在点Q，使得四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由． 【分析】（1）求出A（4，0），将点A代入抛物线解析式，再由对称轴是，求解函数解析式即可； （2）设P（3a，a），则PC＝3a，PB＝a，由题意可得，则∠FPC＝∠EPB，再证明∠FPC+∠CPE＝90°，即可得到FP⊥PE； （3）分两种情况讨论：①点E在点B的左侧时，设E（a，0），可求F（0，20﹣3a），由矩形的性质可得，求Q点坐标再代入函数解析式即可求解；②当点E在点B的右侧时，设E（a，0），可求F（0，20﹣3a），求Q点坐标再代入函数解析式即可求解； 【解答】（1）解：当y＝0时，， 解得x＝4， ∴A（4，0）， ∵抛物线过点A，对称轴是， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣3x﹣4； （2）证明：∵平移直线l经过原点O，得到直线m， ∴直线m的解析式为， ∵点P是直线1上任意一点， ∴设P（3a，a），则PC＝3a，PB＝a， 又∵PE＝3PF， ∴， ∴∠FPC＝∠EPB， ∵∠CPE+∠EPB＝90°， ∴∠FPC+∠CPE＝90°， ∴FP⊥PE； （3）解：存在点Q，使得四边形PEQF是矩形，理由如下： 如图1，点E在点B的左侧时，设E（a，0）， ∴BE＝6﹣a， ∵CF＝3BE＝18﹣3a， ∴OF＝20﹣3a， ∴F（0，20﹣3a）， ∵PEQF为矩形， ∴， ∴Qx+6＝0+a，Qy+2＝20﹣3a+0， ∴Qx＝a﹣6，Qy＝18﹣3a， ∴Q（a﹣6，18﹣3a）， ∴18﹣3a＝（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4， 解得：a＝4或a＝8（舍去）， ∴Q（﹣2，6）； 如图2：当点E在点B的右侧时，设E（a，0）， ∴BE＝a﹣6， ∵CF＝3BE＝3a﹣18， ∴OF＝3a﹣20， ∴F（0，20﹣3a）， ∵PEQF为矩形， ∴， ∴Qx+6＝0+a，Qy+2＝20﹣3a+0， ∴Qx＝a﹣6，Qy＝18﹣3a， ∴Q（a﹣6，18﹣3a）， ∴18﹣3a＝（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4， 解得：a＝8或a＝4（舍去）， ∴Q（2，﹣6）； 综上所述，点Q的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，矩形的判定及性质，分类讨论是解题的关键． 5．（2023秋•天桥区期末）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）P是抛物线上，位于直线AC上方的一个动点，过点P作PD⊥AC于点D，求P坐标为何值时PD最大，并求出最大值； （3）如图②，将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线y'，y'与原抛物线相交于点M，点N为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点A，M，N，H为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）设顶点式y＝a（x+3）（x﹣1），展开得﹣3a＝3，解方程求出a即可得到抛物线解析式； （2）根据题意推出等腰三角形，利用等腰直角三角形的性质，推出PD的表达式，利用二次函数的性质求最值即可； （3）先通过勾股定理求出N点的坐标，再由矩形对角线的性质，直接计算H的坐标． 【解答】（1）解：设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣1）， 即y＝ax2+2ax﹣3a， ∴﹣3a＝3，解得a＝﹣1， ∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2﹣2x+3； （2）令x＝0得：y＝3， ∴C点的坐标为C（0.3）， ∴△OAC为等腰直角三角形，∠CAO＝45°， 设AC的解析式为yAC＝kx+b，将A（﹣3，0）与C（0.3）代入得： ， ∴yAC＝x+3， 过P点作PM∥y轴交AC于点M， ∴设P（m，﹣m2﹣2m+3），则M（m，m+3），PM＝﹣m2﹣3m，其中﹣3＜m＜0， 由题可知，△PMD为等腰直角三角形， ∴PDPM（﹣m2﹣3m）（m）， 由二次函数的性质可得，当m时，PD有最大值为， ∴P点纵坐标为：﹣（）2﹣2×（）+3， ∴此时P点坐标为（，）； ∴P坐标为（，）时PD最大，最大值为； （3）在平面直角坐标系中存在点H，使以点A，M，N，H为顶点的四边形为矩形；理由如下： 由平移可求得平移后函数解析式为y＝﹣（x+3+2）（x﹣1+2）＝﹣x2﹣6x﹣5，与原函数交点M（﹣2，3）； ①以AM为边，作MN1⊥AM交对称轴于N1，可构造矩形AMN1H1，如图2， 设N1（﹣1，y1）， ∴AM2＝10，[（﹣1）﹣（﹣2）]2+（y1﹣3）2，[（﹣1）﹣（﹣3）]2+（y1﹣0）2， ∵AM2， ∴10+[（﹣1）﹣（﹣2）]2+（y1﹣3）2＝[（﹣1）﹣（﹣3）]2+（y1﹣0）2， 解得y1，即N1（﹣1，）， 此时设H1（p1，q1），由A、M、N1、H1四点的相对位置关系可得： ， 解得：， ∴H1（﹣2，）； ②同理，以AM为边，作MN2⊥AM交对称轴于N2，可构造矩形AMH2N2，如图2， 设N2（﹣1，y2）， ∵AM2， ∴10+[（﹣1）﹣（﹣3）]2+（y2﹣0）2＝[（﹣1）﹣（﹣2）]2+（y2﹣3）2， 解得y2，即N2（﹣1，）， 此时设H2（p2，q2），由A、M、N2、H2四点的相对位置关系可得： ， 解得：， ∴H2（0，）； ③以AM为对角线，作MN3⊥AN3交对称轴于N3，可构造矩形AN3MH3，如图3， 设N3（﹣1，y3）， ∵AM2， ∴10＝[（﹣1）﹣（﹣3）]2+（y3﹣0）2+[（﹣1）﹣（﹣2）]2+（y3﹣3）2， 解得y3＝1，y4＝2，即N3（﹣1，1），N4（﹣1，2）， 此时设H3（p3，q3），由A、M、N3、H3四点的相对位置关系可得： ， 解得：， ∴H3（﹣4，2）； 设H4（p4，q4），由A、M、N4、H4四点的相对位置关系可得： ， 解得：， ∴H4（﹣4，1）． 综上所述，点H的坐标为（﹣2，）或（0，）或（﹣4，2）或（﹣4，1）． 【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，三角函数定义，用函数法求线段和最值问题，二次函数图象和性质，矩形性质等知识点，是一道关于二次函数综合题和压轴题，综合性强，难度较大；熟练掌握相关知识并灵活运用方程思想，数形结合思想和分类讨论思想是解题关键． 6．（2023•通榆县二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c（b、c为常数）经过点A（﹣1，0）和点B（0，5），点P在此抛物线上，其横坐标为m． （1）求该抛物线的解析式； （2）当点P在x轴下方时，直接写出m的取值范围； （3）当点P在y轴右侧时，将抛物线B、P两点之间的部分（包括B、P两点）记为图象G，设图象G上最高点与最低点的纵坐标的差为h． ①求h与m之间的函数关系式； ②点Q在此抛物线的对称轴上，点D在坐标平面内，当h＝16时，以B、P、Q、D为顶点的四边形为矩形，且BP为矩形的一边，直接写出点Q的坐标． 【分析】（1）将点A（﹣1，0），B（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c之中得到关于b，c的方程组，解方程组求出b，c即可得到抛物线的解析式； （2）先求出抛物线与x轴的两个交点A（﹣1，0），C（5，0），再根据抛物线的开口向下可得出当点P在x轴下方的抛物线上时，m的取值范围； （3）①先求出抛物线的点为（2，9），对称轴为x＝2，点P（m，﹣m2+4m+5），分两种情况进行讨论：（ⅰ）当点P在y轴右侧，对称轴右侧时，即0≤m≤2，点B为最低点，点P为最高点，据此可求出h与m之间的函数关系式；（ⅱ）当点P在对称轴的右侧时，即m＞2，此时最高点为抛物线的顶点，最低点为P点，据此可求出h与m之间的函数关系式； ②由①可知当h＝16时，m＞2，据此可求出点P（6，﹣7），再求出直线PB的解析式为y＝﹣2x+5，分两种情况进行讨论：（ⅰ）当点Q在x轴上方时，先求出BQ的解析式，再根据点Q在抛物线的对称轴上可求出点Q的坐标；（ⅱ）当点Q在x轴的下方时，先求出PQ的解析式为，再根据点Q在抛物线的对称轴上可求出点Q的坐标． 【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c， 得：，解得：， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5， （2）对于y＝﹣x2+4x+5，当y＝0时，﹣x2+4x+5＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝5， ∴抛物线与x轴的两个交点A（﹣1，0），C（5，0）， 又∵抛物线的开口向下， ∴当点P在x轴下方的抛物线上时，m的取值范围是：m＜﹣1或m＞5． （3）①∵y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9， ∴抛物线的点为（2，9），对称轴为x＝2， ∵点P在y轴右侧的抛物线上，且横坐标为m， ∴点P的坐标为（m，﹣m2+4m+5）， 分两种情况讨论如下： （ⅰ）当点P在y轴右侧时，即：0≤m≤2， ∴点B为最低点，点P为最高点， ∴h＝﹣m2+4m+5﹣5＝﹣m2+4m，其中0≤m≤2， （ⅱ）当点P在对称轴的右侧时，即：m＞2， 此时最高点为抛物线的顶点，最低点为P点， ∴h＝9﹣（﹣m2+4m+5）＝m2﹣4m+4，其中2＜m≤5， 综上所述：h与m之间的函数关系式是：， ②点Q的坐标为：（2，6）或（2，﹣9）． 理由如下： 由①可知：当h＝16时，m＞2， ∴m2﹣4m+4＝16，解得：m1＝6，m2＝﹣2（不合题意，舍去）， 当m＝6时，﹣m2+4m+5＝﹣7， ∴点P的坐标为（6，﹣7）， 设直线PB的解析式为：y＝kx+t， 将点B（0，5），P（6，﹣7）代入y＝kx+t， 得：，解得：， ∴直线PB的解析式为：y＝﹣2x+5， ∵以B、P、Q、D为顶点的四边形为矩形，且BP为矩形的一边， ∴有以下两种情况： （ⅰ）当点Q在x轴上方时，设BQ的解析式为：y＝k1x+t1， ∵BQ⊥PB， ∴， ∴BQ的解析式为：， 将点B（0，5）代入得：t1＝5， ∴BQ的解析式为：， ∵点Q在抛物线的对称轴上， ∴点Q的横坐标为2， ∴当x＝2是，， 此时点Q的坐标为（2，6）， （ⅱ）当点Q在x轴的下方时，设PQ的解析式为：y＝k2x+t2， 同理：PQ的解析式为：， 将点P（6，﹣7）代入得：t2＝﹣10， ∴PQ的解析式为：， 当x＝2时，， 此时点Q的坐标为（2，﹣9）． 综上所述：点Q的坐标为（2，6）或（2，﹣9）． 【点评】此题主要考查了求二次函数的解析式，顶点坐标、对称轴，矩形的性质等，解答此题的关键是熟练掌握待定系数法求函数的解析式，以及求二次函数顶点坐标、对称轴的方法，理解矩形的四个角都是直角，难点是分类讨论思想在解题中的应用． 题型二 二次函数与菱形的存在性问题 7．（2022•陕西模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线yx﹣2分别交x轴、y轴于点A、B，且抛物线与x轴的另一个交点为C（﹣1，0）． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是平面内任意一点，在抛物线对称轴上是否存在点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）求出A（3，0），B（0，﹣2），再用待定系数法可得抛物线的表达式为yx2x﹣2； （2）求出抛物线yx2x﹣2的对称轴为直线x＝1；设P（m，n），Q（1，t），①若PQ，AB为对角线，可得，②若PA，QB为对角线，则，③若PB，QA为对角线，可得，分别解方程组可得答案． 【解答】解：（1）在yx﹣2中，令x＝0得y＝﹣2，令y＝0得x＝3， ∴A（3，0），B（0，﹣2）， 把A（3，0），B（0，﹣2），C（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+c得： ， 解得， ∴抛物线的表达式为yx2x﹣2； （2）在抛物线对称轴上存在点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形，理由如下： ∵yx2x﹣2（x﹣1）2， ∴抛物线yx2x﹣2的对称轴为直线x＝1； 设P（m，n），Q（1，t）， 又A（3，0），B（0，﹣2）， ①若PQ，AB为对角线，则PQ的中点即为AB的中点，且QA＝QB， ∴， 解得， ∴Q（1，）； ②若PA，QB为对角线，则PA，QB中点重合，且AB＝AQ， ∴， 解得或， ∴Q（1，3）或（1，﹣3）； ③若PB，QA为对角线，则PB，QA的中点重合，且AB＝QB， ∴， 解得或； ∴Q（1，﹣22）或（1，22）； 综上所述，Q的坐标为（1，）或（1，3）或（1，﹣3）或（1，﹣22）或（1，22）． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，菱形的存在形问题等，解题的关键是掌握菱形的性质，分类列方程组解决问题． 8．（2021•湘潭）如图，一次函数yx图象与坐标轴交于点A、B，二次函数yx2+bx+c图象过A、B两点． （1）求二次函数解析式； （2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由yx可求出A（3，0），B（0，），代入二次函数yx2+bx+c即得二次函数解析式为yx2x； （2）由二次函数yx2x可得其对称轴为直线x1，设P（1，m），Q（n，n2n），而C与B关于直线x＝1对称，可得C（2，）， ①当BC、PQ为对角线时，，可得，此时四边形BQCP是平行四边形，根据P（1，），B（0，），C（2，）可得PB＝PC，即得此时Q（1，）；②BP、CQ为对角线时，同理可得Q（﹣1，0）；③以BQ、CP为对角线，同理可得Q（3，0）． 【解答】解：（1）在yx中，令x＝0得y，令y＝0得x＝3， ∴A（3，0），B（0，）， ∵二次函数yx2+bx+c图象过A、B两点， ∴，解得， ∴二次函数解析式为yx2x； （2）存在，理由如下： 由二次函数yx2x可得其对称轴为直线x1， 设P（1，m），Q（n，n2n），而B（0，）， ∵C与B关于直线x＝1对称， ∴C（2，）， ①当BC、PQ为对角线时，如图： 此时BC的中点即是PQ的中点，即， 解得， ∴当P（1，），Q（1，）时，四边形BQCP是平行四边形， 由P（1，），B（0，），C（2，）可得PB2PC2， ∴PB＝PC， ∴四边形BQCP是菱形， ∴此时Q（1，）； ②BP、CQ为对角线时，如图： 同理BP、CQ中点重合，可得， 解得， ∴当P（1，0），Q（﹣1，0）时，四边形BCPQ是平行四边形， 由P（1，0），B（0，），C（2，）可得BC2＝4＝PC2， ∴四边形BCPQ是菱形， ∴此时Q（﹣1，0）； ③以BQ、CP为对角线，如图： BQ、CP中点重合，可得， 解得， ∴P（1，0），Q（3，0）时，四边形BCQP是平行四边形， 由P（1，0），B（0，），C（2，）可得BC2＝4＝PC2， ∴四边形BCQP是菱形， ∴此时Q（3，0）； 综上所述，Q的坐标为：（1，）或（﹣1，0）或（3，0）． 【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、二次函数图象上点的坐标特征、菱形的判定及中点坐标、两点间距离公式等知识，解题的关键是分类画出图形，利用对角线互相平分列方程解决问题． 9．（2024春•南川区期中）已知抛物线与x轴交于点B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A． （1）判断△ABC的形状，并说明理由． （2）设点P（m，n）是抛物线在第一象限部分上的点，过点P作PH⊥x轴于H，交AC于点Q，设四边形OAPC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标和△QHC的面积； （3）在（2）的条件下，点N是坐标平面内一点，抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以P、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点M的坐标． 【分析】（1）根据勾股定理逆定理求解即可； （2）先求出AC的直线解析式，然后假设P点坐标，即可得到H和Q点的坐标，然后四边形OAPC分成△OAC和△APC求出面积和P点坐标得关系，根据二次函数最值问题的即可求出S的最大值，从而求得P点坐标和Q点坐标，从而得到△QHC的面积； （3）根据菱形的性质，得出△PMC为等腰三角形，再根据腰的不同分类讨论，即可求解． 【解答】（1）解：△ABC是直角三角形，理由如下： ∵yx2x+2与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧）， 与y轴交于点A， ∴当x＝0时，y＝2， 当y＝0时，x2x+2＝0， 解得：x＝﹣1或x＝4， ∴A（0，2），B（﹣1，0），C（4，0）， ∴OA＝2，OB＝1，OC＝4， ∴AB，BC＝5，AC＝2， ∵，即AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°； （2）设直线AC的解析式为y＝kx+b， ∵A（0，2），C（4，0）， ∴， 解得： ∴直线AC的解析式为：yx+2， ∵点P（m，n）是抛物线yx+2在第一象限部分上的点，PH⊥x轴， ∴P（m，m2m+2），H（m，0），Q（m，m+2）， ∴PQm2m+2﹣（m+2）m2+2m， ∵S△OAC•OA•OC2×4＝4， S△APCPQ（xC﹣xA）（m2+2m）（4﹣0）＝﹣m2+4m， ∴S四边形OAPC＝S△OAC+S△APC＝﹣m2+4m+4＝﹣（m﹣2）2+8， ∴S＝﹣m2+4m+4， ∴当m＝2时，S四边形OAPC的最大值为8，此时P（2，3）， ∴Q（2，1），H（2，0）， ∴S△QHC•CH•QH2×1＝1； （3）存在， 理由如下：∵yx2x+2， ∴抛物线的对称轴为直线x， 设M（，t）， 由（1）（2）可知，P（2，3），C（4，0）， ∴PM2＝（2）2+（3﹣t）2＝t2﹣6t，PC2＝（2﹣4）2+（0﹣3）2＝13，MC2＝（4）2+（t﹣0）2＝t2， 由菱形的对称性可知，若P，C，M，N为顶点的四边形是菱形， ∴△PCM为等腰三角形， ①当PM＝PC时， t2﹣6t13， 解得：t， ∴M（（，）或（，）； ②当CM＝PC时， t213， 解得：t＝±， ∴M（，）或（，）； ③当MC＝MP时， t2﹣6tt2， 解得：t， ∴M（，）； 综上所述，点M坐标为（，）或（，）或（，）或（，）或（，）． 【点评】本题主要考查了二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式、二次函数的性质、菱形的性质以及勾股定理逆定理等知识，利用分类讨论思想来求解是本题解题的关键． 10．（2024•金川区模拟）如图1，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A和B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接AC，直线y＝kx+b经过点B、C． （1）求直线BC的函数表达式； （2）点P是位于直线BC上方抛物线上的一个动点，过点P作PE⊥BC于点E，连接OE．求△BOE面积的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，将抛物线沿着射线CA方向平移2个单位得到新抛物线y′，y′与原抛物线相交于点M，点Q是新抛物线y′对称轴上的一个动点，点N为平面内一点，若以P、Q、M、N为顶点的四边形是以MQ为边的菱形，直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 【分析】（1）抛物线y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，y＝0，可得A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），利用待定系数法即可得直线BC的函数表达式； （2）过点P作PF∥y轴交BC于点F，过点E作EH⊥PF于点H，设P（m，﹣m2+2m+3），则F（m，﹣m+3），PF＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，△PEF是等腰直角三角形，可得E（m2m，m2m+3），则S△BOE3×（m2m+3）（m）2，根据二次函数的性质即可求解； （3）求出新抛物线y′＝﹣（x﹣1+）2+4﹣6＝﹣（x+1）2﹣2，解方程组得M（，），新抛物线y′的对称轴为直线x＝﹣1，设Q（﹣1，n），则MQ2＝（1）2+（n）2＝n2n，PQ2＝（1）2+（n）2＝n2n，PM2＝（）2+（）2＝40，分两种情况①当MQ＝PQ时，②当MQ＝PM时，根据菱形的性质即可求解． 【解答】解：（1）抛物线y＝﹣x2+2x+3， 令x＝0，则y＝3， 令y＝0，则0＝﹣x2+2x+3，解得x＝3或﹣1， ∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）， ∵直线y＝kx+b经过点B、C， ∴，解得， ∴直线BC的函数表达式为y＝﹣x+3； （2）过点P作PF∥y轴交BC于点F，过点E作EH⊥PF于点H， 设P（m，﹣m2+2m+3），则F（m，﹣m+3）， ∴PF＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m， ∵B（3，0），C（0，3）， ∴OB＝OC， ∴∠OCB＝45°， ∵PF∥y轴， ∴∠EFP＝∠OCB＝45°， ∵PE⊥BC， ∴△PEF是等腰直角三角形， ∵EH⊥PF， ∴EH＝PH＝FHPF）m2m， ∴E（m2m，m2m+3）， ∴S△BOE3×（m2m+3）（m）2， ∴△BOE面积的最大值为，此时点P的坐标为（，）； （3）∵A（﹣1，0），C（0，3）， ∴AC， ∴将抛物线沿着射线CA方向平移2个单位得到新抛物线y′，即将抛物线向左平移2个单位长度，向下平移6个单位长度， ∵抛物线y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴新抛物线y′＝﹣（x﹣1+）2+4﹣6＝﹣（x+1）2﹣2， 解方程组得， ∴M（，），新抛物线y′的对称轴为直线x＝﹣1， 设Q（﹣1，n）， ∴MQ2＝（1）2+（n）2＝n2n， PQ2＝（1）2+（n）2＝n2n， PM2＝（）2+（）2＝40， ①当MQ＝PQ时，n2nn2n， ∴n， ∴Q（﹣1，）， ∵点P的坐标为（，）， ∴点N的坐标为（0，）； ②当MQ＝PM时，n2n40， ∴n， ∴Q（﹣1，）或（﹣1，）， ∵点P的坐标为（，）， ∴点N的坐标为（1，）或（1，）； 综上，点N的坐标为（0，）或（1，）或（1，）． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质，菱形的性质，分类讨论是解题的关键．此题综合性较强，是一道很好的试题． 11．（2024•湖南模拟）如图，已知直线yx+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1． （1）求抛物线的表达式； （2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标； （3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）先求得A，C，B三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果； （2）作DF⊥AB于F，交AC于E，根据点D和点E坐标可表示出DE的长，进而表示出三角形ADC的面积，进而表示出S的函数关系式，进一步求得结果； （3）根据菱形性质可得PA＝PC，进而求得点P的坐标，根据菱形性质，进一步求得点Q坐标． 【解答】解：（1）当x＝0时，y＝4， ∴C （0，4）， 当y＝0时，x+4＝0， ∴x＝﹣3， ∴A （﹣3，0）， ∵对称轴为直线x＝﹣1， ∴B（1，0）， ∴设抛物线的表达式：y＝a（x﹣1）•（x+3）， ∴4＝﹣3a， ∴a， ∴抛物线的表达式为：y（x﹣1）•（x+3）x2x+4； （2）如图1， 作DF⊥AB于F，交AC于E， ∴D（m，m+4），E（m，m+4）， ∴DEm+4﹣（m+4）m2﹣4m， ∴S△ADCOA•（m2﹣4m）＝﹣2m2﹣6m， ∵S△ABC8， ∴S＝﹣2m2﹣6m+8＝﹣2（m）2， ∴当m时，S最大， 当m时，y5， ∴D（，5）； （3）存在点P和点Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，理由如下： 设P（﹣1，n）， ∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形， ∴PA＝PC， 即：PA2＝PC2， ∴（﹣1+3）2+n2＝1+（n﹣4）2， ∴n， ∴P（﹣1，）， ∵xP+xQ＝xA+xC，yP+yQ＝yA+yC ∴xQ＝﹣3﹣（﹣1）＝﹣2，yQ＝4， ∴Q（﹣2，）． 【点评】本题考查了二次函数及其图象性质，勾股定理，菱形性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握相关二次函数和菱形性质． 12．（2024•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（3，0），与y轴交于点B，且关于直线x＝1对称． （1）求该抛物线的解析式； （2）当﹣1≤x≤t时，y的取值范围是0≤y≤2t﹣1，求t的值； （3）点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）当﹣1≤x≤t时，x＝﹣1时，y取得最小值，则x＝t时，y取得最大值，即可求解； （3）由抛物线的表达式知，点B（0，3），如图，B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，存在点E在点B上方和下方两种情况，分别求解即可． 【解答】解：（1）A（3，0），抛物线的对称轴为x＝1，则抛物线和x轴的另外一个交点为：（﹣1，0）， 则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝ax2+bx+3， 解得：a＝﹣1， 则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3； （2）当﹣1≤x≤t时， x＝﹣1时，y＝﹣x2+2x+3＝0，取得最小值， 则x＝t（t小于3）时，y取得最大值， 而抛物线的顶点处取得最大值， 抛物线的顶点坐标为：（1，4）， 即2t﹣1＝4， 解得：t＝2.5； （3）存在，理由： 由抛物线的表达式知，点B（0，3）， 当BC是边时，对应菱形为BDCE′， 由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝﹣x+3， 设点C（x，﹣x2+2x+3），点D（x，﹣x+3）， 则CD＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝BCx， 解得：x＝3， 则BCx＝32， 即菱形的边长为：32． 当BC为边时， 同理可得：BC＝CD，则x2+（﹣x2+2x）2＝（﹣x2+3x）2， 解得：x＝2（不合题意的值已舍去）， 则CD＝﹣22+6＝2， 菱形的边长为：2． 综上，菱形的边长为：32或2． 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 13．（2023春•盱眙县期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，作直线BC，点P是抛物线在第四象限上一个动点（点P不与点B，C重合），连结PB，PC，以PB，PC为边作▱CPBD，点P的横坐标为m． （1）求抛物线对应的函数表达式； （2）当▱CPBD有两个顶点在x轴上时，点P的坐标为 　 　； （3）当▱CPBD是菱形时，求m的值． 【分析】（1）利用交点式求抛物线的解析式； （2）先确定点D在x轴上，再利用平行四边形的性质可判断PC∥x轴，然后根据抛物线的对称性确定点P的坐标； （3）根据菱形的性质得PB＝PC，利用勾股定理即可求解． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）， ∴抛物线的解析式为y＝（x+1）（x﹣3）， 即y＝x2﹣2x﹣3； （2）∵抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3， 令x＝0，则y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）， ∵▱CPBD有两个顶点在x轴上， ∴点D在x轴上， 而BD∥PC， ∴点P和点C为抛物线上的对称点， 而抛物线的对称轴为直线x1， ∴点P的坐标为（2，﹣3）， 故答案为：（2，﹣3）； （3）∵抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，点P的横坐标为m． ∴P（m，m2﹣2m﹣3）， ∵▱CPBD是菱形， ∴PB＝PC， ∴m2+（m2﹣2m﹣3+3）2＝（3﹣m）2+（m2﹣2m﹣3）2， 整理得m2﹣m﹣3＝0，解得m， ∵点P是抛物线在第四象限上一个动点， ∴m＞0， ∴m的值． 【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质和平行四边形的性质，勾股定理，菱形的性质，会利用待定系数法求二次函数的解析式、理解坐标与图形的性质是解题的关键． 14．（2024•深圳三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与轴交于A，B点，与y轴交于点C（0，3），点B的坐标为（3，0），点P是抛物线上一个动点． （1）求二次函数解析式； （2）若P点在第一象限运动，当P运动到什么位置时，△BPC的面积最大？请求出点P的坐标和△BPC面积的最大值； （3）连接PO，PC，并把△POC沿CO翻折，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）设P（x，﹣x2+2x+3），求出直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设Q（x，﹣x+3），得到，根据二次函数的性质解答即可； （3）设点P（x，﹣x2+2x+3），PP′交CO于点E，若四边形POP′C是菱形，连接PP′，则PE⊥OC，，得到方程，解方程即可得到答案． 【解答】解：（1）将B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3． （2）设P（x，﹣x2+2x+3）， 设直线BC的解析式为y＝mx+n， 则， 解得， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3， 设Q（x，﹣x+3）， ∴， 当时，△CPB的面积最大， ， 此时，点的坐标为，△CPB的面积最大值为． （3）存在．如图，设点P（x，﹣x2+2x+3），PP′交CO于点E， 若四边形POP′C是菱形，连接PP′，则PE⊥OC，， ∴， 解得，， ∴P（，）或． 【点评】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法、二次函数图象与面积问题、二次函数与特殊四边形等知识，数形结合是解题的关键． 题型三 二次函数与正方形的存在性问题 15．（2024•榆林二模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a＜0）与y轴交于点C，与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点D是第二象限抛物线上的动点，DE∥x轴，交直线BC于点E，点G在x轴上，点F在坐标平面内．是否存在点D，使以D，E，F，G为顶点的四边形是正方形？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）①当DE为边时，则DE＝GD＝EF，即可求解；②当DE为对角线时，则DE＝2PH，即可求解． 【解答】解：（1）由题意得，抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣2）＝a（x2﹣x﹣2）＝ax2+bx+2， 则﹣2a＝2， 解得：a＝﹣1， 则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2； （2）∵B（2，0），C（0，2）， 设直线BC的解析式为：y＝kx+2， 将B（2，0）代入得：2k+2＝0， ∴k＝﹣1， ∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+2， 设D（t，﹣t2+t+2）， 分两种情况： ①当DE为边时，设E（n，﹣n+2）， 如图2，四边形GDFE是正方形， ∴DE＝GD＝EF， ∴， 解得：t1＝2（舍），t2， ∴D（，）； ②当DE为对角线时，如图3，过点D作DH⊥x轴于H，则DE＝2DH， ∴DE＝﹣2t2+2t+4， ∴E（﹣2t2+2t+4+t，﹣t2+t+2）， ∵点E在直线y＝﹣x+2上， ∴﹣t2+t+2＝2t2﹣3t﹣4+2， 解得：t或2（舍去）， ∴D（，）， 综上，点D的坐标为（，）或（，）． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，正方形的性质及应用，解题的关键是用含字母的式子表示相关点的坐标和相关线段的长度． 16．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点A在y轴的左侧，点C在x轴的下方，且OA＝OC＝5． （1）求抛物线对应的函数解析式； （2）点P为抛物线对称轴上的一动点，当PB+PC的值最小时，求点P的坐标； （3）在（2）条件下，点E为抛物线的对称轴上的动点，点F为抛物线上的动点，以点P、E、F为顶点作四边形PEFM，当四边形PEFM为正方形时，请直接写出坐标为整数的点M的坐标． 【分析】（1）由题意，可得A（﹣5，0），C（0，﹣5）．把点A，C的坐标代入y＝x2+bx+c，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可求出抛物线的函数解析式； （2）利用配方法求出抛物线的对称轴是直线x＝﹣2．由抛物线y＝x2+4x﹣5与x轴交于点A，B，得出点A，B关于直线x＝﹣2对称．连接AC，交对称轴于点P，根据两点之间线段最短可知此时PB+PC的值最小．利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝﹣x﹣5，把x＝﹣2代入，求出y＝﹣3，进而得出点P的坐标； （3）在（2）条件下，点P的坐标为（﹣2，﹣3）．设F（x，x2+4x﹣5），根据正方形的性质可得E（﹣2，x2+4x﹣5），M（x，﹣3），PM＝PE，根据两点间的距离公式列出方程|x+2|＝|x2+4x﹣5+3|，解方程即可求解． 【解答】解：（1）由题意，可得A（﹣5，0），C（0，﹣5）． ∵抛物线y＝x2+bx+c过点A，点C， ∴， 解得， ∴抛物线对应的函数解析式为y＝x2+4x﹣5； （2）∵y＝x2+4x﹣5＝（x+2）2﹣9， ∴对称轴是直线x＝﹣2． ∵抛物线y＝x2+4x﹣5与x轴交于点A，B， ∴点A，B关于直线x＝﹣2对称． 连接AC，交对称轴于点P，此时PB+PC的值最小． 设直线AC的解析式为y＝mx+n， 则，解得， ∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣5， 当x＝﹣2时，y＝﹣3， ∴点P的坐标为（﹣2，﹣3）； （3）在（2）条件下，点P的坐标为（﹣2，﹣3）． 设F（x，x2+4x﹣5）， ∵四边形PEFM为正方形， ∴E（﹣2，x2+4x﹣5），M（x，﹣3），PM＝PE， ∴|x+2|＝|x2+4x﹣5+3|， ∴x2+4x﹣2＝x+2，或x2+4x﹣2＝﹣x﹣2， 整理得x2+3x﹣4＝0，或x2+5x＝0， 解得x1＝﹣4，x2＝1，x3＝0，x4＝﹣5， ∴M（﹣4，﹣3）或M（1，﹣3）或M（0，﹣3）或M（﹣5，﹣3）． 【点评】本题是二次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求抛物线与直线的解析式，二次函数的性质，轴对称的性质，正方形的性质，综合性较强，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键． 17．（2024•武都区校级二模）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点Q在该抛物线的对称轴上，若△ACQ是以AC为腰的等腰三角形，求点Q的坐标； （3）若P为BD的中点，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，GM⊥x轴于点M，N为直线PF上一动点，当以F、M、G、N为顶点的四边形是正方形时，直接写出点M的坐标． 【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解； （2）分AC＝AQ、AC＝CQ两种情况，利用等腰三角形腰相等求解即可； （3）计算出FM＝|2﹣a|，MG＝|a2﹣2a﹣3|，当以F、M、G、N为顶点的四边形是正方形时，则FM＝MG，即可求解． 【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得， 故抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）由抛物线的表达式知，点C（0，﹣3），函数的对称轴为直线x＝1， 则设点Q的坐标为（1，m）， 由点A、C、Q的坐标得：AC2＝12+32＝10， 同理可得：AQ2＝4+m2，CQ2＝1+（m+3）2， 当AC＝AQ时，则10＝4+m2，解得m＝±； 当AC＝CQ时，同理可得m＝﹣6或0（舍去﹣6）， 故点Q的坐标为（1，0）或（1，）或（1，）； （3）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，故点D的坐标为（1，﹣4）， 由点B、D的坐标得，点P（2，﹣2）， 则点F（2，0）， 设点M的坐标为（a，0），则点G（a，a2﹣2a﹣3）， 则FM＝|2﹣a|，MG＝|a2﹣2a﹣3|， 当以F、M、G、N为顶点的四边形是正方形时，则FM＝MG， 即|2﹣a|＝|a2﹣2a﹣3|， 当2﹣a＝a2﹣2a﹣3时，解得a， 当﹣（2﹣a）＝a2﹣2a﹣3时，解得a， 故点M的坐标为（，0）或（，0）或（，0）或（，0）． 【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、正方形和等腰三角形的性质等，其中（2）、（3），都要注意分类求解，避免遗漏． 18．（2022秋•越城区期中）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD． （1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式； （2）点Q在该抛物线的对称轴上，若△BCQ是以BC为直角边的直角三角形，求点Q的坐标； （3）若P为BD的中点，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法求出过A，B，C三点的抛物线的函数表达式； （2）如图1，连接BC，CD．首先证明△OBC是等腰直角三角形，分两种情形分别求出点Q的坐标即可． （3）设点M的坐标为（a，0），表示出点G的坐标，根据正方形的性质列出方程，解方程即可． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点， ∴， 解得，， ∴经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3． （2）如图1，连接BC，CD． 由题意，C（0，3），B（3，0）， ∴OB＝OC＝3， ∵∠BOC＝90°， ∴∠OBC＝∠OCB＝45° ∵y＝﹣（x﹣1）2+4， ∴抛物线顶点D的坐标为（1，4）， ∵△BCQ是以BC为直角边的直角三角形， 当∠Q′BC＝90′时，∠ABQ′＝45°， ∴EB＝EQ′＝2， ∴Q′（1，﹣2）， 当∠QCB＝90°时，此时点Q与点D重合，Q（1，4）， 综上所述，满足条件的点Q的坐标为（1，4）或（1，﹣2）． （3）如图2中，设点M的坐标为（a，0），则点G的坐标为（a，﹣a2+2a+3）， ∵以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形， ∴FM＝MG，即|2﹣a|＝|﹣a2+2a+3|， 当2﹣a＝﹣a2+2a+3时， 整理得，a2﹣3a﹣1＝0， 解得，a， 当2﹣a＝﹣（﹣a2+2a+3）时， 整理得，a2﹣a﹣5＝0， 解得，a， ∴当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，点M的坐标为（，0），（，0），（，0），（，0）． 【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式以及正方形的性质，掌握二次函数的图象和性质、灵活运用待定系数法是解题的关键． 19．（2024•大同三模）综合与探究 如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，﹣1）和点B（3，3），点P是线段AB上一动点（不与A，B重合），直线l是抛物线的对称轴，设点P的横坐标为m． （1）求抛物线的函数表达式及直线AB的函数表达式． （2）当点P在直线l右侧的线段部分上运动时，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，分别过点P，Q作直线l的垂线，垂足分别为C，D，求四边形PCDQ周长的最大值． （3）若点E是抛物线上一点，平面内是否存在点F，使得以点A，E，F，P为顶点的四边形是正方形时，若存在，请直接写出所有满足条件的点F的坐标．若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设点P的坐标为（m，m），点Q的坐标为（m，m2﹣m﹣3），得到四边形PCDQ周长为﹣2m2+6m+5，利用二次函数的性质求解即可； （3）分三种情况讨论，利用正方形的性质求解即可． 【解答】解：（1）将点A（﹣1，﹣1）和点B（3，3）代入y＝x2+bx+c得 ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣3， 设直线AB的函数表达式为y＝kx+n， ∴， 解得， ∴直线AB的函数表达式为y＝x； （2）∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点P的横坐标为m， ∴点P的坐标为（m，m），点Q的坐标为（m，m2﹣m﹣3）， ∴CD＝PQ＝m﹣m2+m+3＝﹣m2+2m+3，， ∴四边形PCDQ周长为， ∵﹣2＜0， ∴当时，四边形PCDQ周长有最大值， 最大值为； （3）解：当AEPF为正方形时，如图， ∵点A（﹣1，﹣1）和点B（3，3）， ∴∠BAE＝45°， ∴点E与点A（﹣1，﹣1）关于对称轴对称， ∴点E（2，﹣1）， ∴点P（2，2）， ∴点F的坐标为（﹣1，2）； 当APFE为正方形时，如图，设正方形的中心为点G， ∵∠PAG＝45°，∠PAE＝90°， ∴PE∥y， ∴点P的坐标为（m，m），点E的坐标为（m，m2﹣m﹣3）， ∴PG＝m+1，GE＝﹣1﹣m2+m+3＝﹣m2+m+2， ∵PG＝GE， ∴﹣m2+m+2＝m+1，即m2＝1，解得m＝±1， ∴点P的坐标为（1，1），点G的坐标为（1，﹣1）， ∴点F的坐标为（3，﹣1）； 当APEF为正方形时，如图，设正方形的中心为点G， 显然点E与点A（﹣1，﹣1）关于对称轴对称， ∴点F的坐标为； 综上，点F的坐标为或（3，﹣1）或（﹣1，2）． 【点评】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及到了待定系数法求函数表达式、正方形的判定、二次函数的性质等重要知识点，综合性强，解答本题的关键是要求学生掌握分类讨论，数形结合的数学思想方法，此题有一定的难度． 20．（2022•齐齐哈尔）综合与探究 如图，某一次函数与二次函数y＝x2+mx+n的图象交点为A（﹣1，0），B（4，5）． （1）求抛物线的解析式； （2）点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为 　 　； （3）点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度的最大值； （4）在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标． 【分析】（1）将A（﹣1，0），B（4，5）代入y＝x2+mx+n，解方程即可得出答案； （2）根据两点之间，线段最短，可知当点A、B、C三点共线时，AC+BC的最小值为AB的长，求出直线AB的解析式，即可得出点C的坐标； （3）设D（a，a2﹣2a﹣3），则E（a，a+1），表示出DE的长度，利用二次函数的性质可得答案； （4）分CF为对角线和边，分别画出图形，利用正方形的性质可得答案． 【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（4，5）代入y＝x2+mx+n得， ， ∴， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）设直线AB的函数解析式为y＝kx+b， ， ∴， ∴直线AB的解析式为y＝x+1， ∵AC+BC≥AB， ∴当点A、B、C三点共线时，AC+BC的最小值为AB的长， ∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为x＝1， ∴当x＝1时，y＝2， ∴C（1，2）， 故答案为：（1，2）； （3）设D（a，a2﹣2a﹣3），则E（a，a+1）， ∴DE＝（a+1）﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2+3a+4＝﹣（a）（﹣1＜a＜4）， ∴当a时，DE的最大值为； （4）当CF为对角线时，如图， 此时四边形CMFN是正方形， ∴N（1，1）， 当CF为边时，若点F在C的上方，如图， 此时∠MFC＝45°， ∴MF∥x轴， ∵△MCF是等腰直角三角形， ∴MF＝CN＝2， ∴N（1，4）， 当点F在点C的下方时，如图，四边形CFNM是正方形， 同理可得N（﹣1，2）， 当点F在点C的下方时，如图，四边形CFMN是正方形， 同理可得N（，）， 综上：N（1，1）或（1，4）或（﹣1，2）或（，）． 【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，两点之间、线段最短，正方形的性质等知识，利用分类思想、数形结合思想是解决问题（4）的关键． 21．（2024•德惠市二模）如图，抛物线y＝kx2﹣2kx﹣1与y轴交于点C．已知抛物线顶点坐标为（1，﹣2），点P在此抛物线上，其坐标为（m，n）． （1）求抛物线的解析式． （2）当﹣1≤m≤2时，结合图象，直接写出n的取值范围． （3）若此抛物线在点P左侧部分（包括点P）恰有三个点到x轴的距离为1，求m的取值范围． （4）当m＞1时，以PC为边作正方形，当此正方形的另外两个顶点中有一个顶点在此抛物线的对称轴上时，直接写出m的值． 【分析】（1）由y＝ax2﹣2ax﹣1＝y＝a（x﹣1）2﹣a﹣1，得抛物线的顶点坐标为（1，﹣a﹣1），则﹣a﹣1＝﹣2，求得a＝1，所以抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣1； （2）由P（m，n）在抛物线y＝x2﹣2x﹣1上，得n＝m2﹣2m﹣1，当m＝﹣1时，n＝2，当m＝2时，n＝﹣1，而抛物线的顶点坐标为（1，﹣2），可知当﹣1≤m≤2时，n的最小值和最大值分别为﹣2和2，所以n的取值范围是﹣2≤n≤2； （3）当点P（m，n）到x轴的距离为1时，n＝1或n＝﹣1，由m2﹣2m﹣1＝1，求得，；由m2﹣2 m﹣1＝﹣1，求得m1＝0，m2＝2，则点，，G（2，﹣1），C（0，﹣1）到x轴的距离均为1，所以m的取值范围是；、 （4）由（1）得，抛物线的对称轴为直线x＝1，再分三种情况讨论，①以PC为边作正方形，当此正方形的顶点Q在此抛物线的对称轴上CP＝PQ，∠QPC＝90°时，如图2，作PM⊥x轴，作CM⊥PM于点M，QN⊥PN于点N，证明△PQN≌△CPM，得出QN＝PM，列出等式即可求解；②是点P为抛物线与x轴的交点，作CQ⊥CP交直线x＝1于点Q，连结PQ，作QR⊥y轴于点R，则△PCQ是等腰直角三角形，符合题意以PC为边作正方形，有一个顶点Q在此抛物线的对称轴上，即可确定点P的横坐标； ③以PC为边作正方形，有一个顶点Q在此抛物线的对称轴上，此时△PCQ是等腰直角三角形，点Q在直线x＝1上，且∠CPQ＝90°，PQ＝PC，作PH⊥x轴，作CH⊥PH于点H，QL⊥PH 于点L，可证明△PQL≌△CPH，QL＝PH，m﹣1＝m2﹣2m，即可求解． 【解答】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（1，﹣2）， ∴将（1，﹣2）代入y＝kx2﹣2kx﹣1， 解得k＝1， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣1． （2）∵P（m，n）在抛物线y＝x2﹣2x﹣1上， ∴n＝m2﹣2m﹣1， 当m＝﹣1时，n＝（﹣1）2﹣2×（﹣1）﹣1＝2， 当m＝2时，n＝22﹣2×2﹣1＝﹣1， ∵抛物线的顶点坐标为（1，﹣2）， ∴当点P与抛物线的顶点重合时，则n＝﹣2， ∴当﹣1≤m≤2时，n的最小值和最大值分别为﹣2和2， ∴n的取值范围是﹣2≤n≤2． （3）当点P（m，n）到x轴的距离为1时，即n＝1或n＝﹣1， 当n＝1时，则m2﹣2m﹣1＝1， 解得，， 当n＝﹣1时，则m2﹣2m﹣1＝﹣1， 解得m1＝0，m2＝2， 如图，点，，G（2，﹣1），C（0，﹣1）到x轴的距离均为1， ∵抛物线在点P左侧部分（包括点P）恰有三个点到x轴的距离为1， ∴m的取值范围是． （4）当m＞1时，①以PC为边作正方形，当此正方形的顶点Q在此抛物线的对称轴上CP＝PQ，∠QPC＝90°时，如图， 作PM⊥x轴，作CM⊥PM于点M，QN⊥PN 于点N，∠QNP＝∠CMP＝∠CPQ＝90°， ∴∠QPN＝∠PCM＝90°﹣∠MPC， ∴△PQN≌△CPM（AAS）， ∴QN＝PM， ∵P（m，m2﹣2m﹣1），M（m，﹣1）， ∴PM＝（﹣1）﹣（m2﹣2m﹣1）＝﹣m2+2m， ∴QN＝m﹣1， ∴m﹣1＝﹣m2+2m， 解得，（不符合题意，舍去）； ②如图，点P为抛物线与x轴的交点，作CQ⊥CP交直线x＝1于点Q，连结PQ，作QR⊥y轴于点R， ∵∠POC＝∠CRQ＝∠PCQ＝90°， ∴∠OCP＝∠CRQ＝90°﹣∠RCQ， ∵OC＝RQ＝1， ∴△POC≌△CRQ（ASA）， ∴△PCQ是等腰直角三角形，符合以PC为边的四边形是正方形，此时正方形的顶点Q在此抛物线的对称轴上， 当n＝0时，则m2﹣2m﹣1＝0， 解得，（不符合题意，舍去）； ③如图，以PC为边作正方形，当此正方形的顶点Q在此抛物线的对称轴上时，△PCQ是等腰直角三角形，且∠CPQ＝90°，点Q在直线x＝1上， ∴PQ＝PC， 作PH⊥x轴，作CH⊥PH于点H，QL⊥PH于点L， ∵∠L＝∠H＝∠CPQ＝90°， ∴∠PQL＝∠CPH＝90°﹣∠QPL， ∴△PQL≌△CPH（AAS）， ∴QL＝PH， ∵P（m，m2﹣2m﹣1），H（m，﹣1）， ∴PH＝m2﹣2m﹣1﹣（﹣1）＝m2﹣2m， ∴QL＝m﹣1， ∴m﹣1＝m2﹣2m， 解得，（不符合题意，舍去）， 综上所述，或或． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，主要考查二次函数的图象与性质、等腰直角三角形的判定与性质、正方形的性质，掌握数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法是解题的关键，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$