专题 与二次函数有关的面积问题6大题型提分练（专项训练）数学浙教版九年级上册

九年级数学上册《第1章 二次函数》 二次函数的综合题专训（二） 与二次函数有关的面积问题 类型一 二次函数与面积计算问题 ★1、当所求图形的面积没有办法直接求出时，通常采用分割或补全图形的方法表示所求图形的面积，如下： ●●●直接利用公式： ●●●过点P作y轴的垂线（或作x轴的垂线）： 一般步骤为：①设出要求的点的坐标； ②通过割补将要求的图形转化成通过条件可以表示的图形面积和或差； ③列出关系式求解； ④检验是否每个坐标都符合题意． ★2、用铅垂定理巧求斜三角形面积的计算公式：三角形面积等于水平宽和铅锤高乘积的一半. 类型二 二次函数与面积相等或倍数问题 ★1、 平行线构造模型:利用平行线间的距离处处相等,根据同底(等底)等高,将所求图形的面积转化到另一个图形中. ★2、一般步骤： ①设出直线解析式，两条平行直线k相等； ②通过已知点的坐标，求出直线解析式； ③求出符合题意的点的坐标. ④检验是否每个坐标都符合题意． 题型一 二次函数与面积的计算问题 1．（2023秋•头屯河区期末）如图，点C为二次函数y＝x2+2x+1的顶点，直线y＝﹣x+m与该二次函数图象交于A（﹣3，4）、B两点（点B在y轴上），与二次函数图象的对称轴交于点D． （1）求m的值及点C坐标； （2）连接AC、BC，求S△ABC； 【分析】（1）将点A坐标代入解析式可求m的值，利用待定系数法可求抛物线解析式； （2）先求出D（﹣1，2），然后根据三角形的面积公式即可得到结论； 【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+m过点A（﹣3，4）， ∴4＝3+m， ∴m＝1， ∴y＝﹣x+1， ∴B（0，1）， 二次函数解析式为y＝x2+2x+1＝（x+1）2， 顶点坐标为C（﹣1，0）； （2）由（1）知，直线AB的解析式为y＝﹣x+1，C（﹣1，0），二次函数对称轴为x＝﹣1， ∵直线y＝﹣x+1与二次函数图象的对称轴交于点D， ∴设点D（﹣1，y）， ∴y＝﹣1×（﹣1）+1＝2， ∴D（﹣1，2）， ∴△ABC的面积＝S△ACD+S△BCD； 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，等腰三角形的性质，两点距离公式等知识． 2．如图，抛物线yx2+3与x轴交于A，B两点，与直线yx+b相交于B，C两点，连接A，C两点． （1）写出直线BC的解析式； （2）求△ABC的面积． 【分析】（1）利用抛物线解析式求出点B的坐标，然后代入直线解析式求出b的值，即可得解； （2）联立抛物线与直线解析式求出点C的坐标，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解． 【解答】解：（1）令y＝0，则x2+3＝0， 解得x＝±2， 所以，点B的坐标为（2，0）， 代入yx+b得，2+b＝0， 解得b， 所以，直线BC的解析式为yx； （2）联立， 解得，， 所以，点C的坐标为（﹣1，）， ∵AB＝2﹣（﹣2）＝2+2＝4， ∴△ABC的面积4． 【点评】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，熟记性质并联立两函数解析式求出交点C的坐标是解题的关键． 3．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．    (1)求抛物线对应的函数解析式，并直接写出顶点P的坐标； (2)求的面积． 注：抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的表达式，再根据解析式求点P的坐标即可； （2）求出点和抛物线顶点，，利用即可得到答案． 【解答】（1）抛物线经过点，， ， 解这个方程组，得． 抛物线对应的解析式． 点是抛物线的顶点坐标， ，即：，， ． （2）如图，连接OP．    ，，，， ， ， ． ， ． 【点评】此题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象和性质等知识，掌握数形结合的思想和割补法求三角形面积是解题的关键． 4．（2024•陇南模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（0，3）．点M是抛物线上第一象限内的点，过点M作直线MN⊥x轴于点N． （1）求抛物线的解析式； （2）当直线MN是抛物线的对称轴时，求四边形ABMN的面积． 【分析】（1）利用待定系数法把A，B两点坐标代入抛物线y＝﹣x2+bx+c得关于b，c的方程组，解方程组求出b，c即可； （2）先把（1）中所求抛物线的解析式化成顶点式，从而求出顶点M的坐标和N的坐标，然后根据点的坐标求出AN，OB，MN，最后利用四边形ABMN的面积＝△ABN的面积+△BMN的面积，利用面积公式进行计算即可． 【解答】解：（1）把点A（﹣1，0），点B（0，3）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3； （2）如图所示：连接AB，BN和BM， ∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴对称轴为：x＝1， ∴M（1，4），N（1，0）， ∵A（﹣1，0），点B（0，3），点O（0，0）， ∴OB＝3，AN＝2，MN＝4，ON＝1， ∴S四边形ABMN＝S△ABN+S△BMN ＝3+2 ＝5． 【点评】本题主要考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，解题关键是熟练掌握用待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质． 题型二 二次函数与面积存在性问题 1．（2023秋•新宾县期中）综合与探究 如图，顶点为M的抛物线y＝a（x+1）2﹣4分别与x轴相交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴相交于点C（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式； （2）判断△BCM是不是直角三角形，并说明理由； （3）若P是该二次函数图象上位于x轴上方的一点，且S△APB＝S△PCM，直接写出点P的坐标． 【分析】（1）将点C坐标代入解析式求得a即可； （2）先根据抛物线解析式求得点M、B、C的坐标，继而可得线段BC、CM、BM的长，根据勾股定理的逆定理即可判断； （3）由S△PCM＝S△PCH﹣S△CHMCH×（xM﹣xP），S△APBAB×yP，即可求解． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x+1）2﹣4与y轴相交于点C（0，﹣3）． ∴﹣3＝a﹣4， ∴a＝1， ∴抛物线解析式为y＝（x+1）2﹣4＝x2+2x﹣3； （2）△BCM是直角三角形，理由： ∵由（1）知抛物线解析式为y＝（x+1）2﹣4， ∴M（﹣1，﹣4）， 令y＝0，得：x2+2x﹣3＝0， ∴x1＝﹣3，x2＝1， ∴A（1，0），B（﹣3，0）， ∴BC2＝9+9＝18，CM2＝1+1＝2，BM2＝4+16＝20， ∴BC2+CM2＝BM2， ∴△BCM是直角三角形； （3）设点P（t，t2+2t﹣3），延长PM交y轴于点H， 由点P、M的坐标得，直线PM的表达式为：y＝（t+1）（x+1）﹣4， 当x＝0时，y＝（t+1）（x+1）﹣4＝t﹣3，即点H（0，t﹣3）， 则CH＝﹣3﹣（t﹣3）＝﹣t， 则S△PCM＝S△PCH﹣S△CHMCH×（xM﹣xP）（﹣t）（﹣1﹣t）（t2+t）， 而S△APBAB×yP＝2yP＝2（t2+2t﹣3）（t2+t）， 解得：x， 则点P的坐标为：（，）或（，）． 【点评】本题为二次函数综合题，主要考查待定系数法求二次函数解析式及勾股定理逆定理，根据题意求得抛物线解析式是解题的根本，掌握勾股定理逆定理是解题的关键． 2．（2024•黑龙江三模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+3与抛物线y＝x2+bx+c交于点A，B，点A在y轴上，抛物线的对称轴是直线x＝2． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得S△ABP？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）先利用一次函数解析式确定A（0，3），再把A点坐标代入y＝x2+bx+c得c＝3，接着利用对称轴方程求出b，从而得到抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3； （2）AB与直线x＝2相交于点Q，如图，先确定Q（2，5），再解方程组得到B（5，8），设P（2，t），接着利用三角形面积公式得到|t﹣5|×5，然后解方程求出t，从而得到P点坐标． 【解答】解：（1）当x＝0时，y＝x+3＝3， ∴A（0，3）， 把A（0，3）代入y＝x2+bx+c得c＝3， ∵抛物线的对称轴是直线x＝2， ∴2， 解得b＝﹣4， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3； （2）存在． AB与直线x＝2相交于点Q，如图， 当x＝2时，y＝x+3＝5， ∴Q（2，5）， 解方程组， 解得或， ∴B（5，8）， 设P（2，t）， ∵S△ABP， ∴|t﹣5|×5， 解得t或t， ∴P点坐标为（2，）或（2，）． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． 3．（2023•利通区校级模拟）如图抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（2，﹣3），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上是否存在点p，使△PBC的面积是△BCD面积的3倍，若存在，请直接写出点p的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）设抛物线上的点P坐标为（m，m2﹣2m﹣3），结合方程思想和三角形面积公式列方程求解． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（2，﹣3）， ∴， 解得b＝﹣2，c＝﹣3， ∴抛物线的解析式：y＝x2﹣2x﹣3； （2）存在，理由如下： ∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴D点坐标为（1，﹣4）， 令x＝0，则y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3， ∴C点坐标为（0，﹣3）， 又∵B点坐标为（2，﹣3）， ∴BC∥x轴， ∴S△BCD2×1＝1， 设抛物线上的点P坐标为（m，m2﹣2m﹣3）， ∴S△PBC2×|m2﹣2m﹣3﹣（﹣3）|＝|m2﹣2m|， 当|m2﹣2m|＝3×1时， 解得m＝1±2， 当m＝1+2＝3时，m2﹣2m﹣3＝0， 当m＝1﹣2＝﹣1时，m2﹣2m﹣3＝0， 综上，P点坐标为（3，0）或（﹣1，0）． 【点评】本题考查二次函数的性质，掌握待定系数法求函数解析式的方法，理解二次函数图象上点的坐标特征，利用方程思想解题是关键． 4．（2024•合肥模拟）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，连接BC． （1）求a，b的值； （2）点M为线段BC上一动点（不与B，C重合），过点M作MP⊥x轴于点P，交抛物线于点N． （i）如图1，当时，求线段MN的长； （ii）如图2，在抛物线上找一点Q，连接AM，QN，QP，使得△PQN与△APM的面积相等，当线段NQ的长度最小时，求点M的横坐标m的值． 【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，即可求解； （2）（i）由，即，即可求解； （ⅱ）△PQN与△APM的面积相等，得到QR＝1求出点Q的坐标，进而求解． 【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）＝ax2+bx﹣3， 则﹣3a＝﹣3， 解得：a＝1， 则抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3， 即a＝1，b＝﹣2； （2）（i）由抛物线的表达式知，C（0，﹣3）， 由点B、C的坐标得，直线BC为y＝x﹣3， 设M（m，m﹣3）， 则PM＝PB＝3﹣m，PA＝m+1， ∵，即， 解得m＝2，经检验m＝2 符合题意， 当m＝2时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3， ∴PN＝3，PM＝PB＝3﹣m＝1， ∴MN＝2； （ⅱ）作 QR⊥PN于点R， 由（i）知PA＝m+1，PB＝PM＝3﹣m，PN＝﹣m2+2m+3， ∵△PQN 的面积为（﹣m2+2m+3）•QR，△APM的面积为：AP•PM（m+1）（3﹣m）（﹣m2+2m+3）•QR， 解得：QR＝1； 当点Q在PN的左侧时，如图1， Q点的横坐标为 m﹣QR＝m﹣1，纵坐标为 （m﹣1）2＝2×（m﹣1）﹣3＝m2﹣4m， 即点Q（m﹣1，m2﹣4m） ∵N点的坐标为（m，m2﹣2m﹣3）， 则QN2＝1+（3﹣2m）2， 故当时，NQ取最小值； 当点Q在PN的右侧时，如图2， 同理可得，点Q（m+1，m2﹣4）， N点的坐标为（m，m2﹣2m﹣3）， 由点N、Q的坐标得：NQ2＝（2m﹣1）2+1， ∴当，NQ取最小值． 综上，m的值为 或． 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 5．（2024•湖北一模）如图，已知抛物线交x轴于点A和点B，交y轴于点C，对称轴为直线x＝﹣1，A（1，0），C（0，3）． （1）求抛物线的解析式和B点的坐标； （2）点P为抛物线在线段BC上方的一个动点，点P的横坐标为m． ①若S△ABP＝7，求m的值； ②过点P作x轴的垂线，交线段BC于点D，线段PD的长记为d，求出d关于m的函数解析式，并计算d的最大值． 【分析】（1）利用抛物线的对称性得到B点坐标为（3，0），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x+3），利用待定系数法求出a即可解决问题； （2）①由题意得P（m，﹣m2﹣2m+3），根据面积公式即可求得； ②求出直线BC的解析式为y＝x+3，则D（m，m+3），那么d＝PD＝（﹣m2﹣2m+3）﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（x）2，根据二次函数的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）∵抛物线对称轴为直线x＝﹣1， 而A（1，0）， ∴B点坐标为（﹣3，0）， ∵抛物线交x轴于A（1，0），B（﹣3，0）， ∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x+3）， 把C（0，3）代入y＝a（x﹣1）（x+3），得到a＝﹣1， ∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）（x+3），即y＝﹣x2﹣2x+3； （2）①∵点P的横坐标为m，如图1， ∴P（m，﹣m2﹣2m+3）， ∵A（1，0），B（﹣3，0），S△ABP＝7， ∴S△ABP4（﹣m2﹣2m+3）＝﹣2m2﹣4m+6＝7， ∴2m2+4m+1＝0， ∴m， ∴m的值或； ②设直线BC的解析式为y＝kx+b，如图2， 把C（0，3），B（﹣3，0）分别代入得， 解， ∴直线BC的解析式为y＝x+3； ∵P（m，﹣m2﹣2m+3），则D（m，m+3）， ∴d＝PD＝（﹣m2﹣2m+3）﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m）2， ∵a＝﹣1＜0， ∴当x时，d的最大值为， ∴d＝﹣m2﹣3m，d的最大值为． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积等知识，正确的理解题意是解题的关键． 6．（2024•湖北一模）已知抛物线的顶点是C（0，a）（a＞0，a为常数），并经过点（2a，2a），点D（0，2a）为一定点． （1）求含有常数a的抛物线的解析式； （2）设点P是抛物线上任意一点，过P作PH⊥x轴．垂足是H，求证：PD＝PH； （3）设过原点O的直线l与抛物线在第一象限相交于A、B两点，若DA＝2DB．且S△ABD＝4．求a的值． 【分析】（1）根据抛物线的图象假设出解析式为y＝kx2+a，将经过点（2a，2a），代入求出即可； （2）根据勾股定理得出PD2＝DG2+PG2，进而求出PD＝PH； （3）利用（2）中结论得出BE＝DB，AF＝DA，即可得出B是OA的中点，进而得出S△OBD＝S△ABD＝4，即可得出a的值． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝kx2+a， ∵经过点（2a，2a）， 4a2k+a＝2a， ∴k， 则抛物线的解析式为：yx2+a； （2）连接PD，设抛物线上一点P（x，y），过P作PH⊥x轴，PG⊥y轴， 在Rt△GDP中，由勾股定理得：PD2＝DG2+PG2＝（y﹣2a）2+x2＝y2﹣4ay+4a2+x2， ∵yx2+a， ∴x2＝4a×（y﹣a）＝4ay﹣4a2， ∴PD2＝y2﹣4ay+4a2+4ay﹣4a2＝y2＝PH2， ∴PD＝PH， （3）过B作BE⊥x，AF⊥x， 由（2）的结论：BE＝DB，AF＝DA， ∵DA＝2DB， ∴AF＝2BE， ∴AO＝2OB， ∴B是OA的中点， ∵C是OD的中点， 连接BC，∴BCBE＝DB， 过B作BR⊥y轴， ∵BR⊥CD， ∴CR＝DR，OR＝a， ∴x2+a， ∴x2＝2a2， ∵x＞0， ∴xa， ∴B（a，），AO＝2OB， ∴S△OBD＝S△ABD＝4， ∴2aa＝4， ∴a2＝4， ∵a＞0， ∴a＝2， 【点评】此题主要考查了二次函数的综合应用以及勾股定理的应用，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型，特别注意利用数形结合是这部分考查的重点，也是难点，同学们应重点掌握． 题型三 二次函数与面积的和差问题 1．（2023•黄石模拟）如图，抛物线 y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），C（﹣1，0）两点，与y轴交于点B，P为第一象限抛物线上的动点，连接AB，BC，PA，PC，PC与AB相交于点Q． （1）求抛物线的解析式： （2）设△APQ的面积为S1，△BCQ的面积为S2，当 S1﹣S2＝5 时，求点P的坐标； （3）是否存在点P，使∠PAB+∠CBO＝45°，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法确定函数解析式； （2）根据图形得到：S1+S△AQC＝S2+S△AQC+5，即S△APC＝S△ABC+5．运用三角形的面积公式求得点P的纵坐标y＝6，然后由二次函数图象上点的坐标特征求得点P的横坐标即可； （3）在x轴的正半轴上取点E（1，0），连接BE，过点A作AP∥BE交抛物线于另一点P，易证△BOC≌△BOE，利用已知条件可求出B（0，4），E（1，0），进而求出直线BE，直线AP的解析式，求两条直线的交点即可． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），C（﹣1，0）两点， ∴． 解得． ∴抛物线的解析式是y＝﹣x2+3x+4； （2）设P（x，y），对于抛物线y＝﹣x2+3x+4．令x＝0，则y＝4， ∴B（0，4）． ∵S1﹣S2＝5， ∴S1＝S2+5． ∴S1+S△AQC＝S2+S△AQC+5，即S△APC＝S△ABC+5． ∴5． ∴y＝6． ∴﹣x2+3x+4＝6． 解得x1＝1，x2＝2． ∴点P的坐标是（1，6）或（2，6）． （3）存在，使∠PAB+∠CBO＝45°，点P的坐标是（3，4）， 理由：在x轴的正半轴上取点E（1，0），连接BE，过点A作AP∥BE交抛物线于另一点P， ∵C﹣1，0），E（1，0）， ∴OC＝0E＝1， 在△BOC和△BOE中， ， ∴△BOC≌△BOE（SAS）， ∴∠CBO＝EBO， ∵AP∥BE， ∴∠ABE＝∠PAB， ∴∠PAB+∠CBO＝∠ABE+∠EBO＝∠ABO， ∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°， ∴∠ABO＝45°， ∴∠PAB+∠CBO＝45°， 设直线BE的解析式为y＝kx+d，把B（0，4），E（1，0）代入得， 解得：， ∴直线BE的解析式为y＝﹣4x+4， ∵AP∥BE， ∴设直线AP的解析式为y＝﹣4x+f， 将A（4，0）代入得0＝﹣16+f， 解得：f＝16， ∴直线AP的解析式为y＝﹣4x+16， 由﹣x2+3x+4＝﹣4x+16， 解得：x1＝3，x2＝4（不符合题意，舍去）， ∴P（3，4）． 【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质，勾股定理的应用以及三角形面积公式等知识点．难度不是很大，注意解题过程中方程思想和分类讨论数学思想的应用． 2．（2024•岳麓区校级模拟）在直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A（3，3），B（4，0）． （1）求a，b的值． （2）点C（m，y1），D（m+1，y2）在线段OA上，过点C，D分别作x轴的垂线交抛物线y＝ax2+bx（a≠0）于点E，F．试探究： ①当m为何值时，四边形CDFE是平行四边形． ②△COE与△ADF的面积之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 【分析】（1）把点A，B的坐标代入解析式可得关于a，b的二元一次方程组，解二元一次方程组即可求得a，b的值． （2）①抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x，求得线段OA解析式为y＝kx（0＜x＜3），然后分别表示点C，D，E，F的坐标，再表示CE和DF的长，根据平行四边形的判定可推出CE＝DF，即可求得m的值． ②分别表示出S△COE和S△ADF，可知面积之和不是定值． 【解答】解：（1）把A（3，3），B（4，0）代入y＝ax2+bx（a≠0）． 得． 解得． （2）如图． ． 由（1）可知a＝﹣1，b＝4． 抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x． ∵A（3，3）． ∴设线段OA解析式为y＝kx（0＜x＜3）． ∴3＝3k． 解得k＝1． 所以线段OA解析式为y＝x（0＜x＜3）． ∴y1＝m，y2＝m+1． ∴C（m，m），D（m+1，m+1）． ∴E（m，﹣m2+4m），F（m+1，﹣（m+1）2+4（m+1））． ∴CE＝﹣m2+4m﹣m＝﹣m2+3m． DF＝﹣（m+1）2+4（m+1）﹣（m+1）＝﹣m2+m+2． ①∵四边形CDFE是平行四边形． 且CE⊥x轴，DF⊥x轴． ∴CE∥DF． ∴CE＝DF． 即﹣m2+3m＝﹣m2+m+2． 解得m＝1． ∴当m＝1时，四边形CDFE是平行四边形． ②∵Xc﹣Xo＝m，XA﹣XD＝4﹣（m+1）＝3﹣m． ∵S△COECE（Xc﹣Xo）． m（﹣m2+3m）． ． S△ADFDF（XA﹣XD）． （﹣m2+m+2）（3﹣m）． ． ∴S△COE+S△ADF． ∵0＜m＜4． ∴面积和不是一个定值，它会随着m的变化而变化． 【点评】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式，平行四边形的判定和三角形的面积等知识，理解题意，用字母参数表示线段的长度是解题的关键． 3．（2022上·福建泉州·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线与轴从左到右依次交于A，两点，与轴的交点为，是抛物线对称轴右侧图象上的一点，且在轴的上方． (1)求此抛物线的解析式； (2)若直线与抛物线对称轴交于点，当取得最大值时，求点的坐标； (3)若直线与抛物线对称轴交于点，连接，，，记，的面积分别为，，判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由顶点坐标可设该函数顶点式为，再将代入，求出的值，即可得出抛物线的解析式； （2）设直线与抛物线对称轴交于点，连接．根据抛物线解析式可求出，由抛物线的对称性可知，即．再根据，即得出的最大值为的长，此时点A，C，D三点共线，最后再次根据抛物线的对称性可知点C关于抛物线对称轴的对称点即为点P，即可解答； （3）利用待定系数法可求出直线的解析式为，从而可求出．设直线与抛物线对称轴交于点Q，设，利用待定系数法又可求出直线解析式为，从而得出，进而可求出，即可由三角形面积公式得出．再求出，进而得出，最后计算出，结合二次函数的性质即可解答． 【解答】（1）解：∵该抛物线顶点为， ∴还可设该抛物线解析式为． ∵该抛物线与轴的交点为， ∴， 解得：， ∴该抛物线解析式为：； （2）如图，设直线与抛物线对称轴交于点，连接． 对于，令，即， 解得：， ∴． ∵抛物线关于其对称轴对称，点D在抛物线对称轴上， ∴， ∴． ∵， ∴，即的最大值为的长，此时点A，C，D三点共线， ∴点C关于抛物线对称轴的对称点即为点P． ∵抛物线对称轴为， ∴； （3）存在，最大值为3． 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． 如图，设直线与抛物线对称轴交于点Q， 设，直线解析式为：， 则，解得：， ∴直线解析式为， 令，则， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为3． 【点评】本题为二次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质等知识．熟练掌握二次函数的图象和性质并利用数形结合的思想是解题关键． 题型四 二次函数与三角形面积的最值 1．（2024•武威二模）如图，直线y＝x﹣3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝x2+bx+c经过B、C两点，抛物线与x轴负半轴交于点A． （1）求抛物线的函数表达式； （2）直接写出当x﹣3＞x2+bx+c时，x的取值范围； （3）点P是位于直线BC下方抛物线上的一个动点，过点P作PE⊥BC于点E，连接OE．求△BOE面积的最大值及此时点P的坐标． 【分析】（1）令直线解析式y＝0，即可求得点B的坐标，令x＝0，即可求得点C的坐标，利用待定系数法直接代入求解即可； （2）根据函数图象即可解答； （3）过点P作PH⊥x轴于点H，交直线BC于点G，过点E作EF⊥PH于点F，设点P（a，a2﹣2a﹣3），则点G（a，a﹣3），PG＝a﹣3﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2+3a，证明△EGP是等腰直角三角形，得到，利用二次函数的性质即可求解． 【解答】解：（1）y＝0时，x﹣3＝0，x＝3， ∴B（3，0）， x＝0时，y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）， 将B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c得： 解得， ∴y＝x2﹣2x﹣3； （2）∵B（3，0），C（0，﹣3）， ∴x﹣3＞x2+bx+c时， 由函数图象可得：0＜x＜3； （3）如图，过点P作PH⊥x轴于点H，交直线BC于点G，过点E作EF⊥PH于点F， 设点P（a，a2﹣2a﹣3）， 则点G（a，a﹣3），PG＝a﹣3﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2+3a， ∵OC＝OB＝3， ∴， ∵PE⊥BC，PH∥y轴， ∴△EGP是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵P在直线BC下方， ∴0＜a＜3， ∵，对称轴为直线， ∴当时，， 此时点P坐标为． 【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，图象法解不等式，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题． 2．（2024•凉州区三模）如图，已知二次函数y＝ax2+2x+c的图象经过点C（0，3），与x轴分别交于点A，点B（3，0）．点P是直线BC上方的抛物线上一动点． （1）求二次函数的表达式； （2）如图1，若PC∥AB，求P点的坐标； （3）如图2，当点P运动到什么位置时，△PCB的面积最大？求出此时P点的坐标和△PCB的最大面积． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）若PC∥AB，则点P、C关于抛物线的对称轴对称，即可求解； （3）由△PCB的面积PH×OB，即可求解． 【解答】解：（1）由题意得： ，解得：， 则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3； （2）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝1， 若PC∥AB， 则点P、C关于抛物线的对称轴对称， 则点P（2，3）； （3）由抛物线的表达式知，点B（3，0）， 由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+3， 过点P作PH∥y轴交BC于点H， 设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3）， 则△PCB的面积PH×OB（﹣x2+2x+x﹣3）（x）2， 则△PCB的最大面积为，此时点P（，）． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到面积的计算、点的对称性等，有一定的综合性，难度不大． 3．（2024•临清市模拟）如图，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，其中A（1，0），B（﹣3，0），点P从A点出发，在线段AB上以1单位长度/秒的速度向点B运动，运动时间为t秒（0＜t＜4），过点P作PQ∥BC，交AC于点Q． （1）求该抛物线的解析式； （2）用含t的代数式表示直线PQ的解析式； （3）当t为何值时，△CPQ的面积最大？求出△CPQ面积的最大值． 【分析】（1）利用交点式直接可得抛物线的解析式； （2）先求解顶点坐标为C（﹣1，﹣4），再求解BC的解析式，结合BC∥PQ进一步解答即可； （3）先求解AC的解析式为：y＝2x﹣2，再求解，利用S△CPQ＝S△CPA﹣S△APQ，从而可得答案． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）过A（1，0），B（﹣3，0）， ∴y＝（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3； （2）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4， ∴顶点坐标为C（﹣1，﹣4）， 设直线BC为y＝kx+m， ， 解得：， ∴BC为y＝﹣2x﹣6， ∵PQ∥BC， 设PQ为y＝﹣2x+n， ∵AP＝t， 当0＜t≤1时， ∴OP＝1﹣t，即P（1﹣t，0）， 当1＜t＜4时， ∴OP＝t﹣1，即P（1﹣t，0）， ∴﹣2（1﹣t）+n＝0， ∴n＝2﹣2t， ∴直线PQ为y＝﹣2x+2﹣2t； （3）∵A（1，0），C（﹣1，﹣4）， 同理可得：AC的解析式为：y＝2x﹣2， ∴， 解得：， ∴， ∴S△CPQ＝S△CPA﹣S△APQ ， 当时，△CPQ面积最大，最大面积为． 【点评】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，一次函数的应用，二次函数与动态图形的面积，熟练的表示P，Q的坐标是解本题的关键． 4．（2023秋•上杭县校级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）经过A（﹣2，0），C（0，﹣2）两点，与x轴另一交点为B． （1）求该抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴找出点若M，使得∠BMC＝90°，求出点M的坐标； （3）点P为直线BC下方的抛物线上的一个动点（点P与B、C不重合）求△PBC面积的最大值． 【分析】（1）把A，C代入抛物线，求得a，c即可； （2）求出点B（4，0），对称轴为直线x＝1，设M（1，m），利用勾股定理列出关于m的方程，解方程即可求得结论； （3）过点P作y轴的平行线交BC于点D，设点P（x，x2x﹣2），则点D （x，x﹣2），PDx﹣2﹣（x2x﹣2）x2+x，由S△PBCPD•OB（x2+x）×4（x﹣2）2+2，根据二次函数的性质即可求得． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）经过A（﹣2，0），C（0，﹣2）两点， ∴c＝﹣2，4a+4a﹣2＝0， 解得a， ∴抛物线解析式为yx2x﹣2； （2）∵yx2x﹣2（x﹣1）2， ∴抛物线对称轴为直线x＝1． 当y＝0时，x2x﹣2＝0， ∴x＝﹣2或4， ∴B（4，0）， ∴设点M（1，m）， ∴CM2+BM2＝BC2． ∴1+（m+2）2+（4﹣1）2+m2＝42+22， ∴m＝﹣3或1， ∴点M的坐标为（1，﹣3）或（1，1）； （3）过点P作PD∥y轴，交交BC于点D， 设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）， ∵B（4，0），C（0，﹣2）， ∴，解得：， 故直线BC的解析式为：yx﹣2， 设点P（x，x2x﹣2），则点D （x，x﹣2）， ∴PDx﹣2﹣（x2x﹣2）x2+x， ∴S△PBCPD•OB（x2+x）×4（x﹣2）2+2（其中0＜x＜4）， ∵0， ∴这个二次函数有最大值． 当x＝2时，S△PBC的最大值为2． 【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法确定函数的解析式，配方法，二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理，函数的极值，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 5．（2024•兴庆区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B点，与y轴交于点C（0，3），点B的坐标为（3，0），点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方． （1）求这个二次函数的解析式； （2）当点P运动到什么位置时，△BPC的面积最大？请求出点P的坐标和△BPC面积的最大值． （3）除原点外，在x轴上是否存在一点Q，使得△BCQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由S△CPB＝S△BPQ+S△CPQPQ×OB（﹣x2+2x+3+x﹣3）×3（x）2，即可求解； （3）当BQ＝CB时，列出等式，即可求解；当BQ＝CQ或BC＝CQ时，同理可解． 【解答】解：（1）将B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得： ，解得：， ∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）如图，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q， 设P（x，﹣x2+2x+3）， 由点B、C的坐标得，BC的解析式为y＝﹣x+3， 则Q（x，﹣x+3）， ∴S△CPB＝S△BPQ+S△CPQPQ×OB（﹣x2+2x+3+x﹣3）×3（x）2， 当x时，△CPB的面积最大， 此时，点P的坐标为（，），△CPB的面积的最大值为； （3）存在，理由： 设点Q（x，0）， 由点B、C、Q的坐标得，BQ2＝（x﹣3）2，BC2＝18，CQ2＝x2+9， 当BQ＝CB时， 则（x﹣3）2＝18， 解得：x＝3±3， 即点Q（3±3，0）； 当BQ＝CQ或BC＝CQ时， 则18＝x2+9或（x﹣3）2＝9， 解得：x＝﹣3（不合题意的值已舍去）， 即点Q（﹣3，0）， 综上，（3±3，0）或（﹣3，0）． 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 6．（2024•阳新县一模）如图①，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点C（0，4），与x轴正半轴交于点D（4，0），设M是点C，D间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m． （1）求抛物线的解析式； （2）当m为何值时，△MAB面积S取得最大值？请说明理由； （3）如图②，连接CA，抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得∠QCA＝45°，如果存在，请求出点Q的坐标，不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）如图所示，连接CD，MC，MD，过点M作ME∥y轴交CD于E，过点M作MG⊥AB分别交直线AB，CD于G、F，先求出直线BC的解析式为y＝﹣x+4，进而得到直线AB于直线CD平行，则点M在运动过程中FG的长保持不变，故要使△MAB的面积最大，则MG最大，即要使MF最大，进一步推出当S△CDM最大时，MF最大，即此时△MAB的面积最大，求出M（m，﹣m2+3m+4），E（m，﹣m+4），则ME＝﹣m2+4m，求出，据此求解即可； （3）分图3﹣1和图3﹣2两种情况过点A作AP⊥AC使得AP＝AC，过点P作PT⊥x轴于T，连接CP，可证明∠ACP＝45°，则CP与抛物线的交点即为点Q，利用一线三垂直模型求出点P的坐标，进而求出直线PC的解析式，再联立直线PC的解析式和抛物线解析式求出点Q的坐标即可． 【解答】解：（1）把C（0，4），D（4，0）代入抛物线解析式中得：， ∴， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+4； （2）如图所示，连接CD，MC，过点M作ME∥y轴交CD于E，过点M作MG⊥AB分别交直线AB，CD于G、F， 设直线CD的解析式为y＝kx+b'， ∵直线CD过点（4，0），（0，4）， ∴ ∴直线CD的解析式为y＝﹣x+4， ∴直线AB与直线CD平行， ∵MG⊥AB， ∴MG⊥CD， ∴点M在运动过程中FG的长保持不变， 要使△MAB的面积最大，则MG最大，即要使MF最大， ∵S△CDMCD•MF， ∴当S△CDM最大时，MF最大，即此时△MAB的面积最大， ∵M是点C，D间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m， ∴M（m，﹣m2+3m+4），E（m，﹣m+4）， ∴ME＝﹣m2+3m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m， ∴S△CDM＝S△CME+S△DME2（m﹣2）2+8， ∵﹣2＜0， ∴当m＝2时，S△CDM最大，即此时△MAB的面积最大； （3）如图所示，过点A作AP⊥AC使得AP＝AC，过点P作PT⊥x轴于T，连接CP， ∴∠PTA＝∠AOC＝∠CAP＝90°， ∴∠TAP+∠TPA＝90°＝∠TAP+∠OAC， ∴∠TPA＝∠OAC， 又∵AC＝PA， ∴△TPA≌△OAC（AAS）， ∴AT＝OC，PT＝OA， 在y＝﹣x+3中，令y＝0，则x＝3， ∴A（3，0）， ∵C（0，4）， ∴AT＝OC＝4，PT＝OA＝3， ∴OT＝7， ∴P（7，3）； ∵AC＝AP，∠CAP＝90°， ∴∠ACP＝45°， 同（2）法可求出直线PC的解析式为， ∵抛物线为y＝﹣x2+3x+4， 对称轴为x， 当x时，y4， ∴点Q的坐标（，）； 如图所示过点A作AP⊥AC使得AP＝AC，过点P作PT⊥x轴于T，连接CP，这时点Q在AC的上方，这时候构成的∠QCA为135°，不成立（舍去）， 综上所述，点Q的坐标为（，）． 【点评】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键． 题型五 二次函数与四边形面积的最值 1．如图，在平面直角坐标系中．直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过B，C两点，与x轴负半轴交于点A，连接AC，A（﹣1，0） （1）求抛物线的解析式； （2）点P（m，n）是抛物线上在第一象限内的一点，求四边形OCPB面积S关于m的函数表达式及S的最大值； 【分析】（1）先根据直线BC的解析式求出点B和C的坐标，再利用待定系数法求抛物线的解析式； （2）作高线PE，利用面积和求四边形OCPB面积S，并配方成顶点式，求其最值； 【解答】解：（1）当x＝0时，y＝3， ∴C（0，3）， ∴OC＝3， 当y＝0时，﹣x+3＝0， x＝3， ∴B（3，0）， ∵A（﹣1，0）， 设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣3）， 把C（0，3）代入得：3＝a（0+1）（0﹣3）， ∴a＝﹣1， ∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3； （2）如图1，过P作PE⊥x轴于E， ∵P（m，n）， ∴OE＝m，BE＝3﹣m，PE＝n， S＝S梯形COEP+S△PEBOE（PE+OC）BE•PE， m（n+3）n（3﹣m）， mn， ∵n＝﹣m2+2m+3， ∴Sm（﹣m2+2m+3）m2m（m）2， 当m时，S有最大值是； 【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 2．（2023秋•姑苏区校级月考）已知，如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点A的坐标为（﹣1，0），OC＝3OA． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D是线段BC下方抛物线上的动点，求四边形ABDC面积的最大值； （3）若抛物线上有一点M，使∠ACM＝45°，求M点坐标． 【分析】（1）根据点A的坐标为（﹣1，0），OC＝3OA可得出C点坐标，再把A、C两点的坐标代入抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）求出a，c的值即可； （2）过点D作DM∥y轴分别交线段BC和x轴于点M，N，利用待定系数法求出直线BC的解析式，故可得出DM＝﹣（x）2，再由S四边形ABDC＝S△ABC+S△BCD即可得出结论； （3）过A作AK⊥AC交CM于点K，作KH⊥x轴于点H，证明△OAC≌△HKA，可得K（2，1），用待定系数法求出直线CM的解析式，与抛物线联立解交点即可得出M的坐标． 【解答】解：（1）∵OC＝3OA，A（﹣1，0）， ∴C（0，﹣3）． 把点A，C的坐标代入y＝ax2﹣2ax+c，得， 解得， ∴抛物线线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3； （2）如图，过点D作DM∥y轴分别交线段BC和x轴于点M，N． ∵抛物线线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3， ∴B（3，0）， ∴AB＝4， ∴S四边形ABDC＝S△ABC+S△BCDAB×OCDM×（BN+ON）＝6DM×OB＝6DM， 设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0）， ∵B（3，0），C（0，﹣3）， ∴，解得， 故直线BC的解析式为：y＝x﹣3． 设D（x，x2﹣2x﹣3），M（x，x﹣3），则DM＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x）2， 当x时，DM有最大值，此时四边形ABDC面积有最大值为； （3）如图，过A作AK⊥AC交CD于点K，作KH⊥x轴于点H， ∵∠ACM＝45°， ∴AC＝AK， ∵∠AOC＝∠KHA＝90°，∠ACO＝90°﹣∠OAC＝∠KAH， ∴△OAC≌△HKA（AAS）， ∴AH＝CO＝3，KH＝OA＝1， ∴K（2，1）， 设直线CM的解析式为y＝kx﹣3 ∴2k﹣3＝1， ∴k＝2， ∴直线CM的解析式为y＝2x﹣3， 联立， 解得x＝0（舍去），或x＝4， ∴M（4，5）． 【点评】本题是二次函数综合题，考查待定系数法求一次函数及二次函数的解析式、三角形面积的计算，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键的是掌握待定系数法求函数的解析式，作辅助线构造全等三角形． 3．（2023秋•铜梁区期末）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4的对称轴是直线x＝1，抛物线与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标是（﹣2，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1所示，P是第一象限抛物线上的一个动点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，连接CD、CP、PB．求四边形PCDB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标； （3）如图2所示，在（2）的条件下，点M是直线BC上一点，当△POM是以OP为腰的等腰三角形时，请直接写出点M的坐标． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3）当OP＝OM时，即20＝x2+（x﹣4）2，即可求解；当OP＝PM时，同理可解． 【解答】解：（1）∵对称轴为直线 x＝1，点A的坐标是（﹣2，0），则B的坐标是（4，0）， 则，解得：， ∴抛物线解析式为：； （2）如图，作直线BC，过点P作PK∥y轴，交BC于点K， 对称轴 ， ∴点D的坐标是（1，0）， 当 x＝0时，y＝4， ∴点C（0，4），直线BC解析式为：y＝﹣x+4， 设P的坐标为 ，则点K的坐标是（t，﹣t+4）， ∴， ∴， 则， 则， ∴当 时，S四边BPCDB 有最大值10，此时P点的坐标是（2，4）； （3）设点M（x，﹣x+4）， 由点O、P、M的坐标得，OP2＝20，OM2＝x2+（x﹣4）2，PM2＝（x﹣2）2+x2， 当OP＝OM时，即20＝x2+（x﹣4）2， 解得：x＝2±； 即点M（2，2）或（2，2）； 当OP＝PM时，则（x﹣2）2+x2＝20， 解得：x＝4或﹣2， 则点M（4，0）或（﹣2，6）． 综上，点M的坐标为：（2，2）或（2，2）或（4，0）或（﹣2，6）． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、面积的计算等，有一定的综合性，难度不大． 4．（2022·山东烟台·统考中考真题）如图，已知直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1． (1)求抛物线的表达式； (2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标； (3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）先求得A，C，B三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果； （2）作DF⊥AB于F，交AC于E，根据点D和点E坐标可表示出DE的长，进而表示出三角形ADC的面积，进而表示出S的函数关系式，进一步求得结果； （3）根据菱形性质可得PA＝PC，进而求得点P的坐标，根据菱形性质，进一步求得点Q坐标． 【解答】（1）解：当x＝0时，y＝4， ∴C （0，4）， 当y＝0时，x+4＝0， ∴x＝﹣3， ∴A （﹣3，0）， ∵对称轴为直线x＝﹣1， ∴B（1，0）， ∴设抛物线的表达式：y＝a（x﹣1）•（x+3）， ∴4＝﹣3a， ∴a＝﹣， ∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）•（x+3）＝﹣x2﹣x+4； （2）如图1， 作DF⊥AB于F，交AC于E， ∴D（m，﹣﹣m+4），E（m，m+4）， ∴DE＝﹣﹣m+4﹣（m+4）＝﹣m2﹣4m， ∴S△ADC＝OA＝•（﹣m2﹣4m）＝﹣2m2﹣6m， ∵S△ABC＝＝＝8， ∴S＝﹣2m2﹣6m+8＝﹣2（m+）2+， ∴当m＝﹣时，S最大＝， 当m＝﹣时，y＝﹣＝5， ∴D（﹣，5）； （3）设P（﹣1，n）， ∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形， ∴PA＝PC， 即：PA2＝PC2， ∴（﹣1+3）2+n2＝1+（n﹣4）2， ∴n＝， ∴P（﹣1，）， ∵xP+xQ＝xA+xC，yP+yQ＝yA+yC ∴xQ＝﹣3﹣（﹣1）＝﹣2，yQ＝4﹣＝， ∴Q（﹣2，）． 【点评】本题考查了二次函数及其图象性质，勾股定理，菱形性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握相关二次函数和菱形性质 题型六 二次函数与面积有关的综合题 1．（2023秋•西青区期末）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+3（b为常数）经过点P，点P与点（﹣2，5）关于原点对称，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴相交于点C． （Ⅰ）求该抛物线的函数解析式及点A，B，C的坐标． （Ⅱ）连接AC，抛物线上一点M在线段AC上方，其横坐标为m（﹣3＜m＜0），过点M作ME⊥x轴于点E，交线段AC于点F． ①当m为何值时，线段MF的长有最大值？最大值是多少？ ②当线段MF取最大值时，连接MA，MC，在抛物线上是否存在点Q（点Q不与点M重合），使得△QAC的面积与△MAC的面积相等？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 【分析】（Ⅰ）由待定系数法求出函数表达式，进而求解； （Ⅱ）①设点M（m，﹣m2﹣2m+3），则点F（m，m+3），则MF＝﹣m2﹣2m+3﹣m﹣3＝﹣m2﹣3m＝﹣（m）2，即可求解； ②过点M作直线m∥AC交y轴于点R，得到直线m的表达式为：y＝xx，即可求解；在点C的下方N处作直线n∥AC，交抛物线于点Q，且使CN＝CR，同理可解． 【解答】解：（Ⅰ）P与点（﹣2，5）关于原点对称，则点P（2，﹣5）， 将点P的坐标代入抛物线表达式得：﹣5＝﹣4+2b+3， 解得：b＝﹣2， 则抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3①； 当x＝0时，y＝3，令y＝﹣x2﹣2x+3，则x＝﹣3或1， 即点A、B、C的坐标分别为：（﹣3，0）、（1，0）、（0，3）； （Ⅱ）①由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝x+3， 设点M（m，﹣m2﹣2m+3），则点F（m，m+3）， 则MF＝﹣m2﹣2m+3﹣m﹣3＝﹣m2﹣3m＝﹣（m）2， 故当m时，MF的最大值为：； ②存在，理由： 由①知，点M（，）， 过点M作直线m∥AC交y轴于点R， 则直线m的表达式为：y＝xx②， 则点R（0，）， 则CR3， 联立①②得：xx2﹣2x+3， 解得：x（舍去）； 在点C的下方N处作直线n∥AC，交抛物线于点Q，且使CN＝CR， 则点N（0，）， 则直线n的表达式为：y＝x③， 联立①③得：xx2﹣2x+3， 解得：x， 则点Q的坐标为：（，）或（，）， 综上，点Q的坐标为：（，）或（，）． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行线的性质、面积的计算、线段长度的表达方法等，分类求解是解题的关键． 2．（2024•南关区校级二模）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，﹣3），B（3，0）．点P在抛物线y＝x2+bx+c上，其横坐标为m． （1）求抛物线的解析式； （2）当﹣2＜x＜3时，求y的取值范围； （3）当抛物线y＝x2+bx+c上P、A两点之间部分的最大值与最小值的差为时，求m的值； （4）点M在抛物线y＝x2+bx+c上，其横坐标为1﹣m．过点P作PQ⊥y轴于点Q，过点M作MN⊥x轴于点N，分别连结PM，PN，QM，当△PQM与△PNM的面积相等时，直接写出m的值． 【分析】（1）依据题意，将A、B两点代入解析式求出b，c即可得解； （2）依据题意，结合（1）所求解析式，再配方可得抛物线的最值，进而由﹣2＜x＜3可以判断得解； （3）依据题意，分类讨论计算可以得解； （4）分别写出P、Q、M、N的坐标，△PQM与△PNM的面积相等，所以Q到PM的距离等于N到PM的距离，可得m的值． 【解答】解：（1）由题意，将A（0，﹣3），B（3，0）代入解析式y＝x2+bx+c得， c＝﹣3，9+3b+c＝0， ∴b＝﹣2，c＝﹣3， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）由题意，抛物线y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线y＝x2﹣2x﹣3开口向上，当x＝1时，y有最小值为﹣4， 当x＝﹣2时，y＝5；当x＝3时，y＝0， ∴当﹣2＜x＜3时，﹣4≤y＜5； （3）由题意得，P（m，m2﹣2m﹣3），A（0，﹣3）， ①当m＜0时，P、A两点之间部分的最大值为m2﹣2m﹣3，最小值为﹣3， ∴m2﹣2m﹣3﹣（﹣3）， 解得：m＝1， ②当0≤m≤2时，P、A两点之间部分的最大值为﹣3，最小值为m2﹣2m﹣3或﹣4， 显然最小值是﹣4时不合题意， ∴最小值为m2﹣2m﹣3， ∴﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）， 解得：m或m， m时，P、A两点之间部分的最小值为﹣4，故舍去， ③当2＜m时，P、A两点之间部分的最大值为m2﹣2m﹣3，最小值为﹣4， ∴m2﹣2m﹣3﹣（﹣4）， 解得：m＝1， 12，故舍去， 综上，满足题意得m的值为：1或； （4）由题意得，M（1﹣m，m2﹣4），N（1﹣m，0），Q（0，m2﹣2m﹣3）， 设yPM＝kx+b，代入P、M两点， ， 解得：k＝﹣1，b＝m2﹣m﹣3， yPM＝﹣x+m2﹣m﹣3， ∵△PQM与△PNM的面积相等， ∴Q到yPM＝﹣x+m2﹣m﹣3的距离与N到yPM＝﹣x+m2﹣m﹣3的距离相等， Q到yPM＝﹣x+m2﹣m﹣3的距离， N到yPM＝﹣x+m2﹣m﹣3的距离， ∴|﹣m|＝|﹣m2+4|， 当m＜﹣2时，﹣m＝m2﹣4，解得：m， 当﹣2≤m≤0时，﹣m＝4﹣m2，解得：m， 当0＜m≤2时，m＝4﹣m2，解得：m， 当2＜m时，m＝m2﹣4，解得：m， 综上，满足题意得m的值为：或． 【点评】本题考查了二次函数，关键是注意分类讨论． 3．（2024•亭湖区三模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与轴交于点A，与x轴交于点B、C，已知A（0，4），B（4，0）． （1）求抛物线的表达式，并求出点C的坐标． （2）点M是抛物线（第一象限内）上的一个动点，连接MA，MB，当△MAB面积最大时，求M点的坐标． （3）若点M坐标固定为（1，6），Q是抛物线上除M点之外的一个动点，当△ABM与△ABQ的面积相等求出点Q的坐标． 【分析】（1）用待定系数法求出函数表达式，即可求解； （2）由△MAB面积MH×OB，即可求解； （3）过点M作直线MR∥AB交y轴于点R，得到直线MR的表达式为：y＝﹣（x﹣1）+6＝﹣x+7，即可求解；过点T作直线TQ∥BC，得到直线TQ的表达式为：y＝﹣x+1，即可求解． 【解答】解：（1）由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4， 令y＝0，则x＝4（舍去）或﹣1， 即C（﹣1，0）； （2）过点M作MH∥y轴交AB于点H， 由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝﹣x+4， 设点M（x，﹣x2+3x+4），则点H（x，﹣x+4）， 则△MAB面积MH×OB4×（﹣x2+3x+4+x﹣4）＝﹣2x2+8x， ∵﹣2＜0，故当x＝2时，△MAB面积最大， 此时点M（2，6）； （3）由（2）知，直线AB的表达式为：y＝﹣x+4， 过点M作直线MR∥AB交y轴于点R， 则直线MR的表达式为：y＝﹣（x﹣1）+6＝﹣x+7，则点R（0，7）， 则AR＝3， 联立y＝﹣x+7和抛物线的表达式得：﹣x+7＝﹣x2+3x+4， 解得：x＝1（舍去）或3，即点Q（3，4）， 则点A下方取点T，使AT＝AR，则点T（0，1）， 过点T作直线TQ∥BC， 则直线TQ的表达式为：y＝﹣x+1， 联立上式和抛物线的表达式得：﹣x+1＝﹣x2+3x+4， 解得：x＝2±， 则点Q（2，﹣1）或（2，﹣1）， 综上，点Q的坐标为：（3，4）或（2，﹣1）或（2，﹣1）． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行线的性质、面积的计算等，用平行线的方法处理面积之间的关系是解题的关键． 4．（2024•汉川市模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D，点P为抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）若过点C的直线交线段AB于点E，且S△ACE：S△CEB＝3：5，求线段CE的长是多少？ （3）当点P在第一象限时，连接PC和PB，求△PBC面积的最大值时多少？ （4）若点Q在x轴上，当以点D，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点P的坐标． 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）利用S△ACE：S△CEB＝3：5，得出AE：EB的值，进而求得线段OE的长度，利用勾股定理即可得出结论； （3）由待定系数法可求得直线BC的解析式，设P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+3），即可求得PM的长，可得S△PBC＝﹣（t﹣）2+，利用二次函数的性质，即可求得当△BDC的面积最大值； （4）分当四边形 DCPQ为平行四边形时，和当四边形 DCQP为平行四边形时两种情形解答，利用平行四边形的性质，对边平行且相等，求得点P的纵坐标，再将其代入抛物线的解析式即可求得结论． 【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得， 解得， 故抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3； （2）如图1， ∵S△ACE：S△CEB＝3：5， ∴AE：EB＝3：5． ∴AEAB4． ∴OE1． ∴点E的坐标为 （ ，0 ）． 又 C点的坐标为 （0，3）． 在Rt△COE中， ∵OE，OC＝3， ∴CE； （3）过P作PM∥y轴BC于点M． 设直线BC的解析式为：y＝kx+m， ∴，解得， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3， 设P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+3）， ∴PM＝（﹣t2+2t+3）﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t， ∴△PBC的面积s3（﹣t2+3t）（t）2， ∴当t时，△PBC的最大面积为； （4）点P的坐标为 （1，﹣1）或（1，﹣1）或（1，1）或（1，1）．理由： ∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴顶点D的坐标为 （1，4）． ①当四边形 DCPQ为平行四边形时， ∵四边形 DCPQ为平行四边形， ∴DQ∥CP，DQ＝CP． ∴yD﹣yQ＝yC﹣yP， 即4﹣0＝3﹣yp． ∴yp＝﹣1． 令y＝﹣1，则﹣x2+2x+3＝﹣1． ∴x＝1±， ∴点P的坐标为（1，﹣1）或（1，﹣1）． ②当四边形 DCQP为平行四边形时， ∵四边形 DCQP为平行四边形， ∴CQ∥DP，CQ＝DP． yC﹣yQ＝yD﹣yP，即3﹣0＝4﹣yp． ∴yp＝1， 令y＝1，则﹣x2+2x+3＝1． ∴x＝1±． ∴点P的坐标为 （1，1）或（1，1）． 综上所述，满足条件的点P的坐标为 （1，﹣1）或（1，﹣1）或（1，1）或（1，1）． 【点评】本题是一道二次函数的综合题，主要考查了待定系数法，二次函数的性质，三角形的面积，平行四边形的性质．解题的关键是掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学上册《第1章 二次函数》 二次函数的综合题专训（二） 与二次函数有关的面积问题 类型一 二次函数与面积计算问题 ★1、当所求图形的面积没有办法直接求出时，通常采用分割或补全图形的方法表示所求图形的面积，如下： ●●●直接利用公式： ●●●过点P作y轴的垂线（或作x轴的垂线）： 一般步骤为：①设出要求的点的坐标； ②通过割补将要求的图形转化成通过条件可以表示的图形面积和或差； ③列出关系式求解； ④检验是否每个坐标都符合题意． ★2、用铅垂定理巧求斜三角形面积的计算公式：三角形面积等于水平宽和铅锤高乘积的一半. 类型二 二次函数与面积相等或倍数问题 ★1、 平行线构造模型:利用平行线间的距离处处相等,根据同底(等底)等高,将所求图形的面积转化到另一个图形中. ★2、一般步骤： ①设出直线解析式，两条平行直线k相等； ②通过已知点的坐标，求出直线解析式； ③求出符合题意的点的坐标. ④检验是否每个坐标都符合题意． 题型一 二次函数与面积的计算问题 1．（2023秋•头屯河区期末）如图，点C为二次函数y＝x2+2x+1的顶点，直线y＝﹣x+m与该二次函数图象交于A（﹣3，4）、B两点（点B在y轴上），与二次函数图象的对称轴交于点D． （1）求m的值及点C坐标； （2）连接AC、BC，求S△ABC； 2．如图，抛物线yx2+3与x轴交于A，B两点，与直线yx+b相交于B，C两点，连接A，C两点． （1）写出直线BC的解析式； （2）求△ABC的面积． 3．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．    (1)求抛物线对应的函数解析式，并直接写出顶点P的坐标； (2)求的面积． 注：抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 4．（2024•陇南模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（0，3）．点M是抛物线上第一象限内的点，过点M作直线MN⊥x轴于点N． （1）求抛物线的解析式； （2）当直线MN是抛物线的对称轴时，求四边形ABMN的面积． 题型二 二次函数与面积存在性问题 1．（2023秋•新宾县期中）综合与探究 如图，顶点为M的抛物线y＝a（x+1）2﹣4分别与x轴相交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴相交于点C（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式； （2）判断△BCM是不是直角三角形，并说明理由； （3）若P是该二次函数图象上位于x轴上方的一点，且S△APB＝S△PCM，直接写出点P的坐标． 2．（2024•黑龙江三模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+3与抛物线y＝x2+bx+c交于点A，B，点A在y轴上，抛物线的对称轴是直线x＝2． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得S△ABP？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2023•利通区校级模拟）如图抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（2，﹣3），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上是否存在点p，使△PBC的面积是△BCD面积的3倍，若存在，请直接写出点p的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2024•合肥模拟）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，连接BC． （1）求a，b的值； （2）点M为线段BC上一动点（不与B，C重合），过点M作MP⊥x轴于点P，交抛物线于点N． （i）如图1，当时，求线段MN的长； （ii）如图2，在抛物线上找一点Q，连接AM，QN，QP，使得△PQN与△APM的面积相等，当线段NQ的长度最小时，求点M的横坐标m的值． 5．（2024•湖北一模）如图，已知抛物线交x轴于点A和点B，交y轴于点C，对称轴为直线x＝﹣1，A（1，0），C（0，3）． （1）求抛物线的解析式和B点的坐标； （2）点P为抛物线在线段BC上方的一个动点，点P的横坐标为m． ①若S△ABP＝7，求m的值； ②过点P作x轴的垂线，交线段BC于点D，线段PD的长记为d，求出d关于m的函数解析式，并计算d的最大值． 6．（2024•湖北一模）已知抛物线的顶点是C（0，a）（a＞0，a为常数），并经过点（2a，2a），点D（0，2a）为一定点． （1）求含有常数a的抛物线的解析式； （2）设点P是抛物线上任意一点，过P作PH⊥x轴．垂足是H，求证：PD＝PH； （3）设过原点O的直线l与抛物线在第一象限相交于A、B两点，若DA＝2DB．且S△ABD＝4．求a的值． 题型三 二次函数与面积的和差问题 1．（2023•黄石模拟）如图，抛物线 y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），C（﹣1，0）两点，与y轴交于点B，P为第一象限抛物线上的动点，连接AB，BC，PA，PC，PC与AB相交于点Q． （1）求抛物线的解析式： （2）设△APQ的面积为S1，△BCQ的面积为S2，当 S1﹣S2＝5 时，求点P的坐标； （3）是否存在点P，使∠PAB+∠CBO＝45°，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 2．（2024•岳麓区校级模拟）在直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A（3，3），B（4，0）． （1）求a，b的值． （2）点C（m，y1），D（m+1，y2）在线段OA上，过点C，D分别作x轴的垂线交抛物线y＝ax2+bx（a≠0）于点E，F．试探究： ①当m为何值时，四边形CDFE是平行四边形． ②△COE与△ADF的面积之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 3．（2022上·福建泉州·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线与轴从左到右依次交于A，两点，与轴的交点为，是抛物线对称轴右侧图象上的一点，且在轴的上方． (1)求此抛物线的解析式； (2)若直线与抛物线对称轴交于点，当取得最大值时，求点的坐标； (3)若直线与抛物线对称轴交于点，连接，，，记，的面积分别为，，判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 题型四 二次函数与三角形面积的最值 1．（2024•武威二模）如图，直线y＝x﹣3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝x2+bx+c经过B、C两点，抛物线与x轴负半轴交于点A． （1）求抛物线的函数表达式； （2）直接写出当x﹣3＞x2+bx+c时，x的取值范围； （3）点P是位于直线BC下方抛物线上的一个动点，过点P作PE⊥BC于点E，连接OE．求△BOE面积的最大值及此时点P的坐标． 2．（2024•凉州区三模）如图，已知二次函数y＝ax2+2x+c的图象经过点C（0，3），与x轴分别交于点A，点B（3，0）．点P是直线BC上方的抛物线上一动点． （1）求二次函数的表达式； （2）如图1，若PC∥AB，求P点的坐标； （3）如图2，当点P运动到什么位置时，△PCB的面积最大？求出此时P点的坐标和△PCB的最大面积． 3．（2024•临清市模拟）如图，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，其中A（1，0），B（﹣3，0），点P从A点出发，在线段AB上以1单位长度/秒的速度向点B运动，运动时间为t秒（0＜t＜4），过点P作PQ∥BC，交AC于点Q． （1）求该抛物线的解析式； （2）用含t的代数式表示直线PQ的解析式； （3）当t为何值时，△CPQ的面积最大？求出△CPQ面积的最大值． 4．（2023秋•上杭县校级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）经过A（﹣2，0），C（0，﹣2）两点，与x轴另一交点为B． （1）求该抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴找出点若M，使得∠BMC＝90°，求出点M的坐标； （3）点P为直线BC下方的抛物线上的一个动点（点P与B、C不重合）求△PBC面积的最大值． 5．（2024•兴庆区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B点，与y轴交于点C（0，3），点B的坐标为（3，0），点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方． （1）求这个二次函数的解析式； （2）当点P运动到什么位置时，△BPC的面积最大？请求出点P的坐标和△BPC面积的最大值． （3）除原点外，在x轴上是否存在一点Q，使得△BCQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2024•阳新县一模）如图①，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点C（0，4），与x轴正半轴交于点D（4，0），设M是点C，D间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m． （1）求抛物线的解析式； （2）当m为何值时，△MAB面积S取得最大值？请说明理由； （3）如图②，连接CA，抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得∠QCA＝45°，如果存在，请求出点Q的坐标，不存在，请说明理由． 题型五 二次函数与四边形面积的最值 1．如图，在平面直角坐标系中．直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过B，C两点，与x轴负半轴交于点A，连接AC，A（﹣1，0） （1）求抛物线的解析式； （2）点P（m，n）是抛物线上在第一象限内的一点，求四边形OCPB面积S关于m的函数表达式及S的最大值； 2．（2023秋•姑苏区校级月考）已知，如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点A的坐标为（﹣1，0），OC＝3OA． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D是线段BC下方抛物线上的动点，求四边形ABDC面积的最大值； （3）若抛物线上有一点M，使∠ACM＝45°，求M点坐标． 3．（2023秋•铜梁区期末）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4的对称轴是直线x＝1，抛物线与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标是（﹣2，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1所示，P是第一象限抛物线上的一个动点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，连接CD、CP、PB．求四边形PCDB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标； （3）如图2所示，在（2）的条件下，点M是直线BC上一点，当△POM是以OP为腰的等腰三角形时，请直接写出点M的坐标． 4．（2022·山东烟台·统考中考真题）如图，已知直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1． (1)求抛物线的表达式； (2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标； (3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型六 二次函数与面积有关的综合题 1．（2023秋•西青区期末）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+3（b为常数）经过点P，点P与点（﹣2，5）关于原点对称，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴相交于点C． （Ⅰ）求该抛物线的函数解析式及点A，B，C的坐标． （Ⅱ）连接AC，抛物线上一点M在线段AC上方，其横坐标为m（﹣3＜m＜0），过点M作ME⊥x轴于点E，交线段AC于点F． ①当m为何值时，线段MF的长有最大值？最大值是多少？ ②当线段MF取最大值时，连接MA，MC，在抛物线上是否存在点Q（点Q不与点M重合），使得△QAC的面积与△MAC的面积相等？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 2．（2024•南关区校级二模）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，﹣3），B（3，0）．点P在抛物线y＝x2+bx+c上，其横坐标为m． （1）求抛物线的解析式； （2）当﹣2＜x＜3时，求y的取值范围； （3）当抛物线y＝x2+bx+c上P、A两点之间部分的最大值与最小值的差为时，求m的值； （4）点M在抛物线y＝x2+bx+c上，其横坐标为1﹣m．过点P作PQ⊥y轴于点Q，过点M作MN⊥x轴于点N，分别连结PM，PN，QM，当△PQM与△PNM的面积相等时，直接写出m的值． 3．（2024•亭湖区三模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与轴交于点A，与x轴交于点B、C，已知A（0，4），B（4，0）． （1）求抛物线的表达式，并求出点C的坐标． （2）点M是抛物线（第一象限内）上的一个动点，连接MA，MB，当△MAB面积最大时，求M点的坐标． （3）若点M坐标固定为（1，6），Q是抛物线上除M点之外的一个动点，当△ABM与△ABQ的面积相等求出点Q的坐标． 4．（2024•汉川市模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D，点P为抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）若过点C的直线交线段AB于点E，且S△ACE：S△CEB＝3：5，求线段CE的长是多少？ （3）当点P在第一象限时，连接PC和PB，求△PBC面积的最大值时多少？ （4）若点Q在x轴上，当以点D，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点P的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$