专题 与二次函数有关的线段、周长的最值问题6大题型提分练（专项训练）数学浙教版九年级上册

九年级数学上册《第1章 二次函数》 二次函数的综合题专训（一） 与二次函数有关的线段、周长的最值问题 类型一 抛物线中的线段最值问题 ★1、平行于坐标轴的线段的最值问题：常通过线段两端点的坐标差表示线段长的函数关系式，运用二次函数性质求解，求最值时应注意： ①当线段平行于y轴时，用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标； ②当线段平行于x轴时，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标:在确定最值时，函数自变量的取值范围应确定正确． ★2、求线段的和的最值：解决此类问题的基本思路方向： 两条线段和的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”． 解决这类问题的方法是：作其中一个定点关于已知直线的对称点，连接对称点与另一个定点，它们与已知直线的交点即为所求的点． 其变形问题有三角形周长最小或四边形周长最小等． ★3、 利用二次函数解决两条线段之差的最值问题 ★两条线段差的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“三角形任何两边之差小于第三边”， 解决这类问题的方法是：求解时，先根据原理确定线段差取最值时的图形,再根据已知条件求解． 题型一 二次函数中求线段的最值 1．如图，已知抛物线yx2x+c与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴相交于点C，且抛物线经过点（2，2）． （1）求此抛物线的解析式及A，B两点坐标； （2）在抛物线的对称轴上找一点H，使AH+CH的值最小，并求出点H的坐标； 2．如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m． （1）求抛物线的表达式； （2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标； 3．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D为第一象限内抛物线上一点，DE∥y轴交BC于点E． （1）若DE＝2，求点D的坐标； （2）求DE的最大值． 4．（2023秋•玉州区期中）如图，抛物线与x轴交于点A、B（B点在A点的右侧），与y轴交于C点． （1）求A点、B点的坐标； （2）求直线BC的解析式； （3）如图，点P是直线BC上方的抛物线上的一动点（不与B、C重合），过点P作PD∥y轴交直线BC 于点D，求线段PD的最大值． 5．（2024•无棣县一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过x轴上的两点A、B，与y轴交于点C，直线AC的解析式为． （1）求点A、C的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，过点P作PQ⊥x轴于M，交AC于Q，求PQ最大时，点P的坐标及PQ的最大值． 题型二 二次函数中求两条线段和的最值 1．（2023秋•张店区校级月考）如图，以D为顶点的抛物线y＝﹣x2+2x+3交x轴于A、B两点，交y轴于点C． （1）求点A，B，C，D的坐标； （2）在抛物线的对称轴上找一点P，使PC+PA的值最小，求点P的坐标； （3）请你猜想△DCB的形状，并说明理由． 2．（2023秋•平城区校级期中）如图，已经抛物线经过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为x＝2． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，当△OAB的面积为15时，求B的坐标； （3）在（2）的条件下，P是x轴上的一点，当PA+PB的值最小时，求P的坐标以及PA+PB的最小值． 3．（2024•罗江区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PE∥y轴交BC于点E，在y轴上取一点F，使得EF＝EC，求PE+CF的最大值及此时点P坐标； （3）将原抛物线沿射线CB方向平移个单位长度得到新抛物线y1，过点B作直线MN垂直于BC交y轴于点N，交新抛物线y1于点M，请直接写出点M的横坐标． 4．（2024•德阳模拟）平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△BCP是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如图，点M是直线BC上的一个动点，连接AM，OM，是否存在点M使AM+OM最小，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 5．（2024•广安）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为（﹣1，0），点B坐标为（3，0）． （1）求此抛物线的函数解析式． （2）点P是直线BC上方抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D，过点P作y轴的垂线，垂足为点E，请探究2PD+PE是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时P点的坐标；若没有最大值，请说明理由． （3）点M为该抛物线上的点，当∠MCB＝45°时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标． 题型三 二次函数中求线段差的最值 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yx+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线ybx+c的对称轴是直线x与x轴的交点为点A，且经过点B、C两点． （1）求抛物线的解析式； （2）点M为抛物线对称轴上一动点，当|BM﹣CM|的值最小时，请你求出点M的坐标； 2．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，其对称轴为直线x＝1． （1）求a，b的值，并根据图象写出y＞0时x的取值范围； （2）把点A向上平移m个单位得点A1．若点A1向右平移n个单位，将与抛物线上的点A2重合；若点A1向右平移（n+3）个单位，将与抛物线上的点A3重合，其中m＞0，n＞0，求m，n的值； （3）抛物线上是否存在点P，使得|PB﹣PC|最小，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 3．（2022秋•邳州市期中）如图，已知抛物线过点O（0，0），A（5，﹣5），且它的对称轴为直线x＝2． （1）求此抛物线的表达式； （2）若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第四象限，当△OAB的面积为10时． ①求B的坐标； ②点P是抛物线上的动点，当PA﹣PB的值最大时，求P的坐标以及PA﹣PB的最大值． 4．（2024春•渠县校级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点D坐标为（1，4），与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），且B坐标为（3，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线和直线AC的解析式； （2）在抛物线对称轴上找一点M，使M到B、C两点的距离之差的绝对值最大，求出点M的坐标及最大绝对值； （3）点P是x轴上的一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q．试探究：随着点P的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出符合点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 题型四 利用二次函数解决三条线段之和的最值 1．（2024•恩施市校级一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在x轴上，抛物线y＝x2+bx+c经过点B，D（﹣4，5）两点，且与直线DC交于另一点E． （1）求抛物线的解析式； （2）F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由； （3）P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME，BP，探究EM+MP+PB是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2022·山东烟台·统考二模）如图，平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，抛物线经过A，两点，且与直线DC交于另一点E． (1)求抛物线的解析式： (2)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q，连接EQ，AP．试求的最小值； (3)N为平面内一点，在抛物线对称轴上是否存在点M，使得以点M，N，E，A为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2022·湖北恩施·统考模拟预测）如图，已知抛物线．点在抛物线的对称轴上，是抛物线与轴的交点，为抛物线上一动点，过点作轴的垂线，垂足为点． (1)直接写出，的值； (2)如图，若点的坐标为，点为轴上一动点，直线与抛物线对称轴垂直，垂足为点．探求的值是否存在最小值，若存在，求出这个最小值及点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图，连接，，若，求点的坐标． 题型五 二次函数中与周长有关的最值问题 1．（2024•广水市一模）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴相交于点A（﹣1，0），B（﹣4，0），与y轴相交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）如图，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求的值； 2．（2023秋•海沧区校级月考）已知某抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，且函数的最小值是﹣4，图象过点D（﹣2，﹣3），抛物线与x轴交于点A、B（A在左边）． （1）求函数的解析式； （2）点P在抛物线的对称轴上，当△PAD的周长最小时，求点P的坐标和△PAD的面积． 3．（2023秋•鼓楼区校级月考）如图，平行四边形ABCD与抛物线y＝﹣x2+bx+c相交于点A，B，D，点C在抛物线的对称轴上，已知点B（﹣1，0），BC＝3． （1）求抛物线的解析式； （2）在对称轴上找一点P使得△ABP的周长最小，求P的坐标． 4．（2024•长清区校级开学）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）设抛物线与y轴交于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q．使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，P是线段BC上的一个动点．过P点作y轴的平行规交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值． 题型六 二次函数与线段有关的综合题 1．（2024•介休市模拟）综合与探究 如图所示，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且A（﹣1，0），C（0，﹣3）；直线l与抛物线交于点A，D，其中点D的横坐标为2． （1）求二次函数及直线AD的表达式； （2）点S是线段AD上的一个动点，过S点作y轴的平行线交抛物线于T点，求线段ST长度的最大值； （3）在直线AD下方的抛物线上的是否存在一动点P（P与A，D不重合），使△PAD的面积有最大值，若存在，求出最大面积及点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2024•新华区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣x+c与y轴交于点A，x轴正半轴的交点为点B，其中点A的坐标为（0，﹣4），且OA＝OB，连接AB． （1）分别求出直线AB和抛物线的解析式． （2）若抛物线的顶点为点E，求△ABE的面积． （3）P是AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点C，过点P作PD⊥x轴于点D．求PC+PD的最大值． 3．在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线（a≠0）经过点A（，﹣3），对称轴为直线l，点O关于直线l的对称点为点B．过点A作直线AC∥x轴，交y轴于点C． （1）求该抛物线的解析式及对称轴； （2）点P在y轴上，当PA+PB的值最小时，求点P的坐标； （3）抛物线上是否存在点Q，使得S△AOCS△AOQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线与轴交于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，与y轴交于点C，D为抛物线的顶点，已知的面积为． (1)求抛物线的解析式． (2)为抛物线对称轴上的点，当取最大值时，求点的坐标． (3)在（2）的条件下，为抛物线上的动点，若时，直接写出点的坐标． 5．（2020·天津·中考真题）已知点是抛物线（为常数，）与x轴的一个交点． （1）当时，求该抛物线的顶点坐标； （2）若抛物线与x轴的另一个交点为，与y轴的交点为C，过点C作直线l平行于x轴，E是直线l上的动点，F是y轴上的动点，． ①当点E落在抛物线上（不与点C重合），且时，求点F的坐标； ②取的中点N，当m为何值时，的最小值是？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学上册《第1章 二次函数》 二次函数的综合题专训（一） 与二次函数有关的线段、周长的最值问题 类型一 抛物线中的线段最值问题 ★1、平行于坐标轴的线段的最值问题：常通过线段两端点的坐标差表示线段长的函数关系式，运用二次函数性质求解，求最值时应注意： ①当线段平行于y轴时，用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标； ②当线段平行于x轴时，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标:在确定最值时，函数自变量的取值范围应确定正确． ★2、求线段的和的最值：解决此类问题的基本思路方向： 两条线段和的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”． 解决这类问题的方法是：作其中一个定点关于已知直线的对称点，连接对称点与另一个定点，它们与已知直线的交点即为所求的点． 其变形问题有三角形周长最小或四边形周长最小等． ★3、 利用二次函数解决两条线段之差的最值问题 ★两条线段差的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“三角形任何两边之差小于第三边”， 解决这类问题的方法是：求解时，先根据原理确定线段差取最值时的图形,再根据已知条件求解． 题型一 二次函数中求线段的最值 1．如图，已知抛物线yx2x+c与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴相交于点C，且抛物线经过点（2，2）． （1）求此抛物线的解析式及A，B两点坐标； （2）在抛物线的对称轴上找一点H，使AH+CH的值最小，并求出点H的坐标； 【分析】（1）将x＝2，y＝2代入抛物线解析式，求得c，从而求得抛物线解析式，令y＝0得一元二次方程，解方程，进一步求得结果； （2）点B是点A关于抛物线的对称轴的对称点，连接BC交对称轴即为点H，可求BC的解析式，将x＝1代入，求得H点纵坐标，进而求得H点坐标； 【解答】解：（1）由题意得， 22c＝2， ∴c＝2， ∴抛物线的解析式是：yx2x+2， 令y＝0，即：x2x+2＝0， ∴x1＝4，x2＝﹣2， ∴A（﹣2，0），B（4，0）； （2）如图1， 连接BC交对称轴于H， 设BC的解析式是：y＝kx+b， ∴， ∴， ∴y， 当x＝1时，y， ∴H（1，）． 【点评】本题考查了求二次函数解析式，求一次函数解析式，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是需 要较强的计算能力． 2．如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m． （1）求抛物线的表达式； （2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标； 【分析】（1）点A、B的坐标分别为（2t，0）、（﹣t，0），则x（2t﹣t），即可求解； （2）点D（m，﹣m2+m+2），则点F（m，﹣m+2），则DF＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m，即可求解； 【解答】解：（1）设OB＝t，则OA＝2t，则点A、B的坐标分别为（2t，0）、（﹣t，0）， 则x（2t﹣t），解得：t＝1， 故点A、B的坐标分别为（2，0）、（﹣1，0）， 则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）（x+1）＝ax2+bx+2， 解得：a＝﹣1，b＝1， 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2； （2）对于y＝﹣x2+x+2，令x＝0，则y＝2，故点C（0，2）， 由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x+2， 设点D的横坐标为m，则点D（m，﹣m2+m+2），则点F（m，﹣m+2）， 则DF＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m， ∵﹣1＜0，故DF有最大值，DF最大时m＝1， ∴点D（1，2）； 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 3．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D为第一象限内抛物线上一点，DE∥y轴交BC于点E． （1）若DE＝2，求点D的坐标； （2）求DE的最大值． 【分析】（1）根据抛物线解析式求出B，C坐标，再用待定系数法求相互直线BC的解析式，设D（m，﹣m2+2m+3），则E（m，﹣m+3），然后根据DE＝2得出关于m的一元二次方程，解方程求出m的值即可； （2）根据（1）中DE关于m的解析式和m的取值范围，由二次函数的性质求最值即可． 【解答】解：（1）令y＝0，则＝﹣x2+2x+3＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， 令x＝0，则y＝3， ∴C（0，3）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0）， 则， 解得， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3， 设D（m，﹣m2+2m+3）， ∵DE∥y轴， ∴E（m，﹣m+3）， ∴DE＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m， ∵DE＝2， ∴﹣m2+3m＝2， 解得m1＝1，m2＝2， ∴点D的坐标为（1，4）或（2，3）； （2）由（1）知，DE＝﹣m2+3m＝﹣（m）2， ∵﹣1＜0，0＜m＜3， ∴当m时，DE有最大值，最大值为． ∴DE的最大值为． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的最值，关键是对二次函数性质的应用． 4．（2023秋•玉州区期中）如图，抛物线与x轴交于点A、B（B点在A点的右侧），与y轴交于C点． （1）求A点、B点的坐标； （2）求直线BC的解析式； （3）如图，点P是直线BC上方的抛物线上的一动点（不与B、C重合），过点P作PD∥y轴交直线BC 于点D，求线段PD的最大值． 【分析】（1）当 y＝0时，即，即可求解； （2）由待定系数法即可求解； （3）设点P的坐标为 ，则点D的坐标为 ，即可求解． 【解答】解：（1）当 y＝0时，即， 解得：x1＝﹣2，x2＝8， ∴点A的坐标为 （﹣2，0），点B的坐标为 （8，0）； （2）当 x＝0时，y＝4， ∴点C的坐标为（0，4）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0）， 把B（8，0），C（0，4）代入得： ，解得：， ∴直线BC的解析式为 ； （3）设点P的坐标为 ，则点D的坐标为 ， 则， ∵， ∴当x＝4时，PD最大值为4． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到函数的图象和性质等，难度不大． 5．（2024•无棣县一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过x轴上的两点A、B，与y轴交于点C，直线AC的解析式为． （1）求点A、C的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，过点P作PQ⊥x轴于M，交AC于Q，求PQ最大时，点P的坐标及PQ的最大值． 【分析】（1）在中，令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝4，即可求出A、C的坐标； （2）把A、C的坐标代入中，即可求出b，c的值，可得答案； （3）设，则，则，由二次函数的性质求解即可． 【解答】解：（1）在中， 令x＝0，则y＝2， 令y＝0，则x＝4， ∴A（4，0），C（0，2）； （2）把A（4，0），C（0，2）代入得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为； （3）∵点P为直线AC上方的抛物线上的一点，PQ⊥x轴， ∴设， 则， ∴ ， ∵， ∴当m＝2时，PQ最大，最大值为1， 此时P（2，2）． 【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 题型二 二次函数中求两条线段和的最值 1．（2023秋•张店区校级月考）如图，以D为顶点的抛物线y＝﹣x2+2x+3交x轴于A、B两点，交y轴于点C． （1）求点A，B，C，D的坐标； （2）在抛物线的对称轴上找一点P，使PC+PA的值最小，求点P的坐标； （3）请你猜想△DCB的形状，并说明理由． 【分析】（1）令y＝0可得点A，B坐标，令x＝0可得点C坐标，将抛物线y＝﹣x2+2x+3化为顶点式，可得D的坐标； （2）点A、点B关于对称轴对称，连接BC交对称轴直线于点P，求出P点坐标即可； （3）求出线段BC、BD、CD的长，利用勾股定理的逆定理即可判断△BCD的形状． 【解答】解：（1）令y＝0，则0＝﹣x2+2x+3， 解得x＝3或x＝﹣1， ∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0）， 令x＝0，y＝3， ∴点C坐标为（0，3）． ∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴顶点D的坐标为（1，4）； （2）∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴其对称轴为直线x＝1， 连接BC，如图所示， ∵B（3，0），C（0，3）， ∴设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0）， ∴， 解得， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3， 当x＝1时，y＝﹣1+3＝2， ∴P（1，2）； （3）△DCB是直角三角形．理由如下： ∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），顶点D的坐标为（1，4）， ∴BC3，CD，BD2， ∵（3）2+（）2＝（2）2， ∴BC2+CD2＝BD2， ∴△DCB是直角三角形． 【点评】本题是二次函数综合题，考查用待定系数法求函数的解析式、轴对称求最短路线问题、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是要注意数形结合的应用． 2．（2023秋•平城区校级期中）如图，已经抛物线经过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为x＝2． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，当△OAB的面积为15时，求B的坐标； （3）在（2）的条件下，P是x轴上的一点，当PA+PB的值最小时，求P的坐标以及PA+PB的最小值． 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）设B（2，m）（m＞0），运用待定系数法求得直线OA的解析式为y＝x，设直线OA与抛物线对称轴交于点H，则H（2，2），BH＝m﹣2，利用三角形面积公式建立方程求解即可得出答案； （3）根据两点之间线段最短，作点A关于x轴的对称点A″，连接A″B交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，进而可以求点P的坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为x＝2， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0）， 设抛物线解析式为y＝ax（x﹣4），把A（5，5）代入，得5a＝5， 解得：a＝1， ∴y＝x（x﹣4）＝x2﹣4x， 故此抛物线的解析式为y＝x2﹣4x； （2）∵点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限， ∴设B（2，m）（m＞0）， 设直线OA的解析式为y＝kx 则5k＝5， 解得：k＝1， ∴直线OA的解析式为y＝x， 设直线OA与抛物线对称轴交于点H，则H（2，2）， ∴BH＝m﹣2， ∵S△OAB＝15， ∴（m﹣2）×5＝15， 解得：t＝8 ∴点B的坐标为（2，8）； （3）作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点P，此时PA+PB的值最小， ∵A（5，5），B（2，8）． ∴A′（5，﹣5）， ∴设直线BA′解析式为：y＝k′x+b′， ∴，解得， ∴yx， 当y＝0时，x， ∴点P的坐标为：（，0）， PA+PB的最小值为PA+PB＝PA′+PB＝A′B． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，轴对称﹣最短路线问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． 3．（2024•罗江区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PE∥y轴交BC于点E，在y轴上取一点F，使得EF＝EC，求PE+CF的最大值及此时点P坐标； （3）将原抛物线沿射线CB方向平移个单位长度得到新抛物线y1，过点B作直线MN垂直于BC交y轴于点N，交新抛物线y1于点M，请直接写出点M的横坐标． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由EF＝EC，得到CF＝2（yC﹣yE）＝2（2x﹣1）＝x，即可求解； （3）由平移的性质得到新抛物线的表达式，由直线MN⊥BC且过点B（4，0），求出直线MN的表达式，进而求解． 【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）， 则y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4）＝ax2+bx+2， 则﹣4a＝2， 解得：a， 则抛物线的表达式为：yx2x+2； （2）由抛物线的表达式知，点C（0，2）， 由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：yx+2， 设点P（x，x2x+2），则点E（x，x+2）， 则PE＝（x2x+2）﹣（x+2）x2+2x， ∵EF＝EC， 则CF＝2（yC﹣yE）＝2（2x﹣2）＝x， ∴PE+CFx2+3x， ∵0， 故PE+CF有最大值， 当x＝3时，PE+CF的最大值为：4.5，此时点P（3，2）； （3）将原抛物线沿射线CB方向平移个单位长度相当于将抛物线向右平移2个单位向下平移1个单位， 则y′（x﹣2）2（x﹣2）+2﹣1x2x﹣4， ∵直线BC的表达式为：yx+2， 直线MN⊥BC且过点B（4，0）， 则直线MN的表达式为：y＝2（x﹣4）， 联立直线MN和新抛物线的表达式得：2（x﹣4）x2x﹣4， 即x2﹣3x﹣8＝0， 解得：x， 即点M的横坐标为． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到图象的平移、等腰三角形的性质、函数最值的确定等，有一定的综合性，难度适中． 4．（2024•德阳模拟）平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△BCP是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如图，点M是直线BC上的一个动点，连接AM，OM，是否存在点M使AM+OM最小，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将B（4，0）代入，待定系数法求解析式，进而分别令x，y＝0，解方程即可求解； （2）根据题意，对称轴为直线x＝1，设P（1，n），根据勾股定理BC2＝42+42＝32，BP2＝（4﹣1）2+n2，PC2＝12+（4﹣n）2，分①当∠BCP＝90°时，②当∠CBP＝90°时，③当∠BPC＝90°时，根据勾股定理建立方程，解方程即可求解； （3）存在点M使AM+OM最小，作O点关于BC的对称点Q，连接AQ交BC于点M，连接BQ，求得直线AQ的解析式，直线BC的解析式为y＝﹣x+4，联立方程即可求解． 【解答】解：（1）将B（4，0）代入， 即， 解得：， ∴， 令x＝0，则， 令y＝0，则， 解得：x1＝4，x2＝﹣2，A（﹣2，0），C（0，4）； （2）存在点P，使△BCP是直角三角形， ∵，对称轴为直线x＝1， 设P（1，n）， ∵B（4，0），C（0，4）， ∴BC2＝42+42＝32，BP2＝（4﹣1）2+n2，PC2＝12+（4﹣n）2， ①当∠BCP＝90°时，BP2＝BC2+PC2， ∴（4﹣1）2+n2＝32+12+（4﹣n）2， 解得：n＝5； ②当∠CBP＝90°时，PC2＝BC2+BP2， ∴12+（4﹣n）2＝（4﹣1）2+n2+32 解得：n＝﹣3； ③当∠BPC＝90°时，BC2＝BP2+PC2，32＝（4﹣1）2+n2+12+（4﹣n）2 解得：或， 综上所述：P（1，5），（1，﹣3），（1，2），（1，2）； （3）存在点M使AM+OM最小，理由如下： 作O点关于BC的对称点Q，连接AQ交BC于点M，连接BQ， 由对称性可知，OM＝QM， ∴AM+OM＝AM+QM≥AQ， 当A、M、Q三点共线时，AM+OM有最小值， ∵B（4，0），C（0，4）， ∴OB＝OC， ∴∠CBO＝45°， 由对称性可知∠QBM＝45°， ∴BQ⊥BO， ∴Q（4，4）， 设直线AQ的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得：， ∴直线AQ的解析式， 设直线BC的解析式为y＝mx+4， ∴4m+4＝0， ∴m＝﹣1， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4， 联立方程组， 解得：， ∴M（，）． 【点评】本题考查了二次函数综合运用，待定系数求解析式，勾股定理，轴对称的性质求线段长的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 5．（2024•广安）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为（﹣1，0），点B坐标为（3，0）． （1）求此抛物线的函数解析式． （2）点P是直线BC上方抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D，过点P作y轴的垂线，垂足为点E，请探究2PD+PE是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时P点的坐标；若没有最大值，请说明理由． （3）点M为该抛物线上的点，当∠MCB＝45°时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标． 【分析】（1）直接利用抛物线的交点式可得抛物线的解析式； （2）先求解C（0，2），及直线BC为，设，可得，再建立二次函数求解即可； （3）如图，以CB为对角线作正方形CTBK，可得∠BCK＝∠BCT＝45°，CK，CT与抛物线的另一个 交点即为M，如图，过T作x轴的平行线交y轴于Q，过B作BG⊥TQ于G，则OB＝GQ＝3，设TQ＝GB＝m，则CQ＝TG＝3﹣m，求解T（m，m﹣1），进一步求解直线CT为y＝﹣5x+2，直线CK为，再求解函数的交点坐标即可． 【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为 （﹣1，0），点B坐标为（3，0）， ∴． （2）当x＝0时，， ∴C（0，2）， 设直线BC为y＝kx+2， ∴3k+2＝0， 解得， ∴直线BC为， 设， ∴， ∴2PD+PE， 当时，有最大值， 此时． （3）如图，以CB为对角线作正方形CTBK， ∴∠BCK＝∠BCT＝45°， ∴CK，CT与抛物线的另一个交点即为M， 如图，过T作x轴的平行线交y轴于Q，过B作BG⊥TQ于G，则OB＝GQ＝3， ∴∠CTB＝90°＝∠CQT＝∠QGB， ∴∠QCT+∠CTQ＝90°＝∠CTQ+∠BTG， ∴∠QCT＝∠BTG， ∵CT＝BT， ∴△CQT≌△TGB（AAS）， ∴QT＝GB，CQ＝TG， 设TQ＝GB＝m，则CQ＝TG＝3﹣m， ∴Q0＝3﹣m﹣2＝1﹣m， ∴T（m，m﹣1）， 由TC＝TB可得m2+（m﹣3）2＝（m﹣3）2+（m﹣1）2， 解得， ∴， 设CT为y＝nx+2， ∴， 解得n＝﹣5， ∴直线CT为y＝﹣5x+2， ∴， 解得或， ∴，，C（0，2），B（3，0），正方形CTBK． ∴， 同理可得直线CK为， ∴， 解得或， ∴， 综上，点M的坐标为或． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，主要考查利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线的性质，正方形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 题型三 二次函数中求线段差的最值 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yx+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线ybx+c的对称轴是直线x与x轴的交点为点A，且经过点B、C两点． （1）求抛物线的解析式； （2）点M为抛物线对称轴上一动点，当|BM﹣CM|的值最小时，请你求出点M的坐标； 【分析】（1）利用待定系数法直接得出结论； （2）先判断出|BM﹣CM|最小时，BM＝CM，建立方程求解即可得出结论； 【解答】解：（1）针对于yx+2，令x＝0，则y＝2， ∴C（0，2）， 令y＝0，则0x+2， ∴x＝4， ∴B（4，0）， ∵点C在抛物线ybx+c上， ∴c＝2， ∴抛物线的解析式为ybx+2， ∵点B（4，0）在抛物线上， ∴﹣8+4b+2＝0， ∴b， ∴抛物线的解析式为yx+2； （2）∵|BM﹣CM|最小， ∴|BM﹣CM|＝0， ∴BM＝CM， ∴BM2＝CM2， 设M（，m）， ∵B（4，0），C（0，2）， ∴BM2＝（4）2+m2，CM2＝（）2+（m﹣2）2， ∴（4）2+m2＝（）2+（m﹣2）2， ∴m＝0， ∴M（，0）； 【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，三角形三边关系定理求线段差的最大值，利用线段和差求最值问题是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，其对称轴为直线x＝1． （1）求a，b的值，并根据图象写出y＞0时x的取值范围； （2）把点A向上平移m个单位得点A1．若点A1向右平移n个单位，将与抛物线上的点A2重合；若点A1向右平移（n+3）个单位，将与抛物线上的点A3重合，其中m＞0，n＞0，求m，n的值； （3）抛物线上是否存在点P，使得|PB﹣PC|最小，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由题意可得1，a﹣b+3＝0，解方程可求a、b的值，再结合图象可求x的取值范围； （2）根据点平移的特点，分别求出A1（﹣1，m），A2（﹣1+n，m），A3（﹣1+3+n，m），再结合题意即可求m、n的值； （3）当PB＝PC时|PB﹣PC|最小值为0，此时点P为抛物线与线段BC的中垂线的交点，求出线段BC的中垂线的解析式为y＝x，再求直线与抛物线的交点即为P点． 【解答】解：（1）∵抛物线对称轴为对称轴为直线x＝1， ∴1， ∵抛物线经过点A（﹣1，0）， ∴a﹣b+3＝0， ∴a＝﹣1，b＝2， ∴y＝﹣x2+2x+3， 令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0， ∴x＝﹣1或x＝3， ∴当y＞0时，﹣1＜x＜3； （2）由题可知，A1（﹣1，m），A2（﹣1+n，m），A3（﹣1+3+n，m）， ∵A2，A3关于直线＝1对称， ∴1﹣（﹣1+n）＝（﹣1+3+n）﹣1， ∴n， ∴点A2（，m）在抛物线上， ∴m； （3）存在点P，使得|PB﹣PC|最小，理由如下： ∵|PB﹣PC|最小值为0， ∴PB＝PC，即点P为抛物线与线段BC的中垂线的交点， ∵OB＝OC， ∴线段BC的中垂线的解析式为y＝x， 由， 解得x， ∴P或p， ∴满足条件的点有或． 【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，点平移的特点，最短距离的求法是解题的关键． 3．（2022秋•邳州市期中）如图，已知抛物线过点O（0，0），A（5，﹣5），且它的对称轴为直线x＝2． （1）求此抛物线的表达式； （2）若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第四象限，当△OAB的面积为10时． ①求B的坐标； ②点P是抛物线上的动点，当PA﹣PB的值最大时，求P的坐标以及PA﹣PB的最大值． 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）①设B（2，m）（m＜0），运用待定系数法求得直线OA的解析式为y＝﹣x，设直线OA与抛物线对称轴交于点H，则H（2，﹣2），BH＝﹣2﹣m，利用三角形面积公式建立方程求解即可得出答案； ②运用待定系数法求得直线AB的解析式为yx，当PA﹣PB的值最大时，A、B、P在同一条直线上，联立方程组求解即可求得点P的坐标，利用两点间距离公式可求得AB，即PA﹣PB的最大值． 【解答】解：（1）∵抛物线过点O（0，0），A（5，﹣5），且它的对称轴为x＝2， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0）， 设抛物线解析式为y＝ax（x﹣4），把A（5，﹣5）代入，得5a＝﹣5， 解得：a＝﹣1， ∴y＝﹣x（x﹣4）＝﹣x2+4x， 故此抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x； （2）①∵点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第四象限， ∴设B（2，m）（m＜0）， 设直线OA的解析式为y＝kx， 则5k＝﹣5， 解得：k＝﹣1， ∴直线OA的解析式为y＝﹣x， 设直线OA与抛物线对称轴交于点H，则H（2，﹣2）， ∴BH＝﹣2﹣m， ∵S△OAB＝10， ∴（﹣2﹣m）×5＝10， 解得：m＝﹣6， ∴点B的坐标为（2，﹣6）； ②设直线AB的解析式为y＝cx+d，把A（5，﹣5），B（2，﹣6）代入得： ， 解得：， ∴直线AB的解析式为yx， 如图2，当PA﹣PB的值最大时，A、B、P在同一条直线上， ∵P是抛物线上的动点， ∴， 解得：或， ∴P（，）． ∵AB， ∴PA﹣PB的最大值为． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，利用三角形三边关系定理求线段差的最大值，利用线段和差求最值问题是解题的关键． 4．（2024春•渠县校级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点D坐标为（1，4），与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），且B坐标为（3，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线和直线AC的解析式； （2）在抛物线对称轴上找一点M，使M到B、C两点的距离之差的绝对值最大，求出点M的坐标及最大绝对值； （3）点P是x轴上的一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q．试探究：随着点P的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出符合点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，把B（3，0）代入即可求解，利用二次函数的对称性求得A（﹣1，0），再利用待定系数法求解即可； （2）延长AC交对称轴于点M，由对称性知此时M到B、C两点的距离之差的绝对值最大，最大值为AC的长，据此求解即可； （3）分点P在点Q的左边和右边两种情况，根据平行四边形的对边平行且相等，从点A、C的坐标关系，用点P的坐标表示出点Q的坐标，然后把点Q的坐标代入抛物线解析式求解即可． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4， 把B（3，0）代入得0＝a（3﹣1）2+4， 解得a＝﹣1， ∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4， ∵顶点D坐标为（1，4），且B坐标为（3，0）， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴A（﹣1，0）， 令x＝0，则y＝﹣（0﹣1）2+4＝3， ∴C（0，3）， 设直线AC的解析式为y＝kx+3， 把A（﹣1，0）代入得0＝﹣k+3， 解得k＝3， ∴直线AC的解析式为y＝3x+3； （2）延长AC交对称轴于点M， ∵点A和点B关于对称轴直线x＝1对称， ∴MA＝MB， ∴M到B、C两点的距离之差的绝对值为|MB﹣MC|＝|MA﹣MC|＝|AC|， 此时M到B、C两点的距离之差的绝对值最大，最大值为AC的长， ∵A（﹣1，0），C（0，3）， ∴， x＝1时，y＝3×1+3＝6， ∴点M的坐标为（1，6）； （3）∵直线l∥AC， ∴PQ∥AC且PQ＝AC， ∵A（﹣1，0），C（0，3）， ∴设点P的坐标为（x，0）， 则①若点Q在x轴上方，则点Q的坐标为（x+1，3）， 此时，﹣（x+1）2+2（x+1）+3＝3， 解得x1＝﹣1（舍去），x2＝1， 所以，点Q的坐标为（2，3）； ②若点Q在x轴下方，则点Q的坐标为（x﹣1，﹣3）， 此时，﹣（x﹣1）2+2（x﹣1）+3＝﹣3， 整理得，x2﹣4x﹣3＝0， 解得，， 所以，点Q的坐标为或， 综上所述，点Q的坐标为（2，3）或或． 【点评】本题是二次函数综合题型，主要考查了抛物线与x轴的交点问题，待定系数法求二次函数解析式，轴对称确定最短路线问题，平行四边形的对边平行且相等的性质，（2）确定出点M的位置是解题的关键，（3）难点在于分情况讨论． 题型四 利用二次函数解决三条线段之和的最值 1．（2024•恩施市校级一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在x轴上，抛物线y＝x2+bx+c经过点B，D（﹣4，5）两点，且与直线DC交于另一点E． （1）求抛物线的解析式； （2）F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由； （3）P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME，BP，探究EM+MP+PB是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）求出点B的坐标为（1，0），再用待定系数法即可求解； （2）以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形，故点B向右平移1个单位向上平移5个单位得到点E，则Q（F）向右平移1个单位向上平移5个单位得到点F（Q），且BE＝EF（BE＝EQ），即可求解； （3）由题意抛物线的对称轴交x轴于点B′（﹣1，0），将点B′向左平移1个单位得到点B″（﹣2，0），连接B″E，交函数的对称轴于点M，过点M作MP⊥y轴，则点P、M为所求点，此时EM+MP+PB为最小，进而求解． 【解答】解：（1）由点D的纵坐标知，正方形ABCD的边长为5， 则OB＝AB﹣AO＝5﹣4＝1，故点B的坐标为（1，0）， 则，解得， 故抛物线的表达式为y＝x2+2x﹣3； （2）存在，理由： ∵点D、E关于抛物线对称轴对称，故点E的坐标为（2，5）， 由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝﹣1，故设点F的坐标为（﹣1，m）， 由点B、E的坐标得，BE2＝（2﹣1）2+（5﹣0）2＝26， 设点Q的坐标为（s，t）， ∵以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形， 故点B向右平移1个单位向上平移5个单位得到点E，则Q（F）向右平移1个单位向上平移5个单位得到点F（Q），且BE＝EF（BE＝EQ）， 则或， 解得或， 故点F的坐标为（﹣1，5）或（﹣1，5）或（﹣1，）或（﹣1，）； （3）存在，理由： 由题意抛物线的对称轴交x轴于点B′（﹣1，0），将点B′向左平移1个单位得到点B″（﹣2，0）， 连接B″E，交函数的对称轴于点M，过点M作MP⊥y轴，则点P、M为所求点，此时EM+MP+PB为最小， 理由：∵B′B″＝PM＝1，且B′B″∥PM，故四边形B″B′PM为平行四边形，则B″M＝B′P＝BP， 则EM+MP+PB＝EM+1+MB″＝B″E+1为最小， 由点B″、E的坐标得，直线B″E的表达式为y（x+2）， 当x＝﹣1时，y（x+2），故点M的坐标为（﹣1，）， 则EM+MP+PB的最小值B″E+1＝11． 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 2．（2022·山东烟台·统考二模）如图，平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，抛物线经过A，两点，且与直线DC交于另一点E． (1)求抛物线的解析式： (2)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q，连接EQ，AP．试求的最小值； (3)N为平面内一点，在抛物线对称轴上是否存在点M，使得以点M，N，E，A为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）求出A点坐标，把A、C坐标代入解析式计算即可； （2）连接OC，交对称于点Q，证明四边形AOQP是平行四边形，即可说明若使的值为最小，其为量小，最小值为线段OC长； （3）由于N是任意一点，要使得以点M，N，E，A为顶点的四边形是菱形只要说明△AME是等腰三角形即可． 【解答】（1）∵四边形ABCD为正方形，， ∴，， ∴， ∴， 将点A，C坐标代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）连接OC，交对称于点Q ∵轴， ∴， ∵， ∴四边形AOQP是平行四边形， ∴， ∴ 若使的值为最小，其为量小． ∵E，C关于对称轴对称， ∴， ∴， 此时的值最小，最小值为线段OC长． ∵， ∴， ∴的最小值为， 即的最小值为． （3）设 ∵E，C关于对称轴对称，， ∴， ∵ ∴ ∵由于N是任意一点，要使得以点M，N，E，A为顶点的四边形是菱形 ∴△AME是等腰三角形 当时，， 解得， 此时M点坐标为， 当时，， 解得， 此时M点坐标为， 当时，， 解得， 此时M点坐标为 综上所述，存在点M，，，， ，使得以点M，N，E，A为顶点的四边形是菱形 【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求抛物线的解析式、线段和最值问题、二次函数的性质、菱形的判定与性质，综合性较强，有一定难度．其中第（3）问把菱形转换成等腰三角形是解题的关键，需要注意分析题意分情况进行讨论，否则容易漏解． 3．（2022·湖北恩施·统考模拟预测）如图，已知抛物线．点在抛物线的对称轴上，是抛物线与轴的交点，为抛物线上一动点，过点作轴的垂线，垂足为点． (1)直接写出，的值； (2)如图，若点的坐标为，点为轴上一动点，直线与抛物线对称轴垂直，垂足为点．探求的值是否存在最小值，若存在，求出这个最小值及点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图，连接，，若，求点的坐标． 【分析】（1）根据二次函数性质进行分析，即可得到答案； （2）由（1）可知，求得，作C点关于直线的对称点，连接交抛物线对称轴于点K，连接，当、K、D三点共线时，有最小值，即的值最小，利用坐标点的距离公式，得到，即可求出的最小值，再利用待定系数法求出直线的解析式为，进而得到点的坐标，即可求得点Q的坐标． （3）如图，过作于，设，则，可得， ，，而，再建立方程求解即可. 【解答】（1）解：点在抛物线的对称轴上， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 是抛物线与y轴的交点， ， ； （2）解：存在最小值，理由如下： 由（1）可知，， 点D是抛物线上一点，坐标为， ， ， 作C点关于直线的对称点，连接交抛物线对称轴于点K，连接，    由对称性可知，， ， 当、K、D三点共线时，有最小值，即的值最小， 抛物线的对称轴为直线，与抛物线对称轴垂直， ， ，轴， ， ， ， 的最小值为， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 令，则， ， ． （3）∵， 如图，过作于，设，则， ∴，    ∵， ∴，， ∴ ， 而， 解得：， ∵在第二象限，则， ∴， ∴. 【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，最值问题，勾股定理，一元二次方程的解法，待定系数法求一次函数解析式等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 题型五 二次函数中与周长有关的最值问题 1．（2024•广水市一模）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴相交于点A（﹣1，0），B（﹣4，0），与y轴相交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）如图，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求的值； 【分析】（1）待定系数法求函数解析式即可； （2）根据△PAC的周长等于PA+PC+AC，以及AC为定长，得到当PA+PC的值最小时，△PAC的周长最小，根据抛物线的对称性，得到A，B关于对称轴对称，则：PA+PC＝PB+PC≥BC，得到当P，B，C三点共线时，PA+PC＝BC，进而求出P点坐标，即可得解； 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴相交于点A（﹣1，0），B（﹣4，0）， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣5x﹣4； （2）在y＝﹣x2﹣5x﹣4，当x＝0时，y＝﹣4， ∴C（0，4）， ∵抛物线解析式为y＝﹣x2﹣5x﹣4， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵△PAC的周长等于PA+PC+AC，AC为定长， ∴当PA+PC的值最小时，△PAC的周长最小， ∵A，B关于对称轴对称， ∴PA＝PB， ∴PA+PC＝PB+PC≥BC， ∴当P，B，C三点共线时，PA+PC的值最小，为BC的长，此时点P为直线BC与对称轴的交点， 设直线BC的解析式为：y＝mx+n， ∴， 解得：， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣4， 当时，， ∴， ∵A（﹣1，0），C（0，﹣4）， ∴，， ∴； 【点评】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 2．（2023秋•海沧区校级月考）已知某抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，且函数的最小值是﹣4，图象过点D（﹣2，﹣3），抛物线与x轴交于点A、B（A在左边）． （1）求函数的解析式； （2）点P在抛物线的对称轴上，当△PAD的周长最小时，求点P的坐标和△PAD的面积． 【分析】（1）设出函数解析式，把D点坐标代入解析式求解即可； （2）点P在对称轴x＝﹣1上，PA＝PB，则PA+PD＝PB+PD，连接DB与对称轴的交点即为P，然后求出BD解析式，求出P点坐标，并根据三角形的面积求解即可． 【解答】解：（1）根据题意设抛物线的解析式为y＝a（x+1）2﹣4， 把（﹣2，﹣3）代入解析式得：﹣3＝a（﹣2+1）2﹣4， 解得a＝1， ∴抛物线解析式为y＝（x+1）2﹣4； （2）令y＝0，则（x+1）2﹣4＝0， 解得x1＝﹣3，x2＝1， ∴A（﹣3，0），B（1，0）， 点A与点B关于直线x＝﹣1对称，连接BD，交对称轴于点P，连接AP，则BD为PA+PD的最小值， 即当P为BD与对称轴的交点时，△PAD周长最小， ∵B（1，0），D（﹣2，﹣3）， ∴设直线BD的解析式为y＝kx+b（k≠0）， ∴， 解得， ∴直线BD的解析式为y＝x﹣1， 当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣1＝﹣2， ∴点P的坐标为（﹣1，﹣2）， ∵AB＝4， ∴S△PAD＝S△ABD﹣S△ABPAB•|yD|AB•|yP|4×（3﹣2）＝2． ∴点P的坐标为（﹣1，﹣2），△PAD的面积为2． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点和二次函数的性质，关键是求出函数解析式． 3．（2023秋•鼓楼区校级月考）如图，平行四边形ABCD与抛物线y＝﹣x2+bx+c相交于点A，B，D，点C在抛物线的对称轴上，已知点B（﹣1，0），BC＝3． （1）求抛物线的解析式； （2）在对称轴上找一点P使得△ABP的周长最小，求P的坐标． 【分析】（1）由B的坐标，以及BC的长，求出C的坐标，确定出抛物线对称轴，利用待定系数法求出解析式即可； （2）在△ABP中，AB的长为定值，若三角形的周长最小，那么AP+BP的长最小；由于A、D关于抛物线的对称轴对称，若连接BD，那么BD与对称轴的交点即为所求的P点，可先求出直线BD的解析式，然后利用方程与函数的关系即可求得P点的坐标． 【解答】解：（1）∵B（﹣1，0），BC＝3， ∴C（2，0），即抛物线对称轴为直线x＝2， ∴， 解得：， 则抛物线解析式为y＝﹣x2+4x+5； （2）平行四边形ABCD中，AD∥BC．AD＝BC＝3， ∵抛物线对称轴为直线x＝2， ∴A的横坐标为，D的横坐标为， 把x代入y＝﹣x2+4x+5得，y14+5， ∴D（，）， 连接BD，交对称轴于点P， 由于点A与点D关于对称轴对称，则PA+PB＝BP+PD＝BD，因而BC与对称轴的交点P就是所求的点． 设直线BD的解析式为y＝kx+a， 根据题意可得， 解得． 所以直线BD的解析式为yx． 把x＝2代入yx中得，y， ∴点P的坐标为（2，）． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，平行四边形的性质，轴对称﹣最短路线问题，（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）正确的确定P点的位置时解答此题的关键． 4．（2024•长清区校级开学）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）设抛物线与y轴交于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q．使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，P是线段BC上的一个动点．过P点作y轴的平行规交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值． 【分析】（1）用待定系数法可得解析式； （2）连接BC交抛物线对称轴于Q，连接AC，由y＝﹣x2﹣2x+3得C（0，3），对称轴为直线x＝﹣1，可得AC，△QAC的周长最小，即是QA+QC最小，故当Q，B，C共线时，QA+QC最小，在y＝x+3中，令x＝﹣1得Q（﹣1，2）； （3）设P（m，m+3），则E（m，﹣m2﹣2m+3），可得PE＝（﹣m2﹣2m+3）﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m）2，由二次函数性质可得答案． 【解答】解：（1）把A（1，0）、B（﹣3，0）代入y＝﹣x2+bx+c得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3； （2）在抛物线的对称轴上存在点Q．使得△QAC的周长最小，理由如下： 连接BC交抛物线对称轴于Q，连接AC，如图： 由y＝﹣x2﹣2x+3得C（0，3），对称轴为直线x＝﹣1， ∵A（1，0）， ∴AC， ∴△QAC的周长最小，即是QA+QC最小， ∵A，B关于直线x＝﹣1对称， ∴QA＝QB， ∴QA+QC＝QB+QC， 而此时Q，B，C共线，故此时QA+QC最小，最小值为BC的长度， 由B（﹣3，0），C（3，0）可得直线BC解析式为y＝x+3， 在y＝x+3中，令x＝﹣1得y＝2， ∴Q（﹣1，2）； （3）如图： 设P（m，m+3），则E（m，﹣m2﹣2m+3）， ∴PE＝（﹣m2﹣2m+3）﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m）2， ∵﹣1＜0， ∴当m时，PE取最大值， ∴线段PE长度的最大值是． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形周长，线段的最大值等，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度． 题型六 二次函数与线段有关的综合题 1．（2024•介休市模拟）综合与探究 如图所示，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且A（﹣1，0），C（0，﹣3）；直线l与抛物线交于点A，D，其中点D的横坐标为2． （1）求二次函数及直线AD的表达式； （2）点S是线段AD上的一个动点，过S点作y轴的平行线交抛物线于T点，求线段ST长度的最大值； （3）在直线AD下方的抛物线上的是否存在一动点P（P与A，D不重合），使△PAD的面积有最大值，若存在，求出最大面积及点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）设S（t，﹣t﹣1），则T（t，t2﹣2t﹣3），ST＝﹣（t）2，当t时，ST的最大值为； （3）过P点作PQ∥y轴交直线AD于Q点，设P（m，m2﹣2m﹣3），则Q（m，﹣m﹣1），可得S3×PQ（m）2，当m时，△PAD的面积有最大值，此时P（，）． 【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3， ∵点D的横坐标为2， ∴D（2，﹣3）， 设直线AD的解析式为y＝k'x+b'， ∴， 解得， ∴直线AD的解析式为y＝﹣x﹣1； （2）设S（t，﹣t﹣1），则T（t，t2﹣2t﹣3）， ∴ST＝﹣t﹣1﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣（t）2， ∵点S是线段AD上， ∴﹣1≤t≤2， 当t时，ST的最大值为； （3）存在点P，使△PAD的面积有最大值，理由如下： 过P点作PQ∥y轴交直线AD于Q点， 设P（m，m2﹣2m﹣3），则Q（m，﹣m﹣1）， ∴PQ＝﹣m﹣1﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣（m）2， ∴S3×PQ（m）2， ∵P点在直线AD下方的抛物线上， ∴﹣1＜m＜2， 当m时，△PAD的面积有最大值，此时P（，）． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，铅锤法求三角形面积是解题的关键． 2．（2024•新华区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣x+c与y轴交于点A，x轴正半轴的交点为点B，其中点A的坐标为（0，﹣4），且OA＝OB，连接AB． （1）分别求出直线AB和抛物线的解析式． （2）若抛物线的顶点为点E，求△ABE的面积． （3）P是AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点C，过点P作PD⊥x轴于点D．求PC+PD的最大值． 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题． （2）将△ABE的面积转化为四边形OAEB与△OAB的面积之差即可解决问题． （3）设出点P的坐标，再表示出PC+PD，求出最值即可解决问题． 【解答】解：（1）∵点A坐标为（0，﹣4），且OA＝OB， ∴点B的坐标为（4，0）． 设直线AB的函数解析式为y＝kx+b， 则， 解得， ∴直线AB的解析式为y＝x﹣4． 将A，B坐标代入二次函数解析式得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为y． （2）∵y， ∴点E的坐标为（1，）． 将x＝0代入二次函数解析式得， y＝﹣4， ∴点C的坐标为（0，﹣4）． 连接OE，AE，BE， ∴，， 又∵， ∴S△ABE＝2+9﹣8＝3． （3）令点P的坐标为（m，）， ∵PC∥x轴， ∴， 则， ∴PC＝m﹣（）， 又∵PD， ∴PC+PD＝﹣m2+3m+4， 则当m时， PC+PD取得最大值为：， ∴PC+PD的最大值为． 【点评】本题考查待定系数法求函数解析式及二次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法及二次函数的图象和性质是解题的关键． 3．在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线（a≠0）经过点A（，﹣3），对称轴为直线l，点O关于直线l的对称点为点B．过点A作直线AC∥x轴，交y轴于点C． （1）求该抛物线的解析式及对称轴； （2）点P在y轴上，当PA+PB的值最小时，求点P的坐标； （3）抛物线上是否存在点Q，使得S△AOCS△AOQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）把点A（，﹣3）代入（a≠0），即可求得解析式，利用对称轴公式即可求得抛物线的对称轴； （2）根据轴对称的性质求得B点的坐标，然后作点B关于y轴的对称点B1，得B1（，0），利用待定系数法求得直线AB1的解析式，然后令x＝0，即可求得P点； （3）存在，设Q点坐标为，过Q作QD⊥OA，根据S△AOQ＝S梯形OCDQ﹣S△AOC﹣S△AQD，列出关于m的方程，解方程即可求得Q的坐标． 【解答】解：（1）∵y＝ax2x（a≠0）经过点A（，﹣3）， ∴﹣3＝a×（）2，解得a， ∴抛物线的解析式为yx2x， ∵x， ∴抛物线的对称轴为直线x， （2）∵点O（0，0），对称轴为x， ∴点O关于对称轴的对称点B点坐标为（，0）， 作点B关于y轴的对称点B1，得B1（，0）， 设直线AB1的解析式为y＝kx+b， 把点A（，﹣3），点B1（，0）代入得， 解得， ∴直线AB1的解析式为yx， ∴直线yx与y轴的交点即为P点． 令x＝0得y， ∴P点坐标为（0，）． （3）∵A（，﹣3），AC∥x轴， ∴AC，OC＝3， ∴S△AOCOC•AC•3•， 又∵S△AOCS△AOQ， ∴S△AOQ＝3 S△AOC， 设Q点坐标为， 作QD⊥CA，交CA延长线于点D， ∵S△AOQ＝S梯形OCDQ﹣S△AOC﹣S△AQD， ∴．m（33）..3（m）（3）， 化简整理得m2m﹣18＝0， 解得m1，m2＝﹣2， ∴Q点坐标为（3，0）或（﹣2，15）， ∴抛物线上存在点Q，使得S△AOCS△AOQ． 【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，轴对称﹣最短路线问题，三角形的面积等，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 4．如图，抛物线与轴交于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，与y轴交于点C，D为抛物线的顶点，已知的面积为． (1)求抛物线的解析式． (2)为抛物线对称轴上的点，当取最大值时，求点的坐标． (3)在（2）的条件下，为抛物线上的动点，若时，直接写出点的坐标． 【分析】（1）令，求出的值即可； （2）根据三角形两边之差小于第三边，所以当点P在直线延长线上时，最大，最大值为，求出直线的解析式，代入即可求得P的坐标； （3）连接，，过点作轴交于点，连接，，先求出 ，；设点的坐标为：，点的坐标为进而求出，列方程求出t的值即可 【解答】（1）对于，当时，， ∵ ∴ 解得， ∵点A，B分别位于原点的左、右两侧， ∴； ∴ 令则， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）如图所示，根据三角形两边之差小于第三边，所以，当点P在直线上时，最大， 设直线的解析式为， 把代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵ ∴抛物线的对称轴直线为， ∴ ∴． （3）如图，连接，，过点作轴交于点， 连接，， 当时，， ∴点的坐标为 ∵, ∴, ∴ 又 ∴， 设点的坐标为：， 设直线的解析式为， 代入，得，， 解得：， ∴直线的解析式为：； ∴点的坐标为 ∴， ∵ ∴, 整理得，或， 解得，，或， 代入可得点的坐标为：或或 【点评】本题考查了二次函数的应用以及解析式的确定以及面积问题等知识，主要考查学生数形结合思想的应用能力，题目的综合性很强． 5．（2020·天津·中考真题）已知点是抛物线（为常数，）与x轴的一个交点． （1）当时，求该抛物线的顶点坐标； （2）若抛物线与x轴的另一个交点为，与y轴的交点为C，过点C作直线l平行于x轴，E是直线l上的动点，F是y轴上的动点，． ①当点E落在抛物线上（不与点C重合），且时，求点F的坐标； ②取的中点N，当m为何值时，的最小值是？ 【分析】（1）根据，则抛物线的解析式为，再将点A（1，0）代入，求出b的值，从而得到抛物线的解析式，进一步可求出抛物线的顶点坐标； （2）①首先用含有m的代数式表示出抛物线的解析式，求出，点. 过点A作于点H,在Rt中，利用勾股定理求出AE的值，再根据，，可求出m的值，进一步求出F的坐标； ②首先用含m的代数式表示出MC的长，然后分情况讨论MN什么时候有最值. 【解答】解：（1）当，时，抛物线的解析式为． ∵抛物线经过点， ．解得． 抛物线的解析式为． ， 抛物线的顶点坐标为． （2）①∵抛物线经过点和，， ， ，即． ，． 抛物线的解析式为． 根据题意，得点，点． 过点A作于点H． 由点，得点． 在Rt中，，， ． ， ．解得． 此时，点，点，有． 点F在y轴上， 在Rt中，． 点F的坐标为或． ②由N是EF的中点，得． 根据题意，点N在以点C为圆心、为半径的圆上． 由点，点，得，． 在中，． 当，即时，满足条件的点N落在线段MC上， MN的最小值为，解得； 当，时，满足条件的点N落在线段CM的延长线上， MN的最小值为，解得． 当m的值为或时，MN的最小值是． 【点评】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线上的点的坐标满足抛物线方程等，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 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