微专题5 平行线中常见的拐点模型-【宝典训练】2023-2024学年七年级下册数学高效课堂(北师大版)

数学·七年级下册（北师大版】 微专题5平行线中常见的拐点模型 类型一 过“拐点”作平行线 1.如图，直线PQ∥MN,点C是PQ,MN之间（不在直线PQ,MN上）的一个动点. (1)若∠1与∠2都是锐角，如图1，请说明∠C与∠1，∠2之间的数量关系： (2)若小明把一块三角板（∠A=30°，∠C=90°）如图2放置，点D,E,F是三角板的边与平行线的 交点，若∠AEN=∠A,求∠BDF的度数： (3)将图2中的三角板进行适当转动，如图3，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段 CD上，连接EG,且有∠CEG=∠CEM,给出下列两个结论： ①的值不变： ②∠GEN一∠BDF的值不变. 其中只有一个是正确的，你认为哪个是正确的？并求出不变的值是多少 26 第二章相交线与平行线 类型二平行线中拐点模型的分类讨论 2.(2023春·抚宁区期末)问题情境：如图1，AB∥CD,∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC度数. B 图1 图2 小明的思路是：过点P作PE∥AB,通过平行线性质来求∠APC (1)按小明的思路，易求得∠APC的度数为 度，并说明理由； (2)问题迁移：如图2，AB∥CD,点P在射线OM上运动，记∠PAB=&,∠PCD=3,当点P在B, D两点之间运动时，问∠APC与a,3之间有何数量关系？请说明理由； (3)在(2)的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写 出∠APC与a,3之间的数量关系. 27数学·七年级下册(北师大版) '. MEA'- MEB=MFC-MFD,即 1= :AB//CD...PE/AB//CD. (2)解:由折叠知,乙CFN-180”-乙2-70”。 '. PAB+APE-180PCD+CPE=180 2 .PAB-130.PCD-120. :A'E//CF..A'EN-CFN-70 ' APE-50CPE-60. .1- 2. BFF-70+40-110 '. APC= APE+ CPE=110 【例6】解:(1)/1-120.4=1=120. (2)乙APC-a+a. # .乙2- 4-120. 理由:如答图1,过点P作PE/AB交AC (2)m/n,理由如下;'a/b,乙1-120 . 于E. 4-1-12 0”:5- 3-6 0$ .乙4+乙5-180'/n. .AB/CD...AB//PE/CD. '-APE,-CPE. 过关检测 答图1 .APC- APE+CPE-a+; 1.B 2.45* 3.D 4.38* (3)如答图2所示,当点P在BD延长线上时, 5.(1)证明..AE BC.FG I BC..'.AE//GF. CPA-。-③: .2= A.·1- 2.1= A. #_ .AB/CD. (2)解:.AB/CD. '.BDC+ ABD-180.C-ABC . BDC+ABC+CBD=180. PM 答图2 *. BDC+C+CBD=180”。 答图3 " BDC=/C+75./CBD=45*. 如答图3所示,当点P在DB延长线上时. C+75+45+C-180C-30 CPA--a。 6.(1)证明:.AB//CD 微专题6 相交线与平行线中的思想方法 .ABC=/DCE. 1.(1D)90-x90-r(3)30或150 :AD/BC...ADC= DCE. 解:(1)由题知,乙BCE- ACB- ACE-90-c.乙ACD . ABC=ADC DCE-乙ACE-90*-:: (2)解:设/CDE一x.则 ADE-3x (2): BCD-ACB十 ACD-90+ ACD. .ADC-ADE-CDE-2x. . BCD-90+(90*-)-180*-x. 'AB/CD..BAD+ADC-180*. .BCD-5ACE. .BAD-180*-2r. .180--5r. :AF平分BAD..EAD- 1 BAD-90*-x. 解得c-30. .AD//BC. 即/ACF-30. * BEA= EAD=90-. BED+ ADE=180$ (3)若CD/AB分以下两种情况 ①如答图1,此时 BCD+ B-180. 答图1 $90-r+60+3--180. . B-60$BCD-B[CE+ DCE-90*+BCE$ '.=15...CDF-15. .(90*+ BCE)+60-180. 微专题5 平行线中常见的拐点模型 .乙BCE-30; 1.解:(1)C-1+2.理由:如答图,过点C作CD/PQ. ②如答图2所示. :PQ/MN...CD/MN.P_ A。 此时 B[CD- B-60{。 .1=乙ACD2= .DCE-90BCE- BCD+ DCE BCD. M 2BV . BCF-90+60-150. . ACB -ACD 答图 综上,当乙BCE等于30或150度时,CD/AB. 2.解:(1),:0Q分别平分DOE. BCD- 1+乙2. 答图2 (2). AEN- A-30 MFC-30 .EOQ-DOQ. 由(1)可得,C-MEC+PDC-90. .DOQ: DOF-2:5. *. $DC-90- MEC-60”' BDF- PDC-60;$$ *. EOQ: DOQ: DOF=2:2:5. (3)结论①CEN “:EOQ+乙D0Q+ DOF-180*。 BD的值不变是正确的. . F00-2+2×180*-40” 2 设 CEG- CEM-x,则 GEN-180*-2r. 由(1)可得,C-CEM+CDP .F0Q-180*-E0Q-140”; '. CDP-90-CEM-90*-.BDF-90-. (2)·OP,0Q分别平分COE和DOE. . POM-COM.QOM-DOM. CEN 2.解:(1)过点P作PE/AB, .. POM+乙QOM-(乙COM+乙DOM).