第13讲 相似三角形的性质与判定（提高篇）（9题型）【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版）

第13讲 相似三角形的性质与判定（提高篇） 【热考题型】 【题型一】尺规作图与相似三角形综合运用 1．（23-24九年级上·福建泉州·期中）求证：三角形的重心与一边中点的连线的长是对应中线长的．    要求： (1)如图，在中，用尺规作出边上的中线，边上的中线，且与交于点G（不写做法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的基础上，写出已知，求证和证明过程． 2．（2023·山西太原·模拟预测）如图，在中，，，． (1)实践与操作：利用尺规作边上的垂直平分线，垂足为E，交于点D（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． (2)求出线段的长． 3．（22-23九年级上·山西吕梁·期末）如图，在平行四边形中，E是边上的一点，连接．    (1)利用尺规作，使，的边交于点F．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)求证：． 4．（2022·福建龙岩·二模）已知菱形中，是边上一点． (1)在的右侧求作，使得，且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求证：． 【题型二】三角板与相似三角形综合运用 5．（23-24九年级上·河北保定·期中）问题提出（1）如图，在等腰直角中，，点D、E分别在边上，连接，有．求证：． 问题探究（2）如图，将矩形沿折叠，使点D落在边的点F处，若，__________； 变式拓展（3）如图，如果，将三角板的直角顶点E放在矩形纸片的边上移动，的长应为___________时，恰好存在两直角边所在的直线分别经过点A，D； 问题解决（4）如图，菱形是一座避暑山庄的平面示意图，其中米，现计划在山庄内修建一个三角形花园，点P、Q分别在线段上，根据设计要求要使，且，问能否建造出符合要求的三角形花园，若能，请直接写出的长，若不能，请说明理由． 6．（23-24九年级上·山西临汾·期中）综合与探究 问题解决 如图1，中，，过点C作于点D，小明把一个三角板的直角顶点放置在点D处，两条直角边分别交线段于点 E ，交线段于点 F，在三角板绕着点D旋转的过程中，若点E是的中点，则点F也是的中点吗？（注：可以用知识：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） “阳光”小组的解答是：若点E是的中点，则点F也是 的中点． 理由如下：∵ 于点 D，． ∵点 E 是的中点， ． ， ． 是等边三角形． ， ． ． 又，． ．即若点E是的中点，则点F也是的中点． 反思交流 （1）“群星”小组认为在这个题中，可以去掉条件“”，其他条件不变（如图2），若点E是的中点，则点F也是 的中点．请你根据条件证明这个结论； 拓广探索 （2）去掉条件“”，其他条件不变旋转过程中，若（如图3），那么等式成立吗？请说明理由； （3）去掉条件“”，其他条件不变．若点 E 是上任意一点（如图4），（2）中的结论还成立吗？请说明理由． 7．（22-23九年级下·河北衡水·期中）将一副三角板(和，，按如图所示摆放，点，，，在一条直线上，且是的中点，．    (1)如图1，与交于点，连接，求证：； (2)如图2，将绕点以每秒的速度进行顺时针旋转，旋转时间为，． ①在旋转过程中，当点在内部包括边界时，求旋转的时长； ②如图3，在旋转过程中，当经过点时，将沿方向平移得到，若恰好经过中的点，请直接写出的长度； ③如图2，在旋转过程中，当与边交于点，与边交于点时，分别过点，作直线的垂线，垂足为，．若，用含的式子表示的长度． 8．（23-24九年级上·山东济南·期中）【问题背景】 中，，，P为上的动点，小熙拿含角的透明三角板，使角的顶点落在点P，三角板可绕P点旋转． 【用数学的眼光观察】 （1）如图1，当三角板的两边分别交、于点E、F时，以下结论正确的是：_______； ①；②；③；④. 【用数学的思维思考】 （2）将三角板绕点P旋转到图2情形时，三角板的两边分别交的延长线、边于点E、F．与相似吗？请说明理由； 【用数学的语言表达】 （3）在（2）的条件下，动点P运动到什么位置时，？说明理由．    【题型三】裁剪与相似三角形综合运用 9．（23-24九年级上·河南南阳·期中）对于初中数学“几何与图形”这一部分的学习，通过对矩形纸片的剪拼，旋转等“图形的变化”，可以整合初中所学数学知识，从而深化对定义、定理的理解．下面是王老师在数学课上设计的问题，请你解答： (1)观察发现：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中，．将和按图2所示方式摆放，其中点B与F点重合（标记为点B）．当时，延长交于点G．猜想并判断四边形的形状为______．（直接写出结果，不说明理由．） (2)实践探究：老师将图2中的绕点B逆时针方向旋转，使点E落在内部，如图3，当时，过点A作交BE的延长线于点M，与交于点N．试猜想线段和的数量关系，并加以证明． (3)类比延伸：如图4，当时，过点A作于点H，若，，求的长． 10．（23-24九年级上·河南驻马店·期中）综合与实践：数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学，数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣． 转一转：如图1，在矩形中，点E，F，G分别为边的中点，连接，H为的中点，连接．将绕点B旋转，线段和的位置和长度也随之变化．    （1）图2中，，此时点E落在的延长线上，点F落在线段上，连接，请直接写出与之间的数量关系：_________． （2）图3中，，求的值． 剪一剪，折一折： （3）在（2）的条件下，连接图3中矩形的对角线，并沿对角线剪开，得到（如图4）．点M，N分别在上，连接，将沿翻折，使点C的对应点P落在的延长线上，若平分，则的长为_________． 11．（23-24九年级上·山西运城·期中）综合与实践：问题情境 数学活动课上，老师让同学们探讨矩形、正方形的剪拼和平移问题．如图1，四边形和都是正方形纸片，点在同一条直线上，若沿着分别将纸片剪开，然后将平移至平移至．    初步探究 （1）求证： ①四边形是正方形． ②． 深入探究 （2）如图2，将四边形和由正方形都改为矩形，且，当四边形为矩形时，试探究和之间的数量关系，并说明理由． 12．（19-20九年级上·浙江绍兴·期末）如图①，是一张直角三角形纸片，∠B＝90°，AB＝12，BC＝8，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大． （1）请通过计算说明小明的猜想是否正确； （2）如图②，在△ABC中，BC＝10，BC边上的高AD＝10，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，求矩形PQMN面积的最大值； （3）如图③，在五边形ABCDE中，AB＝16，BC＝20，AE＝10，CD＝8，∠A＝∠B＝∠C＝90°．小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积． 【题型四】折叠与相似三角形综合运用 13．（21-22八年级下·山东淄博·期末）【综合与实践】：数学实践活动是一种非常有效的学习方式，通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思维空间，丰富数学体验，下面让我们一起动手来折一折，转一转，剪一剪，体验数学实践活动带给我们的乐趣吧． (1)折一折：如图1，将正方形纸片ABCD折叠，使边AB，AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE，AF，连接EF，则______度；若，则△AEF的面积______； (2)转一转： ①如图2，将图1中的绕点A旋转，使它的两边分别交边BC，CD于点P，Q，连接PQ．若，，求△APQ的面积； ②如图3，连接正方形对角线BD，若图2中的的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N，请判断线段BM与CQ之间的数量关系，并说明理由； (3)剪一剪：如图4，将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开．若，，请求MN的长（用含有a和b的代数式表达）． 14．（23-24九年级上·山东枣庄·期中）如图①~⑧是人教版课本上的折纸活动．    【重温旧知】 上述活动，有的是为了折出特殊图形，如图①、③；有的是为了发现或证明定理，如图④和⑦；有的是计算角度，如图②；有的是计算长度，如图⑤和⑥． 1．（1）图③中的的形状是 ； （2）图④的活动发现了定理“ ”（注：填写定理完整的表述）； （3）图⑤中的的长是 ，并写出解答过程． 【换种折法】 2． 如图，正方形在第一次对折后，再次折叠，使点A与点F重合，折痕为，点D落在点处，与交于点P．说明P为的三等分点．    15．（2023九年级上·全国·专题练习）综合与实践 折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识． 折一折：把边长为的正方形纸片对折，使边与重合，展开后得到折痕如图①；点为上一点，将正方形纸片沿直线折叠，使点落在上的点处，展开后连接，，，如图②． (1)图②中，______；线段______． (2)图②中，试判断的形状，并给出证明． 剪一剪、折一折：将图②中的剪下来，将其沿直线折叠，使点落在点处，分别得到图③、图④． (3)图③中，阴影部分的周长为______． (4)图③中，若，则______ (5)图③中，相似三角形包括全等三角形共有______对． (6)如图④，点落在边上，若，则______． 【题型五】判断与相似有关结论的正误 16．（2024·四川达州·二模）如图，在正方形中，点E是边上一点，连接与对角线交于点P，过点P作交于点F，连接交于点G，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论个数为（    ）．    A．1 B．2 C．3 D．4 17．（2023·四川眉山·模拟预测）如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，于点E，连分别交，于点F，G，过点A作交BD于点H．则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数为（  ） A．5 B．4 C．3 D．2 18．（21-22九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图所示，在中，，相交于点O，E是的中点，连接并延长交于点F，已知，则下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的是（    ） A．①②③④ B．①④ C．②③④ D．①②③ 19．（23-24九年级上·山东日照·阶段练习）如图，正方形中，，点在边上，，将沿对折至，延长交边于点，连接，给出以下结论：①；②；③；④其中所有正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 20．（23-24九年级上·福建漳州·阶段练习）如图，正方形的边长是3，，连接、交于点O，并分别与边、交于点F、E，连接，下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型六】利用相似的性质与判定证明 21．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）钉板作为益智教具，颇受大众青睐．如图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长度的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E． (1)求证：； (2)试求的长． 22．（2023·福建福州·一模）如图，等边三角形的边长为3，点P为上的一点，点D为上的一点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 23．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图1，已知，点D在BC上，且，，AC与DE相交于点F，连接CE． (1)求∠DCE的度数（用含的代数式表示）； (2)求证：； (3)如图2，若，判断△ADF的形状，并说明理由． 24．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）已知等边，E，F分别在边、上，将沿折叠，A点落在边上的D处． (1)求证：； (2)若时，求． 【题型七】利用相似的性质与判定求线段比值 25．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平行四边形 ，是上一点，且，连接并延长交延长线于点,则值为(      ) A． B． C． D． 25．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在菱形中，，，，垂足为E，与交于点F，则值为（    ）    A． B． C． D． 26．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，是由20个边长为1的正方形组成的的网格．的三个顶点都在正方形的顶点上，若的三个顶点也都是图中正方形的顶点，且，记，则k的所有可能值为 ． 27．（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，将含30°的直角三角尺放在矩形中，三角尺的30°角的顶点与点B重合，其它角的顶点分别在和边的点E，F处，若点E恰好为的中点，则值为 ． 28．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）综合与实践 数学实践课堂上，张老师从一道基础题入手，通过不断变化题目，引导学生们发现解决此类问题的图形中的基本图形，进而通过构造基本图形，解决问题． (1)基础题： 如图1，于点B，于点D，P是上一点，． ①若，则与的关系为 ． ②若，且，则 ． (2)构造应用 ①如图2，点E是正方形边上一点，与交于点G，连接，请直接写出 °． ②如图3，沿的边向外作矩形和矩形，，连接是边上的高，延长交于点K，求证：K是中点，并直接写出与的数量关系： ． (3)综合应用 如图4，在矩形中，，点E是边上的动点（点E不与点A、D重合），连接，过点E作，交于点F，连接，过点B作，垂足为G，点M是边的中点．请直接写出当值最小时的值为： ． 【题型八】利用相似的性质与判定求最值 30．（2024·江苏无锡·二模）如图，在平面直角坐标系中，，B为x轴正半轴上的动点，以为边在第一象限内作使得，，连接，则长的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 31．（2024·江苏镇江·二模）如图，中，，边上的高为18，点D、E是边上的动点，且，点F为边上的一点，连接，则面积的最大值为 ． 32．（23-24九年级下·甘肃定西·阶段练习）【特例感知】 （1）如图1，已知和都是等边三角形，直接写出线段与的数量关系是 ． 【类比迁移】 （2）如图2，和都是等腰直角三角形，，请写出线段与的数量关系，并说明理由． 【方法运用】 （3）如图3，若是线段外一动点，，连接．若将绕点逆时针旋转得到，连接，求出的最大值． 33．（2024·湖北黄石·三模）（1）如图①，和为等腰直角三角形，，求证：． （2）如图②，，，试探究线段与线段的关系，并加以证明． （3）如图③，，，求的最大值．      【题型九】利用相似的性质与判定解决几何动点问题 34．（2024·河南南阳·二模）如图，在矩形中，，，M、N分别是边上的动点且．连接．则最小值为 ． 35．（2024·湖南衡阳·模拟预测）如图（1），在四边形中，，，，，，动点P从点D开始沿边匀速运动，动点Q从点A开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为．点P和点Q同时出发，设运动的时间为t（s），． ‍ (1)用含t的代数式表示； (2)当以点A，P，Q为顶点的三角形与相似时，求t的值； (3)如图（2），延长，两延长线相交于点M，当为直角三角形时，求t的值． 36．（23-24九年级上·山东聊城·阶段练习）已知，动点从点开始在线段上以每秒2个单位的速度向点移动，同时动点从点开始在线段上以每秒1个单位的速度向O点移动，设点移动时间为秒．当为何值时，以点为顶点的三角形与相似？ 37．（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，在中，、为边上的两个动点，． (1)若（即、重合），则 °时，； (2)若，，则与相似吗？为什么？ (3)当和满足怎样的数量关系时，？请说明理由． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 相似三角形的性质与判定（提高篇） 【热考题型】 【题型一】尺规作图与相似三角形综合运用 1．（23-24九年级上·福建泉州·期中）求证：三角形的重心与一边中点的连线的长是对应中线长的．    要求： (1)如图，在中，用尺规作出边上的中线，边上的中线，且与交于点G（不写做法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的基础上，写出已知，求证和证明过程． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，三角形的中线的性质及尺规作图． （1）根据三角形的中线的定义作出图形即可； （2）根据三角形中线的性质，证明，由三角形相似的性质即可证明． 【详解】（1）解：如图所示，    （2）解：已知：在中，、分别是、边上的中线，且与交于点G．求证：，． 证明：连接，    、分别是边、的中点， ，， ， ， ， ，． 2．（2023·山西太原·模拟预测）如图，在中，，，． (1)实践与操作：利用尺规作边上的垂直平分线，垂足为E，交于点D（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． (2)求出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用基本作图作的垂直平分线即可； （2）先利用勾股定理计算出，再利用线段垂直平分线的性质得到，，接着证明，然后利用相似比计算的长． 【详解】（1）解：如图， 为所作的边上的垂直平分线； （2）解：， 在中，由勾股定理得： ， 垂直平分， ，， ∵，， ∴，    ，即， 解得，   ∴线段的长为． 【点睛】本题考查了作图----基本作图：熟练掌握基本作图是解决问题的关键，也考查了线段垂直平分线的性质． 3．（22-23九年级上·山西吕梁·期末）如图，在平行四边形中，E是边上的一点，连接．    (1)利用尺规作，使，的边交于点F．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法作图，并标上字母即可； （2）根据平行四边形的性质证明，进一步得到，可得，从而可得结论． 【详解】（1）解：如图，即为所求；    （2）在平行四边形中，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了尺规作图，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，解题的关键是找准相似三角形，得到比例线段． 4．（2022·福建龙岩·二模）已知菱形中，是边上一点． (1)在的右侧求作，使得，且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析. 【分析】（1）连接AC交BD于O，在BC右侧作∠CEF=∠CBD，再在射线EF截取EF=OB，连接AE、AF，即可得△AEF； （2）延长EF交AD延长线于点G，先证明四边形BEGD是平行四边形，可得EG=BD=2EF，∠G=∠CBD， 【详解】（1）解：如图，连接AC交BD于O，在BC右侧作∠CEF=∠CBD，再在射线EF截取EF=OB，连接AE、AF，则△AEF即为所要求作的三角形，再证，可得， 最后证得结果； （2）证明：延长EF交AD延长线于点G， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD//BC， 又∵EF//BD，EF=BD， ∴四边形BEGD是平行四边形， ∴EG=BD=2EF，∠G=∠CBD， 又∵在菱形ABCD中，∠CBD=∠ABC， ， ， 又∵， ， ， ， ； 【点睛】本题考查作图-复杂作图、相似三角形的性质与判定、菱形的性质、平行四边形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【题型二】三角板与相似三角形综合运用 5．（23-24九年级上·河北保定·期中）问题提出（1）如图，在等腰直角中，，点D、E分别在边上，连接，有．求证：． 问题探究（2）如图，将矩形沿折叠，使点D落在边的点F处，若，__________； 变式拓展（3）如图，如果，将三角板的直角顶点E放在矩形纸片的边上移动，的长应为___________时，恰好存在两直角边所在的直线分别经过点A，D； 问题解决（4）如图，菱形是一座避暑山庄的平面示意图，其中米，现计划在山庄内修建一个三角形花园，点P、Q分别在线段上，根据设计要求要使，且，问能否建造出符合要求的三角形花园，若能，请直接写出的长，若不能，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）2或8；（4）能， 【分析】（1）由，可得，证明即可； （2）由矩形的性质可知，，，由折叠的性质可知，，，由勾股定理得，，则，设，则，，由勾股定理得，，即，计算求解即可； （3）由矩形的性质可知，，由题意知，，，证明， ∴，即，整理得，，计算求出满足要求的解即可； （4）由菱形，，可得，，，如图，在上截取，使，连接，则为等边三角形，则，，证明，则，即，解得，，由，可求，则， 如图，作的延长线于，，，，由勾股定理得，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴； （2）解：由矩形的性质可知，，， 由折叠的性质可知，，， 由勾股定理得，， ∴， 设，则，， 由勾股定理得，，即，解得，， 故答案为：； （3）解：由矩形的性质可知，， 由题意知，， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，即，整理得，， 解得，或， 故答案为：2或8； （4）解：能，； ∵菱形，， ∴，，， 如图，在上截取，使，连接，则为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即，解得，， ∵， ∴，解得，， ∴， 如图，作的延长线于， ∴，， ∴，， ∴， 由勾股定理得， ∴能，． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，菱形的性质，含的直角三角形等知识．熟练掌握一线三等角证明三角形相似是解题的关键． 6．（23-24九年级上·山西临汾·期中）综合与探究 问题解决 如图1，中，，过点C作于点D，小明把一个三角板的直角顶点放置在点D处，两条直角边分别交线段于点 E ，交线段于点 F，在三角板绕着点D旋转的过程中，若点E是的中点，则点F也是的中点吗？（注：可以用知识：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） “阳光”小组的解答是：若点E是的中点，则点F也是 的中点． 理由如下：∵ 于点 D，． ∵点 E 是的中点， ． ， ． 是等边三角形． ， ． ． 又，． ．即若点E是的中点，则点F也是的中点． 反思交流 （1）“群星”小组认为在这个题中，可以去掉条件“”，其他条件不变（如图2），若点E是的中点，则点F也是 的中点．请你根据条件证明这个结论； 拓广探索 （2）去掉条件“”，其他条件不变旋转过程中，若（如图3），那么等式成立吗？请说明理由； （3）去掉条件“”，其他条件不变．若点 E 是上任意一点（如图4），（2）中的结论还成立吗？请说明理由． 【答案】（1）若点E是 的中点，则点F也是 的中点，理由见解；（2）成立，理由见解；（3）若点E是上任意一点，（2）中的结论仍然成立，理由见解． 【分析】（1）由题意得，根据直角三角的性质和等腰三角形的性质即可得出结论； （2）证明四边形是矩形，根据矩形的性质即可得出结论； （3）由题意证明，，，由相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：（1）于点D， ， ∵点E是的中点， ， ， ， ， ， 又， ， ， ，即点F是的中点； （2）旋转过程中，若，那么等式成立． 理由如下： ， ∴四边形是矩形， ， ，， ； （3）若点E是上任意一点（如图4），（2）中的结论仍然成立． 理由如下： ， ， ， ， 同理证得， 则， ， 同理证得， 则， ，即． 【点睛】本题是相似形的综合题，考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，旋转的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 7．（22-23九年级下·河北衡水·期中）将一副三角板(和，，按如图所示摆放，点，，，在一条直线上，且是的中点，．    (1)如图1，与交于点，连接，求证：； (2)如图2，将绕点以每秒的速度进行顺时针旋转，旋转时间为，． ①在旋转过程中，当点在内部包括边界时，求旋转的时长； ②如图3，在旋转过程中，当经过点时，将沿方向平移得到，若恰好经过中的点，请直接写出的长度； ③如图2，在旋转过程中，当与边交于点，与边交于点时，分别过点，作直线的垂线，垂足为，．若，用含的式子表示的长度． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③ 【分析】（1）根据证明，即可得证； （2）①当时，，即旋转的最大角度为．当经过点时，证明是等边三角形，进而根据旋转的性质得出当经过点时，，，即可求解； ②由①可得，若经过点，则点与点重合，此时； ③设的长度为．证明得出，由已知可得，，根据正切的定义可得，得出，代入比例式即可求解． 【详解】（1）解：证明：是的中点， ． 又，， ； （2）①当时，，即旋转的最大角度为． 当经过点时， 在中，是的中点， ． 又， 是等边三角形， ， 此时旋转了． 过点作于点， ． 在中，， ， ， ， ， 即旋转时，点在上． 当经过点时，，， ，即旋转角为，    ， 即当点在内部包括边界时，旋转的时长为； ②的长度为； 如图，由①可得， 若经过点，则点与点重合，此时 ③设的长度为． ， ． ， ． 又， ， ． ，， ，． ，，，． ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，正切的定义，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 8．（23-24九年级上·山东济南·期中）【问题背景】 中，，，P为上的动点，小熙拿含角的透明三角板，使角的顶点落在点P，三角板可绕P点旋转． 【用数学的眼光观察】 （1）如图1，当三角板的两边分别交、于点E、F时，以下结论正确的是：_______； ①；②；③；④. 【用数学的思维思考】 （2）将三角板绕点P旋转到图2情形时，三角板的两边分别交的延长线、边于点E、F．与相似吗？请说明理由； 【用数学的语言表达】 （3）在（2）的条件下，动点P运动到什么位置时，？说明理由．    【答案】（1）②③④；（2）与相似，理由见解析；（3）动点P运动到中点位置时，与相似，理由见解析． 【分析】（1）找出与的对应角，其中，得出，从而解决问题； （2）利用（1）小题证明方法可证：； （3）动点P运动到中点位置时，与相似，同（1），可证，得，而，因此 ，进而求出，与相似． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵ ∴， 又∵， ∴，故③正确； ∴，故②正确； ∴，故④正确； 故答案为：②③④ ． （2）解：； 理由：∵在中，， ∴． ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． （3）解：动点P运动到中点位置时，与相似， 证明：同（1），可证， 得， 而， 因此 ． 又∵， ∴． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定．它以每位学生都有的三角板在图形上的运动为背景，既考查了学生图形旋转变换的思想，静中思动，动中求静的思维方法，又考查了学生动手实践、自主探究的能力． 【题型三】裁剪与相似三角形综合运用 9．（23-24九年级上·河南南阳·期中）对于初中数学“几何与图形”这一部分的学习，通过对矩形纸片的剪拼，旋转等“图形的变化”，可以整合初中所学数学知识，从而深化对定义、定理的理解．下面是王老师在数学课上设计的问题，请你解答： (1)观察发现：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中，．将和按图2所示方式摆放，其中点B与F点重合（标记为点B）．当时，延长交于点G．猜想并判断四边形的形状为______．（直接写出结果，不说明理由．） (2)实践探究：老师将图2中的绕点B逆时针方向旋转，使点E落在内部，如图3，当时，过点A作交BE的延长线于点M，与交于点N．试猜想线段和的数量关系，并加以证明． (3)类比延伸：如图4，当时，过点A作于点H，若，，求的长． 【答案】(1)正方形 (2)见解析 (3) 【分析】（1）先证明四边形是矩形，再由可得，从而得四边形是正方形； （2）由已知可得，再由等积方法，再结合已知即可证明结论； （3）设，的交点为M，过M作于G，则易得，点G是的中点；利用三角函数知识可求得的长，进而求得的长，利用相似三角形的性质即可求得结果． 【详解】（1）解：结论：四边形为正方形．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形． ∵， ∴四边形为正方形． （2）解：结论：． 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴ ∵， ∴． 由（1）得， ∴． （3）解：如图：设，的交点为M，过M作于G， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点G是的中点， 由勾股定理得 ∴， ∵， ∴， 即 ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 即的长为． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定 与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识点，适当添加的辅助线、构造相似三角形 是解题的关键． 10．（23-24九年级上·河南驻马店·期中）综合与实践：数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学，数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣． 转一转：如图1，在矩形中，点E，F，G分别为边的中点，连接，H为的中点，连接．将绕点B旋转，线段和的位置和长度也随之变化．    （1）图2中，，此时点E落在的延长线上，点F落在线段上，连接，请直接写出与之间的数量关系：_________． （2）图3中，，求的值． 剪一剪，折一折： （3）在（2）的条件下，连接图3中矩形的对角线，并沿对角线剪开，得到（如图4）．点M，N分别在上，连接，将沿翻折，使点C的对应点P落在的延长线上，若平分，则的长为_________． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）证明，推出，再利用三角形中位线定理求解； （2）证明，推出推出即可解决问题； （3）过点作于点，于点．证明，推出，推出平分，推出，推出， 设，利用面积法构建方程求出即可． 【详解】解：（1） 证明如下： ∵四边形是矩形， ， 在和中 ， ， ， 故答案为：； （2）连接，如图   ， ， ∵， ∴ ∵， ， ； （3）过点作于点， 于点，连接，    ∵平分 ， 由翻折的性质可知． ， ∴平分 设 ， 故答案为：． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 11．（23-24九年级上·山西运城·期中）综合与实践：问题情境 数学活动课上，老师让同学们探讨矩形、正方形的剪拼和平移问题．如图1，四边形和都是正方形纸片，点在同一条直线上，若沿着分别将纸片剪开，然后将平移至平移至．    初步探究 （1）求证： ①四边形是正方形． ②． 深入探究 （2）如图2，将四边形和由正方形都改为矩形，且，当四边形为矩形时，试探究和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2），理由见解析 【分析】（1）①根据平移的性质得到，则可判定四边形是平行四边形，再证明，得到，利用角的关系证明，即可得证； ②利用正方形的性质，证明，得到，变形即可得到结论； （2）利用矩形的性质得到，再证明，得到，等量代换得出，结合可得结论． 【详解】解：（1）①证明：由平移的性质可知， 四边形是平行四边形． 四边形和都是正方形， ． ， ∴， ． ， ， ． ， ， ， 四边形为正方形． ②四边形是正方形， ， ． ， ， ． ， ， ， ． （2）． 四边形和四边形都是矩形， ，， 当四边形为矩形时，， ， ， ， ， ． 同（1）可得：， ， ． ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平移的性质，探究型问题，抓住平移中的不变量． 12．（19-20九年级上·浙江绍兴·期末）如图①，是一张直角三角形纸片，∠B＝90°，AB＝12，BC＝8，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大． （1）请通过计算说明小明的猜想是否正确； （2）如图②，在△ABC中，BC＝10，BC边上的高AD＝10，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，求矩形PQMN面积的最大值； （3）如图③，在五边形ABCDE中，AB＝16，BC＝20，AE＝10，CD＝8，∠A＝∠B＝∠C＝90°．小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积． 【答案】（1）正确，理由见解析；（2）当a＝5时，S矩形MNPQ最大为25；（3）矩形的最大面积为180． 【分析】(1)设BF=x，则AF=12﹣x，证明△AFE∽△ABC，进而表示出EF，利用面积公式得出S矩形BDEF=﹣(x﹣6)2+24，即可得出结论； (2)设DE=a，AE=10﹣a，则证明△APN∽△ABC，进而得出PN=10﹣a，利用面积公式S矩形MNPQ=﹣(a﹣5)2+25，即可得出结果； (3)延长BA、DE交于点F，延长BC、ED交于点G，延长AE、CD交于点H，取BF中点I，FG的中点K，连接IK，过点K作KL⊥BC于L，由矩形性质知AE=EH=10、CD=DH=8，分别证△AEF≌△HED、△CDG≌△HDE得AF=DH=8、CG=HE=10，从而判断出中位线IK的两端点在线段AB和DE上，利用(1)的结论解答即可． 【详解】(1)正确；理由： 设BF=x(0＜x＜12)， ∵AB=12， ∴AF=12﹣x， 过点F作FE∥BC交AC于E，过点E作ED∥AB交BC于D， ∴四边形BDEF是平行四边形， ∵∠B=90°， ∴▱BDEF是矩形， ∵EF∥BC， ∴△AFE∽△ABC， ∴=， ∴， ∴EF=(12﹣x)， ∴S矩形BDEF=EF•BF=(12﹣x)•x=﹣(x﹣6)2+24 ∴当x=6时，S矩形BDEF最大=24， ∴BF=6，AF=6， ∴AF=BF， ∴当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大； (2)设DE=a，(0＜a＜10)， ∵AD=10， ∴AE=10﹣a， ∵四边形MNPQ是矩形， ∴PQ=DE=a，PN∥BC， ∴△APN∽△ABC， ∴=， ∴=， ∴PN=10﹣a， ∴S矩形MNPQ=PN•PQ=(10﹣a)•a=﹣(a﹣5)2+25， ∴当a=5时，S矩形MNPQ最大为25； (3)延长BA、DE交于点F，延长BC、ED交于点G，延长AE、CD交于点H，取BF中点I，FG的中点K，连接IK，过点K作KL⊥BC于L，如图③所示： ∵∠A=∠HAB=∠BCH=90°， ∴四边形ABCH是矩形， ∵AB=16，BC=20，AE=10，CD=8， ∴EH=10、DH=8， ∴AE=EH、CD=DH， 在△AEF和△HED中，， ∴△AEF≌△HED(ASA)， ∴AF=DH=8， ∴BF=AB+AF=16+8=24， 同理△CDG≌△HDE， ∴CG=HE=10， ∴BG=BC+CG=20+10=30， ∴BI=BF=12， ∵BI=12＜16， ∴中位线IK的两端点在线段AB和DE上， ∴IK=BG=15， 由(1)知矩形的最大面积为BI•IK=12×15=180． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查矩形的判定与性质、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质、全等三角形的判定与相似三角形的判定是解题的关键． 【题型四】折叠与相似三角形综合运用 13．（21-22八年级下·山东淄博·期末）【综合与实践】：数学实践活动是一种非常有效的学习方式，通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思维空间，丰富数学体验，下面让我们一起动手来折一折，转一转，剪一剪，体验数学实践活动带给我们的乐趣吧． (1)折一折：如图1，将正方形纸片ABCD折叠，使边AB，AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE，AF，连接EF，则______度；若，则△AEF的面积______； (2)转一转： ①如图2，将图1中的绕点A旋转，使它的两边分别交边BC，CD于点P，Q，连接PQ．若，，求△APQ的面积； ②如图3，连接正方形对角线BD，若图2中的的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N，请判断线段BM与CQ之间的数量关系，并说明理由； (3)剪一剪：如图4，将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开．若，，请求MN的长（用含有a和b的代数式表达）． 【答案】(1)； (2)①；②，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用翻折变换的性质可得∠EAF=45°，证明△BAE≌△DAF（ASA），推出BE=DF，AE=AF，可得结论，再根据勾股定理求出BE，即可求出答案． （2）①如图，将△ADQ绕点A顺时针旋转90°，得到△ABQ′，点D与B重合，证明△PAQ≌△PAQ′，求出PQ=4，最后用勾股定理求出AB，可得结论． ②证明△CAQ∽△BAM，可得； （3）如图4中，如图，将△ADN绕点A顺时针旋转90°，得△ABN′，点D与B重合，证明△MAN≌△MAN′（SAS），∠RBM=90°，可得结论． 【详解】（1）解：如图1中， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD=BC=CD，∠BAD=90°， ∴△ABC，△ADC都是等腰三角形， ∵∠BAE=∠CAE，∠DAF=∠CAF， ∴∠EAF=（∠BAC+∠DAC）=45°， ∵∠BAE=∠DAF=22.5°，∠B=∠D=90°，AB=AD， ∴△BAE≌△DAF（ASA）， ∴BE=DF，AE=AF， ∴AC⊥EF， 由折叠知，EK=BE，FK=DF， 设BE=m，则DF=EK=FK=m， ∵AC是正方形ABCD的对角线， ∴AC=AB=，∠ACB=45°， ∴∠CEF=45°=∠ACB， ∴CK=EK=m， 根据勾股定理得，CE=EK=m， ∴BE+CE=m+m=1， ∴m=， ∴ 故答案为：45，； （2）①如图，将△ADQ绕点A顺时针旋转90°，得到，点D与B重合， ∴，， ∴ ∵ ∴点C，B（D），共线 在和中， ∵ ∴ ∴ ∴ 设，则， 在中，由勾股定理，得解，得，（舍去） ∴作于点M， ∴ ∴ ②∵正方形ABCD ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ （3）如图，将绕点A顺时针旋转90°，得，点D与B重合， ∴，，， ∴ 在和△MAN中， ∵ ∴ ∴ 在中，由勾股定理，得 ∴ ∴ 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题． 14．（23-24九年级上·山东枣庄·期中）如图①~⑧是人教版课本上的折纸活动．    【重温旧知】 上述活动，有的是为了折出特殊图形，如图①、③；有的是为了发现或证明定理，如图④和⑦；有的是计算角度，如图②；有的是计算长度，如图⑤和⑥． 1．（1）图③中的的形状是 ； （2）图④的活动发现了定理“ ”（注：填写定理完整的表述）； （3）图⑤中的的长是 ，并写出解答过程． 【换种折法】 2． 如图，正方形在第一次对折后，再次折叠，使点A与点F重合，折痕为，点D落在点处，与交于点P．说明P为的三等分点．    【答案】1．（1）见解析；（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（3）；2．见解析 【分析】1．（1）根据等角对等边即可，； （2）根据翻折性质，即可； （3）先证明，可得，设，在中，根据勾股定理，即可求解； （3）设，，在中，根据勾股定理，可得， 再证明，可得，即可． 【详解】（1）解：等腰三角形； 如图所示，    由翻折性质可得： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形；                                    （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 如图所示：    由翻折性质可得：，， ∴， ∴， ∴发现了：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； （3）如图，    ∵四边形是长方形，，， ∴，，，              ∵， ∴ ∴， ∴设， ∴， 在中， ∴， 解得：， ∴； 故答案为： 2．解：设，， 由题意，得，，． ∵为直角三角形， ∴， ∴．解得，                     ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，解得． ∴P为的三等分点． 【点睛】本题主要考查了图形的折叠问题，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握图形的折叠的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 15．（2023九年级上·全国·专题练习）综合与实践 折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识． 折一折：把边长为的正方形纸片对折，使边与重合，展开后得到折痕如图①；点为上一点，将正方形纸片沿直线折叠，使点落在上的点处，展开后连接，，，如图②． (1)图②中，______；线段______． (2)图②中，试判断的形状，并给出证明． 剪一剪、折一折：将图②中的剪下来，将其沿直线折叠，使点落在点处，分别得到图③、图④． (3)图③中，阴影部分的周长为______． (4)图③中，若，则______ (5)图③中，相似三角形包括全等三角形共有______对． (6)如图④，点落在边上，若，则______． 【答案】(1)， (2)等边三角形，理由见解析 (3)6 (4)40 (5)4 (6) 【分析】（1）由折叠知，则，，，可得答案； （2）由折叠知是的垂直平分线，得，由（1）得，从而得出答案； （3）由折叠知，，则图③中阴影部分的周长的周长； （4）由折叠知，则，再利用平角的定义可得答案； （5）根据两组角相等可说明，由折叠知，，从而得出答案； （6）设，，说明，则，从而解决问题． 【详解】（1）解：由折叠的性质得，四边形是矩形， ，，， 将正方形纸片沿直线折叠，使点落在上的点处， ，， ， ，， ，， 故答案为：，； （2）是等边三角形，理由如下： 由第一次折叠知，是的垂直平分线， ， ， 是等边三角形； （3）将图②中的剪下来，将其沿直线折叠，使点落在点处， ，， 图③中阴影部分的周长的周长， 故答案为：6； （4）将图②中的剪下来，将其沿直线折叠，使点落在点处， ，， ， ， ， ， 故答案为：40； （5）如图③，，， ， 由折叠知，， 图③中的相似三角形（包括全等三角形）共有4对， 故答案为：4对； （6），设，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，利用相似三角形的周长比等于相似比是解决问题（6）的关键． 【题型五】判断与相似有关结论的正误 16．（2024·四川达州·二模）如图，在正方形中，点E是边上一点，连接与对角线交于点P，过点P作交于点F，连接交于点G，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论个数为（    ）．    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由题意易得，对于①：易知点A、B、F、P四点共圆，然后可得，则问题可判定；对于②：把绕点A顺时针旋转得到，则有，然后易得，则有，则可判定；对于③：连接，在上截取，连接，易得，然后易证，进而问题可求解；对于④，由③可得，进而可得，然后可得相似比为，最后根据相似三角形的面积比与相似比的关系可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴， ∵， ∴， ∴点A、B、F、P四点共圆， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，故①正确； ②把绕点A顺时针旋转得到，如图所示：    ∴，， ∴， ∵， ∴三点共线， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ③连接交于O，在上截取，连接，如图所示：      ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由①可得点A、B、F、P四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ④由③可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上所述：以上结论正确的有①②③④； 故选：D． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、旋转的性质、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质、旋转的性质、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 17．（2023·四川眉山·模拟预测）如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，于点E，连分别交，于点F，G，过点A作交BD于点H．则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数为（  ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】①由等边三角形与等腰直角三角形知是等腰三角形且顶角，据此可判断；②求出和度数，从而得出度数，据此可判断；③证明即可判断；④由、即可得证；⑤设，则、，设，由知，根据是等腰直角三角形，，据此得出，证得，从而得出与的关系即可判断． 【详解】解：∵为等边三角形，为等腰直角三角形， ∴、、、， ∴是等腰三角形，且顶角， ∴，故①正确； ∵，，即， ∴， ∴，， ∴， 由知，故②错误； 记与的交点为， 由且知， 则， 在和中， ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴，故④正确； 在中，设，则、， 设， ∵， ∴， 中，∵、， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 整理，得：， 由得，即，故⑤正确； 综上所述：正确的说法有①③④⑤， 故选：B． 【点睛】本题主要考查等腰三角形与等边三角形的性质、全等三角形、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是掌握等腰三角形与等边三角形的性质、全等三角形与相似三角形的判定与性质等知识点． 18．（21-22九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图所示，在中，，相交于点O，E是的中点，连接并延长交于点F，已知，则下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的是（    ） A．①②③④ B．①④ C．②③④ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，根据相似三角形的性质得到＝，等量代换得到，于是得到＝；故①正确；根据相似三角形的性质得到；故②正确；根据三角形的面积公式得到，故③正确；由于与只有一个角相等，于是得到与不一定相似，故④错误． 【详解】解：∵在中，则，， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴＝， ∵， ∴， ∴；故①正确； ∵，， ∴；故②正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵，，， ∴， ∴与不一定相似，故④错误， 故选：D． 19．（23-24九年级上·山东日照·阶段练习）如图，正方形中，，点在边上，，将沿对折至，延长交边于点，连接，给出以下结论：①；②；③；④其中所有正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，勾股定理,掌握正方形的性质是解题的关键. 根据正方形的性质和折叠的性质可得 ，于是根据“”判定 ，再由为直角三角形，可通过勾股定理列方程求出, ，进而求出，再抓住是等腰三角形，而显然不是等腰三角形，判断④是错误的，问题得解. 【详解】如图，由折叠可知，， ∴， 在和中， ， ∴, 即，故①正确； ∵正方形边长是， ∴， 设，则，， 由勾股定理得： ，即: ， 解得: ， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴是等腰三角形， 又∵，，， ∴不是等腰三角形， ∴与不相似，故④错误； 综上可知正确的结论的是个. 故选C. 20．（23-24九年级上·福建漳州·阶段练习）如图，正方形的边长是3，，连接、交于点O，并分别与边、交于点F、E，连接，下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由正方形的性质，易证，得到，进而得出，即可判断①结论；先证明，推出，再证明，得到，即可判断②结论；证明，得出，再利用三角形的三边关系，得出，即可判断③结论；根据直角三角形的特征，分别得到，，，进而得出的长，即可判断④结论． 【详解】解：正方形的边长是3， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ，①结论正确； 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，②结论正确；     ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，③结论错误； ，，， ， ， ， ， ， ，④结论错误； 综上可知，正确结论为①②，共2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，灵活运用相关知识解决问题是解题关键． 【题型六】利用相似的性质与判定证明 21．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）钉板作为益智教具，颇受大众青睐．如图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长度的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E． (1)求证：； (2)试求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）设钉点，证明，推出，证明，即可得到结论； （2）证明，利用勾股定理求得的长，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】（1）证明：如图，设钉点， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， 在中， ， ，即， ． 22．（2023·福建福州·一模）如图，等边三角形的边长为3，点P为上的一点，点D为上的一点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出． （1）由等边三角形和得，，在中，，由此可得．因此，则； （2）由（1）的结论可得，从而可以求出线段的长． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵等边三角形边长为3，， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图1，已知，点D在BC上，且，，AC与DE相交于点F，连接CE． (1)求∠DCE的度数（用含的代数式表示）； (2)求证：； (3)如图2，若，判断△ADF的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)是等腰三角形，理由见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）根据等腰三角形的性质得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论； （3）如图2，过D作，根据平行线的性质得到，根据相似三角形的性质得到，证得，得到，证得，由（1）知，根据全等三角形的性质得到，，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）解：，， ，， 在与中， ， ， ， ； （2）证明：，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：是等腰三角形， 理由：如图，过D作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 由（1）知， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 是等腰三角形． 【点睛】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理等，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理并作出适当的辅助线是解题的关键． 24．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）已知等边，E，F分别在边、上，将沿折叠，A点落在边上的D处． (1)求证：； (2)若时，求． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）根据等边三角形的性质与折叠的性质得到，，进而证明，即可证明； （2）设，则，得到的边长为，根据相似三角形的周长比等于相似比即可得到． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵沿折叠得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：设，则， ∴的边长为， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形的外角定理，折叠的性质等知识．熟知相关知识，特别是相似三角形的判定与性质定理是解题关键． 【题型七】利用相似的性质与判定求线段比值 25．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平行四边形 ，是上一点，且，连接并延长交延长线于点,则值为(      ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．设，证明即可得到答案． 【详解】解：平行四边形 ， ，， ， ， ， ， 设，故， ， ． 故选：C． 26．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在菱形中，，，，垂足为E，与交于点F，则值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质可求出结论． 【详解】解：设与相较于O，    ∵四边形是菱形，，，， ∴，，， 由勾股定理得到：， 又∵，， ∴，即， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质；证明是解决问题的关键． 27．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，是由20个边长为1的正方形组成的的网格．的三个顶点都在正方形的顶点上，若的三个顶点也都是图中正方形的顶点，且，记，则k的所有可能值为 ． 【答案】1或 【分析】题目主要考查相似三角形的判定和性质，勾股定理与网格问题，根据题意，进行分情况分析是解题关键． 【详解】解：如图所示： 当时， ∵， ∴， ∴； 如图所示： 当时， ∵， ∴， ∴； 故答案为：1或． 28．（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，将含30°的直角三角尺放在矩形中，三角尺的30°角的顶点与点B重合，其它角的顶点分别在和边的点E，F处，若点E恰好为的中点，则值为 ． 【答案】/ 【分析】先根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理得到，再证明，得到，再由点E恰好为的中点，推出，进而推出，由此即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点E恰好为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，证明，得到是解题的关键． 29．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）综合与实践 数学实践课堂上，张老师从一道基础题入手，通过不断变化题目，引导学生们发现解决此类问题的图形中的基本图形，进而通过构造基本图形，解决问题． (1)基础题： 如图1，于点B，于点D，P是上一点，． ①若，则与的关系为 ． ②若，且，则 ． (2)构造应用 ①如图2，点E是正方形边上一点，与交于点G，连接，请直接写出 °． ②如图3，沿的边向外作矩形和矩形，，连接是边上的高，延长交于点K，求证：K是中点，并直接写出与的数量关系： ． (3)综合应用 如图4，在矩形中，，点E是边上的动点（点E不与点A、D重合），连接，过点E作，交于点F，连接，过点B作，垂足为G，点M是边的中点．请直接写出当值最小时的值为： ． 【答案】(1)①；② (2)①45；② (3)或 【分析】（1）①根据垂直的定义及同角的余角相等推出，由此证明； ②根据证得，由此得到； （2）①如图，在边上取点H，使，连接，证明，推出，即可求出的度数； ②过E作的延长线于M，的延长线于N．证明，推出，得到，，同理，，，得到，即可证得，推出，即K是中点；根据得出； （3）连接．先证明．确定出点G在以点M为圆心，3为半径的圆上．当A，G，M三点共线时，．此时，取最小值．在中利用勾股定理即可求出，过点G作交于点H．即有．则有，根据，可得，进而求出．由得，即可求出．再证得 ，推出，，则，解方程即可求出． 【详解】（1）①∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为； ②∵， ∴， ∴， 故答案为； （2）①如图，在边上取点H，使，连接， ∵正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为45； ②如图，过E作的延长线于M，的延长线于N． ∴， ∵，， ∴， 又∵ ∴ ∴， ∴，， 同理，， ∴， ∵， ∴， ∴，即K是中点； ∵ ∴， 故答案为 （3）解：如图，连接． ∵， ∴是直角二角形． ∴． ∴点G在以点M为圆心，3为半径的圆上． 当A，G，M三点不共线时，由三角形两边之和大于第三边得： ， 当A，G，M三点共线时，． 此时，取最小值．在中，． ∴的最小值为5． 如图，过点G作交于点H． ∴． ∴， ∵的最小值为5，即，， ∴． ∴． 由得， ∴，即， 解得． ∴． ∵， ∴， ∴ ∴． 设，则， ∴， 解得或． ∴或． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正方形的性质，正确掌握各判定和性质定理及正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 【题型八】利用相似的性质与判定求最值 30．（2024·江苏无锡·二模）如图，在平面直角坐标系中，，B为x轴正半轴上的动点，以为边在第一象限内作使得，，连接，则长的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】过点作，交过点平行于轴的直线于点，证明，得到，进而求出的长，取的中点，连接，斜边上的中线求出的长，勾股定理求出，根据，进行求解即可． 【详解】解：过点作，交过点平行于轴的直线于点， 则：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 取的中点，连接，则：， ∵， ∴， 在中，由勾股定理，得：； ∵， ∴长的最大值为8； 故选C． 【点睛】本题考查坐标与图形，勾股定理，斜边上的中线，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造相似三角形，是解题的关键． 31．（2024·江苏镇江·二模）如图，中，，边上的高为18，点D、E是边上的动点，且，点F为边上的一点，连接，则面积的最大值为 ． 【答案】54 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、二次函数的最值、三角形的面积等知识点，熟知相似三角形对应高之比等于相似比是解题的关键． 过点A作于点H，交于点G，由证得，再根据相似三角形对应高之比等于相似比得出，设,即可用含x的代数式表示，然后根据三角形面积公式计算，最后根据二次函数的最值计算即可． 【详解】解：如图，过点A作于点H，交于点G， ∵， ∴， ∴， 设, ∵，边上的高为18， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的面积有最大值，当时，面积最大，最大值为54． 故答案为：54． 32．（23-24九年级下·甘肃定西·阶段练习）【特例感知】 （1）如图1，已知和都是等边三角形，直接写出线段与的数量关系是 ． 【类比迁移】 （2）如图2，和都是等腰直角三角形，，请写出线段与的数量关系，并说明理由． 【方法运用】 （3）如图3，若是线段外一动点，，连接．若将绕点逆时针旋转得到，连接，求出的最大值． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判断，相似三角形的性质和判断，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）根据题意证明出，然后求解即可； （2）根据题意证明出，然后利用相似三角形的性质求解即可； （3）过点A作，使，连接，，，．首先证明出，然后得到点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，当在的延长线上时，的值最大，进而求解即可． 【详解】解：（1）∵和是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）， 证明：如图2，和是等腰直角三角形，， ∴， ∴即， ∵，， ∴，， 即， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图3，过点A作，使，连接，，，． ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆． ∴当在的延长线上时，的值最大， 最大值为． 33．（2024·湖北黄石·三模）（1）如图①，和为等腰直角三角形，，求证：． （2）如图②，，，试探究线段与线段的关系，并加以证明． （3）如图③，，，求的最大值．    【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3） 【分析】（1）证明，则； （2）证明，则，，证明，则，， 由，可得，即； （3）如图,过点C作，在上取点E使，连接．由（2）知：，则，，由勾股定理得，，则，即最大值为，进而可求的最大值． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，， ∴ ， ∴， ∴，即； （3）解：如图,过点C作，在上取点E使，连接．    由（2）知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴最大值为， ∴的最大值为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系等知识．熟练掌握了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系是解题的关键． 【题型九】利用相似的性质与判定解决几何动点问题 34．（2024·河南南阳·二模）如图，在矩形中，，，M、N分别是边上的动点且．连接．则最小值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查矩形性质，勾股定理，平行四边形判定及性质，相似三角形判定及性质，最短距离问题．根据题意因不在一条直线上，只需将两条线转化在同一条直线上，作，使得，连接，由边的关系，继而当点三点共线时，有最小值，继而利用勾股定理和相似三角形即可得到本题答案． 【详解】解：过点作，使得，连接，令交于点， ∵矩形中，，， 设，则， 当三点共线时，的值最小， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点三点共线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴ 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴最小值为：10 故答案为：10． 35．（2024·湖南衡阳·模拟预测）如图（1），在四边形中，，，，，，动点P从点D开始沿边匀速运动，动点Q从点A开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为．点P和点Q同时出发，设运动的时间为t（s），． ‍ (1)用含t的代数式表示； (2)当以点A，P，Q为顶点的三角形与相似时，求t的值； (3)如图（2），延长，两延长线相交于点M，当为直角三角形时，求t的值． 【答案】(1) (2)或 (3)当或时，为直角三角形 【分析】本题属于相似形综合题，主要考查相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质，勾股定理等知识，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题关键，本题第（2）（3）问要注意分类讨论． （1）作于，得四边形是矩形，根据矩形的性质得，，由勾股定理得，即可求出； （2）①当时，得到，得出以点、、为顶点的三角形与相似的值；②当时，得到，得出以点、、为顶点的三角形与相似的值； （3）①当时，即为直角三角形，过作于，根据相似三角形的判定得，由相似三角形性质推出，又由，根据相似三角形的性质得，从而当时，，即为直角三角形；②当时，即为直角三角形，根据相似三角形得判定得，根据相似的性质可得． 【详解】（1）解：如图（1）作于， ∵，， ∴， 四边形是矩形， ，， ， ， 由题意得：； （2）解：①当时，， ， 解得； ②当时，， ， 解得． 综上所述，当或时，以点A，P，Q为顶点的三角形与相似； （3）①当时，即为直角三角形． 如图（2），过作于， ， 当时，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， 解得， 经检验，是分式方程的解， 当时，，即为直角三角形； ②当时，即为直角三角形， 如图（3）所示，作于点， ，， ， ， ， 解得， 经检验，是分式方程的解， 当时，，即为直角三角形， 综上所述，当或时，为直角三角形． 36．（23-24九年级上·山东聊城·阶段练习）已知，动点从点开始在线段上以每秒2个单位的速度向点移动，同时动点从点开始在线段上以每秒1个单位的速度向O点移动，设点移动时间为秒．当为何值时，以点为顶点的三角形与相似？ 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的性质，利用相似三角形的性质的出关于的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．根据相似三角形的性质，可得关于的方程，根据解方程，可得答案． 【详解】解：由题意可得， 所以， ①当时，，即 ②当时，，即． 所以，当或时，以点为顶点的三角形与相似 37．（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，在中，、为边上的两个动点，． (1)若（即、重合），则 °时，； (2)若，，则与相似吗？为什么？ (3)当和满足怎样的数量关系时，？请说明理由． 【答案】(1) (2)结论：．证明见解析 (3)结论：．理由见解析 【分析】（1）根据等角的余角相等可得，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形即可证明； （2）根据有三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个角都是可得，推得，，根据三角形的内角和是可求得，推得，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形即可证明； （3）根据等边对等角可得，推得，根据相似三角形的对应角相等可得，推得，根据三角形的内角和是可求得，即可求解． 【详解】（1）当时，． 理由：如图： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． （2）结论：． 理由：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）结论：． 理由：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 即． 【点睛】本题考查了等角的余角性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等边对等角，熟练掌握相似三角形的对应角相等和三角形的内角和定理是解题的关键． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$