第15讲 利用相似三角形解决实际问题（9题型）【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版）

第15讲 利用相似三角形解决实际问题 【热考题型】 【题型一】杠杆问题 1．（22-23九年级上·山东济南·期中）图1是小玉制作的简易投石机的示意图，是杠杆，点A为支点，，支架垂直于地面，且．如图2，当投石机准备时，点G恰好与点B重合，且此时和互相垂直，线段（） A．4 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】先求出及的长，再证明，再根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】解： ， ， ， ， 又 ∴= ∵=， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 2．（23-24九年级上·山东济南·期中）如图①是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上撬起，石头就被撬动了．在图②中，杠杆的D端被向上撬起的距离，动力臂与阻力臂满足（与相交于点O），要把这块石头撬起，至少要将杠杆的C点向下压 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形相似的判定及性质，由两角对应相等的三角形相似得，由三角形相似的性质得，即可求解；掌握判定方法及性质是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， 解得：， 故答案：． 3．（23-24九年级上·山西大同·期末）阿基米德曾说过：“给我一个支点和一根足够长的杆子，我就能撬起整个地球．”这句话的意思是利用物理学中的杠杆原理，只要有合适的支点和合适的工具，就可以把地球轻松搬动．如图1，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上翘起，石头就被翘动了．在图2中，杠杆的D端被向上翘起的距离，动力臂与阻力臂满足（与相交于点O），则的长为 cm．    【答案】21 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，正确地构造相似三角形是解题的关键．首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得的长度． 【详解】解：由题意得，， ， ， ， ， cm． 故答案为：21． 4．（22-23九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，是一个杠杆，可绕支点自由转动，当处于图中的位置时，点到点的水平距离，点到点的水平距离，若已知杠杆的段长为2.5，则杠杆的段长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，从实际问题中抽离出数学图形是解题的关键．证明，从而得到，代入数值即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，，段长为2.5， ∴， ∴． 故答案为：5． 5．（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图1，在中，G是的中点，E是的中点，的延长线交于D，求    （1）解：过G作，交于F． 请继续完成解答过程： （2）创新求解：利用“杠杆平衡原理” 解答本题：（如图2）设G点为杠杆的支点，B端所挂物体质量为；则C端所挂物体质量为，G点承受质量为；当E点为杠杆的支点，则A端所挂物体质量为； 再以D为杠杆的支点时，．应用：如图3，在中，G是上一点，E是上一点，的延长线交于D，且，，求 解：设G点为杠杆的支点，B端所挂物体质量为，则C端所挂物体质量为 ，G点承受质量为 ；当E点为杠杆的支点，则A端所挂物体质量为 ；再以D为杠杆的支点时， ． 【答案】（1）；（2）4，10，5，． 【分析】（1）如图1，过G作，交于F，得到△EFG∽△ADE，根据相似三角形的想知道的，求得，根据，得到，即可得到结论； （2）根据题目中提供的解题思路和方法，结合（1）的结论即可得到答案． 【详解】解：（1）如图1，过G作，交于F， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵G是的中点， ∴， ∴；    图2 （2）设G点为杠杆的支点，B端所挂物体质量为， ∵， ∴C端所挂物体质量：B端所挂物体质量， ∴C端所挂物体质量，G点承受质量端所挂物体质量端所挂物体质量； 当E点为杠杆的支点， ∵， ∴A端所挂物体质量：G点承受质量， ∴A端所挂物体质量； 以D为杠杆的支点时，端所挂物体质量：A端所挂物体质量． 故答案为4，10，5，． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，学生的阅读理解能力，正确理解题意并能根据例子解决问题是解题的关键． 【题型二】建筑物问题 6．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，晓波拿着一根笔直的小棍，站在距某建筑物约30米的点N处（即米），把手臂向前伸直且让小棍竖直，，晓波看到点B和建筑物顶端D在一条直线上，点C和底端E在一条直线上．已知晓波的臂长约为60厘米，小棍的长为24厘米，，，．求这个建筑物的高度． 【答案】这个建筑物的高度为12米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，正确理解题意是解题的关键．过点A作，交于点F，垂足为G，根据，得到，根据相似三角形的性质列方程并求解，即得答案． 【详解】如图，过点A作，交于点F，垂足为G， 由题意，得厘米米，米，厘米米， ， ， ， ， 米． 答：这个建筑物的高度为12米． 7．（2024·陕西西安·模拟预测）慕梓睿与走走要测量一建筑物的高度，如图，慕梓睿在点A处测得此建筑物最高点C的仰角，再沿正对建筑物方向前进到达B处（即），测得最高点C的仰角；走走在点G处竖立标杆，当走走的所在位置点D，标杆顶F，最高点C在一条直线上时，测得，． (1)求此建筑物的高度； (2)求走走与建筑物之间的距离． （注：结果精确到，参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形仰角俯角问题，三角形相似的判定与性质； （1）在中，可得，从而，在中，利用列出关于的方程，即可解决问题； （2）先证，根据相似三角形的性质列出关于的方程，即可解决问题． 【详解】（1）解：在中， ， ， ， ， 在中， ， ， 解得； 答：此建筑物的高度约为； （2）由题意知：，， ， ，即， 解得， 答：小亮与建筑物之间的距离约是． 8．（21-22九年级上·陕西西安·期中）某校社会实践小组为测量一建筑物（图2）的高度，测量示意图如图1所示，在地面上处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆，这时地面上的点、标杆的顶端点、该建筑物的顶部正好在同一直线上，测得米，将标杆向后平移到点处，这时地面上的点、标杆的顶端点、该建筑物的顶部正好又在同一直线上，这时测得米，米，已知点、点、点、点与该建筑物底部的点在同一直线上，，，，请你根据以上数据，计算该建筑物的高度．    【答案】米 【分析】首先证明，由相似三角形的性质可得，代入数值可得；再证明，由相似三角形的性质可得，代入数值并整理可得，易得，可解得的值，即可获得答案． 【详解】解：根据题意得米，米，米，米， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，解得米， ∴米． 【点睛】本题主要考查了运用相似三角形解决实际问题，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 9．（21-22九年级上·陕西咸阳·期中）如图，小明想测量河对岸建筑物的高度，在地面上处放置了一块平面镜，然后从点向后退了2.4米至处，小明的眼睛恰好看到了镜中建筑物的像，在处做好标记，将平面镜移至处，小明再次从点后退2.52米至处，眼睛恰好又看到了镜中建筑物顶端的像，已知小明眼睛距地面的高度，均为1.6米.，，，点、在一条直线上，求建筑物的高度（平面镜的大小和厚度忽略不计） 【答案】建筑物的高度为32m 【分析】证明出，求出，进一步证明，建立等式求解． 【详解】解：根据题意知，， ∴ ∴，即， ∴ 根据题意知，，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴建筑物的高度为32m 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，相似三角形的应用等知识，正确作出辅助线构造直角三角形，证明是解题的关键． 【题型三】树高问题 10．（2024·陕西西安·模拟预测）周末，小英与小淇同学逛公园时注意到一棵树，她们打算利用所学知识测量树高，为此找来了平面镜、直木棍、皮尺等工具．如图，小英先将平面镜（厚度不计）平放在水平地面的点D处，小淇站在点B处，通过平面镜从点A观察到树的顶端点M，随后小英在点D处竖直放置一根木棍，小淇从点A观察到术棍顶端点C与树的底端点N在同一直线上．已知，图中所有点均在同一平面内，求树的高．（光的反射角等于入射角） 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用．根据，可得，再根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：根据题意可知， ， ． 代入数据，得①，②， 解得， ∴树的高为． 11．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）教学楼旁边有一棵树，课外数学兴趣小组的同学在阳光下测得一根长为的竹竿的影长为，在同一时刻他们测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，如图所示，经过一番争论，该小组的同学认为继续测量也可以求出树高，他们测得落在地面上的影长为，落在墙壁上的影长为，并画出了几何图形，图中线段长为树高，长为墙壁上的影子长，请你和他们一起计算一下树高多少米？    【答案】4.2米 【分析】本题考查了物高与影长成正比，过D作于点E，连接 求解即可． 【详解】解：过D作于点E，连接，    由题意知 又∵， ∴四边形为矩形． ∴，， ∴， ∴， ∴（米） 答：树高为米． 12．（2024九年级下·浙江·专题练习）学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米．    (1)小丽先调整自己的位置至点P，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为A、B、C（如图①），斜边平行于地面（点M、P、E、N在一直线上），且点D在边（较长直角边）的延长线上，此时测得边距离地面的高度为1.5米，小丽与古树的距离为16米，求古树的高度； (2)为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点Q，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为（如图②），使直角边（较短直角边）平行于地面（点M、Q、E、N在一直线上），点D在斜边的延长线上，且测得此时边距离地面的高度依然是1.5米，那么小丽向前移动了多少米？ 【答案】(1)古树的高度为13.5米 (2)小丽向前移动了7米 【分析】本题考查了相似三角形的应用和勾股定理的应用： （1）先在中，由勾股定理求得，再利用和相似求得的长，加上，即可求得树高； （2）利用和相似求得的长，即可求得小丽向前移动了多少米． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 在中， ∵， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：古树的高度DE为13.5米； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：小丽向前移动了7米． 13．（21-22九年级上·河南平顶山·期中）阅读下面材料，完成学习任务． 数学活动：测量树的高度． 在物理学中我们学过光的反射定律，数学综合实践小组想利用光的反射定律测量池塘对岸一棵树的高度，测量和计算的部分步骤如下： ①如图，在地面上的点处放置了一块平面镜，小华站在的延长线上，当小华从平面镜中刚好看到树的顶点时，测得小华到平面镜的距离，小华的眼睛到地面的距离； ②将平面镜从点沿的延长线移动到点处，小华向后移动到点处时，小华的眼睛又刚好在平面镜中看到树的顶点，这时测得小华到平面镜的距离； ③计算树的高度：设，． ，， ． 任务：请你根据材料中得到的测量数据和计算步骤，将剩余的计算部分补充完整． 【答案】米，见解析 【分析】根据题意得出，利用相似三角形的性质得出，的长进而得出答案． 【详解】解：设米，米． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． ∴， 解得． 把代入， 得， 解得． 答：树的高度为． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是学会设未知数，构建方程组解决问题． 【题型四】河宽问题 14．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）下表是小明填写的综合实践活动报告的部分内容． 题目 测量河流宽度 目标 示意图 测量数据 ，， (1)下面是小亮借助小明的测量数据求河流宽度AB的过程，小亮检查自己的解题过程时发现有错误，开始出现错误的是第______步； 解：由已知得，， ∴．        ……第一步 又∵， ∴，        ……第二步 ∴，                ……第三步 解得．                ……第四步 (2)请你求出河流宽度的长． 【答案】(1)三 (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的应用： （1）根据题意可得：开始出现错误的是第三步； （2）先证明，再利用相似三角形对应边成比例，即可求解． 【详解】（1）解：开始出现错误的是第三步； 故答案为：三 （2）解：由已知得，， ∴．       又∵， ∴，         ∴， ∵，，， ∴ ， 解得：． 15．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）榆林市境内有大小53条河流汇入黄河，无定河是其中较大的河流之一．如图，某同学想测量无定河某段的宽度，他先从B处出发，沿着与垂直的河岸l走120米到达点C处，然后沿着与l垂直的方向走到点D处，再从点D处出发，沿着与l平行的方向走6米到达点E处时，发现A、C、E三点恰好在一条直线上，测得米，已知A、B、C、D、E在同一水平面内，试求无定河该段的宽度．    【答案】无定河该段的宽度米． 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，勾股定理．由题意易得，然后根据相似三角形的性质结合勾股定理可进行求解． 【详解】解：由题意得：，米，米， ∴， ∴， ∴，即， ∴米， ∴米； 答：无定河该段的宽度米． 16．（22-23八年级下·云南昭通·期末）为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学活动小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点B处测得河北岸的树AB恰好在B的正北方向，测量方案如下表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 观测者从B点向东走到点，此时测得点恰好在东南方向上． 观测者从B点出发，沿着南偏西的方向走到点，此时恰好测得． 观测者从B点向东走到点，在点插上一面标杆，继续向东走相同的路程到达点后，一直向南走到点，使得树、标杆、人在同一直线上． 测量示意图          (1)第一小组认为要知道河宽，只需要知道线段______的长度． (2)第二小组测得米，则______． (3)第三小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第三小组的方案可行吗?如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． 【答案】(1) (2)30米 (3)可行，理由见解析 【分析】（1）由题意得为等腰直角三角形，即可解答； （2）由题意得为等腰三角形，即可解答； （3）由题意得，即可解答． 【详解】（1）解：∵点C恰好在点A东南方向， ∴为等腰直角三角形， ∴要知道河宽，只需要知道线段的长度， 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ， ∴， ∴米， 故答案为：30米； （3）解：可行，理由如下： 在和中， ， ∴， ∴， ∴只要测得就能得到河宽， 故第三小组的方案可行． 【点睛】本题考查了等腰三角形、相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握以上知识点并运用数学结合思想． 17．（2023·山西晋中·模拟预测）如图1，滹沱河是山西地区一条途经了舟山和太行山的知名河流，这条河流的流域面积达到了万平方公里，其发源地处于山西省繁峙县泰戏山桥儿沟村，这条河流早在《山海经》中就有出现过，被叫做为虔池．为了估算河流的宽度，我们在河的对岸选定一个目标，在近岸取点和，使点、、共线且与河垂直，接着在过点且与直线垂直的直线上选择适当的点，确定与过点且与垂直的直线交点．测得，，，请根据这些数据求河的宽度．    【答案】 【分析】根据题意证明，再由相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 解得：， 答：的长为． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 【题型五】影长问题 18．（2024·陕西西安·二模）汉城湖的汉武大帝雕像是国内最大皇帝雕像，如图，五一期间，小泽和小哲同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量汉武大帝雕像的高度，他们经过研究，决定进行如下操作：如图，首先在阳光下，小泽在汉武大帝雕像影子的末端点处竖立一根2.4米的标杆，此时，小哲测标杆的影长米；然后，小泽从点沿方向走了9.6米（米），到达点，在处树立一根2.4米的标杆，接着沿方向走到点处时，恰好看见汉武大帝雕像顶端与点在一条直线上（即，，在一条直线上），此时，小哲测得米，小泽的眼睛到地面距离米．请你根据题中提供的相关信息，求出汉武大帝雕像的高． 【答案】21.6米 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质的应用，先证明，则，设，则，过点作，交于点，交于点，证明四边形为矩形，得到，，再证明，则，得到，解得：，即可得到答案． 【详解】解： 光线 设，则 过点作，交于点，交于点 ，， 四边形为矩形 ， 解得： 答：汉武大帝雕像的高为米. 19．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，王琳同学在晚上由路灯走向路灯，当他行到处时发现，他在路灯下的影长为米，且恰好位于路灯的正下方，接着他又走了米到处，此时他在路灯下的影子恰好位于路灯的正下方（已知王琳身高米，路灯高米）    (1)标出王琳站在处在路灯下的影子； (2)计算王琳站在处在路灯下的影长； (3)计算路灯的高度． 【答案】(1)线段为王琳在站在处路灯下的影子； (2)米； (3)米． 【分析】（）影长为光线与物高相交得到的阴影部分； （）先证，利用对应边成比例可得长； （3）先证，利用对应边成比例可得长，也就是路灯的高度，再利用相似三角形的性质即可求解； 本题主要考查了相似三角形的应用，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定与性质． 【详解】（1）线段为王琳在站在处路灯下的影子； （2）由题意得， ∴， ∴， ∴， 解得：（米）； ∴王琳站在处在路灯下的影长为米； （3）由题意得， ∴， ∴， ∴， 解得：（米）， 答：路灯的高度为米． 20．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，一天晚上，小亮和小明利用家门口路灯的灯光来测量路灯的高，当小明站在处时，小亮测得小明的影长为1米，接着小明向前走了10米到达处，此时，小亮测得小明的影长为3米．已知小明的身高为米，求路灯的高． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，设，则，证明，得到，进而得到，即，解得，则，解之即可得到答案． 【详解】解：设，则， 由题意得，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴路灯的高为． 21．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在的边长为1的小正方形网格中，的三个顶点都在格点上．    (1)直接写出的形状______； (2)若垂足为D，证明：； (3)拓展应用：在A时测得某树（垂直于地面）的影长为4米，C时又测得该树的影长为16米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为______米．（直接写出结果） 【答案】(1)直角三角形 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用勾股定理求得，的长，再利用勾股定理的逆定理即可求解； （2）证明，即可证明； （3）利用（2）的结论即可求解． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴是直角三角形， 故答案为：直角三角形； （2）证明：由（1）知是直角三角形，且， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意得，，米，米， 由（2）得， ∴， ∴米， ∴树的高度为米． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【题型六】实验问题 22．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，光线传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为厘米． (1)求像的长度． (2)已知光线平行于主光轴l，经过凸透镜折射后通过焦点F，求凸透镜焦距的长． 【答案】(1)厘米 (2)厘米． 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，平行四边形的判定与性质等知识点， （1）利用相似三角形的判定与性质，通过证明与△解答即可； （2）过点作交于点E，利用平行四边形的判定与性质和相似三角形的判定与性质解答即可； 熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）由题意得：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴像的长度厘米． （2）过点作交于点E，如图， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴． 同理：四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴（厘米）． ∴凸透镜焦距的长为厘米． 23．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图1，在光的反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角等于入射角．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，林舒同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，手电筒到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中，，，在同一条直线上．    (1)求的长； (2)求点E到地面的高度的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，在实际问题中抽象出相似三角形模型是解答本题的关键． （1）根据光在镜面反射中的反射角等于入射角，得到，利用相似三角形的判定证明，，再利用三角形相似性质列出比例式，得到方程，即可求出答案； （2）由可证，然后利用三角形相似的性质列出比例式，得到方程，即可求出答案． 【详解】（1）光在镜面反射中的反射角等于入射角， ， ， ， ， 即， 解得：， 答：的长为； （2）由题意可得：， ， ， ， 解得：， 答：点到地面的高度的长为． 24．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）小辰同学利用图（1）“光的反射演示器”，直观呈现了光的反射原理．激光笔从左边点处发出光线，经平面镜点处反射后，落在右边光屏上的点处（、两点均在量角器的边缘上，为量角器的中心，、、三点共线，，）．他在实验中记录了以下数据： 水平距离的长为； 铅垂高度的长为； (1)求量角器的半径长； (2)如果小辰想使反射点沿方向下降，求此时激光笔发光点的铅垂高度的长及点沿方向移动的距离． 【答案】(1)； (2)图形见解析，，． 【分析】（）根据勾股定理即可求解； （）利用相似的判定与性质即可求解； 此题考查了相似三角形的性质与判定及勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用． 【详解】（1）设，在中， 由勾股定理得：， 即， ∴； （2）由题意得：， ∵，， ， ∴，即 ∴， 当时， ∴，， ∴，点移动距离：． 25．（20-21九年级上·浙江金华·期中）某校九年级一班的一节数学活动课安排了测量操场上竖直的悬挂国旗的旗杆的高度．甲、乙、丙三个学习小组设计的测量方案如图所示：甲组测得图中米，米，米；乙组测得图中，米，同一时刻影长米，米；丙组测得图中，，，米，米，人的臂长为0.6米，请你任选两种方案，利用实验数据求出该校旗杆的高度． 【答案】30米 【分析】此题三种方案均为把实际问题抽象成三角形相似的问题，解题方法都是利用相似三角形对应边成比例求出结果．采用甲组方案，证明，根据相似三角形对应边成比例列出，然后求出该校旗杆的高度即可；采用乙方案，连接，则，，根据，可得，即可求解；采用丙方案，根据，可得，再由，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：采用甲组方案， 在和中， ∵，， ∴， ∴，即， 解得米， 即该校旗杆的高度为30米． 采用乙方案， 如图，连接，则，， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：米， 即该校旗杆的高度为30米． 采用丙方案， 如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：米， 即该校旗杆的高度为30米． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是构建相似三角形，根据相似三角形的性质列式求解． 【题型七】九章算术/算经问题 26．（2022·福建泉州·一模）我国古代数学著作《九章算法比类大全》有题如下：“方种芝麻斜种黍，勾股之田十亩无零数．九十股差方为界，勾差十步分明许．借问贤家如何取，多少黍田多少芝麻亩．算的二田无误处，智能才华算中举．”大意是：正方形田种芝麻，斜形（三角形）种黍，有一块直角三角形是10亩整．股差步，勾差步．请问黍田、芝麻各多少亩？（1亩平方步）答：（    ）    A．艺麻田3.75亩，黍田6.25亩 B．芝麻田3.25亩，黍田6.75亩 C．芝麻田3.70亩，黍田6.30亩 D．芝麻田3.30亩，黍田6.70亩 【答案】A 【分析】首先判定，然后利用该相似三角形的对应边成比例和求得；然后利用三角形和正方形的面积公式解答． 【详解】解：根据题意知，，则． 又， ． 所以，芝麻田的面积为：（亩． 黍田的面积为： （亩． 综上所述，芝麻田3.75亩，黍田6.25亩． 故选：A． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，解决此问题的关键是在正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 27．（2024·江苏苏州·一模）算经之首《九章算术》中有这样一题：“今有邑方不知大小，各中开门． 出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木．问邑方几何？”其大意为“今有正方形小城，不知其大小，东南西北城墙正中央各开有一城门．出北城门20步处有一棵树，出南城门14步，转而西行1775步恰好能看见那棵树．问正方形小城的边长是多少？”若设正方形小城的边长为步，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程以及相似三角形的实际应用问题，根据题意，画出图形找到等量关系是解题的关键． 设正方形小城的边长为x步，根据出北城门20步处有一棵树，出南城门14步，转而西行1775步恰好能看见那棵树列方程即可得到结论． 【详解】解：设小城的边长为x步，如图所示， 根据题意，，，，，， ， ， ， ， 故选：D． 28．（21-22九年级上·四川达州·期中）《九章算术》是中国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中最重要的一种．中有下列问题：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门八十步有木，出西门二百四十五步见木．问邑方有几何？”意思是：如图，点M、点N分别是正方形ABCD的边AD、AB的中点，，，EF过点A，且步，步，已知每步约40厘米，则正方形的边长约为 米． 【答案】112 【分析】根据题意，可知Rt△AEN∽Rt△FAN，从而可以得到对应边的比相等，从而可以求得正方形的边长． 【详解】解：∵点M、点N分别是正方形ABCD的边AD、AB的中点， ∴， ∴AM=AN， 由题意可得，∠ANF=∠EMA=90°， ∠NAF+∠AFN=∠NAF+∠EAM=90°， ∴∠AFN=∠EAM， ∴Rt△AEM∽Rt△FAN， ∴， ∵AM=AN， ∴， 解得：AM=140， ∴AD=2AM=280（步）， ∴（米） 故答案为：112． 【点睛】本题考查相似三角形的应用、数学常识、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意．利用相似三角形的性质和数形结合的思想解答． 29．（23-24九年级下·福建莆田·开学考试）三国魏人刘徽，自撰《海岛算经》，专论测高望远，其中有一题是数学史上有名的测量问题，今译如下： 如图1，为底部H不可到达的一座山峰，A为山峰的最高点，现要测量山峰的最大高度．立两根高三丈的标杆和，两竿相距步，D，B，H成一线，从退行123步到F点，人目着地观察A点，A，C，F三点共线；从退行127步到G点，从G点看A点，A，E，G三点也共线，试算出山峰的高度及的距离．（古制1步尺，1里=180丈尺步，结果用步来表示） 解：∵，∴，∴____①____， 又∵，∴___②____，∴， 又∵，∴，即，∴（步） 又∵，∴， （步） (1)请补全上述求解过程中①②所缺的内容； (2)爱思考的小明想利用解直角三角形的知识，使用皮尺和自制测量仪（如图2，图3），通过测量长度、角度等几何量，测量一个海岛中的山峰高度．如图4，测量得，求出此座山峰的高度. 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，相似三角形的应用举例： （1）根据求解过程可知，刘徽利用的几何知识是相似三角形的对应边成比例； 先证明得到，再证明得到，进而推出，代值计算求出（步），再由进行求解即可； （2）需要测量，解得到，解得到，由，得到，则，则． 【详解】（1）解：由题意得，刘徽利用的几何知识是相似三角形的对应边成比例 ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即， ∴（步） 又∵，∴， （步） 故答案为：；； （2）解：需要测量， 在中，∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 【题型八】实际生活中抽象出相似 30．（2024·湖南益阳·二模）如图，用一个卡尺（ ，）测量气缸的内孔直径，量得的长为，则内孔直径的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，先证明，再证明，利用相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴且， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 31．（2024·吉林长春·二模）如图①，是生活中常见的人字梯，也称折梯，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，因而把它形象的称为“人字梯”．如图②，是其工作示意图，拉杆米，则两梯杆跨度B、C之间距离为 米． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的应用是解题的关键． 证明，则，即，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， 解得，， 故答案为：． 32．（2022·浙江金华·一模）将一本高为（即）的词典放入高（AB）为的收纳盒中（如图1）．恰好能盖上盒盖时，测得底部F离收纳盒最左端B处，若此时将词典无滑动向右倒，书角的对应点恰为CD中点． （1）收纳盒的长 ； （2）现将若干本同样的词典放入此有盖的收纳盒中，如图2放置，则最多有 本书可与边BC有公共点． 【答案】 cm 7 【分析】（1）由图知，已知，根据得到，在Rt中根据勾股定理得到，从而得到结论； （2）延长交BC于G'，如图2所示，由（1）知在Rt中，， 根据，得到，由得到最多有7本书可与边BC有公共点． 【详解】解：（1）如图所示： 在Rt中，，，，则， ， ， 连接，如图所示： 恰好能盖上盒盖， ， 词典是长方体， ，即， 在Rt中，， ， ， ，即，解得， 将词典无滑动向右倒， ， 书角的对应点恰为CD中点， ， 在Rt中，，，，则， ， 收纳盒的长cm， 故答案为：cm； （2）延长交BC于G'，如图2所示： 由（1）知， ，， 由（1）知 ， ， ， 由（1）知在Rt中，，，，则， ，解得， 由（1）知， ， 最多有7本书可与边BC有公共点． 【点睛】本题考查利用勾股定理及相似的实际运用，涉及到勾股定理求线段长及三角形相似的判定与性质，读懂题意，根据图形作出辅助线，找到直角三角形灵活运用勾股定理及相似求线段长是解决问题的关键． 【题型九】三角形内接矩形问题 33．（23-24九年级上·广西桂林·期中）如图，有一块三角形余料ABC，它的边，高，现在要把它加工成长与宽的比为的矩形零件，要求一条长边在上，其余两个顶点分别在，上，则矩形的周长为 cm． 【答案】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，直接利用相似三角形的判定与性质得出，进而得出，的长，即可得出答案． 【详解】矩形中，，， ∴， ， ， ∵， ， ， ∵矩形零件的长与宽的比为， 设，，则，， ， 解得：， ，， 矩形的周长为：． 故答案为：． 34．（20-21九年级上·广西来宾·期末）如图，有一块三角形的土地，它的一条边米，边上的高米，某单位要沿着边修一座底面是矩形的大楼，点，在边上，点，分别在边，上，若大楼的宽是40米（即米），则这个矩形的面积是 平方米． 【答案】2000 【分析】由于四边形DEFG是矩形，即DG∥EF，此时有∠ADG=∠B，∠AGD=∠C，所以△ADG∽△ABC，利用相似三角形的性质求得线段DG的长，最后求得矩形的面积． 【详解】解：设AH与DE交于点M， 由已知得，DG∥BC ∴∠ADG=∠B，∠AGD=∠C， ∴△ADG∽△ABC， ∵AH⊥BC ∴AH⊥DG，且AM=AH-MH=80-40=40（m） ， 即DG==50（m）， ∴S矩形DEFG=DE×DG=2000（m2）． 故答案为：2000． 【点睛】本题主要考查利用矩形的性质得出两个角相等，进而证明两个三角形相似，再利用相似三角形的性质得出比例关系，最终求得DG或DE的长，进而求得矩形的面积． 35．（20-21九年级上·河北邯郸·期中）如图1，课本中有一道例题：有一块三角形余料，它的边，高．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上．设，用的代数式表示 ，由，可得，再利用相似三角形对应高的比等于相似比，可求得 ． 拓展：原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图2，此时， ． 【答案】 48 【分析】根据相似三角形的性质可得对应高的比等于相似比进行计算，然后根据矩形的性质可设，则，，进行求解即可； 【详解】设，则， ， ∵PN∥BC， ∴， ∴， 即，解得， ∴， 拓展：设，则， ， ∵PN∥BC， ∴， ∴， ∴，解得， ∴； 故答案是：；48；． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，准确分析计算是解题的关键． 36．（22-23八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，有一块三角形土地，它的一条边米，边上的高米．某单位要沿着边修一座底面是矩形的大楼，D、G分别在边上．且大楼的宽与长的比是，求这个矩形的长．    【答案】这个矩形的长米． 【分析】设，则，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：∵大楼的宽与长的比是， ∴设，则， ∵， ∴， 它们的对应高线比等于对应线段的比， 即， ∴， ∴， ∴, ∴这个矩形的长米． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 利用相似三角形解决实际问题 【热考题型】 【题型一】杠杆问题 1．（22-23九年级上·山东济南·期中）图1是小玉制作的简易投石机的示意图，是杠杆，点A为支点，，支架垂直于地面，且．如图2，当投石机准备时，点G恰好与点B重合，且此时和互相垂直，线段（） A．4 B． C．6 D． 2．（23-24九年级上·山东济南·期中）如图①是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上撬起，石头就被撬动了．在图②中，杠杆的D端被向上撬起的距离，动力臂与阻力臂满足（与相交于点O），要把这块石头撬起，至少要将杠杆的C点向下压 ． 3．（23-24九年级上·山西大同·期末）阿基米德曾说过：“给我一个支点和一根足够长的杆子，我就能撬起整个地球．”这句话的意思是利用物理学中的杠杆原理，只要有合适的支点和合适的工具，就可以把地球轻松搬动．如图1，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上翘起，石头就被翘动了．在图2中，杠杆的D端被向上翘起的距离，动力臂与阻力臂满足（与相交于点O），则的长为 cm．    4．（22-23九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，是一个杠杆，可绕支点自由转动，当处于图中的位置时，点到点的水平距离，点到点的水平距离，若已知杠杆的段长为2.5，则杠杆的段长为 ． 5．（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图1，在中，G是的中点，E是的中点，的延长线交于D，求    （1）解：过G作，交于F． 请继续完成解答过程： （2）创新求解：利用“杠杆平衡原理” 解答本题：（如图2）设G点为杠杆的支点，B端所挂物体质量为；则C端所挂物体质量为，G点承受质量为；当E点为杠杆的支点，则A端所挂物体质量为； 再以D为杠杆的支点时，．应用：如图3，在中，G是上一点，E是上一点，的延长线交于D，且，，求 解：设G点为杠杆的支点，B端所挂物体质量为，则C端所挂物体质量为 ，G点承受质量为 ；当E点为杠杆的支点，则A端所挂物体质量为 ；再以D为杠杆的支点时， ． 【题型二】建筑物问题 6．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，晓波拿着一根笔直的小棍，站在距某建筑物约30米的点N处（即米），把手臂向前伸直且让小棍竖直，，晓波看到点B和建筑物顶端D在一条直线上，点C和底端E在一条直线上．已知晓波的臂长约为60厘米，小棍的长为24厘米，，，．求这个建筑物的高度． 7．（2024·陕西西安·模拟预测）慕梓睿与走走要测量一建筑物的高度，如图，慕梓睿在点A处测得此建筑物最高点C的仰角，再沿正对建筑物方向前进到达B处（即），测得最高点C的仰角；走走在点G处竖立标杆，当走走的所在位置点D，标杆顶F，最高点C在一条直线上时，测得，． (1)求此建筑物的高度； (2)求走走与建筑物之间的距离． （注：结果精确到，参考数据：，，） 8．（21-22九年级上·陕西西安·期中）某校社会实践小组为测量一建筑物（图2）的高度，测量示意图如图1所示，在地面上处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆，这时地面上的点、标杆的顶端点、该建筑物的顶部正好在同一直线上，测得米，将标杆向后平移到点处，这时地面上的点、标杆的顶端点、该建筑物的顶部正好又在同一直线上，这时测得米，米，已知点、点、点、点与该建筑物底部的点在同一直线上，，，，请你根据以上数据，计算该建筑物的高度．    9．（21-22九年级上·陕西咸阳·期中）如图，小明想测量河对岸建筑物的高度，在地面上处放置了一块平面镜，然后从点向后退了2.4米至处，小明的眼睛恰好看到了镜中建筑物的像，在处做好标记，将平面镜移至处，小明再次从点后退2.52米至处，眼睛恰好又看到了镜中建筑物顶端的像，已知小明眼睛距地面的高度，均为1.6米.，，，点、在一条直线上，求建筑物的高度（平面镜的大小和厚度忽略不计） 【题型三】树高问题 10．（2024·陕西西安·模拟预测）周末，小英与小淇同学逛公园时注意到一棵树，她们打算利用所学知识测量树高，为此找来了平面镜、直木棍、皮尺等工具．如图，小英先将平面镜（厚度不计）平放在水平地面的点D处，小淇站在点B处，通过平面镜从点A观察到树的顶端点M，随后小英在点D处竖直放置一根木棍，小淇从点A观察到术棍顶端点C与树的底端点N在同一直线上．已知，图中所有点均在同一平面内，求树的高．（光的反射角等于入射角） 11．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）教学楼旁边有一棵树，课外数学兴趣小组的同学在阳光下测得一根长为的竹竿的影长为，在同一时刻他们测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，如图所示，经过一番争论，该小组的同学认为继续测量也可以求出树高，他们测得落在地面上的影长为，落在墙壁上的影长为，并画出了几何图形，图中线段长为树高，长为墙壁上的影子长，请你和他们一起计算一下树高多少米？    12．（2024九年级下·浙江·专题练习）学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米．    (1)小丽先调整自己的位置至点P，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为A、B、C（如图①），斜边平行于地面（点M、P、E、N在一直线上），且点D在边（较长直角边）的延长线上，此时测得边距离地面的高度为1.5米，小丽与古树的距离为16米，求古树的高度； (2)为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点Q，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为（如图②），使直角边（较短直角边）平行于地面（点M、Q、E、N在一直线上），点D在斜边的延长线上，且测得此时边距离地面的高度依然是1.5米，那么小丽向前移动了多少米？ 13．（21-22九年级上·河南平顶山·期中）阅读下面材料，完成学习任务． 数学活动：测量树的高度． 在物理学中我们学过光的反射定律，数学综合实践小组想利用光的反射定律测量池塘对岸一棵树的高度，测量和计算的部分步骤如下： ①如图，在地面上的点处放置了一块平面镜，小华站在的延长线上，当小华从平面镜中刚好看到树的顶点时，测得小华到平面镜的距离，小华的眼睛到地面的距离； ②将平面镜从点沿的延长线移动到点处，小华向后移动到点处时，小华的眼睛又刚好在平面镜中看到树的顶点，这时测得小华到平面镜的距离； ③计算树的高度：设，． ，， ． 任务：请你根据材料中得到的测量数据和计算步骤，将剩余的计算部分补充完整． 【题型四】河宽问题 14．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）下表是小明填写的综合实践活动报告的部分内容． 题目 测量河流宽度 目标 示意图 测量数据 ，， (1)下面是小亮借助小明的测量数据求河流宽度AB的过程，小亮检查自己的解题过程时发现有错误，开始出现错误的是第______步； 解：由已知得，， ∴．        ……第一步 又∵， ∴，        ……第二步 ∴，                ……第三步 解得．                ……第四步 (2)请你求出河流宽度的长． 15．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）榆林市境内有大小53条河流汇入黄河，无定河是其中较大的河流之一．如图，某同学想测量无定河某段的宽度，他先从B处出发，沿着与垂直的河岸l走120米到达点C处，然后沿着与l垂直的方向走到点D处，再从点D处出发，沿着与l平行的方向走6米到达点E处时，发现A、C、E三点恰好在一条直线上，测得米，已知A、B、C、D、E在同一水平面内，试求无定河该段的宽度．    16．（22-23八年级下·云南昭通·期末）为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学活动小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点B处测得河北岸的树AB恰好在B的正北方向，测量方案如下表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 观测者从B点向东走到点，此时测得点恰好在东南方向上． 观测者从B点出发，沿着南偏西的方向走到点，此时恰好测得． 观测者从B点向东走到点，在点插上一面标杆，继续向东走相同的路程到达点后，一直向南走到点，使得树、标杆、人在同一直线上． 测量示意图          (1)第一小组认为要知道河宽，只需要知道线段______的长度． (2)第二小组测得米，则______． (3)第三小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第三小组的方案可行吗?如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． 17．（2023·山西晋中·模拟预测）如图1，滹沱河是山西地区一条途经了舟山和太行山的知名河流，这条河流的流域面积达到了万平方公里，其发源地处于山西省繁峙县泰戏山桥儿沟村，这条河流早在《山海经》中就有出现过，被叫做为虔池．为了估算河流的宽度，我们在河的对岸选定一个目标，在近岸取点和，使点、、共线且与河垂直，接着在过点且与直线垂直的直线上选择适当的点，确定与过点且与垂直的直线交点．测得，，，请根据这些数据求河的宽度．    【题型五】影长问题 18．（2024·陕西西安·二模）汉城湖的汉武大帝雕像是国内最大皇帝雕像，如图，五一期间，小泽和小哲同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量汉武大帝雕像的高度，他们经过研究，决定进行如下操作：如图，首先在阳光下，小泽在汉武大帝雕像影子的末端点处竖立一根2.4米的标杆，此时，小哲测标杆的影长米；然后，小泽从点沿方向走了9.6米（米），到达点，在处树立一根2.4米的标杆，接着沿方向走到点处时，恰好看见汉武大帝雕像顶端与点在一条直线上（即，，在一条直线上），此时，小哲测得米，小泽的眼睛到地面距离米．请你根据题中提供的相关信息，求出汉武大帝雕像的高． 19．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，王琳同学在晚上由路灯走向路灯，当他行到处时发现，他在路灯下的影长为米，且恰好位于路灯的正下方，接着他又走了米到处，此时他在路灯下的影子恰好位于路灯的正下方（已知王琳身高米，路灯高米）    (1)标出王琳站在处在路灯下的影子； (2)计算王琳站在处在路灯下的影长； (3)计算路灯的高度． 20．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，一天晚上，小亮和小明利用家门口路灯的灯光来测量路灯的高，当小明站在处时，小亮测得小明的影长为1米，接着小明向前走了10米到达处，此时，小亮测得小明的影长为3米．已知小明的身高为米，求路灯的高． 21．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在的边长为1的小正方形网格中，的三个顶点都在格点上．    (1)直接写出的形状______； (2)若垂足为D，证明：； (3)拓展应用：在A时测得某树（垂直于地面）的影长为4米，C时又测得该树的影长为16米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为______米．（直接写出结果） 【题型六】实验问题 22．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，光线传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为厘米． (1)求像的长度． (2)已知光线平行于主光轴l，经过凸透镜折射后通过焦点F，求凸透镜焦距的长． 23．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图1，在光的反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角等于入射角．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，林舒同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，手电筒到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中，，，在同一条直线上．    (1)求的长； (2)求点E到地面的高度的长． 24．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）小辰同学利用图（1）“光的反射演示器”，直观呈现了光的反射原理．激光笔从左边点处发出光线，经平面镜点处反射后，落在右边光屏上的点处（、两点均在量角器的边缘上，为量角器的中心，、、三点共线，，）．他在实验中记录了以下数据： 水平距离的长为； 铅垂高度的长为； (1)求量角器的半径长； (2)如果小辰想使反射点沿方向下降，求此时激光笔发光点的铅垂高度的长及点沿方向移动的距离． 25．（20-21九年级上·浙江金华·期中）某校九年级一班的一节数学活动课安排了测量操场上竖直的悬挂国旗的旗杆的高度．甲、乙、丙三个学习小组设计的测量方案如图所示：甲组测得图中米，米，米；乙组测得图中，米，同一时刻影长米，米；丙组测得图中，，，米，米，人的臂长为0.6米，请你任选两种方案，利用实验数据求出该校旗杆的高度． 【题型七】九章算术/算经问题 26．（2022·福建泉州·一模）我国古代数学著作《九章算法比类大全》有题如下：“方种芝麻斜种黍，勾股之田十亩无零数．九十股差方为界，勾差十步分明许．借问贤家如何取，多少黍田多少芝麻亩．算的二田无误处，智能才华算中举．”大意是：正方形田种芝麻，斜形（三角形）种黍，有一块直角三角形是10亩整．股差步，勾差步．请问黍田、芝麻各多少亩？（1亩平方步）答：（    ）    A．艺麻田3.75亩，黍田6.25亩 B．芝麻田3.25亩，黍田6.75亩 C．芝麻田3.70亩，黍田6.30亩 D．芝麻田3.30亩，黍田6.70亩 27．（2024·江苏苏州·一模）算经之首《九章算术》中有这样一题：“今有邑方不知大小，各中开门． 出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木．问邑方几何？”其大意为“今有正方形小城，不知其大小，东南西北城墙正中央各开有一城门．出北城门20步处有一棵树，出南城门14步，转而西行1775步恰好能看见那棵树．问正方形小城的边长是多少？”若设正方形小城的边长为步，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 28．（21-22九年级上·四川达州·期中）《九章算术》是中国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中最重要的一种．中有下列问题：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门八十步有木，出西门二百四十五步见木．问邑方有几何？”意思是：如图，点M、点N分别是正方形ABCD的边AD、AB的中点，，，EF过点A，且步，步，已知每步约40厘米，则正方形的边长约为 米． 29．（23-24九年级下·福建莆田·开学考试）三国魏人刘徽，自撰《海岛算经》，专论测高望远，其中有一题是数学史上有名的测量问题，今译如下： 如图1，为底部H不可到达的一座山峰，A为山峰的最高点，现要测量山峰的最大高度．立两根高三丈的标杆和，两竿相距步，D，B，H成一线，从退行123步到F点，人目着地观察A点，A，C，F三点共线；从退行127步到G点，从G点看A点，A，E，G三点也共线，试算出山峰的高度及的距离．（古制1步尺，1里=180丈尺步，结果用步来表示） 解：∵，∴，∴____①____， 又∵，∴___②____，∴， 又∵，∴，即，∴（步） 又∵，∴， （步） (1)请补全上述求解过程中①②所缺的内容； (2)爱思考的小明想利用解直角三角形的知识，使用皮尺和自制测量仪（如图2，图3），通过测量长度、角度等几何量，测量一个海岛中的山峰高度．如图4，测量得，求出此座山峰的高度. 【题型八】实际生活中抽象出相似 30．（2024·湖南益阳·二模）如图，用一个卡尺（ ，）测量气缸的内孔直径，量得的长为，则内孔直径的长为（   ） A． B． C． D． 31．（2024·吉林长春·二模）如图①，是生活中常见的人字梯，也称折梯，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，因而把它形象的称为“人字梯”．如图②，是其工作示意图，拉杆米，则两梯杆跨度B、C之间距离为 米． 32．（2022·浙江金华·一模）将一本高为（即）的词典放入高（AB）为的收纳盒中（如图1）．恰好能盖上盒盖时，测得底部F离收纳盒最左端B处，若此时将词典无滑动向右倒，书角的对应点恰为CD中点． （1）收纳盒的长 ； （2）现将若干本同样的词典放入此有盖的收纳盒中，如图2放置，则最多有 本书可与边BC有公共点． 【题型九】三角形内接矩形问题 33．（23-24九年级上·广西桂林·期中）如图，有一块三角形余料ABC，它的边，高，现在要把它加工成长与宽的比为的矩形零件，要求一条长边在上，其余两个顶点分别在，上，则矩形的周长为 cm． 34．（20-21九年级上·广西来宾·期末）如图，有一块三角形的土地，它的一条边米，边上的高米，某单位要沿着边修一座底面是矩形的大楼，点，在边上，点，分别在边，上，若大楼的宽是40米（即米），则这个矩形的面积是 平方米． 35．（20-21九年级上·河北邯郸·期中）如图1，课本中有一道例题：有一块三角形余料，它的边，高．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上．设，用的代数式表示 ，由，可得，再利用相似三角形对应高的比等于相似比，可求得 ． 拓展：原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图2，此时， ． 36．（22-23八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，有一块三角形土地，它的一条边米，边上的高米．某单位要沿着边修一座底面是矩形的大楼，D、G分别在边上．且大楼的宽与长的比是，求这个矩形的长．    ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$