第12讲 解一元一次方程---去括号与去分母 2024年新七年级暑假数学预习课（人教版）

第10讲 解一元一次方程---去括号与去分母 1.能够依据去括号法则解含括号的一元一次方程； 2.掌握去分母去解一元一次方程，并理解其理由. 1 去括号解一元一次方程 (1)解方程中的去括号法则与整式运算中的去括号法则相同； ① 括号前面是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项的符号不变； ② 括号前面是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项的符号要改变. (2)去括号的依据是乘法分配律； (3)去括号的目的：去括号后就能进行移项、合并同类项求解方程。 2 去分母解一元一次方程 (1)去分母的依据是等式的性质2； (2)去分母的一般步骤 ① 确定每个分母的最小公倍数; ② 方程两边同乘这个最小公倍数，去分母; (3)去分母中要注意： ①方程两边的每一项均要乘以最小公倍数； ②分子是一个多项式时，去分母后不要忘记加括号. 3 解一元一次方程的一般步骤 去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为. 【题型一】 去括号 相关知识点讲解 去括号解一元一次方程 (1)解方程中的去括号法则与整式运算中的去括号法则相同； ① 括号前面是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项的符号不变； ② 括号前面是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项的符号要改变. (2)去括号的依据是乘法分配律； Eg：方程去括号后可得； (去括号时可这样想：利用分配律把与括号里每一项分别相乘) 方程去括号后可得. (去括号时可这样想：利用分配律把与括号里每一项分别相乘) (3)去括号的目的：去括号后就能进行移项、合并同类项求解方程。 【典题1】 解方程时，去括号正确的是(　　) A． B． C． D． 变式练习 1.方程去括号变形正确的是(    ) A． B． C． D． 2.解方程，以下去括号正确的是(　　) A． B． C． D． 3.在解方程时，去括号正确的是(    ) A． B． C． D． 【题型二】 去括号解一元一次方程 【典题1】解方程：． 变式练习 1.规定新运算“@”：对于任意实数m，n都有，例如：．若的运算结果与的运算结果相同，则x的值为(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 2.已知、、、为有理数，现规定一种新运算，如．那么当时，则的值为 ． 3.解下列方程： (1)； (2)； (3)． 4.已知是方程的解，求关于y的方程的解． 【题型三】 去分母 相关知识点讲解 去分母解一元一次方程 (1)去分母的依据是等式的性质2； (2)去分母的一般步骤 Eg：解方程 ① 确定每个分母的最小公倍数：和的最小公分母为; ② 方程两边同乘这个最小公倍数，去分母： 方程两边同乘以，可得，去分母得. (3)以上方程的去分母中要注意： ①方程两边的每一项均要乘以最小公倍数； ②分子是一个多项式时，去分母后不要忘记加括号. 的结果是，不要漏了括号，若是是错误的. 【典题1】 在解方程时，去分母正确的是(   ) A． B． C． D． 【典题2】下列方程变形中，正确的是(    ) A．方程，去分母，得 B．方程，去括号，得 C．方程，移项，得 D．方程，系数化为1，得 变式练习 1. 方程，去分母是(    ) A． B． C． D． 2.解方程时，去分母后变形正确的是(    ) A． B． C． D． 3.解一元一次方程时，去分母正确的是(   ) A． B． C． D． 4.下列变形，正确的是(    ) A．由，移项，得 B．由，去括号，得 C．由，合并同类项，得 D．由，去分母，得 5.下列做法正确的是(    ) A．由去括号、移项、合并同类项，得 B．由去分母，得 C．由去括号，得 D．由移项，得 【题型四】 去分母解一元一次方程 【典题1】 下面是小聪解方程的过程： 解：去分母得：(第一步)， 去括号得：(第二步)， 移项合并得：5x＝7(第三步)， 系数化为 1 得：(第四步)， 根据解答过程完成下列任务． 任务一：①上述解答过程中，第一步的变形依据是 ； ②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ； 任务二：请你根据平时解一元一次方程的经验，再给其他同学提一条建议 ； 任务三：然后请你细心地解下列方程： ． 【典题2】解方程：． 变式练习 1.小李解方程 ，在去分母时，方程右边的1没有乘以6，因而得到方程的解为，则方程正确的解是(   ) A． B． C． D． 2.解方程： (1)；(2) 3.已知关于x的方程与方程的解互为相反数，求的值． 【题型五】 含参的一元一次方程 【典题1】 已知关于x的方程的解是整数，且k是正整数，则满足条件的所有k值的和为(　　) A．4 B．5 C．7 D．8 【典题2】定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“成双方程”．例如：方程和为“成双方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“成双方程”； (2)若关于x的方程与方程互为“成双方程”，求m的值； (3)若关于x的方程与互为“成双方程”，求关于y的方程的解． 变式练习 1.关于x的方程有正整数解，且a为正整数，则a的值是(    ) A．2 B．4 C．1或3 D．2或4 2.关于的方程无解，则(    ) A． B．0 C． D． 3.若关于的一元一次方程和的解互为相反数，则 ． 4.已知关于x的方程，解答下列问题： (1)如果方程的解是时，求字母a的值． (2)如果某同学在解此方程去分母时，方程右边的没有乘以6，结果求得解是，求字母a的值． (3)如果方程无解，请你直接写出字母a的值． 【A组---基础题】 1.下面各式的变形正确的是(  ) A．由，移项得： B．由，去括号得： C．由，变形得 D．由去分母得： 2. 关于x的一元一次方程和的解相同，则k的值为（   ） A． B．11 C． D．13 3.若方程与关于x方程的有相同的解，则a的值为(    ) A．6 B． C．1 D．2 4.若不论k取什么数，关于x的方程(a、b是常数)的解总是，则的值是(    ) A． B． C． D． 5.已知关于的方程有正整数解，那么满足条件的所有整数的和为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 6.现规定一种新的运算：，若，则 ． 7.阅读：关于x的方程在不同条件下解的情况如下：(1)当时，方程有唯一解；(2)当，时，方程有无数个解；(3)当，时，方程无解．请你根据以上知识解答：已知关于x的方程有无数个解，则的值为 ． 8.解方程 (1) (2) 9.已知关于的方程与关于的方程的解互为倒数，求的值． 10.如果两个方程的解相差k(k为自然数)，当k为正整数时，则称解较大的方程为另一个方程的“k的后移方程”；当k为0时，则称这两个方程互为“后移方程”，例如：方程是方程的“2的后移方程” (1)若方程是方程的“a的后移方程”，则______； (2)若关于x的方程是关于x的方程的“2的后移方程”，求代数式的值： (3)当a为正整数时，若关于x的方程与互为“后移方程”，则所有的整数解是______． 【B组---提高题】 1.方程是关于x的一元一次方程，若此方程的解为正整数，则所有满足条件的正整数m的和为(    ) A．3 B．7 C．16 D．17 2.在学习一元一次方程后，我们给一个定义：若是关于的一元一次方程的解，是关于的方程的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于的方程为关于的一元一次方程的“久久方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当，，所以为一元一次方程的“久久方程”． (1)已知关于的方程：①，②，其中哪个方程是一元一次方程的“久久方程”？请直接写出正确的序号________． (2)若关于的方程是关于的一元一次方程的“久久方程”，请求出的值． (3)若关于的方程是关于的一元一次方程的“久久方程”，求出的值． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 解一元一次方程---去括号与去分母 1.能够依据去括号法则解含括号的一元一次方程； 2.掌握去分母去解一元一次方程，并理解其理由. 1 去括号解一元一次方程 (1)解方程中的去括号法则与整式运算中的去括号法则相同； ① 括号前面是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项的符号不变； ② 括号前面是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项的符号要改变. (2)去括号的依据是乘法分配律； (3)去括号的目的：去括号后就能进行移项、合并同类项求解方程。 2 去分母解一元一次方程 (1)去分母的依据是等式的性质2； (2)去分母的一般步骤 ① 确定每个分母的最小公倍数; ② 方程两边同乘这个最小公倍数，去分母; (3)去分母中要注意： ①方程两边的每一项均要乘以最小公倍数； ②分子是一个多项式时，去分母后不要忘记加括号. 3 解一元一次方程的一般步骤 去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为. 【题型一】 去括号 相关知识点讲解 去括号解一元一次方程 (1)解方程中的去括号法则与整式运算中的去括号法则相同； ① 括号前面是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项的符号不变； ② 括号前面是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项的符号要改变. (2)去括号的依据是乘法分配律； Eg：方程去括号后可得； (去括号时可这样想：利用分配律把与括号里每一项分别相乘) 方程去括号后可得. (去括号时可这样想：利用分配律把与括号里每一项分别相乘) (3)去括号的目的：去括号后就能进行移项、合并同类项求解方程。 【典题1】 解方程时，去括号正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题考查了解一元一次方程去括号法则．解题的关键在于明确：括号前为“”时，去括号要变号，括号前为“”时，去括号不变号，据此进行求解即可． 【详解】 解：方程， 去括号得． 故选：C． 变式练习 1.方程去括号变形正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次方程，根据去括号法则可得结果．熟练掌握去括号法则是解题的关键． 【详解】解：， 去括号得：， 故选：A． 2.解方程，以下去括号正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解答本题的关键．去括号注意几点：①不要漏乘括号里的每一项；②括号前面是负因数，去掉括号和负号，括号里的每一项一定都变号． 根据乘法分配律先将乘进去，去括号得到结果，即可作出判断． 【详解】 去括号，得：， 故选：B． 3.在解方程时，去括号正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解．方程去括号得到结果，即可做出判断． 【详解】解：将方程去括号，得． 故选：D 【题型二】 去括号解一元一次方程 【典题1】解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，先去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可．根据解一元一次方程的步骤进行求解即可． 【详解】解： 去括号得：， 移项，合并同类项：， 系数化为1得：． 变式练习 1.规定新运算“@”：对于任意实数m，n都有，例如：．若的运算结果与的运算结果相同，则x的值为(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解新定义运算法则．根据新定义型运算法则列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵的运算结果与的运算结果相同， ∴， ∴， ∴． 故选C． 2.已知、、、为有理数，现规定一种新运算，如．那么当时，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，根据新运算的法则，列出方程，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 3.解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 本题考查了解一元一次方程． (1)根据去括号，移项，合并同类项，系数化成1求解即可； (2)根据去括号，移项，合并同类项，系数化成1求解即可； (3)根据去括号，移项，合并同类项，系数化成1求解即可． 【详解】(1)解： 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以，得； (2)解： 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以，得； (3)解： 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以，得． 4.已知是方程的解，求关于y的方程的解． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的解及解一元一次方程，把代入方程计算求出的值，代入所求方程求出解即可．熟知一元一次方程的解的定义是关键． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：， 代入方程得：， 解得：． 【题型三】 去分母 相关知识点讲解 去分母解一元一次方程 (1)去分母的依据是等式的性质2； (2)去分母的一般步骤 Eg：解方程 ① 确定每个分母的最小公倍数：和的最小公分母为; ② 方程两边同乘这个最小公倍数，去分母： 方程两边同乘以，可得，去分母得. (3)以上方程的去分母中要注意： ①方程两边的每一项均要乘以最小公倍数； ②分子是一个多项式时，去分母后不要忘记加括号. 的结果是，不要漏了括号，若是是错误的. 【典题1】 在解方程时，去分母正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次方程，等式的性质，根据等式的性质，去分母即可得出结果．掌握等式的性质，是解题的关键． 【详解】方程两边同时乘以6得，． 故选：D． 【典题2】下列方程变形中，正确的是(    ) A．方程，去分母，得 B．方程，去括号，得 C．方程，移项，得 D．方程，系数化为1，得 【答案】D 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握解法步骤是解本题的关键，先把每个选项的方程按照去分母，去括号，移项，化1的法则逐一变形，再判断即可． 【详解】解：方程， 去分母，得，故A选项错误； 方程，去括号， 得，故B选项错误； 方程，移项，得，故C选项错误； 方程，系数化为1，得，故D选项正确． 故选D 变式练习 1. 方程，去分母是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次方程——去分母，掌握等式的性质是解题的关键．根据等式的性质，方程两边同时乘以各分母的最小公倍数6即可得解． 【详解】解：方程两边同时乘以6得：， 故选：A． 2.解方程时，去分母后变形正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，方程两边乘以6去分母得到结果，即可作出判断. 【详解】解：方程， 方程两边乘以6得：. 故选：C. 3.解一元一次方程时，去分母正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了解一元一次方程的方法，注意等式的性质的应用． 根据等式的性质，把一元一次方程的两边同时乘6，判断出去分母后变形正确的方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴一元一次方程，去分母后变形正确的是：． 故选：D． 4.下列变形，正确的是(    ) A．由，移项，得 B．由，去括号，得 C．由，合并同类项，得 D．由，去分母，得 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：A、由，移项，得，原式变形错误，不符合题意； B、由，去括号，得，原式变形错误，不符合题意； C、由，合并同类项，得，原式变形错误，不符合题意； D、由，去分母，得，原式变形正确，符合题意； 故选：D． 5.下列做法正确的是(    ) A．由去括号、移项、合并同类项，得 B．由去分母，得 C．由去括号，得 D．由移项，得 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为的步骤解方程即可，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】、 去括号得：， 移项得：， 合并同类项，得；故此选项正确，符合题意； 、由去分母，得，故原选项错误，不符合题意； 、由去括号，得，故原选项错误，不符合题意； 、由移项，得，故原选项错误，不符合题意； 故选：． 【题型四】 去分母解一元一次方程 【典题1】 下面是小聪解方程的过程： 解：去分母得：(第一步)， 去括号得：(第二步)， 移项合并得：5x＝7(第三步)， 系数化为 1 得：(第四步)， 根据解答过程完成下列任务． 任务一：①上述解答过程中，第一步的变形依据是 ； ②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ； 任务二：请你根据平时解一元一次方程的经验，再给其他同学提一条建议 ； 任务三：然后请你细心地解下列方程： ． 【答案】任务一：①等式的性质；②二，去括号前面有负号时，括号内各项都要变号，没有变号；任务二：建议：解完方程记得要检验，移项要变号等；任务三： 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 任务一：①去分母的本质是方程的两边同时乘以分母的最小公倍数，故用到的是“等式的性质”； ②去括号前面有负号时，括号内各项都要变号； 任务二：根据解一元一次方程的经验， 建议：移项要变号，解完方程要检验等． 任务三：方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】任务一：①上述解答过程中，第一步的变形依据是等式的性质； ②第二步开始出现错误，这一步错误的原因是去括号及前面的负号时，括号内各项都要变号，没有变号； 任务二：建议：解完方程记得要检验，移项要变号等； 任务三： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 【典题2】解方程：． 【答案】． 【分析】本题考查解一元一次方程．根据一元一次方程的解法“去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1”计算即可． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 解得． 变式练习 1.小李解方程 ，在去分母时，方程右边的1没有乘以6，因而得到方程的解为，则方程正确的解是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元一次方程的解和解方程的能力，根据题意准确找到方程并求解是关键．根据题意得到去分母时方程右边的1没有乘以6的方程，解方程得到m的值，再求解即可． 【详解】解：由题意得：是方程的解， ∴，解得， ∴原方程为 去分母得： 解得： 故选：B． 2.解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程： (1)先去括号，然后移项、合并同类项、系数化为1即可求得结果； (2)先去分母，然后移项、合并同类项、系数化为1即可求得结果； 熟练掌握解一元一次方程的方法和步骤是解题的关键． 【详解】(1)解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：． (2)解：两边同时乘以6可得：， 去括号可得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：． 3.已知关于x的方程与方程的解互为相反数，求的值． 【答案】5 【分析】本题考查了相反数、一元一次方程的解的定义以及一元一次方程的解法，熟知“只有符号不同的两个数叫相反数”，“满足方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解”的相关概念是解题的关键．先解方程，得，因为两个方程的解互为相反数，所以是方程的解，代入计算即可求解． 【详解】解：解方程，得， 两个方程的解互为相反数 是方程的解， 将代入得：， 解得：， ． 【题型五】 含参的一元一次方程 【典题1】 已知关于x的方程的解是整数，且k是正整数，则满足条件的所有k值的和为(　　) A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的拓展题型，根据一元一次的方程先解出x，根据题意可得是5的约数，得出满足题意的所有k值，算出和即可． 【详解】解：先求解方程， 解得：， ∵x为整数，且k是正整数， ∴或者 ∴k的值为1或3， ∴所有k值的和为， 故选：A． 【典题2】定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“成双方程”．例如：方程和为“成双方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“成双方程”； (2)若关于x的方程与方程互为“成双方程”，求m的值； (3)若关于x的方程与互为“成双方程”，求关于y的方程的解． 【答案】(1)不是互为“成双方程”，理由见解析： (2)； (3)． 【分析】本题考查方程的解，解一元一次方程．掌握“成双方程”的定义，是解题的关键． (1)求出两个方程的解，再根据“成双方程”的定义，进行判断即可； (2)求出两个方程的解，再根据“成双方程”的定义，列出关于的方程，进行求解即可； (3)先求出的解，根据“成双方程”的定义，得到的解，进而得到中的值，进一步求解即可． 【详解】(1)解：方程与方程不是互为“成双方程”； 解，得：； 解，得：， ∵， 故方程与方程不是互为“成双方程”； (2)∵， ∴， ∵， ∴， ∵方程与方程互为“成双方程”， ∴， ∴； (3)∵， ∴， ∵方程与互为“成双方程”， ∴的解为， ∵， ∴， ∴． 变式练习 1.关于x的方程有正整数解，且a为正整数，则a的值是(    ) A．2 B．4 C．1或3 D．2或4 【答案】D 【分析】此题考查的是一元一次方程的解，用a表示x，然后根据，且x为整数来解出a的值． 【详解】解：原方程，可化为， ， 由题意，且为整数， ∴，且或3， ∴或4 故选：D 2.关于的方程无解，则(    ) A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程无解的问题，先把原方程变为，再由方程无解即可得到，由此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵关于的方程无解， ∴， ∴， 故选：C． 3.若关于的一元一次方程和的解互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的求解，解解方程得：，故的解为：；将代入即可求解. 【详解】解：解方程得：， ∵方程和的解互为相反数， ∴的解为： 将代入得： ， 解得： 故答案为： 4.已知关于x的方程，解答下列问题： (1)如果方程的解是时，求字母a的值． (2)如果某同学在解此方程去分母时，方程右边的没有乘以6，结果求得解是，求字母a的值． (3)如果方程无解，请你直接写出字母a的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是一元一次方程的解的含义，及方程的解法，理解题意，正确运算是解本题的关键； (1)把代入，再解方程即可； (2)按题意原方程去分母可得，把代入再解方程即可； (3)先把方程去分母整理为，由方程无解可得，再解方程即可. 【详解】(1)解：把代入方程，得： ， ∴， 解得，； (2)∵， ∴(去分母时漏乘)， 把代入可得： ， 整理得：， 解得：； (3)， ∴， 整理得：， 当时，方程无解， ∴. 【A组---基础题】 1.下面各式的变形正确的是(  ) A．由，移项得： B．由，去括号得： C．由，变形得 D．由去分母得： 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：A、将等号两边同时乘以，得， 再将等号两边同时加，得，故A不正确，不符合题意； B、将去括号，得，故B不正确，不符合题意； C、将等号左边的分子分母同时乘以，得，故C不正确，不符合题意； D、将等号两边同时乘以，得，故D正确，符合题意； 故选：D． 2. 关于x的一元一次方程和的解相同，则k的值为（   ） A． B．11 C． D．13 【答案】C 【分析】本题考查了同解方程，解一元一次方程，一元一次方程的解等知识点，能得出关于的方程是解此题的关键． 先求出第一个方程的解，把求出的代入第二个方程，再求出即可． 【详解】解：解方程得：， ∵关于的方程和1)的解相同， ∴把代入方程得： ， 解得：， ∴当时，关于的方程和的解相同． 故选：C． 3.若方程与关于x方程的有相同的解，则a的值为(    ) A．6 B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次程，以及根据一元一次方程的解求参数，先根据求出x的值，再将x的值代入中，求出a的值，能够熟练掌握一元一次方程的解法是解决本题的关键． 【详解】解：， 去分母得： 去括号得： 移项得： 合并得： 解得：， 将代入得：， 即， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 4.若不论k取什么数，关于x的方程(a、b是常数)的解总是，则的值是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元一次方程的解，掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值是解题关键；将代入中，化简得到，由不论k取什么数，关于x的方程(a、b是常数)的解总是可知，k的值对方程没有影响，即可得到，求解即可； 【详解】不论k取什么数，关于x的方程(a、b是常数)的解总是， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 5.已知关于的方程有正整数解，那么满足条件的所有整数的和为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，先解方程得到，再根据方程有正整数解得到是正整数，则或或或，据此求出符合题意的k的值，再求和即可． 【详解】解： 移项得：， 合并同类项得：， ∵方程有解， ∴， ∴， ∵方程有正整数解， ∵是正整数， ∴或或或， ∴或或或， ∴满足条件的所有整数的和为， 故选B． 6.现规定一种新的运算：，若，则 ． 【答案】1 【分析】 本题考查解一元一次方程．根据新运算的法则，列出方程进行求解，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：1． 7.阅读：关于x的方程在不同条件下解的情况如下：(1)当时，方程有唯一解；(2)当，时，方程有无数个解；(3)当，时，方程无解．请你根据以上知识解答：已知关于x的方程有无数个解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程有无数个解，解题关键是准确理解题意，列出关于字母a的方程． 首先把方程化成一般形式，然后根据关于x的方程有无数解，对一次项系数进行讨论求得a、b的值，再相乘即可求解． 【详解】解： 去分母得：， 移项，合并得，， ∵关于x的方程有无数个解， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 8.解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解答本题的关键． (1)根据去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可． (2)根据去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可． 【详解】(1) 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 (2) 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 9.已知关于的方程与关于的方程的解互为倒数，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程解的定义，先解方程得到，再根据倒数的定义可得关于的方程的解为，把代入方程中求出m的值即可． 【详解】解： 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵关于的方程与关于的方程的解互为倒数， ∴关于的方程的解为， ∴， 解得． 10.如果两个方程的解相差k(k为自然数)，当k为正整数时，则称解较大的方程为另一个方程的“k的后移方程”；当k为0时，则称这两个方程互为“后移方程”，例如：方程是方程的“2的后移方程” (1)若方程是方程的“a的后移方程”，则______； (2)若关于x的方程是关于x的方程的“2的后移方程”，求代数式的值： (3)当a为正整数时，若关于x的方程与互为“后移方程”，则所有的整数解是______． 【答案】(1)1 (2)71 (3)1和2． 【分析】(1)分别求出两个方程的解即可得到答案； (2)分别求出两个方程的解，再根据“2后移方程”的定义求出m的值即可得到答案； (3)分别求出两个方程的解，再根据“后移方程”的定义求出，然后把代入所求代数式，且结合a为正整数，求解即可． 本题主要考查了解一元一次方程，代数式求值，正确理解题意所给的“后移方程”的定义是解题的关键． 【详解】(1)解：易得的解为，的解为 ∵两个方程的解相差k(k为自然数)，当k为正整数时，则称解较大的方程为另一个方程的“k的后移方程”，方程是方程的“a的后移方程”， ∴ ∴ (2)解：易得的解为，的解为 ∵关于x的方程是关于x的方程的“2的后移方程”， ∴ ∴ ∴ (3)解： ； ∴方程的解为，的解为 ∵当k为0时，则称这两个方程互为“后移方程”， 关于x的方程与互为“后移方程” ∴ ∴ 即 则 ∴ ∴ ∴ ∵当a为正整数时，的解为整数 即当时，，当时，， ∴所有的整数解为1和2． 【B组---提高题】 1.方程是关于x的一元一次方程，若此方程的解为正整数，则所有满足条件的正整数m的和为(    ) A．3 B．7 C．16 D．17 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解，正确求出方程的解是解题的关键．先解方程得出，根据方程的解是正整数，求出m的值，然后可得答案． 【详解】解：由， 得， ∵方程是关于的一元一次方程，此方程的解为正整数，m是正整数， ∴或2或4或10， ∴所有满足条件的正整数m的和为． 故选：D． 2.在学习一元一次方程后，我们给一个定义：若是关于的一元一次方程的解，是关于的方程的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于的方程为关于的一元一次方程的“久久方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当，，所以为一元一次方程的“久久方程”． (1)已知关于的方程：①，②，其中哪个方程是一元一次方程的“久久方程”？请直接写出正确的序号________． (2)若关于的方程是关于的一元一次方程的“久久方程”，请求出的值． (3)若关于的方程是关于的一元一次方程的“久久方程”，求出的值． 【答案】(1)② (2)或 (3) 【分析】(1)分别求出三个方程的解，再验证即可； (2)先解方程，求得或，再求出关于的方程的解，根据题意可分别求得的值； (3)由及，可求得，代入中，可求得与的关系，从而可求得结果． 【详解】(1)解：解得：；解得，；解得：，而，所以是一元一次方程的“久久方程”； 故答案为：②； (2)解：∵， ∴， 即或， 解得：或； 对于，去分母得：， 去括号、移项、合并同类项得：； 由题意，当时，，解得：； 当时，，解得：；     所以或； (3)解：由题意，，即 由得：， 所以， 则， 把上式代入中，整理得：， 即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是新定义题，考查了解一元一次方程及含绝对值的方程，求代数式的值等知识，有一定的综合性，理解题中新定义，会解含有参量的一元一次方程是解题的关键． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$