第11讲 解一元一次方程---合并同类项与移项 2024年新七年级暑假数学预习课（人教版）

第09讲 解一元一次方程---合并同类项与移项 1.掌握合并同类项解一元一次方程； 2.掌握移项的理由，会用移项法则整理方程. 1 合并同类项解一元一次方程 将一元一次方程同侧的含有未知数的项与常数项分别合并，化方程为的形式再求解. 2 移项 方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项. 移项的依据是等式的性质. Eg：利用等式性质，. 3 移项解一元一次方程 若一元一次方程两侧均存在未知数或常数，将它们都移到同侧再进行合并同类项，再求解. Eg：，移项可得. 【题型一】 系数化为1 相关知识点讲解 求解形如的形式的一元一次方程，利用等式的性质把未知数的系数为1，即求得方程的解. Eg：方程两边同除以2可得，即解得. 【典题1】 方程的解是(    ) A． B． C． D． 变式练习 1. 解方程时，应在方程两边(    ) A．同乘 B．同除以 C．同乘 D．同除以 2.方程的解是(    ) A． B． C． D． 3.方程的解为(    ) A． B． C． D． 4.方程的解是(    ) A． B． C． D． 【题型二】 合并同类项解一元一次方程 相关知识点讲解 合并同类项解一元一次方程 将一元一次方程同侧的含有未知数的项与常数项分别合并，化方程为的形式再求解. Eg：，合并同类项后可得，进而方程两边同除以2得. 【典题1】 解下列方程时，合并同类项不正确的是(　　) A．，合并同类项，得 B．，合并同类项，得 C．，合并同类项，得 D．，合并同类项，得 【典题2】 解方程： (1)； (2)． 变式练习 1. 方程的解是(   ) A． B． C． D． 2.定义运算“*”为，若，则x为(    ) A． B．1 C． D．5 3.已知关于的方程的解为，则的值等于(    )． A． B．0 C． D． 4.解方程：(1)，(2) ． 【题型三】 移项解一元一次方程 相关知识点讲解 1移项 方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项. 移项的依据是等式的性质. Eg：利用等式性质，. 2 移项解一元一次方程 若一元一次方程两侧均存在未知数或常数，将它们都移到同侧再进行合并同类项，再求解. Eg：，移项可得. 【典题1】下列移项正确的是(    ) A．从，得到 B．从，得到 C．从，得到 D．从，得到 【典题2】解方程： (1)； (2)． 【典题3】历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的多项式用记号来表示．例如，把x等于某数时多项式的值用f(某数)来表示．例如时多项式的值记为． (1)已知，求出的值； (2)已知，，求m的值． 变式练习 1. 解方程移项后正确的是(    ) A． B． C． D． 2.方程移项后，正确的是(    ) A． B． C． D． 3.方程的解是(    ) A． B． C． D． 4.若是方程的解，则的值是(   ) A．1 B． C． D． 5.解方程 (1)     (2) 其中(1)处依据是等式的性质 (2)处依据是等式的性质 ． 6.解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 7.定义一种新运算“※”，．例如：，．若，求的值． 8.对于两个非零有理数，，定义一种新运算：，例如：． (1)求的值； (2)若，求的值． 【A组---基础题】 1.方程的解是(    ) A． B． C． D． 2.当时，与互为相反数，则(    ) A． B． C． D． 3.某同学在解关于x的方程时，误将“”看成了“”，从而得到方程的解为，则原方程正确的解为(    ) A． B． C． D． 4.已知关于的方程与，如果两个方程的解相同，那么的值为(    ) A．9 B． C．3 D． 5.对于整数，，定义一种新的运算“”：当为偶数时，规定；当为奇数时，规定．已知，其中是负数，则(    ) A． B． C． D． 6.已知关于的方程的解是，则 ． 7.已知与互为相反数，则 . 8.对于两个不相等的有理数，我们规定符号表示两数中较小的数，例如．按照这个规定，方程的解为 ． 9.解下列方程： (1)；(2) 10.若关于的两个方程与有相同的解，求的值． 11.定义新运算“”如下：当时(“”是指大于或等于)，；当时，． (1)求的值； (2)求的值； (3)若，求的值． 【B组---提高题】 1. 解方程． 2.定义：对于一个有理数x，我们把“”称作x的对称数．若，则；若，则．例如：，． (1)填空： ① ； ； ； ②若，且，则 ． (2)已知有理数a，b，当时，满足，试求代数式的值． (3)解方程：． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 解一元一次方程---合并同类项与移项 1.掌握合并同类项解一元一次方程； 2.掌握移项的理由，会用移项法则整理方程. 1 合并同类项解一元一次方程 将一元一次方程同侧的含有未知数的项与常数项分别合并，化方程为的形式再求解. 2 移项 方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项. 移项的依据是等式的性质. Eg：利用等式性质，. 3 移项解一元一次方程 若一元一次方程两侧均存在未知数或常数，将它们都移到同侧再进行合并同类项，再求解. Eg：，移项可得. 【题型一】 系数化为1 相关知识点讲解 求解形如的形式的一元一次方程，利用等式的性质把未知数的系数为1，即求得方程的解. Eg：方程两边同除以2可得，即解得. 【典题1】 方程的解是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的求解，掌握求解的方法是关键．根据解一元一次方程的方法解答即可． 【详解】解：，两边同时乘以，得 故选：A． 变式练习 1. 解方程时，应在方程两边(    ) A．同乘 B．同除以 C．同乘 D．同除以 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，通过把方程两边同时除以把未知数的系数化为1，据此可得答案． 【详解】解：， 方程两边同时除以把系数化为1得， 故选：B． 2.方程的解是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的求解，掌握求解的方法是关键．根据解一元一次方程的方法解答即可． 【详解】解： 故选：A． 3.方程的解为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方程两边同时乘以，即可求解， 本题考查了解一元一次方程，解题的关键是：熟练掌握一元一次方程的步骤． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 4.方程的解是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的求解，掌握求解的方法是关键．根据解一元一次方程的方法解答即可． 【详解】解：，两边同时乘以，得 故选：A． 【题型二】 合并同类项解一元一次方程 相关知识点讲解 合并同类项解一元一次方程 将一元一次方程同侧的含有未知数的项与常数项分别合并，化方程为的形式再求解. Eg：，合并同类项后可得，进而方程两边同除以2得. 【典题1】 解下列方程时，合并同类项不正确的是(　　) A．，合并同类项，得 B．，合并同类项，得 C．，合并同类项，得 D．，合并同类项，得 【答案】C 【分析】 本题考查了解一元一次方程的合并同类项法则，熟练掌握法则是解题的关键； 根据合并同类项法则逐项判定即可． 【详解】A．，合并同类项，得，即，计算正确，故选项不符合题意； B．，合并同类项，得即，计算正确，故选项不符合题意； C．，合并同类项，得，即，计算错误，故选项符合题意； D．，合并同类项，得即，计算正确，故选项不符合题意； 故选：C． 【典题2】 解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2)． 【分析】()移项，合并同类项，系数化为即可求解； ()合并同类项，系数化为即可求解； 本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． 【详解】(1)解： 合并同类项得 系数化为得，． (2)解：合并同类项得，， 系数化为得，． 变式练习 1. 方程的解是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解答本题的关键．根据合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可． 【详解】解： 合并同类项，得 系数化为1，得． 故选A． 2.定义运算“*”为，若，则x为(    ) A． B．1 C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查新定义运算、解一元一次方程，根据将定义将变形为一元一次方程，再解方程即可． 【详解】解： ， ， 解得， 故选D． 3.已知关于的方程的解为，则的值等于(    )． A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解、解一元一次方程、求代数式的值，将代入方程得出关于的方程，求出的值，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：关于的方程的解为， ， 解得：， ， 故选：D． 4.解方程：(1)，(2) ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程．先移项，再合并同类项，即可求解． 【详解】(1)解 ：， 合并同类项得：， 解得：． (2)解：合并同类项得，， 系数化为得，． 【题型三】 移项解一元一次方程 相关知识点讲解 1移项 方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项. 移项的依据是等式的性质. Eg：利用等式性质，. 2 移项解一元一次方程 若一元一次方程两侧均存在未知数或常数，将它们都移到同侧再进行合并同类项，再求解. Eg：，移项可得. 【典题1】下列移项正确的是(    ) A．从，得到 B．从，得到 C．从，得到 D．从，得到 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程移项问题，熟练掌握移项这一步骤是解题的关键． 根据移项的定义对选项进行分析即可． 【详解】解：对于选项A，移项得到，故不符合题意； 对于选项B，移项得到，故不符合题意； 对于选项C，移项得到，故符合题意； 对于选项D，移项得到，故不符合题意； 故选C． 【典题2】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程： (1)按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； (2)按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】(1)解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； (2)解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 【典题3】历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的多项式用记号来表示．例如，把x等于某数时多项式的值用f(某数)来表示．例如时多项式的值记为． (1)已知，求出的值； (2)已知，，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查代数式求值、解一元一次方程，理解题中表示是解答的关键． (1)直接将代入求解即可； (2)将代入得到关于m的一元一次方程，然后解方程求解即可． 【详解】(1)解：∵， ∴ ； (2)解：∵，， ∴， 则，解得． 变式练习 1. 解方程移项后正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据等式的性质进行移项即可得到答案． 【详解】解： 移项得：， 故选：B． 2.方程移项后，正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次方程－移项．把方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项． 【详解】解：根据移项的规则得：， 故选：B． 3.方程的解是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的求解，根据移项，系数化为1的过程进行求解即可． 【详解】解：， 移项，得：， 系数化为1，得：， 故选：C． 4.若是方程的解，则的值是(   ) A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的解，因为是方程的解，所以把代入方程左右两边相等，即可得到关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值． 【详解】解：将代入方程， 可得 解得：， 故选：B． 5.解方程 (1)     (2) 其中(1)处依据是等式的性质 (2)处依据是等式的性质 ． 【答案】 1 2 【分析】本题主要考查了等式的基本性质．等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立，据此可得答案． 【详解】解：把方程两边同时减去3可得到，即(1)处依据是等式的性质1，把方程两边同时除以2得到，即(2)处依据是等式的性质2， 故答案为：1；2． 6.解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】 此题考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． (1)先移项、合并同类项，再将系数化为1即可得到方程的解； (2)先移项、合并同类项，再将系数化为1即可得到方程的解； (3)先移项、合并同类项，即可得到方程的解； (4)先移项、合并同类项，再将系数化为1即可得到方程的解 【详解】(1) 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得； (2) 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得； (3) 移项，得， 合并同类项，得， (4) 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得 7.定义一种新运算“※”，．例如：，．若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，一元一次方程的解法，利用新定义建立方程，再解方程即可． 【详解】解：依题意得：，， ∴， 解得：． 8.对于两个非零有理数，，定义一种新运算：，例如：． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，解一元一次方程，正确理解新定义是解答本题的关键． (1)根据新定义转化为有理数的混合运算计算即可； (2)根据新定义转化为一元一次方程求解即可． 【详解】(1)； (2) 【A组---基础题】 1.方程的解是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的求解，掌握求解的方法是关键．根据解一元一次方程的方法解答即可． 【详解】解： 故选：A． 2.当时，与互为相反数，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程，代数式求值，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：当时， ， 依题意， 解得：， 故选：A． 3.某同学在解关于x的方程时，误将“”看成了“”，从而得到方程的解为，则原方程正确的解为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程．由题意，将，代入得，，解得，将，代入得，，计算求解即可．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确的运算． 【详解】解：由题意，将，代入得，，解得， 将，代入得，，解得， 故选：D． 4.已知关于的方程与，如果两个方程的解相同，那么的值为(    ) A．9 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元一次方程的解的含义，一元一次方程的解法，先解方程，再把解代入，即可得到答案． 【详解】解：解方程， 得． 将代入方程， 得， 解得． 故选B 5.对于整数，，定义一种新的运算“”：当为偶数时，规定；当为奇数时，规定．已知，其中是负数，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解一元一次方程，去绝对值，整式的加减运算，根据定义新运算的法则，列出一元一次方程，进行求解即可，注意进行分类讨论． 【详解】解：∵为偶数，是负数， ∴， ∴， 当为偶数时， 则：， ∴， 解得：； 当为奇数时， 则：， ∴， 解得：(舍去)； 故选C． 6.已知关于的方程的解是，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了一元一次方程解的定义．根据一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入方程中求出m的值即可． 【详解】解：∵关于x的方程的解是， ∴， ∴， 故答案为：3． 7.已知与互为相反数，则 . 【答案】1 【分析】本题考查了解一元一次方程和相反数，根据互为相反数的两个数的和为0得出方程，再根据等式的性质求出方程的解即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴． 故答案为：1． 8.对于两个不相等的有理数，我们规定符号表示两数中较小的数，例如．按照这个规定，方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程的方法，解题的关键是分两种情况列出方程求解． 根据题意，当时，；当时，，根据解一元一次方程的方法，求出x的值即可． 【详解】解：当时，， ∵， ， 解得，舍去)； 当时，， ∵ ， 解得． 综上，可得方程的解为． 故答案为：． 9.解下列方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】 本题考查了解一元一次方程； (1)根据移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可； (2)根据移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． 【详解】(1)解：移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； (2)解：移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 10.若关于的两个方程与有相同的解，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．先根据等式的性质求出第一个方程的解是，再把代入第二个方程得出，再根据等式的性质求出方程的解即可． 【详解】解：解方程，， 解得：， 关于的两个方程与有相同的解， 关于的方程的解是， 代入得：， 解得：． 11.定义新运算“”如下：当时(“”是指大于或等于)，；当时，． (1)求的值； (2)求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)的值为20 (2)的值为 (3)x的值为7 【分析】本题考查定义新运算，有理数的运算，解一元一次方程．掌握新运算的法则，是解题的关键． (1)根据新运算的法则，列出算式，计算即可； (2)根据新运算的法则，列出算式，计算即可； (3)根据新运算的法则，列出方程，进行求解即可． 【详解】(1)解：因为， 所以， 所以， 所以的值为20； (2)因为， 所以， 所以 所以的值为． (3)当时，即为：，解之得； 当时，即为：，解之得，不合题意，舍去 所以，x的值为7． 【B组---提高题】 1. 解方程． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握拆项法是解本题的关键． 方程左边各项拆除后，抵消合并，将系数化为1，即可求出解． 【详解】解：原方程可化为 ， ， ， ． 2.定义：对于一个有理数x，我们把“”称作x的对称数．若，则；若，则．例如：，． (1)填空： ① ； ； ； ②若，且，则 ． (2)已知有理数a，b，当时，满足，试求代数式的值． (3)解方程：． 【答案】(1)①3，，；②2 (2) (3)当时，；当时，；当时，(舍去) 【分析】本题考查的是新定义运算，一元一次方程的解法，理解新定义运算的含义是解本题的关键； (1)①直接根据新定义列式计算即可；② 根据新定义建立方程，再解方程即可； (2)求解，当，即，可得，，当，即，可得，可得，再整体代入求值即可； (3)分三种情况讨论：当时，可得，当时，可得，当时，可得，再解方程即可并检验即可. 【详解】(1)解：①；；； ②∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得：； (2)∵， ∴， 当，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ； 当，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ； 综上： (3)当时， ∴，， ∵， ∴， 解得：，不符合题意，舍去， 当时， ∴，， ∵， ∴， 解得：，符合题意， 当时， ∴，， ∵， ∴， 解得：，符合题意， 综上：或 10 学科网（北京）股份有限公司 $$