精品解析：2022年广东省高等职业院校招收中等职业学校毕业生联考数学试题

2022年广东省高等职业院校招收中等职业学校毕业生联考试题 数学 本试卷共2页，24小题，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题:本大题共15小题，每小题5分，满分75分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知a，b是实数，则“”是“”的（ ） A 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 非充分非必要条件 5. 已知数列为等差数列，其中，则（ ） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 6. 已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，若角终边上始终有一点，则下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 一元二次不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 函数的的最小正周期是 （ ） A. B. C. D. 9. 已知点，，则点B坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 双曲线的左焦点坐标为，则a的值为（ ） A. B. C. D. 11. 抛物线焦点到准线的距离是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 12. 接种新冠疫苗是保障全面健康的重要手段，某中职学校有学生共5400人，其中一年级有1600人，二年级有1800人，三年级有2000人，为了解学生接种新冠疫苗的情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为270的样本，则上述三个年级依次抽取的人数分别是（ ） A. 80，90，100 B. 90，90，90 C. 85，85，100 D. 160，180，200 13. 在平面直角坐标系中，已知过点 直线与直线平行，则的值为（ ） A. B. C. D. 14. 一个三层书架放着不同教辅书籍，其中上层放着语文类书籍10本，中间放数学类书籍6本，下层放英语类书籍5本.现从书架上任取一本书，则取到的是语文类书籍的概率是（ ） A. B. C. D. 15. 已知定义域的偶函数在上是增函数，则下列不等式正确的是 （ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分. 16. 已知向量，则________. 17. 函数的反函数为，则_____________. 18. 若一组样本数据的平均数为，则该组样本数据的方差为______. 19. 已知数列的前n项和，则_________. 20. 在平面直角坐标系xOy中，圆心坐标为的圆C被直线截得弦长为，则圆C的方程为________. 三、解答题：本大题共4小题，其中第21，22，23，题各12分，第24题14分，满分50分.解答题应写出文字说明.证明过程或演算步骤） 21. 2022年北京冬奥会将于2月4日开幕，某商家计划在一块等边的框架内制作一张矩形的冬奥会宣传画（记为）.如图已知框架边长为8米，设米，米. （1）将y表示成x的函数； （2）当x为何值时，该宣传画面积最大. 22. 已知的内角A，B，C所对的边分别是，并且满足. （1）求角A的大小； （2）若，求的周长. 23. 已知数列为等差数列，且公差，其中，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项的和． 24. 已知椭圆C：的离心率为，短轴长为2，斜率为1的直线l与椭圆C交于两点. （1）求椭圆的标准方程. （2）若，求直线l的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022年广东省高等职业院校招收中等职业学校毕业生联考试题 数学 本试卷共2页，24小题，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题:本大题共15小题，每小题5分，满分75分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】是一道关于集合的基本运算的题目，解题的关键是熟练掌握补集及交集的定义. 【详解】因为集合，，， 所以， 所以 故选:C. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由对数函数的真数大于零求解定义域即可. 【详解】， ， ， 函数的定义域是. 故选：A. 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由实数指数幂、对数的运算逐项判断即可. 【详解】对A，，故A错误； 对B，，故B正确； 对C，，故C错误； 对D，，故D错误. 故选：B. 4. 已知a，b是实数，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 非充分非必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分性和必要性的概念分析即可. 详解】若，则有，但，故充分性不成立， 若，则有，但，故必要性不成立， 所以“”是“”的非充分非必要条件. 故选：D. 5. 已知数列为等差数列，其中，则（ ） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】由等差中项计算即可. 【详解】因为数列为等差数列，， 由等差中项可得，， 所以. 故选：B. 6. 已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，若角终边上始终有一点，则下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的定义，求出即可验证答案是否正确. 【详解】根据三角函数的定义可知， A中，错误， B中，错误， C中，错误， D中，正确， 故选：D. 7. 一元二次不等式的解集是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】因为一元二次不等式为， 所以因式分解为， 解得， 所以不等式的解集为. 故选：A. 8. 函数的的最小正周期是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用二倍角公式对所给出的函数进行化简，然后再根据三角函数的周期公式代值进行计算，即可求出函数的周期． 【详解】因为， 所以最小正周期. 故选：B 9. 已知点，，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点，由向量的坐标表示可求解. 【详解】设点. 由题意知，， 所以， 求得. 故选：A 10. 双曲线的左焦点坐标为，则a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由方程可知和，从而根据双曲线性质求得. 【详解】根据双曲线可知， 双曲线左焦点得出， 因为得出， 则， 故选：C. 11. 抛物线的焦点到准线的距离是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线标准方程的几何性质即可解得. 【详解】由抛物线可得， ，解得， 则焦点坐标为，准线为， 所以焦点到准线长度为2. 故选：C. 12. 接种新冠疫苗是保障全面健康的重要手段，某中职学校有学生共5400人，其中一年级有1600人，二年级有1800人，三年级有2000人，为了解学生接种新冠疫苗的情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为270的样本，则上述三个年级依次抽取的人数分别是（ ） A. 80，90，100 B. 90，90，90 C. 85，85，100 D. 160，180，200 【答案】A 【解析】 【分析】根据分层抽样的方法，先算出一年级、二年级、三年级在总体中所占的比例，再算出每个年级在样本容量中的数量. 【详解】由分层抽样可知，一年级学生在总体中的占比为， 二年级学生在总体中的占比为， 三年级学生在总体中的占比为， 那么一年级抽取， 二年级抽取， 三年级抽取， 故选：A 13. 在平面直角坐标系中，已知过点 直线与直线平行，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由两直线平行斜率相等，再由两点间斜率公式计算的值即可. 【详解】直线的斜率为， 因为过点 直线与直线平行， 所以直线的斜率也为， 可得，解得， 故选：D. 14. 一个三层书架放着不同的教辅书籍，其中上层放着语文类书籍10本，中间放数学类书籍6本，下层放英语类书籍5本.现从书架上任取一本书，则取到的是语文类书籍的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由分类加法计数原理及古典概型的概率公式计算即可. 【详解】由题意可得，从从书架上任取一本书，则取到的是语文类共有种不同的情况； 由分类加法计数原理可得，从书架上任取一本书则有种不同的情况； 故取到的是语文类书籍的概率是. 故选：B. 15. 已知定义域的偶函数在上是增函数，则下列不等式正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由偶函数的性质将转到同一单调区间内比较大小即可. 【详解】因为是定义域的偶函数， 所以， 又在上是增函数，， 所以，即. 故选：C. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分. 16. 已知向量，则________. 【答案】##12.5 【解析】 【分析】根据向量内积的公式求解即可. 【详解】因为向量， 所以. 故答案为：. 17. 函数的反函数为，则_____________. 【答案】8 【解析】 【分析】先求出反函数的解析式，再求即可. 【详解】函数，，， 则，所以函数的反函数为， 故. 故答案为：8. 18. 若一组样本数据的平均数为，则该组样本数据的方差为______. 【答案】 【解析】 【分析】由平均数和方差的定义即可得解. 【详解】因为平均数为. 所以. 解得. 所以方差. 故答案为:. 19. 已知数列的前n项和，则_________. 【答案】15 【解析】 【分析】利用前项和与项的关系解答即可. 【详解】因为数列前项和为， 所以， 所以. 故答案为：15. 20. 在平面直角坐标系xOy中，圆心坐标为的圆C被直线截得弦长为，则圆C的方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】已知圆的圆心，利用点到直线的距离公式，算出圆心到直线的距离，由弦长公式求出半径． 【详解】因为圆心坐标为的圆C被直线截得弦长为， 所以圆心到直线的距离， 又因为弦长为，所以，即，，，. 所以圆的方程为. 故答案为： 三、解答题：本大题共4小题，其中第21，22，23，题各12分，第24题14分，满分50分.解答题应写出文字说明.证明过程或演算步骤） 21. 2022年北京冬奥会将于2月4日开幕，某商家计划在一块等边的框架内制作一张矩形的冬奥会宣传画（记为）.如图已知框架边长为8米，设米，米. （1）将y表示成x的函数； （2）当x为何值时，该宣传画的面积最大. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用直角三角形中的正切值计算. （2）根据解析式，借助二次函数的性质可求. 【详解】（1）因为是等边三角形，四边形是矩形， 所以，， 所以是直角三角形. 所以，， 在直角中，， ， 所以. （2）设宣传画面积为S，则，当时，S取最大值，最大值为：. 所以当米时，该宣传画的面积最大为平方米. 22. 已知的内角A，B，C所对的边分别是，并且满足. （1）求角A的大小； （2）若，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两角和的正弦公式求解角A的大小即可. （2）由余弦定理求解a的长，进而求解的边长即可. 【小问1详解】 ， ， 在中，，， ， ， ，. 【小问2详解】 在中，由余弦定理得：， ， . 23. 已知数列为等差数列，且公差，其中，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项的和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由等差数列的基本量计算出首项和公差，再代入等差数列的通项公式计算即可. （2）先求出数列的通项公式，再由等比数列的前n项和公式求解即可. 【小问1详解】 ， ， 因为公差， 所以解得， ∴， . 【小问2详解】 由（1）得：，则， 因为，， 所以数列是以2为公比以2为首项的等比数列， . 24. 已知椭圆C：的离心率为，短轴长为2，斜率为1的直线l与椭圆C交于两点. （1）求椭圆的标准方程. （2）若，求直线l方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由椭圆的短轴长求出，再由离心率及求出，进而写出椭圆的方程即可； （2）设直线，联立椭圆和直线方程，设由韦达定理得出， 再由弦长公式即可求解，进而写出直线l的方程. 【小问1详解】 椭圆C：， 由题意可知：，又， ，， 又，， 所以椭圆标准方程为：. 【小问2详解】 斜率为1的直线l与椭圆C交于两点，可设直线， 联立椭圆和直线方程可得，， 则，则， 设，则， 所以， 解得， 所以直线l的方程为，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$