2.1一元二次方程（同步课件）数学湘教版九年级上册

2.1 一元二次方程 主讲： 湘教版九年级上册 第2章 一元二次方程 学习目标 目标 1 目标 2 目标 3 1.理解一元二次方程的概念.（难点） 2.根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数. 3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.(重点） 自学指导 仔细阅读教材P26---P27。用6分钟的时间看谁又快又好地解决以下问题： 1、什么样的方程是一元二次方程？ 2、一元二次方程的一般形式是怎样的？从书中的例题你能确定哪部分是二项系数，一次项系数和常数项吗？ 动脑筋： （1） 如图所示， 已知一矩形的长为200 cm， 宽为150 cm。现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的 。求挖去的圆的半径 x cm应满足的方程（其中π取3）； （2）据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆。求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程。 要建立方程， 关键是找出问题中的等量关系。 探究新知 动脑筋： （1） 如图所示， 已知一矩形的长为200 cm， 宽为150 cm。现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的 。求挖去的圆的半径 x cm应满足的方程（其中π取3）； 分析：矩形的面积－圆的面积=矩形的面积× 。 解：由于圆的半径为xcm， 则它的面积为3x2cm2。依题意得： ① 探究新知 （2）据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆。求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程。 解：该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为x。依题意得： 75 (1 + x )2 = 108 化简得：25x2 + 50x－11 ＝ 0。 ② 分析：前年的汽车拥有量？ 两年后的汽车拥有量=前年的汽车拥有量× (1 +年平均增长率)2。 一年后的汽车拥有量？ =75(1+x)2 75 +75x =75(1+x) 两年后的汽车拥有量？ 75(1+x) +75(1+x)x 一年后： 两年后： 方程x2－2500＝0，25x2 + 50x－11＝0这是一个什么方程？它们有什么共同点？ 。 探究新知 说一说 方程①、②都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ 特点: ①都是整式方程; ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2. 像这样的等号两边都是整式, 只含有一个未知数，并且 未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程。 探究新知 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式是 ax2+bx +c = 0(a , b , c为常数, a≠0). ax2 称为二次项, a 称为二次项系数. bx 称为一次项, b 称为一次项系数. c 称为常数项. 提醒：系数一定要带上前面的符号，是负数时，一定不要遗漏. 探究新知 3x 1-x +10=2 x +2 ; 例 下列方程是否为一元二次方程？若是，指出其中的二次项系数、一次项系数和常数项. (1) 3x ( 1-x )+10=2 ( x +2 ); (2) 5x ( x +1 )+7=5x2-4. 解：(1)去括号，得 3x - 3x2+10=2x +4. 移项，合并同类项，得 - 3x2+x＋6=0, 这是一元二次方程，其中二次项系数是-3，一次项系数是1，常数项是6. ( ) ( ) 3x - 3x2+10= + . 2x 4 3x - - 3x2+10- =0. 例题讲解 (2) 5x ( x +1 )+7=5x2-4. 解：(2)去括号，得 5x2+5x +7 =5x2-4. 5x ＋11 = 0, 这是一元一次方程，不是一元二次方程. 移项，合并同类项，得 点拨 先把方程整理成左边是一个化简了的多项式且右边为0的形式，再根据一元二次方程的一般形式进行判断，若为一元二次方程则写出二次项、一次项系数及常数项. 例题讲解 1. 判断下列方程是否为一元二次方程？ (2) x3+ x2=36 (3)x+3y=36 (5) x+1=0         (1) x2+ x=36 提醒：判断一个方程是否是一元二次方程，应先化简，再判断。 基础检测 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com 11 2. 用线把左边的方程与右边所对应的方程类型连接起来： 2x²+5x=x²-3 一元一次方程 (x+1)²=x²+4 3x+5=2x-1 一元二次方程 分式方程 基础检测 3．根据下列问题,列出关于x的方程,并将其化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式: (1)一个长方形的宽比长少3,面积是75,求长方形的长x; (2)两个连续偶数的积为168,求较大的偶数x; (3)一个直角三角形的两条直角边的长的和是20,面积是25,求其中一条直角边的长x. 基础检测 x2-3x-75=0 x2-2x-168=0 x2-20x+50=0 4.填空： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 -2 1 3 1 3 -5 4 0 -5 3 -2 基础检测 14 1.下列方程是否为一元二次方程？若是，指出其中的二次项系数、一次项系数和常数项. (1)4x2=49 ; (2)5x2-2=3x ; (3)0.01t2=2t ; (4) ( 9y-1 ) ( 2y +3 )=18y2+1. 解：(1)整理得 4x2-49=0 所以该方程是一元二次方程，二次项系数是4，一次项系数是0，常数项是-49. 一展身手 解：(2)整理得 5x2-3x-2=0 所以该方程是一元二次方程，二次项系数是5，一次项系数是-3，常数项是-2. 解：(3)整理得 0.01t2-2t =0 所以该方程是一元二次方程，二次项系数是0.01，一次项系数是-2，常数项是0. 解：(4)整理得 25y-4=0 所以该方程不是一元二次方程. 一展身手 二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的 （1）一元二次方程地一般形式不是唯一地，但习惯上都把二次项地系数化为正整数。 （2）一元二次方程地二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项等都是针对一般形式而言的。 （3)指出一元二次方程各项系数时，不要漏掉前面的符号 注 意 一展身手 2.方程(2a-4)x2－2bx+a=0, （1）在什么条件下此方程为一元二次方程？ （2）在什么条件下此方程为一元一次方程？ 解:（1）当 2a－4≠0，即a ≠2 时,是一元二次方程. （2）当a=2 且 b ≠0 时,是一元一次方程. 提醒：当 的项的系数为字母的时候，要注意其取值范围，只有当系数不为0时，才有可能是一元二次方程. 一元一次方程 一元二次方程 一般式 相同点 不同点 思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？ ax=b (a≠0） ax2+bx+c=0 (a≠0） 整式方程，只含有一个未知数 未知数最高次数是1 未知数最高次数是2 2.已知x＝n是关于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣5＝0的一个根，若mn2﹣4n+m＝6，求m的值． 解：依题意，得． ∴． ∵， ∴．∴． 挑战自我 1.a为何值时，方程为一元二次方程？ 解：∵方程为一元二次方程 ∴ ，解得 ∴ 2．解答题： （1）当为何值时，关于的方程是一元二次方程？ （2）已知关于的一元二次方程有一个根是0，求的值． （3）在第（2）题中，如果要使已知方程有一个根是l，那么m应该等于什么数？ 解：（1）∵关于的方程是一元二次方程， ∴，解得：； （2）∵关于的一元二次方程有一个根是0， ∴将x=0代入可得：，解得：m=-3； （3）∵关于的一元二次方程有一个根是1， ∴将x=1代入可得：，解得：m=±2. 挑战自我 一元二次方程组概念：只含有_______未知数（元）， 并且未知数最高次数是_____， 等号两边都是________， 这样的方程叫一元二次方程。 一个 2 整式 ax 2 + bx + c = 0（a≠0） 一元二次方程的一般形式为___________________________________。 二次项 一次项 常数项 二次项系数 一次项系数 为什么a≠0 课堂小结 主讲： 感谢聆听 湘教版九年级上册 $$