专题1.4 矩形的性质与判定（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.4 矩形的性质与判定（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 【要点说明】矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 【知识点二】矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： 1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 【要点说明】 （1） 矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩 （2） 形分成完全全等的两部分. （3） 矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的 交点就是对角线的交点（即对称中心）. （4） 矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质 可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. 【知识点三】矩形的判定 矩形的判定有三种方法： 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 【要点说明】 在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 【知识点四】直角三角形斜边上的中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 【要点说明】 （1） 直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形 对一般三角形不可使用. （2） 学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直 角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半. （3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】利用矩形的性质证明与求值 【例1】（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，在矩形中，对角线相交于点O，于点E，于点F，连接与． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求度数． 【变式1】（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）两个矩形的位置如图所示，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在矩形中，，点E在边上，且，若平分，则的长是 ． 【题型2】利用矩形的性质解决折叠问题 【例2】（23-24八年级下·浙江金华·期中）如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，且点B的坐标为（4，2），点D为线段上的一个动点，点E为线段上一点（不与点A重合），连结． （1）求对角线所在直线的函数表达式． （2）如图2，将沿着翻折，使点A落在平面内的点F处．若点D为对角线的中点，当点F恰好落在矩形的顶点上时，求的长． 【变式1】（2024·山东淄博·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在x轴，y轴上，点E在边上，将该矩形沿折叠，点B恰好落在边上的F处．若，，则点E的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（2024·广西玉林·一模）如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到， 折痕为， 连接，， 第二次将沿着折叠，恰好落在边上． 则该矩形纸片的长宽比的值为 ． 【题型3】直角三角形斜边上的中线问题 【例3】（23-24八年级下·北京·期中）已知：如图所示，在平行四边形中，对角线、相交于点O，，E、F、G分别是、、的中点．求证： (1)． (2)． 【变式1】（2024·浙江绍兴·二模）如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于，是边的中点，连接，若，菱形的面积96，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，则的度数为 ． 【题型4】矩形判定的理解 【例4】（23-24八年级下·河南商丘·期中）如图，平行四边形的对角线、相交于点O，，，E在线段上从点B以的速度运动，点F在线段上从点O以的速度运动，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）若点E、F同时运动，当t为何值时，四边形是平行四边形； （2）在（1）的条件下， 当为何值时，  四边形是菱形？ （3）在（1）的条件下，四边形还可能是矩形吗？为什么？ 【变式1】（23-24八年级下·重庆九龙坡·期中）下列说法正确的是（     ） A．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是矩形 【变式2】（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在四边形中，，，，，点从点出发每秒以个单位长度的速度向点运动，则当运动时间为 秒时，四边形是矩形． 【题型5】利用矩形的性质与判定求值与证明 【例5】（23-24九年级上·江西九江·期末）课本再现： （1）定理  直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图1，在中，，是边上的中线． 求证：． 证明：如图1，延长到点，使得，连接． …… 请把证明过程补充完整． 知识应用： （2）如图2，在中，是边上的高，是边上的中线，是的中点，连接并延长交于点，连接．求证：． 【变式1】（22-23八年级下·湖北十堰·期中）如图，矩形中，，点E是上一点，且，的垂直平分线交的延长线于点F，交于点H，连接交于点G．若G是的中点，则的长是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式2】（23-24九年级上·山东济南·期中）如图，在矩形中，，点E在边上，点F在边上，且，连接，，则的最小值为 ． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·四川广元·中考真题）如图，已知矩形． （1）尺规作图：作对角线的垂直平分线，交于点E，交于点F；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接．求证：四边形是菱形． 【例2】（2024·云南·中考真题）如图，在四边形中，点、、、分别是各边的中点，且，，四边形是矩形． （1）求证：四边形是菱形； （2）若矩形的周长为22，四边形的面积为10，求的长． 2、拓展延伸 【例1】（重庆市秀山土家族苗族自治县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）如图，平面直角坐标系中，已知直线上一点，A为轴正半轴上一点，连接；过点作，在上截取线段，使，过点作直线轴，垂足为；交直线于点，连接，交直线于点， （1）求证：； （2）当点坐标为时，求点的坐标； （3）当时，直接写出点的坐标． 【例2】（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）在学完矩形的判定后，善于钻研的小壮、小刚和小强同学有自己独到的见解： 已知：如图，四边形中，，对角线、相交于点O，． 小壮说：若，则四边形为矩形； 小刚说：若，则四边形为矩形． 小强说：若，则四边形为矩形． 请对三人的说法任选其一进行判断并证明． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.4 矩形的性质与判定（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 【要点说明】矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 【知识点二】矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： 1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 【要点说明】 （1） 矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩 （2） 形分成完全全等的两部分. （3） 矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的 交点就是对角线的交点（即对称中心）. （4） 矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质 可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. 【知识点三】矩形的判定 矩形的判定有三种方法： 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 【要点说明】 在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 【知识点四】直角三角形斜边上的中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 【要点说明】 （1） 直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形 对一般三角形不可使用. （2） 学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直 角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半. （3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】利用矩形的性质证明与求值 【例1】（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，在矩形中，对角线相交于点O，于点E，于点F，连接与． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求度数． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质： （1）证明，得到，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得证； （2）矩形，得到，平行四边形的性质，推出，，再利用角的和差关系求解即可． （1）证明：∵，     ∴ ∵四边形是矩形     ∴ ∵在△AOF和△COE中 ∴     ∴ ∴四边形是平行四边形； （2）∵四边形是矩形     ∴ ∵在中，     又∵     ∴ ∵，     ∴ ∵在中， ∴． 【变式1】（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）两个矩形的位置如图所示，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查矩形的性质，余角与补角，由补角的定义可得，由题意可得，，则有，即可得解． 解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【变式2】（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在矩形中，，点E在边上，且，若平分，则的长是 ． 【答案】5 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，根据矩形的性质，角平分线的性质，得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 解：∵矩形中，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 设，则：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴； 故答案为：5． 【题型2】利用矩形的性质解决折叠问题 【例2】（23-24八年级下·浙江金华·期中）如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，且点B的坐标为（4，2），点D为线段上的一个动点，点E为线段上一点（不与点A重合），连结． （1）求对角线所在直线的函数表达式． （2）如图2，将沿着翻折，使点A落在平面内的点F处．若点D为对角线的中点，当点F恰好落在矩形的顶点上时，求的长． 【答案】(1)； (2)或 【分析】对于（1），先求出点A，C的坐标，再根据待定系数法求出一次函数的关系式即可； 对于（2），当点F与点O重合时，根据中点定义得出答案；当点F与点C重合时，根据勾股定理求出答案． 解（1）∵四边形是矩形，点B的坐标为， ∴，， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）当F点与O点重合时，， ∵D点是的中点， ∴E点是的中点， ∴. 当F点与C点重合时，， 此时， 在中，， ∴， 解得， ∴. 综上所述：的长为2或. 【点拨】本题主要考查了待定系数法求一次函数关系式，翻折的性质，勾股定理，矩形的性质，勾股定理是求线段长的常用方法． 【变式1】（2024·山东淄博·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在x轴，y轴上，点E在边上，将该矩形沿折叠，点B恰好落在边上的F处．若，，则点E的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用，矩形的性质、翻折变化、坐标与图形变化对称，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．根据题意可以得到、的长度，根据点E在第二象限，从而可以得到点E的坐标． 解：由题意，， 设，则， 由折叠可得，， ∵， ∴， 解得，， 设， ∴， ∴， ∵， ， 解得， ∴点E的坐标为， 故选：A． 【变式2】（2024·广西玉林·一模）如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到， 折痕为， 连接，， 第二次将沿着折叠，恰好落在边上． 则该矩形纸片的长宽比的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形中的翻折，熟练掌握翻折的性质和正方形的性质是解题的关键．先利用第一次翻折确定四边为正方形，得出，再利用第二次翻折得出，即可求解． 解：∵四边形为矩形， ∴，，，， 由第一次折叠可知，，， ∴四边为正方形， ∴， ∴， 由第二次折叠可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型3】直角三角形斜边上的中线问题 【例3】（23-24八年级下·北京·期中）已知：如图所示，在平行四边形中，对角线、相交于点O，，E、F、G分别是、、的中点．求证： (1)． (2)． 【分析】本题考查三角形中位线定理、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线和平行四边形的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）由已知条件易证，再根据等腰三角形中底边上的高与中线合一的性质知． （2）利用直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半及中位线定理可证． 解（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 是等腰三角形， E是的中点， ． （2）证明：由（）知， 是直角三角形， G是的中点， ， E、F分别是，的中点， ， ． 【变式1】（2024·浙江绍兴·二模）如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于，是边的中点，连接，若，菱形的面积96，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，先由菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，可计算出的长度，根据勾股定理即可求得的长，再根据直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出答案． 解：四边形是菱形， ∴， ∵，菱形的面积为96， ∴， 解得， 则， ∵，是边的中点， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2】（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了菱形的性质、等边对等角、直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，解题关键是根据菱形和直角三角形的性质得出角之间的关系． 根据菱形的性质、等边对等角，求出，求出，再根据斜边中线等于斜边一半、等边对等角，推出，得出答案即可． 解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 【题型4】矩形判定的理解 【例4】（23-24八年级下·河南商丘·期中）如图，平行四边形的对角线、相交于点O，，，E在线段上从点B以的速度运动，点F在线段上从点O以的速度运动，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）若点E、F同时运动，当t为何值时，四边形是平行四边形； （2）在（1）的条件下， 当为何值时，  四边形是菱形？ （3）在（1）的条件下，四边形还可能是矩形吗？为什么？ 【答案】(1)2； (2)(3)不能；理由见解析 【分析】本题综合考查平行四边形的判定和菱形的判定．考查学生综合运用数学知识的能力． （1）根据要使四边形为平行四边形时，得出，即可求得t值； （2）若是菱形，则垂直于，即有，故可求； （3）若是矩形，，则此时E在O上，所以四边形不可以是矩形． （1）解：∵四边形为平行四边形， ∴，， 若四边形为平行四边形， ∴，， ∵E在线段上从点B以的速度运动，点F在线段上从点O以的速度运动， ∴，， ∴， ∴， ∴当t的值为2时，四边形是平行四边形． （2）解：若四边形是菱形， ∴， ∴， ∴； （3）解：不可以． 若是矩形，， ∴， ∴， 则此时E在点B上，F在O上， 显然四边形不是矩形． 【变式1】（23-24八年级下·重庆九龙坡·期中）下列说法正确的是（     ） A．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是矩形 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定定理，掌握以上定理是解题的关键．根据矩形的判定定理逐项分析即可． 解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以A选项不符合题意; B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以B选项符合题意； C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以C选项不符合题意； D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，所以D选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在四边形中，，，，，点从点出发每秒以个单位长度的速度向点运动，则当运动时间为 秒时，四边形是矩形． 【答案】 【分析】本题考查矩形的判定，由矩形的判定可得出，则可得出答案．确定是解题的关键． 解：∵点从点出发每秒以个单位长度的速度向点运动，设运动时间为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 当时，四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型5】利用矩形的性质与判定求值与证明 【例5】（23-24九年级上·江西九江·期末）课本再现： （1）定理  直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图1，在中，，是边上的中线． 求证：． 证明：如图1，延长到点，使得，连接． …… 请把证明过程补充完整． 知识应用： （2）如图2，在中，是边上的高，是边上的中线，是的中点，连接并延长交于点，连接．求证：． 【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定与性质是解（1）的关键，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解（2）的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是矩形即可； （2）由直角三角形斜边中线的性质得，进而可证，然后证明是线段的垂直平分线即可． 解：（1）是边上的中线， ． ， 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形． ． ， ． （2）如图，连接． 是边上的高，是边上的中线， ，是的中点． ． ， ． ． 是的中点， ． 是线段的垂直平分线． ． 【变式1】（22-23八年级下·湖北十堰·期中）如图，矩形中，，点E是上一点，且，的垂直平分线交的延长线于点F，交于点H，连接交于点G．若G是的中点，则的长是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】过点E作于点P，证明四边形和四边形为矩形，得出，，根据证明，得出，又垂直平分，得出，令，则，进而，，，在中，，进行求解即可． 解：过点E作于点P， 在矩形中 ，， ∴四边形和四边形为矩形， 又，， ∴，， ∵G是的中点， ∴， 又∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， 令，则， 又∵， ∴， ∴，， 在中，， ∴ 解得． 故选：A． 【点拨】本题考查矩形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理以及全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形求边长． 【变式2】（23-24九年级上·山东济南·期中）如图，在矩形中，，点E在边上，点F在边上，且，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理、将军饮马问题全等三角形的判定与性质等内容，综合性较强，将转化为是解题的关键． 先连接，将转化为，再利用将军饮马解决问题即可． 解： 如图，连接 四边形是矩形 ， ∵ 如图，作B点关于A点的对称点，连接 ， 的最小值为 故答案为：． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·四川广元·中考真题）如图，已知矩形． （1）尺规作图：作对角线的垂直平分线，交于点E，交于点F；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接．求证：四边形是菱形． 【分析】本题主要考查矩形的性质，垂直平分线的画法及性质，三角形全等的判定与性质，菱形的判定． （1）根据垂直平分线的画法即可求解； （2）由直线是线段的垂直平分线．得到，，，，根据矩形的性质可证，可得，即可得到，即可求证． （1）解：如图1所示，直线为所求； （2）证明：如图2，设与的交点为O， 由（1）可知，直线是线段的垂直平分线． ∴，，，， 又∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【例2】（2024·云南·中考真题）如图，在四边形中，点、、、分别是各边的中点，且，，四边形是矩形． （1）求证：四边形是菱形； （2）若矩形的周长为22，四边形的面积为10，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，，证明四边形是平行四边形，再利用三角形中位线定理得到，，利用矩形的性质得到，即可证明四边形是菱形； （2）利用三角形中位线定理和菱形性质得到，利用lx 面积公式得到，再利用完全平方公式结合勾股定理进行变形求解即可得到． （1）解：连接，， ，， 四边形是平行四边形， 四边形中，点、、、分别是各边的中点， ，， 四边形是矩形， ， ， 四边形是菱形； （2）解：四边形中，点、、、分别是各边的中点， ，， 矩形的周长为22， ， 四边形是菱形， 即， 四边形的面积为10， ，即， ， ， ． 【点拨】本题考查了平行四边形性质和判定，矩形的性质和判定，三角形中位线定理，菱形的性质和判定，菱形面积公式，勾股定理，完全平方公式，熟练掌握相关性质是解题的关键． 2、拓展延伸 【例1】（重庆市秀山土家族苗族自治县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）如图，平面直角坐标系中，已知直线上一点，A为轴正半轴上一点，连接；过点作，在上截取线段，使，过点作直线轴，垂足为；交直线于点，连接，交直线于点， （1）求证：； （2）当点坐标为时，求点的坐标； （3）当时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)见解析； (2)；(3) 【分析】（1）设点A的坐标为，则，过点M作轴于点Q，交于点P，则，，，证明，得到，从而，又，即可得到； （2）当点坐标为时，， ，，，由得到，，从而得到点，运用待定系数法求出直线的解析式为，解方程组即可得到点D的坐标； （3）设点A的坐标为，则，根据两点间距离公式得到，当时，即，求解即可得到点A的坐标． （1）解：设点A的坐标为，则， 过点M作轴于点Q，交于点P， ∴ ∵， ∴，，， ∵轴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵轴，轴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； （2）解：当点坐标为时，， ，，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 设过点，的直线的解析式为，则 ，解得， ∴直线的解析式为， 解方程组，得， ∴ （3）解：设点A的坐标为，则 ∵，轴， ∴点C的横坐标为， ∵点C在直线上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 【点拨】本题考查待定系数法，全等三角形的判定及性质，一次函数图象的交点，矩形的判定，坐标与图形，正确作出辅助线，证明三角形全等是解题的关键． 【例2】（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）在学完矩形的判定后，善于钻研的小壮、小刚和小强同学有自己独到的见解： 已知：如图，四边形中，，对角线、相交于点O，． 小壮说：若，则四边形为矩形； 小刚说：若，则四边形为矩形． 小强说：若，则四边形为矩形． 请对三人的说法任选其一进行判断并证明． 【答案】小壮的说法是正确的（三人的观点都正确，可任选其一判断），理由见解析 【分析】选择小壮：先证明，再证明四边形为平行四边形，可得到，即可证明； 选择小刚：同上可证证明四边形为平行四边形，再证明即可证明； 选择小强：同上可证证明四边形为平行四边形，再证明即可证明． 解：小壮的说法是正确的（三人的观点都正确，可任选其一判断），理由如下： 证明：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 若选择小刚： 证明：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； 若选择小强： 证明：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为矩形． 【点拨】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，等腰三角形的判定，三角形的外角，熟练掌握知识点是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$